多元短缺风险分配与系统性风险

2022-5-8 14:42:34

多元短缺风险分配和系统性风险Yannick Armenta，1，+，Stéphane Crépeya，2，*, §，Samuel Drapaub，3，¨，AntonisPapapantoleonc，4，，§2017年3月24日摘要自全球金融危机爆发以来，对系统性风险的持续关注突显了在一系列相互关联的金融组件（如投资组合、机构或清算机构成员）层面上进行风险度量的必要性。系统性风险度量的两个主要问题是计算总体储备水平，并根据其系统相关性将其分配给不同的组成部分。我们在此开发了一种基于多元短缺风险度量的系统性风险度量和分配的实用方法，首先计算可接受分配，然后进行汇总，以使成本最小化。我们分析了风险分配对各种因素的敏感性，并强调其作为系统性风险指标的相关性。特别是，我们研究了损失函数和元件依赖结构之间的相互作用。此外，我们还讨论了风险分配的计算方面。最后，我们将此方法应用于实际数据的CCPC违约基金分配。关键词：系统性风险、风险分配、多变量风险、敏感性、数值方法、CCP、违约基金。AMSCL分类：91G、91B30、91G60作者INFOaUniversitéd’Evry，法国大道23号，91037 Evry，上海交通大学法兰西数学学院和上海高级金融研究所（CAFR/CMAR），上海西淮海路211号，邮编：200030中国数学研究所，柏林工业大学，17街。

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2022-5-8 14:42:37

德国柏林10623号Juni136。armenti@gmail.comstephane.crepey@埃弗里大学。frsdrapeau@saif.sjtu.edu.cnpapapan@数学。柏林。判定元件*EIF赠款“中央清算交易中的抵押品管理”、主席“市场转型”、法国联邦储备银行以及ANR 11-LABX-0019提供的财务支持。+LCH的财政支持。巴黎Clearnet来自EIF赠款“利率市场的后危机模型”的财政支持。§DAAD PROCOPE项目“转型中的金融市场：数学模型和挑战”的财务支持。中国国家科学基金会“国际青年科学家研究基金”资助项目1155010184号。论文INFOArXiv-ePrint:1507.053511。引言自全球金融危机爆发以来，对系统性风险的持续关注推动了对多变量风险度量的设计和性质的深入研究。在本文中，我们研究了具有相互关联的风险成分的金融系统的风险评估，重点放在两个主要方面，即：o与整体流动性储备相对应的货币风险度量的量化，以便整个系统能够克服意外的压力或违约情况；o在不同风险组成部分之间分配总金额，以反映每个组成部分的系统风险。我们的目标是四倍。首先，我们介绍一类理论上合理但数值上易于处理的系统风险度量。其次，我们研究了内在依赖性对风险分配及其敏感性的影响。第三，我们讨论了系统性风险分配的计算方面和挑战。

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2022-5-8 14:42:40

最后，我们根据LCH S.A.提供的真实数据，给出了CCP违约基金风险分配的实证结果。文献回顾：自Artzner等人[6]发表论文以来，货币风险度量一直是深入研究的主题，F"ollmer and Schied[31]和Frittellian and Rosazza Gianin[32]等人进一步扩展了这一研究。相应的风险度量，包括Artzner等人[6]提出的条件风险价值，F"ollmer和Schied[31]提出的短缺风险度量，或Ben Tal和Teboulle[9]提出的优化确定等价物，都可以应用在一个多变量框架中，该框架对多个金融风险组成部分的依赖性进行建模。基于多变量市场数据的风险度量包括Acharya等人[1]的边际预期缺口、Rüschendorf[45]的投资组合投资者的法律不变凸风险度量、Acharya等人[2]和Brownlees and Engle[13]的系统风险度量、Adrian和Brunnermeier[3]的delta条件风险值或Contet等人的传染指数[20]。同时，理论上的经济和数学考虑导致了静态甚至动态设置中的多值和集值风险度量；例如，参见Cascos和Molchanov[15]，Hamel等人[36]和Jouini等人[37]。最近，金融机构的风险管理引起了人们对金融系统不同组成部分之间总体风险分配的担忧。例如，出于实时监控目的，银行希望向每个交易台提供反映其在银行总体资本要求中责任的成本。中央清算对手——简称CCP，也称为清算所——对量化所谓违约基金的规模感兴趣，并以有意义的方式将其分配给不同的清算成员，参见[5,19,34]。

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2022-5-8 14:42:44

在宏观经济层面，监管机构正在考虑要求金融机构提供反映其系统相关性的资本。上述方法只能通过风险度量对不同风险成分的敏感性间接解决分配问题。例如，所谓的欧拉规则根据每个风险因素的边际影响来分配风险总量。然而，欧拉规则的一个实际限制是，它基于Géteaux导数，一般来说，除了简单的情况之外，很难进行计算。此外，欧拉规则考虑了一个元素相对于整个系统的边际风险，而不是每个单独组件的边际风险。此外，欧拉风险分配不等于总风险，除非首先使用的单变量风险度量是次加性的，参见[46]。换句话说，欧拉规则不会自动填充所谓的完全分配属性。Brunnemeier和Cheridito[14]的工作系统地解决了与某些经济属性有关的系统性风险分配问题：o完全分配：风险分配的组成部分之和等于整体风险度量；o无风险分配：如果一个风险因素是无风险的，则风险分配的相应部分等于它因果责任：任何系统组件都承担其承担的任何额外风险的全部额外成本。更具体地说，Brunnemeier和Cheridito[14]提出了一个框架，其中总体资本要求首先由效用无差异原则确定，然后根据一个规则进行分配，从而至少在一阶近似水平上满足上述三个属性。

