基于多维筛选的保险模型识别

nandehutu2022

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收藏 2022-05-08

英文标题：
《Identification of Insurance Models with Multidimensional Screening》
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作者：
Gaurab Aryal, Isabelle Perrigne and Quang Vuong
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
This paper addresses the identification of insurance models with multidimensional screening where insurees have private information about their risk and risk aversion. The model includes a random damage and the possibility of several claims. Screening of insurees relies on their certainty equivalence. The paper then investigates how data availability on the number of offered coverages and reported claims affects the identification of the model primitives under four different scenarios. We show that the model structure is identified despite bunching due to multidimensional screening and/or a finite number of offered coverages. The observed number of claims plays a key role in the identification of the joint distribution of risk and risk aversion. In addition, the paper derives all the restrictions imposed by the model on observables. Our results are constructive with explicit equations for estimation and model testing.
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中文摘要：
本文讨论了多维筛选保险模型的识别问题，其中被保险人拥有关于其风险和风险规避的私人信息。该模型包括随机损坏和多个索赔的可能性。被保险人的筛选依赖于其确定性等价性。然后，本文研究了在四种不同情况下，提供的保险范围和报告的索赔数量的数据可用性如何影响模型原语的识别。我们表明，尽管由于多维筛选和/或有限数量的覆盖，模型结构仍然可以识别。观察到的索赔数量在识别风险和风险规避的联合分布中起着关键作用。此外，本文还推导了该模型对可观测物的所有限制条件。我们的结果与估算和模型测试的显式方程具有建设性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Identification_of_Insurance_Models_with_Multidimensional_Screening.pdf
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mingdashike22

2022-5-8 22:15:24

通过多维筛查确定保险模式弗吉尼亚州高拉布阿利阿卢大学阿贝尔佩里涅利大学广武纽约大学2016年1月我们感谢皮埃尔·安德烈·恰波里、利兰·埃纳夫、马特·舒姆和肯·沃尔平提出的建设性意见。我们还受益于斯坦福大学理论经济学研究所、计量经济学会北美会议以及澳大利亚国立大学、卡洛·阿尔贝托学院、哥伦比亚大学、乔治敦大学、伦敦经济学院、新加坡国立大学、巴黎经济学院、巴黎政治科学院、，斯坦福大学、福塔莱萨大学、宾夕法尼亚大学、悉尼大学和威斯康星大学麦迪逊分校。最后两位作者感谢美国国家科学基金会通过SES148149拨款提供的财政支持。给Isabelle Perrigne的信件：iperrigne@gmail.comAbstractThis本文讨论了通过多维筛选识别保险模型，其中被保险人拥有关于其风险和风险规避的私人信息。该模型包括随机损坏和多个索赔的可能性。被保险人的筛选依赖于其确定性等价性。然后，本文研究了在四种不同场景下，有效覆盖和报告索赔数量的数据可用性如何影响模型原语的识别。我们表明，尽管由于多维筛选和/或有限数量的覆盖，模型结构仍然是确定的。观察到的索赔数量在确定风险和风险规避的联合分布中起着关键作用。此外，本文还导出了模型对可观测数据施加的所有限制。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:15:28

我们的结果与估算和模型测试的显式方程具有建设性。关键词：保险、识别、逆向选择、多维筛查。通过多维筛选识别保险模型。Aryal，I.Perrigne&Q.Vuong1简介保险是经济学中一个长期研究的问题，是最近实证研究的核心。罗斯柴尔德和斯蒂格利茨（1976年）和斯蒂格利茨（1977年）的开创性论文根据被保险人风险的私人信息提供了基准保险模型。在实证研究中，风险中的逆向选择测试产生了大量结果不一的论文。关于最著名的测试，请参见Chiaporri和Salani\'e（2000），关于实证结果的调查，请参见Cohen和Siegelman（2010）。最近的经验文献表明，逆向选择不仅涉及风险的异质性，还涉及风险规避，即优势选择。参见长期护理保险中的Finkelstein和McGarry（2006年）、汽车保险中的Cohen和Einav（2007年）、健康保险中的Fang、Keane和Silverman（2008年）以及年金市场中的Einav、Finkelstein和Schrimpf（2010年）。另请参见卡特勒、芬克尔斯坦和麦加里（2008年）以及埃纳夫和芬克尔斯坦（2011年）的调查。正如这些论文所指出的，风险规避的异质性可能与基准逆向选择模型的预测相矛盾，即低风险个体可能会因为高风险规避而购买更高的保险，反之亦然。因此，保险模型还需要将风险规避中的不完全信息纳入到多维筛选中。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:15:31

由于违反了Spence-Mirrlees（单交叉）条件，这是一个很难解决的理论问题。参见Rochet and Sleet（2003）的多维筛查调查。在本文中，我们提出了一个保险模型，其中既包括风险和风险规避中的私人信息，也包括随机损害赔偿和合同条款内生化时多个索赔的可能性。继Landsberger和Meilijson（1999）之后，我们认为无保险的确定性等价于保险人类型的一维表示，因为这种表示保留了投保人购买保险后的顺序。为了方便起见，我们假设潜在索赔的数量为常数绝对风险规避和泊松分布的非参数混合，因为它们导致确定性等价的可处理形式。本着理论文献的精神，我们考虑汽车保险的形式包括保费和免赔额。我们的模型包含了保险的关键要素，可以通过增加（比如）共同支付来扩展到健康等其他保险市场。因此，模型结构由风险和风险规避的联合分布以及损害的分布来定义。在这个模型中，我们研究了原语的识别。识别是结构模型经济计量和实证分析的关键步骤。从库普曼斯（1949）和赫维茨（1950）开始，身份识别问题有着悠久的历史。正如Heckman（2001）所讨论的，劳工文献提供了几个例子，说明身份识别在实证研究中所起的作用。在过去的五年里，随着实证产业组织结构模型的发展，它受到了广泛关注。

