案例1中的其余论点适用于以下命题。命题2：假设为每个被保险人提供一系列最佳保险范围，并且当且仅当损失高于免赔额时，才观察到事故。根据A3，结构[F（·，·），H（·）]被识别。4与有限数量的合同的识别我们现在处理模型的识别，当只有（比如）两个合同有效时，X。识别参数不能再依赖于确定性等价性的识别，因为我们不能利用被保险人确定性等价性之间的一对一映射以及他的免赔额选择。这是一个连续统一体∈ [s，s]值，但只有有限数量的免赔额。因此，表征（t，dd，t，dd）的FOCs（14）-（18）将不允许我们识别F（θ，a）。除了观察到的索赔数量所起的关键作用外，我们还利用不确定性变量的有效变化来实现识别。第4节的一个显著特点是，我们不要求观测覆盖率（t、dd、t、dd）是最佳的。因此，本节的结果不仅适用于垄断情况，还适用于保险公司之间其他形式竞争的数据。如前所述，我们区分是否观察到完整的损伤分布。关于可观察到的情况，对于每个被保险人，我们需要一对有效的保险范围（t、dd、t、dd）、他对保险范围的选择、事故的数量、他们相应的损害和特征X.4.1案例3：完全损害分布该案例最接近Cohen和Einav（2007），他们在参数假设下确定了风险和风险规避的联合分布。

在这一节中，我们展示了被保险人在完全支持假设下的最优覆盖选择，以及在一些外生特征中的有效变量如何识别非参数f（θ，a）。鉴于Cohen和Einav（2007）的经验发现，我们的识别结果对几个原因都很重要。首先，风险和风险规避联合分布的非参数识别对风险和风险规避之间的依赖性有更大的灵活性。他们的研究结果显示，两者之间存在着反直觉的正相关关系。其次，他们的稳健性分析表明，所提供的合同与其估计的正相关性不太理想，也就是说，保险公司可以通过向更符合负相关性的当前低免赔额调整来增加其利润。我们的识别结果依赖于索赔数量的泊松分布的非参数混合。具体而言，特征x上观察到的索赔条件J的概率由pr[J=J | x]=Zθ（x）θ（x）e给出-θjj！dFθ| X（θ| X），其中混合分布Fθ| X（·| X）未指定。鉴于观察到所有事故和损坏，确定了损坏分布H（·| X）。为了确定F（θ，a | X），我们进行如下操作。我们首先展示了θ| X（·|·）的识别，其参数与案例1类似。在第二步中，我们根据被保险人对特征X的保险范围选择，在划分Θ（X）×a（X）的两个集合S（X）和S（X）之间的边界a（θ，X）处确定条件分布Fa |θ，X（···，·），我们对X中包含的一些特征Z进行排除限制和完全支持假设，以识别其支持上的分布Fa |θ，X（·|·，·）。第一步，我们再次利用观察到的事故数量。

对于特征为sx的被保险人子群体，使用类似于（19）的论点，矩母函数MJ | X（·X）是j | X（t | X）=E[eJt | X=X]=EE[eJt |θ，X]| X=X，= EE[eJt |θ]|X=X= Eneθ（et）-1） |X=xo=Mθ|X（et- 1 | x），其中第三和第四个等式从A3-（iii）开始。因此，fθX（···）由其矩母函数mθX（u | X）=MJ | X（log（1+u）| X）来确定∈ (-1, +∞).在第二步中，我们考虑具有风险θ和特征X的被保险人选择保险范围（t（X），dd（X））的概率，因为这直观地提供了有关被保险人风险规避a的信息。为此，我们定义了一个离散变量χ，其取值1和2取决于被保险人选择保险范围（t（X），dd（X））还是（t（X），dd（X）），即。，被保险人的类型（θ，a）分别属于s（X）还是s（X）。因此，χ=1也相当于a≤ a（θ，X），其中后者是前沿（13）的倒数，其中（t，dd，t，dd）和H（·）现在依赖于X。也就是说，a（θ，X）是θ（a，X）=t（X）的倒数- t（X）Rdd（X）dd（X）eaD（1）- H（D | X）dD.我们下面的识别策略利用了X中这一前沿的变化。特别是，即使免赔额不随X而变化，就像我们的数据一样，保费和可能的损害分布确实取决于X。然后，利息概率可以写成Pr[χ=1 |θ，X=X]，这是fa |θ，X[a（θ，X）|θ，X]=fθ|χ，X（θ| 1，X）ν（X）f | X（θ），根据贝叶斯规则，式中，ν（x）是具有特征x的被保险人选择覆盖率（t（x），dd（x））的比例。后者由数据确定。由于fθX（····）是从第一步开始识别的，因此仍然需要识别fθχ，X（···1，X）。

在第1步中应用相同的参数，但条件是χ=1，我们得到了mj |χ，X[t | 1，X]=E[eJt |χ=1，X=X]=E{E[eJt |θ，a，X]|χ=1，X=X}=Mθχχ，X[et- 1 | 1，x]，其中第二个等式来自于条件作用于（θ，a，χ）和条件作用于（θ，a）之间的等价性，而第三个等式，如前所述，来自于A3-（iii）。因此，fθ|χ，X（·| 1，·）由其矩母函数mθ|χ，X（u | 1，X）=MJ |χ，X（log（1+u）| 1，X）来识别所有u∈ (-1, +∞). 因此，Fa |θ，X[a（θ，X）|θ，X]对于每个θ都是相同的∈ [θ（x），θ（x）]和x∈ SX。为了进行政策反事实分析，分析员可能需要在整体上确定F（·，······）x×A（x）。这就是第三步的目的。为此，我们将向量X分成（W，Z）。设SW表示W的支持度，SW | w2denote表示某个变量Wgiven某个变量W=W的支持度⊥ Z（θ，W）（ii）（θ，a，w）∈ SθaW，存在z∈ SZ |θw假设a（θ，w，z）=a。假设A4-（i）是一个排除限制，即z不影响风险规避和其他特征w。变量Z需要是连续的，可以是CAR值、报告的年里程数、驾驶员的经验等。这就给出了a |θ，W，Z（a（θ，W，Z）|θ，W，Z）=Fa |θ，W（a（θ，W，Z）|θ，W），（θ，w，z）。由于左手侧是从第二步识别出来的，因此由z引起的有效变化ina（θ，w，z）可以识别Fa |θ，w（·|θ，w）。这就是A4-（ii）的目的，这是一个完全支持的假设。类似的假设（有时称为大支持假设）也在不同的背景下做出。参见Matzkin（1992、1993）、Lewbel（2000）、Carneiro、Hansen和Heckman（2003）、Imbens和Newey（2009）以及Berry和Haile（2014）等。

