用于定价和对冲长寿风险产品的统计模拟器

2022-5-8 21:24:35

用于定价和对冲长寿风险产品的统计仿真器。Risk and M.Ludkovski摘要我们建议使用统计模拟器来评估随机死亡率模型中与死亡率相关的契约。这种模型通常需要对多维随机过程的非线性泛函的期望值进行（嵌套）评估。除了最简单的情况外，没有封闭形式的表达式可用，因此需要数值近似。我们提倡使用机器学习的现代统计工具，为真实映射生成灵活、非参数的替代项，而不是构建特殊的分析近似。这种方法可以保证近似精度方面的性能，并且不需要嵌套模拟。我们用案例研究来说明我们的方法，案例研究涉及（i）具有死亡率冲击的LeeCarter模型，（ii）具有寿命基准风险的基于指数的静态对冲；（iii）凯恩斯-布莱克-多德随机生存概率模型。关键词：统计模拟、长寿风险、终身年金、死亡率评估1。在过去的二十年里，长寿风险已经成为一个重要的研究课题。自从Lee和Carter[28]的开创性工作以来，人们对建立运动的随机模型特别感兴趣。随机死亡率允许生成一系列未来寿命预测，并允许建模者精确定位随机性的来源，以便更好地量化各自的风险。寿命建模需要将校准的统计问题（即对过去死亡率数据的调整）与定价和对冲未来寿命风险的财务问题结合起来。后一个问题的核心是计算底层随机过程的某些泛函的期望值。

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2022-5-8 21:24:40

例如，当前年龄x的个体t年生存概率可以表示为函数Lp（t，x）=E经验-Ztu（s，x+s）ds, （1）式中，u（s，x+s）是年龄为x+s的个体在s日的死亡率。在随机死亡率范式中，u（s，x+s）在s>0时是随机的，因此人们必须面对评估（1）右侧相应预期的需求。在过去的十年中，在（1）的两个组成部分中，都出现了一种强大的复杂性趋势。一方面，出于向现有死亡率提供可靠数据（和预测）的愿望，作者来自加州大学圣巴巴拉卡分校统计与应用概率系，邮编93106-3110；提交给爱思唯尔2018年6月25日的预印本数据表明，u（t，x）的死亡率模型越来越复杂。最新一代模型的特点是多维非线性随机状态过程驱动u（·x），seee。g、凯恩斯等人[11]、李等人[29]、林等人[30]、巴里欧等人[2]、福西米和科古尔[19]。这些模型在校准和发出期望的预测方面是有效的，但在封闭式公式方面缺乏可操作性。另一方面，复杂的保险产品，如可变年金或长寿互换衍生品，使得估值和套期保值非常重要，通常采用数值方法，因为封闭式公式不可用。综上所述，关联重要性合同的定价成为一个复杂的系统，通过一个“黑匣子”提供多维随机输入，最终输出索赔的净现值。这些发展在死亡率模型的复杂性（不允许显式计算）与基于此类模型的复杂合同的定价、对冲和风险管理之间造成了紧张关系。

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2022-5-8 21:24:43

由于这一挑战，死亡率模型与长寿风险从业者实施的模型之间仍然存在差距。由于上述估值黑匣子在分析上难以处理，人们越来越依赖Monte Carlo模拟工具，这反过来又伴随着爆炸式的计算需求。例如，许多新出现的问题需要嵌套的模拟，很容易需要几天才能完成。类似地，许多投资组合包含数百万种必须准确定价和管理的异构产品（如Ganand Lin[20]）。在本文中，我们建议应用现代统计方法来解决这个问题。我们的方法是通过一个中间统计模拟器，在致命建模和期望的定价/对冲需求之间架起桥梁。该模拟器为实际死亡率模型提供了计算效率高、精确度高的替代物。此外，该模拟器还将一个经过校准的不透明死亡率模型转换为一个用户友好的评估“应用程序”。由此产生的工具箱允许采用即插即用策略，因此负责定价/风险管理的最终用户可以直接将一个死亡率模型替换为另一个，或将一组死亡率参数替换为另一个。这种模块化方法允许灵活的解决方案通过促进不同寿命动态和不同假设的比较来证明基于模型的寿命风险。使用模拟器是处理复杂的底层随机模拟器的自然解决方案，在模拟和机器学习社区中已经司空见惯[36,26]。下面，我们建议在保险应用的新背景下应用此类统计学习。与传统（广义）线性模型不同，仿真需要完全非参数模型，精算师不太熟悉这些模型。

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何人来此

2022-5-8 21:24:46

为了阐明观点，在本文中，我们探讨了普通人寿年金的定价/对冲问题，这是人寿保险和养老金计划管理中的一项基本任务。除了最简单的设置外，年金值没有明确的公式，因此近似技术已经很常见。从更广泛的角度来看，我们的方法也适用于许多其他精算和风险管理环境，见第7节。论文组织如下：在第2节中，我们介绍了仿真问题，并回顾了随机死亡率的数学框架。第3节讨论了模拟器的构造，包括样条和克里格代理，以及训练设计和模拟预算的生成。论文的后半部分介绍了文献中提出的几种随机死亡率模型的三个扩展案例研究。在第4节中，我们研究了Chen和Cox[14]提出的具有死亡率冲击的Lee-Carter模型；第5节基于凯恩斯等人[13]最近的工作，研究了两种群模型中对冲投资组合价值的近似值。最后，第6节考虑了凯恩斯-布莱克-多德（CBD）[9]死亡率框架下的递延年金估值。2.仿真目标我们考虑一个马尔可夫状态过程为Z=（Z（t））的随机系统。在整篇论文中，我们将用潜在的随机死亡因素来确定Z。在第2.2节中，我们回顾了一些现有的此类模型，并明确了Z的各自结构。通常，Z是基于随机微分方程或时间序列框架的多变量随机过程。例如，Z可能是扩散型或自回归过程。在推断步骤中，Z的动态被校准为过去的死亡率数据，这些数据尽可能地反映了感兴趣的人群。

