仿射项结构模型的GMM估计

2022-5-8 21:39:44

有效期限结构模型的GMM估计*Jaroslava Hlouskova Leopold S¨ogner+2015年8月10日摘要本文利用广义矩量法研究了一个有效期限结构模型的参数估计。利用p-多项式过程。然后，将广义矩量法与准贝叶斯方法相结合，得到可靠的参数估计并进行推理。在模拟研究之后，将估算程序应用于经验利率数据。关键词：有效期限结构模型，GMM。杰尔：C01，C11，G12。*作者感谢Eberhard Mayer-ofer、Robert Kunst和Paul Schneider，以及CFE 20122013会议、GPSD 2014会议和COMPSTAT 2014会议的与会者进行了有趣的讨论和评论。感谢奥地利中央银行根据14678号周年纪念赠款提供的财政支持。+雅罗斯拉夫·赫卢斯科娃（雅罗斯拉夫）。hlouskova@ihs.ac.at)Leopold S–ogner(soegner@ihs.ac.at)，奥地利维也纳圣乌姆佩加斯高等研究所经济和金融系，邮编：1060。Leopold S¨ogner与维也纳金融研究生院（VGSF）和加拿大汤普森河大学（Thompson Rivers University）的雅罗斯拉瓦·赫卢斯科娃（Jaroslava Hluskova）有进一步的合作。1简介这篇文章关注的是有效期限结构模型中的参数估计和推断。我们使用了Cuchiero等人（2012）在第-多项式过程，以获得驱动项结构的潜在有效过程的精确条件动量。通过假设一个平稳过程，我们不仅得到了不同到期日的收益率向量的精确矩，还得到了收益率和平方y场的一阶自协方差矩阵。

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2022-5-8 21:39:47

然后，我们通过Hansen（1982）介绍的广义矩量法（GMM）估计模型参数，其中拟贝叶斯方法（见Chernozhu-kov和Hong，2003）用于最小化GMM距离函数。本文的另一个贡献是对定量金融文献中讨论的风险规格的市场价格测试进行了严格的研究。通过考虑Wald检验，我们观察到，从准贝叶斯方法提供的输出中获得的检验统计量在功率和大小方面明显优于通过标准程序获得的检验统计量。一项结构模型起源于Vasicek（1977）和Cox等人（1985）的单变量模型。这些模型和类似的单变量设置的性能已经在Ait-Sahalia（1996a）和Ait-Sahalia（1996b）中进行了研究。文章表明，这些单变量参数模型不足以描述利率动态。基于这一发现，Ait-Sahalia（1996a），Ait-Sahalia（1996b）以及Stanton（1997）提出了非p参数利率模型。作为替代，Dai和Singleton（2000）和Dai和Singleton（2003）倾向于多变量设置，以避免单变量模型的缺点。这个另类建模应用程序roach的优势在于，它有一个数学框架，可以直接对债券和衍生品进行定价。让我们简要地讨论一下关于不同估计方法性能的一些文献：关于参数估计，周（2001）研究了有效的矩量法（EMM）、GMM、拟最大似然估计（QMLE）和Cox等人（1985）模型的最大似然估计（MLE）。在他的研究中，作者假设可以观察到由平方根过程驱动的瞬时利率。

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2022-5-8 21:39:51

最有效的结果是MLE，其次是QMLE和EMM。关于GMM，如果样本量足够大，该方法表现良好。此外，Zhou（2003）通过应用Ito公式推导单变量潜在过程的矩，构造了一个GMM估计（在可以观察到瞬时利率的相同假设下）。该估计器与ML估计器进行了比较。与Zhou（2001）不同的是，在这种设置中，与最大似然估计相比，GMM估计在有限样本中表现得相当好。最近的文献提出了不同的频率和贝叶斯方法来估计多变量单期结构模型的参数。已在1996年和2009年应用了Bayes-Geostrev和Schnecert-Wig方法。关于贝叶斯估计方法，Jones（2003）指出，在随机过程的均值回归程度较低（即高持续性）的情况下，需要强先验来估计参数。Hamilton和Wu（2012）在三因素高斯模型（Dai和Singleton的终结学中的a（3）模型，2000）中进行了最大似然估计。关于有效模型参数估计的其他文章有：Diebold等人（2006年）、Duffee（2011年）、ait-Sahalia和Kimmel（2010年）、Egorov等人（2011年）和Joslin等人（2010年）。Piazzesi（2010）提供了概述。另一种方法是通过对查普曼/科尔莫戈罗夫正演方程的近似，来近似A ffine过程的过渡密度。Ait-Sahalia在一系列论文中探讨了这种方法（例如，见Ait-Sahalia，2002年；Ait-Sahalia和Kimmel，2010年）。Filipovi\'c等人（2013年）使用了c uchiero等人获得的力矩。

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kedemingshi

2022-5-8 21:39:55

（2012）构造额外的可能性扩展。与文献中已经使用的许多其他方法相比，我们使用了从多元有效期结构模型中观察到的收益率的精确矩。既不需要对矩进行近似（例如通过随机微分方程的解进行近似），也不需要对似然进行近似。由于我们必须在20多个参数中最小化GMM距离函数，所以GMM估计是非常重要的。为了解决这个问题，我们使用了切尔诺朱科夫和洪（2003）提出的准贝叶斯方法。由于参数估计的标准误差是该估计程序的副产品，我们将其应用于参数测试，在参数测试中，我们观察到Andersen等人（1999）的随机波动率模型表明，EMM估计与最大似然估计具有几乎相同的效率。真实无效假设的拒绝率接近理论显著水平。相比之下，当使用标准例程估计未知参数向量的渐近协方差矩阵时，Wald检验的性能（以功率和大小衡量）非常差。本文的组织结构如下：第2节国际odu ces有效期限结构模型。第3节ap PLIES数学金融文献中获得的结果，用于计算驱动产量的潜在过程的矩，然后导出观察到的产量矩。第4节描述了GMM估计器的小样本性质，而第5节将该估计器应用于经验数据。最后，第6节给出了结论。2有效模型本节简要介绍了有效模型，主要基于Filipovi\'c（2009）。考虑状态空间S=Rm+×Rn R，m，n≥ 0，m+n=d，以及经过筛选的概率空间(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）。

