如果养老基金根据指数进行互换，她可能会购买x岁的π指数基金年金，净现值为πa（Z（T），T，x），T。目前，我们忽略了固定溢价。然后，整体对冲投资组合是（Z（T），T，x）πa（Z（T），T，x）- a（Z（T），T，x）。有几种风险度量可用于确定对冲效果。一些例子包括方差或尾部风险度量，如风险价值（VaR）或预期短缺（TVaR）。这一方向的最新研究包括Coughlan等人[15]，他们使用自举和外推方法分析套期有效性，以及Cairns等人[13]，我们将遵循他们的设置。毫不奇怪，人口死亡率的相关结构是复杂的。凯恩斯等人[12,13]最近做出了一项不可忽视的贡献，他们考虑了指数池k=1和被保险子池k=2之间的对冲问题。具体而言，这两个群体是英格兰和威尔士（E&W）普通人口，代表指数死亡率（池1），以及持续死亡率调查（CMI）人口，这两个群体是从英国投保人群收集的死亡率，服务于领取养老金的人群（池2）。为了模拟两个池之间的依赖关系，凯恩斯等人[12]提出了一个基于李-卡特框架的协整双种群贝叶斯模型。也就是说，死亡率mk（t，x）的表现类似于（11），logMk（t，x）=β（1）k（x）+n-1aκ（2）k（t）+γ（3）k（t）- x） ，k=1，2，周期效应κ（1）的随机动力学由κ（2）（t）=κ（2）（t）给出- 1) + u+ σ（t） ,，（t） 身份证~ N（0，1）。（34）反过来，较大人群的死亡率影响较小（投保）人群的周期效应，κ（2）与κ（1）协同整合的动力学。

也就是说，他们的差异S（t）κ（2）（t）-κ（2）（t）形成AR（1）过程S（t）=u+φ（S（t- 1) - u) + σ（t）- 1） +c（t）- 1), （t） iid~ N（0，1），（35）与（·）独立于（·），c=σ-ρσ表示协方差，其中ρ=Corr（κ（2）（t），κ（2）（t））。在这两种模型中，队列效应均影响γ（3）kare独立的AR（2）过程。这里，φ是平均回复率。因为（35）模拟了差异κ（2）（t）- κ（2）（t），φ反映了S（t）返回常数u的速度，这被认为是两个种群之间的恒定差异。5.1. 分析近似凯恩斯等人[13]利用E[κ（2）（T+T）|κ（2）（T）]=κ（2）（T）+uT这一事实引入主题死亡率近似^mA1（T+T，x+T）=expβ（1）（x+t）+na（κ（2）（t）+ut）+naγ（3）（t- 十）. （36）由于S（t）是均值回复，也建议使用^mA1（t+t，x+t）=expβ（1）（x+t）+na（κ（2）（t）+ut）+naγ（3）（t- 十）, （37）即与一般人群相同的漂移，但不同的初始值。我们引入了一个基于以下引理的不同的、更精确的近似值。引理2。我们有ehκ（2）（T+T）| Z（T）i=κ（2）（T）+uT- u(1 - φt）- φt（κ（2）（t）- κ（2）（T））。（38）证据可在附录B中找到。表示E[κ（2）（T+T）| Z（T）]ξ（t，t）。引理2建议m（T+s，x）的另一种分析估计为^mA2（T+s，x+s）。=经验β（1）（x+s）+ξ（t，t）+naγ（t- 十）. （39）表示a（Z（T））和a（Z（T））分别为（9）中定义的E&W和CMI人群的终身年金在T（以Z（T）为条件）时的净现值。在下文中，分析1指的是使用（36）和（37）来估计每个群体的生存概率（10）（因此a和a），而分析2指的是使用（36）和（39）。在两种分析方法下，递延年金价值的表示法为^aA1k（z）和^aA2k（z），k=1，2.5.2。

