ThusV（γ）（h，h，1）≤ 五、*（g，B（γ）（h，1），u（γ）（h））和V（γ）（h，h，0）≤ 五、*（g，B（^γ）（h，1））。因此，让h（g）=（1，B（^γ）（h，1），（g，1）），V*（g，δB，u）≤u（n（γ）（g）- g、 一,- n（γ）（g））+βZGmax{V*（g，B（γ）（h，1），u（γ）（h（g）），V*（g，B（^γ）（h，1））}πg（dg | g）。通过引理D.2，（n（^γ）（g），B（^γ）（h，1），u（^γ）（h（·）））使得uc（n（^γ）（g）-g、 一,-n（γ）（g））=μ和z（1，n（γ）（g），g）μ+P*（g，B（^γ）（h，1），u（^γ）（h（·））B（^γ）（h，1）≥ Bu。因此，V*（g，B，u）≤ 最大值（n，B，u（·））∈Γ（g，B，u）u（n）- g、 一,- n） +βZGmax{V*（g，B，u（g）），V*（g，B）}πg（dg | g）。现在，我们证明了反向不等式成立：V*（g，B，u）=u（n（^γ）（g）- g、 一,- n（γ）（g））+βZGmax{V（γ）（h，1，B（γ）（h，1），（g，1），1），V（γ）（h，1，B（γ）（h，1），（g，1），0）}πg（dg | g）≥u（n（γ）（g）- g、 一,- n（γ）（g））+βZGmax{V（γ）（h，1，B（γ）（h，1）、（g，1），1），V（γ）（h，1，B（γ）（h，1）、（g，1），0）}πg（dg | g）（D.44），其中h=（1，B，g，1），第二行适用于任何可容许的γ。为此，我们构造了以下策略γ：（1）由表达式4.12-4.11确定的γDare；（2） 对于任意φ和h，γF（h，φ）=B（～γ）（h，φ）和u（～γ）（h）是z（1，n（～γ）（g），g）u+φ{P*（g，B（～γ）（h，1），u（～γ）（h，o))B（～γ）（h，1）- Bu}≥ 0，（D.45）在哪里o 表示（1，B（～γ）（h，φ），（·φ）），如果φ=0，则表示B（～γ）（h，φ）=B和u（～γ）（h）=mA（g）；（3） 策略的剩余部分^γFagree与^γF一致，即^γF | h，φ=^γF | h，φ代表所有历史h∈ 手φ∈ {0, 1}.我们现在验证γ是可容许的，这归结为证明γ∈ S（h，1）。

注意，通过我们的构造（n（～γ）（g），B（～γ）（h，1））在t=0时满足可实现性约束（方程式D.45），价格由P给出*（g，B（～γ）（h，1），u（～γ）（h，o)) 并且它满足了B（～γ）（h，0）=B。另外，引理D.2中的^γ| h，φ∈ S（h，φ），这两个结果意味着∈ S（h，1）。也适用于任何h∈ 手φ∈ {0，1}其中h=（1，B（)γ）（h，1），g，1），因为^γ| h，φ∈ S（h，φ），由此得出V（^γ）（h，1）=V*（g，B（γ）（h，1），u（γ）（h））和V（γ）（h，0）=V*（g，B（∧γ）（h，1）），否则将有一个可接受的策略，其V（·）（h，φ）的值将高于^γ。因此，在γ处评估显示D.44，其结果为V*（g，B，u）≥u（n（～γ）（g）- g、 一,- n（∧γ）（g））+βZGmax{V*（g，B（～γ）（h，1），u（～γ）（h，h（g）），V*（g，B（∧γ）（h，1））}πg（dg | g），其中h（g）代表（1，B（∧γ）（h，1），（g，1））。由于（n（～γ）（h），B（～γ）（h，1），u（～γ）（h））是任意的（除了它们属于Γ（g，B，u））这一事实之外），因此*（g，B，u）≥ 最大值（n，B，u（·）∈Γ（g，δB，u）u（n- g、 一,- n） +βZGmax{V*（g，B，u（g）），V*（g，B）}πg（dg | g）。D.1补充引理的证明D.1引理的证明。（1） 根据假设3.1，n 7→ u（κn- g、 一,- n） =uc（κn）- g）-ul（1）- n） =1- (1 - τ） κ和自κ<1和τ∈ [0,1]这意味着u（κn- g、 一,- n） >0。还有，N7→ u（κn- g、 一,- n） 是连续的。此外，{n:z（κ，n，g）=0}={n:κ（uc（n- g、 一,- n）- ul（n）- g、 一,-n） ）n- 加州大学（北）- g、 一,- n） g=0}。在假设3.1下，UC和ulare是连续的，因此这个集合是封闭的（有界的）。因此它很紧凑。根据最大arg maxn定理∈[0,1]{u（κn）-g、 一,-n） ：z（κ，n，g）=0}存在。唯一性源于N7→ u（κn- g、 一,- n） 越来越多。（2） 首先观察n7→ z（1，n，g）=（1）- H（1- n） ）n- g（uc=1）是连续的，且所有g都存在u＠n（g）∈ G（G）对于所有的G∈ G、 马克斯∈[0,1]z（1，n，g）≥ g） 。

