在任何支付对称子博弈完美均衡和任何θ∈ T，我认为Gθ（T）=Gθ（T）代表所有T∈ [θ，inf{t≥ θR[0，t]{L=F}（dGθ+dGθ）>0}）a.s.证明。通过引理B.2，1{L6=F}（1- Gθj）dGθi=1{L6=F}（1）- Gθi）dGθj，i，j∈ {1，2}，i6=j.关于区间[θ，inf{t≥ θR[0，t]{L=F}（dGθ+dGθ）>0}，我们可以忽略1{L6=F}，所以如果它是非空的，那么Gθi（θ）=Gθj（θ）和——只要Gθj（t）<1–dGθi（t）=φtdGθj（t）对于φt=1- Gθi（t）1- Gθj（t），φ=1。（B.14）通过重新排列（B.14），对于所有∈ [θ，在f{t≥ θR[0，t]{L=F}（dGθ+dGθ）>0或Gθj（t）=1}，Gθi（t）=1-1.- Gθj（t）φt=Gθi（0）+Z（0，t]φsdGθj（s）<=> φt- 1=Gθj（t）φt- Gθj（0）-Z（0，t]φsdGθj（s）<=> φt- φ=Z（0，t]Gθj（s）-) dφs.最后一行是通过分段积分得到的，因为（φt）是有限变化的，对于t<inf{t，它是右连续的≥ θGθj（t）=1}。这意味着φt在gθjattains 1之前必须是常数。如果当l6=F时，Gθj在给定的区间上跳到1，那么（1- Gθi）Gθj=（1）- Gθj）Gθi=0，也就是说，Gθi也必须达到1，这就完成了证明。引理B.4。在任何支付对称子博弈完美均衡和任何θ∈ 我想是的{Gθ（θ）∨ Gθ（θ）>0}，Fθ≤ max（Lθ，Mθ）和Vθ（·）=Vθ（·）≤ Gθj（θ）max（Fθ，Mθ）+1.- Gθj（θ）对于j=1，2，a.s.证明。让我，j∈ {1,2}，i6=j.注意Gθi（θ）=Gθi（θ）并回忆Gθi（^τθ）=1表示^τθ=inf{t≥ θ|αθi（t）+αθj（t）>0}。均衡收益必须至少来自于满足Gθa（t）的可行策略（Gθa，αθi）≡ 1代表t≥ 也就是Vθi（Gθa，αθi，Gθj，αθj）=Gθj（θ）Mθ+（1）- Gθj（θ））Lθon{θ<^τθ}。另一个可行的策略是由Gθb（t）=1{Gθi（θ）<1}（Gθi（t）给出的（Gθb，αθi）- Gθi（θ））（1- Gθi（θ）-t的1+1{Gθi（θ）=1}≥ 仍然与（G^τθi，α^τθi）保持令人满意的一致性。

到（公元前11年）那时Gθi，αθi，Gθj，αθj= Gθi（θ）VθiGθa，αθi，Gθj，αθj+1.- Gθi（θ）VθiGθb，αθi，Gθj，αθj, （B.15）所以Gθi（θ）>0意味着Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）=Vθi（Gθa，αθi，Gθj，αθj）≥ Vθi（Gθb，αθi，Gθj，αθj），即特别平衡支付等于Gθj（θ）Mθ+（1- Gθj（θ））Lθon{θ<^τθ}。进一步考虑n的可行策略（Gθn，αθi）∈ N\\{1，2}满足GθN（t）=1{t≥（θ+n）-1)∧^τθ}.然后limn→∞E[1AVθi（Gθn，αθi，Gθj，αθj）]=E[1A（Gθj（θ）Fθ+（1）- Gθj（θ））Lθ]对于任何A∈ Fθ与A {θ < ^τθ}. 事实上，通过L和Gθj的右连续性，我们在定义2.5的期望值内有点态收敛，我们可以通过（D）类的L和Rf dGθjare（后者通过引理A.2）达到期望值的极限。由于限值不能超过[1AVθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）]，因此选择A={θ<θτ}∩ {Gθi（θ）Gθj（θ）（Fθ- Mθ）>0}表明这一定是概率为零。因此，Mθ≥ Fθon{θ<^τθ}∩ {Gθ（θ）∧ Gθ（θ）>0}，所以这两种说法都成立。关于{θ<^τθ}∩ {Gθ（θ）∨ Gθ（θ）>Gθ（θ）∧ 由于引理B.2，Gθ（θ）=0}，Lθ=Fθ，这意味着他们声称的不平等，当Gθi（θ）>0，否则Vθj（·）=Lθ。考虑{θ=^τθ}是必要的。假设θ=inf{t≥ θ|αθj（t）>0}，soGθj（θ）=1。然后很容易从定义C.1检查Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）=λθL，iLθ+λθL，jFθ+λθMMθ的值是（1）的凸组合-αθj（θ））Lθ+αθj（θ）Mθ和Fθ，它们分别是。参与者i的收益来自可行策略（Gθ，α∞) 和（G）∞, α∞), 式中gθ（t）=1{t≥θ}和α∞（t） =G∞（t） =1{t≥∞}, 当与给定的（Gθj，αθj）对抗时。因此，在{Fθ>max（Mθ，Lθ）}上，我们需要有Vθi（·）=Fθ，因此λθL，j=1，这意味着Vθj（·）=Lθ，与支付对称性相矛盾。因此，第一项索赔必须成立。至于第二个，假设Gθj（θ）=1，假设Vθi（·）>max（Fθ，Mθ），那么λθL，i>0，Lθ>Fθ。