在我们的背景下，这一假设可以解释为：对于每个具有特征（θ、a、W）的个体，存在一些特征Z，例如汽车价值或里程，被保险人在这两个平均值之间是不同的。完全支持假设足以保证识别，因为a |θ，W（a |θ，W）=Fa |θ，W[a（θ，W，z）|θ，W]=Fa |θ，W，z[a（θ，W，z）|θ，W，z]，其中第一个等式使用完全支持假设，第二个等式使用排除限制。请注意，（·，·，·）是根据（13）确定的。全支撑假设保证，对于其支撑上的每个a，都存在一个已知值z，例如a=a（θ，w，z）。使用第一步识别F（θ，a | w，z）。这一结果在下一个命题中正式陈述。命题3：假设每个被保险人有两个保险范围，每个被保险人都有所有意外事件。在A3和A4中，结构[F（·，··| X），H（·| X）]是确定的。尽管由于多维筛选和有限的覆盖范围，存在合并，命题3显示，模型原语是通过明智地利用事故数量和某些外生变量的变化来确定的。特别是，Ouridentification论点不要求有效覆盖的最佳性。这是在不完全信息下对模型的识别。4.2案例4：被截断的损失分布案例4中分析的数据场景对应于典型的保险数据，即，只有当损失高于免赔额时，才提供索赔的合同的详细信息。案例3表明，观察有限数量的合同并不能阻止风险和风险规避联合分布的非参数识别，前提是所有意外信息可用，并且某些排除的外部变量存在足够的变化。

相比之下，情况4中损伤分布的截断限制了识别范围。然而，我们表明，F（·，·| X）是在知道损害的概率低于最低免赔额，即H（dd（X）| X）的情况下确定的。为了简化符号，我们让Hc（X）≡ H（ddc（X）|X）以下。我们注意到1- H（X）和1- H（X），它允许我们只关注1的识别- H（X）。因为只有当索赔涉及的损害高于免赔额时，才会提出索赔，所以我们确定了截断的损害分布*c（·X）≡H（·X）- Hc（X）1- Hc（X）），在[ddc（X），d（X）]上，从购买c=1,2的保险（tc（X），ddc（X））的被保险人子群体中。对上述方程进行微分并取它们的比值，结果表明λ（X）≡H*（D|X）h*（D | X）=1- H（X）1- H（X），（21）表示所有D≥ dd（X），其中0<λ（X）<1。特别是，函数λ（·）是截短损伤密度的比率，可以从数据中识别出来，而H（·| X）是在[dd（X），d（X）]上识别的，直到H（X）的知识。我们遵循类似的步骤，如案例3中的∧θ≡ (1-H（X））θ替换θ，同时将参数修改为J是不可观测的。为了确定给定X的∧θ的边缘密度f | X（·|·），我们利用观察到的报告事故数J*c、 使用（20）中类似的参数，J的矩母函数*给定（χ，X），其中χ∈ {1，2}表示当两份合同生效时，保险人提供全额保险的情况永远不是最优的，即dd（X）=0。

因此，我们不能使用案例2的参数来识别H（·X），从而识别H（dd（X）|X）。被保险人的合同选择，isMJ*|χ、 X（t | c，X）=E[eJ*t|χ=c，X=X]=E{E[eJ*t | J，χ，X]|χ=c，X=X}=E[Hχ（X）+（1- Hχ（X）et]J|χ=c，X=X= EnE[eJ log[Hχ（X）+（1）-Hχ（X））et]|θ，χ，X]|χ=c，X=xo=Eheθ[Hχ（X）+（1-Hχ（X））et-1] |χ=c，X=xi=Mθ|χ，X[（1- Hχ（X））（et- 1） |c，x]，（22），其中第三等式使用J的矩母函数*给定（J，χ，X），其分布为二项B（J，1- Hχ（X））使用A3-（ii），第五个等式遵循A3-（iii）和泊松分布的矩母函数。因此，Mθ|χ，X[u | c，X]=MJ*|χ、 X日志1+u1- Hχ（X）c、 x,为了你∈ (-1+Hχ（X）+∞). 特别是，给出的风险θ（χ，X）的分布取决于Hχ（X）的知识。因为∧θ=（1- H（X））θ，其矩母函数给定（χ，X）isM |θ|χ，X（u | c，X）=Mθ|χ，X（u（1- H（x）| c，x）=乔丹*|χ、 Xhlog1+uλ（x）|1，xi如果c=1，MJ*|χ、 X[log（1+u）| 2，X]如果c=2，（23）对于所有u∈ (-λ（x）+∞) 你呢∈ (-1, +∞), 分别地因此，给定X isM |θX（u | X）=E{E[eu |θ|χ，X]|X=X}=MJ的|θ的矩生成函数*|χ、 X日志1+uλ（x）|1，xν（x）+MJ*|χ、 X[log（1+u）|2，X]ν（X），（24）表示u∈ (-λ（x）+∞), 表明f ~nθ| X（·|·）被识别为λ（X），从数据中可以知道ν（X）和ν（X）。因为fθX（θX）=（1- H（x））f∧θ| x（（1）- H（x））θ| x），前一种密度被确定为高达H（x）。在第二步中，与案例3一样，我们考虑具有风险θ和特征X的被保险人选择保险范围（t（X），dd（X））的概率。使用（13）和1-H（D | X）=（1）- H（X））（1- H*（D | X）），我们注意到购买空间中的两个覆盖之间的最佳边界（△θ，a）由△θ（a，X）=t（X）给出- t（X）Rdd（X）dd（X）eaD[1- H*（D | X）]dD，（25）导致逆a（∧θ，X），其被识别。

