在双变量和三变量情况下，方差-协方差矩阵由单个相关因子ρ和所有k的方差σkof xkf参数化。换句话说，∑ij=ρσiσj，对于i6=j。我们为计算时间编写Ct。该实现是在标准桌面计算机上用Python编程语言完成的。为了解决约束问题（2.2），我们使用序贯最小二乘编程（SLSQP）算法，结合蒙特卡罗、傅立叶或切比雪夫插值模式，如下所述，计算（5.3）中的期望值。傅里叶方法假设所考虑的分布的矩母函数可用，傅里叶方法允许我们根据Eberlein等人[24]和Drapeau等人[23]中提出的方法计算（5.3）中的不同期望值。这种方法的主要优点是，理论上可以以任何精度计算积分值，而每增加一位精度，基本计算时间大约是原来的两倍。然而，在随后的计算中，该方法需要计算大量的二重积分，因此计算时间可能会非常长。蒙特卡罗方法我们也可以使用蒙特卡罗模拟来估计（5.3）中的许多积分。这里一个重要的观察结果是，我们可以提前生成和存储所有实现，然后在根查找过程的每个步骤中使用它们来估计不同m的函数。相对于傅里叶方法，蒙特卡罗方法的主要优点是可以考虑更广泛的模型；例如，考虑第6节实证研究中考虑的带有连接函数的模型或带有帕累托型分布的随机变量。

主要缺点是该方案在统计上收敛缓慢，但在我们的背景下，收敛速度足够快。此外，一次性生成样本以及计算蒙特卡罗平均值的时间非常快，并且与m.切比雪夫插值的值无关。切比雪夫插值法是一种非常适合在优化程序中近似大量函数的数值格式。该方法最近由Gass等人[33]应用于期权定价，可概括如下：假设你想快速计算一个或多个变量的函数F（m），用于大量m。切比雪夫方法的第一步是在给定的一组节点mi，1上计算函数F（m）≤ 我≤ N.这些评估可以通过傅里叶或蒙特卡罗方法计算，彼此独立，并且可以并行实现。为了计算节点mi外m的F（m），下一步是使用切比雪夫系数对F（mi）进行多项式插值。换句话说，切比雪夫方法提供了F（m）的多项式近似。讨论：使用切比雪夫插值是否有利，取决于影响计算时间的两个相互竞争的因素：一方面，找到系统根所需的迭代次数I（d），另一方面，切比雪夫插值中使用的网格大小。我们的发现表明，在我们的精度要求范围内，蒙特卡罗格式优于傅里叶格式，因为它们在根查找过程的每个步骤或切比雪夫方法中的预处理计算中需要最少的工作量。只有当维数较低，小于3或α=0时，傅里叶方法才能更快。

其次，切比雪夫与否的选择取决于I（d）与N之间的比较。在高维中，当I（d）支配N，且I（d）原则上为d阶，N通常在10到20之间时，切比雪夫方法的成本较低。此外，切比雪夫方法可以从并行计算中获益匪浅，因为预处理步骤不是连续的。5.1. 二元情形我们假设d=2，并考虑一个二元高斯分布，其均值为零，σ=σ=1，相关系数ρ为{-0.9, -0.5, -0.2, 0, 0.2, 0.5, 0.9}. 当设置α=0时，即没有系统风险权重，结果m*不依赖于相关值。由于σ=σ=1，分配是对称的，我们发现m*≈ -0.173. 在这种情况下，有关预期的显式公式是可用的，这当然会产生最快的计算。傅里叶方法非常快（CT）≈ 3×显式公式），因为我们只需要计算一维积分。为了得到切比雪夫近似中的高近似值，每个积分必须使用20个节点。由于优化中的迭代次数约为，与傅里叶变换相结合的切比雪夫方法比没有傅里叶变换的方法要慢。最后，蒙特卡洛是≈ 比傅里叶变换慢20到40倍，成为这种情况下最慢的方法。当设置α=1时，风险分配的值相对于ρ增加，如预期，见表1。蒙特卡罗方法成为最快的方法。实际上，我们现在需要计算（5.3）中的二元积分。即使傅里叶方法很快（从30秒到近3分钟），它们仍然有效≈ 比蒙特卡洛慢10到50秒。

此外，在Chebychevinterpolation中使用10个节点（这不是很精确）会增加总的计算时间，因为在预处理步骤中要计算的二维积分数量太多。Fourier-Fourier+Chebychev 10节点蒙特卡罗2moρm*CT m*CT m*计算机断层扫描-0.9-0.167 61520毫秒-0.150 45米18秒-0.167 3257毫秒-0.5-0.143 37100毫秒-0.132 30米27秒-0.143 3357毫秒-0.2-0.120 45200毫秒-0.113 25米21秒-0.120 3414毫秒-0.103 51800毫秒-0.098 24米52秒-0.103 3302毫秒。2-0.085 75700毫秒-0.082 27米55秒-0.085 3417毫秒。5-0.057 158000毫秒-0.055 32米10秒-0.056 3250毫秒。9-0.013 88900 ms-0.012 55 m 04 s-0.012 3387 ms表1：具有全身重量的双变量病例，即α=1.5.2。三变量案例在本节中，我们将用三个风险分量说明损失函数的系统性贡献，并研究两个分量的相互依赖性对第三个分量的影响。我们从方差协方差矩阵∑的阿高斯向量开始=0.5 0.5ρ 00.5ρ 0.5 00 0 0.6,对于不同的相关性ρ∈ {-0.9, -0.5, -0.2, 0, 0.2, 0.5, 0.9}. 在这里，第三种风险构成比前两种风险具有更高的边际风险，因此，在缺乏系统性构成的情况下，它对整体风险的贡献最大。当α=0时，情况确实如此。结果独立于相关性，通常总体较低，向方差最高的风险成分收取更多–m*≈ -0.12–比其他两个–m*= M*≈ -0.166. 然而，就系统风险权重而言，前两项的贡献克服了第三项的高相关性，如表2中红色所示。这些结果表明，随着前两个风险组成部分之间的相关性增加，系统性风险权重修正了风险分配。