均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和库尔特代表点估计的样本均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和峰度bθl, l = 1.L.|θ-bθ|代表与真实参数的平均偏差的绝对值。真实参数值θ在第二列中报告。αSθQ=10 6=1.5=θPθQ=θP=1.50.01 1.0000 0.02860.051.0000 0.04760.101.0000 0.0857表3：基于瓦尔德检验的参数测试（25）：用M=10和T=500模拟的数据；αS代表显著性水平；cθ=1控制优化程序起始值生成过程中的噪声。零假设是θQ=θP，这是根据双边备选方案θQ6=θP进行检验的。拟贝叶斯抽样图用于估计θQ、θPas以及^θQ的渐近方差-^θP.给出的数量是给定显著水平αS的零假设的拒绝率。

统计数据来自L=200次模拟运行。θbθ\\medianθdminθdmaxθcstdθ（斜交（斜交（斜交）的（斜交）的（斜交）的（斜交）的（斜交）的（斜交）的（7 7 7）的（7 7 7）的（7 7）的（7 7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）斜交）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的（7）的）的（7）的）的（7）的（7）的）的（7）的）的（7）的（7）的（7）的）的（7）的）的（7）的）的（7）的）的（7）的）的（7）的）的（7）的）的（7）的（7）的）的（7）的（7）的）的）的）的（7）的）的8051 0.5064-0.3689 1.6129βQ 0.0925 0.0915 0.0782 0.1203 0.0073 0.5622 3.3120βQ-0.0096-0.0092-0.0143-0.0060.0020-0.4681 2.4442βQ-0.8124-0.7957-1.1401-0.7108 0.0720-2.4422 9.4258βP-0.7390-0.5119-2.1933-0.1430 0 0.5474-0.8072 2.3157βP0。0542 0.0475 0.0191 0.1164 0.0231 0.6122 2.4151βP0。0196 0.0196 0.0083 0.0379 0.0053 0.2360 2.9440βP-2.9191-2.9900-5.5775-1.1761 1.0701-0.2561 2.1254βP0。0047 0.0049 0.0017 0.0088 0.0019 0.01181.4428βP-0.0019-0.0020-0.0030-0.0010 0.0005 0.2345 2.0680βP-0.4352-0.4247-0.8304-0.3137 0.0704-2.0444 9.6661Bx0。0324 0.0295 0.0155 0.0570 0.0101 0.4526 2.0998Bx0。0.8188 1.5172 1.970 0.0 0 0.0662-0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0.0.0 0.0.0 0.0.0.0 0.0 0.0.0.0.0 0 0.0.0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0 0.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0 0 0 0 A（3）模型。统计数据来自M=20000次绘制，Mb=5000次磨合。bθ代表样本平均值，中位数θ代表样本中位数，dminθ代表样本最小值，dmaxθ代表样本最大值，cstdθ代表样本标准偏差，[skewθ代表样本偏度，Dkurtθ代表样本峰度，由链图得出θ（m）：m=Mb+1，M.以下段落基于Filipovi\'c（2009）描述了一个有效流程。

让我们假设如下g：状态空间由S给出 Rd，W（t）代表d-过滤概率空间上的维数标准布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t≥对于任何初始值X（0）=X，X∈ S，存在随机微分方程dx（t）=βQ（X（t））dt+ρ（X（t））dW（t）的唯一解（X（t）），其中βQ（X）∈ Rd和ρ（x）∈ Rd×d.（27）一个有效的随机过程定义如下：定义2（一个有效的过程）。考虑X（t）∈ 路（X（t））t≥由随机微分方程（27）描述的0称为一个有效的随机过程，如果X（t）的条件特征函数在X（s）中是指数的，0≤ s≤ t、 因此，存在函数Φ（t，u）∈ C和ψ（t，u）∈ Cd，与连续的t-导数，如exp（u′X（t））|Fs= 经验Φ（t- s、 u）+ψ（t）- s、 u）′X（s）（28）对于所有u∈ irds≤ t、 当条件特征函数以一为界时，指数Φ（t）的实部-s、 u）+ψ（t）-s、 u）′X（s）为负。f函数Φ（t，u）和ψ（t，u）由t的（28）唯一确定≥ 0和u∈ ird满足初始条件Φ（0，u）=0和ψ（0，u）=u。如果（X（t））t∈R+是一个函数，那么漂移项βQ（X（t））和（正定义）扩散矩阵X（X（t））=ρ（X（t））ρ（X（t））是X（t）中的一个函数（见Filipovi\'c（2009）[定义10.1和定理10.1]）；i、 例如，βQ（x）=bQ+Pdi=1xiβqind a（x）=a+Pdi=1xiαi其中bQ、βqind x是维数d和a（x）的向量，a和α是d×d矩阵。βQ=（βQ，…，βQd）是一个d×d矩阵。此外，Φ（t，u）和ψ（t，u）解出了下列Riccati方程组；见菲利波维奇（2009）[等式10.4]tΦ（t，u）=ψ（t，u）′aψ（t，u）+（bQ）′ψ（t，u），Φ（0，u）=0，tψi（t，u）=ψ（t，u）′αiψ（t，u）+（βQi）′ψ（t，u），ψ（0，u）=u，（29）i=1，d和u∈ iRd.B Am（3）模型的矩阵A本节推导任意Am（3）设置的矩阵A；其中0≤ M≤ 3.

在第一步中，我们将忽略因可容许性、边界条件、平稳性和识别而产生的所有限制，并计算一个具有对角扩散的模型的A，其中所有元素均为bP、βP、∑和Bxare自由带参数。为了获得特定Am（3）模型的参数，必须考虑相应的参数限制。此外，还可以包括一些ij的限制，如βQij=βpij。这允许对所有模型进行联合处理。对于前四个时刻xk，k=1，p=4，我们选择基准1 | x，x，x | x，x | x，x | x，十、. 在这个表达式中，我们用|分隔了不同权力的条款。也就是说，当d=3时，我们得到一项表示k=0，三项表示k=1，六项表示k=2，十项表示k=3，最后一项表示k=4。因此N=35。矩阵A中未呈现的元素由模型假设归零。下面我们使用e（19）并从k=0开始：这里我们立即观察到A的第一行isA1，：=01×N。当k=1时，我们得到矩阵A的行S2到d+1，如下所示：f（x）=xiwegetxixi=1，xjxi=0和xixi=0。因此，G（xi）=bPi+βPix，i=1，d、 这个yieldsA2:4，：=血压βPβPβP0。血压βPβPβP0。血压βPβPβP0。.跳跃扩展是可能的——对于一些理论，请参见Keller Ressel和Mayerhofer（2012）、Mayerhofer等人（2010）、Duffee等人（2000）、Duffee等人（2003）。接下来，对于k=2，我们必须考虑d（d+1）/2=dbasis元素，对应于A的行d+2 tod+1+d（d+1）。我们将基元素排列如下x=x、 xx，xx，x，xx，x. 由于扩散矩阵是对角的，因此对于i=j，我们在生成器中只有非零元素。对于这些基元素，关于xare 2x，x，x，0，0的第一次偏导数。关于xare 2，0，0，0，0，0，0，0等的第二次偏导数。