具体地说，我们现在有Vθi（·）=（1）- αθj（θ））Lθ+αθj（θ）Mθ>Fθ，这实际上只有在λθL，j=0时才可能。然而，这将再次与Payoff对称性相矛盾。仍然假设θ=inf{t≥ θ|αθj（t）>0}，仍需验证第二个i代替j和Gθi（θ）<1，从那里θ<inf{t≥ θ|αθi（t）>0}。然后由引理B.2得出Lθ=Fθ，如果Vθi（·）=Fθ，则该主张成立。否则，Vθi（·）=（1- αθj（θ））Lθ+αθj（θ）Mθ>Fθ，因此λθL，j=0，根据定义C.1，这将与Gθi（θ）<1明显矛盾。命题8.1的证明。假设（（Gθ，αθ）；θ ∈ （Gθ，αθ）；θ ∈ T）是一个支付对称的子博弈完美等式，并且fix anyθ∈ T和我，j∈ {1，2}，i6=j。证明建立在两个观察的基础上。首先，对于任何停止时间τ≥ θ，策略（Gτi，ατi）在从θ，soVθi开始的子博弈中也是可行的Gθi，αθi，Gθj，αθj≥ VθiGτi，ατi，Gθj，αθj. （B.16）尤其是在定义C.1中的最后一种情况下，当θ=inf{t≥ θ|αθi（t）>0}=inf{t≥ θ|αθj（t）>0}，但αθi（θ）=αθj（θ）=0，然后简单地Vθi（·）=λL，iLθ+（1）- λL，i）Fθ。第二，如果τ≤ ^τθ，然后vθiGτi，ατi，Gθj，αθj= EZ[0，τ）F dGθj+1.- Gθj（τ）-)VτiGτi，ατi，Gτj，ατjFθ（B.17）时间一致性；参见（B.11）。证明策略是确定停车时间τ≤ inf{t≥θGθi（t）∨ Gθj（t）≥ 1} 因此（B.16）具有约束力，（B.17）也适用于L∧ F代替F，并且，当传递到极限时，也是Lτ∧ Fτ代替Vτi（·）。然后是命题8的两种主张。1遵循引理3.1。的确，那么（B.17）的右边就等于球员j的（！）当与Gθagiven byGθa（t）=1{t时，Gθj代表的标准混合策略的报酬≥τ} ，当L、F和M被L取代时∧ 因为那时Sθj（t）变成了∧τ∧ 英尺∧τ表示所有t≥ θ.为了建立Vθi（·）的理想表达，我们首先证明（B.16）结合ifGθi（τ-) ≤ 1.-εa.s.对于某些ε∈ (0, 1).

S uppose后者保持并设置λ=（1-ε)-1.∈ (1, ∞).然后定义Gθaby Gθa（t）=t的λGθi（t）∈ [0，τ）和Gθa（t）=λGθi（τ）-)+ (1-λGθi（τ）-))（Gθi（t）-Gθi（τ）-)). 这意味着Gθi（t）=1=> Gθa（t）=1代表所有t∈ [0, ∞], SO（Gθa，αθi）在θ是可行的，它通过构造满足（Gτi，ατi）的时间一致性。因此，我们也可以将（B.11）应用于Gθain代替Gθi，以确定Vθi（Gθa，αθi，Gθj，αθj）=λVθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）-(λ - 1） Vθi（Gτi，ατi，Gθj，αθj），因此，如果（B.16）严格要求正概率，这将与（Gθi，αθi）的最优性相矛盾。因此，对于τG，θi（x）=inf{t≥ θGθi（t）>x}对于任何x∈ [0,1）和类似地，对于j，（B.16）对于每个停止时间τn:=τG，θi结合1.- N-1.∧ τG，θj1.- N-1.∧ τ，n∈ N、 其中τ：=inf{t≥ θR[0，t]{F≥五十} （dGθi+dGθj）>0}。此外，τn≤ inf{t≥ θGθi（t）∨Gθj（t）≥ 1} ≤ ^τθ，使（B.17）适用，也适用于L∧ 通过定义“τ”代替F。后者仍然适用于单调极限τ∞:= 画→∞τn≤ τ，但（B.16）不一定再具有约束力。因此，我们需要证明E[Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）]=E[Vθi（G′τ∞i、 α′τ∞i、 Gθj，αθj）]，分别。，由于（B.16）对每个τn都有约束力，我们可以通过适当的延拓效应将其传递到（B.17）中未预测的极限。积分收敛为n→ ∞, 也在期待中，因为它属于Lemma的（D）类。2.