注意7→ z（1，n，g）=（1）- H（1- n） ）+H（1- n） n和n7→ z（1，n，g）=2H（1- n）- H（1- n） n.根据假设5.1，z（1，n，g）<0，因此是严格凹的。现在我们证明z在减小。如果n（g）=1，那么这个语句是空的，那么考虑n（g）<1。因为n（g）是“argmax”，所以z（1，\'n（g），g）≤ 0.因为z是严格凹的，z是递减的，因此z（1，n，g）<z（1，n（g），g）≤ 0表示所有n>\'n（g），结果如下。引理D.2的证明。如果γ∈ S（h，φ）因此，对于任何公共历史，htht=（φt-1，Bt，ωt=（gt，δt）），其中Bt=Bt（γ）（ht-1，φ）和任意φ∈ {0,1}，z（κφ，nt（γ）（ht），gt）uc（ωt）+φ{pt（ωt）uc（ωt）Bt+1（γ）（ht，φ）- δtuc（ωt）Bt}≥ 0和Bt+1（γ）（ht，0）=Bt，pt（ωt）uc（ωt）=βZGdt+1（γ）（ht，ht+1（g））ut+1（γ）（ht，ht+1（g））πg（dg | gt）+βZG（1）- dt+1（γ）（ht，ht+1（g）））mA（g）qt+1（ωt，′δ，g）πg（dg|gt）（D.46），其中ht+1（g）≡ （1，Bt+1（γ）（ht，1），g，1）和ut+1（γ）（ht，ht+1（g））=uc（nt+1（γ）（ht，ht+1（g））- g、 一,- nt+1（γ）（ht，ht+1（g）），qt是时间t时的“二级市场”价格，即qt+1（ωt+1，δ，g）≡βλZGZat+1（γ）（ht，ht+1（g，δ））ut+1（γ）（ht，ht+1（g，δ））Δπ（dδ）πG（dg | G）（d.47）+βZG1.- λ+λZ(1 - at+1（γ）（ht，ht+1（g，δ））π（dδ）mA（g）qt+2（ωt+1，δ，g）πg（dg | g），其中ht+1（g，δ）=（0，δBt+1（γ）（ht，1），g，δ）。从方程D.46可以得出，pt（ωt）uc（ωt）=P（gt，Bt+1（γ）（ht，1），ut+1（γ）（ht，ht+1（·）），从方程D.47 qt+1（ωt，δ，g）=P（g，Bt+1（γ）（ht，1））。此外，从这些方程和FirstDisplay可以清楚地看出∈ S（h，φ），然后是γ| ht，φ∈ S（φt）-1，Bt，ωt，φ）。为了展示命题5.1，我们需要下列引理（其证明被归入本节末尾）。在本节中，我们假设假设5.1适用。在这一节中，让Γφ（g，B）={（n，B）：z（κφ，n，g）+φ（P*φ（g，B）B- B）≥ 如果φ=0}和κφ≡ φ + κ(1 - φ).引理E.1。

存在一个常数∞ > C>0，这样| V*φ（g，B）|≤ C表示所有（φ，g，B），使得Γφ（g，B）6={}.引理E.2。B 7→ 五、*（g，B）对所有g而言均不增加∈ 引理E.3。存在一个C>0，这样maxg∈GmaxB，B∈B | V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤ λβC1-β.前面的引理暗示，对于任何 > 0，存在一个λ() > 对于任何λ∈ [0, λ()]马克斯∈GmaxB，B∈B | V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤ . （E.48）引理E.4。存在¨λ>0，因此对于所有λ∈ [0，\'λ]，以下公式成立：对于所有（g，B），B>0和d*（g，B）=1，P*（g，B）B≤ B全部B∈ B.我们观察到每个B∈ B、 P*是以下映射的固定点Q 7→T*B[q]（·）=λβZG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg |·）+βZG(1 - λ） +λZ(1 - A.*（g，δ，B））π（dδ）q（g）πg（dg |·）=λβZG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg |·）+βZG1.- λZA.*（g，δ，B）π（dδ）任意B的q（g）πg（dg |·）∈ B、 q∈ {f:G→ R一致有界}。我们利用这一观点来推导P的性质*.这个结果清楚地表明δ7→ 五、*（g，δB）对于所有g都是非递减的∈ G和B>0。引理E.5。假设假设假设5.1成立。然后：1。每个B∈ B、 T*收缩。2.对于任何（g，B）∈ G×B，P*（g，B）∈h0，λβ1-βEπ[δ] i.3。如果g是iid（根据πg（·）分布），那么P*（g，B）在g中是常数，由p给出*（g，B）=λβRG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg）1- β+βλRG×A.*（g，δ，B）π（dδ）πG（dg）在这种情况下| P*（g，B）|≤βλ1-β+βλ< 1.命题5.1的证明。第（1）部分。引理E.2，δ7→ 五、*（g，δB）不增加，前提是B>0（但这是唯一重要的情况，因为政府永远不会拖欠储蓄B<0）。另一方面*（g，B）相对于δ是常数。因此，对于某些δ∈ , A.*（g，δ，B）=1，那么对于所有δ≤ δ必须保持不变。因此，存在aδ：G×B→ [0,1]这样*（g，δ，B）=1{δ：δ≤δ（g，B）}（δ）。（E.49）我们现在证明B7→^δ（g，B）对于所有g都是非递增的∈ G

