纯随机系统中指数效用最大化问题的BSDE

2022-5-9 03:15:32

特别是，当涉及或有权益时，它表现出基本的分离特性。对于It^o-扩散和连续鞅模型，向后随机微分方程（BSDE）方法已被应用，以放松Hu et al.（2005）的开创性论文以及许多作者的后续论文中关于约束集凸性的假设。Hu等人（2005年）根据所谓的“鞅最优性原理”推导出了描述问题解的BSDE。在存在跳跃的情况下，至少据我们所知，在效用最大化的背景下使用这种方法的第一篇论文是Becher（2006）（我们请读者参考例如Oksendal和Sulem（2007）对跳跃过程最优控制的一般介绍）。Becherr（2006）再次考虑了It^o-扩散市场模型，但放松了对过滤的假设。假设这是由多维布朗运动和独立的整值随机测度生成的自然过滤。Morlais（2009年、2010年）将结果扩展到了L’evy It^o扩散模型的情况，即她也允许股票价格过程中的跳跃。在上述所有论文中，一个基本假设是高斯方差矩阵是严格正定义的，这确保了等价可度量的存在。在价格动态中没有高斯成分的情况下，需要对L’evy测度和漂移项施加附加条件，以便模型接受等效（局部）鞅测度（参见。

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nandehutu2022

2022-5-9 03:15:36

赵和赵（1996）；Protter和Shimbo（2008）；卡尔达拉斯（2009）。本文的目的是分析Becherer（2006）研究的“互补”情况，即当股票价格是一个由L’evy驱动的纯跳跃过程，且过滤是由其相关的跳跃测度和独立的布朗运动生成的。在这种情况下，我们首先以标准方式（如Becherr（2006）或Morlais（2009，2010））通过鞅最优性原理构造BSDE，并给出相应发电机的良好定义条件。在此，我们还要提到，这些条件与已知的条件相同，即在已知NFLVR条件的几种情况下，不存在风险为零的免费午餐。在利用鞅最优性原理推导出BSDEvia后，我们采用了一种不同于之前文献的方法，证明了在适当的空间中解的存在性和唯一性。相反，我们首先简单地假设我们有BSDE的解决方案，并研究这是否允许我们获得效用优化问题的解决方案，包括最优策略。之后，我们与里克特（2014）类似，认为一个具体问题是我们可以直接找到BSDE的解决方案。原因是我们想要获得显式的解决方案，并且我们想要考虑策略的无界约束集，对于这种策略，在通常存在跳跃的情况下，似乎很难证明策略的最优性（注意Morlais（2009，2010）表明，在她的跳跃扩散市场中，优化问题有一个根据BSDE给出的解，但是，关于无界约束集的最优策略的存在性，却只字未提。考虑问题的动机是以下应用程序。

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nandehutu2022

2022-5-9 03:15:39

我们感兴趣的是在股票价格由purejump过程描述，但投资者希望对另一种（非流动性）资产的衍生工具进行套期保值的情况下，研究交叉套期保值问题。想象一下，这种资产的价格——就像在一些交叉对冲问题中一样——与交易股票的价格密切相关，但它们的对数价差不是恒定的，并且表现出一种均值回复行为。在本文中，这是由一个市场建模的，其中股票价格是一个L’evy驱动的纯跳跃过程，对数价差遵循一个Ornstein-Uhlenbeck过程。本文其余部分的结构如下。在第2节中，我们将介绍该模型。第3节讨论了优化问题的适定性，尤其是定理3.1给出了市场参数的条件，使得问题得到了很好的定义。此外，我们还给出了“候选最优策略”的界以及它被判定为最优的条件。在第4节中，我们举例说明了一个交叉套期保值问题，在假设债权与非流动资产价格成对数关系的情况下，可以获得显式解。最后，在第5节中，我们讨论了将第4节的方法扩展到更一般的索赔的困难。2市场模型我们假设给定一个过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）在有限时间范围内T>0且过滤（Ft）T∈[0，T]满足通常条件。假设上述过滤由以下两个相互独立的过程生成：o标准（一维）布朗运动（Wt）t∈[0，T]；o一个实值泊松点过程p与相关计数测度Np（dt，dx）和补偿器Np（dt，dx）=ν（dx）dt，其中L′evy测度ν为正，满足ν（{0}）=0和zr*(1 ∧|x|）ν（dx）<∞. （2.1）表示其补偿计数措施。这里，我们用R表示R\\{0}*.