模型拟合参数β（1）（x）、β（1）（x）和过去轨迹κ（2）k（t）、γ（3）k（t- x） 对于k=1，分别从男性E&W和CMI人群中估计2，从1961年到2005年（2005年被视为t=0）的时间和年龄段，以及从50到89的x。过程（κ（2）（t））和（S（t））分别为带漂移的随机游动和AR（1），引入了u、σ、u、φ、σ和c的额外参数估计。我们发现u=-0.5504，u=0.6105，σ=1.278，σ=0.568，φ=0.9407，c=0.262，因此CMI人群的死亡率往往较高，协整约为94%。使用[13]中的PPC方法，我们将年龄影响参数视为固定参数，并在每个模拟的t周期重新定义ARIM A模型。也就是说，在fork=1、2和u、σ、u、φ、σ和c中的每一个都被重新估计。原则上，这使重新估计的参数成为状态变量Z（T）的一部分。一些初步运行表明，方差参数σ、σ和c对年金值几乎没有显著影响，而u、u和φ则没有。由于u与κ（2）（T）一一对应，我们的时间T状态过程最终被描述为asZ（T）={κ（2）（T），κ（2）（T），u，φ}。从启发的角度来看，这是一个合理的选择：Z（T）的每个元素都对时间概率或其趋势有直接影响，而方差项只是增加了可变性。几种随机死亡率模型的R代码可用于模型拟合。我们使用该代码拟合两个人口模型参数，得出年龄、周期、寿命指标的推断过去轨迹用于随机死亡率建模的开源R代码；看见http://www.macs.hw.ac.uk/~andrewc/lifemetrics/了解详细信息和队列效应。

在另一个步骤中，估计的周期和队列效应被建模为个体ARIM a模型。在本节剩余部分中，我们假设年金受益人的起始年龄为x=65岁，固定利率为r=0.04，T=10年递延期。一般来说，套期保值比率π的选择是系统性的，例如通过最小化方差。在本文中，我们假设π=1的中性值，以避免一种估计类型优于另一种。因此，对冲投资组合的价值是（Z（T））=a（Z（T））- a（Z（T））。如第3.3节所述，确定训练集设计取决于问题athand。在4维Z（T）的具体例子中，我们的目标是给出对冲组合预期的准确结果（T），所以我们使用了经验设计，如第3节所建议的。3.这还具有捕获κ（1）和κ（2）之间的相关性的优势，这在这个共整合模型中很重要。为了比较预算规模的影响，我们选择了两种不同的预算，Ntr=1000和Ntr=8000。按照第3.3节的框架，Ntr被分配到Ntr，1=N2/3tr，Ntr，2=N1/3tr，这样我们就有了Ntr，1=100（分别为Ntr，1=400）个训练点，每个设计点的蒙特卡罗模拟包含Ntr，2=10（分别为Ntr，2=20）批处理模拟。与第4节相比，选择了不同的替代模型；这一次，围绕多维状态过程，建议使用第3.1节中的TPS模型。我们放弃了OK模型，但保留了一阶线性UK模型的使用，还实现了一个简单的克里格（SK）模型，其中u（z）=^aA2（z）-^aA2（z）。这结合了分析方法和英国方法的优点，为我们提供了一个已经准确的趋势估计，同时对残差进行了非参数建模。由于这些原因，UKSK和分析模型都应该表现出色。

我们利用了替代模型的另一个优势，并将其直接用于对冲投资组合价值（Z（T））而不是单独建模年金价值ak（Z（T）），然后采用两种近似值的差异。蒙特卡罗基准得出的平均投资组合价值为0.1995，标准差为0.1067。这表明，在这种人口模型下，一对一购买指数年金并不是最佳的对冲单位。在实际应用中，我们将进一步分析以确定π的不同选择；例如，凯恩斯等人[13]选择π来最小化门叶宽度。5.3. 结果Ntr=1000 Ntr=8000类型偏差√IMSE偏倚√来自（37）的IMSEanalysis A1-2.101e-02 3.460e-02-2.101e-02 3.460e-02分析A2来自（39）4.480e-03 5.321e-03 4.480e-03 5.321e-03薄板样条2.577e-03 1.304e-02 5.803e-04 5.095e-03通用克里格法4.363e-04 1.856e-02 1.857e-03 1.289e-02简单克里格法-1.334e-03 3.280e-03 9.390e-03表3.04E-03对冲组合中的替代模型和性能估计两种群模型案例研究。报告的数字基于Nout=1000模拟Z（T）和蒙特卡罗基准。Ntr分配到Ntr，1=N2/3TR训练点和Ntr，2=N1/3TR每个训练点的Carlo批次。Simplekriging模型使用A2估计量作为趋势。图3：分析A2和简单克里格方法的Ntr=8000的对冲组合价值偏差箱线图。为了构建箱线图，我们计算了1000个模拟的Z（T）值中的每一个，即相应估计值与蒙特卡罗基准之间的差异。我们选择Nout=1000模拟Z（T）并预测对冲投资组合价值（Z（T））使用替代模型，以及通过确定性估计。表2显示了结果。根据预期，解析A2估计优于解析A1估计，因为它直接适用于两个总体模型。