对于X和X，我们以同样的方式进行。例如，考虑f（x）=x，因此等式（19）产生G（x）=bPi+β-Pix2x+Pdj=1ΣB+Bxj1xj2.对于f（x）=xx，其中（二十）x=x，（二十）x=x和（二十）xx=1，（19）并且S（X（t））和∑是对角矩阵，这一事实导致G（xx）=bP+βPxx+bP+βPxx+[∑S]·1+[∑S]·1。有了xx，我们以同样的方式进行。结果是5:10,1:10=∑B2bP+∑Bx∑Bx∑Bx2βP2βP2βP00 0。BP0βPβP+βPβPβPβP00。BP0BPβPβPβP+βP0βPβP0。∑B∑Bx2bP+∑Bx∑Bx0 2βP02βP2βP00。0 bPbP0βPβPβPβP+βPβP。∑B∑Bx∑Bx2bP+∑Bx0 0 2βP0 2βP2βP0。.对于k=3，我们得到= 10=删除。在考虑第11到20行之前。基本元素是x=x、 xx，xx，xx，xxx，xx，x，xx，xx，xx，x. 然后，A11:20,1:10=bxxx0 0 0 0 0 0 0 0 bbbbbbx0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 bbx0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bx0 3∑Bx3bP+3∑Bx.其中Sii（X（t））=Bi+（Bxi）′X（t）和Sij（X（t））=0，i，j=1，d、 11:20,11:20=3βP3βP3βP000。βP2βP+βPβP2βP2βP000。βPβP2βP+βp02β2β0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。0 2βP0βP+2βP2βP0βPβP000。0βPβPβPβP+βP+βPβP0βPβP0。0 0 2βP0 2βPβP+2βP0 0βPβP0。03βP003βP3βP000。0 0 0βP2βP0βP2βP+βP2βP0。0 0 0 0 2βPβP0 2βP2βP+βPβP0。0 0 0 0 3βP0 0 3βP3βP0。.最后但并非最不重要的一点是，当k=4时，我们有d=15个基本元素=x、 xx，xx，xx，xxx，xx，xx，xxx，xxx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx.

然后我们得到：A21:35,1:10=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3∑0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∑0 0 0 0 0 0 0 0 0∑0 0 0 0∑0 0 0∑0 0 0∑0 0 0 0 3∑0 0 0 0∑0 0 0 0 0 0∑0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0∑0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0（30）C观测产量的矩以下段落获得了观测产量的前四个矩，即ykti, k=1，4，收益率的自协方差，E（ytiyt）-1，i）和平方收益率的自协方差，E伊蒂伊特-1.我.假设2规定了力矩Eεktiεlti.如果要考虑y的p个矩，我们通过对多项式系数求和得到矩数，即Ny=pXj=1j+M- 1j. （31）和的幂可以通过多项式公式得到。k=Pdi=1li，li≥ 0，我们得到（x+x+··+xd）k=Xl+l+··+ld=kkl，l，ldY1≤我≤dxlii，（32）在哪里kl，l，。。。，ld=KL我···ld！。Letd（i，K）=i+K- 1i（33）对于K∈ N和我≤ p、 根据方程式（8），我们写出di≡ d（i，d）；当K=d时，即当K=d时，符号简化。请注意，d计算条件动量的维数（X（t）i | X（s）=X）。此外，Ni=Pij=0dj对应于条件矩之和，即小于或等于i。我们将推导前四个矩，这意味着p=4。从（22）我们得到了k=1，l=0的一阶矩，其中E（εti）=0表示i=1，M.对于第二时刻：k=2，l=0，这样Eεti= σi对于所有我；当k=l=1，i6=j时，我们得到E（εtiεtj）=0，i6=j。对于第三个矩：k=3，l=0，alli，k=2，l=1，i6=j，和k=1，l=2，i6=j。假设所有这些项都为零，即Eεtiεtj= 0和Eεtiεtj= 0，i6=j。

对于第四个力矩：k=4，l=0，所有i，k=3，l=1，i6=j，k=l=2，i6=j，k=1，l=3，i6=j，Eεtiεtj= 0，Eεtiεtj= 0和Eεtiεtj= 0，i6=j，Eεti= σi.注意，σi表示εti的第四个力矩，其中通常（σi）6=σi。第一个力矩通过E（yt）=Φ+ψE（Xt），E（yti）=Φi+ψ′iE（Xt）=Φi+ψ′iE（~Xt，1:3），（34）表示Φi=-τiΦ（τi，0）∈ R、 ψi=-τiψ（τi，0）∈ Rd，Φ∈ RM，Xt∈ 里约热内卢∈ RMandψ∈ RM×d。收益率的二阶矩由：E（ytiytj）=ΦiΦj给出+Φiψ′j+Φjψ′iE（Xt）+ψ′iE（XtX′t）ψj+E（εtiεtj）=ΦiΦj+Φiψ′j+Φjψ′iE（~Xt，1:d）+ψ′iE维希-1（~Xt，d+1:d+d）ψj+E（εtiεtj），（35）对于i，j=1，在（35）中，我们需要函数vech-1.该函数的目的是将d（d+1）/2×1向量＠Xt，d+1:d+din转换为对称的d×d矩阵XtX′t。更详细地说，d+1:d+d=vech（XtX′t），其中vec（XtX′t）将d×d矩阵XtX′和vech（XtX′t）矢量化，并从d×1向量向量（XtX′t）中消除超对角元素（例如，见Poirier 1995，第646页）。因此，vech（XtX′t）是一个d（d+1）/2×1向量。函数vech-1让我们回到XtX\'t，即vech-1将d（d+1）/2×1向量E（~Xt，d+1:d+d）映射到对称的d×d矩阵E（XtX′t）。对于d=3，其作用如下：vech-1.a··a=aaaaaaaaa（36）因此，维奇-1（~Xt，d+1:d+d）=XtX′t。通过假设2，对于l=1，…，我们得到E（Xtlεti）=0，d、 i=1，M andE（εtiεtj）=σi，对于i=j，0，对于i6=j，（37）对于i，j=1，M