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何人来此

2022-5-8 22:15:35

有关拍卖模式识别的调查，请参见Athey和Haile（2007）。由于几个原因，（非参数）识别问题很重要。首先，它允许评估所需的条件（如果有的话），以便从可观测数据中唯一地恢复模型结构，同时最小化参数假设。其次，它强调了数据中的哪些变化允许我们识别每个modelprimitive。第三，一旦确定，就可以解决与模型结构分析相关的一些重要问题。我们可以考虑模型可以合理化数据的哪个分布，或者模型对可用于测试模型有效性的观察值施加了哪些限制。从最近关于模型识别的文献中可以得出几点经验。关于具有不可分离误差的模型的非参数识别，请参见Matzkin（1994，2007）。信息不完整。首先，经济主体的最优行为起着重要作用。例如，在合同模型中，除了代理人的最佳行为外，支付报酬的最佳性也是有用的。关于逆向选择和道德风险的采购模型，请参见Perrigne和Vuong（2011年），关于非线性定价，请参见Luo，Perrigne和Vuong（2015年）。因此，在大多数情况下，我们需要考虑市场的两个方面，即委托人和代理人，并假设观察结果是均衡结果。其次，人们可以通过标准识别策略（如工具变量和排除限制）实现识别，这些策略在早期识别文献中被广泛使用。参见Guerre、Perrigne和Vuong（2009）对拍卖中风险规避的识别，以及Berry和Haile（2014）对多项选择需求模型识别的最新贡献。

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mingdashike22

2022-5-8 22:15:38

第三，未观察到的代理人的私人信息和观察到的结果之间的一对一平衡映射是身份识别所依赖的关键因素。例如，参见Guerre、Perrigneand Vuong（2000年）和Athey and Haile（2007年）关于拍卖的论述。我们的论文在几个方面与文献有所不同。首先，我们考虑具有多维筛选的amodel，其中无法避免聚集/汇集。在这种情况下，识别不能完全依赖于代理人未观察到的类型与其观察到的结果/行为之间的一对一映射。其次，我们的模型还考虑了向每个代理人提供有限数量的期权/合同的可能性，而代理人的类型分布在一个连续统中。除了多维筛选产生的聚束之外，由于有限数量的合同，还会产生额外的聚束。这是身份识别研究中的另一个挑战。根据Rochet和Chone（1998），Pioner（2007）在非线性定价背景下解决了二维筛选模型的半参数识别问题，但假设分析师观察到了两个代理中的一个。Aryal（2015）考虑了多维类型的非参数识别。另见Luo、Perrigne和Vuong（2012年、2013年），他们研究了基于Armstrong（1996年）模型的多种类型非线性定价模型的识别。后一篇论文使用委托人和代理人的最优性以及来自多个市场的观察来识别模型原语。Crawford和Shum（2007）考虑了两个合同，而代理类型只能采用两个值，避免了任何聚集。盖尔和米勒（2015）采用了类似的策略。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:15:41

Leslie（2004）通过一个离散选择模型来分析消费者的行为，研究模型原语的识别，并评估数据可用性如何影响识别，我们进行如下操作。我们根据有效保险范围和报告索赔的数量考虑了几种数据情况，即保险范围的数量是连续的还是有限的，以及索赔是否包含所有信息，还是仅包含免赔额以上的信息。该策略允许我们评估数据如何约束或限制原语的识别，以及需要哪些识别假设。此外，研究覆盖范围连续统下的识别非常重要，因为负识别结果将意味着覆盖范围有限下的模型原语未识别。第一个数据场景利用确定性等效水平和免赔额之间的一对一映射来确定确定性等效的分布。因此，索赔数量在确定风险和风险规避的共同分布方面起着至关重要的作用。第二种数据场景保持了合同的连续性，但考虑了在免赔额处截断的损害分布。由于提供了一系列合同，选择全额保险（即零免赔额）的子群体确定了损失分布，第一种情况的论点适用。当考虑第三和第四种情况下的有限数量合同时，识别变得更具挑战性，因为我们无法利用（比如）免赔额和被保险人的私人信息之间的一对一映射。尽管背景不同，但索赔数量在确定风险边际分布方面仍起着关键作用。

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大多数88

2022-5-8 22:15:45

关于识别风险和风险规避的联合分布，我们利用了一个排除限制和一个需要在一些外部特征中充分变化的完全支持假设。在这些假设下，当完全观察到损伤分布时，即可识别模型结构。另一方面，当损伤分布在免赔额处被截断时，我们获得结构的识别，直到知道损伤低于可赔额的概率。后一种可能性尚未确定。然后，我们讨论了低于免赔额的损害概率的一些确定假设。在一定数量的合同下，我们的结果的一个显著特点是，它们不依赖于最优价格表。提供的保险范围。因此，我们的结果适用于保险业的任何形式的竞争。为了完成这些结果，我们推导了第四个数据场景中对可观测值的所有模型限制。这些限制可用于测试模型及其假设的有效性。例如，模型限制允许测试覆盖范围的最佳性。这与前面讨论的文献形成了对比，我们的结果代表了在不完全信息下识别模型的新视角。此外，我们的所有结果都是建设性的，并为估计和测试提供了明确的方程。论文的结构如下。第2节介绍了模型。第3节和第4节分别研究了合同连续性和有限合同数下的身份识别。第5节讨论了低于免赔额的损伤概率的一些识别策略，并推导了模型对可观测值施加的所有限制。第6节总结了未来的研究方向。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:15:48

附录收集证据。2保险模式本节开发了一个模式，在该模式中，被保险人拥有关于其风险和风险规避的私人信息。多个私人信息的存在导致了多维筛选和均衡池。参见Rochet and Sleet（2003）的调查。继Landsberger和Meilijson（1999）之后，我们使用确定性等价的概念对被保险人进行排名和筛选。为了更好地理解这些想法，本着早期文献的精神，我们在本文中以汽车保险为例，尽管我们的框架也适用于（比如）房主和租赁保险。有关健康保险的讨论，请参见本节末尾。Stiglitz的基准模型本节简要回顾了Stiglitz（1977）模型，并激发了我们的模型，该模型结合了异质偏好和随机损害/费用。它还介绍了基本的符号。被保险人的特征是事故概率（风险）θ∈ [θ，θ]以F（·）的形式分布，密度为F（·）。事故涉及固定损害，影响被保险人的财富。由于代理人规避风险，他们通过支付最低保险费来购买保险。保险公司要求每次事故都有一个可扣除的dd。在购买保险时，代理人的财富是w- t在没有意外发生的情况下- θ和w- T- D+（D- dd）=w- T- 发生概率为θ的事故时的dd。他的期望效用是V（t，dd；θ）=（1）- θ） U（w）- t） +θU（w）- T- dd），其中U（·）是一个冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数，它是连续的、严格递增的和凹的。风险θ是私人信息，而U（·）是保险人知道的。在不完全信息环境下，保险公司提供的合同形式[t（θ），dd（θ）]是激励相容的。公司从θ-被保险人获得的利润为π（θ）=（1）- θ） t（θ）+θ[t（θ）- D+dd（θ）=t（θ）- θ（D）- dd（θ））。