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2022-5-9 03:15:43

（Ft）t∈[0，T]因此是由这两个过程生成并由P-null集完成的正确连续过滤。我们用P=P（Ft）表示[0，T]×上的关联可预测σ-代数Ohm 我们定义了以下空间：L（W）：=n（Zt）t∈[0，T]可预测的s.T.EhRT | Zs | dsi<∞o、 L（eNp）：=n（Ut）t∈[0，T]PB（R）*)-可测s.t.EhR[0，t]×R*|Us（x）|ν（dx）dsi<∞o、对于R\\{0}上的测度ν，我们将L（ν）定义为所有u:R的空间→R可测性与测度收敛的（局部）拓扑相匹配（参见Bauer（2001），§20，第二部分），我们进一步设置L（ν）：={u∈ L（ν）这样*|u（x）|ν（dx）<∞},L∞（ν）：={u∈L（ν）使得u取有界值ν-几乎肯定}。考虑一个市场模型，该模型由一个无风险资产和一个贴现价格过程为S=（St）t的风险资产组成∈[0，T]根据以下SDE演化：（dSt=St）-~ntdt+RR*ψt（x）eNp（dt，dx）, T∈ [0，T]S=S∈ (0,∞),（2.2）对于ψ，ψ一致有界的可预测过程∈ L（eNp）和ψ>-1便士-a、每次都是。后一种假设确保价格保持绝对正。显然，对于常数确定的ψ和ψ，这是一个标准的指数L’evy模型（见Cont和Tankov（2004）），在金融领域很流行。然而，我们的模型要普遍得多。它不仅允许时间不均匀的L’evy模型，而且还允许，例如，随机波动类型的模型，因为系数可能是随机的。注意到ψ可能依赖于W，例如，可以有类似于dSt=St的动力学-qσt-dLtwith L a纯跳跃L′evyprocess和σt-与Heston模型类似的平方根扩散（截断以确保假定的有界性）。因此，我们的建模设置可以灵活地涵盖金融数据集的许多程式化事实（参见Cont（2001），Guillaume et al.（1997））。

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2022-5-9 03:15:45

最后应该指出的是，我们考虑的是真实世界下的价格过程，而不是arisk中立的价格过程。现在假设我们想在终端时间T对冲头寸，即我们知道我们必须支付一笔可测量的贴现金额B。我们想最大化贴现终端财富的预期效用。贴现财富过程Xx，π由初始资本x组成∈R、以及在市场上以自我融资策略进行交易的收益。策略π对应于投资股票的折扣金额，股票数量为πt/St。由于我们只考虑折扣数量，因此从现在起，我们将经常省略形容词“折扣”。还要注意的是，如果零利率的无风险银行账户是数字，那么我们的方法会考虑未贴现的数量。时间t时初始资本x的财富过程解出方程xπ，t，xs=x+ZstπrdSrSr-, s∈ [t，t]财富过程的动态可以改写为dXπ，t，x=πs k sds+RR*πsψs（x）eNp（ds，dx），s∈ [t，t]Xπ，t，xt=X.（2.3）为了简化符号，我们有时会在财富过程中省略一个或多个上标，参数是隐式固定的。如果没有规定，则假设初始时间为t=0。我们想解决以下问题v（x）=supπ∈AE[U（Xπ，0，xT-B） ]，x∈ rwu（x）=-经验(-αx）是指数效用函数，α∈ (0, ∞) 风险规避参数，A是定义2.1中定义的一组固定的可接受交易策略。在本文中，我们只考虑指数效用函数（类似于Becherr（2006）和Morlais（2009、2010）的工作）。一个原因是，指数函数具有特别好的（分离）特性，便于我们进一步分析。

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2022-5-9 03:15:48

然而，BSDEs解决随机优化问题的方法原则上也适用于不同的效用函数，尤其是电力效用（例如，参见Hu等人（2005），Richter（2014）。然而，不同的效用函数已经导致不同的BSDE生成器，指数效用函数的一个非常特殊的特征是，初始财富因子超出了价值函数V，因此最优策略不依赖于初始财富。因此，所有即将进行的调查都必须针对不同的效用函数进行，目前尚不清楚我们可以在多大程度上找到特殊情况，如我们稍后将要做的明确解决方案。因此，研究不同效用函数在我们的设置中的使用对于未来的研究来说是一个非常有趣的问题，但超出了本文的范围。定义2.1。设C是R中的闭集，且为0∈C.容许策略集包括所有可预测过程π=（πt）06t6T，π取Cλ中的值P-a、 e.，式中λ表示R上的勒贝格测度，如Rt |πs|s | ds∈ L(Ohm,P） πψ∈ L（eNp）这样的集合{exp{-αXπτ}s.t.τ是一个停止时间，其值在[0，t]}（2.4）是一个一致可积族。以上λ表示勒贝格测度。关于可积性，基本参数包括Jensen不等式和φ的有界性如下所示。引理2.2。假设π是可预测的，ERT |πs | ds< ∞.如果|ψs | L（ν）：=RR*ψs（x）ν（dx）1/2的边界在Ohm×[0，T]，然后rt |πs|s |ds∈L(Ohm,P） πψ∈ L（eNp）。我们定义了与问题相关的价值函数的动态版本，如下所示vt（x）=supπ∈AE[U（Xx，t，πt-B） ]，x∈ R、 t∈ [0，T]。