以前，我们从Bayes的规则中得到了以前，从Bayes的规则中我们有了以前，我们从Bayes的规则中我们从以前的Bayes的规则中我们有了f 124124124;θ，X，我们从我们之前的Bayes的规则中我们有了f 124124|θ，X，X，X（a（a，X，X），X）X（a（a，X）X）和X，X，X，X，X，X，X，X=X，X，X，X，X=f，f，f，f，f，f，f，f，f，X，f，f，f，θ，X，X，X，X，X，f，X，X，X，X，X，X，f，X，X，X，X，X，X，X，f，X，X，X，f，X，X，X，f，X，X，X，X，X，X，X，1，X）在(-λ（x，）+∞) 如上所示。在第三步中，我们注意到Fa |θ，X（a（|θ，X）|θ，X）=Fa |θ，X（a（θ，X）|θ，X），从而确定后者直到H（X），因为|θ=（1）- H（x））θ。在A4中，其余的论证与案例3相似，导致识别Fa |θ，W（·|·，·），然后识别F（θ，a | W，Z），直到知道H（X）。然后我们证明了以下结果。命题4：假设每个被保险人都有两个保险范围，并且只有当损失超过免赔额时，才观察意外事故。在A3和A4中，结构[F（·，··| X），H（·| X）]被识别为H（X）。到目前为止，我们还没有使用有效覆盖的最佳性。具体而言，我们没有使用FOC（14）-（18）确定最佳保险范围（t（X）、dd（X）、t（X）、dd（X））。有人可能会问，使用这些FOC是否有助于识别结构的某些特征，甚至整个结构本身。例如，我们注意到（18）识别a（X），因为后者解决了识别方程t（X）=θ（X）a（X）Zd（X）dd（X）ea（X）D- ea（X）dd（X）H*（D | X）dD，使用h（D | X）=[1- H（X）]H*（D | X）和∧θ（X）=θ（X）[1- H（X）]。建议4的一个结果是，当且仅当H（X）被识别时，结构[F（·，····X），H（·····X）]才被识别。下一个引理表明，即使通过FOC（14）-（18）考虑覆盖最优性，H（X）也没有被识别。引理5：假设每个被保险人都有两个保险范围，只有当损失超过免赔额时，才能观察到意外事故。在A3和A4中，H（X）未被识别。附录中给出了证明。它依赖于展示一种观测上等价的结构。

这种不确定可能令人惊讶，但可以解释如下。它产生于事故数量的增加（减少）和损失概率的适当减少（增加）之间的赔偿，而损失概率大于可减少的。从被保险人的角度来看，这种赔偿维持了两份合同之间的相对性。因此，如果a（θ，a）-被保险人购买（t（X），dd（X）），那么- H（X））θ，a）-如果损失概率适当增加，且大于dd（X），则被保险人也购买相同的保险。从保险人的角度来看，平均事故数量的减少通过适当增加损害高于免赔额的概率来补偿。因此，在这两种保险范围内，对被保险人的预期付款保持不变。5讨论和模型限制本节讨论了概率H（X）的识别策略，并描述了与案例4.5.1 H（X）识别策略模型相关的所有模型限制。根据第4.2节，假设识别H（X）识别结构[F（·，·X），H（·X）]。我们讨论了H（X）的一些识别假设/条件及其部分识别。识别H（X）的第一个策略是将[0，d（X）]上的损伤分布H（·X）参数化为H（·X；β），并带有β∈ B IRq。对报告损失的观察*在[0，d（X）]上识别β和H（·X）。因此H（X）≡H（dd（X）|X；β） 特别是，我们可以选择一个参数化来拟合估计的截断损伤分布H*（·| X）。第二种策略是根据事故数量或损失的平均值考虑额外的数据源。例如，假设每x∈ SX，我们知道平均事故次数u（x）≡ E[J|X=X]=E{E[J|θ，X=X]|X}=E[θ| X=X]乘以A3-（iii）。

关于报告的事故平均数量，我们有：*c（x）≡ E[J*|χ=c，X=X]=E{E[J*|J、 χ=c，X=X]|χ=c，X=X}=E[J（1-Hc（X））|χ=c，X=X]=[1- Hc（x）]E[θ|χ=c，x=x]表示c=1，2，因为J*给定的（J，χ，X）作为参数（J，1）的二项式分布- Hχ（X））。因此，u（x）=ν（x）E[θ|χ=1，x=x]+ν（x）E[θ|χ=2，x=x]=1- H（x）ν（x）u*（x） λ（x）+ν（x）u*（十）.考虑到νc（x），u*c（x）、c=1、2和λ（x）由第4.2节所示的数据确定。或者，假设我们只知道某些X的E[J | X=X]。使用相同的参数确定h（X）的标识。这与支持性假设相结合，比如每x个标识（x）的θ（x）=θ。具体地说，请注意，我们有∧θ（x）=（1）- H（x））θ（x），其中)θ（x）是f)θ| x（·| x=x）支撑的上边界，如第4.2节所示。在xidentiesθ乘以θ（x）/（1）时应用该方程- H（x））。在不同的值x下再次应用该方程，确定H（x）。类似的论点适用于下界θ（x）=θ。关于损害赔偿，我们注意到E（D | X=X）=H（X）E[D | D≤ dd（x），x=x]+（1）- H（x））E[D | D≥ dd（x），x=x]，其中E[D | D≥ dd（x），x=x]由数据确定。因此，对于每一个x，很容易看出H（x）的识别需要同时知道E[D | D≤ dd（x），x=x]和E（D | x=x）。特别是，对后者的了解并不充分，这与前一种情况形成了对比，在前一种情况下，事故的平均数量足以进行识别。如上所述，如果你知道E[D | D≤ dd（x）、x=x]和E（D | x=x）对于某些x，如果θ（x）或θ（x）与x无关，则每x识别H（x）。第三种策略是推导概率H（x）的一些界。这种方法也被称为部分识别，由Manski和Tamer（2002）以及Chernozhukov，Hong和Tamer（2007）推广。