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nandehutu2022

2022-5-8 21:39:58

带X（t）∈ 连续时间的随机过程（X（t））t≥0由以下一个有效的随机微分方程dx（t）生成=bP+βPX（t）dt+ρ（X（t））dWP（t），（1）其中bpa是d-维向量和βPandρ（x）是d×d矩阵。d×d扩散项a（x）的定义如下：a（x）=ρ（x）ρ（x）′=a+Pdi=1xiαi，其中a和αi，i=1，d、是d×d矩阵。WP（t）是一个d-二维标准布朗运动。有关更多详细信息，请参阅附录A。在有效环境中，瞬时利率（短期利率，r（t）∈ R）从R（t）=γ+γ′xX（t），（2）式中，γ是标量，γxis a d-维向量。我们考虑一个无套利市场，其中P是经验测度，Q是等价鞅测度。我们假设过程（X（t））t≥0也是度量Q中的一个函数，比如dx（t）=bQ+βQX（t）dt+ρ（X（t））dWQ（t），（3），其中WQ（t）是d-Q测度下的二维标准布朗运动。通过方程（1）和（3），随机过程（X（t））t≥0在这两个度量中都是有效的。虽然在这两种度量下，扩散参数（a，αi，i=1，…，d）保持不变，但我们必须在两种度量P和Q中考虑参数bP，βP，bq和βQ。这种规格，即方程式（1）和（3），被称为风险规格的扩展有效市场价格，其数学定义见Cheridito等人（2007）。这些作者还利用Girsanov定理证明了wq（t）=WP（t）+Rtφ（X（s））ds。对于有效类φ（X（t））=（ρ（X（t）））-1.英国石油公司- bQ+βP- βQX（t）, （4）式中φ（X（t））∈ 随机过程（φ（X（t））t≥0，称为风险过程的市场价格。备注1。观察市场价格的风险过程（φ（X（t）））t≥0与风险管理有关，Cochrane（2005）[p。

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kedemingshi

2022-5-8 21:40:02

339]pr提供了过程（φ（X（t））与t之间的形式关系≥0和（瞬时）夏普节奏。我们还假设过程（X（t））满足可采性条件（在这两种措施下），从而确保过程（X（t））不会离开状态空间S（见Filipovi\'c，2009，定理10.2和附录E）。接下来，我们定义了指数集I={1，…，m}和J={m+1，…，n}，其中m+n=d。设bI=（b，…，bm）′和βII=β1:m，1:m。这种表示法，容许性限制（见附录E），短期利率模型（2）和条件E经验(-R′τR（z）dz）< +∞, 对于某些¨τ∈ R+，意味着在本文中，我们应用以下符号：对于向量和矩阵，我们使用黑体。如果未另行说明，则考虑的向量为列向量。给定一个rM×cMmatrix M，术语Mra:rb，ca:cbs代表“从行到行rb，从列到列cato列cbof矩阵M”。缩写Mra:rb，：代表“从行到行rbof矩阵M”，而“，：”代表所有列，即第1列到第cM列。此外，Mra:rb，Ca提取柱状体的元素。此外，βij代表[β]ij；0a×带ea×b，用于a×b矩阵的0和1；0a和ea用于缩写a×1和ea×1；Ia是a×a单位矩阵，而I（·）代表指示函数。给定一个向量x∈ Rn，diag（x）将x变换为n×n对角矩阵。2 E-3代表2·10-3= 0.002.存在唯一解（Φ（t，u），ψ（t，u）′）∈ Riccati微分方程系统的C×CdtΦ（t，u）=（ψJ（t，u））′aJJψJ（t，u）+bQ′ψ（t，u）- γ; Φ（0，u）=0，tψi（t，u）=（ψ（t，u））′αiψ（t，u）+β气′ψ（t，u）- γxi；因为我∈ 我tψJ（t，u）=βQJJ′ψJ（t，u）- γxJ；ψ（0，u）=u，（5）式中t∈ [0，\'τ]，u∈ iRdandβ=（β，…，βd），其中βi为a d-维向量，i=1。

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2022-5-8 21:40:06

，d（见菲利波维奇，2009，定理10.4）。这个普通微分方程组用于计算零息债券的时间t价格π（t，τ），以及到期时间τ。套利fr ee zero Coupon模型价格π（t，τ）和模型收益率y（t，τ）源自Filipovi\'c（2009）[推论10.2]。也就是π（t，τ）=expΦ（τ，0）+ψ（τ，0）′X（t）andy（t，τ）=-τlogπ（t，τ）= -τΦ（τ，0）+ψ（τ，0）′X（t）. （6）成熟时间τ和u=0是（5）中描述的函数Φ（t，u）和ψ（t，u）的参数。Q下的参数必须用于推导Φ（τ，0）和ψ（τ，0）。3矩和多项式过程。本文的目标是通过GMM估计模型参数，我们必须获得产量的矩。第3.1节使用多项式过程的最新理论来获得潜在过程（X（t））t的矩的封闭形式表达式≥0.在第3.2节中，我们推导了具有对角扩散项的有效期结构模型的模型收益率的精确矩。最后，第3.3节讨论了经验数据的情况，即观察到的收益率数量大于（X（t））t的维数≥因此，观测到的产量无法与（6）中的模型产量精确匹配。Duffee和Kan（1996）以及Duffee等人（2000）已经研究了类似于（5）h的普通微分方程。3.1多项式过程基于Cuchiero等人（2012）在p-多项式马尔可夫过程，这一小节导出了潜在p过程（X（t））t的条件矩≥让我们考虑一个时间齐次马氏过程（X（t））t≥0，从X（0）开始=X∈ 其中状态空间S是Rd.Thesemigroup（Pt）t的闭子集≥由ptf（x）=E（f（x（t））|x（0）=x）=ZSf（ζ）νt（x，dζ）（7）在所有可积函数f:S上定义→ 关于马尔可夫核的Rνt（x，·）。