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mingdashike22

2022-5-9 03:15:51

（2.5）现在，我们将描述通过以下类型的BSDE解决此问题：-dYt=f（t，Yt）-,Zt，Ut）dt-ZtdWt-RR*Ut（x）eN（dt，dx），T∈ [0，T]YT=B.（2.6）BSDE由终端条件（在本例中为权利要求B）和发电机决定。下面通过“鞅最优性原理”进行的推导遵循了标准路线（参见E.g.Hu et al.（2005），Morlais（2009）），因此我们只对其进行了概述：鞅最优性原理（参见罗杰斯和威廉姆斯（2000），例如）意味着我们应该分解过程U（Xx，πt）-Yt）在这样一种情况下，它是每个可容许π的超鞅，以及某个可容许策略π的鞅*.我们首先将它的公式应用于由过程Xx，π组成的函数U-安德烈（2.3）。我们得到了du（X）-Y）t=U（Xt）--Yt-)αZtdWt+ZR*（e）-α（πsψs（x）-美国（x））-1） eN（dt，dx）-αf（t，Yt）-,Zt，Ut）dt-απt|tdt+α| Zt | dt+ZR+E-α（πtψt（x）-Ut（x））-1+α（πtψt（x）-Ut（x））ν（dx）dt.我们想要选择生成器f，这样上面的过程对于每一个可接受的策略来说都是一个超级马尔可夫过程。因此，我们关注的是形式的有限变化部分-eAπt其中aπt=ZtαZs-απs~ns-αf（s，Ys）-,（美国佐治亚州）+锆*αgα（Us（x）-πsψs（x））ν（dx）dsgα是由gα（y）=eαy定义的实凸函数-αy-1α.特别是，如果定义Aπ的积分的变元是非负的，则满足所需的超鞅性质。因此，鞅最优性原则意味着生成器f的以下选择：f（t，y，z，u）=f（t，z，u）：=infπ∈Cα| z |+ZR*gα（u（x）-πψs（x））ν（dx）-π~ns= infπ∈C锆*gα（u（x）-πψs（x））ν（dx）-π~ns+α| z |。（2.7）有时我们使用符号|u |α：=RR*gα（u（x））ν（dx）。3优化问题的适定性乍一看，立即要问方程（2.7）中的生成器是否定义良好，因为我们取的是一个具有负线性项的函数的最小值。

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2022-5-9 03:15:54

因此，我们给出了极小化问题适定的条件。定理3.1。设T+为（T，ω）的集合∈ [0，T]×Ohm 使得ν（{ψt<0}）=0（即跳跃大小为非负）。同样地，让我们-是（t，ω）的集合∈ [0，T]×Ohm 使得ν（{ψt>0}）=0（即跳跃大小为非正）。假设ot<RR*ψt（x）ν（dx）（t，ω）∈ T+，oT>RR*ψt（x）ν（dx）（t，ω）∈ T-.那么每一个u∈ L（ν）∩L∞（ν）和t∈ [0，T]函数λ：C→ 定义为λ（π）=ZR*gα（u（x）-πψt（x））ν（dx）-π~nt最小值（以C为单位）。如果C等于R，则最小值是唯一的。为了证明，我们需要一个引理来保证积分符号下的微分是允许的。引理3.2。函数π7→RR*gα（u（x）-πψ（x））ν（dx）对于每一个u，ψ都是全纯的∈L（ν）∩L∞（ν） B（R）*)-可测量，导数由π7给出→RR*ddπgα（u（x）-πψ（x））ν（dx）。证据这个结果来源于积分符号下的可微性结果（参见g.Mattner（2001）），这得益于以下性质：1）gα（u（·）-πψ（·））是B（R）*)-每π可测∈ R.这仅仅是因为u和ψ都是可测函数，而函数gα和函数Fα都是可测运算。2)π7→ gα（u（x）-πψ（x））对于每个x都是全纯的∈ R*.这是因为该函数是全纯函数gα与参数的一个精确函数的组合。3） RR*|gα（u（x）-πψ（x））|ν（dx）在π中是局部有界的。实际上，函数π7→ gα（u（x）-πψ（x））是非负的、连续的、凹的，并且在每个紧集的边界处达到最大值。而且这个最大值是可积分的，因为u，ψ∈ L（ν）∩L∞（ν）函数gα是0附近的二次函数，这意味着gα（u（x）-πψ（x））∈ L（ν）。证据修正t∈ [0，T]。引理3.2意味着λ是π的全纯函数，并且允许我们在积分符号下进行微分。

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2022-5-9 03:15:57

微分得到λ′（π）=ZR*ψt（x）1.-E-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）-νt.引理3.2再次保证λ′是可微的，λ′是连续的，它由λ′′（π）=ZR给出*α（ψt（x））e-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）>0。这意味着λ′在增加，λ是一个凸函数。多亏了凸性，我们得到了λ允许最小ifλ（π）→ +∞ 对于π→ ±∞.如果我们证明λ′有一个零，并且对于足够大的kπk，λ′6=0，那么我们可以得出结论：oλ′是从下方有界的，对于足够大的π值，它是严格正的，这意味着λ↑ +∞ 对于π→ +∞oλ′从上方有界，对于足够小的π值为负值，这意味着λ↑ +∞ 对于π→ -∞.我们现在区分两种情况：情况1：假设ν（{ψt>0}）>0和ν（{ψt<0}）>0。然后对于π60λ′（π）>Z{ψt>0}α（ψt（x））e-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）>Z{ψt>0}α（ψt（x））eαu（x）ν（dx）>0。对于π>0λ′（π）>Z{ψt<0}α（ψt（x））e-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）>Z{ψt<0}α（ψt（x））eαu（x）ν（dx）>0。由此可知，λ′从下到下处处以正数为界，而hencelimπ→+∞λ′(π) = +∞ 和limπ→-∞λ′(π) = -∞, λ′击中原点。情况2：假设ν（{ψt>0}）=0或ν（{ψt<0}）=0。根据对称性，考虑ν（{ψt>0}）>0和ν（{ψt<0}）=0就足够了。在这种情况下，它仍然认为limπ→-∞λ′(π) = -∞, 但作为π→+∞ 它的极限不一定是有限的+∞.IfR{ψt>0}ψt（x）ν（dx）=+∞,limπ→+∞λ′（π）=limπ→+∞Z{ψt>0}ψt（x）1.-E-α（πψt（x）-u（x））ν（dx）-ψt=Z{ψt>0}ψt（x）ν（dx）-~nt=+∞,在第一个等式中，我们使用引理3.2。IfR{ψt>0}ψt（x）ν（dx）<+∞, 在假设ηt<R{ψt>0}ψt（x）ν（dx）的情况下，它认为λ′又是连续的，并且是递增的→+∞λ′（π）=Z{ψt>0}ψt（x）ν（dx）-νt>0。因此，通过中值定理我们可以得出结论。上述对二阶导数的分析表明λ是严格凸的，因此C=R的最小值是唯一的。作为前面结果的推论，我们得到了（2.7）中生成元的适定性。备注3.3。

