隐含波动率曲面的形式和回报率的结构已经被用来说明设定价格应该是一个跳跃过程[1,9]。事实上，对于波动性模型[21,40]和直接针对价格模型[4]，带跳跃的模型可以作为一种替代方法，来捕捉本文所考虑的分数方法的微笑动力学，最近的贡献考虑了由L’evy过程驱动的模型。[39]中考虑了[30]中模型的一个变体，其中对数波动率被建模为分数噪声，分数噪声是afBm在一定增量长度内的增量过程。作者从财务角度证明了该模型的适定性，并在这一过程中使用了fBm积分表示的一个未命名版本。在[38]中，该模型由数据分析支持，并由基于代理的解释驱动。在[11,12]中，作者考虑了当波动率被建模为fOU过程的函数时的情况，fOU过程的冲击独立于底层的冲击。他们的foc-us基于一种基于树的方法来计算价格，模型参数的估计方案，以及一种粒子滤波技术，用于给定具体观察值的未观察到的波动性。他们考虑了一些真实数据示例，并对赫斯特博览会的估值进行了最终估算，该值大于1/2，尤其是在市场崩盘后的一段时间内。文[32]给出了该模型的渐近结果。在许多认为短成熟度是一种症状的论文中，在早期的论文[3]中，Al\'os等人使用Malliavin演算得到了小成熟度下隐含波动性的表达式。他们发现，在短期依赖的情况下，隐含波动率有所不同，而在小期限的长期依赖情况下，隐含波动率有所不同。

这些结果与我们下面给出的结果一致。[3]中的模型与下面的模型不同，因为作者认为波动率波动在一级，而低于波动率的波动相对较小，然而，我们考虑任何成熟时间。Fukasawa[28]将小波动率波动和对隐含波动率的短期和长期依赖影响作为他阐述的一般理论的应用，讨论了这种情况。他使用非平稳的“平面”波动率模型作为波动率事实rso，即主要的隐含波动率面仅取决于隐含波动率因子的当前值，而下面的统计模型则取决于波动率因子直到当前的路径，反映了波动率模型的非马尔可夫性质。在[29]中，Fukasawa讨论了短期依赖过程和短期到期的情况，以及扩展隐含波动面的框架。由于Muralev[41]，他使用了fBm的表示。他还考虑了低成本随机波动模式，并发现这些模式与该制度下的幂律不一致。作为对基于分数布朗运动模型的进一步推广，在[16]中考虑了基于多分数布朗运动模型的情况。这允许非平稳的局部规律性或时间相关的赫斯特指数，然后隐含波动率取决于局部赫斯特指数的加权平均值。在[23]中，Forde和Zhang使用大偏差原理来计算隐含波动率m的短到期渐近。他们考虑了与杠杆相关的案例，并获得了与[3]中一致的结果。

他们考虑了一种基于fBm的随机波动模型，以及更一般的波动过程由fBm驱动并使用粗糙路径理论分析的波动模型。他们还考虑了一些分数过程的大时间渐近性。事实上，许多最近的pap研究者在混合、短期或长期过程的背景下考虑了隐含波动性的小到期渐近性。其中许多使用大偏差原理或热内核扩展[6,23,33]，而另一种方法是考虑围绕货币的制度[3,29,40]。最近的作品还涉及大罢工制度，并推导出了隐含效用的界限[36]。在这里，我们通过考虑扰动情况采取另一种方法，这样隐含的波动率可以扩展到有效波动率[27]，也可以延长到期时间。我们将波动率建模为一个平稳的y过程，一个连续的时间平稳的短或长随机波动过程，以期构造一个时间一致的方案。我们使用了一种基于鞅方法的方法，该方法适用于波动过程不是马尔可夫过程的事实。我们明确考虑了波动性冲击和潜在冲击之间的相关性影响、杠杆效应及其在短期和长期依赖情况下的形式。我们得到了从到期到到期的所有时间的隐含可用性表达式，以及订单1的对数货币性表达式。明确地说，对于ZHTFOU过程，我们将波动率建模为σt=？∑+F（δZHt），（1.2），我们将在第2节中详细讨论。2.假定函数F是一对一的光滑函数，从下到下以一个常数larg e rthan为界-σ，有界导数，且F（0）=0，F′（0）=1。