有必要证明，对于任何δ，δ>^δ（g，B），那么对于任何B<B，δ>^δ（g，B）。既然δ>^δ（g，B），那么V*（g，δB）<V*（g，B）。允许（g，B，δ）≡ 五、*（g，B）- 五、*（g，δB）。很容易看出这一点（g，B，δ）>0表示任何（g，B，δ），使得δ>^δ（g，B）。此外，由于g，Bandδ属于离散集，因此存在一个 > 0以至于 ≤ （g，B，δ）表示所有（g，B，δ），使得δ>^δ（g，B）。从B7开始→ 五、*（g，B）对于任何g都是非递增的（见引理E.2）∈ G、 因此V*（g，δB）≤五、*（g，δB）表示所有（g，δ）∈ G× （注意δ始终大于0）。因此，V*（g，δB）- 五、*（g，B）≤五、*（g，δB）- 五、*（g，B）≤ 五、*（g，δB）- 五、*（g，B）+{V*（g，B）- 五、*（g，B）}，对于所有（g，B，B，δ），使得δ>δ（g，B）。因此，如果| V*（g，B）-五、*（g，B）| 对于任何（g，B，B），前面的显示意味着V*（g，δB）-五、*（g，B）<0，期望结果如下。我们现在展示| V*（g，B）- 五、*（g，B）| 对于任何（g，B，B）。根据引理E.3，存在一个C>0的| V*（g，B）- 五、*（g，B）|<λβC1-β, （B，B，g）。因此，对于任何ε>0，都存在一个λ（ε），使得|V*（g，B）- 五、*（g，B）|<ε表示所有λ∈ [0, λ(ε)]. 通过设置ε= 和¨λ=λ(), 预期结果如下。第（2）部分。在阿雷亚诺[2008]之后，我们分两步展示了结果。在整个过程中*φ和B*是劳动力和债务的最佳政策函数。第一步。我们证明了对于任何B<B，S（B） 其中S（B）={g:d*（g，B）=1}。如果S（B）={} 证明是微不足道的，所以我们继续处理这个不成立的情况，让‘g∈ S（B）。如果B不可行，在这个意义上，不存在任何B-P*（g；B）B-马克斯∈[0,1]z（1，n，\'g）≤ 0，然后S（B）=G。结果基本成立，因此我们继续讨论bis可行的情况，给定G。它如下（因为我们假设在不同情况下，政府选择不违约）*（\'g，B）<V*（\'g，B）。

从B7开始→ 五、*（\'g，B）是非递增的（见引理E.2），它跟在v后面*（\'g，B）≤ 五、*（\'g，B），对于所有的B<B。因此，V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）≤五、*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）≤ 五、*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）+{V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）}。允许（\'g，B）≡ -{V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）}，注意（\'g，B）>0表示任何（B，\'g）∈ 图{S}。因此，如果V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）<（\'g，B），然后是V*（\'g，B）<V*（\'g，B）和预期结果如下。观察| B×图|∞, 所以存在 > 0以至于 ≤ （\'g，B）用于任何\'g和BinGraph。根据引理E.3和我们在第（1）部分中的推导，存在λ() > 0以至于| V*（g，B）- 五、*（g，B）|, λ ∈ [0, λ()] 和（g，B，B）∈ G×B。因此，V*（\'g，B）- 五、*（\'g，B）<0，因此意味着\'g∈ S（B）。第二步。我们证明了，对于任何B∈ B和任何g<g，如果d*（g，B）=1，然后d*（g，B）=1。也就是说，我们想展示V*（g，B）<V*（g，B）。因为g发生了违约，所以必须显示V*（g，B）- 五、*（g，B）<V*（g，B）- 五、*（g，B）（E.50）或相当于V*（g，B）- 五、*（g，B）<V*（g，B）- 五、*（g，B）。注意*（g，B）- 五、*（g，B）=r（n）*（g） )- r（n）*（g） )- （g）- g） （E.51）其中N7→ r（n）=n+H（1）- n） 。现在取z（1，n，g）=B- P*（B）*（g，B）B*（g，B）；i、 e.~n是这样的（~n，B*（g，B））是给定状态（g，B）和回忆z（1，n，g）的可行选择≡(1 - H（1- n） ）n- g和（g，B）7→ B*（g，B）是政府进入金融市场时债务的最佳政策功能。注意，如果不存在这样的选择，那么，由于z（1，~n，g）≥ z（1，~n，g），平凡的*（g，B）=1。还有，P*由于i.i.d.假设，不依赖于g。鉴于这种结构，V*（g，B）- 五、*（g，B）≤r（n*（g，B））- g+βZGV*（g，B）*（g，B））πg（dg）-r（~n）- g+βZGV*（g，B）*（g，B））πg（dg）=r（n）*（g，B））- r（~n）- （g）- g） 其中（g，B）7→ 五、*（g，B）≡ 最大值{V*（g，B），V*（g，B）}。考虑到这一点和E.51，必须证明R（n*（g，B））- r（~n）≤ r（n）*（g） )- r（n）*（g） ）。