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2022-5-9 03:16:01

（i）定理3.1确保优化问题适定性的充分条件本质上与满足无免费午餐且风险为零（NFLVR）条件的市场有关。事实上，Bardhan和Chao（1996）证明了N具有有限活性的假设（参见Bardhan和Chao（1996）中的定理5.2），即定理3.1中的条件意味着NFLVR。Cont和Tankov（2004）证明了指数L’evy模型的情况（参见Cont和Tankov（2004）中的命题9.9），这些条件对于NFLVR甚至是必要和充分的。从某种意义上说，这种联系并不奇怪，因为在存在套利的情况下，优化问题不应该很好地解决。（ii）大多数指数L’evy市场模型，例如NIG、方差伽马或CGMY，都有正跳和负跳，这确保它们满足Cont和Tankov（2004）的NFLVR条件。因此，原则上，对于这些流行的模型，我们的生成器的可靠性不是问题，但这些模型都没有有界跳跃，这是我们的BSDE方法在各种情况下需要的假设。因此，当没有人考虑这些标准模型，但在非常高的水平上截断了L’evy测度时，定理3.1的条件是满足的，从实用角度来看，这应该是一个相当无辜的修正。注意，当我们ψsand~ns满足定理3.1的条件且可预测时，则可预测π*这样π*s∈ argminπ∈C{RR*gα（u（x）-πψs（x））ν（dx）-由于使用可测选择定理（如Morlais（2009）中的引理6和（Morlais，2010）中的定理3的证明）的论点，πs}可以被忽略。然而，这并不意味着π*具有可容许的所需平方可积性。为了解决这个问题，我们首先将参数限定为最小值。提议3.4。假设ν（ψt>0）>0和ν（ψt<0）>0。

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2022-5-9 03:16:04

让c，c∈ (0, ∞) 使ν（ψt>C）>0和ν（ψt<-c） >0。那么对于任何一个u∈L∩L∞（ν） π*T∈ argminπ∈C锆*gα（u（x）-πψt（x））ν（dx）-πφt它几乎可以肯定-3kuk∞C-2||t|αν（ψt>C）C-√pαν（ψt>C）Cp | u |απ*t6 3kuk∞c+2||t|αν（ψt<-c） c+√pαν（ψt<-c） cp | u |α。证据我们只证明下界，因为上界的证明是完全相似的。从0开始∈ C和λ是严格凸的，它可以证明，对于足够小的π，λ（π）严格大于λ（0）=| u |α，因为这样的话，最小值不可能在这些足够小的π上。我们首先观察到gα是非负的。因此，λ（π）>Zψt>Cgα（u（x）-πψt（x））ν（dx）-πηt.对于π6-库克∞我们有那个u（x）-πψt（x）>0和soλ（π）>Rψt>Cα（u（x）-πψt（x））ν（dx）-πψt>Rψt>Cα（kuk∞+πC）ν（dx）-πνt=αν（ψt>C）Cπ+kuk∞+ 2kuk∞Cπ-所以问题是αν（ψt>C）Cπ+（αν（ψt>C）kuk∞C-νt）π+αν（ψt>C）kuk∞-|u |α绝对是正面的。因为在π中，这是一个二次函数，所以基本上可以看出它总是这样，或者对于所有的π都小于-αν（ψt>C）kuk∞C+аt-q（αν（ψt>C）kuk∞C-~nt）-2αν（ψt>C）C（αν（ψt>C）kuk∞-|u |α）αν（ψt>C）C>-库克∞C-||t|αν（ψt>C）C-库克∞C-||t|αν（ψt>C）C-库克∞C-√√αν（ψt>C）Cp | u |α=-3kuk∞C-2||t|αν（ψt>C）C-√√αν（ψt>C）Cp | u |α√a+b 6√a+√b代表a，b>0。现在我们想把|u |α和|u | L（ν）联系起来。为此，我们需要Morlais（2009）中推论1第二部分的一个合适版本，下面的一般结果提供了这个版本。引理3.5。设g（1），g（2）：R→R是两个连续的非负函数，其原点只有零，其性质为ε> 以及两个常数c，c>0，使得cg（1）（h）6g（2）（h）6cg（1）（h）对于| h |<ε。对于（ν-a.e.）有界的任何H（x），它都成立 K>0以至于kzr*g（1）（H（x））ν（dx）6ZR*g（2）（H（x））ν（dx）6kzr*g（1）（H（x））ν（dx）。常数K可以取为只依赖于函数g（1）和g（2）以及H证明的基本上界。设ε为假设中的ε。