因此，波动过程（定性地）继承了fBm过程的相关特性。实际上，我们有σt=(R)σ+F（δZHt）=σ+δZHt+δhδ（ZHt）（1.3），其中hδ（y）=（F（δy）- δy）/δ可以在δ中一致有界：|hδ（y）|≤ kF′k∞y、 （1.4）请注意，在本文中，我们将研究无量纲质量。具体来说，如果t′代表以“交易年”为单位的量纲化时间，并且t′是一个典型的时间范围，例如以年为单位的典型到期时间，则t是无量纲化时间：t=t′t′。（1.5）主要结果是隐含波动率的关联形式，见下面的方程式（5.1）、（5.3）和（5.4），我们接下来总结结果。隐含波动率是指在恒定波动率Black ScholeseEuropean期权定价公式中需要使用的波动率值，以复制渐近fSV期权价格，它是，在δ阶下：它=EhT- tZTtσsds | Fti+A（T- t） h1+对数（K/Xt）（t）- t） /“τi，（1.6）forA（τ）=Δρ′στH+2Γ（H+）n1-Zaτe-五、1.-vaτH+dvo，（1.7），其中1/a是fOU过程的平均再转化时间，而“τ=2/”σa是基础过程的特征扩散时间。此外，XT是基础价格过程，其演变如（3.1）所示，FTIT是相关过滤。此外，ρ是分别驱动波动过程和基础价格过程的布朗运动之间的相关性，K是执行价格，因此K/X是货币性，最后τ=T- 是成熟的时候了。隐含波动率中的第一项是期权剩余时间段内的预期有效波动率，根据时间t的知识，请注意，该项为随机m。第二项为平均项，其存在于基础波动率和波动率具有相关演变的情况下，因此ρ为非零。

注意，ρ通常被认为是有益的。随着成熟时间相对于特征扩散时间变小，对数moneynes项变得相对更重要。在短期和长期到期制度中，我们对杠杆期限有：A（τ）h1+log（K/Xt）τ/=灰分（τ/τ）+H+（τ/τ）-+Hlog（K/Xt）ifor aτ<< 1，alh（τ/’τ）-+H+（τ/τ）-+Hlog（K/Xt）ifor aτ>> 1，（1.8）其中As=Δρ′τH√2Γ（H+），al=Δρ′τH-1.√2aΓ（H+）。（1.9）此外，对于预测的有效波动率项，我们还有：σt，t≡ EhT- tZTtσsds | Fti=aτ的σt<< 1，aτ的‘∑>> 1.（1.10）需要注意的是，我们只假设τ=T-t>0，因此在fac t中，对于短范围依赖的过程，小时间到成熟期的隐含可用性可能非常大。这反映了一个事实，即对于短程依赖过程，波动路径是粗糙的，并且可能有显著影响，超过当前预测的有效波动水平。然而，当在标准d Black-Scholes定价公式中使用时，隐含波动率确实给出了一个定价修正，对于任何τ>0，它都是O（δ）。我们还注意到，在长期到期制度下，长期相关过程的隐含波动水平可能会出现差异，反映出长期相关过程具有很强的时间一致性，因此对预测的当前有效波动率进行了相对较大的修正。接下来请注意，在（1.6）中的一般情况下，隐含波动率杠杆成分的校准涉及根据观察到的隐含波动率数据估计集团市场参数：“σ，H，（Δρ），a，（1.11）”。

为了在当前时间t完全识别模型，我们还需要估计当前预测的有效波动率，即σt，t+τ为0≤ τ ≤ Tmax- t、 值得注意的是，在我们的框架中，市场参数是从理论角度独立于当前时间t的。因此，为了用当前时间t的数据来校准模型≤ T≤ tone可以在联合设置程序中使用所有隐含波动率记录。我们注意到，我们的结果将在存在一般利率和风险因素市场价格的情况下进行修改，我们在此不考虑这些因素。我们还注意到，识别“微笑”形状，这是对数正态分布中更一般的函数，需要更高的隐含波动率近似值[26]。最后，观察到H=1/2的情况既不响应短程相关过程，也不响应沿程相关过程，而是标准情况下的奥恩斯坦-乌伦贝克过程和随机波动率，这是一个相关性指数衰减的马尔科夫过程[27]。我们提出的框架是通用的，可以用于我们可以确定以下关键关注量的过程。我们讨论了一个与慢fOU过程相对应的重要特殊情况。在这种情况下，我们根据“慢”过程Zδ，H:Zδ，Ht=δHZt来计算挥发率-∞E-δa（t）-s） dWHs，（1.12），其自然时标为1/δ，其方差为一阶，由下文（2.5）定义的σu给出，与δ无关。那么波动率是σt=F（Zδ，Ht），（1.13），其中F是一个光滑的正值d函数，有界于零，有界导数。我们引入了两个参数σ=F（Zδ，H），p=F′（Zδ，H），（1.14），即波动率的局部水平和变化率。