（E.52）我们现在展示这种不平等。通过构造z（1，~n，g）=z（1，n*（g，B），g）（E.53）其中（g，B）7→ N*（g，B）是ZF进入金融市场时劳动力的最佳政策功能。从N7开始→ z（1，n，g）在相关域中不增加（通过相关域，我们指的是处于“拉弗曲线正确一侧”的n的间隔；参见引理D.1（2））和g<g，~n≥ N*（g，B）。通过类似的论证，n*（g） >n*（g） 。另外，注意z（1，~n，g）- z（1，n）*（g） ，g）=P*（B）*（g，B）B*（g，B）=z（1，n）*（g，B），g）- z（1，n）*（g） ，g），（E.54）或等效值，含N7→ ρ（n）=（1）- H（1- n） ）nρ（~n）- ρ（n）*（g） ）=ρ（n*（g，B））- ρ（n）*（g） ）。（E.55）从N7开始→ z（1，n，g）（因此ρ）是凹的且不增加的（见引理D.1（2）），它紧随着n>（<）n*（g） 我*（g，B）>（<）n*（g） 。把所有这些观察结果放在一起，我们有以下可能的顺序（I）：n*（g）≥ ~n≥ N*（g）≥ N*（g，B）（II）：n*（g）≥ N*（g）≥ ~n≥ N*（g，B）（III）：~n≥ N*（g）≥ N*（g，B）≥ N*（g） （IV）：~n≥ N*（g，B）≥ N*（g）≥ N*（g） 。此外，由于在（g，B）中，ZF违约，因此引理E.4证明B-P*（B） B≥ 0表示任何B∈ B、 特别是对于B=B*（g，B）。因此，z（1，~n，g）>z（1，n）*（g） ，g），因此≤ N*（g） ，因此n*（g，B）≤ N*（g） 。因此，排除了第（III）和（IV）种情况。我们现在研究案例（I）和（II）。从N7开始→ z（1，n，g）是严格凹的且不增加的（见引理D.1），方程E.55和（I）和（II）内隐式*（g）- ~n≤ N*（g）- N*（g，B）。

（E.56）从N7开始→ r（n）≡ n+H（1）- n） 在我们的假设下，前面的不等式意味着R（n*（g） )- r（n）*（g） )≤ r（~n）- r（n）*（g，B））（E.57）适用于（I）和（II）两种情况，或同等情况下（n*（g，B））- r（~n）≤ r（n）*（g） )- （n）*（g） ），这正是方程式E.52。因此，步骤2确定d*是阈值类型，因为它表明，对于任何B，如果d*（g，B）=1，对任何g>g都是如此，即{g:d*（g，B）=1}的形式为{g:g≥ \'g（B）}。第一步说明g应该是非递增的。命题5.2的证明。我们首先确定i=0的结果。从引理E.5（3）中，观察这一点*（B） =βλRGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）1- β+βλRGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）RGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）δπ（dδ）πG（dg）RGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）。请注意，RHS中的第一项是一个递增函数（即x 7→x1-βλRGR的β+x）{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）。从B7开始→δ（g，B）是非递增的（命题5.1），因此b7→R{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）也不增加，这反过来意味着RHS中的第一项也不增加，作为B的函数。根据我们的假设π（·）=1δ（·），RHS中的第二项由byRGR给出{δ≤^δ（g，B）}（δ）δπ（dδ）πG（dg）RGR{δ≤^δ（g，B）}（δ）π（dδ）πG（dg）=δRG{δ≤^δ（g，B）}（δ）πg（dg）RG{δ≤^δ（g，B）}（δ）πg（dg）=δ，因此是常数。因此，B 7→ P*（B） 是非增长的。对于i=1，观察任何B≤ B、 P*（B） =βZG{g≤\'g（B）}（g）πg（dg）+βZG{g>\'g（B）}（g）πg（dg）P*（B）≥βZG{g≤\'g（B）}（g）πg（dg）+βZG{g>\'g（B）}（g）πg（dg）P*（B）≥βZG{g≤\'g（B）}（g）πg（dg）+βZG{g>\'g（B）}（g）πg（dg）P*（B） =P*（B） 其中第一个不平等性来自B7→ “\'g（B）是非递增的（命题5.1）和P*（B） <1表示任何B∈ B（见引理E.5（3））；第二个不等式来自P*是非递增的。E.1补充引理的证明E.1引理的证明。

对于任何φ-, g、 δ，B）∈ {0,1}×G× ×B，以及任意函数（φ-, g、 δ，B）7→F（φ）-, g、 δ，B）我们定义了以下运算符[F]（φ-, g、 δ，B）=最大值（a，d）∈D（φ-,δ） T[F]（φ-(1 - d） +a（1）- φ-), g、 δ，ν（B，δ，a，d））（E.58）和d（0，δ）={0，1}×{1}如果δ6=\'\'δ和d（0，δ）={0}×{1}，也就是d（1，δ）={1}×{0，1}；ν（B，δ，a，1）=δBa+（1）- a） B和φ（B，δ，0，d）=B；andT[F]（φ，g，δ，B）=最大值（n，B）∈Γφ（g，B）κφn- g+H（1）- n） +βZGZ“F（φ，g，δ，B）π‘（dδ|φ）πG（dg）,（E.59）其中π‘（·|φ）=1{1}（·）如果φ=1和π‘(·|φ) = (1 - λ)1{δ}(·) + λπ（·）如果φ=0。T算子的固定点由V给出*(φ-, g、 δ，B）=最大值（a，d）∈D（φ-,δ） 五*φ-(1-d） +a（1）-φ-)（g，~n（B，δ，a，d））（E.60）和任何φ∈ {0,1}V*φ（g，B）=最大值（n，B）∈Γφ（g，B）κφn- g+H（1）- n） +βZGZ“五、*（φ，g，δ，B）π‘（dδ|φ）πG（dg）. （E.61）为了验证方程E.61，通过对Γ、κ=κ和z\'施加的限制，确定φ=0，B=B五、*（0，g，δ，B）π‘（dδ| 0）=λZ五、*（0，g，δ，B）π‘（dδ）+（1）- λ） 五*（0，g，¨δ，B）=λZ马克萨∈{0,1}V*a（g，B（δa+）（1- a） ）π‘（dδ）+（1）- λ） 五*（0，g，¨δ，B）=λZ最大值{V*（g，Bδ），V*（g，B）}π‘（dδ）+（1）- λ） 五*（g，B）式中，最后一行来自于D（0，\'-δ）={0}×{1}这一事实。如果φ=1，那么z‘五、*（1，g，δ，B）π‘（dδ| 1）=V*（1，g，1，B）=maxd∈{0,1}V*(1-d） （g，~n（B，1，1，d））=max{V*（g，ν（B，1，0，0）），V*（g，~n（B，1，0，1））}=max{V*（g，B），V*（g，B）}。注意，从这个固定点，我们可以导出函数V*通过使用方程E.61。现在我们证明了算子T将有界函数映射到有界函数上。取| F（φ-, g、 δ，B）|≤ C代表所有人（φ-, g、 δ，B），对于某些有限常数C>0。