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2022-5-8 21:40:10

对于有效期限结构模型，我们需要在X（s）=X时“开始”的过程的（X（t））矩；t>s.给定过滤（Ft）t≥假设（X（t））是齐次马尔可夫过程，当过程从X（s）=X开始时，f（X（t））的条件期望由E（f（X（t））|X（s）=X）=Pt给出-sf（x）（例如，见Klenke，2008，定理17.9）。接下来，让P≤p（S）是S上多项式的有限维向量空间，直到p阶≥ 0，即≤p（S）=（pXk=0κ′kxk|x∈ S，κk∈ Rdk）式中xk=πdj=1xl（k）1jj，∏dj=1xl（k）2jj，πdj=1xl（k）dkjj！\'∈ RDK和dk=k+d- 1k. （8）对于i=1，dk和j=1，d xk的表达式中的指数l（k）ij满足l（k）ij∈ Nas油井asPdj=1l（k）ij=k。在有效期限结构中，P≤p（S）由（1，x′，（x′，）给出，（xp）′，因此它的尺寸是N=Ppk=0dk。此外，马尔可夫过程（X（t））t≥开关X（s）=X∈ Sis称为p-多项式如果对所有f（x）∈ P≤p（S）和t≥ sPt-sf（x）=E（f（x（t））|x（s）=x）∈ P≤p（S）。（9）例如，对于d=3和k=2，我们有以下公式：=x、 xx，xx，x，xx，x′, 因此（i）l（2）=2，l（2）=0，l（2）=0，（ii）l（2）=1，l（2）=1，l（2）=0，（iii）l（2）=1，l（2）=0，l（2）=1，（iv）l（2）=0，l（2）=2，l（2）=0，（v）l（2）=0，l（2）=1，l（2）=1，（vi）l（2）=0，l（2）=2）=2。也就是说，如果f（x）是多项式，那么E（f（x（t））|x（s）=x）也是多项式。Cuchiero等人（2012）[定理2.7]已经证明了时间齐次马尔可夫过程（X（t））是p-多项式i仅当P上存在线性映射a时≤p（S）使Pt-限制在P≤PCT可以写成asPt-标准普尔≤p=exp（（t- s） A）。配备了这个数学工具，并通过（7）的方法，对t>s和f（X）进行条件检验E（f（X（t））|X（s）=X）∈ P≤p（S）可以通过e（f（X（t））|X（S）=X）=exp（t）来推导- s） A）f（x）。

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2022-5-8 21:40:14

（10）给定X（s）=X，f（X（t））的条件期望值可以通过从生成器获得N×N矩阵来推导，其中N=Ppk=1dk，f（参见Cuchiero等人，2012，定理2.9）Gf（X）=dXi=1bPi+β-Px我f（x）xi+dXi，j=1[a（x）]ijf（x）xixj=dXi=1bPi+βPi，1:dxf（x）xi+dXi，j=1[a（x）]ijf（x）xixj。（11）为了得到（X（t））的矩，我们设置f（X（t））=X（t）k如果k=1，p和i=1，dk。如前所述，如果X（t）的尺寸大于1，那么X（t）k=πdj=1X（t）l（k）1jj，··，πdj=1Xl（k）dkjj，其中l（k）ij∈ N、 Pdj=1l（k）ij=k≤ p、 i=1，dk和j=1，d、更详细地说，我们考虑了基（e，…，eN）=（1，x′，（x′，），（xp）\'）。通过将扩展生成元G应用于基元ei，我们可以通过ei=NXj=1Aijej得到N×N矩阵A的第i行。（12）通过将（11）应用于相应的基本元素，计算了左侧。那么请注意这一点-标准普尔≤p=exp（（t-s） A）还解决了科尔莫戈罗夫向后方程u（t）-s、十）t=Gu（t- s、 x），其中G是Cuchiero等人（2012）[定义2.3]中所述的扩展发电机。这源于Cuchiero等人（2012）的p屋顶[定理2.7]。从（12）简单地通过比较系数得出。最终结果是inE（X（t）k | X（s）=X）=dk×Pk-1j=0dj，Idk，0dk×N-Pkj=0djexp（（t- s）（A）1，x′，，x′，（xp）\'′,（13）如果Idkis是dk×dk单位矩阵，t>s.3.2 Dai和Singleton（2000）——潜在过程的模型和时刻，我们使用一个有效的模型，其中扩散项可以对角化。对于这一子类，Dai和Singleton（2000）提供了充分的识别条件。在这种情况下，有效过程（X（t））t≥0遵循随机微分方程dx（t）=（bQ+βQX（t））dt+∑pS（X（t））dWQ（t），其中sii（X（t））=Bi+（Bxi）′X（t），Sij（X（t））=0，对于i，j=1。