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2022-5-8 21:24:51

在接下来的评估步骤中，建模者试图评估与展望未来的函数F（T，Z（·））相关的某些量。时间视界T≥ 0允许考虑长寿风险中常见的延期合同，见下文。我们的符号进一步指出，F可能依赖于整条路径{Z（t），t≥ T}，比如f（T，Z（·））=exp-∞Xt=Th（Z（t））, （2）对于一些h（z）。给定F，最常见的目的是根据t=0时的初始数据计算其期望值，E[F（t，Z（·））|Z（0）]。（3）精算应用中其他感兴趣的汇总统计数据包括o分位数q（α；F（T，Z（·））（例如，F的α级风险值）；oF，E[F（T，Z（·））|F（T，Z（·））的预期短缺≤ q（α；F（T，Z（·）），Z（0）]；o两个泛函之间的相关性，Corr（F（T，Z（·）），F（T，Z（·））|Z（0））。为了更好地理解这些想法，我们将重点关注（3）这是定价/享乐问题中的一个基本数量。当T>0时，对（3）的评估可分为两个步骤，即第一周评估F（z）E[F（T，Z（·））|Z（T）=Z]，（4），然后使用Z的马尔可夫性质进行外平均，E[F（T，Z（·））|Z（0）]=ZRdf（Z）pT（Z | Z（0））dz，其中pT（Z | Z）=P（Z（T）=Z | Z（0）=Z）是Z在[0，T]上的转移密度。关键的是，因为F（T，Z（·））的形式是非平凡的，所以我们假设F（Z）不可用，并且没有简单的方法来描述它的函数形式。然而，由于f（z）是一个条件期望值，因此可以使用模拟器对其进行采样，即建模者可以访问一个引擎，该引擎可以生成独立的、相同分布的样本f（T，z（n）（·）），n=1，给定Z（0）。然而，这个模拟器被认为是昂贵的，这意味着使用它需要计算效率。给定初始状态Z（0），评估（3）的朴素蒙特卡罗方法基于嵌套模拟。

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2022-5-8 21:24:54

首先，将pT（z | z（0））上的外积分替换为m=1，Noutdraws z（米）~ Z（T）| Z（0），E[F（T，Z（·））|Z（0）]NoutNoutXm=1f（Z（m））。（5）第二，对于每个z（m），相应的内部期望值f（z（m））通过f（z（m））\'NinNinXn=1F（T，z（m），n（·）），m=1，Nout，（6）其中z（m），n（t），t≥ T是Z的独立轨迹，起始点Z（m），n（T）=Z（m）。这种嵌套方法提供了一个无偏但昂贵的估计。实际上，总的模拟预算是O（Nout·Nin）（其中通常的大Oh符号h（x）=O（x）意味着h（·）在x中是交感线性的→ ∞) 这可能是计算密集型的——例如，两个步骤的1000次模拟需要总共10次模拟。出于这个原因，人们希望构造更便宜的近似值（3）。其主要思想是用一个更简单的替代方案来取代重复计算f（z）（可能是对于一些非常相似的z值）的内部步骤。一种策略是通过将随机变量Z（s）| Z（T），s>T替换为固定常数（例如其平均值）来构造（4）的确定性近似值，然后将其插入F以估计后者的预期值。这有效地消除了仓促方面，并允许获得f（·）的显式近似值。（最简单的近似方法是简单地冻结Z（s）=Z（T）s>T。）然而，由此产生的误差很难判断，而且，需要进行分析、反直线推导才能获得良好的近似值。因此，我们提倡使用f（·）的替代模型的更具统计性的方法。

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kedemingshi

2022-5-8 21:24:58

这种方法可以在任何马尔可夫环境中普遍使用，不需要分析推导，并且对f（·）的结构进行最小先验假设。仿真的主要思想是一个回归框架，通过在训练数据集{z（n），f（T，z（n）（·））}Ntrn=1的大小Ntr上求解回归方程，生成一个拟合的^f（·）。仿真将近似f（·）简化为（i）实验设计（生成训练数据集）和（ii）回归（指定近似^f解决的优化问题）这两个统计问题。这些步骤的细节见下文第3节。因为我们正在建立一个完整的响应模型，而不是逐点估计，所以emulatorbudget Ntr Nin将比（6）中的数值大一个数量级。这也需要回归过头。然而，一旦^f被确定，对特定值z的^f（z）的预测将产生O（1）的影响，因此我们可以使用（5）以零的成本线性估计（3）中的原始问题。总之，模拟器的总预算仅为O（Ntr+Nout），远小于nestedMonte Carlo的O（Nout×Nin）。随着Z状态维度的增长，这些节省变得更加重要。事实上，对于多维模型，Nou和Nin都需要更大，才能更好地覆盖Rd上的相应积分，因此嵌套模拟的效率将迅速降低。直觉上，后者的计算预算在d中至少是二次的。相比之下，模拟器的直觉复杂性在d中是线性的。随着随机死亡率模型变得更加复杂，经常提出d=3、4、5+因子的模型，效率问题成为可处理评估（3）能力的核心。2.1. 生命年金的估值在寿命模型中，Z代表驱动致命性的随机因素Ym（t，x）。形式上，Z=（Z（t））=（Z（t）。