基于此，（35）可以写成asE（ytiytj）=ΦiΦj+Φiψ′j+Φjψ′iE（~Xt，1:d）+（mij）′E（~Xt，d+1:d+d）+E（εtiεtj），（38）其中f或d=3我们定义mij=（ψi1ψj1，ψi1ψj2+ψi2ψj1，ψi1ψj3+ψi3ψj1，ψi2ψj2 j2，ψi2ψj3+ψi3，ψi3ψj3）′=mji∈ 因此（mij）E（~Xt，4:9）=ψ′iE（XtX′t）ψj。关于我们观察到的三阶矩：E（ytiytj）=E（Φi+ψ′iXt+εti）Φj+ψ′jXt+εtj= E（Φi+ψ′iXt）（Φj+ψ′jXt）+（Φi+ψ′iXt）εtj+2（Φi+ψ′iXt）（Φj+ψ′jXt）εti+E2（Φi+ψ′iXt）εtiεtj+（Φj+ψ′jXt）εti+εtiεtj= EΦiΦj+Φi（ψ′jXt）+2ΦiΦj（ψ′iXt）+2Φi（ψ′iXt）（ψ′jXt）+Φj（ψ′iXt）+（ψ′iXt）（ψ′jXt）+2（Φi+ψ′iE（Xt））σiI（i=j）+（Φj+ψ′jE（Xt））σi=ΦiΦj+（Φiψ′j+2ΦiΦjψ′i）E（Xt）+2Φiψ′iE（XtX′t）ψj+Φjψ′iE（XtX′t）ψi+E（（ψ′ixtt）ψj′jXt）+2（Φi+ψi′iE（Xt））σiI（i=j）+j+=Φi+σiΦj+Φiψ′j+2ΦiΦjψ′i+σiψ′jE（Xt）+2Φi（mij）\'+Φj（mii）\'E（~Xt，d+1:d+d）+（mij）′E~Xt，d+d+1:d+d+d+ 2（Φi+ψ′iE（Xt））σiI（i=j），（39），其中mij=本人本人本人本人的一个小本本异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异异j3′∈ RDI和I（·）代表指示函数。通过假设2，对于I6=j，我们得到E（Xtlεti）=0，E（Xtlεti）=0，E（Xtlεtiεtj）=0，对于l=1，d和i，j=1，M.以类似的方式，在相同的假设下，可以显示Ytytj=Φj+σjΦi+Φjψ′i+2ΦiΦjψ′j+σjψ′iE（Xt）+2Φj（mij）′+Φi（mjj）′E（~Xt，d+1:d+d）+（mij）′E~Xt，d+d+1:d+d+d+ 2（Φi+ψ′iE（Xt））σiI（i=j），（40），其中mij=ψi1ψj1，ψi2ψj1+2ψi1ψj1ψj2，ψi3ψj1+2ψi1ψj3，ψi1ψj2+2ψi2ψj1ψj2，ψi1ψj3+2ψi3ψj3，2（ψi1ψj3ψj3+ψi2ψj1ψj3+ψj3ψj2ψj3），ψi2ψj2 i2，ψi3ψj3，ψj3′∈ RDD=3。

第四刻，我们到达了Ytytj= EΦi+ψ′iXt+εtiΦj+ψ′jXt+εtj= EΦi+（ψ′iXt）+εti+2Φiψ′iXt+2Φiεti+2ψ′iXtεti×Φj+（ψ′jXt）+εtj+2Φjψ′jXt+2Φjεtj+2ψ′jXtεtj= 我的Φj+σj+σj+j+上周上周的Φ我的Φ我的Φj+σj+以及2个Φ我本人的Φ我本人的Φj+σj）+2个Φ我本人的Φj，我本人的Φ我本人的Φ我本人的Φ我的Φ我的Φ我的Φ我的Φj+我本人的Φ我的Φ我的Φ我的Φ我本人本人，我的Φ我的本人本人本人，我的本人本人，我的本人（我++我的本人）以及（我的本人）以及我的）以及我本人本人本人本人（我的本人）以及（我的）以及我的本人）以及我本人）以及我的本人本人本人（我的）以及我本人（我的）以及我的）以及我本人本人本人本人（我的）以及我的）以及我本人（我本人）的）以及（我的）的）以及我本人（我（我的）的）的）的ΦΦ我（我（我（我）的）是是是是是是是d）+mijE（~Xt，d+d+d+1:d+d+d+d+d）+4σihΦi+2Φiψ′iE（Xt）+（mii）′~Xt，d+1:d+diI（i=j），（41）式中~Xt，d+d+d+1:d+d+d+d= E（ψ′iXt）（ψ′jXt）. 根据假设2，对于j 6=i，预期E（εtiεti）=E（εti）和E（εtiεtj）=σiσj=我本人的主要是一个本人本人的本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本ψj1+ψi1ψj2），4ψi2ψj2（ψi3ψj1+ψi1ψj3）+2（ψi1ψi3ψj2+ψi2ψj1ψj3），4ψi3ψj3（ψi1ψj2+ψi2ψj1）+2（ψi1ψi2ψj3+ψi3ψj1ψj2），2ψi3ψj3，ψi2ψj2，2ψi2ψj2（ψi3ψj2+ψi2ψj3），ψi2ψj3+ψi3ψj2+4ψi2ψi3ψj2 j3，2ψi3ψj3（ψi2ψj3+ψi3ψj2），ψi3ψj3′∈ Rd.对于收益率的自协方差和平方收益率的自协方差，我们必须计算（Xvt（Xws）\'）（这将在后面变得清晰）。在我们继续这些矩之前，我们得到了关于lyxι和指数ι的结果≤ v计算条件力矩E（Xvt | Xs=Xs）。此外，我们还得到了exp（（t）的结构的一个结果-s） A），在下面的引理中给出：引理1。设D和B是n×n下k块三角矩阵，使得：Dmi:ni，ni+1:n=Bmi:ni，ni+1:n=0，其中mi≤ 如果i=1，k、 k≤ n、 nk=n，对于i=1，…，ni<ni+1，K- 1.那么矩阵C=DB具有相同的结构，即Cmi:ni，ni+1:n=0，其中mi≤ niand ni<ni+1fori=1，K- 1.证明：让j和l存在∈ {1，…，k}这样≤ J≤ 镍，镍+1≤ L≤ n、 然后Cjl=（Dj1。

，Djni，0，（0，…，0，Bni+1，l，…，Bnl）′=0。注意，对于一个squ，矩阵是B，exp（B）=P+∞i=0Bii！。因此，如果B是引理中描述的结构的矩阵，那么exp（B）也具有相同的结构。作为矩阵（t- s） A是引理1中描述的结构，这和exp（（t）的定义- s） A）也意味着矩阵exp（（t- s） A）具有相同的结构。因此，exp（（t- s） A）内华达州-1:Nv，Nv+1:N=0，它给出了sexp（（t- s） A）内华达州-1+1:Nv:1，（x）\'（x）\'，（xp）\'′= [exp（（t- 内华达州-1+1:Nv，1:Nv，exp（（t- s） A）内华达州-1+1:Nv，Nv+1:N]1，（x）′，（xv）\'（xv+1）\'，（xp）\'′= [exp（（t- 内华达州-1+1:Nv，1:Nv，0dv×N-[内华达州]1，（x）′，（xv）\'（xv+1）\'，（xp）\'′= exp（（t-s） A）内华达州-1+1:Nv，1:Nv1，（x）′，（xv）′′+ 0dv×N-内华达州（xv+1）\'，（xp）\'′= exp（（t-s） A）内华达州-1+1:Nv，1:Nv1，（x）′，（xv）′′.（13） 上述计算表明：只有xι与ι≤ v进入条件动量E的计算（Xvt | Xs=x）。关于Xs=x-isE（Xvt | Xs=x）=E的xtr第v阶矩的条件期望~Xt，内华达州-1+1:Nv | Xs=x= exp（（t- （s）A） 内华达州-1+1:Nv，1:Nv1，（x）′，（xv）′′= exp（（t- （s）A） 内华达州-1+1:Nv，1+exp（（t- （s）A） 内华达州-1+1:Nv，2:1+dx+·exp（（t- （s）A） 内华达州-1+1:Nv，Nv-1+1:Nvxv，（42），其尺寸为dv×1； ∈ R++是第3.3节中已经定义的台阶宽度。这意味着：E（Xvt（Xws）′=E（E（Xvt|Xs）（Xws）′）=exp（T- （s）A） 内华达州-1+1:Nv，1E（（Xws）′）+exp（（t）- （s）A） 内华达州-1+1:Nv，2:1+dE（Xs（Xws）′）+·exp（t- （s）A） 内华达州-1+1:Nv，Nv-1+1:NvE（Xvs（Xws）\'）。