参见Haile and Tamer（2003）和Kovchegovand Yildiz（2009）的非参数界。我们的边界符合拉特拉的精神，它们是非参数的。让[F（·，·| X），H（·| X）]为真实结构。给定任意值x，命题4意味着有能力确定H（x）的识别集，即观测上等同于H（x）的值集H（x）。引理5的证明表明，任何值H（x）=1- (1/κ)[1 - H（x）]表示κ>supx[1- H（~x）]在观测上等同于H（x）。因此，H（x）的识别集包含时间间隔1.-1.- H（x）supx[1- H（~x）]，1.对于值x，其中1- H（x）接近上确界，即左边界接近于上确界。因此，识别集接近（0，1），这不是信息。为了收紧这些界限，我们可以依赖Cohen和Einav（2007）中的一些经验证据。特别是，当损害从上面接近免赔额时，它们的估计损害密度降低，这表明免赔额以下的密度不大于其在免赔额处的值。因此，我们可以假设损伤密度满足h（D | x）≤ 每D的h[dd（x）|x]≤ dd（x）和x∈ SX。从0到dd（x）的积分得到0≤ H（x）≤ dd（x）h（dd（x）|x）。两边都除以1- H（x），并使用截断密度H的定义*（·| x），我们得到≤H（x）1- H（x）≤ dd（x）h*（dd（x）|x）。解H（x）给出了边界0≤ H（x）≤dd（x）h*（dd（x）|x）1+dd（x）h*（dd（x）|x）≡ B（x）。特别是，H（x）的上界严格小于1。

此外，一个有用的特征精确地说，这是一组与结构[F（·，··| x），H（·| x）]相对应的值，这些结构在观测上等同于[F（·，··| x），H（·| x）]。这个上限的一个特点是它可以被估计，因为它依赖于可观测的数据。5.2模型限制本节推导了案例4数据场景下模型对可观察物施加的限制，即有限数量的合同和截断的损害分布。我们可以使用这些限制来测试模型及其假设。对于每个被保险人，我们都遵守[J]*, D*, . . . , D*J*, χ、 T，DD，X]，其中D*jdenotes第j次报告事故的损失和（T，DD）是被保险人选择的保险费和免赔额。根据模型，T和DD由T=Tχ（X）和DD=DDχ（X）给出，其中Tχ（X）和DDχ（X）对于χ=1，2是满足一阶条件（14）-（18）的X的函数。因此，可观测向量具有联合分布ψ（·，…，·）和密度ψ（·，…，·）=ψD*,...,D*J*|J*,χ、 X（·，·，·|·，·，·）×ψJ*|χ、 X（·|·，·）×ψχX（·|·）×ψX（·）。下一个引理为联合分布ψ（·，…，·）提供了必要且充分的条件，以便通过一个结构[F（·，·，···），H（···）]∈ FX×HX。勒思*Cx定义为设定HXin定义2，不同之处在于，对于c=1,2，支持度为[ddc（X），d（X）]。我们引入剩余的符号来书写完全支持假设和一阶条件（14）-（18）所隐含的模型限制。考虑到承保范围c和特征x，保险人对每起事故的预期付款表示为E[P | c，x]=Rd（x）ddc（x）（1）- ψD*|χ、 对于c=1,2，X（D | c，X））dD。设θ（a）≡θ（a，x）和a（θ）≡~θ-1（θ，x）如（25）中的H*（D | X）=ψD*|χ、 X（D | 2，X）。特别地，从ψ（·，…，·）中可以知道θ（·）和a（·）。

设f|θ|χ，X（·|·，·）和f|θ| X（·|·）是矩母函数（23）和（24）给出的密度，对于c=1、2和λ（X）=ψc（X）=ψD*|χ、 X（·| 2，X）/ψD*|χ、 X（·| 1，X）。这些密度也可从ψ（·，…，·）得知。我们用θ表示≡ηθ（x）f |θ| x（·|·）的支撑的下界。Letf |θ，a | X（·，···））=fa |θ，X（··，·）f |θX（···），其中fa |θ，X（··，·）通过A4从（26）中获得。同样，利用关系1- H（x）=[1- H（x）]/λ（x）我们得到1- λ（x）≤ H（x）≤ 1.-λ（x）1+dd（x）h*（dd（x）|x）。H（x）的下界和上界分别严格大于零和小于一。[a，a]≡ [a（x），a（x）]是fa |x（·x）的支持，而a*≡ A.*（x） =min{a，a（∧θ，x）}。最后，我们定义ρ（x）=ψχ，x（1，x）+Za*aht（x）-θ（a）E[P | 1，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）tda-扎阿*ht（x）-θ（a）E[P | 2，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）tda，用（14）表示观测值的拉格朗日乘数。引理6（合理化引理）：设ψ（·，…，·）为（J）的分布*, D*, . . . ,D*J*, χ、 X）。在A3和A4下，[F（·，···），H（··）]∈ FX×hx使ψ（·，…，·）合理化，当且仅当后者满足以下条件：（i）ψD*,...,D*J*|J*,χ、 X（·，·，·|·，·，·）=QJ*j=1ψD*j |χ，X（·|·，·），其中ψD*j |χ，X（·|·，·）=ψD*|χ、 X（·|·，·）∈ H*χX，（ii）对于所有X∈ SX，ψD*|χ、 X（·| 2，X）和ψD*|χ、 X（·| 1，X）分别对[dd（X），d（X）]和[dd（X），d（X）]严格正。