与A1相比，我们改进的估计器将偏差减少了近80%。至于替代品，当Ntr=1000时，TPS和UK模型的性能仅略低于分析估计值A2，而SK模型的性能要好得多。对于Ntr=8000，TPS和SK都优于A2。图3总结了给定Z（T）的A2和SK估计量偏差的经验分布。我们可以看到，这两种方法具有相似的可变性，而SK的偏差较低。UK和TPS估计值具有相似的分布，其偏差略大于SK。关于这些结果，有几点意见需要提出。首先，没有办法先验地告诉我们，确定性估计会表现得很好。例如，每个代理模型都完全超过A1级，而TPS和UK的表现仅略好于A2级。也许，甚至更好（或更糟）的分析估计量可以推导出来。此外，确定性估计是针对年金价值本身，而不是投资组合差异（T）。以较低的价格出售（T）可能只是每个年金ak（Z（T））的偏差在减法过程中减少的结果。6.案例研究：在CBD框架下预测年金价值6。1.模型拟合我们的第三个案例研究使用了另一类流行的死亡率模型，即CBD[9]模型，该模型直接计算生存概率P。也就是说，我们建立了单周期生存概率yp（Z（T）；T、 1，x）=1+expκ（1）（T）+（x）- xAve）κ（2）（T）, （40）其中xAve=n-1aPixi和κ（1）、κ（2）遵循ARIMA模型，根据凯恩斯等人[10]的研究，ARIMA模型为周期效应提供了良好的证据。多周期生存概率的乘积为（40）。考虑到全系列的ARIMA（p，d，q）模型，其中p，q=0，1，2，3，4和d=0，1，2，使用auto。arima在R中来自“forecast”[23]。

该人群的最佳配置是κ（1）跟随ARIMA（0,1,3）进行漂移，κ（2）跟随ARIMA（1,1,2）：κ（1）（t）=κ（1）（t）- 1) + u + （1） （t）+Xq=1θ（q，1）（1） （t）- q） ，（41）κ（2）（t）=（1+φ）κ（2）（t）- 1) - φκ（2）（t）- 2) + （2） （t）+Xq=1θ（q，2）（2） （t）- q） 。（42）估计的ARIMA参数为u=-0.0195, φ = 0.9206, θ(1,1)= -0.5516, θ(2,1)=0.1736, θ(3,1)= 0.5169, θ(2,1)= -1.4664, θ(2,2)= 0.6167. θ（q，k），k=1，2描述了粘贴错误如何回响到κ（k）的未来值中。例如，θ（2,1）的大负值意味着在κ（1）（s）中产生的噪声将被放大、变为负值，并添加到未来的κ（1）（s+2）中。上述方程意味着状态有三个分量，Z（T）={κ（1）（T），κ（2）（T），κ（2）（T）-1)}.与之前的案例研究一样，我们对生存概率进行了确定性估计。用ξ（k）（t，s）表示k=1,2时的E[κ（k）（t）| Z（s）]。ξ（k）的表达式如下所示。引理3。t>sξ（1）（t，s）=κ（1）（s）+u（t- s） )；（43）ξ（2）（t，s）=φt+1-sκ（2）（s）- κ（2）（s）- 1)φ - 1!+φκ（2）（s）- 1) - κ（2）（s）φ- 1.（44）证据见附录B.3。基于引理3，将κ（k）（s）的期望值代入（40），我们得到了u年生存概率的确定性估计，即乘积^Pdet（Z（s），t，u，x）=u-1Yj=01+expξ（1）（t+j，s）+（x+j）- xAve）ξ（2）（t+j，s）.通过等式（9），这将得到T的估计值-年度递延年金Z（T）：^adet（Z（T）；T、 x）=x-xXs=1e-rs^P（Z（T），T，s，x），（45），其中截面积为^x=89。我们继续在上述模型中评估终身年金。与前两个案例研究不同，我们将延迟期延长至20年。再经过十年的进化，死亡状态Z（T）就充满了巨大的不确定性。

