（S32）和（S33）减少到2214421121121121Eyeyeppp（S34）和 .0212121212121yeye（S35）ye的二次方程的解是的。2121叶（S36）什么时候  接近1/2时，网络的所有节点都具有非负容量，并且需求系数预计将消失。因此，另一个解决方案是2121是的。请注意，等式（S36）表示ye1. 1/2 + . 这意味着该范围内存在过剩生产者1.   1/2 + . 什么时候 接近0，过剩生产者的产能下限，分配，ye1，接近电容分布的上限，1/2+.  因此，网络中多余生产者的比例接近0。然而，对于有限的, 过剩生产者总是在v=0的范围内存在。在价格出现分歧之前，它将接近一个有限值c由式（S34）给出 = 0.212232cceec（S37）这个产量SC=1.83，在 = 0，如图S2所示。相应的需求系数为yc=e/2。什么时候  跌破0，价格不连续地偏离。然而，正如我们将看到的，当我们考虑小值的行为时，这种不连续性是不存在的。图S2。没有存货的价格。采购价格对v=0限制下平均产能的依赖性。4.小v限制当v是有限的但很小时，必须包括等式（S33）中的修正项，从而得出二次方程 ,0212121212121范耶耶（S38）在哪里。11ln12/11sale2pppeedyj（S39）式（S38）的解由下式给出。221Jvbye（S40）当  合资企业。没有解决方案意味着网络中没有多余的生产者。

因此，过剩生产者存在的临界能力由下式给出。11ln12/112CCCCEEEDYV（S41）数值结果为：c/v=0.622.5。没有多余生产者的制度在这个制度中E, E 和 必须修改。特别是，在小v的极限下，（b）不再等于1。相反，我们有（b） ln（y/b）。因此E 被替换为 .)（11） /ln（佩贝德比）（S42）在小范围内整合后,.11LN2212211）2ln（2212PppyPedveyye（S43）同样适用于E, 等式（S24）替换为  .1） （）1（11）/ln（佩贝德比）（S44）集成后，PPEYEBYEPP22122）21（4）1（21ln24.11ln）1（1）2ln(皮佩德夫（S45）用于, 等式（S31）替换为   22）（22212/112/12/1Aeyayeyeyedyedpppppppppyedv12/12/11)()2ln（12/12/1）2ln（2/1.12/11）（Ypppyedvyedv）（S46）注意到只有v阶的条款被修改，结果是212121派伊ppppp YedvYedvp2011年12月12日（112/11）（11层）)2ln（12/12/1）2ln（2/1.12/11）（Ypppyedvyedv）（S47）因此，在没有多余生产者的制度下，我们必须使用替代的等式。（S43）、（S45）和（S47）用于表达E, E 和 因此，自洽方程（S32）和（S34）被PpeyeByYp取代2212421ln212121,11ln）1（1）2ln(Pypedv（S48）和。12/111ln1）2ln（122/1）2ln（2YpppPeydyeedyv（S49）在小v和 ~ v、 情商。

（S48）减少到。242LN21221PPEYEYP（S50）设x=1+p ln（2y）。那么x满足等式（S37）。这意味着。211佩伊（S51）因此，对于给定的价格P，我们可以找到y的相应值。替换和y为等式。（S49），我们可以得到/v直接。6.无准生产者制度即使在无过剩生产者制度中，也有资源介于2/1之间的准生产者和b，其价格设定在ln（y/b）和1+p/2之间。它们的容量比它们的输出电流高v级/v下降足够多，2/1英寸接近1/2，甚至准生产者也消失了。将该条件代入式（S51），我们发现。2c2 c（S52）当价格变为3.67时，会发生这种转换，/v变成0.171，y变成4。25.什么时候/v降至0.171以下，E 和E 仍然遵循等式。（S43）和（S5），但是 伊内克。（S47）替换为 .1） （22）（1）/ln（2211）/ln(pppByDvAbyedByed（S53）整合后，ppeyye222122212121.11ln12/11）2ln（1）2ln(ppypyyedv（S54）等式（S49）替换为。12/1p1）2ln(yyedv（S55），注意积分下限等于1+sc、 我们发现在/接近0时，价格会随着  ./496.0/21salevvecc（S56）7。到目前为止，我们假设商品是必不可少的。然而，当价格过高时，一些代理商无法购买他们所需的所有商品。这为屈服点的出现提供了一种可能的机制。为了分析这种情况，我们考虑了消费者的资本是有限的且等于C的情况。

由于资本有限，消费量最大的消费者会购买较少的商品，他们的产能将被更积极的产能所有效取代.这些代理商购买的商品数量为派伊以高价出售大宗商品1以1+p的价格。因此由）1（）给出（1010 ppyec（S57）暗示。100 ppyec（S58）然后可以使用容量分布推导出Pand y的自洽方程，其中这些容量位于a和y之间现在被. 假设产量点在于没有多余生产者的制度。然后是E 和E 对Eqs仍然是有害的。（S43）和（S45）。另一方面 变成20212121派伊ppppp YedvYedvp2011年12月12日（112/11）（11层）)2ln（12/12/1）2ln（2/1.12/11）（Ypppyedvyedv）（S59）Premins的自洽方程与公式（S51）相同，而y的自洽方程变为2/1）2ln（211LN1ppyppeedyV .22/112/120）2ln（12veydyypp（S60）该方程仅在最后一项中与等式（S49）不同，表明当解决方案将发生重大变化。当y和pare通过等式（S58）关联时，就会发生这种变化。210peCyp（S61）从等式（S51）中消除y，.20ceCp（S61）因此，当价格达到该水平时，当平均容量根据等式（S60）继续下降时，价格将被固定。弹性dp/d 将不连续地下降到0.8。