（43）那么对于t>s，我们得到（ytiysi）=EΦi+ψ′iXt+εtiΦi+ψ′iXs+εsi= Φi+2Φiψ′iE（Xt）+ψ′iE（XtX′s）ψi=Φi+2Φiψ′iE（Xt）+ψ′iexp（（t-（s） · A） 2:1+d，1E（X′t）ψi+ψ′iexp（（t- （s） · A） 2:1+d，2:1+dE（XtX′t）ψi=Φi+2Φiψ′iE（~Xt，1:d）+ψ′iexp（（t- （s） · A） 2:1+d，1E（~X′t，1:d）ψi+ψ′iexp（（t）-（s） · A） 2:1+d，2:1+d（向量）-1（~Xt，1+d:d+d））ψi和（44）E（ytiysi）=EΦi+ψ′iXt+εtiΦi+ψ′iXs+εsi= EΦi+（ψ′iXt）+εti+2Φiψ′iXt+2Φiεti+2ψ′iXtεtiΦi+（ψ′iXs）+εsi+2Φiψ′iXs+2Φiεsi+2ψ′iXsεsi= Φi+2ΦiE（（ψ′iXs））+2Φiσi+4Φiψ′iE（Xt）+E（（ψ′iXs）（ψ′iXs））+2σiE（（ψ′iXs））+2ΦiE（ψ′iXt）ψ′iXs+ψ′iXt（ψ′iXs）+ 4Φiσiψ′iE（Xt）+4ΦiE（ψ′iXt）（ψ′iXs）= Φi+2（Φi+σi）E（ψ′iXt）+ 2Φiσi+E（ψ′iXt）（ψ′iXs）+2（ψ′iXt）ψ′iXs+ψ′iXt（ψ′iXs）+ 4（Φi+σi）Φiψ′iE（Xt）+4ΦiE（ψ′iXt）（ψ′iXs）. （45）为了完成这些力矩的计算，量e（ψ′Xt）, E（（ψ′Xt）（ψ′Xs）），E（ψ′Xt）ψ′Xs, Eψ′Xt（ψ′Xs）还有E（ψ′Xt）（ψ′Xs）必须导出。为了简化符号，我们在下面的表达式中省略了ψii中的索引i；ψl∈ R是ψ的元素l∈ Rd（台阶宽度时） = 1已在正文中假定。如有必要，以不同的步长推导以下力矩， 将包含在以下表达式中。指数i仍然包括在内，这将是ψil）。请注意（ψ′Xt）= ψ′E（XtX′t）ψ=ψ′E（vech）-1（Xt））ψandE（ψ′Xt）（ψ′Xs）= ψ′E（XtX′s）ψ=ψ′EE（Xt | Xs）X′sΨ (46)= Ψ′exp（（t- （s）A） 2:1+d，1E（X′t）+exp（t- （s）A） 2:1+d，2:1+dE（XtX′t）Ψ= Ψ′exp（（t- （s）A） 2:1+d，1E（X′t）+exp（t- （s）A） 2:1+d，2:1+d（向量）-1（Xt））Ψ.此外，我们（ψ′Xt）ψ′Xs= ψ′E（Xtψ′XtX′s）ψ=ψ′E（XtX′s）（ψ′Xt）ψ，（47）对于t>s。这里我们观察到以下等式：（XtX′s）（ψ′Xt）=Xt1Xs1Xt1Xs2··Xt1XsdXt2Xs1Xt2Xs2··Xt2Xsd··XtdXs1XtdXs2··XtdXsddXl=1ψlXtl。（48）等式（47）需要E（XtiXsjXtl）的导数，其中i，j，l∈ {1，…，d}。

为了简化符号，引入了以下g函数gi（·），i=2、3、4，以便于跟踪动量向量的特定元素。我们得到（i，j）=（i- 1)D-我+ j，（49）代表i，j∈ N和我≤ J≤ d、 此外，我们导出（i，j，m）=i-1Xk=1dd-k+j- i（2d）- 我- j+3）+m- j+1（50）g（i，j，m，n）=i-1Xk=1dd-k+j-iXk=1d（d-i+1-k、 d-1)+d+1-m+j- 1.（m）- j） +n- m+1，（51）表示i，j，m∈ N和我≤ J≤ M≤ d和i，j，m∈ N和我≤ J≤ M≤ N≤ d、 分别。while d是过程的维度（X（t）），d（.）功能是否已在（33）中定义。对于d=3，该产量sg（i，j）=1，如果i=1，j=12，如果i=1，j=23，如果i=1，j=34，如果i=2，j=25，如果i=2，j=36，如果i=3，j=3，（52）g（i，j，m）=1，如果i=1，j=1，m=12，如果i=1，j=1，m=23，如果i=1，j=1，m=34，如果i=1，j=2，m=25，如果i=1，j=2，m=36，如果i=1，j=3，m=37，如果i=2，j=2，m=39，如果i=2，j=3，m=310，如果i=3，j=3，m=3，（53）和g（i，j，m=3，m=3，m=3，m=3，m=3，m=3，m=3，n=如果i=1，j=1，m=1，m=1，m=1，n=1，n=23，如果i=1，j=1，m=1，m=1，n=1，n=34，如果i=1，j=1，j=1，m=1，m=1，m=1，j=1，j=1，j=1，m=1，m=1，n=1，n=1，m=1，m=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=34，n=34，如果i=1，如果i=1，j=1，j=1，j=1，j=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，如果i=2，j=2，m=2，n=313，如果i=2，j=2，m=3，n=314，如果i=2，j=3，m=3，n=315，如果i=3，j=3，m=3，n=3。（54）设e为一的向量，e=（1，…，1）′，和e=（1，2，…，d）′。