我们在本案例研究中使用了实证培训设计D，原因有二：；一个是，任何有组织的网格都存在相关结构问题。从（42）中，我们看到κ（2）（20）和κ（2）（19）应该是强相关的，而κ（2）（19）和κ（2）（20）都独立于κ（1）（20）。其次，长期的延迟期导致Z（20）的分布发生显著变化，我们希望能够准确捕捉到经验网格将提供的Z（20）的密度。第3.3节和第3.4节讨论的算法用于生成设计和替代模型。在第4节中，我们选择了普通克里格模型和一阶线性通用克里格模型，以及第5.6.2节中使用的薄板样条模型。结果Ntr=1000 Ntr=8000类型偏差√IMSE偏倚√IMSEanalysis-4.560e-01 5.257e-01-4.560e-01 5.257e-01花键-2.358e-02 6.719e-02 4.195e-03 5.436e-02Ord。克里格法3.669e-03 9.785e-02 9.734e-03 7.743e-02大学。克里格法-1.785e-03 5.844e-02 5.635e-03 4.355e-02表3:CBD框架下20年递延年金价值的分析估计和替代模型的性能。报告的数字基于零=1000张Z（20）图。Ntr=3个训练点，Ntr=2个训练点，Ntr=1个训练点。解析估计指的是（45）和样条到薄板样条（TPS）模型。通用克里格模型使用线性基函数。与第4.1节和第5.3节的结果相比，表3显示，在这种波动性模型和较长的延迟期下，分析估计量（45）崩溃了。另一方面，即使Ntr=1000，两种克里金模型也能产生合理的结果。

我们还可以观察到，由于模型方差增加，增加训练集大小的效果减弱。这些结果反映了前几节中的评论：分析估计是关于什么可以提供准确结果的参数猜测，而这种猜测并不总是正确的。我们在本案例研究中的分析选择与其他案例研究中的分析估计是沿着相同的路线得出的，但表现要差得多。相比之下，统计学习框架即使在具有三维状态过程和长延迟期的波动模型中也能提供可靠的估计。7.结论上述三个案例研究展示了替代模型在各种寿命风险动态中的灵活性和令人钦佩的性能。与统计模拟器的一致精度相比，确定性预测的质量差异很大。因为产生确定性估计器需要一个解析推导，所以有几种似是而非的估计器可用。在第5节中，我们得出了两个不同的估计值，它们都是可行的，但有一个表现不佳。同样，在第6节中，导出的确定性投影也是精确的。总的来说，这些例子表明，我们的模型可以优于确定性预测，并提供最小偏差估计。相对于分析估计，第5节中的案例研究要求训练集的大小足够大，而第4-6节中的小规模设计需要不到10个精确的模型。就单个模型的性能而言，第5节中的SK模型产生了最好的结果，这是不足为奇的。分析估计已经充分发挥作用，SK模型将其用作其趋势分量，以进一步提高精度。