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2022-5-8 21:40:18

，d，i6=j，（14）和∑=diag（∑，∑，∑d），使得∑i=[∑]ii>0。等式（14）是（3）的特例。d的元素-维度向量裸Bi。Bxis ad×d矩阵，其中d×1向量bxi是该矩阵的第i列；i、例如，Bx=（Bx，…，Bxd）与bxi=（Bx1i，…，Bxdi）\'，i=1，d、由于∑和S（X（t））是对角矩阵，我们得到了a（X（t））=∑S（X（t））=∑对角矩阵B+（Bx）′X（t）. d×d对角矩阵a的对角元素由aii=σiBi，i=1，d和d×d对角矩阵的对角元素αi，i=1，d、是∑Bxi1，∑Bxi2，∑dBxid。对于βQ和BxDai和Singleton（2000），需要βQ=βQIIm×nβQJI≥ 0βQJJ和Bx=ImBxIJ≥ 0n×mn×n, （15）例如，方程式（18）中的A（3）模型有19个p参数。Dai和Singleton（2000）表明，可以通过不同的参数获得相同的项结构。也就是说，模型未被识别。考虑到Dai和Singleton（2000）的识别条件，仅允许14个参数为自由参数。关于对角扩散矩阵，Cheridito等人（2008）[定理2.1]提供了一个条件，即存在一个从一般a函数模型（1）到一个带有对角a（x）的a函数模型的转换。对于d≤ 3.情况总是这样。其中m+n=d。矩阵βQIIis的维数为m×m，βqji的维数为n×m，βQJJis的维数为n×n，BxIJis的维数为m×n。当我们使用Dai和S ingleton（2000）的结果时，我们需要将我们的符号与Dai和Singleton（2000）的符号联系起来，其中过程的漂移项（X（t））t≥0已在表单中考虑-βQ（θQ）- X（t））dt，因此bQ=-βQθQ.在下面，θQ=-βQ-1Bq是维度d的向量，被划分为θqindθQJ，其中第一项为维度m，第二项为维度n；i、 e.，θQI∈ Rm，θQJ∈ Rn，和d，因此θQ=θQI′,θQJ′′∈ 路。

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2022-5-8 21:40:21

同样的部分也适用于X（t）。这是我的雅思成绩。定义1（Dai和Singleton（2000）——Am（d）模型的规范表示）。考虑（14）与对角扩散矩阵和短期利率模型（2）。可接受性和识别性要求如下：（i）-（a）对于m>0，是（15）给出的βQof结构，其中i加上βQij≥ 0换1≤ J≤ m和i6=j。此外，θQI≥ 0，θQJ=0，βQIIθQI<0。（i） -（b）对于m=0，是βQa下（或上）三角矩阵（Dai和Singleton，2000年，第1948页）。（ii）∑=Id.（iii）对于i，γ和γ是不受限制的∈ 一、而γxj≥ 0代表j∈ J.（iv）B=（01×m，e1×n）′，结构的Bxis由（15）提供。如果有效程序的受理条件（i）-（iv）ss（X（t））t≥如果满足，则带有对角扩散项的模型（14）将被称为Am（d）模型。定义1（i）-（a）意味着bQi=-Pmj=1βQijθQj>0，对于i=1，m、因此，BQ的第一个m元素严格为正，最后n个元素为负。名字是BQ=bQIbQJ=-βQIIθQI>0-βQJIθQI≤ 0. （16）这意味着βIIa的对角线元素为负值。在定义1中，我们假设∑是一个包含条目∑i>0且γx=ed的对角矩阵，从而略微偏离了标准表示。请注意，Dai和Singleton（2000）的标准表示是满足可容许性和识别条件的许多表示之一。Dai和Singleton（2000）的Ap pendix提出了一个线性变换∧AX（t）=LAX（t）+定律，模型仍然是可容许的和可识别的。由于θQJis限制为零，并非βqq和bq的所有元素都可以不受限制。在估计过程中，我们使用θQas作为参数来解释这一事实。那么bQ=-现在，我们将在Q.1节中开发的工具应用于Q.d。为了观察其工作原理，我们首先推导了Vasicek（1977）和Cox等人（1985）模型的矩阵A。

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2022-5-8 21:40:24

然后我们计算了任意0的anAm（d）模型的A≤ M≤ d和d≤ 3.对于d=3的矩阵A，如附录B所示，当P=4时，其尺寸变大（35×35）。让我们从Vasicek（1977）模型开始，其中e d=1，m=0，这样（X（t））遵循anOrnstein-Uhlbeck过程dX（t）=（bP+βPX（t））dt+ΔdWP（t）。对于这个模型，马尔科夫转移概率G的生成器由GF（x）给出=bP+βPxdf（x）dx+∑df（x）dx。（17）考虑基数1，x，x，xp。用于推导矩的线性映射A≤ p（p下）由（p+1）×（p+1）矩阵给出=0 . . .血压βP0。∑2bP2βP0。03∑3bP3βP0。。。。0 . . . 0k（k）-1） ∑kbPkβP。。。。。。。。。0 . . . . . . . . . 0p（p-1） ∑pbPpβP.对于Cox等人（1985）的模型，其中d=1，m=1，（X（t））遵循平方根过程dX（t）=（bP+βPX（t））dt+∑PX（t）dWP（t）。马尔可夫转移概率G的生成元由gf（x）=（bP+βPx）df（x）dx+∑xdf（x）dx给出，这样线性映射A由（p+1）×（p+1）矩阵给出=0 . . .血压βP0。β+2bP∑。03bp+3∑3βP0。。。。0 . . . . . . 0kbp+k（k-1） ∑kβP。。。。。。0 . . . . . . . . . . . . 0 pbP+p（p-1） ∑pβp,其中1≤ K≤ p、对于A（3）模型，其中d=3，m=1，（X（t））遵循一个包含一个平方根分量的随机过程。让我们从QdX（t）下的模型开始=bQ=-βQθQ>0bQ=-βQθQ≤ 0bQ=-βQθQ≤ 0+βQ<0βQ≥ 0βQβQβQ≥ 0βQβQX（t）dt+∑pX（t）∑p1+BxX（t）∑p1+BxX（t）dWQ（t）。（18） Dai和Singleton（2000）限制讨论了上述产量：θQ>0和βQ<0，Bx，Bx≥ 和∑，和∑，和∑>0。注意，（18）有13个参数，而在Q下我们可以识别14个参数。这些参数是（18）中的十三个参数和（2）中的γ。同样的结构假定为底部。基于Cher idito等人。