关于延拓支付，我们首先认为{Vτni（·）；n∈ N} 是一致可积的。定义为2.5，以及λθL，i，λθL，j，λθM∈ [0, (1 - Gθi（^τθ）-))(1 - Gθj（^τθ）-)]  [0, 1],VθiGθi，αθi，Gθj，αθj≤ EZ[0，∞)|L|dGθi+Z[0，∞)|F | dGθj+Z[0，∞)|M | dGθi+|L^τθ|+|F^τθ+|M^τθ|Fθ.用G应用引理3.1∞由G给出∞（t） =1{t≥∞}代替Gθj（Sθi（t）=L（t）表示所有t∈ R+）和| L |代替L表示E[R[0，∞)|L|dGθi|Fθ]≤ ess supτ≥ θE[|Lτ| Fθ]。后者是|L |的斯奈尔包络的值，表示为U |L |，它本身由Doob Meyer分解的一致可积鞅M | L |所限定；参见第3.1节。以类似的方式处理其他积分和剩余项，因此VθiGθi，αθi，Gθj，αθj≤ 2.M | L |（θ）+M |F（θ）+M | M（θ）.这对任何人都适用∈ T和相应子对策的可行策略，族{2（M | L |（\'τn）+M | F |（\'τn）+M | M |（\'τn））；n∈ N} 是{V|τni（·）| N的一致可积界∈N} 。现在，关于收敛性，首先要注意当Gθj（θτ∞-) = 1，那么dGθjonly电荷{F<L}，so也就是Gθi（\'）τ∞-) = 引理B.3，反之亦然。因此，关于{Gθi（\'）τ∞-) =1} ={Gθj（\'τ）∞-) = 1}, (1-Gθj（？τn）-))V′τni（·）→ 引理A.6的期望值为0。剩余集为{Gθi（\'）τ∞-) ∨ Gθj（θτ）∞-) < 1} = {N∈ N:\'τN=\'τ}，所以V\'τni（·）→ V′τi（·）=V′τ∞当n→ ∞, 我们可以通过一致可积性达到期望的极限。很容易证明{Gθi（\'）τ∞-) ∨ Gθj（θτ）∞-) < 1} ，极限持续时间V′τ∞i（·）=V′τi（·）等于L′τ∧ F′τ。我们将应用引理3中的最优性条件。1在τ处，但在一个变量中，每x相等∈ [0,1）（事实上独立于Payoff对称，F∧ L≥ M、 以及开始日期）。

因此，考虑任意τ∈ T，由Gτi、Gτj和定义Sτi（T）表示的标准混合策略：=max（Sτi（T），Sτi（T+）∈ R+，意味着“Sτi（t）≥\'Sτi（t+）=Sτi（t+）；进一步设置“Sτi”(∞) := Sτi(∞). 用Zτi代替θ表示（3.3）的右侧，它认为E[Sτi（τ′）|Fτ]≤ Zτiforevery停止时间τ′≥ τ，等于a.e.x∈ [0,1）如果τ′=τG，τi（x），作为Vτi（·）=Zτiin平衡。保持Zτi固定，我们现在证明，即使每个x等于f，对于‘Sτi，同样的条件成立∈ [0，1）。因此，考虑任意停止时间τ′≥ τ与勒塔∈ Fτ′是事件{Sτi（τ′+）>Sτi（τ′）}={Gτj（τ′（Fτ′）- Mτ′）>0}由L和Gτj的右连续体表示，且停止时间为τ′+1An-1对于任何n∈ N（参见引理A.3）然后是sτi（τ′+1An）-1) →\'Sτi（τ′）a.S.作为n→ ∞. 此外，对于任何B∈ Fτ，E[1BSτi（τ′+1An-1)] ≤E[1BZτi]通过迭代期望，我们可以将其作为（D）类的Sτii传递到极限。选择B={E[\'Sτi（τ′）|Fτ]>Zτi}表明该事件的概率必须为零。特别是每x∈ [0,1）现在E[Sτi（τG，τi（x））|Fτ]≤ E[\'Sτi（τG，τi（x））| Fτ]≤ Zτi，对于a.e.x，始终相等。现在fix any x∈ [0,1），每n∈ N然后xn∈（x+（1-x） （n+1）-1，x+（1-x） n-1] 使E[\'Sτi（τG，τi（xn））|Fτ]=Zτi。通过τG，τi（·），τG，τi（xn）τG，τi（x）a.S.的单调性和右连续性，τG，τi（xn），τi（x）a.S，\'Sτi（·）是从右到类（D）的上半连续，因此E[\'Sτi（τG，τi（x））]≥ 画→∞E[\'Sτi（τG，τi（xn））]=E[Zτi]。这意味着Sτi（τG，τi（x））＝Sτi（τG，τi（x））a.S.对于a.e.x∈ [0，1），因此引理3.1的证明也表明了E[RSτidGτi | Fτ]=E[R\'SτidGτi | Fτ]。这表明E[\'Sτi（τG，τi（x））|Fτ]≤ Zτ也必须是a.s.绑定。