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kedemingshi

2022-5-8 14:42:47

事实上，就依赖性而言，最后两个属性是否应该成立是有争议的。有人可能会说，系统中的每个组件不仅要对其自身的风险承担负责，还要对其与其他组件的相对暴露负责。这也是本研究得出的结论，见第4.3节。在一个总体框架中，Kromer等人[39]根据公理描述了系统性风险，公理允许分解和聚合函数以及单变量风险度量。本着这种聚合函数的精神，在最近的两篇论文中，Feinstein等人[28]和Biagini等人[10]提出了一种与我们的inspirit类似的通用方法。我们随后在论文中精确地指出了与这些参考文献的关系，以及我们的看法不同之处。本文的贡献和概要：我们的方法同时涉及一个由相互关联的组成部分组成的金融系统的总体风险度量的设计，以及该风险度量在不同风险组成部分之间的分配；重点在于分配及其敏感性。与[14,16]不同的是，我们首先将货币风险分配给不同的风险组成部分，然后汇总并最小化风险分配，以获得总体资本要求。如前所述，[39]、[28]和[10]以类似的精神开发方法，包括在具有不同聚合程序的一般框架中，先分配，然后聚合。他们关注由此产生的风险度量，从集值函数、多样性和单调性等方面对其属性进行系统研究。本文中的多元短缺风险度量可被视为其定义的特例，其精确程度见备注2.10。

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2022-5-8 14:42:50

与这些参考文献分享“先分配，然后汇总”的观点，我们的方法仅限于基于多变量损失函数的短缺风险度量的系统扩展，见[31]。然而，与上述参考文献相比，我们侧重于由此产生的风险分配的存在性、唯一性、敏感性和数值应用。在我们的框架中，系统性风险是指风险构成的相互关联系统的内在依赖结构所产生的风险。从这个角度来看，风险分配及其属性提供了系统性风险的“地图”，参见第5节“风险分配的数值方面”和第6节“真实数据”中的实证研究，以了解其说明。事实证明，为了强调系统性风险，必须特别注意损失功能的具体情况。在[10]中，通过允许随机分配，可以在未来观察到相互依赖结构的影响。鉴于违约的后期管理，这种随机分配可能很有趣。相比之下，我们的确定性分配对量化时已经存在的系统依赖性非常敏感，见第4节和第3.9条。我们研究了风险分配对外部冲击和内部依赖结构的敏感性。我们特别指出，因果责任可以从边缘术语中推导出来，见命题4.3。此外，我们还讨论了风险分配的计算方面，最后，我们根据LCH S.a.提供的真实数据，对CCP违约基金的风险分配进行了实证研究。作为一种法律不变的风险度量，单变量短缺风险度量作为概率分布的算子具有额外的属性。

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2022-5-8 14:43:27

事实上，正如Weber[47]和Kr"atschmer等人[38]所研究的，它对于分布上的ψ-弱拓扑具有一些连续性性质。在[47]中，它被进一步描述为分布水平上唯一的凸律不变凸风险度量，因此它是唯一一个具有可引出性属性、一厢情愿的统计属性的度量，参见[8,41]。这些结果的扩展，如Ziegel[48]和Fissler及Ziegel[30]提出的多维情况下的可引出性表征，以及[47]提出的公理化表征，都是非常不平凡的，因此值得进一步研究。Ararat等人[4]提出了一种集值多元短缺风险测度。然而，分配并不是他们工作的重点，他们随后考虑的损失函数在（C2）的意义上是解耦的，从我们的观点来看，从命题3.9来看，这是非常严格的。本文的结构如下：第2节介绍了我们在本文中使用的系统损失函数、可接受集和风险度量的类别。第3节确定了风险分配的存在性和唯一性。第4节着重于外部冲击、依赖结构、损失函数的性质以及前面提到的完全分配、因果责任和无风险分配的性质的敏感性。第5节讨论了风险分配的计算方面和挑战。第6节将我们的方法应用于CCP违约基金的具体分配。附录A和B收集了凸优化的经典事实和多元Orlicz空间的结果。附录C提供了关于实证研究数据的更多见解。1.1. 基本符号let xkdenote向量x的一般坐标∈ Rd和Ek表示第k个单位向量。

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2022-5-8 14:43:30

通过>我们表示Rd上的格序，即x>y当且仅当xk≥ 每1个≤ K≤ d、我们用k·k表示欧氏范数，用±，∧, ∨, |·| x，y在Rd上的格运算∈ 我们用x>y来表示xk>yk分量，x·y=Pxkyk，xy=（xy，…，xdyd）和x/y=（x/y，…，xd/yd）。Wedenote by f*（y） =supx{x·y- f（x）}函数f:Rd的凸共轭→ [-∞, ∞], 还有forC Rd，我们用δ（·| C）表示C的指示函数等于0∞ 否则让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，用L（Rd）表示该空间上的F-可测d-变量和M-变量的空间，在P-几乎确定的意义下确定。空间L（Rd）继承了Rd的晶格结构，因此我们可以在P-几乎确定的意义上使用上述符号。例如，对于L（Rd）中的X和Y，如果P[X>Y]=1或P[X>Y]=1，我们分别说X>Y或X>Y。由于我们主要处理多元函数或随机变量，为了简化表示法，我们去掉了对Rdin L（Rd）的引用，只需简单地编写即可。2.多元短缺风险集X=（X，…，Xd）∈ Lbe是财务损失的随机向量，即xK的负值表示实际收益。我们希望确定X风险的总体货币度量R（X），以及合理的风险分配RAk（X），k=1，d、 R（X）在d风险成分中的比例。我们考虑通过损失函数和可接受货币位置集定义的灵活风险度量类别。本课程允许我们详细讨论作为系统性风险指标的风险分配结果的属性。受单变量情况下[31]中引入的短缺风险度量的启发，我们从损失函数“定义于Rd”开始，用于测量财务损失向量X.D定义2.1的预期损失E[`（X）]。