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2022-5-8 21:25:17

，Zd（t））是d-完备过滤概率空间上的维数（F（t））可测马尔科夫过程(Ohm, F、 P，（F（t）））。过滤（F（t））是截至时间t的死亡过程演变信息。一个典型的先进模型将m（t，x）分解为长寿趋势、年龄效应和群体效应（统称为APC模型）。上述每一项都可以由一个或多个随机因素轮流建模。最常见的模型是Lee Carter[28]和CBD[9]模型及其推广。一般来说，它们各自的组成部分遵循ARIMA模型；有关详细信息，请参见凯恩斯等人[11]的调查。为了处理不同日期的现金流，我们假设存在无风险资产，并用B（T，T+s）表示T日s债券的价格，到期日为T+s。对于本文的剩余部分，我们将假设利息r的恒力，导致B（T，T+s）=e-R.Onecan可以直接处理随机利率（然后形成Z（·）的一部分）；参见Jalenand Mamon[25]对死亡率和利率之间相关性结构的讨论，以及Fushimi和Kogure[19]在Cox-Ingersoll-Ross利率模型下将贝叶斯方法应用于寿命衍生定价的示例。考虑一个在时间0处衰老的个体，其剩余寿命随机变量表示为τx。状态过程Z捕捉到τx时间t的死亡率过程m（t，x+t），当个体将衰老到x+t时。对于小dt，瞬时死亡概率近似为m（t，x+t）dt，因此τxisS（t，x）的随机生存函数经验-Ztm（s，x+s）.

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2022-5-8 21:25:20

（7）更一般地说，对美国来说≤ t<t，给定时间u的信息，年龄为x的个体在日期和t之间存活的概率由p（τx>t |τx>t，Fu）=E给出S（T，x）S（T，x）傅（8） =E经验-ZTtm（s，x+s）Z（u）.= P（Z（u）；t、 t，x），其中最后一个等式来自马尔可夫性质。P（Z（0）的确定性模拟；t、 t，x）在精算学文献中-tpx+t。作为一个标准的精算合同，我们将关注递延人寿年金。这些合同是确定福利养老金计划估值的基础，该计划通常在退休年龄（通常为65岁）时开始向养老金受益人付款，并持续到他们去世，可能还有遗属福利（出于估值目的，假设付款在某些预先规定的最高年龄x结束，例如100或110岁）。人们感兴趣的一个主要问题是，对目前仍在工作的计划参与者，即65岁以下的参与者的这种终身年金进行估值。由于这需要对未来几十年进行寿命预测，因此寿命风险成为风险管理的关键部分。在日期T isa（Z（T）时，终身年金的净现值；T、 x）=∞Xs=1B（T，T+s）P（τx≥ T+s|FT）=x-xXs=1e-rsP（Z（T）；T、 T+s，x），（9）其中我们强调随机死亡冲击来自Z。最后，T=0时的净现值是NP V=E[E]-rT·a（Z（T），T，x）]，可以看作（3）的一个例子，包括贴现和对Z（T）密度的积分。除了最简单的模型外，生存概率P（z；·）在分析上是未知的，因此（9）或NPV也是未知的。没有z 7的演示文稿→ 然后，a（z，T，x）必须对定价、对冲、资产负债管理或偿付能力资本计算的所有基本问题进行近似计算。

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kedemingshi

2022-5-8 21:25:24

所讨论的嵌套模拟的形式是，首先对一些代表性变量（z（1），…）近似a（z（1），T，x），z（n）），然后进一步操纵（a（z（1），T，x），a（z（n），T，x））。仿真为优化、评估和改进此类两级仿真提供了一个有原则的统计框架。评论如前所述，a（·，T，x）的估计通常是嵌入在更大环境中的一个积木，需要重复评估前者的数量。例如，Bauer等人[4]在计算偿付能力资本要求时，在计算类似人寿年金的仪器的现值时，提出了嵌套蒙特卡罗模拟。我们还可以提到Bacinello等人[1]、Boyer和Stentoft[6]的工作，他们考虑了具有早期运动特征的死亡率合同的评估，例如放弃保证。在我们的术语中，相应的最小二乘蒙特卡罗算法可以被视为经典的参数线性模型仿真器，避免了嵌套蒙特卡罗森林的需要。2.2. 随机死亡率我们专注于离散时间死亡率模型，该模型更容易根据离散的死亡率数据进行校准，通常按年度间隔进行汇总。常见的假设是，在给定的日历年内，死亡率的中心力保持不变，因此，对于所有人来说，0≤ s、 u≤1，我们有m（t+s，x+u）=m（t，x）。因此（Z（u）；t、 t，x）=E“exp-TXs=t+1m（s，x+s）！Z（u）#，u≤ 因此，P（Z（t）；T、 T+s，x+T）成为Z轨迹的函数。文献中提出了三种主要的随机死亡率方法。第一种方法由Lee和Carter[28]首创，直接将m（t，x）视为个体随机过程的产物，例如ARIM是时间序列。

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2022-5-8 21:25:27

这一设置允许在未来的预测中纳入人口统计见解，以及解开年龄、时期和队列效应。也就是说，人口周期队列（APC）死亡率模型假设（更多细节见附录A）logm（t，x）=β（1）x+naκ（2）（t）+naγ（3）（t- x），（11）式中，κ（2）和γ（3）是随机过程，NaI是x可以接受的年龄数。在这种情况下，状态过程Z（t）取决于κ（2）和γ（3）的当前值和潜在过去值。例如，Leeand Miller[27]、[8]、Booth等人[5]、Czado等人[16]、Delwarde等人[18]和Li等人[29]都曾试图理解此类模型的统计有效性。此外，Renshaw和Haberman[34]、Hyndman和Ullah[24]、Plat[32]、Debonneuil[17]和Cairns等人[12]对Lee-Carter模型进行了几次扩展。这些模型都不支持生存概率P（z；·）的闭式表达式。因此，一些作者提出了近似方法。考夫兰等人[15]使用了一种近似分析法，而凯恩斯等人[13]则推导出了一种近似分析法，指出行业实践是利用确定性预测。Bauer等人[4]等采用了更灵活的蒙特卡罗模拟工具。凯恩斯等人[9]（CBD）提出的第二种方法生成了生存概率的随机模型（10），允许对与寿命相关的产品进行直接定价；然而，更难对整个人群的未来死亡率经验进行校准和合理预测。第三种方法适用于远期死亡率[3]，借鉴了固定收入市场的观点。