在这种情况下，隐含的可用性由以下公式给出：It=EhT- tZTtσsds | Fti+δHpρτH√2Γ（H+）H（τ/τ）+H+（τ/τ）-+对于τ=2/σ，Hlog（K/Xt）i，（1.15）。因此，慢分数波动率因子是一种隐含波动率，它对应于（1.2）中的分数模型中的一个，如（1.8）中所示。在H=1/2的特殊情况下，波动性过程成为标准的Ornstein-Uhlenbeck过程，属于[27]中考虑的慢过程类别，并且（1.15）中的隐含波动性可以准确地显示为[27]中用于慢校正的形式（第5章）。论文的概要如下。在第2节中，我们首先介绍fSV模型的组成部分。在第3节中，我们推导了Paper的ma结果，这是fSV情况下价格的主要顺序表达式。微分是基于一个具有光滑支付函数的契约，而EuropeanPayoff函数具有一个扭结单纯形，我们在第4节将结果推广到这种情况。然后在第5节中，我们推导了隐含波动率的表达式，以及波动率的分数特征如何影响这一点。我们在第6节连接到慢时间波动模型，并在第7节给出一些结论。在附录A中，我们描述了第3.2节中价格推导中使用的一些感兴趣的数量和相关的技术问题。分数随机波动率模型。我们更详细地描述了fSV施工中使用的fBm和fOU工艺（1.2）。分数布朗运动及其移动平均随机积分表示。

分数布朗运动（fBm）是一个零均值高斯过程（WHt）∈r的协方差[WHtWHs]=σH|t | 2H+| s | 2H- |T- s | 2H, （2.1）式中σHis为正常数。我们使用以下fBm的移动平均随机积分表示[37]：WHt=Γ（H+）ZR（t- s） H-+- (-s） H-+dWs，（2.2）式中（Wt）t∈在这个模型（WHt）中，R是R上的标准布朗运动∈Ris azero表示协方差为（2.1）的高斯过程，其中σH=Γ（H+）hZ∞（1+s）H-- 嘘-ds+2Hi=Γ（2H+1）sin（πH）。(2.3)2.2. 分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程。然后，我们介绍了Ornstein-Uhlenbeck过程（fOU）的部分，即ZHT=Zt-∞E-a（t）-s） dWHs=WHt- aZt-∞E-a（t）-s） WHsds。（2.4）这是一个零均值平稳高斯过程，方差σou=E[（ZHt）]=a-2HΓ（2H+1）σH，（2.5）和协方差：E[ZHtZHt+s]=σouΓ（2H+1）hZRe-|v | | as+v | 2Hdv-|as | 2Hi=σou2 sin（πH）πZ∞cos（asx）x1-2H1+xdx。（2.6）注意它不是鞅，也不是马尔科夫过程。将（2.2）代入式（2.4）中的第二种表示形式，考虑到随机Fubini，将fOU的移动平均积分表示形式o:ZHt=Zt代入式（2.4）中-∞K（t）- s） dWs，（2.7），其中k（t）=Γ（H+）htH-- aZt（t- s） H-E-asdsi。（2.8）核K的性质如下：-K是非负值，K∈ L（0，∞) 对于任何H∈ （0,1）带R∞K（u）du=σou，K∈ L（0，∞) 不管怎样∈ （0，1/2）。-小时候<< 1:K（t）=Γ（H+）aH-（at）H-+ o（at）H-. （2.9）-在>> 1:K（t）=Γ（H）-)啊-（at）H-+ o（at）H-. （2.10）对于H∈ （0,1/2）fOU过程具有短程相关性质：E[ZHtZHt+s]=σou1.-Γ（2H+1）（as）2H+o（as）2H, 像<< 1.（2.11）对于H∈ （1/2,1）它具有长程相关性质：E[ZHtZHt+s]=σouΓ（2H）-1） （as）2H-2+o（as）2H-2., 像>> 1.（2.12）扩展（2.12）对ny H有效∈ (0, 1/2) ∪ （1/2,1）和H∈ （1/2，1）它表明相关函数在本质上是不可积的。