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2022-5-8 21:40:28

（2007）鉴于bPI=bP，风险规格的扩展有效市场价格在数学上得到了很好的定义≥ 0，bPJ=（bP，bP）\'≤ 0和八个附加参数βP≤ 0，βP≥ 0，βP≥ 0，βP，βP，βP，βP，βP，包含在βP和θP中≥ 0包含在θP中，这里θP=θP=0。然后更详细地说：βQ（7个参数），θQ（1个参数，也就是θQ）≥ 而θQ=θQ=0，因此bQ=-βQθQ=-[βQ，βQ，βQ]′θQ），∑（3个参数，只有主对角线中的元素为正，其他参数为零），Bx≥ 0和Bx≥ 0.bP=-βPθP.由于θP2:3=θQ2:3=0对于考虑ed的A（3）模型，我们为θQandθPin写θQandθPinstead如下。通过收集这些参数（不受等式限制），我们得到了模型参数θA1（3）的向量∈ R.通过（18）和风险假设的扩展有效市场价格，发电机变为comesgf（x）=Xi=1bPi+β-Pixf（x）xi+xi=1∑iBi+Bx1ixf（x）xi（19） f（X）的条件期望E（f（X（t））|X（s）=X）∈ P≤p（S）见第3.1节。特别地，当eA是维数为N×N的矩阵时，条件矩E（X（t）k | X（s）=X，t>s可以通过（13）导出。我们将考虑前四个时刻，即p=4。动量数N由多项式系数得出。关于基本元素ej，j=1，N、对于多项式，我们选择基1 | x，x，x | x，x | x，x | x，十、. 在这个表达式中，我们用|分隔了不同权力的条款。矩阵A是通过比较系数得出的，例如Gej=PNl=1Ajlel，对于j=1，N、其中Ajl=[A]jl。对于3维的（X（t）），我们得到k=0的一个项，k=1的三个项，k=2的六个项，k=3的十个项，k=4的五个项。

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可人4

2022-5-8 21:40:32

因此N=35。限制相应的模型参数为我们提供了A（3）模型的矩阵A。在本文的剩余部分，我们将坚持以下假设。假设1。背景驱动过程（X（t））是静止的。Glasserman和Kim（2010）提供了固定过程（X（t））的充分条件。对于Am（d）型号，当d≤ 3.平稳过程的有效条件也在it-Sahalia和Kimmel（2010）以及附录E中进行了报道。对于平稳过程（X（t）），我们得到E（X（t））=θP。此外，为了获得高阶矩，我们使用以下缩写：X=（1，（X）\'，（X），（xp）′，它的维数为N，而∧x2:N=（（x）′，（x）′，（xp）′是a（N）- 1)-维向量。~X（t）和~X（t）2：以相同的方式定义。自从E~X（t）= EE（X（t）|X（s））, 为了0≤ s<t，在塔的旁边，规则我们到达~X（t）=E~X（t）2:N= E[exp（（t- s） A）~X（t）= [exp（（t- s）A]E~X（t）=101×N-1[exp（（t- s） [A]2:N，1[exp（（t- s） [A]2:N，2:NE~X（t）2:N, （20）其中N×N矩阵exp（（t- s） A）可分为四个区块：（i）西北[exp（t- s） A）]=1，（ii）东北部[exp（（t）- s） A）]1,2:N=01×N-1，（iii）西南部- s） [A]2:N、1和（iv）东南[exp（（t- s）因此，从1阶到p阶的（无条件）动量跟在e后面~X（t）2:N=在里面-1.- [exp（（t- s） [A]2:N，2:N-1[exp（（t- s） [A]2:N，1。（21）3.3观察到的产量的时刻前面的第3.2节为我们提供了潜在过程的时刻（X（t））。通过（6）的方法，模型的产率为arey（t，τ）=-τΦ（τ，0）+ψ（τ，0）′X（t）.现在我们必须考虑一个事实，即现实世界的数据不能在连续的时间尺度上观测，而只能在离散的网格上观测, 2., . . . , T, . . . , T, 式中，T是时间序列维度，且是台阶的宽度。我们开始 = 1并假设Xt代表X（t).

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nandehutu2022

2022-5-8 21:40:36

此外，可用的到期日τ由τ=（τ，…，τM）′给出，其中M是观察到的到期日数。对于无成熟度τi的模型产量∈ 在t=t时观察到的{τ，…，τM} 我们使用符号yti，i=1，因为我同意-s） A）和A的结构相同。这源于矩阵指数exp（（t）的幂级数表示- s） A）=P∞v=0v（（t- s） A）v.此外，存在在里面-1.- [exp（（t- s） [A]2:N，2:N-1根据矩阵指数的性质。无法通过d<M因子精确匹配，我们添加噪声项εtian，并在观测到的产量yti=yti+εti=-τiΦ（τi，0）+ψ（τi，0）′Xt+ εti，i=1，M、 t=1，T.对于M个到期日τ=（τ，…，τM），我们定义了Φ=-Φ(τ, 0)/τ...-Φ（τM，0）/τM∈ RM，~ψ=-Ψ(τ, 0)′/τ···-ψ（τM，0）′/τM∈ RM×dandεt=εt1。。。εtM∈ RM，这样M-产量的量纲向量yt=（yt1，…，ytM）′由yt=＠Φ+＠ψXt+εt给出∈ RM。（22）根据（22）我们观察到，Yti的时刻必须从Xt的时刻开始。对于噪声计εt，我们采用以下假设。假设2。设εti，t=1，T，i=1，M，独立于零均值，方差0<σi<+∞ E（εti）<+∞. 此外| E（εpti）|+∞ 对于i=1，M和E（ε2ι）-1ti）=0表示ι=1，p/2,哪里p/2 是小于或等于p/2的最大整数。请注意，根据假设2，所有到期日都假设在有噪声的情况下观察到。此外，对于i6=j，i，j=1，…，E（εtiεtj）=0，M和E（εti）<+∞. 通过方程（22）和假设2，我们导出了经验产率E（yktiyltj）=E（（[#Φ+#ψXt+εt]i）k（[#Φ+#ψXt+εt]j）l）的矩，其中w为0≤ k+l≤ pand[·]提取向量的第i个元素。因此，我们得出了屈服点的前四个时刻，即e（ykti），k=1，4.