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能者818

2022-5-8 22:15:52

由于风险未知，保险公司根据被保险人的激励相容性（IC）和参与性（IR）约束，即Maxt（·）、dd（·）Zθπ（θ）f（θ）dθs.t，将其预期收益最大化。- t（θ）- dd（θ）=1- θt（θ）U（w）- t（θ））U（w- t（θ）- dd（θ））（IC）V（t（θ），dd（θ）；θ) ≥ (1 - θ） U（w）+θU（w）- D）（IR），其中（IR）的RHS表示代理人在没有保险的情况下的预期效用。该模型的主要发现如下。首先，联营不是最优的，企业的收益来自于提供连续的合同。风险最高的个人，即θ，享受零免赔额的全额保险。第二，保费和免赔额是负相关的。此外，保费是免赔额的凸函数，意味着低免赔额的边际价格更高。第三，对于事故概率较低的被保险人，最佳保险范围可能包含一些最佳排除。虽然保险合同可以包括共同支付和硬限制等几个特征，但值得注意的是，Arrow（1963）展示了可扣除保费合同的最佳性。直觉上，后者允许风险中性的保险人和风险规避的被保险人之间进行最佳风险分担，因为这是自愿U（w）之间的最佳妥协- U（w）- D）大于0时，没有刘易斯和萨平顿（1989）定义的反补贴激励。以减少风险和限制保险无谓成本的必要性。此外，Gollier和Schlesinger（1993）表明，任何其他形式的保险合同都由一份具有免赔额和保费的合同主导，这意味着免赔保费覆盖范围最大化了保险人对所有其他可能形式的可执行合同的利益。上述模型假设最多发生一次事故，造成固定损害，被保险人的风险厌恶程度相同（已知）。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:15:57

事实上，在保单有效期内，可能会发生不止一次事故，每一次事故都会造成随机损失。此外，正如shownby Finkelstein和McGarry（2006年）以及Cohen和Einav（2007年）所说，风险规避的可变性可能比被保险人的风险可变性更重要。考虑到被保险人的风险规避与他发生事故的可能性一样私密性也是理所当然的。因此，不对称信息成为二维的。忽视风险规避的异质性可能会对保单设计产生严重后果。例如，低事故概率和高风险规避的保险人可能会购买高保险水平（或低免赔额）的合同，反之亦然。这在保险文献中也被称为有利选择。相比之下，当上述模型忽略风险规避的异质性时，被保险人应购买低水平的保险。此外，相对于保险人提供的保险费，损失的分布以及预期事故数量对免赔额的选择有重要影响。鉴于这一讨论，我们的模型包括多起事故，这些事故具有随机损害，并且在私下已知的风险规避中具有异质性。鉴于数据可用性，我们的模型还考虑了有限数量的有效合同/保险范围。模型假设我们做出以下假设。在我们的模型中，θ是被保险人的风险，衡量为保险期内的预期事故数量。假设A1：（i）被保险人的效用函数表现出恒定的绝对风险规避（CARA），即U（x；a）=- 经验(-ax），a>0，（ii）对（θ，a）是i.i.d.作为F（·，·），它在其支持度上是两次连续可微的Θ×a=【θ，θ】×【a，a】 IR++×IR++，（iii）每个被保险人可能涉及J起事故，以θ为条件，服从泊松分布，即：。

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kedemingshi

2022-5-8 22:16:02

pj（θ）=Pr[J=J |θ]=e-θj/j！，（iv）J在被保险人中是独立的，每次事故都涉及一个损害Dj，J=1，J.支架[0，d]上的损伤为H（·）的i.i.d IR+，（v）Dj，j=1，J独立于（θ，a）。通过A1-（i），效用函数是严格递增和凹的。CARA规范有两个主要优点：（i）它导致了确定等价性的易于处理的表达；（ii）对财富变化风险的态度独立于初始财富。这些性质使得卡拉效用在理论和实证文献中成为一种流行的选择。根据A1-（ii），每个被保险人的特征是一对（θ，a）是私有信息。假设A1-（iii）规定事故分布为泊松分布，平均θ。这种分布在精算学中被广泛用于模拟事故的数量。CARA效用和泊松分布的结合特别方便，因为它导致了后面定义的确定性等价的显式表达式。由于θ是A1-（ii）的随机分布，其边缘分布没有具体说明，因此总体事故数量的分布是泊松分布的非参数混合，从而增加了灵活性。放松CARA和/或Poisson规范是可能的，代价是获得确定性等价的隐式表达式。如果事故数量的分布属于非参数混合分布的类别，则第3节和第4节的识别结果仍然有效。参见Rao（1992）。根据A1-（iv，v），损伤是随机的、相互独立的和独立的类型（θ，a）。我们认为损害是由外部因素造成的，如运气、天气或路况。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:16:05

它与（θ，a）的独立性排除了道德风险，因为（比如）规避风险的代理人的行为可能会减少每次事故的损失。这个问题留待将来研究。第5.2节讨论了A1-（iv，v）如何根据其对可观察物的限制进行测试。最后，根据Stiglitz（1977）和Cohen和Einav（2007）等实证论文，我们假设保险公司是一个垄断者。浓度比andCohen和Einav（2007）考虑了泊松分布的对数正态混合。保险业的业绩表明，它不是一个竞争激烈的市场。汽车保险参见Chiappori、Julien、Salanie和Salanie（2006年），健康保险参见Dafny（2010年）和Starc（2014年）。例如，汽车和家庭保险的转换成本和/或健康保险中雇主提供的保险数量有限可能会阻止被保险人从竞争中受益。参见以色列（2005a，b）和Honka（2014），了解汽车行业的证据。考虑寡头垄断会增加模型的复杂性，因为产品差异导致逆向选择的规模越来越大。有鉴于此，我们认为垄断是一种合理的贸易效应。模型原语[F（·，·），H（·）]是公共知识。具体时间安排如下。每个被保险人从F（·，·）中独立抽取一对类型（θ，a）。保险公司提出了一份格式为[t，dd]的保险合同清单，其中dd是每次事故的免赔额。被保险人选择效用最大化的合同，并支付相应的保险费。如果发生损害低于免赔额的事故，被保险人将承担赔偿责任。否则，保险人支付高于免赔额的损失，被保险人支付免赔额。保险公司的优化问题保险公司为（θ，a）提供连续的合同[t（θ，a），dd（θ，a）]∈ Θ×A。