注意，当Sτi（t+）=Sτi（t）+Gτj（t）（Ft）- Mt），假设F≥ M表示简单的¨Sτi（t）=Sτi（t+）=R[0，t]F dGτj+（1- Gτj（t））对于所有t∈ R+。现在，为了刻画Vτi（·），请注意，在从τ开始的子博弈中，时间一致性包括τ=τG，τi（0）∧ τG，τj（0），所以a.s.\'s\'τi（\'τ）=Z\'τior\'s\'τj（\'τ）=Z\'τias之前争论过，thusV\'τi（·）=G\'τj（\'τ）F\'\'τ+（1）- G′τj（′τ））L′τ或V′τj（·）=G′τi（′τ）F′τ+（1）- G′τi（′τ））L′τ。通过右连续性，F′τ≥ 这必须由引理B.4和假设L结合≥ 当伯格τi（？）τ>0或Gτj（？）τ>0时，我们必须用Vτi（·）=Vτj（·）=Lτ≤ F′τ。这就完成了证明。注意引理B.4和假设L≥ M、 我们也可以在表格i中说明结果Gθi，αθi，Gθj，αθj≤ Gθj（θ）Fθ+1.- Gθj（θ）UL∧F（θ）≤ UL∧F（θ）。B.3定理8.2命题8.1的证明和证明表明，在任何支付对称子对策完美等式中，在任何θ∈ 你最多也不会Gθj（θ）Fθ+1.- Gθj（θ）ess supτ∈T：τ≥θELτ∧ FτFθ≤ UL∧F（θ），实际上只考虑停止时间τ≤ inf{t≥ θGθi（t）∨ Gθj（t）=1}。然而，当∧F（θ）和Gθj（θ）<1，然后θ<inf{t≥ θ|αθj（t）>0}和玩家i的值Vθi（·）至少为Gθj（θ）Fθ+（1）- Gθj（θ））Lθ通过考虑停车时间θ+n-1和n→ ∞ 类似于引理B.4的证明；矛盾。因此，fixingθand letτn=inf{t≥ θLt- UL∧F（t）≥ N-1} 每n∈ N、 Gτnj（τN）=1 asLτN>UL∧{τn<∞} 根据假设2.1（iii）（参考第3.1节）的权利连续性。时间一致性也意味着Gθj（τn）=1，因此，对于某些j，与τnτ（θ）一样，Gθj（τ（θ））=1∈ {1, 2}. 连续值实际上由U（L）限定∧F）τ（θ）≤ UL∧F.这个参数当然是迭代的，导致停止时间（τn（θ））和斯内伦斜率（U（L））的序列减少∧F）τn（θ））n，因为引入了越来越严格的约束。

停车时间的递减顺序以θ为界，因此限制∧τ（θ）=limn→∞τn（θ）存在，也是一个停止时间。有一个最佳的停止时间，特别是达到U（L）是很方便的∧F）τn（θ）。它们的存在是因为每个过程（L∧ F）τn（θ）显然是右连续的，属于（D）类，但在假设2.1（iii）下也是上半连续的。这些最佳停止时间简化了论证，以证明∧τ（θ）≤ inf{t≥ θLt>U（L∧F）τ（θ）（t）}。考虑任意停止时间σ∈ [θ，θτ（θ）]，以及每n∈ N、 让我们≤ τn（θ）是达到U（L）的停止时间∧F）τn（θ）（σ）=E[（L）∧ F）σn | Fσ]，其中我们可以假设σn≥ σn+1因为∧ F）σn+1 | Fσn∧σn+1]≤ （L）∧ F）σn∧σn+1通过σ与σn+1的最优性≤ τn+1（θ）≤ τn（θ）。因此，单调序列（σn）na。s、 收敛到极限停止时间σ∞≤ ~τ (θ).因此，作为Lσ≤ E[（L）∧ F）σn |σ]a.s.{σ<τ（θ）}上的每n∈ N、 和as（L）∧ F）属于（D）类，E[1ALσ]≤ E[1A（L）∧ F）σ∞] 对于每个A∈ Fσ是{σ<τ（θ）}的子集。选择A={Lσ>E[（L∧ F）σ∞| Fσ]}∩ {σ<~τ（θ）}则表明其概率为零。I n p，因此Lσ≤ E[（L）∧ F）σ∞| Fσ]≤ U（L）∧F）{σ<τ（θ）}。现在让我们来看看τn=inf{t≥ θL（t）- U（L）∧F）τ（θ）（t）≥ N-1} ∧ 每n的τ（θ）∈ N.通过右连续性，然后LτN>U（L∧F）{τn<τ（θ）}∈ 这表明≥ θL（t）>U（L）∧F）~τ（θ）（t）}∧ §τ（θ）=τ（θ）a.s.根据需要，分别。书信电报≤ U（L）∧F）对于所有t∈ [θ，θτ（θ））a.s.θτ（θ）在这方面通过构造是最大的：每当我们有另一个^τ时≥ θ≤ U（L）∧F）^τ在[θ，^τ]上，然后≤ τ（θ）a.s.，因为U（L∧F）^τ≤ UL∧F.苏（L）∧F）^τ≤ U（L）∧F）τ（θ），并通过迭代≤ τn（θ）表示所有n∈ N.让我们来说明一些更富规律性的性质。首先，τ（θ）=inf{t≥ ττ（θ）|Lt>Ft}a.s。