然后M，Mj和Mj，分别是以下的d×2，d×3和d×4矩阵：=ee2ee2:d·············, 对于d=3，它是M=1 11 21 32 22 33 3, （55）它的尺寸不是故意规定的，因为它会有所不同，并且会从上下文中清晰可见。Mj=（M，je）和dmj，l=（Mj，le）=（M，je，le），（56）其中e是维数为d×1的向量。因此，对于t>sE（XtiXsjXtl）=E（E（XtiXtl | Xs）Xsj）=exp（t- （s）A） k，1E（Xsj）+exp（t- （s）A） k，2:1+dE（xsj）+exp（t- （s）A） k，2+d:2+d+dE（xsj）=exp（t- （s）A） k，1E（Xtj）+exp（t- （s）A） k，2:1+dEXg（[~e，je]），t+ exp（（t- （s）A） k，2+d:2+d+dEXg（Mj），t, （57）式中k=1+d+g（i，l）。因此，（i，j）元素i，j=1，d、 （47）中的矩阵是E（XtX′s）ψ′Xtij=dXl=1ψlE（XtiXsjXtl），其中E（XtiXsjXtl）由（57）给出。那就让我们来吧ψ′Xt（ψ′Xs）= ψ′E（Xtψ′XsX′s）ψ=ψ′E（XtX′s）（ψ′Xs）ψ，（58）式中（XtX′s）（ψ′Xs）=Xt1Xs1Xt1Xs2··Xt1XsdXt2Xs1Xt2Xs2··Xt2Xsd··XtdXs1XtdXs2··XtdXsddXi=lψlXsl=dXi=lψlXT1XS1XSLXT1XS2XSSL···XT1XSDXSLXT2XSS1XSLXT2XS2XS2XSL···XT2XSSDXSL··XtdXs1XslXtdXs2Xsl··XtdXsdXsl··XtdXsdXsl. （59）对于表达式（59），需要知道E（XtiXsjXsl），其中i，j，l∈ {1，…，d}。因此，对于t>sE（XtiXsjXsl）=E（E（Xti | Xs）XsjXsl）（60）=exp（t- （s）A） i+1,1E（XsjXsl）+exp（t- （s）A） i+1,2:1+dE（xsjxsl）=exp（t- （s）A） i+1,1EXg（j，l），t+ exp（（t- （s）A） i+1,2:1+dEXg（[e，je，le]），t.（i，j）元素i，j=1，d、 （59）中矩阵的E（XtX′s）ψ′Xsij=dXl=1ψlE（XtiXsjXsl），其中E（XtiXsjXsl）由（61）给出。

最后（ψ′Xt）（ψ′Xs）= ψ′EXt（ψ′Xt）（ψ′Xs）X′sψ=ψ′E（XtX′s）（ψ′Xt）（ψ′Xs）ψ（61）和（XtX′s）（ψ′Xt）（ψ′Xs）=Xt1Xs1Xt1Xs2··Xt1XsdXt2Xs1Xt2Xs2··Xt2Xsd··XtdXs1XtdXs2··XtdXsddXi=1dXj=1ψiψjXtiXsj（62）=dXi=1dXj=1ψiψjXt1Xs1XtiXsjXt1Xs2XtiXsj··Xt1XsdXtiXsjXt2Xs1XtiXsjXt2Xs2XtiXsj··XT2XSSDXTIXSJ···XtdXs1XtiXsjXtdXs2XtiXsj··XtdXsdXtiXsj.对于t>s，我们有E（XtiXsjXtmXsn）=E（E（XtiXtm | Xs）XsjXsn）=exp（t- （s） · A） k，1E（XsjXsn）+exp（t- （s） · A） k，2:1+dE（xsjxsn）+exp（t- （s） · A） k，2+d:1+d+dEXSJXSN= exp（（t- （s） · A） k，1EXg（j，n），t+ exp（（t- （s） · A） k，2:1+dEXg（~e，je，ne），t+ exp（（t- （s） · A） k，2+d:1+d+dEXg（Mj，n），t, （63）式中k=1+d+g（i，m）。（i，j）元素i，j=1，d、 （61）中m矩阵的E（XtX′s）（ψ′Xt）（ψ′Xs）ij=dXk=1dXl=1ψkψlE（XtiXsjXtkXsl），期望值由（63）给出。DΦ（t，u）和ψ（t，u）的求解本节推导了（29）中描述的具有对角βII的Am（D）模型的Riccati微分方程的函数Φ（t，u）和ψ（t，u）。根据方程式（6），其基于菲利波维奇（2009）[定理10.4和推论10.2]，在t=τi，i=1时计算的ψ（t，u）和Φ（t，u，计算零息票价格π（t，τi）和相应的模型收益率所需的M和u=0。对于Vasicek（1977）和th eCox等人（1985）的模型，如Filipovi\'c（2009）[p.162-163]中给出了解决方案。现在，我们将Grasselli和Tebaldi（2008）[第3.4.1节]中获得的结果应用于具有对角m×m矩阵βII的Am（d）模型。在第一步中，我们必须求解J分量的线性常微分方程。即我们考虑tψJ（t，u）=βQJJ′ψJ（t，u）- γxJ；ψJ（0，u）=uJ，γxJ=en×1。（64）注意ψJis n的维数。（64）的一个特殊解是结构ψJ（t，u）=expTβQJJ′c+c，（65）与ψJ（0，u）=c+c=uJ。

（66）那么（65）意味着tψJ（t，u）=βQJJ′经验TβQJJ′c、 （67）堵塞（65）和（67）到（64）产量中βQJJ′经验TβQJJ′c=βQJJ′经验TβQJJ′c+c- γxJ，它给出了γxJ=βQJJ′c=βQJJ′-1γxJ。这和（66）意味着c=uJ-βQJJ′-1γxJ。插入最后一个表达式和cinto（65）得到ψJ（t，u）=expTβQJJ′uJ-经验TβQJJ′- 在里面βQJJ′-1γxJ=expTβQJJ′uJ-βQJJ′-1.经验TβQJJ′- 在里面γxJ。（68）在第二步中，将子系统ψJ（t，u）的解插入常微分方程，因为平方根方程（68）也遵循Perko（1991）[定理1，第60页]。（68）最后一个表达式中的矩阵积可以用矩阵指数的性质来交换。即（βQ′JJ）-1exp（tβQ′JJ）=exp（tβQ′JJ）（βQ′JJ）-1来自EXP（YXY）的以下内容-1） =Y exp（X）Y-1.项ψI。因此，I分量的Riccati方程为tψi（t，u）=∑iψi（t，u）+βQiiψi（t，u）- ~γxi ~γxi（t，u）=γxi-nXj=1βQm+j，i（ψj（t，u））j-nXj=1∑m+jBxi，m+j[ψj（t，u））]j，ψi（0，u）=ui，γxi=1，i=1，m、 （69）由于（69）是一个时间非齐次Riccati方程，它可以用以下方法求解：兴趣常微分方程tψi=∑iψi+βQiiψi-对于i=1，…，γxi，m、 代换后的νi=∑iψi，i=1，m、 wegettνi=νi+βQiiνi-∑iγxi。格拉塞利（Grasselli）和特巴尔迪（Tebaldi）（2008）[第3.4.1节]提供了这种结构的非均匀Riccati ODE的解决方案。νiisνi（t，u）=M（i）（t，u）ui+M（i）（t，u）M（i）（t，u）ui+M（i）（t，u）的解，其中M（i）（t，u）=M（i）（t，u）M（i）（t，u）M（i）（t，u）M（i）（t，u）= 经验tβQii-∑iRtγxi（s，u）ds-t/20. （70）在ψi=νi∑ifor i=1，m、 当u=0d×1时，我们得到ψi（t，0）=∑iM（i）（t，0）m（i）（t，0），对于i=1，m、 （71）为了推导m（i）（t，u），必须求解积分rt＠γxi（s，u）ds，其中zt＠γxi（s，u）ds=γxit-nXj=1βQm+j，iZt[ψj（s，u）]jds-nXj=1∑m+jBxi，m+jZtψJ（t，u）jds。