然后| T[F]（φ-, g、 δ，B）|=| max（a，d）∈D（φ-,δ） T[F]（φ-(1 - d） +a（1）- φ-), g、 δ，|（B，δ，a，d））|。如果（g，δ，B）是Γ（g，δB）={}, 然后按照惯例-(1 - d） +a（1）- φ-) = 0（即存在违约/无还款），因此最大（a，d）∈D（φ-,δ） T[F]（φ-(1 - d） +a（1）- φ-), g、 δ，Γ（B，δ，a，d））=F（0，g，δ，Γ（B，δ，0，1））=F（0，g，δ，B），因为根据我们对g的假设，Γ（g，B）6={} 对于任何（g，B），都存在一个有限的c>0，使得| maxn∈Γ（g，B）κn- g+H（1）- n） |≤ c、 这意味着在这种情况下| T[F]（φ）-, g、 δ，B）|≤ c+βc.类似地，如果（g，δ，B）是Γ（g，δB）6={} 然后| maxn∈Γ（g，δB）n- g+H（1）- n） |≤ 因此| T[F]（φ-, g、 δ，B）|≤ c+βc。因此，让c=c1-β我们证明了T将有界函数映射到有界函数上。Fix point V*我继承了这个财产，。e、 ，|V*(φ-, g、 δ，B）|≤ C代表所有人（φ-, g、 δ，B）。这个结果| maxn∈Γ（g，B）κn- g+H（1）- n） |≤ C方程E.61意味着存在一个常数C>0，因此| V*（g，B）|≤ C.一个类似的结果适用于V*（g，B）前提是（g，B）是Γ（g，B）6={}.引理E.2的证明。很容易看出Γ（g，B） Γ（g，B）对于任何B≥ 这个乐队马上就意味着*（g，B）=最大值（n，B）∈Γ（g，B）{n- g+H（1）- n） +βZGmax{V*（g，B），V*（g，B）}πg（dg）≤ 麦克斯（n，B）∈Γ（g，B）{n- g+H（1）- n） +βZGmax{V*（g，B），V*（g，B）}πg（dg）=V*（g，B），V的结果如下*.引理E.3的证明。注意，对于任何（g，B，B）∈ G×B，| V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤λβZGZA.*（g，δ，B）|V*（g，δB）- 五、*（g，δB）|π（dδ）πG（dg | G）+βZG{（1）- λ） +λZ(1 - A.*（g，δ，B））π（dδ）}V*（g，B）- 五、*|g，g | g≤λβZGZA.*（g，δ，B）|V*（g，δB）- 五、*（g，δB）|π（dδ）πG（dg | G）+βmaxg∈G | V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤λβC+βmaxg∈G | V*（g，B）- 五、*（g，B）|其中最后一行来自引理E.1，且if（g，δ，B）是这样的事实Γ（g，δB）={}然后*（g，δ，B）=0。

因此，maxg∈GmaxB，B∈B | V*（g，B）- 五、*（g，B）|≤ λβC1- β.引理E.4的证明。我想不会吧。也就是说，对于任何λ，都存在一个B>0的a（g，B），使得d*（g，B）=1，但存在这样一个B，P*（g，B）B>B.首先观察任何（g，B，B）的P*（g，B）B>B，z（1，n（g，B，B），g）<z（1，n）*（g） 其中n（g，B，B）是解z（1，n，g）+P的劳动水平*（g，B）B=B.从n7开始→ z（1，n，g）在相关域中是非递增的（见引理D.1（2）），因此n（g，B，B）>n*（g） 因此，这意味着在无违约情况下，即r（n（g，B，B））下，每期支付的金额更大- G- {r（n）*（g） )- g} >0（E.62），其中n7→ r（n）=n+H（1）- n） 根据我们的假设，这个数字在增加。让你≡ {（g，B，B）∈ G×B：方程E.62成立}。在我们的假设下|U |∞, 所以存在一个> 0使得r（n（g，B，B））-G- {r（n）*（g） )- g}≥ 所有人（g、B、B）∈ U.考虑任何λ∈ [0, λ(0.5)] 哪里 7.→ λ() 就是λ()|ZG{Z最大值{V*（g，δB）- 五、*（g，B），0}π（dδ）}πG（dg|G）|≤ ; （E.63）这样的λ由引理E.1存在。根据我们的假设，存在B>0的a（g，B，B），使得d*（g，B）=1和P*（g，B）B>B.因此（g，B，B）∈ U.通过我们选择λ，ZGV*（g，B）πg（dg | g）+0.5≥ZG{λZ最大值{V*（g，δB），V*（g，B）}π（dδ）+（1）- λ） 五*（g，B）}πg（dg | g）。通过定义（g，B，B）∈ U、 下面是r（n（g，B，B））- g+βZGmax{V*（g，B），V*（g，B）}πg（dg | g）>r（n）*（g） )- g+0.5+ βZGV*（g，B）πg（dg | g）≥r（n）*（g） )- g+β{ZGV*（g，B）πg（dg | g）+0.5}≥五、*（g，B）。自从V*（g，B）大于或等于LHS，我们得出结论，对于（g，B），ZF决定不违约，但这与d*（g，B）=1。引理E.5的证明。第一部分。为了展示第1部分，我们展示了每个B∈ B、 T*B确保Blackwell的良好条件。