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2022-5-8 21:25:32

正向模型给出了死亡率曲线如何随时间演变的整体视图，并为死亡率预测提供了一个动态一致的结构。然而，它们并没有为（10）提供简单的表达式，因此需要进一步的定价操作。2.3. 偏差/方差权衡——为了接近（9），必须首先量化近似结果的质量。标准的统计方法是使用均方误差框架。固定z，让a（z）≡ a（z，T，x）是以状态z（T）=z为条件的终身年金的真实价值。如果a（z）是由^a（z）估计的，则为imse（^a）E（^a）- （a）, 偏差（^a）=E[^a- a] ，（12）其中平均值超过^a（z）的抽样分布（即用于构建数据的数据的不同实现）。从（12）开始引出基本偏差/差异权衡。在谱的一端，如（6）中所示的蒙特卡罗估计具有零偏差，但具有高方差。另一方面，分析近似值的方差为零，但非零偏差无法缓解（而蒙特卡罗IMSE将随着数据集大小的增加而变为零）→ ∞) 均匀渐近。由于低方差在实践中往往是首选，所以分析方法一直很流行。凯恩斯等人[13]也认为，工业界的惯例是使用死亡率的确定性预测，而不是使用模拟方法。确定性近似的基本思想是，如果^m（t，x）是m（t，x）的无偏估计，那么p（Z（u）；t、 t，x）=E“exp-TXs=t+1m（s，x+s）！Z（u）#≈ 经验-TXs=t+1E[m（s，x+s）| Z（u）]！=经验-TXs=t+1^m（s，x+s；Z（u））！。（13）使用P（Z（u）；·的估计值在（13）中，我们可以近似地计算a（Z（T），T，x）项。詹森的不平等性意味着-PTs=t+1^m（s，x+s）> P（Z（u）；t、 t，x）。

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2022-5-8 21:25:37

因此，对于生存概率（以及随后的年金值），任何这样的近似值都会有较高的偏差。解析近似可能非常强大，当然也非常快，但它们有两个主要优点。一个是需要推导一个合适的估值器^m。这在简单模型中可能是可行的（例如，具有线性动力学的低维Z，如原始Lee-Carter模型），但否则可能需要大量的工作，导致不必要地关注简化，而代价是校准和风险管理的一致性。第二，近似的准确度未知。事实上，对于（13）中给定的模型，通常没有太多关于右手侧经验准确性的可用信息，这让用户不知道发生了多少错误。这个问题非常危险，因为风险经理可能不知道潜在的重大错误评估。为了弥补上述缺陷，在与普通MC相比仍保持显著差异减少的同时，我们提倡使用统计模拟器。后者提供准确度的后验量化（通过标准误差或贝叶斯后验方差），不需要对死亡率模型进行任何简化。另一个优点是可以直接近似z 7→ a（z，T，x），而不必对生存概率进行中间近似（这不可避免地会导致进一步的误差复合）。正如我们在案例研究中所展示的，通过保持可忽略的偏差和较小的方差，a（z）的统计模型确实可以有效地解决偏差/方差权衡问题，从而与其他方法相比改善IMSE指标。3.

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2022-5-8 21:25:40

统计模拟模拟模拟的想法是用一个廉价的替代模型来代替计算成本高昂的过程，即运行一个蒙特卡罗子程序来计算每个新站点z的f（z），该替代模型可以从统计上预测任何z的f（z）∈ 基于训练数据集的结果。仿真的核心是统计学习。也就是说，上述预测基于路径估计y（n）=F（T，z（n）），n=1，对于一组训练地点，称为设计D.=（z（1），z（Ntr））。接下来，我们将{y（n）}与{z（n）}进行回归，以“学习”响应曲面^f（·）。回归方面允许在不同地点的不同场景中借用信息。与嵌套模拟步骤相比，这减少了计算预算，嵌套模拟步骤通过从每个站点z（n）运行n个场景独立地进行逐点估计f（z（n））。回归的概念需求是双重的。首先，仿真器用于插值，即使用现有设计在新地点z进行预测。相比之下，普通蒙特卡罗仅在z（n）处预测。第二，与经典方法一样，仿真器从{z（s），s>T}的采样轨迹平滑蒙特卡罗。形式上，模拟的统计问题涉及采样器（或oracle）Y（z）=f（z）+（z），（14）其中我们确定f（z）≡ 具有未知响应面的a（z，T，x）和是采样噪声，假设在对oracle的不同调用中是独立的、相同分布的。我们假设（z）~ N（0，τ（z）），其中τ（z）是依赖于位置z的采样方差。

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2022-5-8 21:25:43

仿真现在涉及（i）提出形成训练数据集的设计的实验设计步骤，以及（ii）使用查询结果（z（n），y（n））Ntrn=1的学习过程，其中y（n）是给定z（n）的（14）的实现，以构建一个完整的响应曲面^f（·）。通过指定近似函数类^f来完成拟合∈ H、以及一个要最小化的损失函数L（^f，f）。损失函数衡量^fvis-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-a-；本文主要研究均方近似误差l（^f，f）=ZRd|^f（z）- f（z）| dz。（15）由于真实f未知，因此L（^f，f）的定义无法操作，而是基于^f周围的不确定性（如贝叶斯后验不确定性或标准误差）应用代理。此外，由于f的结构未知，因此H类近似值最好是稠密的，即具有足够丰富的结构，可以将任何f近似到任意精度。为此，我们专注于核回归方法，即线性平滑器。在接下来的小节中，我们将介绍两个这样的回归族，平滑样条和克里格（高斯过程）模型。评论在这篇论文中，我们专注于最初的任务，即生成一个精确的近似值。在某些情况下，准确度的判断不是全局性的，而是局部性的，因此使用不同的准确度度量。例如，在VaR应用中，f的模型必须在左尾精确，但在右尾可能相当粗糙。在这种情况下，（15）可以替换为加权损失度量。3.1. 基于样条曲线模型的仿真器使用正则化回归准则生成仿真器^f（·）。