（B.18）因此L)τ（θ）≥ 通过右连续性，因为否则我们会得到L=L∧ F≤U（L）∧F）所有n的τn（θ）∈ Nbeweenτ（θ）和右侧的停止时间。第二，对任何人来说∈ T，θτ（θ′）=θτ（θ）在{θ′上∈ [θ，θτ（θ）]a.s.（B.19）通过构造。因此，θτ（θ）在θ中是单调的，θτ（θ）=limn→∞θτ（θn）a.s.（B.20）对于任何顺序的停止时间θnθ。实际上，用τ表示右手边的m on otone极限∞≥ θτ（θ），然后是θn∨ τ∞∈ [θn，θτ（θn）]=> ~τ (τ∞) ≤ ττ（θn）∨ τ∞) = 所有n的ττ（θn）∈ N、 soτ∞= ~τ(τ∞) a、 s.然后也是τ∞≤ ττ（θn）必须结合在{θn上≤ τ∞} 为了埃弗林∈ N、 意味着∧τ（θN）∧ τ∞) = τ∞因此≤ U（L）∧F）τ∞（t） 尽管如此，t∈ [θn∧ τ∞, τ∞)a、 后者则代表所有n∈ N、 也就是说，这个不等式将a.s.保持在（θ，τ）上∞) 在{θon<τ上也有byright连续性∞}. 根据这个性质，τ（θ）r的最大值现在意味着τ∞≥ ■τ（θ）不能严格要求正概率。接下来，用Lt定义流程L：=Ltt<τ（θ）Fτ（θ）t≥ ττ（θ）（B.21）与斯奈尔包络线U从Lττ（θ）着陆其补偿器D＠L≥ Fτ（θ）和L≤ U（L）∧F）θτ（θ）在[θ，θτ（θ）），我们看到∧ F）τ（θ）≤~L≤ U（L）∧F）τ（θ）≤ θLon[θ，∞ ]. 由于斯奈尔包络是支配支付过程的最小上乘函数，最后一个不等式实际上是绑定的，因此DL=D（L∧F）θτ（θ）在[θ，∞]. 通过这个观察我们得到，∞]{L>F}dD＠L=X[θ，∞]DL=0a.s.（B.22）的确，路径规则性∧ F）之前验证的τ（θ）意味着D（L）的连续性∧F）τ（θ），和（3.6）适用于（L）∧F）用U（L）代替L∧F）τ（θ）≥ L关于[θ，θτ（θ））和D（L∧F）)τ（θ）=D)Lyields0=Z[0，∞]U（L）∧F）τ（θ）- （L）∧ F）τ（θ）dDL≥Z[θ，θτ（θ））L- （L）∧ F）dD!L=Z[θ，!τ（θ））{L>F}L- FdDL≥ 0，必须始终保持相等。

此外，DL=D（L∧F）τ（θ）是右连续体，并且从τ（θ）开始流动，因此它不充电[θτ（θ），∞].现在我们可以定义均衡策略（（Gθ，θαθ）；θ ∈ T）和（（Gθ，θαθ）；θ ∈ T）如下所示。选择我，j∈ {1,2}，i6=j，然后为每个θ定义Gθi，Gθj∈ 如理论所示。1，其中τθ=θτ（θ）。~aθi，~aθj将在稍后定义，因为我们需要仔细构造。家庭（Gθi；θi）∈ T）通过（B.19）满足定理5.3中的时间一致性条件；此外，考虑到τθ=θτ（θ）和假设F≥ M、 ~Lτθ来自理论5。对于任何固定的θ，1与（B.21）中的L相同。因此，由假设τθ确定的正则性条件forDτθL=D≤ inf{t≥ | 定理5.1（没有其他作用）中的Lt>Ft}现在由（B.22）：连续性和Lτθi=Fτθ离子{τθi<τθ}；后者现在跟在r{F后面≤五十} dD~L=R{F=L}dD~L（和L的右连续性）- F）。鉴于现在有更多的Fτθi≥ Mτθion{τθi<τθi}通过假设成立，这意味着如果我们实现连续平衡，则可以应用定理7.3的p屋顶(≥ 对于任何θ∈ T来自时间一致、可行的族（~aθi；θ∈ θj；θ∈ T）。然后，这将导致均衡收益UL（θ）=U（L∧F）任意位置的θτ（θ）（θ）∈ T我们需要以可测量的方式，在所有的随机区间[θ，θτ（θ））上，抑制命题7.1给出的αθi，αθjas∈ T，同时确保它们仍能在每个τ（θ）处产生适当的平衡收益。因此，从（可选）设置A=Sq开始∈Q+[Q，)τ（Q））。然后近似任何给定的θ∈ 通过递减序列（θn）n从上方∈N、 式中θN=2-N2nθ+1 ∈ T任何θ只包含{k2]中的值-NK∈因此[θN，θτ（θN））=Pk∈N[k2-n、 ■τ（k2）-n） ）1{n=k2-n} a.s.，wh ich表示[θn，θτ（θn））属于一个up-to-aP-nu llset。