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2022-5-8 21:40:39

此外，金融应用通常采用收益率的自协方差E（ytiyt）-1i）和平方收益率的自协方差E（ytiyt）-1i），考虑到（“波动性聚集指数g”-参见Piazzesi（2010）[p.649]中的讨论。因此，术语E（ytiyt-1i）和E伊蒂伊特-1i都是经过计算的。由于这一部分很简单，但需要繁琐的代数操作才能获得所有这些矩，我们在附录C中给出了结果。我们将获得观测到的产量矩所需的噪声参数放入参数向量θσ中。θσ的增大取决于σi如何具体化以及估算中使用的力矩。如果每个成熟度的σiisdi不同，则噪声的二阶矩有M个参数。此外，如果计算出产量的第四个矩，那么噪声的第四个矩也会进入计算，也就是说，我们得到噪声矩的另一个M参数。在这种情况下，θσ的尺寸为2m。由于模型参数θA1（3）的尺寸已经超过20，我们继续对噪声进行更简洁的描述，其中σi=σ，e（εti）=σ，对于所有i=1，M因此，如果在计算观察到的产量时需要四阶矩，则θσ的尺寸为2，否则为1。这就产生了维数p的模型参数向量θ=（θ′A1（3），θ′σ），它包含在参数空间Θ中∈ Rp，其中由于Dai和Singleton（2000）以及平稳性限制，Θ是Rp的适当子集。表1的第一列介绍了θ的组成部分。力矩的计算还需要解Riccati方程（29）。对于Vasicekand，可使用Cox-Ingersol-Ross模型闭式解，如菲利波维奇（2009）[第10.3.2章]所述。

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2022-5-8 21:40:43

然而，对于Am（d）模型，Φ和ψh通常必须通过数值工具来推导。本文采用Grasselli和Tebaldi（2008）提出的一种计算有效的方法，得到Φ（t，u）和ψ（t，u）的（几乎）闭式解。这种方法要求矩阵是对角的。鉴于Dai和Singleton（2000）的设置，这意味着m没有进一步的限制≤ 1，代表m的文件≥ 2βqii的反对角线部分必须设置为零。附录D显示，对于具有对角线βII的Am（D）模型，可以用数值上的近似方法导出Φ和ψ。4参数估计和有限样本性质4。1通过观察成熟度τi，i=1，…，的产量进行参数估计，M、在t=1，T，我们得到M-变量向量t=（yt1，…，ytM）\'，t=1，T，M的观测值-变量时间序列y1:T=（y′，，y′T′，以及q-维向量＠m（t）（y1:t）=yt1，yptM，yt1yt-1,1, . . . , ytMyt-1米′和mT（y1:T）=TPTt=1yt1，TPTt=1yptM，T-1PTt=2yt1yt-1,1, . . . ,T-1PTt=2ytMyt-1米′.另见杜菲和简（1996年）；戴和独生子女（2000）；陈和若斯林（2012）。让√u（θ）=E（yt1），E（yptM），E（yt1yt）-1,1), . . . , E（ytMyt）-1米）′表示作为未知参数向量θ函数的相应矩向量∈ Θ Rp.附录C中提供了向量u（θ）的成分（见等式（34）、（38）、（39）、（40）、（41）、（44）和（45））。q的广义矩量法≥ p待选择的时刻。通过一个q×~qselector矩阵M，其中[M]ij=1，如果使用了相应的力矩，否则为零，我们得到μ（θ）=Mμ（θ）∈ Rq，m（t）（y1:t）=mm（t）（y1:t）∈ RQ和mT（y1:T）=M~mT（y1:T）∈ Rq。下一个定义h（t）（θ；y1:t）=m（t）（y1:t）- u（θ）和hT（θ；y1:T）=mT（y1:T）- u（θ）以及GMMdistance函数qt（θ；y1:T）=hT（θ；y1:T）′CThT（θ；y1:T）。

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2022-5-8 21:40:47

（23）GMM估计Bθ（ofθ）最小化（23）中的QT（·），其中CTI是一个q×q对称正半有限加权矩阵（参见，例如，Ruud，2000，第21-22章）。特别是，连续更新估计器（CUE）用于获得有效的GMM估计。也就是说，我们运行一个迭代过程，迭代步骤m=1，M、其中，我们在（i）基于给定Ct的QT（·）将参数估计值增加到θ（M）和（ii）更新给定的Ctθ（M）之间进行转换-1）从上一个迭代步骤m- 1.应用的加权矩阵为CT=^∧T（m）-1))-1，带∧Tθ（m）-1)=T-1PTt=2h（t）（θ（m）-1); y1:T）h（T）（θ（m）-1); y1:T）′。关于GM估计的规律性条件和其他问题，参见Hansen（1982）；Altonji和Segal（1996年）；P–otscher和Prucha（1997）；Windmeijer（2005）；古根伯格和史密斯（2005）；Newey和Windmeijer（2009）。为了满足序条件，不等式“q”≥ p“必须填满。对于第3节中考虑的A（3）模型，如果使用小于四阶矩，则参数向量θ的维数为23（p=23）。包括收益率的四阶矩，结果为p=24。可获得的到期日约为10个。因此，通过使用力矩E（yti），E（yti）和E（yty-1，i）对于i=1，M，我们已经配备了3M力矩条件。因此，对于M≥ 8订单条件q≥ p我已经见过面了。通过使用前四个矩（p=4）和自协方差（M=10），矩的数量远大于参数的数量。为了获得参数估计，必须求解高维非线性极小化问题，并且必须从可用的矩集合中选择q矩条件。关于后一个问题，事实证明，如果增加高阶动量，参数估计的不稳定性会增大。