这与短程相关过程的情况以及相关函数可积的马尔科夫过程的情况相反。3.期权价格。风险资产的价格遵循随机微分方程：dXt=σtXtdW*t、 （3.1）其中随机波动率为σt=？∑+F（δZHt），（3.2）在前面的章节中引入了ZHt，并适用于布朗运动Wt，以及*这是一个布朗运动，与随机波动有关*t=ρWt+p1-ρBt，（3.3），其中布朗运动Bt独立于Wt。我们注意到，模型的主要方面是方程中相关函数的短程和长程性质，我们要分析它的结果。（2.11）和（2.12）在等式（3.3）中的杠杆作用下。我们将发现，这对交感价格和相关的隐含波动率有显著影响。函数F被假定为一对一的光滑函数，从下到下以常数比为界-\'σ，上面有界，带有界导数，如tF（0）=0和F′（0）=1。请注意，通过这种函数拟合的标准化，不会在位置3的价格近似值中显式出现。1.在这种情况下，其他属性并不重要。此外，由（Bt，Wt）生成的过滤也是由Xt生成的过滤。事实上，它相当于（W*t、 Wt），或（W）*t、 ZHt）。因为F是一对一，所以它相当于（W）生成的一*t、 σt）。因为∑+F是正值，所以它等价于由（W）生成的一个*t、 σt），或Xt。我们的目标是计算定义为鞅M=E的期权价格高（XT）|英尺, （3.4）其中h是一个光滑函数，其有界导数与一组有限的点分开，其中其导数可能具有跳跃不连续性。

请注意，本节中的证明将针对h光滑且有界的情况给出。然而，由于我们只需要控制下面定义的函数Q（0）t（x），而不是h，因此可以将参数从平滑情况扩展到导数中存在跳跃不连续的情况，这与支付调用的情况有关。我们在第4节中明确地进行了这一概括。我们下面提出的方法的思想是构造一个近似公式，它具有正确的终端条件，并且小（δ阶）项是一个马丁加函数。然后得出O（δ）的价格近似值。我们引入了算子lbs（σ）=t+σxx、 （3.5）当δ较小时，以下命题对马廷格尔mt的表达式进行了一阶修正。提议3.1。当δ很小时，我们有mt=Qt（Xt）+O（δ），（3.6），其中Qt（x）=Q（0）t（x）+δ′σφt十、xQ（0）t（x）+ ΔρQ（1）t（x），（3.7）Q（0）t（x）是确定性的，由布莱克-斯科尔斯公式给出，具有常数波动性‘∑，LBS（‘∑）Q（0）t（x）=0，Q（0）t（x）=h（x），（3.8）φt随机分量φt=EhZTtZHsds | Fti，（3.9）和Q（1）t（x）是确定性校正Q（1）t（x）=‘∑x）十、十、xQ（0）t（x）Dt，T，（3.10）与Dt，由Dt定义的Tde，T=D（T- t） ，D（τ）=τH+Γ（H+）n1-Zaτe-五、1.-vaτH+dvo。（3.11）修正Q（1）t解决了下面（3.16）中的问题。函数D（τ）由这个问题衍生而来，是：D（τ）=Zτ（τ- u） K（u）du，在Lemma中有更详细的讨论。2在附录A中。请注意，我们在等式（3.2）中引入的随机波动过程是一个稳定的幂律过程。作为我们建模的一个结果，我们特别发现φ是一个高斯Ft可测量过程，它反映了过去对以当前为条件的未来随机波动路径的影响。