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2022-5-8 21:25:52

也就是说，给定一个平滑参数λ≥ 我们寻找极小值^f∈ 以下平方问题的惩罚剩余和的H（f，λ）=NtrXn=1{y（n）- f（z（n））}+λJ（f），（16），其中J（f）是惩罚函数或正则化函数。我们集中讨论近似类具有再生核希尔伯特空间（RKHS）结构的情况，该结构也生成J（f）。也就是说，存在一个潜在的正定义核C（z，z），使得HC=span（C（·z）：z）∈ Rd）是由C和J（f）=kfkHC生成的希尔伯特空间。再中心定理意味着（16）的极小值在本征函数^f（z）=NtrXj=1αjC（z，z（j））方面具有展开式，（17）将z处的预测与设计点z（j）处采样的核函数相关联。我们的第一个系列是采用j（f）=ZRd的平滑（或薄板）样条曲线dXi，j=1子zjf（z）dz，（18）和H是所有两次连续可微函数的集合。众所周知[21，第5章]，在这种情况下，底层内核由C（z，z）=kz给出-zklog kz-zk，其中k·k表示Rd中的欧几里德范数。（16）和（18）的优化结果给出了一个称为薄板样条（TPS）的光滑响应曲面，其显式形式为f（z）=β+βT~z+NtrXj=1αjkz- z（j）klog kz- z（j）k，（19）与β=（β，…，βd）T。在1-d中，惩罚优化减少到inff∈CNtrXi=1{y（n）- f（z（n））}+λZR{f（u）}du。（20）（20）中的总和是数据接近度的度量，而积分会惩罚f的影响。注意λ=∞ 简化为传统的最小二乘线性函数f（z）=β+βz，因为它引入了约束f（z）=0。

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2022-5-8 21:25:55

众所周知，得到的解是自然三次样条函数的展开式，即^f是一个分段三次多项式，在设计点z（n）处具有连续的一阶和二阶导数，在设计边界外是线性的。有几种方法可用于选择平滑参数λ，包括交叉验证或MLE Hastine等人[21，第5章]。一个常见的参数化是通过自由度统计dfλ的影响程度。我们使用R软件包“FIELDS”[31]来拟合多维薄板样条，并使底座光滑。一维情况下的样条函数。3.2. 克里格替代项克里格替代项假设（14）中的f的形式为f（z）=u（z）+X（z），（21），其中u：Rd→ R是趋势函数，X是均零平方可积过程。具体地说，假设X是协方差核C的高斯过程的实现。CI的作用与上面的正则化回归相同，即C生成近似族HCthatX。然而，克里格法也带来了一种贝叶斯观点，将X视为一个随机函数，并根据收集的数据Y计算X的后验分布（y（1），y（Ntr））。RKHS框架意味着X（z）的后验平均值（更精确的最大后验估计值）与前一节中的正则化回归预测一致。在贝叶斯框架中，C被解释为协方差核，C（z，z）=Cov（f（z），f（z））作为HC上的f（·）范围。假设噪音（z）也是X（z）| y的高斯级数~ N（m（z），s（z））有一个高斯后验概率，这就简化了克里格平均值m（z）和克里格方差s（z）的计算。反过来，克里格方差s（z）提供了模型精度的原则性经验估计，量化了近似质量。

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2022-5-8 21:25:59

特别是，可以使用s（z）作为z处^f的代表。将s（z（n））积分到外部设计位置，然后得出（3）误差的评估结果。3.2.1。简单克里金简单克里金（SK）假设趋势u（z）已知。通过考虑过程f（z）-u（z），我们可以假设f（z）以0和u为中心，而不失一般性≡ 0.由此得出的后验均值和方差为[35]（mSK（z）。=c（z）TC-1y；sSK（z）。=C（z，z）- c（z）TC-1c（z）、（22）式中c（z）=C（n，z））1.≤N≤NtrandC=hC（z（i），z（j））i1≤i、 j≤Ntr+, （23）与带条目的对角矩阵τ（z（1）），τ（z（Ntr））.3.2.2。Universal kriging Universal kriging（UK）将（21）推广到形式为u（z）=β+Ppj=1βjhj（z）的参数趋势函数的情况，其中βjare常数被估计，hj（·）被给出基本函数。系数向量β=（β，…，βp）与高斯过程分量X（z）同时估计。一种常见的选择是一阶UK，它使用hj（z）=ZJJ表示j=1，d、另一个常见的选择是零阶UK，也被称为普通克里格法（OK），它采用u（z）=βa常数进行估计。如果我们让h（z）=（h（z），hp（z））和H=h（z（1）），h（z（N））, 那么，位置z处的通用克里金均值和方差为[35]（mUK（z）=h（z）T^β+c（z）TC-1（y）- H^β）；sUK（z）=sSK（z）+h（z）T- c（z）TC-1小时T宏达电-1小时-1.h（z）T- c（z）TC-1小时,（24）其中趋势系数β的最佳线性估计值由通常的线性回归公式β给出=宏达电-1小时-1HTC-1y。趋势和高斯过程（GP）模型的结合为拟合响应面提供了一个有吸引力的框架。趋势组件允许纳入关于响应的领域知识，而GP组件提供灵活的非参数校正。