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2022-5-8 21:40:51

由于稳定性方面的原因，使用Wald和距离差异测试来测试冗余力矩条件（测试过度识别限制；参见Ruud，2000，第22.2章），结果非常模糊。因此，这些力矩的选择是通过模拟实验进行的。根据模拟结果，我们采用q=27的力矩条件，即E（yti），E（ytiyt-1，i），i=1，对于（i，j）=（1,1）、（2,2）、（3,2）、（5,5）、（7,7）、（9,10）和（10,10），M=10和[E（yty′t）]ij。关于GMM距离函数的最小化，我们观察到，旨在寻找局部极小值的标准最小化程序不会产生可靠的参数估计。更详细地说，为了研究我们的估算路线的性质，我们在EM=10，T=500，模拟运行次数为1000次时，用模拟产量进行了蒙特卡罗实验。用于生成产量的参数向量θ如表1第二列所示。GM估计的初始值θ（m）生成如下：[θ（m）]j=[θj+cθ[]jζj坐标j，当支架是实轴时，当[θ（m）]j=exp（log[θj+cθζj）sgn（[θj）用于居住在实轴非正或非负部分的元素j。ζjis iid标准正常和畸变参数cθ设置为0、0.1、0.25、0.5和1。然后，通过基于Nelder-Mead算法的Matlab最小化程序fminsearch获得参数估计。在这种算法中，估计Bθ由θ（M）提供，在这种情况下，M是最后一个迭代步骤。我们观察到，当cθ≤ 0.25; i、例如，当优化开始时，充分接近真实参数θ。

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2022-5-8 21:40:54

然而，cθ=0.5或cθ=1的参数估计成为一个困难的问题。为了解决这个问题，我们将多部分随机搜索方法与准贝叶斯方法相结合（例如，见T¨orn和Zilinskas，1989；Chernozhukov和Hong，2003）。对于每一次蒙特卡洛跑步l,哪里l = 1.L=200，我们进行如下操作：首先，参数估计从随机数θ（n）开始，其中n=1，N=2000。样本θ（n）的生成方式与eSee http://www.mathworks中的θ（m）相同。de/de/help/matlab/ref/fminsearch。HTMLB通过将多段随机搜索方法（例如，见T¨orn和Zilinskas，1989）与Nelder-Mead算法相结合，我们观察到参数估计得到了改善。然而，执行推理仍然是一个棘手的问题。有关更多详细信息，请参见上文附录F，其中畸变参数cθ=1。然后，使用具有最小GMM距离函数的θ（n）作为准贝叶斯采样器的起始值。附录F描述了如何从遍历马尔可夫链中获得绘图θ（m）。最后，参数估计bθl以及方差^VBM的估计hbθl我ιι, ι = 1, . . . , p、从这些图中得出，后者是通过应用批量平均估计值获得的（具体见Flegal和Jones，2010，方程式（6））。表1和表2给出了我们的蒙特卡罗实验结果。在这两个表中，真实参数向量θ在第二列中提供。在表1中，数据的生成使得θP=1.5 6=10=θQ，而在表2中θP=θQ=1.5。在所有的蒙特卡罗实验中，估计了一个无约束模型。也就是说，我们分别得到了θ和θQ的独立估计。我们强制我们的多段随机搜索程序生成样本，以便θP（n）=θQ（n）以及θP（n）六,=θQ（n）（表1和表2中分别列出了这两个实验）。

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2022-5-8 21:40:57

此外，贝叶斯采样器中还包含了一个基于格林（1995）和理查森与格林（1997）的可逆跳跃动作。在θP=θQ的情况下，可逆跳变是有用的（更多细节见附录F）。来自estimatesbθl, l = 1.L=200，我们得到样本平均值、中值、最小值（min）、最大值（max）、标准差（std）、偏度（skew）和峰度（kurt）。这些描述性统计数据在表1和表2的第三列至第九列中报告。最后一列显示了估计的样本平均值与真实参数值之间的绝对差异。比较基于准贝叶斯方法（见表1）的结果，对于基于标准最小化程序（见补充材料F中的表5）的θP6=θQto结果的情况，我们发现准贝叶斯方法得出了大多数参数点估计的标准偏差。例如，θQis的点估计的标准偏差从6.05（见表5）减少到大约3.05（见表1）。对于驱动力项的估计，也观察到了类似的影响，即难以估计的∑、∑、∑和∑ε。通过考虑最小和最大的点估计（对应表格中的最小和最大），我们观察到准贝叶斯方法的点估计中的θ的差异非常小。注意，θPis的估计值是对过程（X（t））t的第一部分的预期值的估计≥0.由于（Xt）t的序列相关性∈Nis相当高，我们现在可以通过自回归过程的估计方法，我们分析中的标准m=1，2，M=20000。平均值的估计误差变大（例如，当计算AR（1）过程的Fisher信息矩阵时）。

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2022-5-8 21:41:02

对于θP=θQcase，表2中给出了类似的结果。θ平均最小最大标准偏差kur t|-bθbθθQ10 8.8660 8.5486 0.1534 19.2247 3.5008 0.6071 4.2157 1.1340θP1。51.6610 1.4883 0.0042 2.5920 1.0643 0.4911-0.3916 0.1610βQ-1-1.6418-1.2797-9.2212-0.4173 1.5798-3.2923 11.8217 0.6418βQ0。20.1817 0.1524 0.0025 0.3591 0.1299 1.8759 6.5029 0.0183βQ0。020.0350 0.0214 1.86E-5 0.3473 0.0457 3.1329 14.2229 0.0150βQ-1-1.4731-1.0671-8.1154-0.4823 1.1478-2.7690 10.1519 0.4731βQ0。040.0373 0.0219-0.0662 0.2711 0.0606 2.3781 10.2813 0.0027βQ0。0006-0.0003-0.0840 0.0266 0.0176 1.5436 16.5725 0.0006βQ-0.8-1.5327-1.2070-7.8466-0.63081.2389-2.5704 8.1375 0.7327βP-1-1.5069-0.9650-7.0168-0.16701.4929-1.5812 1.8702 0.5069βP0。020.0288 0.0037 3.67E-6 0.0170 0.0778 5.4759 35.4115 0.0088βP0。010.0099 0.0032 4.44E-7 0.0006 0.0206 5.0431 32.4652 0.0001βP-0.7-1.1194-0.6085-7.5792-0.1400 1.2938-2.2389 6.0933 0.4194βP0。01-1.1194-0.6085-7.5792-0.1400 1.2938-2.2389 6.0933 1.1294βP-0.0015 0.0000-0.0551 0.0017 0.0104-1.1382 8.4369 0.0015βP-0.7-0.9059-0.4692-6.5051-0.1844 1.1881-2.7918 7.8669 0.2059Bx0。10.0623 0.0123 2.43E-6 0.0493 0.1652 5.6178 35.3695 0.0377Bx0。10.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.9 9.9 0 0 0.0 0 0 0.7855 1.8939-0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0053 0.0176 0.0047 0.7672-0.5302 0.0046表1:A（3）基于准贝叶斯方法。用M=10、T=500和θQ6=θP.cθ=1模拟的数据控制优化程序起始值生成过程中的噪声。统计数据来自L=200次模拟运行。