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何人来此

2022-5-8 22:16:08

积分（θ，a）后，保险人的预期收益由[π（θ，a）]=ZΘ×a“t（θ，a）给出- θZdmax{0，D- dd（θ，a）}dH（D）#dF（θ，a）=ZΘ×a“t（θ，a）- θZddd（θ，a）（1）- H（D）dD#dF（θ，a），（1）其中max{0，D- dd（θ，a）}反映出保险人只承保可扣除金额以上的损失。第一个等式使用的是i.i.d以（θ，a）乘以A1（iv，v）为条件的损害，而第二个等式则是以部分积分为条件的。内部积分是每次事故的预期付款，θ是预期事故数。对于一个拥有财富w的（θ，a）-个体，他在没有保险的情况下的预期效用为v（0，0；θ，a）=p（θ）U（w；a）+p（θ）E[U（w）- Da） ]+p（θ）E[U（w）- D- Da） ]+…=-p（θ）e-哦- p（θ）e-敬畏- p（θ）e-敬畏[eaD]E[eaD]- . . .= -E-哦p（θ）+p（θ）φa+p（θ）φa+。= -E-敬畏-θ1+θφa1+θφa2！+。= -E-aw+θ（φa）-1），（2）式中φa=E[eaD]>1，期望值与D有关。第一个等式考虑了所有可能发生的事故数量及其对没有保险的个人的成本。第二个等式使用了CARA效用函数和A1-（i，iv，v）的事故损害独立性。第三个等式使用A1-（iv）相同分布的图像。最后，第四个等式依赖于事故的泊松分布A1-（iii）。使用相同的推导，其中wand DJ替换为w- 分别为t和min{dd，Dj}，a（θ，a）-个人购买保险（t，dd）的预期效用为（t，dd；θ，a）=-E-a（w）-t） +θ（φ）*A.-1），（3）其中φ*a=E[ea min{dd，D}]=Rea min{dd，D}dH（D）=RddeaDdH（D）+eadd（1）- H（dd））>1。我们注意到*a<φaas min{dd，D}≤ D.给定一系列合同，（θ，a）-个人选择使上述预期效用最大化的合同。遵循揭示原则，我们可以关注一种将类型映射到合同条款的直接机制，即[t（θ，a），dd（θ，a）]。

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2022-5-8 22:16:13

然而，保险人应选择满足被保险人的优化（IC）约束以及被保险人的参与（IR）约束的可执行合同。这给出了以下优化问题maxt（·，·），dd（·，·）E[π（θ，a）]（4）s.t.V[t（θ，a），dd（θ，a）；θ，a]≥ V[t（~θ，~a），dd（~θ，~a）；θ，a]（§θ，§a）∈ Θ×A（IC）V[t（θ，A），dd（θ，A）；θ，A]≥ V（0，0；θ，a）（θ，a）∈ Θ×A（IR），其中预期利润在（1）中给出。（IC）约束确保（θ，a）个体选择契约（t（θ，a），dd（θ，a））。（IR）约束保证购买此合同比没有保险对此人更有利。众所周知，多维类型导致了一个复杂的筛选问题。SeeRochet and Sleet（2003）。如前所述，具有高风险但低风险规避的被保险人可能与具有低风险但高风险规避的被保险人具有相同的支付意愿。风险和风险规避之间的这种可替代性意味着一种分离的均衡是不可行的，即每个个体（θ，a）都有一个唯一的覆盖范围。因此，被保险人之间会发生资金共享。直观地说，被保险人有两个私人信息来源，而保险人实际上只有一个工具，即免赔额来筛选被保险人。事实上，保险费和免赔额是负相关的，因为合同（t，dd）总是优先于dd>dd的任何其他合同（t，dd）。

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可人4

2022-5-8 22:16:18

因此，保险人的目标是找到将被保险人集中在一起的最佳方式，以确保提供的保险是可行的，即满足（IC）和（IR）约束，同时最大限度地提高其预期收益。确定性等价性根据Landsberger和Meiligson（1999），我们使用无保险的确定性等价性作为两个私人信息维度的一维聚合。La Affont、Maskin和Rochet（1987）提出了类似的聚合方法。基于确定性等价的筛选有两个主要优点。首先，它不太依赖于模型原语的参数规格。第二，确定的同等性有一个自然的经济解释。另见阿姆斯特朗（1996），他使用多产品公司的生产成本来筛选具有多维度类型的消费者。我们做出以下假设。一个简单的论点表明，对保险公司而言，仅对风险或风险规避进行筛查并非最佳选择。考虑三个人（θ，a），（θ，a）和（θ，a），θ<θ和a<a，然后（比如）第一次和第二次购买相同的保险对保险公司的利益来说不是最佳的。关于竞争性非线性定价的应用，也见Ivaldi和Martimort（1994）。关于替代方法，参见（比如）威尔逊（1993年），他采用了将类型集划分为一维子集的方法，罗切特和乔恩（1998年）提出了当类型数量等于仪器数量时进行多维筛选的一般方法，巴索夫（2001年）提出了一般情况。假设A2：对于任何给定的覆盖率（t，dd），差异V（t，dd；θ，a）-V（0，0；θ，a）在a中增加。我们注意到上述差异在θ中自动增加。因此，高风险或风险厌恶的个体比低风险或风险厌恶的个体更重视保险。