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2022-5-8 14:43:35

函数`:Rd→ (-∞, ∞] 如果（A1）`在增加，即，`（x），则称为损失函数≥ `（y）如果x>y；（A2）`是凸的，下半连续的，inf`<0；（A3）`（x）≥Pxk- 对于某些常数c，如果分量的每个置换π`（x）=`（π（x）），则损失函数`是置换不变的。对损失的风险中性评估对应于E[PXk]=PE[Xk]。因此，（A3）表达了一种风险规避形式，即损失函数比风险中性估值更重视高损失。至于（A1）和（A2），它们表达了各自关于风险的规范事实，即“损失越多，风险越大”和“多元化不应增加风险”；相关讨论见[22]。备注2.2。术语“损失函数”的选择源于[31]，本文对其进行了多变量扩展。我们对损失函数的概念与[10,28]中的“聚合函数”一致，即它将多个损失函数聚合为一个单变量随机变量，可以确定其是否可接受，见备注2.10。由于短球风险度量的明显扩展，在本文中，我们坚持使用术语“损失函数”。至于排列不变性，考虑的风险成分通常是同一类型的——银行、清算所成员或交易层内的交易台。在这种情况下，损失函数不应区分某个特定组件和另一个组件。例2.3。

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2022-5-8 14:43:38

让h:R→ R可以是一维损失函数，例如，对于instanceh（x）=x+- βx-, 0≤ β<1，h（x）=x+（x+）/2或h（x）=ex- 1.使用这些作为构建模块，我们获得了以下几类多元损失函数，这些函数将用于系统风险讨论中的说明目的，见第3节和第4节。（C1）`（x）=h（Pxk）；（C2）`（x）=Ph（xk）；（C3）`（x）=αh（Pxk）+βPh（xk），其中α，β≥ 0不同时为0。请注意，这些损失函数中的每一个都是置换不变的。出于可积性的原因，我们考虑以下多元Orlicz心脏中的损失向量：Mθ=十、∈ L:E[θ（λX）]<∞ 总而言之λ∈ R+,式中θ（x）=`（|x |），x∈ Rd；见附录B备注2.4。定义2.5。货币分配∈ RDI可用于X ifE[`（X- m） ]≤ 0.我们用a（X）表示：=M∈ Rd:E[`（X- m） ]≤ 0（2.1）相应的可接受货币分配。例2.6。在集中清算的交易设置中，每个清算成员k都需要提交违约基金供款，以使清算所的风险在考虑极端和系统性风险的风险度量方面可接受。违约基金是清算所的一种集合资源，即清算所不仅可以在清算该成员时使用该成员的违约基金出资，还可以在清算其他成员时使用该成员的违约基金出资。在确定违约基金供款时，本文的方法适用于定义为清算成员压力损失和收益向量的向量X。根据第3节和第4节的发现，在这种情况下，（C3）Orlicz空间等“系统”损失函数是自然空间。

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mingdashike22

2022-5-8 14:43:41

Orlicz空间理论长期以来一直被用于风险度量理论，参见[11,12,18,21]。如果α>0，则符合违约基金的目的。但是请注意，我们应用于清算所的设置是一个封闭系统，因此需要进行内部评估。原则上，我们忽略了额外的系统性风险，如具有共同成员资格的清算所之间的竞争，或这些成员可能面临的外部风险，如[35]中所述。然而，我们的方法也可以通过将X作为每个清算所每个成员头寸的总体向量来评估这种系统性风险。下一个命题收集了可接受的货币分配集合的主要属性。（i）中的Convexity属性意味着两种可接受的货币分配之间的差异仍然可以接受。如果货币分配是可以接受的，那么任何更大数额的货币也应该是可以接受的，这是（i）中的单调性。至于（ii），它说，如果损失X几乎肯定小于Y，那么Y可以接受的任何货币分配也同样适用于X。其次，（iii）意味着在两个市场中可以接受的分配的凸组合在多元化市场中仍然是可以接受的。尤其是，可接受性概念推动了不同风险成分之间的更大差异。例如，从清算所的角度来看，其成员的分散头寸比集中头寸更可取，因此可能会强制执行默认基金分配，从而促使其成员实现这一目标。此外，从交易流监管来看，交易员的整体多元化地位更可取，这是一种激励，是一种当前的做法，见示例5.2。最后，（iv）意味着可接受的头寸在标量货币风险度量的意义上转化为现金[6,31,32]。

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kedemingshi

2022-5-8 14:43:44

作为这些属性的直接后果，x7→ A（X）定义了[36]意义上的货币集值风险度量，即从Mθ到Rd命题2.7的单调、封闭和凸子集的集值映射A。对于Mθ中的X，Y，它认为：（i）A（X）是凸的、单调的和封闭的；（ii）A（X） A（Y）每当X 6 Y；（iii）A（αX+（1）- α） Y） αA（X）+（1）- α） A（Y），对于任何α∈ (0, 1);（iv）A（X+m）=A（X）+m，对于任何m∈ Rd；（五） 6=A（X）6=Rd。如果进一步（vi）`是正齐次的，那么A（λX）=λA（X）对于每个λ>0；（vii）`是置换不变量，则A（π（X））=每个置换π的π（A（X））；证据因为`是凸的、递增的和下半连续的，所以（m，X）7→ E[`（X）- m） ]是凸的和较低的半连续的，m减小，X增大。这意味着通过定义A（X）的2.5，性质（i）到（iii）。关于（iv），变量yieldsA（X+m）的变化=N∈ Rd:E[`（X+m）- n）≤ 0]=n+m∈ Rd:E[`（X- n） ]≤ 0= A（X）+m.至于（v），一方面，`（X）- m） &`(-∞) < 0作为m→ ∞ 组件方面。自从X∈ Mθ在`（X）之后∈ 五十、因此，单调收敛产生E[`（X）- m） ]&`(-∞) < 0和m的存在∈ rde[`（X- m） ]≤ 0，表示A（X）6=. 另一方面，`在增加，这样`（x）≥Pxk- c、它意味着`（X- m）≥PXk-Pmk- c%∞作为m→ -∞, 组件方面。因此，单调收敛产生E[`（X）- m） ]%∞ > 0，因此存在m∈ rde[`（X- m） ]>0，也就是说，m6∈ A（X）。对于（vi），如果`是正齐次的，对于任何λ>0，它都保持E[`（λX）- m） ]=λE[`（X）- m/λ）]。因此，m在A（λX）i中，且仅当m/λ在A（X）中，当且仅当m在λA（X）中。最后，如果`是置换不变量，则对于任何置换π，它保持E[`（π（X）- m） ]=E[`（π（X）- π-1（m））]=E[`（X）- π-1（m））]。