此外，它们的比值λ（x）与d无关∈ [dd（x），d（x）]，其中0<λ（x）<1，（iii）对于每个（)θ，x）∈ SθX（f|θ|χ，W，Z[|θ| 1，W，Z]ψχW，Z（1 | W，Z）fθ| W，Z（|θ| W，Z）；Z∈ SZ |θw）=[0,1]，（iv）覆盖项t（·）、t（·）、dd（·）、dd（·）满足0<t（·）<t（·）、d（·）>dd（·）>0和za*aht（x）-θ（a）E[P | 1，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）ddda+E[J]*|1，x]ψχ，x，Z（1，x）-扎阿*ht（x）-θ（a）E[P | 2，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）ddda-ρ（x）~θeadd（x）=0（27）Za*aht（x）-θ（a）E[P | 1，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）tda+ψχ| X（2 | X）-扎阿*ht（x）-θ（a）E[P | 2，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）tda=0（28）Za*aht（x）-θ（a）E[P | 1，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）ddda+E（J）*|χ=2，x）ψχ，x（2 | x）-扎阿*ht（x）-θ（a）E[P | 2，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）ddda=0（29）t（x）=θa“Zd（x）dd（x）放电涂覆处理- eadd（x）ψD*|χ、 X（D | 1，X）dD#。（30）条件（i）规定，报告的损失是独立的，并且根据保险范围的选择和个人特征进行相同的分配。此外，考虑到这些变量，报告的损伤与报告的事故数量无关。这是一个关于损害和事故数量的A3-（i，ii）序列。条件（ii）要求，考虑到保险范围的选择和个人特征，报告的损失密度对他们的支持度是严格正的。更重要的是，这些密度的比率必须独立于（21）之后报告的损伤水平。该属性也是A3-（i，ii）的一个序列，即损害是i.i.d，独立于覆盖范围选择，因此来自（θ，a）。条件（iii）表示，当特征Z变化时，被保险人选择保险范围1的概率a（θ，a）-取[0，1]中的所有值。这取决于（26）和A4-（ii）中的完全支撑条件。条件（iv）将可观测数据的分布与保险条款相关联。

特别是，它要求两种保险的最佳保费免赔额必须满足FOC（14）-（18）。风险和风险规避的联合分布及其在定义1中的非消失密度的紧密支持也产生了一个条件。本技术条件见附录。合理化引理之所以重要，有几个原因。首先，具有多维私有信息的保险模型确实对可观察对象施加了一些限制。鉴于多维筛查导致的聚集，以及有限的覆盖范围，人们本可以预料到其他情况。例如，在拍卖模型中，均衡竞价策略的单调性产生了一个限制，由于合同数量有限，这里不存在均衡竞价策略。第二，引理6描述了观测值分布的所有限制，我们可以使用这些限制来测试模型及其假设的有效性。数据违反单个限制将拒绝该模型。然后我们可以针对每种情况制定一些测试程序。例如，我们可以使用条件独立性测试来测试（i）。参见苏和怀特（2008）。我们可以通过注意密度比等于ψD来测试λ（x）与损伤的独立性*|χ、 X（dd（X）|2，X）/ψD*|χ、 X（dd（X）| 1，X）。然后，我们可以根据Brown和Wegkamp（2002）之后密度的非参数估计，推导出Cram’er von Mises类型测试。条件（iii）意味着A4中的完全支持假设也是可测试的。第三，（iv）对覆盖条款进行了限制，表明我们可以测试它们的最佳性。这与之前的结构性文献形成了对比，在这些文献中，人们假设观察结果是某种平衡的结果。例如，引言、识别依赖于观察到的出价的最佳性。

这代表了一个强有力的假设，从经验的角度来看，这个假设可能是有问题的。当合同数量确定时，我们不使用保险条款的最优性来确定模型结构。因此，我们可以使用（27）-（30）来测试垄断情况下观测覆盖率（T，DD，T，DD）的最优性。从经验的角度来看，系统（27）-（30）给出了观测值的最佳覆盖率。因此，它允许我们使用实际保险范围来评估保险人的财产损失。第四，由于限制（i）-（iii）并不要求保险公司是垄断企业，因此它们也可以在保险业的其他竞争形式下测试假设a3和A4。6结论我们的论文通过多维筛选解决了保险模型的识别问题，在多维筛选中，被保险人拥有关于其风险和风险规避的私人信息。我们的模型还包括随机损坏和多起事故的可能性。被保险人的筛选依赖于他们的确定性。具体而言，我们通过几个数据场景研究了有效覆盖范围和报告事故数量的数据可用性如何影响模型原语的识别。总的来说，意外事故的数量起着至关重要的作用，尽管由于多维筛选和/或有限的覆盖范围，我们确定了模型结构。特别是，在一定范围内的认证结果适用于任何形式的竞争。具体而言，它们确定了行业中每一家企业的风险分布和风险规避。此外，我们还提供了模型对可观测对象施加的所有限制。