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2022-5-9 03:16:07

我们有{H（x）|<ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）6Z{H（x）|<ε}∩R*g（2）（H（x））ν（dx）6cz{H（x）|<ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）。另一方面，这两个函数中唯一的零是零，因为H是有界的c、 c>0使得集{H（x）|>ε}上的cg（2）（H（x））g（1）（H（x））6c（3.1）。综上所述，我们得到（c）∧c）Z{H（x）|<ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）+Z{H（x）|>ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）锆*g（2）（H（x））ν（dx）6（c）∨c）Z{H（x）|<ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）+Z{H（x）|>ε}∩R*g（1）（H（x））ν（dx）.自gα（x）~ x或x→ 0，上述引理意味着对于有界u，它认为|u |α/k6 |u | L（ν）6k | u |α与K仅取决于u的界。命题3.6。假设存在c，c，δ>0，且ν（ψt>c）>δ和ν（ψt<-c） >δ，o|ψs | L（ν）有界于Ohm ×[0，T]，oBSDE（2.6）有一个带有U的解决方案∈ L（eNp）为λP-a.e.有界和Z∈L（W）。然后存在一个可预测的π*使得（i）π*T∈ argminπ∈C{RR*gα（Ut（x）-πψt（x））ν（dx）-πφt}λP-a.e.，（ii）RT |π*s|s|ds∈ L(Ohm,P） π*ψ∈ L（eNp），（iii）U（Xπ）*,0，x-Yt）是一个局部鞅。证据我们已经知道，我们可以找到一个可预测的π*满意的（i）。命题3.4和引理3.5表明，在假设存在有限常数K，K′>0，使得|π*s|6k+K′|Us|L（ν）。（3.2）作为美国∈ 这意味着RT |πs | ds< ∞ 引理2.2展示了（ii）。最后，（iii）紧随其后，因为通过发生器的定义，U（Xπ）的硝化部分*,0，x-消失。请注意，我们不是在讨论BSDE是否承认一个独特的解决方案。接下来，我们将给出一个具体的例子，证明我们的结果可以用于解决非最优套期保值问题，而无需讨论这些问题。最后一个普遍结果是进一步加强我们的条件，以确保可接受性和最佳性。定理3.7。假设命题3.6的所有条件都满足，并设π*与那里的特征相同。另外假设| Us | L（ν）是λP-a.e。

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2022-5-9 03:16:10

有界。（i）然后π*有界且π*∈ A.（ii）如果进一步dHt:=αZtdWt+RR*（e）-α(π*tψt（x）-Ut（x））-1） eN（dt，dx）定义了一个b马氏体，然后是π*这是一个最佳策略。（iii）如果Z是有界的（回想一下，在Proposition 3.6中已经假设了U的有界性）和U（Xπ）*-Y）有明确的预期，那么过程dHt:=αZtdWt+RR*（e）-α(π*tψt（x）-Ut（x））-1） eN（dt，dx）是BMO鞅和π*这是一个最佳策略。证据π的有界性*紧接着从（3.2）开始。这意味着我们实际上可以将非紧集C上的优化问题视为紧约束集上的优化问题，其中可容许性已在Morlais（2009）的引理1和Morlais（2010）的引理2中给出。从发电机的选择中，我们得到了U（Xπ）*-Y）=U（Xπ）*-Y） E（H）等由Kazamaki的标准（见He et al.（1992）或Kazamaki（1979）第X章后的练习）U（Xπ）*-Y）是一致可积鞅。因此，鞅最优性原则包括：。对于（iii），很容易看出H是一个局部鞅，它有界跳跃。此外，对于任何t∈ [0，T]我们有[H，H]T-[H，H]t=ztzsds+ztzr*（e）-α(π*sψs（x）-美国（x））-1） N（ds，dx）ztzsds+kztzr*(α(π*sψs（x）-Us（x）））N（ds，dx），常数k>0，使用引理3.5的明显变体。应用条件期望的补偿公式（参见Kyprianou（2006），推论4.5），我们得到（[H，H]T-[H，H]t|Ft）6EZTtZsds+kZTtZR*(α(π*sψs（x）-Us（x））ν（dx）ds英尺6KT+eKEZTt |ψs | L（ν）+Us | L（ν）ds英尺K，K，\'K>0是合适的常数，因为Z，π，|ψs | L（ν）和| Us | L（ν）都是有界的。因此，他等人（1992年）的定理10.9得出结论，并确定H不是BMO，我们只看有限的时间范围[0，T]。备注3.8。

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2022-5-9 03:16:13

在任何具有负跳跃、正跳跃和有界跳跃的指数纯跳跃L’evy市场模型中，命题3.6的前两个条件总是满足的。因此，对于此类模型，尤其是对于最流行的模型（如NIG、方差伽马或CGMY）的“跳跃截断版本”，唯一的问题是BSDE是否有一个具有所需性质的解。关于跳跃有界性的必要性，我们可以推测，在许多情况下，我们可以通过假设合适的（指数）矩的唯一性来推广我们的结果。然而，目前我们还不知道如何证明π的最优性*不使用绝对需要有界跳转的BMO参数。4跳跃市场模型中的交叉套期保值在与上一节相同的市场模型中，考虑一个额外的非流动资产与价格过程（It）t∈[0，T]并假设我们想要对冲一个位置B=h（IT），在终端时间，对于一个支付函数h:R→ R待以后指定。我们假设股票如前几节所示，而对数价差（Ξt=logSt-记录它）t∈[0，T]的动力学由一维独立布朗运动W给出，且具有连续路径。这是最简单的情况。应用程序的动机是，流动性资产和非流动性资产的大幅变动和跳跃同样发生，而且由于非流动性资产的供求波动较小，非流动性资产的价格会围绕固定价差波动一点（对于我们下面的原油/喷气燃料示例，这基本上由重整过程的成本给出）。然而，正如我们将看到的，日志传播也可能再次出现跳跃。例如，这种设置可能适用于一家公司，该公司希望对冲因所需商品价格大幅上涨而产生的损失，而该商品不是流动交易的。