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2022-5-8 14:43:48

因此m是inA（π（X））当且仅当π-1（m）在A（X）中，当且仅当m在π（A（X））中表示（vii）。图1显示了具有可变相关系数的二元正态分布的可接受货币分配集。这些集合的位置和形状随相关性而变化：相关性越高，可接受的货币配置的成本就越高，正如系统性风险方面所预期的那样。如第3节和第4节所述，这一特征并不总是直接的，取决于损失函数的具体情况。图1：与第3.13节不同相关性的案例研究相对应的验收集A（X）。考虑到可接受的货币分配∈ A（X），其总流动性成本为isPmk。成本越低越好，这激发了以下定义。定义2.8。X的多元短缺风险∈ MθisR（X）：=infnXmk:M∈ A（X）o=infnXmk:E[`（X）- m） ]≤ 0o。（2.2）例2.9。继中央结算所示例2.6之后，任何可接受的分配∈A（X）为默认基金生成相应的值。清算所之间存在竞争，因此它们正在寻找要求其成员提供的最便宜、可接受的分配。备注2.10。当d=1时，上述定义正好对应于[31]中的短缺风险度量，本文是对该度量的多变量扩展。集值风险测度x7→ （2.1）中介绍的A（X）可以被视为[28]中所述的集值系统风险度量的一个例子，在其符号中，其翻译为followsA（X）=R（Y，k）=M∈ Rd:Yk+m∈ A.其中，聚合由Yk+m=λ（X）给出- K- m）对于∧（x）=`（x）和接受集isA:={x:E[x]≤ 0}.

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2022-5-8 14:43:51

他们的设置考虑了与k表示的资本分配相关的更一般的随机领域，例如金融网络的建模等。我们考虑的案例可以嵌入[28，案例（ii），第5页]。即使集值风险度量不是[10]的主要关注点，它也包含在接受系列的定义中，在它们的符号中，给出如下AM=AY={X:E[`（X- m） ]≤ 0}，Y∈ C=Rd和Y=Rd。由此产生的系统性风险度量也可以用聚合函数∧（x）=`（x），接受集A={x:E[x]的符号和命名进行转换≤ 0}和一个风险度量π（m）=Pmk，得到intoR（X）=inf{π（m）：λ（X）- m）∈ A} 。因此，我们考虑的案例可以嵌入到[10，第1.3节]中给出的类中。我们的下一个结果（使用附录B的概念和符号）表明，短缺风险度量的所有经典性质，包括其对偶表示，都可以推广到多变量情形。我们用byQθ表示*:=dQdP:=（Z，…，Zd）：Z∈ Lθ*, Z>0，使得E[1·Z]=EhXZki=1Lθ中的d维测度密度集*归一化为E[1·Z]=1。为了简单起见，我们使用符号EQ[X]：=E[dQ/dP·X]表示dQ/dP∈ Qθ*还有X∈ Mθ。定理2.11。函数（X）=infnXmk:m∈ A（X）o，X∈ Mθ是实值的、凸的、单调的和平移不变的。特别是，它是连续的和次可微的。如果`是正齐次的，那么R也是正齐次的。此外，它允许对偶表示R（X）=maxQ∈Qθ*{EQ[X]- α（Q）}，X∈ Mθ，（2.3），其中惩罚函数由α（Q）=infλ>0E给出λ`*dQλdP, Q∈ Qθ*. （2.4）备注2.12。这种稳健的表示也可以从[27]的一般结果中推断出来。

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2022-5-8 14:43:55

然而，为了完整性，并且由于多元短缺风险度量与优化确定性等价物的多维版本密切相关，我们根据我们的上下文给出了一个自包含的证明。在这个意义上，R（X+m）=R（X）+Pmk。该论证遵循了[31]的原始论证，但不能直接应用于产品空间Ohm ×{1，…，d}因为这里的优化是根据多维分配m进行的∈ RDM而非一维分配∈ R.此外，在推导对偶表示的过程中，我们将优化确定性等价物与[9，第5.2章]R（X）=infm中提供的短缺风险之间的以下关系扩展到多维设置∈R{m:E[`（L- m） ]≤ 0}=supλ>0infm∈R{m+λE[`（X- m） ]}，其中（λ，X）=infm∈R{m+λE[`（X- m） ]}=supQP等式[X]- Eλ`*dQλdP是X的优化确定性等价物。证据根据命题2.7（v），我们有一个（X）6= 反过来R（X）<∞. 如果R（X）=-∞ 为了someX∈ Mθ，则存在一个序列（mn） A（X）这样的PMNK→ -∞, 与…相矛盾≥ E[`（X）- mn）]≥ E[PXk]-Pmnk- c、因此，R（X）>-∞. 单调性、凸性和平移不变性分别来自命题2.7（ii）、（iii）和（iv）。特别地，Ris是Banach格Mθ上的凸实值增泛函。因此，根据[18，定理4.1]，R是连续的和次可微的。因此，附录B和芬切莫罗定理implyR（X）=supY中回顾的结果∈Lθ*{E[X·Y]- R*（Y）}=maxY∈Lθ*{E[X·Y]- R*（Y）}，（2.5）其中R*（Y）=sup{E[X·Y]- R（X）：X∈ Mθ}，Y∈ Lθ*. 根据双极定理，对于y6>0，存在K∈ Mθ，K>0，带E[Y·K]<-对于某些ε>0的情况，ε<0。通过R的单调性，它跟随R(-λK）≤ R（0）<∞ 每λ>0。