一个有趣的特点是，由于模型的识别不依赖于此特性，因此可以单独测试有效覆盖率的最佳性。就未来的研究领域而言，首先，我们的研究结果扩展到了广泛的保险数据，例如，如果分析师观察到重复的结果，例如被保险人的索赔。特别是，当损害不再相互独立且与被保险人的私人信息相关时，我们可能希望扩大我们的识别结果，以允许道德风险。第二，在汽车保险的情况下，考虑到被保险人的风险和风险厌恶，我们可以内生化汽车选择。这将产生一个模型，解释汽车的选择、保险范围的选择、事故的数量和损失。第三，我们的识别结果是建设性的，因此为开发非参数估计程序提供了明确的方程。我们的模型限制可以用来测试模型的有效性和覆盖率的最优性。这些限制也是在多维私有信息环境下测试保险逆向选择的基础。根据我们的结果，可以重新分析以色列（2005a，b）、科恩和埃纳夫（2007）、悉尼（2010）和巴尔塞吉安、莫利纳里、奥多诺霍和泰特尔鲍姆（2013）使用的汽车和/或家庭保险的一些现有数据集。附录引理1的证明：确定性等价（5）和（6）关于θ的导数给出-（φa）- 1） /a和-(φ*A.- 1） 分别为/a。因为φa>1和φ*a> 1.我们得到了期望的结果。关于（5）对a的导数，我们得到CE（0，0；θ，a）a=-θaE[D exp（aD）]- E[exp（aD）]+1a.必须证明括号中的分子是正的。它等于E[aD exp（aD）-经验（广告）+1]。设X=aD，很容易证明X exp（~X）- exp（X）+1是一个递增函数，在X=0时等于0。

自公元≥ 分子为正，因此导数为负。类似的论证也适用于CE（t，dd；θ，A），方法是X=A min（dd，D）。一阶条件（11）和（12）的推导：哈密顿量isH（t（s），dd（s））=“t（s）- E（θ| s）Zddd（s）（1）- H（D）dD#k（s）+v（s）t（s）+y（s）dD（s）+r（s）dd（s）+η（s，a（s），dd（s））t（s）,其中t（s）和dd（s）是状态变量，t（s）和dd（s）是控制变量，v（s）、y（s）和r（s）是共同状态变量。一阶条件如下：Ht（s）=v（s）+r（s）η（s，a（s），dd（s））=0Hdd（s）=y（s）+r（s）=0-Ht=-k（s）=v（s）-Hdd=-E[θ| s]（1）- H（dd））k（s）+r（s）η（s，a（s），dd（s））滴滴涕（s）= 横截性条件为y（s）=0和v（s）=0的y（s）。第三个积分条件是0和v=横截性-K（s）=v（s）。前两个方程式给出- y（s）η[s，a（s），dd（s）]=0。使用r（s）=-y（s）和（8）在重写最后一个等式时给出了期望的结果。引理2的证明：设s>s和θ是固定的和任意的。在（6）之后，购买保险时的确定性等价性可以写为asCE（t（s），dd（s）；θ、 a）=w- t（s）- 其中m（dd（s），s）=（θ/a）[Rdd（s）eaDdH（D）+eadd（s）（1- H（dd（s）））- 1] （θ，a）是这样的，即s（θ，a）=s。s和sgivew的（IC）约束- t（s）- m（dd（s），s）≥ W- t（s）- m（dd（s），s）w- t（s）- m（dd（s），s）≥ W- t（s）- m（dd（s），s）。将这两个不等式相加，得出简化的结果（dd（s），s）- m（dd（s），s）≥ m（dd（s），s）- m（dd（s），s）。因为m（·，·）在两个参数中都是不同的，所以我们得到了ZDD（s）dd（s）m（ξ，s）ξdξ≥Zdd（s）dd（s）m（ξ，s）ξdξZdd（s）dd（s）m（ξ，s）ξ-m（ξ，s）ξdξ≥ 0Zdd（s）dd（s）Zssm（ξ，y）ξydydξ≥ 0

（A.1）关于ξ的微分m（ξ，y）给出m（ξ，y）ξ=θeaξ（1）- H（ξ））。因为θ是固定的，s（θ，a）=y，那么使用a（y）对y进行微分m（ξ，y）ξy=θa（y）ξea（y）ξ（1）- H（ξ））≤ 0，因为a（·）在s中减少引理1。因此，（A.1）中的内部整合是积极的。因此（A.1）成立的当且仅当dd（s）≥ dd（s）。引理5的证明：根据命题4，H（X）被识别当且仅当结构[F（·，··| X），H（·| X）]为。因此，必须证明后者未被识别。设[F（·，··| X），H（·| X）]为满足定义1和2以及A3和A4的结构。我们构造第二个结构[F（·，·| X），~H（·| X）]，如下所示。设∧θ=κθ，其中κ>supx∈SX[1-H（x）]≥ 0，而a=a，所以f（·，·| X）=（1/κ）f（·/κ，·| X）。设h（·| X）是其支撑[0，d（X）]上的严格正的条件密度，对于d，h（d | X）=（1/κ）h（d | X）≥ dd（X）。因为0<Rd（x）dd（x）~h（D|x）dd<1，所以κ>1- H（x）表示所有x∈ 如上文所述。第二种结构[F（·，·| X），H（·| X）]满足定义1和2，以及A3和A4作为θ（a，X）=κθ（a，X）。我们现在证明了这两种结构在观测上是等价的，也就是说，它们导致了观测值（J）的相同分布*, D*, . . . , D*J*, χ、 t，dd，t，dd）给定X，其中J*安德*分别指报告的事故数量及其相应的损失，而χ表示被保险人选择的保险范围。首先，我们注意到覆盖项是X解FOC（14）-（18）的确定函数。因此，从（25）开始，第二个结构的最佳边界必须是)θ（a，X）=t（X）- t（X）Rdd（X）dd（X）eaD（1）-~H（D | X））dD=t（X）- t（X）Rdd（X）dd（X）eaDκ（1）- H（D | X））dD=κθ（a，X），从而表明Aisa中最高的风险规避*（十） =a*（十） 。关于给定X的分布，我们注意到▽χ=χ。