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2022-5-9 03:16:16

一个典型的例子是“燃油对冲”，公司（航空公司）需要定期购买航空燃油。如果市场上没有所需商品的期货，公司可以考虑购买另一种商品的期货，其价格与所需商品的价格密切相关（在上面的例子中，公司可以决定购买futureson原油，这是生产燃料所需的）。我们假设，在最简单的情况下，这两种价格的对数价差是根据扩散而演化的，但具有均值回复行为。例如，参见Ankirchner and Imkeller（2011）或Ankirchner et al.（2012）及其参考文献，以全面介绍此类交叉对冲问题。众所周知（参见Kallsen和Shiryaev（2002））随机指数总是可以表示为另一个过程的经典指数，这里用N:=对数表示。这个符号在下面更方便，我们得到I=exp（N-Ξ）。4.1具有精确正向动态的FBSDE的显式解将R=（N，Ξ）对作为不确定性来源。贴现对数价格过程将具有动态性dNt=βdt+RR*γ（x）eNp（dt，dx），T∈ [0，T]N=N（4.1），其中γ：=log（ψ+1）和β：=ν-RR*（eγ（x）-1.-γ（x））ν（dx）。假设β，γ是确定性的且与时间无关，且φ，ψ（由β，γ隐式定义）满足定理3.1的假设。请注意，正如所宣布的，我们现在已经改变了我们模型的参数化，着眼于对数价格的动态，而不是价格的随机对数，因为这样更便于记录模型。

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2022-5-9 03:16:19

然而，为了方便地陈述一切，BSDE的解稍后将使用这两个参数部分地表示。在最简单的情况下，我们假设对数扩展由均值为零的（均值回复）GaussianOrnstein-Uhlenbeck过程给出，即。dΞt=-BΞtdt+σdWt，T∈ [0，T]Ξ=ξ，（4.2），其中B，∑是实常数，∑>0。然而，我们下面的方法同样适用于一般的Ornstein-Uhlenbeck类型动力学，即。dΞt=（b）-BΞt）dt+∑dWt+RR*γΞ（x）eNp（dx，dt），T∈ [0，T]Ξ=ξ，（4.3）带有附加常数b∈ R和有界γΞ∈ L（ν）。这些动力学现在有一个总体平均回归b级，并允许对数分布有来自给定泊松点过程的跳跃。通过适当选择γ和γΞ，可以使流动资产价格过程和对数价差既有共同的跳跃，也有个别的跳跃。对数分布动态的假设为过程R提供了一个重要属性：由于第一个组成部分是一个列维过程，第二个组成部分是一个奥恩斯坦-乌伦贝克过程，因此驱动所考虑的FBSDE正向方程的风险源被证明是一个随机过程。这一系列过程特别容易处理。事实上，FBSDE的明确解决方案存在一些结果，其中正向过程是有限的，见里克特（2014）。在这种情况下，财富过程是动态的，πt=πtβ+ZR*（eγ（x）-1.-γ（x））ν（dx）|{z}~ndt+πtZR*（eγ（x）-1） |{z}ψ（x）eNp（dx，dt）。我们将考虑一个正向和反向随机微分方程（FBSDE）系统，其中正向过程由R-有值进程=新界.

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mingdashike22

2022-5-9 03:16:22

（4.4）drt=βz}|{βbdt+Bz}|{0 00 -B新界dt+ZR*γ（x）γΞ（x）|{z}γeNp（dt，dx）+Σ|{z}∑dwt如前一节所述，生成器是通过对Xt的效用施加超马氏条件而得到的-其中，对于Yt，由于过滤的鞅表示性质，我们假设动力学-dYt=f（t，Yt）-,Zt，Ut）dt-ZtdWt-RR*Ut（x）eNp（dt，dx），T∈ [0，T]YT=h（exp（NT-ΞT）。（4.5）如第2节所示，必须根据（2.7）取发电机。当然，这是我们想要对冲的非流动资产的“衍生品”。我们首先假设（2.7）中的最大值是在某个最优策略π下实现的*∈ A.Thenf（t，Zt，Ut）=ZR*gα（Ut（x）-π*tψ（x））ν（dx）-π*t|+α| Zt |，（4.6），式中|=β+RR*（eγ（x）-1.-γ（x））ν（dx），ψ：=exp（γ）-1和（Y，U，Z）是带生成器f的BSDE的解，终端条件B=h（IT）=f（RT），对于f（n，s）：=h（exp（n-s））。我们将看到，上述假设不会导致循环论证。现在的想法是使用里克特（2014）中的方法，对正酰胺有限矩阵中的过程进行处理，为所研究的FBSDE找到一个明确的解决方案，从而生成一个af fi neansatz。由于我们在这里考虑的是一个与里氏（2014）稍有不同的发电机，我们将给出一个直接的证明。提议4.1。设Γ：[0，T]×R→ 兰德ω（·，a，v）：[0，T]→ R be以下ODE的解决方案-Γt（t，a）=B*Γ（t，a），T∈ [0，T）Γ（T，a）=a（4.7）-ωt（t，a，v）=hΓ（t，a），βi-π*t~n+RR*gαhΓ（t，a），γ（x）i-π*tψ（x）ν（dx）+αh∑，Γ（t，a）iT∈ [0，T）ω（T，a，v）=v，（4.8）对于a∈ 兰德五世∈ R一些恒定的初始条件。