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2022-5-8 21:26:03

一种策略是指定一个已知的趋势（来自某种分析近似），并将一个GPT转换为残差，从而产生一个简单的克里格设置。另一种策略是采用低维参数近似，例如Z分量的线性函数，然后再次将GP输入残差，从而形成通用克里格设置。3.2.3. 协方差核和参数估计协方差函数C（·，·）是克里格模型的关键部分。在实践中，我们通常考虑空间静止或各向同性核，C（z，z）≡ c（z）- z） =σdYj=1g（z- z） j；θj），简化为一维基核g。下面我们使用幂指数核g（h；θ）=exp-|h |θP. Rasmussen和Williams[33，第2章]表示，超参数θjare被称为特征长度标度，可以非正式地视为在响应函数发生显著变化之前，你在输入空间中移动的大致距离。用户指定的powerp∈ [1，2]通常被认为是p=1（指数核）或p=2（高斯核）。拟合克里格模型需要选取核族和超参数σj，θj。两种常用的估计方法是基于上述分布的似然函数的最大似然估计和惩罚极大似然估计（PMLE）。任何一种情况都会导致一个非线性优化问题，以满足θjand过程方差σ。我们也可以考虑贝叶斯克里格法，其中趋势和/或协方差参数具有先验分布，见Helbert等人[22]。我们利用R软件包“Dieckriging”[35]，该软件包允许使用协方差核族的五个选项以及如何估计超参数的几个选项来拟合SK和UK模型。3.2.4. 为了构造一个精确的f（·）仿真器，对采样噪声τ（z）有一个良好的估计是很重要的。通常情况下，建模者事先无法获得这些信息。

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2022-5-8 21:26:06

普通嵌套蒙特卡罗的优点之一是，从固定的z（n）生成n个场景可以给出f（z（n））和τ（z（n））的自然经验估计。为了模拟这一特性，我们考虑了批量或复制设计D。也就是说，给定总预算Ntr=Ntr，1·Ntr，2训练样本，我们将它们分配到Ntr，1不同的设计站点z（1），z（Ntr，1），然后从每个z（n）生成Ntr，2个轨迹。接下来，将上述批次聚合为y（n）=Ntr，2Ntr，2Xj=1F（T，z（n），j（·））；（25）^τ（z（n））=Ntr，2- 1Ntr，2Xj=1ny（n）- F（T，z（n），j（·））o，（26）和结果数据集{z（n），y（n），^τ（z（n））}，n=1，Ntr，1用于建立^f的克里格模型，^τ（z（n））/Ntr，2模拟z（n）处的方差。Broadie等人[7]针对一个相关的风险管理问题分析了Ntr，1和Ntr，2之间的有效分配，结果表明，最优选择满足Ntr，1∝ N2/3tr，Ntr，2∝ N1/3tr。（27）这也是我们在本文中追求的分配，因此每个批次中的设计站点相对多于复制。3.3. 实验设计构建训练设计D有几种方法。首先，可以通过独立抽样z（n）生成经验设计~ Z（T）| Z（0）。这允许模拟条件密度pT（z | z（0）），这有利于计算（3）中的期望值。第二，可以使用其他建议密度z（n）生成随机D~ Q.例如，在某些域d中，统一的建议密度（即z（n）i.i.d.） Rd）对任意大小的空间填充实验设计进行了基本尝试。通过拉丁超立方抽样（LHS）技术可以获得更结构化（但仍然是随机的）设计[38]。粗略地说，LHS构建了一个规则的d维晶格，然后试图在生成的超立方体中均匀分布Ntr，1个位置。

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2022-5-8 21:26:11

在每个选定的超立方体中，设计场地被统一放置。第三，可以使用确定性设计，例如网格或准蒙特卡罗（QMC）序列。确定性设计确保了空间填充特性和易于再现性。例如，Sobol序列[37]重新分配一个统一的二进制网格，以产生一个最大等分布的网格。与LHS相比，QMC的使用更快（因为它可以直接硬编码），并且可以根据需要手动调整。这两种方法都将^freative的蒙特卡罗方差减少到经验D。理论上，Z（T）的典型区域是无界的，例如R+D。这不是经验设计构造的问题；对于LHS和QMC方法，必须指定适当的边界域D∈ 在生成D.Remark之前。根据上下文，设计D可能需要在空间上不一致。例如，如果使用确定性设计进行计算（3），则最好捕获Z（T）分量之间的相关结构，或对最有可能的区域进行加权。如果要估计分位数或尾部期望值，D应优先覆盖Z（T）分布的极值；在这种情况下，经验设计是不合适的。3.3.1. 生成长寿场景仿真器的构造需要生成长寿场景{Z（t），t=0，…}的基本构造块。在最简单的设置中，这只需要生成和操作一系列i.i.d均匀绘图，这些绘图描述Z（分量）的随机增量。然而，通常使用的模型还包括必须估计或校准的参数。当进行未来寿命预测时，这一方面变得不重要，因此可以进行模型重置。

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2022-5-8 21:26:15

重新设置引入了路径依赖性，使参数成为可能需要包含在Z中的动态数量。例如，凯恩斯等人[13]倡导PPC（部分参数确定）场景生成，将整体模拟分为[0，T]和[T]两部分，∞). 在PPC中，首先使用过去的死亡率数据在t=0时校准模型，然后模拟时间t。然后将模拟情景附加到历史数据中，使模拟成为从时间0到时间T的新“历史”。然后在时间T处重新设定模型参数，并使用由此产生的、经修改的Z寿命动力学来模拟beyondT。PPC的想法是捕捉一些关于死亡进化的记忆，本质上去除一些假定的马尔可夫结构。在PPC下，固定参数被混合到Z（T）中，因为它们影响结果F（T，Z（·））。此外，为了减少维数，可以在构建模拟器时删除整个状态空间的一些组件。为此，我们可以分析哪些动态变量会对年金价值产生重大影响，例如通过一些简单的回归模型来测试统计意义。3.4. 在给定的模拟部分，我们首先对模拟的大小进行分解，然后对模拟的大小进行分解。然后，D中的每个站点生成Ntr，即按（25）中的方式批处理在一起的2个区段。使用上述公开提供的软件包进行安装。对于克里格，我们使用Dieckriging包中KM函数的默认设置。给定^a（z，T，x），我们通过测试集Dtest=（z（1），…）评估其性能，零位的z（Nout））。注意，Dtest与训练集D不同。根据（3）我们使用了一个经验测试集Dtest:z（n）~ Z（T）| Z（0）。