后一种是从√χ=1if开始的，且仅当（√θ，a）∈~A（X），即∧θ≤θ（a，X）和a（X）≤ A.≤ ~a*（十） 。因为∧θ=κθ，∧θ（a，X）=κθ（a，X）和∧*（十） =a*（十） 当且仅当χ=1时，我们就有了χ=1。因此，给定X的|χ和ξ的分布是相同的，即c=1，2时|νc（X）=νc（X）。关于J的分布*给定（△χ，X）=（χ，X），从（22）其矩母函数isM△θχ，X[（1-~Hχ（X））（et- 1） |c，x]=Mθ|χ，x[（1）- Hχ（X））（et- 1） |c，x]=MJ*|χ、 X[t | c，X]使用1-~Hc（X）=（1-Hc（X））/κ，和M|θ|χ，X（u | c，X）=Mθ|χ，X（κu | c，X）。因此，J的分布*给定的（χ，X）与J的相同*给定（χ，X）。关于报告的损害的分布*给定（~J）*, χ、 X）是H*χ（·X）=H（·X）-~Hχ（X）1-~Hχ（X）=H（·| X）- Hχ（X）1- Hχ（X）=H*χ（·| X）使用1-~Hχ（·| X）=（1）- Hχ（·| X））/κ。最后，还需证明（t（X）、dd（X）、t（X）、dd（X））满足与第二结构相关的FOC（14）-（18）。使用∧θ（a，X）=κθ（a，X），f（∧θ（a，X），a | X）=f（∧θ（a，X）/κ，a | X）/κ=f（θ（a，X），a | X）/κ，1-~H（D | X）=（1）- H（D | X））/κ，~νc=νcand E[~θ| Ac]=κE[θ| Ac]，可以很容易地验证（t（X）、dd（X）、t（X）、dd（X）、dd（X））满足（14）–（18）的要求，其中△ρ=ρ假设为（14）–（18）的原始结构。因此，这两种结构导致了所需的可观察物的相同分布。引理6中的附加条件：（v）对于c=1，2和所有x∈ SX，ψJ*|χ、 X（·| c，X）>0，在IR上定义了一个矩母函数，（23）的右边是绝对连续分布的矩母函数，其密度在其支撑点上远离零[茶θ（1，X），茶θ（1，X）]和[茶θ（2，X），茶θ（2，X）]，其并集等于IR++中的[茶θ（1，X），茶θ（2，X）]。

此外，Sa |θw≡ {a:Z∈ SZ |θw，a={a（{θ，w，z）}在IR++中是一个紧区间，与{θ无关。条件（v）规定，给定覆盖范围选择和个人特征，对报告事故分布的支持是整数集。（v）的剩余部分来自F（θ，a | X）的紧支集及其非消失密度。关于J的矩母函数的条件*给定的（χ，X）可以用其特征函数φJ上的条件代替*|χ、 X（·c，X）。具体来说，φJ*|χ、 X（·| c，X）是一个完整的特征函数，因此（23）的右边是特征函数，对应于绝对连续的分布，密度在其支撑点上以零为界[θ（1，X），θ（1，X）]和[θ（2，X），θ（2，X）]，其并集等于IR++中包含的[θ（1，X），θ（2，X）]。引理6的证明：我们首先证明必要性。设[F（·，···），H（···）]∈ FX×HXbe是一种在A3和A4下合理化ψ（·，…，·）的结构。为了证明（i），我们遵循Guerre、Perrigne和Vuong（2000）定理4（条件C1-C2）的证明。从A3-（i，ii），我们有（D，…，DJ）i.i.D asH（·X），条件是（J，θ，a，X）。因此，J*跟随着B[J，1-Hχ（X）]给出（J，θ，a，X），因为这样的条件可以以更可测试的形式等价地写入。例如，一个函数是一个特征函数当且仅当它满足Bochner定理4.2.2时，它是完整的当且仅当它满足定理7.2.1时。特征函数对应于IR++中具有有界支撑的分布，当且仅当其满足定理7.2.3且（7.2.3）为严格正时。这些定理和方程式来自卢卡奇（1960）。分布绝对连续的一个众所周知的充分条件是其特征函数绝对可积，而一个必要条件是特征函数在尾部消失。

见比林斯利（1995年，第345-347页）。当且仅当损害超过免赔额时，才报告事故。对于任何（d，…，dj）∈ IRj+，Pr[D]*≤ DD*J≤ dj，J*= j | j，θ，a，X]=X1≤r6=。。。6=rj≤JPr[ddχ（X）≤ 博士≤Dddχ（X）≤ Drj≤dj，Dr<ddχ（X），r6∈{r，…，rj}J，θ，a，X]=J！J（J）- j） !！Pr[ddχ（X）≤ D≤Dddχ（X）≤ 流行音乐播音员≤dj，Dr<ddχ（X），r=j+1，J | J，θ，a，X]=J！J（J）- j） !！jYr=1[H（dr | X）- Hχ（X）]！[Hχ（X）]J-jbecause（D，…，DJ）是给定（J，θ，a，X）的i.i.D.作为H（·| X）。自从J*是B[J，1吗- Hχ（X）]*≤ DD*J≤ dj | J*= j、 j，θ，a，X]=jYr=1H（dr | X）- Hχ（X）1- Hχ（X）表明（D*, . . . , D*j） i.i.d.是H*χ（X）∈ H*χxj*= j、 j，θ，a，X），因此给出（j*= j、 χ，X）。因此，（i）成立。为了证明（ii），我们注意到ψD*|χ、 X（·|·，·）=H*χ(·) ∈ H*χXT特此确定（ii）的第一部分。此外，ψD*|χ、 X（d | 2，X）/ψd*|χ、 X（d | 1，X）=（1- H（x））/（1- H（x））≡ λ（x），与d无关∈ [dd（x），d（x）]和in（0,1）。关于（iii），对于每个（θ，a，w）∈ 目前，W，Z[a（θ，W，W，W，W，W，W，W，Z[a（θ，W，W，Z，W，Z）a（θ，W，W，Z，Z，W，Z，W，W，Z，Z]=fθ，安安安手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手~θ| W，Z），对于某些Z∈ SZ |θw，其中第一个等式来自A4，第二个等式来自Bayes规则，第三个等式来自|θ=（1）- H（X））θ。因为a可以任意选择，所以右边取[0,1]中的所有值。关于（iv），设∧θ=（1）- H（X））θ。然后，证明遵循引理5证明的最后一段，κ=1- H（X）。为了证明（v），我们注意到pr[J]*= J*|θ、 a，X]=∞Xj=j*Pr[J]*= J*|J=J，θ，a，X]Pr[J=J |θ，a，X]。因此，J*给定（θ，a，X）是a，B[J，1]的混合物- Hχ（X）]，混合P（θ）分布为a3-（iii）。也就是说，ψJ*|θ、 a，X（·|θ，a，X）是P[（1- Hχ（x））θ]分布。