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2022-5-9 03:16:26

这里是B*表示B的伴随算子。然后，对于每一个（t，a，v）∈[0，T]×R×R，Yt=Γ（t，a），新界+ω（t，a，v）Zt=hΓ（t，a），∑iUt（x）=hΓ（t，a），γ（x）i（4.9）用终端条件f（NT，Ξt）和生成器f（t，z，u）=ZR求解BSDE（4.5）*gα（u（·）-π*ψ（·））dν-π*ψ+α| z |，其中f（n，s）=A.ns+ v、注意（4.7）是线性常微分方程，（4.8）只是表示积分。证据回想一下Rt=（Nt，Ξt）satifiesdrt=βdt+BRtdt+∑dWt+ZR*γ（x）eNp（dt，dx）（4.10）和发电机如（4.6）所示。ansatz-Yt=hΓ（t，a），（Nt，Ξt）Ti+ω（t，a，v）及其（向后）公式的应用，yieldsYt=hΓ（t，a），Rti+ω（t，a，v）Ito==hΓ（t，a），Rti+ω（t，a，v）-ZTthΓ（s，a），βi+hΓ（s，a），BRs-我ds-ZTtZR*Us（x）z}{hΓ（s，a），γ（x）ieNp（ds，dx）-ZTtZsz}{hΓ（s，a），∑i dWs-ZTtHΓ（s，a）s、 Rs-我+ω（s，a，v）sds==F（RT）z}{ha，RTi+v-ZTthΓ（s，a），βi+hB*Γ（s，a），Rs-我-血红蛋白*Γ（s，a），Rs-我-hΓ（s，a），βi+π*s~n-锆*gα（Us（x）-π*sψ（x））ν（dx）ds-ZTtα| Zs | ds-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs=F（RT）+ZTtf（s，Zs，Us）ds-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs。这表明（4.9）确实为所研究的FBSDE提供了一个解决方案。由于这个结果，在定理3.1的假设下，我们现在可以通过（4.6）中生成器的逐点最小化来计算最优策略。因为上面的对（Z，U）不依赖于π*, 我们可以把它代入方程（4.6），得到f（t，Zt，Ut）=infπ∈C锆*gαhΓ（t，a），γ（x）i-πψ（x）ν（dx）-πφ+α| hΓ（t，a），∑i |。通过计算最小值，我们得到了效用最大化问题的最优解。定理4.2。设Γ如命题4.1所示，并假设ν（ψ>0）>0和ν（ψ<0）>0。那么任何可预测的π*满足π*T∈ argminπ∈C锆*gαhΓ（t，a），γ（x）i-πψ（x）ν（dx）-πφ是终端收益的最优交叉对冲A.新界+v表示具有参数α的指数效用。请注意，最优策略是有界的，可以采用确定性策略。证据

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2022-5-9 03:16:29

这源于定理3.7，对于该定理，所有假设都可以直接使用上面给出的U、Y和Z的显式形式进行检查。备注4.3。（i）虽然在本例中，我们能够获得明确的解决方案，但应用范围仍然有限，因为在BSDE中有一个明确的终端条件意味着对非流动资产的对数索赔。人们可以考虑将“ansatz”方法扩展到更一般的终端条件，但对于与交叉对冲问题相关的生成器，我们迄今尚未成功。然而，对于一些简单的生成器，可以使用更合适的终端条件得到明确的结果，如下一节所示。（ii）尽管我们刚才提到了对数（非流动资产价格）终端条件的相关性，但有大量关于此类“对数合约”的文献，因为它们相当于布朗市场模型中的方差互换，也与跳跃模型中的方差互换有关（见Carr et al.（2012）；例如，卡尔和李（2013）。因此，未来研究的一个有趣问题可能是，我们的结果是否可以用于对冲非流动资产的方差/已实现波动性头寸。（iii）仔细检查之前的论点表明，结果可以推广到β，b，b，∑，γ，γΞ不是常数，而是适当的可预测过程。然而，我们没有详细讨论这个问题，因为它给出了一长串技术（有界）条件。5指数安萨兹可以考虑通过使用不同的安萨兹来解决BSDE来推广第4节的方法，但这似乎需要对发电机和终端条件进行限制，这与我们的效用优化问题不兼容。

