除了纳斯达克的巴克莱银行和纳斯达克的通用电气，还有一个强有力的数字证据表明隐藏的流动性，即当不平衡接近于零时，上升的概率大于零，当不平衡接近于一时，上升的概率小于一。为了更好地拟合数据，我们引入了隐藏流动性H∈ （0，1），所以中间价上升的理论概率是H，不平衡为0和1-一级的不平衡。也就是说，Pup（z）满足边界条件Pup（0）=手Pup（1）=1-H.根据定理3的证明，我们得到以下结果（证明将在附录A中给出）。定理7。给定模型（3.18）Pup（z），在边界条件Pup（0）=H，Pup（1）=1的情况下，价格上扬的概率，定义见（3.3）和（3.4）-H、 由（3.22）Pup（z）=H+（1）显式给出- 2H）Rze-Ryu（x）ν（x）dxdyRe-Ryu（x）ν（x）dxdy，其中z=xx+y是不平衡，u，ν是（3.20）中的函数。为了验证数据，我们使用σb（·）、σa（·）和ρ（·）的经验数据插入公式（3.22）中，得到理论（z，H），中间价在不平衡水平z上移动的理论概率，然后使用最小二乘法（3.23）minHXz（Pempirical（z）- p理论（z，H）），以找到最佳匹配的隐藏流动性H。图10、11、12、13中的实线是模型预测。值得注意的是，实线在不平衡状态下几乎是线性的。这与Avellanda等人对隐藏流动性的定义略有不同。[2]。我们对H的定义可以解释为一个概率，一个自由参数，有助于在最小二乘意义上更接近经验数据，而不是像Avellanda等人那样的真实流动性。

[2].我们选择这种定义是为了保持模型的分析可处理性，而且我们的定义更简单，因为我们只需要根据不平衡水平，而不是[2]20《紫薇杨》和《灵炯柱》中所述的最佳买卖队列大小，来存储数据并离散化我们的分析公式，尽管这种相关性是不平衡和远近的复杂函数远离存在-1.因此，我们建立了一个以经验相关性和波动率为输入的模型，该模型可以生成价格变动概率的分析公式，用于拟合经验概率数据4。结论我们从WRDS的一级限额订单簿数据中，对最佳出价和请求队列的漂移效应、相关性和波动性，以及它们如何依赖于最佳出价和请求队列的数量不平衡进行了数值研究。我们发现，除了不平衡的大小之外，几乎没有证据表明存在漂移。作为不平衡函数的相关性表现出普遍的行为，要么是U形曲线，要么是W形曲线，它几乎总是负相关的，尽管距离我们很远-1.波动性更为嘈杂，总体上缺乏清晰的模式，尽管经常呈现出扭曲的U形。所有的实证结果都高度依赖于股票和交易所，这表明限价指令簿的动态对其特定的股票和交易所非常敏感。基于我们的经验发现，我们建立了一个关于最佳出价和询问队列动力学的离散模型，并表明它可以用一个简化形式的扩散模型来近似，该模型具有漂移、相关性和波动性对不平衡的函数依赖性，从而推广了极限订单文献中常用的相关布朗运动模型。

我们的简化模型仍然保持分析的可处理性，并且当它与中间价变动的经验概率和经验相关性/波动性的数据相吻合时，它是自洽的。感谢作者非常感谢两位匿名推荐人和编辑，他们的建议极大地改善了论文的陈述和质量。作者还要感谢Jean-Philippe Bouchaud、Yuanda Chen、ArashFahim、高雪峰和Alec Kercheval的宝贵评论。凌炯柱得到了NSF拨款DMS-1613164的部分支持。附录A.定理2的证明。注意，Mj（t）是具有可预测二次变量rtλj（Zs）的鞅-)ds，其中λjis有界，即kλjk∞< ∞. 无论如何∈ [0，T-δ] ，δ>0，我们有（A.1）Ek（Xn（t+δ），Yn（t+δ））- （Xn（t），Yn（t））k≤ CXj=1E（Mjn（t+δ）- 美赞臣（t））,对于某些常数C>0。Burkholder-Davis-Gundy不等式，对于任何1≤ J≤6、（A.2）E（Mjn（t+δ）- 美赞臣（t））≤CnEZ（t+δ）ntnλj（Zs）ds！≤ Ckλjk∞δ、 对于某些常数C>0。