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2022-5-8 21:26:19

由于真实值a（z，T，x）不可用，我们以（昂贵的）金标准估计值^aMC（z，T，x）为基准，如下所述。特别是，我们记录了（12）中的综合MSE和偏差统计数据，即\\IMSE（^a）=NoutNoutXn=1^a（z（n），T，x）- ^aMC（z（n），T，x）; （28）dBias（^a）=NoutNoutXn=1h^a（z（n），T，x）- ^aMC（z（n），T，x）i.（29）对于基准测试，我们使用高精度嵌套蒙特卡罗方法（5）-（6）。虽然代价高昂，但它是一个简单、渐近一致、无偏的估计量。具体地说，对于年金的估值，^aMC（z，T，x）是通过在每个z（n）处平均Nin=1000个{z（s），s>T}的场景来获得的∈ 数据测试。除非另有说明，否则我们使用Nout=1000，因此^aMCis O的总预算（Nout×Nout）。然后，我们将其与使用Ntr的模拟器进行比较∈ [1008000]，在10-50倍的提速范围内产生效率增益。我们还比较了完全需要训练（但确实需要解析推导）的确定性估计量，并且只需要O（Nout）预算就可以对外部的Nout模拟进行预测以进行评估（28）。案例研究：在Lee-Carter冲击框架下预测年金价值Chen和Cox[14]引入了一个基于传统Lee-Carter设置的死亡率模型：log m（t，x）=β（1）（x）+β（2）（x）κ（2）（t）。（30）这与附录A中的APC模型（M2）相同，没有队列术语。在Chen Cox模型中，β（1）（x）和β（2）（x）是捕捉年龄效应的确定性向量，而κ（2）（t）是捕捉周期效应的随机过程，其动力学为κ（2）（t+1）=κ（2）（t）+u（1）+ξ（1）（t+1）+[ξ（2）（t+1）- ξ（2）（t）]，（31），其中ξ（1）（t）~ N（0，σ（1））和ξ（2）（t）具有独立的零修正正态分布，p（ξ（2）（t）=0）=1- p、和高斯参数（u（2），σ（2））。

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2022-5-8 21:26:22

（31）的动机是纳入由ξ（2）表示的特异性死亡冲击，其发生概率为p，且具有随机大小，分布为N（u（2），σ（2））。这种代表自然或地缘政治灾难的冲击是暂时的，只持续一个时期，因此减去了最后一个期限-ξ（2）（t）in（31）。由于这个项，模型似乎具有二维状态空间{κ（2）（t），ξ（2）（t）}。然而，我们注意到，从κ（2）（T）开始，假设ξ（2）（T）=0（T年无休克），生成新冠病毒是有效的。然后在估计f（κ）=E[f（T，κ（2）（·））|κ（2）（T）=κ，ξ（2）（T）=0]之后，在T年冲击的情况下很容易得到[f（T，κ（2）（·）|κ（2）（T）=κ，ξ（2）（T）=ξ]=f（κ- ξ），减少到“未锁定”值的预测。在m（t，x）中存在特异性电击使得相应的生存概率难以分析。然而，（31）中κ（2）的线性动力学允许获得以下未来死亡率的确定性估计器。引理1。设Z（s）={κ（2）（s），ξ（2）（s）}。在Chen-Cox模型下，以下结论成立：E[κ（2）（t）|Z（s）]=κ（2）（s）+（t- s） u（1）+u（2）p- ξ（2）（s），0≤ s≤ t<∞. （32）可以在附录B中找到证明。将（32）代入（30）中，得到E[m（T+s，x）|κ（2）（T），ξ（2）（T）]：m（T+s，x）的以下估计量经验β（1）（x）+β（2）（x）κ（2）（T）+su（1）+u（2）p- ξ（2）（T）. (33)4.1. 结果我们跟随Chen和Cox[14]使用美国国家卫生统计中心（NCHS）的死亡率数据。该数据集包含美国总体人口的特定年龄年死亡率：http://www.cdc.gov/nchs/nvss/mortality_tables.htmpopulation1900年至2003年。

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2022-5-8 21:26:25

拟合得到随机游动参数u（1）=-0.2173，σ（1）=0.3733 in（31），以及估计的冲击概率p=0.0436，跳跃分布（u（2），σ（2））=（0.8393，1.4316）。正如所料，u（2） 0较大且为正值，因此电击会导致死亡率的暂时性增加。其目的是分析和比较克里金模型和分析估计的能力，以预测x=65岁男女的T=10年递延年金价值。x=94岁时，付款将被削减。我们使用r=4%的贴现率。Ntr=125 Ntr=512 Ntr=1000类型偏差√IMSE偏倚√IMSE偏倚√IMSEanalysis 1.668e-03 2.148e-03 1.668e-03 2.148e-03 1.668e-03 2.148e-03Ord。克里格法5.145e-03 5.923e-03 1.582e-04 1.975e-03-1.999e-04 1.634e-03大学。克里格法5.832e-03 6.059e-03 4.816e-04 1.045e-03-1.243e-05 7.428e-04表1：在不同规模的实验设计下，比较陈-考克斯模型下的终身年金价值估算值。设计D的Ntr=N2/3tr，1·N1/3tr，2。使用（28）和（29）从Monte Carlobenchmark评估报告值。分析估计基于（33）；通用克里格模型使用一阶线性基函数。预算为Ntr的W fit模拟器∈ {125, 512, 1000}. 相应的训练设计D是确定的，并且在适当选择的间隔D=[κ，\'-κ]上均匀分布；优化设计将蒙特卡罗噪声降至最低，单位为^f（·）。因为Z≡ κ（2）只是一维的，使用的训练预算相对较小。对于仿真器，我们将普通克里格（OK）模型和一阶线性通用克里格（UK）模型分别设置为常数趋势u（κ）=β和u（κ）=β+βκ。为了进行评估，我们使用一个包含Nout=50个Z（T）值的测试集，每个测试集都带有一个包含Nin=10模拟的蒙特卡罗基准。