（72）可以通过ztψJ（s，0）ds=-Zt“βQJJ′-1.经验sβQJJ′-在里面γxJ#ds=-βQJJ′-1\"βQJJ′-1.经验TβQJJ′- 在里面-tIn#γxJ（73）使用（68）。第三项（72）和第三项（72）都可以从数值上导出。Itremains计算Φ（t，0），式中为（29）tΦ（t，u）=ψ（t，u）′aψ（t，u）+bQ′ψ（t，u），Φ（0，u）=0，=diag（σJ）ψJ（t，u）+bQ′ψ（t，u）。我们可以用Φ（t，0）=ΦI（t，0）+ΦJ（t，0）来表示Φ（t，0）。d×d矩阵的J分量等于具有∑m+1，∑dalong主对角线使得ΦJ（t，0）=ZtψJ（s，0）′∑m+10 0。。。0∑dψJ（s，0）ds+Zt（bQm+1，…，青岛银行）ψJ（s，0）ds。对于ΦI（t，0），我们得到ΦI（t，0）=bQI′ZtψI（s，0）ds。（74）ΦI（t，0）、ΦJ（t，0）和ψ（t，0）可以通过数值积分很容易地得到。为此，我们用G+1网格点生成一个网格Γ={t，t，…，tG}。我们设置t=0和tG=max（τl）=τM，包括到期日τl，l=1，M，在Γ中，我们知道对于每个到期日，对于某些kl，我们有tkl=τlf∈ {1，…，G+1}。台阶宽度由以下公式给出：k=tk- tk-1，k=1，G+1（如果Γ的某些元素与τ重合，则不会导致任何问题，因为k=0这一点的实现如下：（i）生成等距网格，（ii）包括M个到期日，（iii）按升序排序所有这些点。这样的网格点）。然后我们计算每个t=tk，k=1，G+1。通过计算SUMPKL-1k=1ψJ（tk，0）\'∑m+10∑dψJ（tk，0）k+Pkl-1k=1（bQm+1，…，青岛银行）ψJ（tk，0）k（左黎曼和），Pklk=2ψJ（tk，0）\'∑m+10∑dψJ（tk，0）k+Pklk=2（bQm+1，…，青岛银行）ψJ（tk，0）k（右黎曼和），orpklklk=2ψJ（tk-1,0′+ψJ（tk，0′）∑m+10∑dψJ（tk）-1,0′+ψJ（tk，0′）k+Pklk=2（bQm+1，…，青岛银行）ψJ（tk-1,0′+ψJ（tk，0′）k（梯形法则）我们得到了ΦJ（τl，0）的数值近似值，对于τl=τM，kl=G（+1）。

在我们的代码中实现了右和。由于ψJandψjar的积分是获得τl~γxi（t，0）dt所必需的，因此我们也使用数值积分来获得τl~γxi（t，0）dt。然后在（71）中使用这些代理来计算ψi（τl，0），i=1，m、 配备ψI（tk，0），k=1，G+1我们还可以得到ΦI（τl，0）的数值近似值。参数的限制首先，我们给出了允许的条件，这些条件保证（X（t））在状态空间S中保持不变。所有这些限制分别适用于P和Q这两个度量。容许性条件（见Filipovi\'c，2009，定理10.2）：a，α是对称的半正定的。aII=0m×m，aIJ=a′JI=0m×n，αj=0n×对于所有j=m+1，m+n.αi，kl=αi，lk=0∈ I\\{I}代表所有人1≤ i、 l≤ d、 b·∈ S，β·IJ=0m×nandβ·ii具有非负对角元素。在具有对角微分矩阵的模型中，如果满足定义1中提出的Dai和Singleton（2000）条件，则满足容许限制。为了使过程（X（t））保持状态空间S的边界，我们可以施加边界条件/Feller条件（见Ait-Sahalia和Kimmel，2010，等式15-17）：b·i≥∑如果i=1，m、 （具有非负对角元素的条件β·IJ=0m×和β·ii已包含在可接受条件中。）最后但并非最不重要的是，我们对平稳性有一些进一步的限制：平稳性条件（见Ait-Sahalia和Kimmel，2010年，表1）：β特征值的实部小于零。Glasserman和Kim（2010）中提供了一种更一般的关于性行为的处理方法。F GMM估计对于我们的模型来说，最小化GM M距离函数（23）是非常重要的。

通过使用标准极小化路线，作为基于NelderMead算法的MATLAB极小化研究，我们观察到估计过程执行得很差。因此，正如下面第1步所述，我们在最小化过程中包括了多段随机搜索方法（例如，见T¨orn和Zilinskas，1989）。与仅使用上述最小化程序相比，该程序改进了参数估计，尤其是在查看平均值和与平均值的绝对偏差百分比时。表5给出了一些结果。此外，我们还采用了经典测试，如瓦尔德测试和距离差异测试（见Ruud，2000；Newey和McFadden，1994）。我们观察到，这些测试表现不佳。关于无效假设θP=θqa与替代θP6=θqa的一些测试结果，见表6，其中可以看出，这些测试的能力和规模并不符合“通常的质量标准”。我们通过使用瓦尔德检验估计一个相对较大的（23×23）协方差矩阵和一个梯度矩阵来解释这种行为（另见等式（26））。关于距离差异测试，我们观察到g矩阵中的（q×q）权重CT=^∧-1对测试结果有很大影响，如果∧估计不够准确，可能会导致潜在的不准确。为了进一步改进估计程序的性能，我们将多段随机搜索方法与准贝叶斯方法相结合（见Chernozhukov和Hong，2003）。为了应用贝叶斯工具，必须指定apriorπ（θ）。参数空间Θ是Rp的一个子集。它是一个适当的su bset，因为根据模型假设，某些参数严格为正、非负等。此外，容许性和平稳性进一步限制了参数空间。因此，对于所有θ6，先验θπ（θ）=0∈ Θ.