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2022-5-8 14:44:00

亨瑟*（Y）=supX∈Mθ{E[Y·X]- R（X）}≥ supλ>0{-λE[Y·K]- R(-λK）}≥ supλε- R（0）=∞,此外，通过平移不变性，为r设置X=（r，…，r）∈ R、接下来就是*（Y）≥ rE[1·Y]- R（0）- rd=r（E[1·Y]- d）- R（0），其中只要E[1·Y]6=d，右侧可以任意变大。这表明（2.5）中的上确界和最大值可以限制在这些Y的集合中∈ Lθ*使得Y>0且E[1·Y]=1，也就是说，可以识别为Qθ*. 为了得到罚函数α（Q）的一个更明确的表达式：=R*（dQ/dP）=R*（Y），我们设定l（m，λ，X）=Xmk+λE[`（X）- m） [S（λ，X）=infm∈RdL（m，λ，X）=infm∈RdnXmk+λE[`（X- m） [o.功能性X 7→ S（λ，X）是所谓的优化确定性等价物的多元版本，见[9]。显然，R（X）=infm∈Rdsupλ>0L（m，λ，X）≥ supλ>0infm∈RdL（m，λ，X）=supλ>0S（λ，X）。这里是一个一维损失函数，X是一个一维随机变量。由于A（X）是非空且单调的，因此存在m∈ Int（A（X）），因此Slater条件已满。根据[42，定理28.2]，不存在对偶间隙。也就是说，R（X）=supλ>0S（λ，X）。通过证明的第一部分，对[9，第4章]和[23，第2章]的产量（λ，X）=supQ进行了简单的多元调整∈Qθ*等式[X]- E(`λ)*dQdP,式中`λ（m）=λ`（m），因此`*λ（m）*) = λ`*（m）*/λ). 将其与R（X）=supλ>0S（λ，X）相结合，得到对偶表示（2.4）。例2.13。我们考虑了实证研究中的两个正齐次损失函数：`（x）=βXx+k- αXx-k（2.6）`（x）=βXx+k- αXx-k+βXk<j（Xk+xj）+- αXk<j（Xk+xj）-（2.7）对于0<α<1<β。一个简单的计算就会得出这个结论`*i=δ（·| Ci），其中c={x:α≤ xk≤ 所有k}C的β=x=X1≤J≤dx0jek+X1≤k<j≤dxkj（ek+ej）：α≤ xkj≤ β为0≤ k<j≤ D注意，[α，β]=C C [α，dβ]其中α和β与其相等分量的向量相同。

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2022-5-8 14:44:03

此外，dβ是C的一个极值点。因此，R≤ R.正均质性，α*ionly取值为0或∞. 因此α*i（Q）=0当且仅当存在λ>0使得dQ/dP∈ 毫无疑问。因为1必须在λcif中才能发生，所以我们可以限制1/β≤ λ ≤ 1/α，对于Cd1/（dβ）≤ λ ≤ 1/α对于C.ThusR（X）=sup等式[X]：dQkdP∈ λc对于某些1/β≤ λ ≤ 1/αR（X）=sup等式[X]：dQdP∈ λc对于某些1/（dβ）≤ λ ≤ 1/α3.风险分配我们在定理2.11中确定，所有分配的最小值为∈ 用于定义的RDR（X）是实值的，具有风险度量的预期属性。除了整体流动性储备的问题外，在不同风险组成部分之间分配该金额对于系统风险而言至关重要。因此，我们在本节中讨论以下问题：o是否存在风险分配；o风险分配的唯一性相互依赖结构的影响，第一个问题在某些应用中很重要，例如清算所每个成员的默认资金贡献或银行不同业务线之间的资本分配。至于第二个问题，当这种分配是不同成员或办公桌的监管成本时，非唯一性可能会成为一个问题。如果没有提供额外的明确规则，成员国将面临相同总体风险的任意性供款。至于最后一个问题，系统性风险应该反映系统的依赖程度。例如，高度相关的损失虽然具有相同的边际风险，但会导致更高的系统风险和不同的最优配置。定义3.1。风险分配是一种可接受的货币分配∈ A（X）使得R（X）=Pmk。当一个风险分配是唯一确定的时，我们用RA（X）表示它。备注3.2。

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2022-5-8 14:44:06

根据定义，如果存在风险分配，则完整分配属性自动保持；另见第4.3节。与单变量情况不同，在单变量情况下，唯一风险分配由m=R（X）给出，在多变量情况下，存在性和唯一性不再简单。下面的例子表明存在可能会失败。例3.3。考虑损失函数`（x，y）=x+y+（x+y）+/（1）- y）- 如果y<1，则为1，并且∞否则因此A（0）={m∈ R:m>-1和1≥ -M-m+(-M-m） +/（1+m）}。计算得到R（0）=infm>-1{m- （m+3m+1）/（m+2）}=-1.然而，该数字并未达到。我们的下一个结果引入了风险分配存在唯一性的条件。定义3.4。如果向量x分量的每个置换π都成立，我们称损失函数为置换不变量。请注意，示例3.3中使用的损失函数不是置换不变量。我们用Z={u表示∈Rd:Puk=0}零和分配的集合。定理3.5。如果`是一个置换不变的损失函数，那么，对于每个X∈ Mθ，风险分配M*存在它们的特点是一阶条件1∈ λ*E[` （十）- M*)] 和E[`（X- M*)] = 0，（3.1）式中λ*是拉格朗日乘数。特别地，当`没有衰退Except0的零和方向时，解的集合（m*, λ*) 一阶条件（3.1）是有界的。如果`（x+·）沿零和严格凸，则为每个x分配`（x）≥ 0，则风险分配是唯一的。证据设m在A（X）中，根据定理A.1，它保持+A（X）=U∈ Rd:E[`（X- M- （ru）]≤ 0，对于所有r>0=U∈ Rd:supr>0E`（十）- M- （ru）- `（0）r≤ 0=U∈ Rd:Esupr>0`（X- M- （ru）- `（0）r≤ 0= -关于衰退锥和函数的概念和性质，我们请读者参考附录A。