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2022-5-9 03:16:33

在下文中，我们将给出另一个例子，在这个例子中，对于一个相当普通的发电机，可以获得显式的解决方案，但是，这不允许根据效用优化问题的需要，在它中有一个上限。尽管如此，在我们看来，这似乎是一个有趣的例子，可以明确地解决L’evy驱动的BSDE。提议5.1。考虑以下形式的FBSDE：dRt=βdt+BRtdt+∑dWt+RR*γ（ξ）eNp（dt，dξ），R=R，-dYt=f（t，Yt，Zt，Ut）dt-ZtdWt-RR*Ut（x）eNp（dt，dx）YT=F（RT）。现在假设：o终端条件是a的F（r）=exp（ha，ri）w+v形式的指数∈R、 v，w∈ R常数生成器f的形式为f（s，y，z，u）=cy（s）y+cz（s）z+ZR*cu（s）u（x）ν（dx）+c（s）（5.1）与cy，c，cz，cu:[0，T]→ R、时间的连续函数。设Γ（·，a）：[0，T]→ R、 ω（·，a，w）：[0，T]→ R和ξ（·，a，w，v）：[0，T]→ R是下列微分方程的唯一解：-Γs（s，a）=B*Γ（s，a）Γ（T，a）=a-ωs（s，a，w）=ω（t，a，w）htr∑∑TΓ（s，a）Γ（s，a）T+ hΓ（s，a），βi+RR*ehΓ（s，a），γ（x）i-1.-hΓ（s，a），γ（x）iν（dx）+cy（s）+cz（s）hΓ（s，a），∑i+cu（s）RR*ehΓ（s，a），γ（·）i-1.ν（dx）iω（T，a，w）=w-ξs（s，a，w，v）=cy（s）ξ（s，a，w，v）+c（s）ξ（T，a，w，v）=v其中B*是B的伴随算子。然后是适应/可预测过程的三元组Yt=exp（hΓ（t，a），Rti）ω（t，a，w）+ξ（t，a，w，v），Zt=exp（hΓ（t，a），Rt-i） ω（t，a，w）hΓ（t，a），∑iUt（x）=exp（hΓ（t，a），Rt-i） ω（t，a，w）ehΓ（t，a），γ（x）i-1.,（5.2）解决FBSDE问题。我们不想详细讨论Y、Z、U，但请注意，由于R具有所有阶的指数矩，且常微分方程最多是线性的，很明显，它们满足平方可积条件，确保所有相关的随机积分都得到很好的定义。证据将其^o公式应用于正则函数h（t，x）：=exp（hΓ（t，a），xi）ω（t，a，w）+ξ（t，a，w，v）。

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2022-5-9 03:16:37

ansatz Yt=h（t，Rt）=exp（hΓ（t，a），Rti）ω（t，a，w）+ξ（t，a，w，v），以及系数Γ，ω和ξ的时间演化假设-ZTtexp（hΓ（s，a），Rs-（一）ω（s，a，w）Γ（s，a）s、 Rs-+tr∑∑TΓ（s，a）Γ（s，a）T+ω（s，a，w）s+ξ（s，a，w，v）sds-ZTtexp（hΓ（s，a），Rs-i） ω（s，a，w）hΓ（s，a），βds+BRs-ds+∑dWsi-ZTtehΓ（s，a），Rs-iω（s，a，w）ZR*经验hΓ（s，a），γ（x）i-1.eNp（ds，dx）-ZTtehΓ（s，a），Rs-iω（s，a，w）ZR*经验hΓ（s，a），γ（x）i-1.-hΓ（s，a），γ（x）iν（dx）ds=F（NT，ΞT）-ZTtehΓ（s，a），Rs-我ω（s，a，w）Γ（s，a）s、 Rs-+tr∑∑TΓ（s，a）Γ（s，a）T+hΓ（s，a），βi-hΓ（s，a），BRs-i+ZR*eΓ（s，a）γ（x）-1.-hΓ（s，a），γ（x）iν（dx）+ω（s，a，w）sds-ZTtsξ（s，a，w，v）ds-ZTtexp（hΓ（s，a），Rs-i） ω（s，a，w）hΓ（s，a），∑i |{z}:=ZsdWs-ZTtZR*exp（hΓ（s，a），Rs-i） ω（s，a，w）ehΓ（s，a），γ（x）i-1.|{z}:=Us（x）eNp（ds，dx）==F（NT，ΞT）-ZTtnehΓ（s，a），Rs-iω（s，a，w）-西(s)-cz（s）hΓ（s，a），∑i-cu（s）ZR*ehΓ（s，a），γi-1.ν（dx）-cy（s）ξ（s，a，w，v）-c（s）ods-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs==F（NT，ΞT）-ZTtn-西(s)呃Γ（s，a），Rs-iω（s，a，w）+ξ（s，a，w，v）|{z}Ys--cz（s）ehΓ（s，a），Rs-iω（s，a，w）hΓ（s，a），∑i |{z}Zs-cu（s）ZR*呃Γ（s，a），Rs-iω（s，a，w）ehΓ（s，a），γ（·）i-1.|{z}Us（x）ν（dx）-c（s）ods-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs==F（NT，ΞT）+ZTtf（s，Ys）-,Zs，美国）ds-ZTtZR*美国（x）eNp（ds，dx）-ZTtZsdWs。这证明了（5.2）中给出的三元组求解了所研究的FBSDE，其终端条件为F（r）=exp（ha，ri）w+v，生成器如（5.1）所示。备注5.2。观察控件的结构，我们可以看到，这种方法只在生成器在Y、Z和U上是线性的情况下确定一些ODE。这是因为在函数的时间演化过程中，没有随机因素会出现。承认法律。科尔德弗特姆感谢他的支持。参考桑基什纳，S.，迪米特罗夫，G.，海恩，G.，和皮戈尔什，C.（2012）。期货与固定基础交叉。

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