因此，通过应用科尔莫戈罗夫的紧性准则，我们可以证明（Xn（t），Yn（t））是紧的。一级限额订单21的简化模型重新定标过程（Xn（t），Yn（t））的最小生成器由nF（x，y）：=nλ（z）给出Fx+√n、 y- f（x，y）+ nλ（z）F十、-√n、 y- f（x，y）+ nλ（z）Fx、 y+√N- f（x，y）+ nλ（z）Fx、 y-√N- f（x，y）+ nλ（z）Fx+√n、 y-√N- f（x，y）+ nλ（z）F十、-√n、 y+√N- f（x，y）,其中z=xx+yand f是一个两次连续可微分的测试函数。通过使用无漂移假设（3.16），我们得到lnf（x，y）：=nλ（z）√NFx+2nFx+O（n）-3/2)+ nλ（z）-√NFx+2nFx+O（n）-3/2)+ nλ（z）√NF2n+yFy+O（n）-3/2)+ nλ（z）-√NFy+2nFy+O（n）-3/2)+ nλ（z）√NF十、-√NFy+2nFx+2nFY-NF十、y+O（n）-3/2)+ nλ（z）-√NFx+√NFy+2nFx+2nFY-NF十、y+O（n）-3/2)=λ（z）+λ（z）+λ（z）+λ（z）Fx+λ（z）+λ（z）+λ（z）+λ（z）FY-λ（z）+λ（z）F十、y+O（n）-1/2).作为n→ ∞, Lnf（x，y）→ Lf（x，y），其中Lf（x，y）=（σb（z））Fx+（σa（z））Fy+σb（z）σa（z）ρ（z）F十、yσb（z）：=λ（z）+λ（z）+λ（z）+λ（z）1/2σa（z）：=λ（z）+λ（z）+λ（z）+λ（z）1/2ρ（z）：=-λ（z）+λ（z）σb（z）σa（z）。还请注意，根据我们的假设，初始条件满足（Xn（0），Yn（0））=（x，y）∈ R+×R+。紧致性给出了序列的相对紧致性，22子维杨和凌炯庄的最小生成元的收敛性给出了有限时间点的分布收敛性，这保证了在D[0，T]上的弱收敛性，参见。g、 Ethier和Kurtz[6]第三章定理7.8（b）。因此（Xn（t），Yn（t））=>（Qb（t，Qa（t））在D[0，t]上。定理3的证明。

回想一下，价格上涨的幅度是：（A.3）Pup（x，y）=u（x，y）=P（τA<τb | Qb（0）=x，Qa（0）=y）。然后，u（x，y）满足PDE：（A.4）σb（z）Ux+2ρ（z）σb（z）σa（z）U十、y+σa（z）Uy=0，边界条件为：u（0，y）=0和u（x，0）=1，其中z=xx+y为平衡。假设u（x，y）是z的函数，根据链式规则，u（x，y）=u（z），Ux=y（x+y）u（z），Uy=-x（x+y）u（z）（A.5）Ux=-2y（x+y）u（z）+y（x+y）u（z）（A.6）Uy=2x（x+y）u（z）+x（x+y）u（z）（A.7）U十、y=x- y（x+y）u（z）-xy（x+y）u（z）。（A.8）因此，PDE降低为：σb（z）-2y（x+y）u（z）+y（x+y）u（z）+ 2ρ（z）σb（z）σa（z）十、- y（x+y）u（z）-xy（x+y）u（z）+ σa（z）2x（x+y）u（z）+x（x+y）u（z）= 0，可以进一步简化为常微分方程：σb（z）-2z（1- z） u（z）+（1）- z） 祖（z）+ 2ρ（z）σb（z）σa（z）z（2z-1） u（z）- z（1）- z） u（z）+ σa（z）2zu（z）+zu（z）= 0，边界条件u（0）=0，u（1）=1，可以重写为（A.9）u（z）f（z）+ν（z）f（z）=0，其中u（z）=-2(1 - z） σb（z）+2（2z）- 1） ρ（z）σb（z）σa（z）+2zσa（z）ν（z）=（1）- z） σb（z）- 2z（1- z） ρ（z）σb（z）σa（z）+zσa（z），f（z）=u（z）。这是一个解为（a.10）f（z）=Ce的一阶线性方程-Rzu（x）ν（x）dx，一级限额订单的简化模型，因此（A.11）u（z）=CZze-Ryu（x）ν（x）dxdy+C，其中C是两个待测定的常数。通过使用边界条件su（0）=0和u（1）=1，我们得出结论（A.12）Pup（x，y）=Pup（z）=u（z）=Rze-Ryu（x）ν（x）dxdyRe-Ryu（x）ν（x）dxdy。定理7的证明。定理3中的u（z）满足了常微分方程：（A.13）u（z）u（z）+ν（z）u（z）=0，现在边界条件u（0）=H和u（1）=1- H、 式中u（z）=-2(1 - z） σb（z）+2（2z）- 1） ρ（z）σb（z）σa（z）+2zσa（z）ν（z）=（1）- z） σb（z）- 2z（1- z） ρ（z）σb（z）σa（z）+zσa（z）。与定理3的证明一样，该常微分方程的解的形式为（A.14）u（z）=CZze-Ryu（x）ν（x）dxdy+C，其中C是两个待测定的常数。