此外，θn≤ θ + 21-所有k的nimplies∧τ（θ）=τ（θk）≥ n在{τ（θ）上≥θ + 21-n} 因此在这个集合上（θ，θτ（θ））=Sk≥n[θk，θτ（θk））a.s.，这意味着（θ，θτ（θ））属于{τ（θ）上的a≥ θ + 21-n} 直到P-空集。聚合（θ，θτ（θ））=（θ，θτ（θ））（1{τ（θ）≥θ+2}+Pn{τ（θ）∈[θ+2-n、 θ+21-n） }）a.s.，因此属于高达P的空集。现在定义αi=~αjby~αi（t）：=lim suput{u∈Ac}任何t的αθi（t）∈ R+和θ∈ 命题7.1中的αθias。■αθiinherit从其两个因子中逐步可测性，其中lim s up（·）h olds的可测性由定理IV.33（c）inDellacherie和Meyer（1978）得出。像αθi，αθisatis fiesαθi（t）=1{t≥θ}αθi（t）代表所有t∈ R+，其中θ≡ 0，这也确保了θ之间的时间一致性。加上理论上的，现在所有的t都是∧αθi（t）=0∈ [θ，θτ（θ））a.s.，soθαθi（t）>0=> Gθi（t）=Gθj（t）=1。因此，对于可行性而言，只有当∧αθi（t）<1时，才需要验证正确的连续性。首先请注意，当lim suput{u∈Ac}=0，那么它的右极限也会通过上半连续性消失，这样也就∧αθi（t）=αθi（t+）。当我在这里∈Ac}=1，αθi（t）<1，然后αθi（t）<1，因此αθi（·）是右连续的int，因此它仍然确保t7的右连续性→ lim suput{u∈Ac}when∧αθi（t）∈ (0, 1).因此，考虑任何固定的θ∈ T和相关集B={lim supu977;{u∈Ac>lim infuθ{u∈Ac}}。在B上，θ=θτ（θ）a.s.因为（θ，θτ（θ））属于a到P-零集。还可以考虑一个序列θnθ（例如，前一个）。通过（B.20）然后τ（θn）a.s.onB。此外，对于每个n∈ N、 作为θN>θ和lim infuθ{u∈在B上Ac}=0，一定存在q∈ （θ，θn），每个ω的q<τ（q）∈ B、 响应。谱仪半定量分析∈Q+{Q>θ}（)τ（Q）∧ θn）- q） >0 onB。

现在的目标是可测量地选择这样的q（ω），使它们形成一个停止时间τn。因此，letln=min{l∈ N | P[1Bsupq∈Q+{Q>θ}（)τ（Q）∧ θn）- q） >2-l]≥ (1 - N-1） P[B]}。这意味着B实现的概率和s ome（网格）点2k-lnwithk∈ N属于区间[q，~τ（q））∩ （θ，θn），即∩ （θ，θn），至少是（1- N-1） P[B]。正如单调性所暗示的∧τ（q）≤ ■τ（2k）-ln）对于所有理性的q≤ 2k-lna。s、 对于任何给定的k，我们都有P[Sk∈N{2k-ln=＠τ（2k）-ln）}∩ {2k-自然对数∈ A} ]=0，因此仍然是P[B∩ （Sk）∈N{2k-自然对数∈A.∩ （θ，θn）}∩ {2k-ln<τ（2k）-ln）}]≥ (1 - N-1） P[B]。因此，如果我们定义停车时间τn，kw的值为2k-如果这是在（θ，τ（2k-ln）∧ θn）和θnelse每k∈ N、 那么这些只取（{2k）中的值-ln | k∈ N}∩ （θ，θn））∪ {n}和P[B]∩ （Sk）∈N{τN，k=2k-自然对数∈（θ，τ（2k）-ln）∧ θn）}]≥ (1 - N-1） P[B]，所以我们也可以定义τn=mink∈Nτk，N∈ （θ，θn）满足τ（τn）=1{τn=θn}τ（θn）+Pk∈N{τN=2k-ln}τ（2k）-ln）a.s.由（B.19）和P[B∩{τn<τ（τn）}]≥ (1 - N-1） P[B]。每n取Cn={τn<τ（τn）}∈ N、 现在LτN≤ U（L）∧F）)τ（τn）（τn）a.s.在CnandP[B]上∩ [Ccn]≤ N-1P[B]。此外，用B迭代期望值∩ B′∩ Ccn∈ Fτn关于任何进一步的集合B′的∈ Fθ并使用U（L∧F）~τ（τn）（·）是一个超马丁格尔产率E[1B]∩B′∩Ccn（Lτn）-U（L）∧F）~τ（τn）（τn））]≤ E[1B∩B′∩Ccn（Lτn）-U（L）∧F）~τ（τn）（~τ（τn））]=E[1B∩B′∩Ccn（Lτn）-（L）∧F）~τ（τn））]，它被引理A.6作为n消失→ ∞ （t=（n）- 1） n-1） 因为L和（D）和1B舱的票价∩B′∩Ccn→ 概率为0。因此，林燮→∞E[1B∩B′（Lτn）-U（L）∧F）~τ（τn）（τn））]≤ 林尚→∞E[1B∩B′∩Cn（Lτn）- U（L）∧F）~τ（τn）（τn））]≤ 0.另一方面，与之前类似σn∈ [τn，τ（τn）]分别。