此外，为了在计算机上实现随机搜索方法，并添加“先验信息”，我们将Θ限制为Θ Θ，其中对于Θ中不包含的所有θ，π（θ）=0。见http://www.mathworks。de/de/help/matlab/ref/fminsearch。这些模拟实验的详细结果可根据要求从作者处获得。子集Θ的构造如下：∑的下界设为0.1，上界设为2。上界来自观察到的产量方差，下界来自假设每个成分的方差不太小。对于不受限制的Bxij，我们假设Bxij∈ [0,2]，其中Bxij≥ 0遵循mo-dels假设，而Bxij≤ 2用于限制平方根项对其他波动率的影响。此外，σε∈ [0.005, 0.025]. 这是由观测误差与产量方差相比很小的论点所证明的。观测误差可能是由市场微观结构噪声引起的（例如，见Campbell等人，1997年；Chen等人，2007年）。下限是基于至少10个基点可以被分配到Noise的假设。为了确保矩阵βq和β与奇异矩阵的距离足够远，我们称之为eβii≤ -0.1. 为了应对产量的高度序列相关性，我们需要βii≥ -50.对于βij，i6=j，我们采用了-10和10的上限。当使用这些区间之外的值时，β的矩阵指数差异变小。由于θ和γ确定了由稳态（X（t））（见等式（2））定义的惯性惯性矩即期汇率E（rt）=γ+θPde的平均值，我们假设c[~mT（y1:t）]≤ γ+θP≤ c[~mT（y1:T）]，其中c=1.45适用于贝叶斯采样器。

由于无法观察到瞬时短期利率的样本平均值，因此我们使用最短到期日的样本平均值，根据我们的符号，它是[~mT（y1:T）]。此外，还必须满足关于平稳性、识别性和可接受性的条件。考虑到这些限制和Θ分量的统一先验，先验θπ（θ）与I（平稳性、识别性、可容许性）I（c[~mT（y1:T）]≤γ+θP≤c[~mT（y1:T）]），其中I（·）表示指示函数。综上所述，上述所有限制导致了集合Θ。对于包含的所有元素，我们使用统一的优先级，对于所有元素∈ Θ我们设置∧π（θ）=0。在指定先验值后，参数估计如下所示。第一步：运行多段随机搜索方法，生成θ（n），其中n=1，N=2000。步骤2：为每个MCMC步骤m运行MCMC:m=1，M=20000，通过Metropolis-Hastings算法按块更新θ（M）：MCMC子步骤1：更新块J。。。MCMC子步骤K：更新块JKCMC子步骤：可逆跳转步骤（概率为90%）。从图θ（m）中获得估计值bθ，其中m=Mb+1，M=20000。Ad步骤1：给定集合Θ，我们随机生成初始点θ（n），n=1，N=2000，我用[θ（N）]j=[θj+cθ[|θ|]jεj为元素j，j独立绘制∈ {1，…，p}，当支撑体是实轴时，log[|θ（n）|]j=log[]j+cθεjsuch[θ（n）]j=exp（log（[j）+cθεj）sgn（[θj）表示实轴非正或非负部分的元素j。r和dom变量εjare iidstandard normal和仅θ（n）与θπθ（n）> 使用0。此外，如第4节所述，我们的随机搜索程序也会生成样本，其中θP（n）=θQ（n） 。这是通过设置θP（n） 等于抽样的θQ（n） 概率为80%。

根据QT（n）对gθ（n）进行排序；y1:T）按照升序，我们配备了排序的绘图θ[j]和距离QTθ[j]；y1:T, 在哪里θ[1]; y1:T≤ QTθ[2]; y1:T≤ ··· ≤ QTθ[N]；y1:T. GMM距离函数QT（θ；y1:T）定义在（23）中，其中，对于所有n=1，…，CT=IQ，N.广告步骤2：根据Chernozhukov和Hong（2003）的结果，可以使用Metropolis Hastings算法（例如，见Robert和Casella，2004）来最小化提示-GMM准则函数QT（·）。为了做到这一点，我们如下进行：假设θ（m）-1） 是可用的，其中m表示MCMC步骤的索引。对于m=1，我们从θ[1]开始贝叶斯采样器，即θ（0）=θ[1]。待更新的参数向量，θ（m-1） ，是维数p，其中索引集{1，…，p}被块Jk覆盖 {1，…，p}，k=1，K=5。第一个区块J包含前两个参数和第19个参数，即γ，J={3，…，9}，第三个区块J={10，…，15}，而J={16，17，18}。最后，第五个区块J包含波动性参数。有关参数排序，请参见表1的第一列。在更新步骤m中，我们考虑子步骤k=1，K、 式中，θ（m，K）代表子步骤K中MCMC步骤m中的参数向量。设θold=θ（m）-1） =θ（m）-1，K）表示K=1和θold=θ（m，K）-1） 对于k=2，K.当考虑区块时，θoldi、 我∈ Jk，更新了。更新θ（m，k）-1)i、 我∈ Jk，一个随机游走的命题，密度为q[θnew]我|θold我= 使用fN（[θold]i，σRW i）（[θnew]i），其中fN（·s）代表正常密度。在随机游走方案中，我们使用相对噪声的小标准差。特别是，σRW i=0.01[|θold |]i，概率为90%，对于剩余的10%，我们将该噪声项的标准偏差设置为σRW i=0.005[| old |]i。

通过将这些建议应用于所有元素∈ Jk，我们得到了参数向量[θnew]和建议密度qθ新|旧=气∈Jkq[θnew]我|θold我. 对于其余组件[θ新]l=θoldl, 哪里l 不包含在Jk块中。配备了QT（θnew；y1:T）和QT（θold；y1:T）、先验∧π（·）和建议密度q（·），可以使用Metropolis-Hastings算法。设L（θ）=exp-T QT（θ；y1:T）.GMM距离函数QT（y1:T）在（23）中定义，其中CT=^∧T（m）-1))-1带∧Tθ（m）-1)=T-1PTt=2h（t）（θ（m）-1); y1:T）h（T）（θ（m）-1); y1:T）′。然后，从旧到新的转变被概率接受θ旧，θ新= min（1，L（θnew）L（θold）~π（θnew）~π（θold）qθ旧|新q（新的|旧的）。（75）为了实现Metropolis-Hastings步骤，我们绘制一个[0，1]均匀随机变量，并接受θnew，即θ（m，k）=θnew，如果该均匀随机变量小于或等于θ旧，θ新, 否则θ（m，k）=θold。根据我们对先验知识的假设，可以得出π（θnew）=π（θold）与θnew一样长∈ Θ. 只要是新的/∈ 那么概率呢 等于零。由于上述随机游走特性，我们观察到θ旧|新= Qθ新|旧. 然后更新下一个块，使θold变为相等，当子步骤k不是必需的时，不应用子步骤k的in dex。到现在的θ（m，k）。对所有块执行这些更新步骤后，k=1，K、 我们得到θ（m）=θ（m，K）。为了提高贝叶斯采样器在θQ=θPor和θQ6=θP的情况下的性能，基于Green（1995）和Richardson and Green（1997）实现了一个可逆跳跃移动。假设已通过上述步骤获得θ（m）。让θold=θ（m）。在概率为90%的情况下，我们将以下g步添加到采样步骤m中：考虑状态s，其中θQ=θ，状态s，其中θQ6=θp。状态s是先验概率p（s=s）=ps=0.90的伯努利分布随机变量。