通过使用边界条件su（0）=H和u（1）=1- H、 我们得出结论，（A.15）Pup（x，y）=Pup（z）=u（z）=H+（1- 2H）Rze-Ryu（x）ν（x）dxdyRe-Ryu（x）ν（x）dxdy。24杨子伟和朱令炯附录B表3。成交量变动汇总（纳斯达克）不平衡BAC b BAC a GE b GE a GM b GM a JPM b JPM a0。0-0.1 0.349 0.499 0.367 0.508 0.640 0.462 0.628 0.4960.1-0.2 0.449 0.519 0.461 0.503 0.508 0.488 0.580 0.4870.2-0.3 0.458 0.542 0.439 0.513 0.480 0.517 0.498 0.5070.3-0.4 0.472 0.556 0.478 0.536 0.482 0.532 0.450 0.5420.4-0.5 0.503 0.537 0.507 0.539 0.508 0.531 0.472 0.5290.5-0.6 0.533 0.508 0.529 0.518 0.532 0.510 0.514 0.4480.6-0.7 0.540 0.488 0.537 0.490 0.530 0.489 0.518 0.4770.7-0.8 0.540 0.467 0.528 0.469 0.514 0.471 0.527 0.5140.8-0.9 0.522 0.479 0.523 0.472 0.494 0.498 0.516 0.5270.9-1.0 0 0 0.486 0.310 0.496 0.378 0.463 0.643 0.508 0.696表4。交易量变动汇总（纽约证券交易所）不平衡BAC b BAC a GE b GE a GM b GM a JPM b JPM a0。0-0.1 0.561 0.540 0.586 0.596 0.730 0.598 0.723 0.6020.1-0.2 0.524 0.531 0.502 0.552 0.557 0.506 0.532 0.5310.2-0.3 0.514 0.529 0.490 0.531 0.502 0.497 0.491 0.5120.3-0.4 0.518 0.541 0.505 0.522 0.494 0.497 0.480 0.5110.4-0.5 0.517 0.553 0.518 0.529 0.485 0.486 0.492 0.5070.5-0.6 0.539 0.511 0.539 0.518 0.501 0.491 0.510 0.4940.6-0.7 0.551 0.506 0.528 0.513 0.496 0.496 0.499 0.4850.7-0.8 0.534 0.516 0.541 0.503 0.498 0.503 0.506 0.4910.8-0.9 0.518 0.535 0.553 0.512 0.510 0.550 0.527 0.5390.9-1.0 0 0 0.554 0.582 0.575 0.551 0.586 0.718 0.598 0.742A一级限额订单簿的简化模型25表5。最佳投标与Ask26的相关性总结杨子伟和朱令炯表6。在NASDAQA简化模型上交易的股票的经验概率（E）和模型预测（P）总结，适用于一级限额订单27表7。

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