缺点是需要一个性能良好的确定性估计。在整篇论文中，我们暗示了进一步工作的可能性。直接的扩展包括使用其他死亡率模型，或模拟其他保险产品，例如可变人寿年金。我们还可以构建更多的动态替代物，将初始年龄x（在我们的案例研究中确定为x=65）或延迟期T视为状态Z的一部分，为（Z（0），T，x）7提供联合预测→ E[a（Z（T），T，x）]。同样，我们可以考虑更多的参数不确定性，这将导致在状态Z中包含额外的组件。我们为a（Z（T），T，x）获得的模拟器为年金风险管理提供了一个高性能工具。事实上，它们是基于先进的、之前经过审查的随机死亡率模型，并根据真实、可靠的大规模死亡率数据集进行校准。因此，对年率值的精确估计实质上是结合了最先进的长期建模、数据校准和统计模型的最佳可用预测。因此，（在将年龄和利率纳入模型参数后），他们将对在longevityspace工作的精算师产生独立的兴趣，并寻求易于使用的工具来预测人寿年金的净现值。模拟器提供即插即用功能，将输入的参数（如年龄x、延迟周期T和贴现率r）转换为年金值（注意，初始状态Z（0）从校准程序中读取）。你可以想象，为市场上不同的重要相关产品构建一个这样的模拟器库。从更广泛的角度来看，我们提出的仿真方法非常通用，可以应用于各种精算环境。特别是，在未来的工作中，我们计划将其扩展到基于显微镜的死亡率模型Barrieu等人。

[2] 这是人口寿命的典型“复杂系统”代表。我们相信，模拟器可以通过在随机动态人口框架内提供人口互动的易于处理的统计表示，显著简化这类模型中的预测。另一类保险应用程序需要功能性回归工具，模拟器可以再次非常有效[20]。一个不同之处是模拟与F（T，Z（·））相关的风险度量，如VaR或TVaR，这需要关注输入空间特定区域的目标替代物。一个出发点是结合重要性抽样的概念，生成一个目标设计D，例如优先集中在F的左尾。参考文献[1]Bacinello，A.，Bi ffis，E.，Millossovich，P.，2010年。基于回归的算法，适用于有保险人担保的人寿保险合同。定量金融10（9），1077-1090。[2] 2012年，纽约州萨尔希市，南卡罗赛尔州，拉瓦内利市，希勒莱特市，北卡罗来纳州本苏姗市，北卡罗来纳州，巴里尤，P。理解、建模和管理长寿风险：关键问题和主要挑战。斯堪的纳维亚精算杂志2012（3），203–231。[3] Bauer，D.，Benth，F.E.，基塞尔，R.，2012年。模拟死亡率的前向面。暹罗金融数学杂志3（1），639-666。[4] Bauer，D.，Reuss，A.，Singer，D.，2012年。基于嵌套模拟的偿付能力资本要求计算。ASTIN公告42（02），453-499。[5] 布思，H.，缅因州唐纳德，J.，史密斯，L.，2002年。在可变死亡率下降的情况下应用Lee-Carter。人口研究56（3），325–336。[6] 博耶，M.M.，斯滕托夫，L.，2013年。如果我们能模拟它，我们就能确保它：一个长寿风险管理的应用程序。保险：数学与经济学52（1），35-45。[7] 布罗迪，M.，杜，Y.，莫阿莱米，C.C.，2011年。

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[10] 世卫组织利用CMI数据对几种死亡率模型进行了全面比较。APC-Lee-Carter模型（由Renshaw和Haberman[34]引入）将对数死亡率建模为对数m（t，x）=β（1）（x）+β（2）（x）κ（2）（t）+β（3）（x）γ（3）（t）- x） 。（M2）人们可以将β（1）（x）、κ（2）（t）和γ（3）分别解释为年龄、周期和队列效应。Lee和Carter[28]提出的原始模型是γ（3）=0的特例。年龄效应β（k）（x），k=1，2，3是根据历史数据估计的（非参数），而周期和队列效应则被视为随机过程。在[28]中的原始提议中，周期效应κ（2）被假定为遵循随机游动（即离散时间的单位根AR（1）），κ（2）（t）=κ（2）（t）- 1) + u(2)+ σ(2)（2） 式中，u（2）是漂移，σ（2）是波动率，以及(2)~ N（0，1）i.i.d.是噪声项。或者，凯恩斯等人[10]提到，ARIM A模型可能提供更好的拟合，特别是基于2007年CMI数据集的κ（2）的拟合anARIM A（1,1,0）过程。对于队列效应，Renshaw和Haberman[34]建议对γ（3）（t）使用ARIM A模型-x） )；凯恩斯等人[10]建议使用ARIM A（0,2,1）或ARIMA（1,1,0）。Renshawand Haberman[34]和Cairns等人[10]都认为γ（3）独立于κ（2）。该模型存在可识别性问题，一组约束可能是xtκ（2）（t）=0，Xxβ（2）（x）=0，Xx，tγ（3）（t）- x） =0，和xxβ（3）（x）=1。凯恩斯、布莱克和多德[9]（CBD）从不同的角度提出了q（t，x）=1的模型- P（Z（0）；t、 1，x），即x岁的人在t年的死亡概率。也就是说，他们使用logit q（t，x）=β（1）（x）κ（1）（t）+β（2）（x）κ（2）（t），（M5），其中logit（y）=logy1-Y.如果我们让nabe计算数据集中可用于拟合的年龄数，并取xAve=n-1aPixi，CBD模型（M5）的常用参数化为β（1）（x）=1，β（2）（x）=x- 哈维。