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2022-5-8 21:41:06

均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和库尔特代表点估计的样本均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和峰度bθl, l = 1.L.|θ-bθ|代表与真实参数的平均偏差的绝对值。真实参数值θ在第二列中报告。4.2推论√Tbθ- θ是平均向量为0且协方差矩阵为V的正态分布（有关更多详细信息和正则性条件，请参见Hansen，1982；P¨otscher and Pr ucha，1997；Newey and McFadden，1994；R uud，2000）。由于我们的测试统计依赖于症状结果，我们必须调查测试的有限样本属性。由于考虑了很多参数，并且可以构造各种限制，我们现在将重点放在限制θP=θQ上，这在金融文献中经常被讨论。为了检验参数限制，我们假设零假设由R限制组成。假设这些限制由两次连续微分函数r（θ）：Rp描述→ Rrpand偏导数的rp×p矩阵esr=Dθr（bθ）=r（bθ）θ···r（bθ）θp······rrp（bθ）θ···rrp（bθ）θp, （24）的秩为rp。在零假设下，我们有r（θ）=0Rp，因此Wald统计量变为sw=tr（bθ）′R^VTR′-1r（bθ），（25），其中^vt是√T（bθ- θ). 在零假设下，Wald统计量W遵循自由度的χ分布。如果W>χrp，1，则无效假设被拒绝-αS，其中α是显著水平，χrp，1-α是1-自由度χ-分布的α超素。特别是，如果目标是测试无效假设θP=θQagainst the alternativeθP6=θQ，那么rp=1，r（θ）=（1，-1, 0, . . . , 0）θ=θQ- θPand R=（1，-1, 0, . . .

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2022-5-8 21:41:10

, 0).附录F表明，以标准方式实施的Wald测试（以及距离差异测试）的性能较差。特别是在cθ=1的情况下，在功率非常低的情况下，瓦尔德试验需要大量的尺寸过小。通过距离差异测试，我们观察到最小或过大，即使它的能力已经优于Wald测试，它仍然很低（在5%显著水平上约55%的拒绝率）。要实施“标准”沃尔多距离差异测试，p×p协方差矩阵V是通过“标准GMM”来估计的。参数向量θ的分量在表1的第一列中给出。我们在这里使用了与表1和表2中相同的模拟设计。协方差矩阵估计（参见Ruud，2000，第21和22章，f或Wald和距离差异测试的“标准”实现）。也就是说，当应用以下估计时^VT=^H′T^∧-1T^HT-1，式中^HT=T- 1TXt=2Dθh（t）bθ；y1:T∈ Rq×pand^∧T=T- 1text=2h（t）bθ；y1:Th（t）bθ；y1:T′∈ Rq×q.（26）注意，在（26）维数为p×p的矩阵中≥ 23）必须在矩阵Dθh（t）中求逆和偏导数bθ；y1:T必须用数字推导。因此，用（26）的平均值来估计协方差矩阵Vb在g中是非常必要的。此外，^hto和∧Talso依赖于y1:T，因此受有限样本的变化影响。为了解决这个问题，我们使用贝叶斯采样器的输出进行推理。基于Chernozhukov和Hong（2003），渐近正态性s till保持不变，并且从遍历马尔科夫链θ（m）中抽取，可以用来估计协方差矩阵V。特别是，估计^θP的渐近方差-^θQ=（1，-1, 0, . . . , 0）bθ，我们使用马尔可夫链蒙特卡罗输出和批均值估计（见Flegal and Jones，2010，等式（6））。

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2022-5-8 21:41:13

对于沃尔德检验，真假设和假假设的拒绝率见表3。我们观察到，在真实零假设θQ=θPare的r射血率下，其与经验数据中的理论值αS.5参数估计非常接近。本节将前几节中开发的估计器应用于经验数据。我们从美联储下载了H-15利率数据。特别是，我们使用了“国债恒定成熟度”收益率的每周数据（每周五测量一次）。考虑的时间段为2001年8月3日至2013年8月30日。在这些期限内，几乎所有的到期日从一个月到三十年不等。由于30年到期时间序列显示出许多缺失值，因此该到期日已被排除在外。因此http://federalreserve.gov/releases/h15/data.htmweM=10个到期日，使得τ={1/12,1/4,1/2,1,2,3,5,7,10,20}和T=631个观测单位收益率。尽管H-15数据集只能被视为无风险期限结构的代表，但我们遵循相关文献（例如，参见Chib和Ergashev，2009）并使用该数据集。与第4节的分析不同，第4节考虑了从数据生成过程中提取的数据，本节调查了一组利率数据。运行GMM估算程序的目的是-使用相同数据的时间，是为了检查我们的估计例程在经验数据中的稳定性。通过这样做，我们观察到在所有模拟运行中，l = 1.L=5，区间bθliι^VBMhbθl我ιι0.5, ι = 1, . . . , p、超过一圈。如果没有准贝叶斯算法，就无法得到这种稳定性结果。此外，在所有模拟运行中，测试θQ=θpag的p值均小于0.05。

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