农产品、金属和其他商品的弹性曲线在本节中，我们首先描述了图中重新缩放的弹性曲线。构造了4、5和S3。然后，我们分析了正文中未提及的其他商品，如谷物、原油和碳交易。A.弹性曲线图中的弹性曲线。4和S3是通过首先对数据点进行线性回归来构建的。然后将回归线的x截距作为转折点，从而固定SUR刻度。然后，我们通过弹性标度对弹性进行重新标度，并将成本函数定义为重新标度的经验弹性与其理论预测值之间的均方差。相对于弹性尺度，成本函数最小化。无花果的弹性曲线。5（A）-（H）是通过额外的程序构建的，因为数据点比较嘈杂，弹性曲线需要拟合到三种状态（非弹性、弹性和屈服）。首先，我们提出商品的弹性是其在弹性制度下的价值（如图1（B）插图中的曲线所述）和非负背景弹性回溯的总和。如图1（B）所示，当 >> v、 但如SM图S2所示，当 增加到v级。这种轻微的下降可能会引起背景弹性。然后，我们定义了一个成本函数，该函数与重新调整的经验散度及其理论预测值之间的均方差成正比。成本函数中只包含那些被认为处于弹性和弹性状态的数据点，相对于表面SSUR、弹性尺度SEA和回溯，成本函数最小化。

为了防止弹性标尺溢出或表面标尺下溢，成本函数中的比例常数为SEn/SSUR，其中所有金属的n=2（硫除外，其中n=1）。为了确定非弹性和弹性状态下的数据点范围，我们成功地将范围扩展到屈服状态。当范围不包括屈服状态中的数据点时，每个数据点的成本函数大致不变。然而，当范围开始覆盖屈服状态时，每个数据点的成本函数开始急剧增加，甚至可能出现分歧。这为划分屈服政权提供了明确的标准。答：谷物数据可从联合国粮农组织年度粮食展望[22]获得。这些报告提供了小麦、粗粮和大米等不同商品的全球年平均价格和主要出口商的附加值。虽然有1992年至2012年的数据，但数据显示，1995年至1996年，南苏丹的情况是连续的。根据2001年2月的报告，这种不连续性是由于对中国（大陆）谷物库存估计进行修订时，数据发生了重大变化[22]。因此，我们将重点放在1991年至2010年（不包括1995年）的小麦和粗粮数据上，以获得弹性与SUR图。如图所示。S3（A）-（B），小麦和粗颗粒数据都遵循我们的模型在弹性状态下预测的趋势。图S3。谷物的弹性。1991年至2012年（A）小麦，（B）粗粒小麦（不包括1995年）的重标弹性与重标SUR。为了与交易模型（转折点为0.622的实线）进行比较，弹性和附加值被重新调整为（a）448美元@1998/吨/年和0.684年，（B）223美元@1998/吨/年和0.563年。

每个绘制点来自7个数据点的回归。B.原油我们从欧佩克每月的石油市场报告中收集原油的SUR和价格数据[23]。由于石油使用有季节性变化，我们考虑连续四个季度的平均数据。价格图如图S4（A）的插图所示。它显示了总的趋势，即价格在不断下降。通过绘制图S4（A）中的弹性，我们发现弹性是正的，且相当恒定。这表明，除了我们模型中考虑的市场因素外，可能还有其他因素，比如欧佩克国家试图通过调节生产配额来控制价格[24]。图S4。原油和碳交易的弹性。（A） 2007年第一季度至2015年第二季度，原油的弹性（单位：美元/Jun01/桶/mbpd）与原油的消耗量之比。1Mbpd相当于每天100万桶。每个数据点基于考虑的季度和随后三个季度的平均值。每个绘制点代表11个数据点的回归。插图：一揽子原油价格（单位：US\\$@Jun01/桶）与苏里南。（B） 2009年至2012年，碳许可证的价格（单位：欧元/吨二氧化碳）与SUR之比。C.碳交易我们进一步研究了欧盟排放交易系统中的碳交易[25]。截至2012年，欧盟范围内的碳许可价格可从法国证券交易所获得[26]。日均价格是每年的平均价格。碳交易的SUR定义为欧盟范围内的碳排放分配减去实际排放量，再除以实际排放量。与其他实物商品相比，碳交易允许负附加费，但对不遵守规定的行为处以罚款。实际上，只有在2008年碳交易进入第二阶段时，才发现负SUR。

图S4（B）显示，价格随着SUR的增加而降低。由于数据点太少，我们没有尝试弹性图。