（A.1）在这些假设下，不存在可识别性问题。附录B.分析估算的证明附录B.1。引理1的证明。由于噪声项ξ（k）（u）对于u6=s独立于κ（s），对Z（s）={κ（1）（s），ξ（2）（s）}进行条件期望，并根据增量κ（u）进行写入- κ（u）- 1） 产量[κ（t）- κ（s）|Z（s）]=tXu=s+1E[κ（u）- κ（u）- 1） |Z（s）]=tXu=s+1Ehξ（1）（u）+ξ（2）（u）- ξ（2）（u）- 1） |Z（s）i.（B.1）根据我们对u6=s+1Ehξ（1）（u）的独立性假设|Z（s）i=u（1）（B.2）Ehξ（2）（u）- ξ（2）（u）- 1） | Z（s）i=u（2）p- u（2）p=0。（B.3）对于u=s+1，Ehξ（2）（s+1）- ξ（2）（s）| Z（s）i=u（2）p- ξ（2）（s）。（B.4）结合（B.1）-（B.4），我们得到[κ（t）| Z（s）]=κ（s）+（t- s） u（1）+u（2）p- ξ（2）（s）。（B.5）附录B.2。引理2的证明。由于κ具有趋势u，E[κ（t）-κ（t-1） ]=u，并且使用条件独立性，我们得到，E[κ（T+T）| Z（T）]=κ（T）+uT.（B.6）对于协整项S（T），期望值满足[S（T+T）| Z（T）]=u+φ（E[S（T+T）]- 1） | S（T）]- u) . （B.7）以上给出了t7的递推方程→ E[S（T+T）| Z（T）]，初始条件E[S（T+0）|Z（T）]=S（T），可解为yieldE[S（T+T）|Z（T）]=u（1- φt）+φtS（t）。（B.8）最后，使用κ（t）=κ（t）- S（t）和（B.6）与（B.8）的结合导致toE[κ（t+t）| Z（t）]=κ（t）+ut-u(1 - φt）+φt[κ（t）- κ（T）].如你所愿。附录B.3。ξ（1）（t，s）引理3的证明，κ（1）与带漂移的随机游动没有区别，因此我们有[κ（1）（t）|κ（1）（s）]=κ（1）（s）+u（t- s） ，s≤ t、 接下来，我们对（42）的两侧进行期望，以获得递归关系E[κ（2）（t）|Z（s）]=（1+φ）E[κ（2）（t）- 1） | Z（s）]- φE[κ（2）（t）- 2） |Z（s）]（B.9），其中Z（s）={κ（1）（s），κ（2）（s），κ（2）（s）-1)}. 方程（B.9）是t中的一个递归关系，其一般解[κ（2）（t）|Z（s）]=cφt+c，（B.10），其中常数c有待确定。

插入初始条件cφs+c=E[κ（2）（s）|Z（s）]=κ（2）（s）和（B.11）cφs+1+c=E[κ（2）（s+1）| Z（s）]=（1+φ）E[κ（2）（s）- φκ（2）（s）- 1） |Z（s）]=（1+φ）κ（2）（s）- φκ（2）（s）- 1). （B.12）并求解c，cwe得到c=φ1-sκ（2）（s）- κ（2）（s）- 1)φ - 1，c=φκ（2）（s）- 1) - κ（2）（s）φ- 最后，结合（B.13）和（B.10），我们得出（44）。