从今往后，考虑B∈ B给定，观察T*形式之二*B[q]（g）=AB（g）+βZGCB（g）q（g）πg（dg | g）（E.64），其中AB（·）≡ λβRG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg |·）和CB（G）≡ ( ( 1 - λ）+λR(1 -A.*（g，δ，B））π（dδ）为非负且小于1。因此对于任何g∈ G和任何q≤ q、 T*B[q]（g）≤ T*B[q]（g）和T*[q+a]（g）=AB（g）+βRGCB（g）q（g）πg（dg | g）+βRGCB（g）q（g）πg（dg | g）a≤AB（g）+βRGCB（g）q（g）πg（dg | g）+βa=T*B[q]（g）+βa.因此T*Bis a Blackwell充分条件下的收缩，见Stokey等人[1989]，此外，其模量由β给出，β与B无关。第2部分。以C为例≡ βλEπ[δ]1-β使得| q（g）|≤ C、 然后| T*B[q]（g）|≤ |AB（g）|+βC≤ βλEπ[δ] +βC=βλEπ[δ]{1 +β1 - β} =βλEπ[δ]1 - β、 （E.65）所以事实上*由C限定的BMAP函数本身；这适用于任何B∈ B.因此T的固定点*巴尔索满足了这种不平等。第三部分。因为πG（·| G）相对于G是常数，所以它遵循p*（g，B）=λβZG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg）+βZG1.- λZA.*（g，δ，B）π（dδ）P*（g，B）πg（dg），因此P*（g，B）对于g是常数，滥用符号，我们把它表示为P*（B） 。从上面的显示可以看出*（B） =λβRG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg）1- βRG1.- λRA.*（g，δ，B））π（dδ）πG（dg）=λβRG×A.*（g，δ，B）Δπ（dδ）πG（dg）1- β + βλRGRA.*（g，δ，B）π（dδ）πG（dg）.自δ∈  是这样的吗≤ 1，| P*（B） |≤λβ（RGR）A.*（g，δ，B）π（dδ）πG（dg））1-β+βλ（RGR）A.*（g，δ，B）π（dδ）πG（dg））≤βλ1-β+βλ< 1.E.2方程式5.23的推导在这种情况下，不管是否默认，归结为选择一个T（取决于ω∞) 使得对于所有T<T（ω∞) 对于t，没有默认值≥ T（ω）∞) 财政自给自足。

回想一下，在我们的假设下，u（c，l）=c+H（l）和gt~ iidπG，也就是πGhas关于勒贝格的密度，对于任何ωt，它被称为fπG∈ Ohm坦特≤ T（ω）∞),五、*（gt，Bt（ωt）-1） ）=max（n，B）∈Γ（gt，Bt）（ωt-1） ，1）n- g+H（1）- n） +βZ{g:g≤\'g（B）}{V*（g，B）- 五、*（g） }πg（dg）+βZV*（g） πg（dg）和设νt（ωt）是约束z（1，n，gt）+P的拉格朗日乘子*（B） B- Bt（ωt）-1) ≥ 0.假设，内部的Bis解。所以最佳选择（（nt（ωt））∞t=0，（Bt+1（ωt））∞t=0）满意度1- H（1- nt（ωt））+νt（ωt）dz（1，nt（ωt），gt）dn= 0或等效的νt（ωt）≡ ν（nt（ωt））=-1.- H（1- nt（ωt））1- H（1- nt（ωt））+H（1）- nt（ωt）nt（ωt），（E.66）和νt（ωt）P*（Bt+1（ωt））+dP*（Bt+1（ωt））dBt+1Bt+1（ωt）=βdR{g:g≤\'g（Bt+1（ωt））}{V*（g，Bt+1（ωt））- 五、*（g） }πg（dg）dBt+1=βZ{g:g≤\'g（Bt+1（ωt））}dV*（g，Bt+1（ωt））dBt+1πg（dg）+β{V*（\'g（Bt+1（ωt）），Bt+1（ωt））- 五、*（\'g（Bt+1（ωt））}fπg（\'g（Bt+1（ωt）））d\'g（Bt+1（ωt））dBt+1。自从V*（\'g（Bt+1（ωt）），Bt+1（ωt））- 五、*（\'g（Bt+1（ωt））=0，RHS中的最后一项为零。还有dV*（gt，Bt（ωt）-1） dBt=νt（ωt），因此νt（ωt）P*（Bt+1（ωt））+dP*（Bt+1（ωt））dBt+1Bt+1（ωt）= βZ{g:g≤\'g（Bt+1（ωt））}νt+1（ωt，g）πg（dg）（E.67）我们现在表明，ν正在减少。因此，更容易首先确定-≡ 1/v在增加。注意这一点-（n） =-1.-H（1- n） n1- H（1- n） 然后砰的一声-（n） dn=--H（1- n） n+H（1）- n） 一,- H（1- n）-（H）1- n） ）n（1- H（1- n） ）。自从-H（1- n） n+H（1）- n） 假设小于0，则为1- H（1- n） =τ>0，则RHS中的第一项为负；RHS中的第二项也是负值。因此ν-在增加，这就意味着ν在减少。补充在线材料风格化事实：新兴经济体与工业化经济体在本文中，我们提到我们的理论模型能够定性地复制广泛经济体观察到的几种风格化事实。