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2022-5-8 14:44:10

特别是，如果`除了0之外没有衰退的零和方向，那么`是一个无偏损失函数。此外，我们定义了f（m）=Pmk+δ（m | A（X））。由此可知，f是递增的，凸的，下半连续的，适当的，因此R（X）=inf≥Pxk-c和R（X）>-∞, 为了b∈ A（X）它能保持-∞ < R（X）≤Xbk+rXuk≤ γ < ∞ b+ru∈ A（X）表示0+f=Z∩ 0+A（X）=-Z∩ 0+`. 根据[42，定理27.1（b）]，风险分配的存在取决于f沿其衰退方向0+f为常数，根据定理a。1，相当于u∈ 0+f意味着(-u）∈ 0+f。然而，由于`是置换不变的，所以0+`=-0+`因此u∈ 0+f意味着-U∈ 0+f。因此存在风险分配。特别是，如果0+`=0，那么根据[42，定理27.1，（d）]，风险分配集是非空且有界的。此外，由于E[`（X- m） ]<0对于一些足够大的m，凸优化问题R（X）=infmf（m）的Slater条件已满。因此，根据[42，定理28.1,28.2和28.3]，最优解m*其特点是（3.1）。最后，让m6=n为两个风险分配。因此αm+（1- α） n也是每个α的风险分配∈ [0, 1]. 此外- n）是零和分配。通过凸性，0=E[`（X- αm- (1 - α） n）]≤ αE[`（X）- m） ]+（1- α） E[`（X）- n） ]=0每0≤ α ≤ 1，这表明α`（X- m） +（1）- α） `（X）- n） =`（X）- αm- (1 - α） n）P——几乎可以肯定的是，每0≤ α ≤ 1.由于`（x+·）对于每个x在Z上是严格凸的，所以`（x）≥ 0，它跟在p[`（X）后面- αm- (1 - α） n）<0]=1，每0≤ α ≤ 1，特别表明E[`（X- m）这是一个矛盾。推论3.6。设`是一个置换不变的损失函数，使得`（x+·）是严格凸的，并且每个x都有`（x）的零和分配≥ 0

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2022-5-8 14:44:14

对于每一个X，它保持sra（X+r）=RA（X）+r∈ Mθ和r∈ Rd.如果`另外是正齐次的，则它每X保持sra（λX）=λRA（X）∈ Mθ和λ>0证明。根据定理3.5，关于“确保风险分配的存在性和唯一性”的假设与拉格朗日乘数一起由一阶条件唯一表征。设m=RA（X+r），其中存在唯一的λ，使得λE[` （X+r）- m） ]=1和E[`（X+r）-m）因此，n=m- r和λ满足一阶条件λE[`（十）- n） ]=1和E[`（X- n） ]=c，唯一性表明n=RA（X）=m- r=RA（X+r）- r、至于第二个断言，根据命题2.7，对于每一个λ>0，它由A（λX）=λA（X）得出。备注3.7。一般来说，不需要风险分配的积极性。然而，如果积极性或任何其他凸约束被施加，例如由监管机构施加，它可以很容易地嵌入到我们的设置中。如果是阳性，这将修改R（X）intoR（X）=infxmk:E[`（X）的定义- m） ]≤ 0和mk≥ 每个ko为0，相应地修改了一阶条件。如前所述，以下示例说明了唯一性的重要性。请注意，此计算表明条件Z∩ 0+` = -Z∩ 0+`足以获得风险分配的存在。例3.8。（C1）类的任何损失函数，即，`（x）=h（Pxk），都是置换不变的。因此，风险分配*∈ A（X）通过定理3.5存在。然而，对于任何零和分配u，我们有R（X）=Pm*k+uk=Pm*k-E[h（PXk- （m）*k+uk）]=E[h（PXk- M*k） ]≤ c、所以我*+ u是另一种风险分配。就监管成本而言，这是一个有问题的情况。事实上，考虑两家银行，分别要求它们提供1.1亿欧元和5亿欧元作为资本配置。在这种情况下，第一家银行可能同样需要610ME，第二家银行什么也不需要。

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kedemingshi

2022-5-8 14:44:18

在那种情况下，这种武断是不可能被接受的。例3.8表明（C1）类损失函数缺乏风险分配的唯一性。相比之下，对于（C2）类损失函数，即，`（x）=Ph（xk），以下命题表明，虽然在非常温和的条件下存在唯一的风险分配，但风险分配仅取决于损失向量x=（x，…，Xd）的边际分布。换句话说，风险度量和风险分配并不反映系统的依赖结构。提案3.9。设`（x）：=Phk（xk）对于单变量损失函数hk:R→ (-∞, ∞] 严格凸R+，k=1，d、每X∈ Mθ，对于每个Y，存在唯一的最优风险分配RA（X）和wehave RA（X）=RA（Y）∈ Mθ使得yk与Xk具有相同的分布，k=1，d、证据。设x，y为αx+（1）- α） y 6∈ 研发部-每一个α∈ (0, 1). 因此，`（αx+（1-α） y）=Phk（αxk+（1）- α） yk）<Pαhk（xk）+（1- α） hk（yk）=α`（x）+（1）- α） `（y）。损失函数是无偏的。事实上，对于每一个零和分配u，假设在不损失一般性u>0的情况下，它的结果是`0+（u）≥ limr→∞h（ru）/r+Xk≥2hk（ruk）/r≥ limr→∞h（ru）/r+Xk≥2uk=∞因为他的严格凸和h（t）≥ t、因此，`除了0之外，没有衰退的零和方向。香港收益率的严格凸性，根据定理3.5，存在唯一的风险分配外汇∈ Mθ。一阶条件（3.1）写为1∈ λE[香港（Xk- k=1，d、 andXE[hk（Xk- mk）]=c，仅取决于X的边际分布。遵循Rüschendorf[44]，我们可以用超模、方向凸和上等随机序来描述正相关风险。对于函数f:Rd→ R wede finek、 yf（x）=f（x，…，xk+yk，…，xd）- f（x），x，y∈ Rd，k∈ {1, . . .