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能者818

2022-5-8 22:16:21

假设A2确保不会有反补贴激励，因为（4）中的（IR）约束，即V（t，dd；θ，a）- V（0，0；θ，a）≥ 0的LHS在两个方向（θ，a）都增加。我们注意到A2限制了a（θ，a）-个体相对于损伤分布的覆盖范围（t，dd）。该假设可在识别模型原语后进行事后验证。无保险范围的确定性等价性CE（0，0；θ，a）由被保险人的特定财富量定义，该财富量将在被保险人无保险范围时为其提供相同水平的效用，即。，- 经验(-aCE（0，0；θ，a））=V（0，0；θ，a）。因此，由（2）CE（0，0；θ，a）=w-θ（φa）- 1） a.（5）投保（t，dd；θ，a）的确定性等价性CE（t，dd）的定义类似于被保险人在购买保险时获得同等效用的特定财富金额，即：。- 经验(-aCE（t，dd；θ，a））=V（t，dd；θ，a）。因此，由（3）CE（t，dd；θ，a）=w- T-θ(φ*A.- 1） a.（6）下一个引理建立了（θ，a）中这些确定性等价的单调性。所有证据都在附录中。引理1：确定性等价（5）和（6）在风险和风险规避方面都在下降。（5）中无保险的确定性等价定义了对的轨迹（θ，a）为任何给定确定性等价值s的向下倾斜曲线θ（a）。因为≡ CE（0，0；θ，a）是（θ，a）的函数，即s（θ，a），它是随机分布的asK（·），在[s，s]上有一些密度k（·），其中s=s（θ，a）和s=s（θ，a）。图1显示了一些s等曲线。解决多维筛选问题AAθSSS图1：确定性等价已知优化问题（4）很难解决，因为多维私有信息和单交叉属性的损失。关于多维筛选的文献表明，在均衡状态下的汇集是无法避免的。

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大多数88

2022-5-8 22:16:24

为了与关注非线性定价的多维筛选文献进行对比，我们指出，保费t起着支付和定价的作用-dd起着如（3）和（6）所示的数量的作用。因此，dd是二维类型的唯一工具。没有保险的确定性等价将这两个维度聚合为一个维度。然后我们用Termsofs重写优化问题（4）≡ CE（0，0；θ，a）和（IC）和（IR）约束，使用确定性等价性（t，dd；θ，a）和CE（0，0；θ，a）。Cohen和Einav（2007）也使用确定性等价性来解释被保险人对保险范围的选择。这里，我们考虑s的连续合同[t（s），dd（s）]∈ [s，s]。因此，所有具有相同确定性等价物价值的保险都被汇集在一起。直觉上，在Stiglitz（1977）中，具有最高外部选择权或最高确定性等价物的被保险人将被视为具有最低支付意愿的个人或风险最低的个人。保险人需要提出一个有吸引力的高免赔额的保险范围，以吸引人们讲真话和参与，因为他最不重视保险。另一方面，具有最低外部选项或最低确定性等价物的个人将被完全覆盖或dd=0，如下文所示。Landsberger和Meilijson（1999）表明，最优保险合同保持确定性等价的顺序，即对于任何一对类型（θ，a）和（θ，a），使得s（θ，a）<s（θ，a）或s<s，最优合同[t（s），dd（s）]满足s（θ，a）≤ 行政长官(t),行政长官(s);；θ、 a）<s（θ，a）≤ 行政长官(t),行政长官(s);；θ、 a）。第一个和第三个不平等来自（IR）约束，即如果个人效用大于不购买保险，那么他将购买保险。此属性确保可以在sis上执行筛选。我们根据s重写了预期利润（1）。

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何人来此

2022-5-8 22:16:28

注意t（θ，a）=t（s）和dd（θ，a）=dd（s），并在（1）中将变量（θ，a）更改为（θ，s），给出[π]=Zss“t（s）- E（θ| s）Zddd（s）（1）- H（D）dD#k（s）ds，（7）其中k（·）是确定性等价物s的密度。（4）become（t（s），dD（s）中的（IC）和（IR）约束；θ、（a）≥ CE（t（~s），dd（~s）；θ、（a）~s∈ [s，s]（IC）CE（t（s），dd（s）；θ、（a）≥ s、（IR）对于满足CE（0，0；θ，a）=s和所有s的所有（θ，a）∈ [s，s]。计划[t（s），dd（s）]可转换为非线性保费t+（dd）≡ t[s]-其中增加的可扣除金额（即增加的可扣除金额）是凸的，即增加的可扣除金额（即增加的可扣除金额）是凸的。这与非线性定价模型中塔里夫的凹度相似。参见（比如）蒂罗尔（1988）。我们注意到，对于每个s，必须至少存在一个（θ，a）-个体或等效的（θ（s），a（s）-个体，其（IC）约束对其绑定。因此，对于这个个体，（IC）约束可以写为maxs∈[s，s]CE（t（~s），dd（~s）；θ（s），a（s））=maxs∈[s，s]w-t（~s）-θ（s）hRdd（~s）ea（s）DdH（D）+ea（s）dd（~s）[1-H（dd（~s））]-1ia（s），导致一阶条件给出的局部（IC）约束，条件为s=st（s）=-θ（s）ea（s）dd（s）[1- H（dd（s））]dd（s），其中θ（s）=a（s）（w- s） /[φa- 1] 素数表示一个导数。这意味着-η（s，a（s），dd（s））t（s），（8）∈ φs，其中- 1a（s）（w）- s） ea（s）dd（s）[1- H（dd（s））]>0。（9）等式（8）是保险公司优化问题的局部激励相容约束。关于个人理性约束，鉴于前面的讨论，s-个人拥有最大的无保险外部选择权。因此，保险人应为该个人约束（IR），并使其在购买保险与否之间有所区别。这就给出了约束条件t（s），dd（s）；θ、 a）=s。