在本节中，我们介绍了几个国家的国内政府债务产出比和中央政府收入产出比的典型数据：工业化经济体（IND）、新兴经济体（EME）和其中的一个子集：拉丁美洲（LAC）。在涵盖1800-2010年期间的数据集中，未观察到IND的默认事件，其中SEME/LAC（尤其是LAC）确实表现出多个默认值。因此，我们将前者视为无风险债务的代理抵押品赎回权，将后者视为无偿还承诺经济体的代理。然而，值得指出的是，我们并不认为印度经济体是一种永远不会违约的经济体。反过来，我们只是利用数据集中的非经济体不显示违约事件这一事实，将其作为AMS中建模的经济体类型的代理，即无风险政府债务的经济体。在我们的数据集中突出的几个典型事实。首先，在EME/LAC经济体中，违约的可能性大于IND经济体，在前一组中，高负债经济体的违约风险要高得多。其次，正如莱因哈特等人[2003]所报告的，EME和拉丁美洲和加勒比海经济体的债务上限比IND更紧。第三，与违约风险较低的经济体相比，违约风险较高的经济体往往表现出更大的税收波动，这一事实对EME/LAC经济体尤其显著。Bauducco和Caprioli[2014]记录了一个类似的结论。如第5节所示，我们的理论预测，对于高负债水平，内源性借款限额更为积极。也就是说，当政府债务相对于产出较高时，下一期违约的可能性较高，因此意味着更严格的借款限制和更高的债券利差。

由于政府利用债务来满足资金需求的能力受到阻碍，税收的波动性变得更大。但当债务水平较低时，违约是不太可能发生的事件，因此意味着借款限额会放宽，利差会降低，税收波动也会降低。因此，国内债务与产出比率分布的上尾含义可能不同于其“中心部分”的含义。因此，分布的平均值甚至方差可能信息量不大，因为它们受分布中心部分的影响。分位数更适合于恢复分布尾部的信息。图F.10绘制了国内政府债务与产出比率的百分位数，以及三组违约风险的测量值：IND（黑色三角形）、EME（蓝色正方形）和LAC（红色圆圈）。X轴绘制国内政府债务与产出比率的时间序列平均值，Y轴绘制政府收入与产出比率，我们使用Kaminsky等人[2004]的数据，国内政府债务与产出比率，我们使用Panizza[2008]的数据。感谢Ugo Panizza和CarmenReinhart与我们分享他们的数据集。有关数据的详细说明，请参见附录G。我们请读者参考Koenker[2005]对分位数和基于分位数的计量经济学模型的全面处理。这种类型的图不是传统的QQplot，因为轴具有实现某个分位数的随机变量的值，而不是分位数本身。

出于我们的目的，这种表述更为方便。0 10 20 30 40 50 60 70 80 900510152025债务/GDP违约风险度量95%95%95%85%← 50% 50% →  LaceMeind图F.10：三组国内ZF债务与产出比率和违约风险度量的百分位数：IND（黑三角）、EME（蓝方）和LAC（红圈）违约风险度量值。对于每一组，右边的最后一点对应于95%，倒数第二点对应于90%，依此类推；这些在各组之间具有可比性，因为它们都代表了相应分布的百分位。EME和LAC的国内债务产出比水平低于IND；事实上，EME和LAC 95%的国内债务产出比大约为50%，大致相当于IND的85%。因此，容易违约的经济体（EME和LAC）的债务上限比不违约的经济体（在该数据集中，由IND表示）更严格。图F.10还显示，对于IND集团而言，违约风险指标较低，且在不同水平的债务产出比下大致保持不变。另一方面，EMEgroup的违约风险指标不仅更高，而且在高水平的不确定性下大幅增加。我们认为，这一证据表明，对于EME经济体来说，高水平的债务更容易导致更高的违约风险。表F（A）比较了IND和EME在低债务产出率和高债务产出率水平下的违约风险度量。

也就是说，对于这两个群体（IND和EME），我们选择债务产出比低于25%的经济体（低债务产出比），我们计算其平均风险度量。我们对那些债务产出比超过75%的经济体进行了类似的研究（高）违约风险的衡量标准是使用摩根大通（J.P.Morgan）提供的EMBI+真实指数，并使用其他国家的3-7年期真实政府债券收益率，减去类似到期日的美国国债收益率的利差。虽然债券收益率不完全由违约风险驱动，但也会对与风险偏好相关的其他因素做出反应，不确定性y和流动性，就我们的目的而言，它们构成了违约风险的有效常规代理。此外，由于EMBI+主要考虑外债，我们的利差是衡量国内债务违约风险的不完美指标。然而，由于国内违约与主权债务违约正相关，至少在20世纪50年代以后的时期内是如此，因此它仍然具有参考价值。参见Reinhart和Rogo Off[2008]中的图10。表F.2：（A）EME和IND组在不同程度的债务产出比（%）下的违约风险度量（%）；（B） 不同违约风险水平的EME和IND集团中央政府收入与GDP的标准差（%）。（A） （B）债务/GDP EME IND违约风险EME IND25.4 2.0 25 0.9 1.475 10.7 2.9 75 2.5 1.7债务产出比）。对于低负债输出水平的情况，EME集团的违约风险比IND集团高（约为高）。然而，对于高债务产出比的经济体来说，这种差异是原来的四倍。