达到U（L）∧F）每个n的ττ（τn）（τn）∈ N、 E[1B∩B′（Lτn）-U（L）∧F）~τ（τn）（τn））]=E[1B∩B′（Lτn）-（L）∧F）σn）]→ E[1B∩B′（Lθ）-Fθ]as n→ ∞因为τn≤ σn≤ ■τ（τn）≤ θτ（θn）→ θ，Fθ≤ B上的Lθbyθ=θτ（θ），L和F是右连续的，属于（D）类。选择B′={Lθ>Fθ}现在表明B∩ B′的概率为零，即a.s.lim supuθ{u∈Ac}=lim infuθ{u∈Ac}或Lθ≤ Fθ。现在将此应用于θ′n=inf{t的所需路径属性≥ 0 |（lim suput{u∈Ac}-lim infut{u∈Ac}（Lt）- （英国《金融时报》）≥ N-1} ，n∈ N.θ′确实是一个停止时间，这是由lim sup（·）的渐进可测量性在lim inf（·）之前和类似的情况下所观察到的。Latter的差异是上半连续和L- F从右起为偶数连续，so（lim supuθn{u∈Ac}-lim infuθn{u∈Ac}（Lθn- Fθ′n）≥ N-1a。s、 关于{θ′n<∞}, 证明事实上θ′n=∞a、 因为这仍然同时适用于所有n∈ N、 事实上，a.s.lim suput{u∈Ac}>lim infut{u∈Ac}=> 书信电报≤ 全速飞行∈ R+。书信电报≤ F进一步简化αθi（t）∈ {0，1}这就是我们想要展示的。最后，为了验证我们在每个θ′=θτ（θ）处获得了命题7.1中所述的平衡支付，我们证明了thenθ′=inf{t≥ θ′i（t）>0}=：τ′a.s.我们有τ（τ′）=θ′和τ（θτ′）=θa.s.，前者由（B.19）表示，后者为（τ，θτ（τ））属于任何τ的一个高达P的零集∈ 因此，对于所有T，αθ′i（T）=0∈ （τ，τ（τ））a.s.现在假设τθ′>θ′具有正概率。然后也是)τθ′>inf{t≥ θ′Lt>U（L∧F）τθ′（t）}具有正概率，b因为其他θτ（t）}≥ 具有正概率的τθ′>θ′。因此，让θ′n=inf{t≥ θ′| Lt-U（L）∧F）~τθ′（t）≥ N-1}∧ 对于任意n∈ N、 林恩→∞P[{θ′n<τθ′}]>0。关于{θ′n<τθ′n}，Lθ′n>U（L∧F）通过右连续性θτθ′（θ′n）。那么必然是Lθ′n>Fθ′，因此αθi（θn）>0，所以αθi（θ′n）=0意味着lim supuθn{u∈Ac}=0，而且θ′n<τ（θ′n）乘以（B.20）。