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kedemingshi

2022-5-8 22:16:32

（10）我们现在可以解决保险人的问题，即根据（8）和（10）最大化其预期收益（7）。应用庞特里亚金原理（见附录），最佳覆盖率（t（s），dd（s））是η（s，a（s），dd（s））E（θ| s）的解[1]- H（dd（s））]+K（s）K（s）η（s，a（s），dd（s））-η（s，a（s），dd（s））dddd（s）+η（s，a（s），dd（s））=1、（11）dd=-η（s，a（s），dd（s））t（s），（12），其中η（s，a（s），dd（s））表示η（s，a（s），dd（s））相对于s的总导数，边界条件为CE（t（dd（s）），dd（s）；θ、 a）=s。在s处评估（11），即针对（θ，a）个人，显示dd（s）=0，即最高风险/风险规避个人，如Stiglitz（1977）的基准模型所示，提供了全面覆盖。下一个引理表明，平衡时的免赔额在s中增加。引理2：当且仅当ifdd在s中增加时，保险合同[t（s），dd（s）]满足（IC）约束。因为K（s）=0，（11）和（9）给出[φa]- 1] E（θ| s）/[a（w）- s） eadd（s）]=1。使用（5）和E（θ| s）=θ给出eadd（s）=1。由于均衡合约满足（IC）约束，其免赔额正在增加。换言之，风险和/或风险厌恶程度较低的个人拥有较低的保险范围和较大的免赔额。有限数量的合同委托人可以提供有限数量的合同，代理人可以从中选择。为了简化表示，我们考虑C=2，其中C是外生的。设（t，dd）和（t，dd）与t<tand dd>dd为这两个合同。我们展示了保险公司如何以最佳方式确定这两个合同。除了产生相同确定性等价物s的风险集合（θ，a）外，还有具有不同s值的代理人聚集。保险人选择（t，dd，t，dd）以最大化其预期收益。让SCE成为选择合同（tc，ddc）的代理人集合，c=1，2。

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可人4

2022-5-8 22:16:35

与（7）类似，我们有e[π]=Xc=1ZSc“tc- θzddc（1）-H（D）dD#dF（θ，a）=Xc=1νc“tc- E[θ| Sc]zddc（1）-H（D）dD#，其中第二个等式来自rscθdF（θ，a）=νcE[θ| Sc]，其中νc=RScdF（θ，a）是被保险人选择合同c的比例。最优合同还需要满足激励相容性和参与约束：cE（tc，ddc；θ，a）≥ CE（tc，ddc，θ，a），c6=c，（θ，a）∈ Sc，c=1，2，CE（tc，ddc；θ，a）≥ CE（0，0；θ，a），（θ，a）∈ Sc，c=1，2。（IC）约束简化为两个子集Sand sts，其划分Θ×A使得Sand中的个体分别选择（t，dd）和（t，dd）。与Sis之间的边界由（θ，a）的轨迹决定——被保险人在两份合同之间是不同的，即CE（t，dd；θ，a）=CE（t，dd；θ，a）。使用（6），前沿是由θ（A）=A（t）定义的严格递减曲线- t） HRDDEADD（D）+eadd（1）- H（dd））-RDDH（D）- eadd（1）- H（dd））i=t- tRddddeaD（1- H（D）dD，（13），其中第二等式使用部分积分。关于（IR）约束，唯一有约束力的是（θ，a）-被保险人，即。

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大多数88

2022-5-8 22:16:38

CE（t，dd；θ，a）=s。在（IC）和（IR）约束下，关于（t，dd，t，dd）最大化E[π]给出了一阶条件ν+Za*a“t”-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）tda-扎阿*“t-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）tda=ρ（14）Za*a“t”-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）ddda+E[θ| S]ν（1）-H（dd））-扎阿*“t-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）ddda-ρθeadd（1）-H（dd））=0（15）Za*a“t”-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）tda+ν-扎阿*“t-θ（a）（zdd（1）- H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）tda=0（16）Za*a“t”-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）ddda+E（θ| S）ν（1）-H（dd））-扎阿*“t-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）ddda=0，（17）t=θa“Zddd放电涂覆处理- eadddH（D）#（18），其中ρ是与（IR）约束和a相关的拉格朗日乘子*是a的最小值，以及在θ处求出的解（13）的值。扩展我们的模型扩展到其他保险合同，如健康保险。在某些情况下，健康保险包括保费t以及每次医疗程序/就诊的可扣除dd和共同支付γ。特别是，与汽车保险不同的是，免赔额不是每次就诊的免赔额，而共同付款是在满足免赔额后的第一次程序/就诊中产生的。在这种情况下，对于合同[t（θ，a），dd（θ，a），γ（θ，a）]，保险人的预期收益（1）为[π（θ，a）]=ZΘ×a{t（θ，a）- E[1I（D+…+DJ>dd（θ，a））（D+…+DJ-dd（θ，a）- γ（θ，a）（J）- J+）dF（θ，a），其中积分中的期望值是关于总费用D++DJ，就诊次数J和满足免赔额的最小就诊次数J，即J+=argminj=1，。。。，JD+…+Dj>dd.每次就诊费用Dj，j=1，杰米可能不再独立了。事实上，患有某种疾病的患者在治疗期间将承担相关的医疗费用。

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kedemingshi

2022-5-8 22:16:42

同样，每次就诊的费用可能与预期的医疗程序/就诊次数θ相关。关于患者，他在没有医疗保险的情况下的预期效用（2）为sv（0,0,0；θ，a）=E[U（w）- D- . . . - 流行音乐播音员a） ]=-E-敬畏-a（D+…+DJ）]，在CARA效用函数下由A1-（i）表示，其中期望值与总费用D++dj和访问次数J取决于θ。a（θ，a）-患者购买保险（t，dd，γ）的预期效用（3）变为v（t，dd，γ；θ，a）=-E-敬畏-aX]，其中X是自付费用X=（D+…+DJ）1I（D+…+DJ）≤ dd）+（dd+（J- J+γ）1I（D+…+DJ>dd）。当有固定数量的承保范围时，保险人使用患者的确定性等价物对Θ×a类型进行划分，以最大化其与合同条款（tc、ddc、γC）、C=1、，C.3合同连续性的识别在本节中，我们考虑向每个被保险人提供连续性保险的情况。特别是，我们的身份识别分析显示了事故数量所起的关键作用。模型结构由风险和风险规避的联合分布F（·，·）和损伤分布H（·）给出。除了事故数量的Cara效用函数和泊松分布的规定外，识别问题是非参数的。识别的问题是从可见光中唯一地恢复结构[F（·，·），H（·）]。在连续合同的情况下，我们遵守每个被保险人购买的合同（t，dd）和每个被保险人提出的J索赔，以及相应的损害赔偿金额（D，…，DJ）。在第3.2节中，我们观察J*索赔及其相应的损害赔偿（D。