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2022-5-8 21:26:29

由于涉及的MSE非常小，因此需要一个非常高的可靠性基准（以便将模拟器的MSE与基准的MSE隔离），从而产生非常大的Nin。为了在计算上可行，我们选择了一个小测试集。为了确保Dtest准确地代表Z（T）的分布，其位置被选为经验的1%，3%，Z（T）大样本的99%百分位数。在比较过程中使用了与这些百分位数相关的死亡率冲击。表1和图1总结了结果。我们观察到，未来年金的潜在价格存在相当大的差异，差异超过10%（或年金NPV的1美元），取决于实现的Z（T）。这证实了长寿风险的显著水平。如图1所示，z 7几乎呈线性关系→ a（z，T，x），考虑到上述预测范围，这可能是令人惊讶的。这种强烈的线性趋势在一定程度上解释了英国模式相对于OK模式的优势。该图还反映了训练集大小和分布的影响：Ntr=512模型的表现明显优于Ntr=125模型。我们看到，所有方法都表现良好，IMSE的顺序为1e-03。尽管计算的偏差相当小，但我们注意到，由于养老金投资组合的面值非常大，相应的近似误差可能具有财务意义。例如，对于一个负债为100万美元的普通养老基金，1e-03的偏差意味着10万美元的不准确。图1的右面板提供了估计器相对于^aMC的偏差的放大可视化。正如预期的那样，基于引理1的分析估计器高估了所有κ（2）（T）的真实年值。对于Ntr=125，克里格模拟程序显然具有更大的MSE，在这种情况下，通常低于估计值a（κ（2）（T））。

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2022-5-8 21:26:33

对于Ntr=512，我们观察到统计学习正在发生，因为克里格模型现在在图的中间有一个很好的fit，基本上为零。图1：Chen-Cox模型中的年金模拟器。左图：三个估值器（MC、UK w/Ntr=125和分析）的数值a（κ（2）（T））和κ（2）（T）。训练设计（由垂直虚线表示）为D={κ（2）（T）∈(-17.5, -10） }对于Ntr，1=25，Ntr，2=5。右图：与蒙特卡罗基准^amco的相对年金价值，Nin=10。对κ（2）（T）的电位进行偏倚平均。较大培训预算的影响在表1中得到确认，随着NTR的增加，IMSE都朝着零的方向减少。上述分析表明，在某些情况下，形状z 7→ a（z，T，x）非常简单，几乎不需要建模，分析估计器表现良好（统计学家也是如此）。然而，我们强调，没有简单的方法可以先验地判断分析估计器是否足够，而且在任何情况下，足够大的训练集大小都将保证克里格模型具有更好的预测能力。一维案例还提供了网格设计效果的可视化表示，如图2所示。该图展示了模拟器的两个特点：（i）s（z）测量的局部精度和网格大小Ntr之间的依赖性；s（z）和网格形状之间的依赖关系。首先，较大的训练集可以提高准确性（一般关系为O（N-1/2tr）就像在普通的蒙特卡洛一样）。这可以在图2中看到，与N（A）tr=125相比，N（B）tr=1000的克里格标准偏差s（z）始终较低。其中一个含义是，作为Ntr→ ∞,我们会有s（z）→ 0，即f（·）将以完全精确的方式学习，这是模拟器全局一致性的一个特性。

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2022-5-8 21:26:36

第二，s（z）受D形状的影响，在这个意义上，训练点的局部密度越高，局部后验方差越低。如果将^f视为插值器或核回归器，这是直观的——z周围的训练集越密集，我们就越能推断f（z）。因此，集中在Z（T）模式附近的经验网格D（C）在该邻域（κ（2）（T）附近）具有更好的精度-图2中的14）与均匀的D（B）相比，但边缘的精度较低，其中D（C）变得更稀疏。对于所有设计，当我们迁移到训练集之外时，后不确定性显著恶化（例如κ（2）（T）>-图中的11）。图2中显示的s（z）值也提供了emulator IMSE的近似值。图2：训练设计D对Chen-Cox模型中模拟器精度的影响。我们展示了具有三种不同设计的通用克里格模型的克里格标准差s（z）：D（A）（小均匀）、D（B）（大均匀）和D（C）（大经验）。确定性设计D（A），D（B）包含均匀分布的κ（2）（T）值∈(-17.5,10），尺寸分别为N（A）tr=125和N（B）tr=1000。D（C）是一个尺寸为N（C）tr=1000的经验设计，使用κ（2）（T）|κ（2）（0）的密度生成。例如，使用NTR=1000的英国模型对测试集上的克里格标准偏差s（z）求平均值，得到sAve=q{NoutPns（z（n））}=7.159e- 03，而在表1中，相应报告的IMSE为\\IMSE=7.428e- 04.不匹配的原因包括蒙特卡罗估计中的剩余MSE^aMCand和英国模型的模型错误规格，这将对自我评估的准确性产生偏差。此外，不同测试位置z（n）之间的^a（z）之间的强相关性意味着IMSE有很大的标准误差。

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