因此，容易违约的经济体（EME和LAC）的违约风险高于未违约的经济体（在此数据集中，由IND表示），而且，前一组中债务产出比较高的经济体的违约风险要高得多。表F（B）比较了低违约风险水平和高违约风险水平下IND和EME之间中央ZF收入产出比的标准差。这表明，对于IND，低违约风险和高违约风险之间的波动性变化很小。然而，对于EME而言，对于违约风险较高的经济体，中央ZF收入产出比的标准偏差要高得多。。值得指出的是，所有违约风险水平高的EME至少在我们的样本期内违约一次。因此，与违约风险较低的经济体相比，违约风险较高的经济体的税收收入更不稳定。这对EME/LAC经济体尤其显著。这些程式化的事实建立了（a）违约风险/违约事件，（b）债务上限和（c）税收收入波动之间的联系。特别是，有证据表明，违约风险较高的经济体，其债务上限也较低，税收收入也更不稳定。

我们模型背后的理论有助于阐明推动这些事实的力量。G数据描述在本节中，我们描述了我们如何构建第F节中的图表。工业化经济体集团包括澳大利亚（1990-1999）、奥地利（1990-1999）、比利时（1990-2001）、加拿大（1990-2003）、丹麦（1990-2003）、芬兰（1994-1998）、法国（1990-2003）、德国（1990-1998）、希腊（1990-2001）、爱尔兰（1995-2003）、意大利（1990-2003）、日本（1990-1993），荷兰（1990-2001）、新西兰（1990-2003）、挪威（1990-2003）、葡萄牙（1990-2001）、西班牙（1990-2003）、瑞典（1990-2003）、瑞士（1990-2003）、英国（1990-2003）和美国（1990-2003）。新兴经济体包括阿根廷（1998-2003）、玻利维亚（2001-2003）、巴西（1997-2003）、智利（1993-2003）、哥伦比亚（1999-2003）、厄瓜多尔（1998-2003）、埃尔萨尔瓦多（2000-2003）、洪都拉斯（1990-2003）、牙买加（1990-2003）、墨西哥（1990-2003）、巴拿马（1997-2003）、秘鲁（1998-2003）、委内瑞拉（1997-2003）、阿尔巴尼亚（1995-2003），布韦还将通货膨胀税作为税收政策的代表；结果在质量上是相同的。重要的是要注意，我们没有争论任何类型的因果关系；我们只是在说明共同运动。事实上，在下面的模型中，所有三个特征都是均衡的内生结果。加里亚（1991-2003）、塞浦路斯（1990-2003）、捷克共和国（1993-2003）、匈牙利（1991-2003）、拉脱维亚（1990-2003）、波兰（1990-2003）、俄罗斯（1993-2003）、土耳其（1998-2003）、阿尔及利亚（1990-2003）、中国（1997-2003）、埃及（1993-2003）、约旦（1990-2003）、韩国（1990-2003）、马来西亚（1990-2003）、毛里求斯（1990-2003）、摩洛哥（1997-2003）、巴基斯坦（1990-2003）、菲律宾（1997-2003）、南非（1990-2003），泰国（1999-2003年）和突尼斯（1994-2003年）。拉丁美洲和加勒比海群岛由带有“”的国家组成。对于F部分，我们构建了如下数据。

首先，对于每个国家，我们计算了时间平均值、时间标准差或任何感兴趣的数量（括号中是用于构建这些数据的观察数）。第二，一旦我们计算出这些平均值，我们就把这些国家分为印度、欧洲、中东和拉丁美洲。我们这样做是为了（a）中央ZF国内债务（占产出的百分比）；（b） 中央ZF支出（占产出的百分比）；（c） 中央ZF收入（占产出的百分比）和（d）实际风险度量。（a）的数据取自Panizza[2008]；（b-c）的数据取自Kaminsky等人[2004]；最后，（d）的数据取自www.global financial data。通用域名格式。对于希腊和葡萄牙，我们使用中央ZF公共债务，因为中央ZF国内债务不可用。对于瑞典、厄瓜多尔和泰国，我们使用一般ZF支出，因为中央ZF支出不可用。对于阿尔巴尼亚、保加利亚、塞浦路斯、捷克共和国、匈牙利、拉脱维亚、波兰和俄罗斯，没有可用的ZF支出衡量标准，因此在计算该变量时将其排除在样本之外。同样的警告也适用于中央ZF收入样本。对于阿根廷、巴西、哥伦比亚、厄瓜多尔、埃及、墨西哥、摩洛哥、巴拿马、秘鲁、菲律宾、波兰、俄罗斯、土耳其和委内瑞拉，我们使用实际EMBI+来衡量实际风险。对于其他国家，我们使用1-5年期的ZF债券收益率，这取决于可用性。