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2022-5-8 14:44:22

我们说一个连续函数f:Rd→ R是超模块化的，如果k、 yl、 yf（x）≥ 每1取0≤ k<l≤ d、 o方向凸的，如果k、 yl、 yf（x）≥ 每1取0≤ K≤ L≤ d、 o-单调，如果i、你。in，yf（x）≥ 每{i，…，in}0 {1，…，d}；对于rdy>0的每一个x和y。我们用<sm、<Dc和<Uo表示相应函数类给出的积分阶。我们参考[44]来讨论这些订单的依赖风险。注意X>uoY当且仅当P[X>X]≥ P[Y>x]每x∈ 第3.10号提案。短缺风险测度R对于<sm是单调的，<dcor<uo`是超模的，方向凸的，或-分别是单调的。证据这个断言直接源于这样一个事实：if`是超模、定向凸或-单调，“（·也一样-m）因此，如果X<xY，则E[`（X- m） ]≥E[`（Y- m） ]显示A（Y） A（X）。备注3.11。任何形式（C1）、（C2）和（C3）的损失函数都是方向凸的，因此是超模的。他们是-如果d=2，则为单调。至于本文中使用的特定损失函数，插图x（x+k）+αXk<jx+kx+jXx+k+αXk<j（xj+xj）+中的几个位置都是方向凸的，并且-单调。然而，如果α=0，它们在单调性方面退化，因为k、 yj、对于每k6=j，y`（x）=0。一旦α>0，这些损失函数在Rd+上严格单调。备注3.12。损失函数可以根据风险度量和分配方面的预期属性的先验列表来选择，正如上述命题所述。然而，损失函数也可能在系统性风险问题中作为系统的固有属性出现，如艾森伯格和诺伊[25]所述，或最近由Awiszus和韦伯[7]所述。例3.13。

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2022-5-8 14:44:25

下面的简单示例显示了在损失函数`（x，x）=1+α的简单情况下依赖性的影响e2x+e2x+αexex- 1.（3.2）也就是说-单调二元正态向量X=（X，X）~ N（0，∑）带∑=σρσσρσσσ.求解一阶条件yieldRAi（X）=σi+SRC（ρ，σ，σ，α）R（X）=σ+σ+SRC（ρ，σ，σ，α），表明风险分配被分解为各自的个体贡献σi，i=1，2和系统风险贡献rc=ln1+αeρσ-(σ+σ), （3.3）这取决于相关参数ρ和损失函数的系统权重α。图2显示了作为ρ和σ函数的系统风险贡献值。计算关于σi和ρ的部分导数SRCσ=α (ρσ- σ） eρσ-（σ+σ）1+αeρσ-(σ+σ),SRCρ=ασeρσ-（σ+σ）1+αeρσ-(σ+σ).表明系统性风险贡献如图2所示：在α=1的情况下，SRC（3.3）作为不同相关系数ρ值σ的函数相对于相关系数ρ增加如果相关性为负，则与σ相关的值降低如果相关性为正，则上升至ρσ，然后下降至σ，因为X的个体风险决定了系统的风险。4.短缺风险的系统敏感性及其分配之前的结果强调了使用损失函数的重要性，该函数能够充分捕捉系统固有的系统风险。这推动了对短缺风险及其分配敏感性的研究，以确定损失函数的系统特征。定义4.1。

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2022-5-8 14:44:28

Y的边际风险贡献∈ Mθ对X∈ Mθ定义为X风险对Y影响的敏感性，即isR（X；Y）：=lim supt&0R（X+tY）- R（X）t.在R（X+tY）允许每个t有一个唯一的风险分配RA（X+tY）的情况下，关于Y的影响，X的风险分配边际由byRAk（X；Y）=lim supt&0RAk（X+tY）给出- RAk（X）t，k=1，d、定理2.11及其证明表明，风险测度R（X）的确定归结为鞍点问题R（X）=minmmaxλ>0L（m，λ，X）=maxλ>0minmL（m，λ，X）。使用[42]，鞍点的“argminmax”集合（m*, λ*) 是一个乘积集，我们用B（X）×C（X）表示。定理4.2。假设`是置换不变的，那么r（X；Y）=minm∈B（X）maxλ∈C（X）λE[` （十）- m） ·Y]。进一步假设`是二次可微的，并且（m，λ）∈ B（X）×C（X）是这样的=λE`（十）- m）-1/λ1 0是非奇异的，那么存在t>0，使得B（X+tY）×C（X+tY）对于每0是一个单态≤ T≤ t、 o相应的唯一鞍点（mt，λt）=（RA（X+tY），λt）作为t的函数是可微的，我们有RA（X；Y）λ（X；Y）= M-1V，其中λ（X；Y）=lim supt&0（λt- λ） /t和v=λE`（十）- m） YR（X；Y）.证据设L（m，λ，t）=Pmk+λE[`（X+tY）- m） ]。定理2.11 yieldsR（X+tY）=minmmaxλL（m，λ，t）=maxλminmL（m，λ，t）=L（mt，λt，t），对于每个选择（mt，λt）∈ B（X+tY）×C（t+tY）。关于该定理的第一个断言，由于`没有除0以外的零和衰退方向，因此从定理3.5可以看出B（X）×C（X）是非空且有界的。因此，Golshtein关于鞍形值扰动定理的假设（见Rockafellar和Wets[43，定理11.52]）得到满足，第一个断言如下。至于第二个断言，Fiacco和McCormick的假设[29，定理6，pp。

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2022-5-8 14:44:33

34–45]已满。向量的雅可比矩阵mL（m，λ，0）λE[`（X）- m） ]用于指定一阶条件的参数由矩阵M给出。因此，第二个断言来自[29，定理6，第34-35页]。定理4.2允许明确推导出独立外生冲击的影响，如下命题所述。提案4.3。在定理4.2确保鞍点唯一性的假设下，假设Y独立于X。nRc（X；Y）=XE[Yk]和RA（X；Y）=E[Y]。证据由于Y独立于X，用m=RA（X；Y）表示，因此根据一阶条件rc（X；Y）=λE[`（十）- m） ·Y]=λE[`（十）- m）此外，我们还有=λA-公元前0年和V=λE`（十）- m） YR（X；Y）=λAE[Y]CE[Y]式中A=E[`（十）-m） [B]=1/λ · · · 1/λ|, C=1.1.. 利用块矩阵求逆的经典公式，我们得到了ra（X；Y）=A.-1λ-A.-1BCA-1λCA-1BA-1BCA-1BλAE[Y]CE[Y]= E[Y]-A.-1BCE[Y]CA-1B+A-1BCE[Y]CA-1B=E[Y]。根据第4.3节中关于因果责任的讨论，可以得出这样的结论：如果该系统独立，每个成员都会为所承担的额外风险支付少量费用。特别是，如果风险系数k受到独立于系统的冲击Yk的影响，则它遵循R（X；Y）=E[Yk]=RAk（X；Y），表明成员k为其承担的全部风险支付了费用。4.1. 外生冲击的影响下一节说明了外生冲击可能依赖于X的情况。我们考虑了一种双变量情况，其中X=（X，X），外生因子Y=（Y，0）仅影响第一组分。我们考虑损失函数`（x，x）=（x++）（x+）+αx+x+- 1, 0 ≤ α ≤ 1，它根据定理3.5给出了唯一的风险分配。请注意“是”-单调，如果α>0，则严格在R+上。