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kedemingshi

2022-5-8 22:16:46

流行音乐播音员*) 因为免赔额处的费用。我们介绍了一些观察变量X，这些变量X代表被保险人和他/她的车，保险人使用这些变量来区分被保险人。与被保险人相关的变量可能包括年龄、性别、教育程度、婚姻状况、地点和驾驶经验。与被保险人汽车相关的变量可能包括汽车里程、商业用途、汽车价值、动力、型号和品牌。随着X的引入，支持SX中的值 IRdim X，模型结构变成[F（θ，a | X），H（D | X）]，因为我们预计这些变量会影响被保险人的风险和风险规避以及损害。例如，昂贵汽车的损坏可能比便宜汽车的损坏更大。LetG（·| X）表示观察到的以X为条件的免赔额分布。保险人用于区分被保险人的所有变量都包含在X中至关重要。在结构模型的识别研究中，重要的是确定与理论模型假设一致的可容许结构集。我们将这些假设形式化为结构和（θ，a，J，D，X）。具体而言，结构[F（·，·| X），H（·| X）]属于下文定义的FX×HXA。非参数识别agent效用函数的问题相当复杂。在拍卖的上下文中，通常不确定投标人的效用函数。非参数识别是通过使用Guerre、Perrigne和Vuong（2009）中投标者数量的外生变化，或借助Lu和Perrigne（2008）中升序拍卖的额外数据，通过排除限制实现的。

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何人来此

2022-5-8 22:16:49

当投标人的效用函数被参数化为CARA或CRRA时，参见Campo、Guerre、Perrigne和Vuong（2009）的半参数识别。不用于区分被保险人的变量可以通过（θ，a）进入模型，然后可以将其视为观察到的和未观察到的异质性的集合。我们可以使用car值作为财富w的代理，因此w是X定义1中的一个变量：设FX为满足（i）每个X的条件分布F（·，·| X）的集合∈ SX，F（·，··| x）是一种c.d.F.具有紧凑支撑Θ（x）×a（x）=[θ（x），θ（x）]×a（x）] IR++×IR++，（ii）条件密度f（·，···）>0。定义2：让HXbe为每X满足（i）的分布集H（·| X）∈ SX，H（·| x）是一种具有紧凑支架[0，d（x）] IR+USUPX∈SXd（x）<+∞,（ii）支撑物上的条件密度h（·|·）>0。假设A3：我们有（i）（D，…，DJ）⊥ （θ，a）（J，X）。（ii）（D，…，DJ）（J，X）i.i.d.是H（·X），（iii）J⊥ （X，a）θ与J |θ~ P（θ），即Pr[J=J]=e-θjj！，（iv）（θ，a，J，X）是带（θ，a）|X的i.i.d~ F（·，·| X）假设A3与A1和X平行。假设A3-（i）意味着在X的条件下，损害的金额不会提供任何有关其风险和风险规避的信息。例如，以X为条件，损害取决于独立于（θ，a）的外部因素。本着同样的精神，假设A3-（ii）说损害赔偿是以X为条件的相互独立的。关于假设A3-（iii），事故数量J仅取决于被保险人的风险θ，而泊松分布遵循第2节的理论模型，其中被保险人的风险θ是预期的事故数量。假设A3-（iv），（θ，a，J，X）是被保险人的i.i.d。我们在整篇论文中坚持假设A3。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:16:52

最后，本节假设观察到的（t，dd）对应于最佳保险计划，以便（11）和（12）得到满足。3.1情况1：完全损失分布情况1考虑每个被保险人的保险范围的连续性，以及每个事故的损失观察，无论其低于或高于免赔额。因此，H（·| X）在[0，d（X）]上被识别。F（·，·| X）的识别仍有待研究。在第3节的其余部分，为了简化符号，我们抑制了条件onX。我们首先研究了确定等效性（5）分布K（·）在无覆盖范围内的识别。最优契约的特征是（11）和（12）。等式（11）定义了确定性等价物s和可扣除dd之间的一对一映射，而（12）定义了dd和t之间的一对一映射。关键思想是利用前一映射，从观察到的免赔额分布G（·）中识别确定性等价物的分布。这一结果符合关于拍卖和合同的非参数化文献的精神。我们有G（dd）=Pr（fdd≤ dd）=Pr（s（~dd）≤ s（dd））=Pr（~s≤ s（dd））=K（s）意味着g（dd）=K（s）s（dd），s（·）是dd（·）的倒数，由后者的单调性决定。因此，G（dd）G（dd）=K（s）K（s）s（dd）=K（s）K（s）dd（s）。将上述表达式代入（11），我们得到η（s，a（s），dd（s））E[θ| s]（1）-H（dd））+G（dd）G（dd）(-η（s，a（s），dd（s））ddη（s，a（s），dd（s））+η（s，a（s），dd（s））η（s，a（s），dd（s））s（dd））=1。从（12）开始，我们有t+（dd）=-1/η（s，a（s），dd（s）），其中t+（dd）≡ t[s]-1（dd）]是与免赔额和保费相关的函数。我们还有dt+（dd（s））/ds=-d[η（s，a（s），dd（s））]-1/ds，即t+（dd）×dd（s）=η（s，a（s），dd（s））/[η（s，a（s），dd（s））]或等效地t+（dd）=[η（s，a（s），dd（s））/[η（s，a（s），dd（s））]-1（dd）。

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可人4

2022-5-8 22:16:56

利用这个结果，我们可以重写前面的方程asE[θ| s]（1）- H（dd））+G（dd）G（dd）(-η（s，a（s），dd（s））ddη（s，a（s），dd（s））+t+（dd））=-t+（dd）。根据η（·，·，·，·）的定义（9），其对dd的偏导数为η（s，a（s），dd（s））dd=-η（s，a（s），dd（s））甲(s)-h（dd）1- H（dd）.关于拍卖，请参见Guerre、Perrigne和Vuong（2000）以及Athey和Haile（2007），其中观察到的出价和未观察到的私人价值之间的映射确定了私人价值分布。关于合同，请参见Luo、Perrigne和Vuong（2015）在非线性定价的背景下，以及Perrigne和Vuong（2011）在具有逆向选择和道德风险的采购模型的背景下。将观察到的数量/价格与未观察到的消费者类型/企业效率之间的映射分别用于恢复其潜在分布。因此，定义最佳免赔额的一阶条件可以重写为asE[θ| dd]（1）- H（dd））+G（dd）G（dd）-t+（dd）甲(s)-h（dd）1- H（dd）+ t+（dd）= -t+（dd），其中E[θ| s]=E[θ| dd]因为dd和s之间的一对一映射。在初等代数之后，我们得到a（s）=t+（dd）g（dd）g（dd）t+（dd）+E[θ| dd]（1）- H（dd））+ t+（dd）+h（dd）1- H（dd），表明a（s）被识别为观察到的右侧或从观察到的右侧识别。特别是，E[θ| dd]由被保险人在所有索赔都得到遵守的情况下选择免赔额dd的预期索赔数量确定，即E[θ| dd]=E[J | dd]。然后，使用（8）和（9）我们得到s=w+t+（dd）（φa）- 1）出口（出口）dd（1）- H（dd）），表明被保险人的确定性等价物s可以通过其可推断dd的选择和对H（·）、G（·）、t+（·）和E[J | dd]的了解来识别。因此，我们得到以下结果。引理3：假设每个保险人都有一系列最佳保险范围，并且所有事故都被观察到。