然而，这需要Lθn≤ U（L）∧F）τ（θ′n）（θ′n），与后者是大气U（L）相矛盾∧F）τ（θ′n）乘以τ（θ′n）≤ ~τ(~τθ′) = ~τθ′. 因此，对于所有n，P[{θ′n<τθ′}]=0∈ N、 响应。事实上，ττθ′=a.s.现在更进一步∈Ac}=1乘以（B.20），因此∧αθ′i（θ′）=αθ′i（θ′）。从定义C.1来看，很明显，对于任何i，j的选择∈ {1,2}，i6=j，以及任何策略（Gθ′a，αθ′a）对于参与者i，结果概率仅取决于αθ′a，θαθ′jatθ′的值，除非两者都为零，并且αθ′=inf{t≥ θ′|αθ′a（t）>0}；然后，ε>0的任意短区间（θ′、θ′+ε）上的值也需要为kn。在前一种情况下，任何这样的αθ′aar的结果概率因此对于θαθ′jandαθj是相同的。在后一种情况下，任何这样的αθaar的λθ′M=0，以及θαθjorαθj，和θαθj（θ′）=αθj（θ′）=0意味着lθF′=F，因此预期玩家的回报是F′，无论是针对~αθ′jorαθ′j.还是针对αθ′a=Gθ′i，αθ′a=~αθ′iorαθ′iresp。在每种情况下产生相同的预期收益（事实上，由于对称性，第二种情况下甚至产生相同的结果概率），（Gθ′i，θαθ′i）和（Gθj，θαθj）继承了（Gθi，αθi）和（Gθj，αθj）的平衡性质。C结果概率以下定义是Riedel和Steg（2017）定义2.9的简化，由任何αθi（·）的右连续性产生，其中其值为零。右连续性意味着，当αθi（t）>0时，在任意短的时间间隔内，会出现许多大小大致相同的“原子”。因此，用uL（x，y）：=x（1）定义函数uLanduMfrom[0,1]\\（0,0）到[0,1]- y） x+y- xyx和uM（x，y）：=xyx+y- xy，分别是。

在完全重复的游戏中，玩家i的恒定阶段停止概率为X，玩家j的概率为y，得出玩家i首先停止或两个玩家同时停止的概率；1.-微升（x，y）- uM（x，y）=uL（y，x）是玩家j首先停止的概率。一段原子间隔也可以满足一个孤立的（有条件的）原子Gθj（t）/（1）- Gθj（t）-))只玩过一次。当原子变得任意小时，需要特别小心，因为μl不能在原点连续；更多详情请参见Riedel and Steg（2017）。重新计算αθi（t）>0=> Gθi（t）=1，且- Gθi（^τθ）-))(1 - Gθj（^τθ）-)) 是指在使用扩展之前，没有人停止的概率。为便于注释，请理解以下内容：- Gθi（^τθ）-)) = 0，那么（1- Gθi（^τθ）-))/(1 - Gθi（^τθ）-)) := 0.定义C.1。给定θ∈ T和一对扩展的混合策略Gθ，αθ和Gθ，αθ,结果概率λθL，1，λθL，2和λθMat^τθ：=inf{t≥ θαθ（t）+αθ（t）>0}定义如下。

让我，j∈ {1,2}，i6=j.如果^τθ<^τθj:=inf{t≥ θ|αθj（t）>0}，然后λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)\"1 -Gθj（^τθ）1- Gθj（^τθ）-)#= Gθi（^τθ）1.- Gθj（^τθ）,λθM：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)αθi（^τθ）Gθj（^τθ）1- Gθj（^τθ）-)= Gθi（^τθ）Gθj（^τθ）αθi（^τθ）。如果^τθ<^τθi:=inf{t≥ θ|αθi（t）>0}，然后λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)Gθi（^τθ）1- Gθi（^τθ）-)1.- αθj（^τθ）= Gθi（^τθ）Gθj（^τθ）1.- αθj（^τθ）,λθM：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)Gθi（^τθ）1- Gθi（^τθ）-)αθj（^τθ）=Gθi（^τθ）Gθj（^τθ）αθj（^τθ）。如果^τθ=^τθ=^τθ和αθ（^τθ）+αθ（^τθ）>0，则λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)uL（αθi（^τθ），αθj（^τθ）），λθM：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)uM（αθ（ττ），αθ（ττ）。如果^τθ=^τθ=^τθ和αθ（^τθ）+αθ（^τθ）=0，则λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)lim inft^τθαθi（t）+αθj（t）>0uL（αθi（t），αθj（t））+lim suptτθi（t）+αθj（t）>0uL（αθi（t），αθj（t））,λθM:=0。备注C.2。（i） λθL，jis当然还有玩家i成为追随者的可能性。它总是认为λθM+λθL，i+λθL，j=（1-Gθi（^τθ）-))(1-Gθj（^τθ）-)). 除以（1）-Gθi（^τθ）-))(1-Gθj（^τθ）-))如果可行，则产生相应的条件概率。（ii）如果αθi（^τθ）=1，则游戏者i肯定停止，并且不需要极限参数。否则，αθ（·）和αθ（·）都是右连续的，并且都是uMexists的相应极限。然而，uL在原点没有连续的延伸，因此我们使用lim inf和lim sup的对称组合，以确保存在极限时的一致性。如果潜在均衡中的极限不存在，那么两个参与者将不受角色限制；参见Riedel and Steg（2017）中的引理A.5。参考铋，J.-M.和B.Sk alli（1977年）。最佳时机，即过程和马尔科夫过程。Z.Wahrscheinlichkeitsforerie verw。格比特39301–313。Bulow，J.和P.K lemperer（1999年）。普遍的消耗战。是经济部。牧师。89 (1),175–189.Décamps，J.-P.和T。

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