通过应用Green（1995），可以通过Metropolis-Hastings算法实现从{S=S}到{S=S}的转换，反之亦然。特别地，考虑均匀分布的随机变量η，以及正态iid随机变量u和uγ。本征密度为fN（0，σu）（u）和fN（0，σuγ）（uγ）。设{S=S}，其中θold=θQ=θP。从{S=S}到{S=S}的可能分裂转换如下θP，new=θold- 2ηu，θQ，new=θold+2（1- η） u，γ新=γ旧- 2ηu+uγ。（76）通过用θP，new，θQ，new和γnew替换θold中的相应元素，我们得到了新的参数向量θnew。设χold=（s；θold，γold）和χnew=（s；θP，new，θQ，newγnew）。通过对（76）中的项进行偏导，我们得到了雅可比矩阵。注意，θold包含旧参数，其中θP=θQ。在格林表示法（1995）中，状态为n=2的相关参数的维数（由θold和γold组成），噪声分量的维数为m=3（由于η、u和uγ）。swe得到n=3（由θP，new，θQ，new和γnew组成）和m=2（由于η和duγ）。这就产生了，n+m=n+m.J=（θP，θQ，η，γ，uγ）\'（θ，η，γ，u，uγ）\'=1.-2u0-2η 01 -2u 0 2（1）- η) 00 1 0 0 00 -2u 1-2η 10 0 0 0 1. （77）矩阵J的行列式等于2。考虑到u和uγ的建议密度q（u）=fN（0，σu）（u）和q（uγ）=fN（0，σuγ）（uγ），从χold到χnew的转换是可以接受的（见格林，1995，方程（7））旧的，新的= min1，L（θnew）L（θold）~π（θnew）~π（θold）1- pspsfN（0，σuγ）uoldγfN（0，σuγ）新γfN（0，σu）（u）|J |！=min1，L（θnew）L（θold）~π（θnew）~π（θold）1- pspsfN（0，σu）（u）！。（78）自uoldγ=γnew-γold+2ηu，密度fN（0，σγ）抵消了（78）。可以在不更新γ的情况下执行等效的Metropolis Hastingsmove。

从{S=S}到{S=S}的可能合并转换如下：θnew=θQ，new=θP，new=（1- η） θQ，新+ηθQ，旧γ新=γ旧- 2ηu+uγ，例如th atu=θP- θ新-2η=θQ+θnew2（1- η). （79）通过（79）我们得到θnew和γnew。然后，从χold过渡=sθP，old，θQ，old，γold新的=sθP，new=θQ，new=θnew，γnew被概率所接受（格林，1995，等式（7））：旧的，新的= 闵1，L（新）L（旧）ps1- psfN（0，σu）（u）. （80）如果接受拆分或合并转换，我们将θ（m）=θnew。在合并移动θP=θ后，更新子步骤k=1，直到发生拆分移动。参数估计：为了获得参数估计值bθ，我们考虑图θ（m），其中m=Mb+1，马尔可夫链收敛部分的M。我们使用Mb=5000和M=20000。然后bθ由样本均值提供。表1和表2显示了使用上述贝叶斯算法获得的参数估计。此外，如Chernozhukov和Hong（2003）所示，磨合阶段后的绘制也可用于估计参数的渐近方差。为此，我们可以简单地计算bθ（m）的样本方差，其中m=Mb+1，M.为了解释马尔科夫链观察到的序列相关性，我们遵循贝叶斯文献，通过Flegal和Jones（2010）中描述的批量平均法估计Bθ组分的方差[特别是使用等式（6）]。蒙特卡罗研究：在第4节所述的模拟研究中，对每个蒙特卡罗复制（l=1，…，l=200）执行步骤1和2。备注2。基于Cher nozhukov和Hong（2003）的准贝叶斯采样器的实现并非“免费”。

运行多部分随机搜索方法和标准最小化程序，然后根据（26）执行Wald测试大约需要20分钟，而基于运行随机搜索，然后从马尔可夫链中获得20000个dr aws的完整估计步骤大约在同一标准PC上持续24小时-bθbθθQ10 10.3593 8.9022 1.0527 69.9629 6.0544 3.4352 23.6299 0.3593θP1。51.5046 1.2986 0.0676 6.4437 1.0296 1.3471 5.1909 0.0046βQ-1-1.2823-1.0328-7.6430-0.1108 0.9617-2.0173 9.4853 0.2823βQ0。2 0.2523 0.1729 0.0099 2.8282 0.2549 3.2707 22.3280 0.0523βQ0。020.0326 0.0204 0.0009 0.5962 0.0416 5.2132 49.7281 0.0126βQ-1-1.5493-1.4686-4.2679-0.1046 0.7283-0.5842 3.2132 0.5493βQ0。040.0375 0.0354-0.0734 0.1586 0.0404 0.1497 2.8928 0.0025βQ-0.0005-0.0002-0.0343 0.0303 0.0097 0.0013 3.1280 0.0005βQ-1-1.5042-4.7165-0.0664 0.7906-0.5289 3.0549 0.5042βP-0.8-1.6204-0.8868-43.8618-0.0503-2.938-0.8239βP-0.8234。020.0330 0.0210 0.0013 0.3927 0.0378 3.0352 17.4456 0.0130βP0。010.0168 0.0102 0.0004 0.2022 0.0212 4.1593 27.5666 0.0068βP-0.7-0.9193-0.8646-3.1251 0.2598 0.5646-0.5446 2.8395 0.2193βP0。010.0094 0.0094-0.0182 0.0433 0.0099-0.5446 2.8395 0.0006βP0。0000-0.0003-0.0316 0.0305 0.0099 0.0824 2.8274 0.0000βP-0.7-0.9199-0.8383-3.0770 0.2518 0.5418-0.5914 3.0650 0.2199Bx0。050.0791 0.0496 0.0029 1.2802 0.0964 4.3127 35.8452 0.0291Bx0。10.1590 0.1590 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.1483-4.3.3.3.7 7.7 7.7.3.3.3.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0 0.0 0.0 0 0.0.0.0.0.0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2908 0.0180 7.8621 102.5576 0.0051表5：A(3). 用M=10和T=500模拟数据。

基于FMInsearch的估算。cθ=1控制优化程序起始值生成过程中的噪声。统计数据来自1000次模拟运行。均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和库尔特代表点估计的样本均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和峰度bθl, l = 1.1, 000. |θ -bθ代表与真实参数的平均偏差的绝对值。真实的p参数值θ在第二列中报告。θQ=106=1.5=θPθQ=θP=1.5αSWald DD Wald DD0。01 0.018 0.545 0.015 0.0570.050.028 0.583 0.021 0.0620.100.043 0.623 0.025 0.065表6：参数测试：用M=10、T=500和cθ=1模拟数据。[θ]=θQand[θ]=θ，且θ的其余元素等于表5第二列的元素。对于α水平。cθ控制优化程序起始值生成过程中的噪声。零假设为θQ=θpagainst双边备选方案θQ6=θP。参数θ通过结合多段随机搜索方法和标准极小化程序进行估计。瓦尔德测试和距离差异测试（DD）如鲁德（2000）第22章所述实施。方程（26）用于估计√Tbθ- θ对于Wald检验，而∧T，如（26）所示，用于距离差异检验。表中的数字是使用瓦尔德检验和距离差异检验时，给出显著水平αS的完整假设的拒绝率。统计数据来自1000次模拟运行。参考文献Ait-Sahalia，Y.（1996a）。利率衍生证券的非参数定价。《计量经济学》，64:527-560。Ait-Sahalia，Y.（1996年b）。检验即期利率的连续时间模型。《金融研究回顾》，9（2）：385-426。Ait-Sahalia，Y。

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