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kedemingshi

2022-5-8 22:16:59

在A3中，对[K（·），H（·）]被识别。我们是否能识别F（·，·）还有待研究。下面是论点的概要。从事故数J的矩母函数出发，我们确定了给定s在零邻域内的矩母函数θ。θ| i |和θ| i |是众所周知的。一旦我们确定Fθ| S（·|·），我们就用K（·）来推导（θ，S）的联合分布。根据（5）给出的（θ，s）和（θ，a）之间的已知一对一映射，确定（θ，a）的节理密度。需要注意的是，观察到的权利要求数量J在识别Fθ| S（·|·）方面起着关键作用。这是可能的，因为泊松分布属于非参数混合被识别的分布类别。参见Rao（1992）。相反，如果我们只有E[J|dd]=E[J|s]=E{E[J|θ，s]|s}=E{E[J|θ，a]|s}=E{E[J|θ]|s}=E[θs]，我们使用了A3-（iii）和（θ，a）和（θ，s）之间的一对一映射。观察是否存在通过这种接触的概率测量的风险为|θ=1的事故-E-θ、由于二项分布的非参数混合不属于上述类别，因此未识别FθS（···）。参见Aryal、Perrigne和Vuong（2009）。形式上，对于给定的确定性等价s，覆盖范围（t（s），dd（s））的被保险人子群体及其相应的索赔给出了矩生成函数MJ | s（·s）asMJ | s（t | s）=E[eJt | s=s]=EE[eJt |θ，S]| S=S= EE[eJt |θ，a]| S=S= EE[eJt |θ]|S=S= Eneθ（et）-1） |S=so=Mθ|S（et- 1 | s），（19），其中第三个等式来自（θ，s）和（θ，a）之间的一对一映射，第四个等式和第五个等式来自A3-（iii），使用参数θ的泊松分布的矩母函数。

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大多数88

2022-5-8 22:17:02

特别是，（19）表明，对于每一个t，动量生成函数MJ | S（·| S）都存在∈ IR，因为θ在给定S=S的情况下有一个紧支集- 1表示mθ| S（u | S）=MJ | S（log（1+u）| S）对于所有u∈ (-1, +∞). 因此，在0的邻域上识别MθS（·S），从而识别FθS（·S）。见比林斯利（1995年，第390页）。（θ，s）的联合密度是f（θ，s）=f（θ| s）k（s），这是从已知的映射T（·，·）到一个将（θ，a）转换为（θ，s）的映射T（·，·），即T（θ，a）=[θ，w-[θ（φa）- 1）当φa=ReaDdH（D）和H（·）已知时，我们恢复f（θ，a）asf（θ，a）=fθS（T-1（θ，a））T-1（θ，a）（θ，a）.或者，因为MθS（·S）存在于0的邻域中，那么给定S=S的θ的所有矩都由M（k）θS（0 | S）=E[θk | S=S]表示k=0，1，∞. 由于θ给定s具有紧支集，因此我们属于hausdorff矩问题类，这类问题总是确定的，即θ给定s的分布唯一地由其矩决定。这个结果在下面的命题中正式陈述。命题1：假设向每个被保险人提供一系列最佳保险范围，并且观察到所有事故。在A3中，结构[F（·，·），H（·）]是确定的。3.2情况2：截短的损害分配我们维持这样的假设，即保险人向每个被保险人提供一系列最佳合同，但我们现在认为损害分配没有得到充分遵守。将动态因素抽象化后，如果且仅当损失高于免赔额时，事故才会导致索赔。因此，我们可以确定[dd，d]上的截断损伤分布。然而，可扣除dd因被保险人而异。特别是，对于购买全额保险的被保险人，免赔额为零，从而确定其全额支持的损失分布[0，d]。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:17:06

形式上，HD | dd（·| 0）=HD | S（·| S）=HD |（θ，a）（·|θ，a）=HD（·）乘以3-（i）。因此，我们有以下引理。引理4：在A3下，H（·）被识别。仍需研究F（·，·）的识别。虽然报告的事故数量*是观察到的，而不是真正的J，论点类似于案例1。如果θi·[124k]是特殊的，那么。由于只有当损害超过免赔额时才会报告事故，我们有E[θ| dd]6=E[J*|dd]，其中J*是报告的事故数量。但是J*给定的（J，dd）以参数（J，1）的二项式分布- H（dd））被A3-（i，ii）取代。因此，E[J]*|dd]=E{E[J*|J、 dd]| dd}=E[J（1）- H（dd））|dd]=（1- H（dd））E[J | dd]=（1- H（dd））E[θ| dd]，即E[θ| dd]=E[J*|dd]/（1）-H（dd））。因此，E[θ| dd]被识别，尽管截断的损伤分布导致K（·）的识别。关于F（θ，a）的识别，我们按照第3.1节进行。J的动量母函数*鉴于s isMJ*|S（t | S）=E[eJ*t | S=S]=E{E[eJ*t | J，S]|S=S}=E{E[eJ*t | J，dd]| S=S}=E[H（dd）+（1- H（dd）et]J|S=S= EneJ对数[H（dd）+（1-H（dd）et]| S=so=Mθ| Shelog[H（dd）+（1-H（dd））et]- 1 | si=Mθ|S[（1）- H（dd））（et- 1） |s]，（20），其中第四等式使用二项分布B（J，1）的矩母函数- H（dd）），第五个等式使用（19），t替换为log[H（dd）+（1）-H（dd））等。因此，我们得到mθ| S（u | S）=MJ*|s日志1+u1- H（dd）s,为了你∈ (-(1 - H（dd）+∞).

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