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2022-5-8 14:44:37

为了便于注释，我们假设X~ 十、因为`是置换不变的，这意味着m=RA（X）=RA（X）。设p=：p[X≥ m] =P[X≥ m] r=P[X≥M十、≥ m] 。根据定理4.2和一阶条件（3.1），我们有r（X；Y）=E[Y（X- m） +]+αpE[Y（X）- m） +|X≥ m] E[（X）- m） +]+αpE[（X- m） +|X≥ m] 至于这个边际风险贡献的分配，在定理4.2的符号中，我们有：m=λpλαr-1/λαrλp-1/λ1 1 0和V=λpE[Y | X≥ m] λαrE[Y | X≥ M十、≥ m] R（X；Y）,通过反转M yieldsRA（X；Y）=R（X；Y）+EY{X≥m}- αEY{X≥M十、≥m}P- αrRA（X；Y）=R（X；Y）-EY{X≥m}- αEY{X≥M十、≥m}P- αR根据命题4.3，如果Y独立于X，则R（X；Y）=RA（X；Y）和RA（X；Y）=0，通常观察到：o两个风险组成部分在R（X；Y）/2之间的外部影响的额外成本上大致相等关于第二项的修正反映了仅与轴有关的冲击的不对称性，第二项加在第一项上，减去第二项。此外，1{X≥m}≥α1{X≥M十、≥m} 每0≤ α ≤ 1.这意味着第一个风险因素承担的额外风险始终与Y成正比例，而第二个风险因素与Y成负比例。o如果α=0，则边际变化会根据±（E[Y]影响风险因素- E[Y | X≥ m] ）/2.o如果α=1且X和X是强反相关的，那么1{X≥M十、≥m} 可能非常小，因此影响与α=0的情况类似。另一方面，如果X和X有很强的相关性，那么1{X≥m}≈ 1{X≥M十、≥m} 在这种情况下，RA（X；Y）≈ RA（X；Y）≈ R（X；Y）/2表明α=1的完全依赖性产生了同等份额的边际风险变化。4.2.

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2022-5-8 14:44:40

依赖敏感性在前面的章节中，损失函数依赖于影响风险因素之间依赖程度的风险分配的α，我们应用定理4.2的技术来研究关于α的敏感性。为此，我们考虑以下形式的损失函数`（x）=Xg（xk）+αh（x），其中g是一维损失函数，h是多维函数，因此`是所有α的损失函数≥ 0接近0。例如，类（C3）的损失函数。我们还假设gis是两次可微的。使用与定理4.2证明中相同的策略，我们可以提供边际风险贡献和分配，作为α在0附近的函数，强调损失函数的依赖部分。计算结果αR（X）=λE[h（X）- m） ]和αR（X）λ= M-1.λE[h（X）- m） ]αR（X）其中M由M给出=λA-公元前0年A=diag（g（Xk- 以及第4.3条中的B和C。在`（x）=Xk=1（x+k）+αX1的情况下≤k<j≤3x+kx+j- 1和X=（X，X，X）和X~ 十、~ 十、（X，X）~ （X，X）和xin依赖于（X，X），每k=1，2，3，m=RAk（X）。定义Z=（X）-m）+~ （十）-m）+~ （十）-m） +，计算结果αR（X）=E[Z]2+E[（X）- m） +（X）- m） +]E[Z].因此，随着X和X之间的相关性增加，边际风险增加。

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2022-5-8 14:44:43

至于对风险分配的影响，由于E[（X- m） +|X≥ m] =E[（X）- m） +|X≥ m] 这很简单αRA1或2（X）=E[Z]1+E[（X）- m） +|X≥ m] E[Z]+E[（X- m） +（X）- m） +]E[Z]αRA（X）=E[Z]4.- 2E[（X）- m） +|X≥ m] E[Z]+E[（X- m） +（X）- m） +]E[Z]由于系统的不对称依赖性：o一方面，如果X和X高度反相关，那么αRA1或2（X）≈E[Z]和αRA（X）≈ 4E[Z]与其他人相比，系统性风险因素有利于反相关的人另一方面，如果X和X高度相关，那么对于p=p[X≥ m] ，则，αRA1或2（X）≈E[Z]p+1p+E[Z]E[Z]虽然αRA（X）≈E[Z]P- 1p+E[Z]E[Z]自从p≤ 1、系统性风险因素会惩罚那些高度相关的人，并降低独立于前一个案例的人的成本。图3说明了在3变量正态分布X的情况下，不同相关值的情况~ N0,1 ρ 0ρ 1 00 0 1图3：不同相关性下风险分配和总风险的系统因素边际变化ρ4.3。无风险分配、因果责任和可加性我们根据[14]中介绍的风险分配的以下经济特征，通过对其性质的讨论，总结本节关于风险分配及其敏感性的内容。（FA）完全分配：PRAk（X）=R（X）；（RA）无风险分配：RAk（X）=Xkif Xkis；（CR）因果责任：R（X+Xk）- R（X）=RAk（X+Xk）- RAk（X），在哪里Xkis第k个风险组成部分的所有增量；如前所述，根据设计，短缺风险分配始终满足完全分配属性（FA）。从上述案例研究中可以看出，无风险分配（RA）和因果责任（CR）总体上并不令人满意。事实上，从系统风险的角度来看，我们认为（RA）和（CR）是不可取的属性。

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