因此，ψJ*|χ、 X（·| c，X）=RAcψJ*|θ、 a，X（·|θ，a，X）dF（θ，a | X），由此建立ψJ*|χ、 X（·| c，X）>0作为F（·，·|·）∈ 外汇。J的矩母函数*鉴于（22），给定（χ，X）在IR上存在，因为给定（χ，X）的θ分布有一个有界支撑。（23）的右手边必须是绝对连续分布的动量母函数，密度在其支撑点上以远离零为界[~θ（1，x），~θ（1，x）]和[~θ（2，x），~θ（2，x）]，并在IR++中包含等于[~θ（1，x），~θ（2，x）]的并集，因为它们是~θ=（1，x）的动量母函数- H（X））θ给定（c，X），具有这样的性质。现在我们来谈谈效率。设（J）的分布ψ（·，…，·）*, D*, . . . , D*J*, χ、 合同条款[t（·）、dd（·）、t（·）、dd（·）]满足（i）-（v）。我们需要展示一个结构[F（·，···），H（··）]∈ FX×HX使A3和A4满意，使（J）的ψ（·，…，·）合理化*, D*, . . . , D*J*,χ、 和[t（·）、dd（·）、t（·）、dd（·）]。鉴于第4.2节的识别论点，我们将H（·|·）定义如下：对于常数κ∈ （0,1），设H（D | X）=κψD*|χ、 X（D | 2，X）+（1）- κ） 当D≥ dd（X）。注意H（·| X）在[dd（X），d（X）]上有严格的正密度，因为ψd*|χ、 X（·2，X）∈ H*2倍。对于D∈ [0，dd（X）]，设H（·| X）是任意的，只要它在[0，dd（X）]上有严格的正密度。因此，H（·|·）∈ HX。注意κ=1- H（dd（X）|X）≡ 1.- 所以*（·| X）≡ [H（·X）- H（X）]/[1- H（X）]=ψD*|χ、 简单代数之后的X（·| 2，X）。此外，ψD*|χ、 X（D | 2，X）=λ（X）ψD*|χ、 X（D | 1，X）代表D≥ dd（X）通过（ii）表示λ（X）=1- ψD*|χ、 X[dd（X）| 2，X]通过积分，H*（·| X）≡ [H（·X）- H（X）]/[1- H（X）]=ψD*|代数之后的χX（·| 1，X）。因此，ψD*,...,D*J*|J*,χ、 X（·。

只要χ是理论模型所暗示的（θ，a，X）的函数，则·····················。为了构造F（·，···），我们遵循识别参数。设f（θ| c，X）=κf |θ|χ，X（κθ| c，X）和f（θ| X）=κf |θ| X（κθ| X），其中这些密度由条件（v）存在。特别地，f（θ| X）在它的支撑上是严格正的[)θ（1，X）/κ，)θ（2，X）/κ] IR++。通过A4-（i）将Fa |θ，W，Z（·|·，·，·，·）=Fa |θ，W（···，·），我们遵循（26）。对于每个（θ，w）∈ SθW，设Fa |θ，W（·|θ，W）在其支承Sa |θW上有严格的正密度≡ {a:Z∈ SZ||θw，a=|a（|θ，w，z）}=Sa|θw≡ {a:Z∈SZ |θw，a=a（θ，w，z）}满足f |θ，w[a（θ，w，z）|θ，w]=f |θ|χ，w，z（|θ| 1，w，z）ψ（1 | w，z）f | w，z（|θw，z）（a.2）对于每一个（θ，w，z）∈ SθW Z，式中∧θ=κθ和a（θ，W，Z）≡ ~a（κθ，w，z）。由（iii）可知，右手边的范围为[0，1]，因为z在SZ |θwf中随每个给定（|θ，w）而变化∈ S~θW，即对于每个给定的（θ，W）∈ 因此，对于每一个（θ，W）∈ Sθ棒每a∈ Sa |θw，存在一个z∈ SZsuchthat a=a（θ，w，z），即A4-（ii）是满足的。我们现在可以使用（a.2）将Fa |θ，w（·|θ，w）扩展到Sa |θwbyFa |θ，w（a |θ，w）=Faθ，w[a（θ，w，z）|θ，w]。因此，F（·，···）∈ 如你所愿。如上构造的结构[F（·，···），H（···）]使ψJ合理化*|χ、 X（·|·，·）因为（23）和对应密度的唯一性。这种结构也使ψχX（···）合理化。具体地说，根据定义，我们有fa |θ，W（a（θ，W，z）|θ，W）=fθ|χ，W，z（θ| 1，W，z）ν（W，z）fθW，z（θ| W，z）=f|θχW，W，z（|θ1，W，z）ν（W，z）f |θW，W，z（| W，z）。使用（A.2）可以得到所需的ν（w，z）=ψχw，z（1 | w，z）。该结构合理化（t（·）、dd（·）、t（·）、dd（·））的事实遵循了表5证明的最后一段的论点。参考文献阿姆斯特朗（1996）：“多产品非线性定价”，计量经济学，64，51-75。阿罗，K。

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