接下来我们给出命题3的证明。1并指出，在我们提出的分析框架中，利用“ε-鞅分解”[27]，H<1/2和H>1/2的情况可以以统一的方式处理。我们在下面提供的证据适用于具有短期和长期相关性的一般高斯过程，而等式（3.11）中右边的表达式则适用于fOU过程。我们在附录B中讨论了一般高斯情况和D（τ）的一般表达式（B.4）。对于任何光滑函数qt（x），我们都可以用^o的公式qt（Xt）=tqt（Xt）dt+十、xqt（Xt）σtdW*t+十、xqt（Xt）σtdt=LBS（σt）qt（Xt）dt+十、xqt（Xt）σtdW*t、 第一项是鞅。因此，通过（3.8），我们得到了dq（0）t（Xt）=δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、Q（0）t（Xt）dt+dN（0）t，（3.12）带N（0）ta鞅，dN（0）t=十、xQ（0）t（Xt）σtdW*t、 gδ（y）是函数gδ（y）=2′σF（δy）- δyδ+F（δy）δ，可以在δ中一致有界于| gδ（y）|≤σkF′k∞+ kF′k∞y、 还要注意，在等式（3.12）（及以下）中，我们使用了符号十、十、Q（0）t（Xt）=十、十、Q（0）t（x）x=Xt。将φt定义为（3.9）。我们有φt=ψt-ZtZHsds，（3.13），其中鞅ψ由ψt=EhZTZHsds | Fti（3.14）定义，并在附录中进行了研究。我们可以写十、十、Q（0）t（Xt）dt=十、十、Q（0）t（Xt）dψt-十、十、Q（0）t（Xt）dφt由It^o的公式：dφt十、十、Q（0）t（Xt）=十、十、Q（0）t（Xt）dφt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφtdW*t+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφtdt+十、十、TQ（0）t（Xt）φtdt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtd hφ，W*它=十、十、Q（0）t（Xt）dφt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφtdW*t+δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φtdt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtd hφ，W*在这里，我们再次使用LBS（¨σ）Q（0）t（x）=0。

我们有hφ，W*it=ρhψ，W在此之前φt十、十、Q（0）t（Xt）= -ZHt十、十、Q（0）t（Xt）dt+δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φtdt+ρ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtd hψ，wit+dN（1）t，其中N（1）是鞅，dN（1）t=十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφtdW*t+十、十、Q（0）t（Xt）dψt.因此：dQ（0）t（Xt）+δ′σφt十、十、Q（0）t（Xt）=δ′σZHt+δ′σgδ（ZHt）十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φtdt+δgδ（ZHt）十、十、Q（0）t（Xt）dt+δ′σρ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtd hψ，W it+dN（0）t+？∑ΔdN（1）t.（3.15）确定性函数Q（1）t由（3.10）满足磅（σ）Q（1）t（x）=-σ十、十、十、xQ（0）t（x）θt，t，Q（1）t（x）=0，（3.16），其中θt，这使得d hψ，W it=θt，Tdt，它由（见引理1）：θt，t=ZTtK（v）给出- t） dv=ZT-tK（v）dv。（3.17）应用It^o的公式Q（1）t（Xt）=LBS（σt）Q（1）t（Xt）dt+十、xQ（1）t（Xt）σtdW*t=LBS（°σ）Q（1）t（Xt）dt+δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、Q（1）t（Xt）dt+十、xQ（1）t（Xt）σtdW*t=-σ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）dhψ，W it+δ′σZHt+δgδ（ZHt）十、十、Q（1）t（Xt）dt+dN（2）t，其中N（2）是鞅，dN（2）t=十、xQ（1）t（Xt）σtdW*t、 因此Q（0）t（Xt）+δ′σφt十、十、Q（0）t（Xt）+ΔρQ（1）t（Xt）= dNt- dRt，T，（3.18），其中nti是鞅，Nt=ZtdN（0）s+？∑δdN（1）s+ρδdN（2）s，（3.19）和Rt，其阶数为δ：Rt，T=δZTt\'\'σZHs+δ\'\'σgδ（ZHs）十、十、十、十、Q（0）s（Xs）φsds+δZTtgδ（ZHs）十、十、Q（0）s（Xs）ds+δZTt′σρ十、十、十、十、Q（0）s（Xs）ZHsθs，Tds+δZTtρ′σZHs+Δρgδ（ZHs）十、十、Q（1）s（Xs）ds。（3.20）然后使用命题3中定义的Qt（x）。我们有QT（x）=h（x），因为Q（0）T（x）=h（x），φT=0，Q（1）T（x）=0。ThereForest=E高（XT）|英尺= EQT（XT）| Ft= Qt（Xt）+E新界- 新界|英尺+ ERt，T | Ft= Qt（Xt）+ERt，T | Ft, （3.21）自ERt，T | Ft是δ4级。精度与欧式选择。在上面的推导中，我们假设了一个mooth payoff函数。由于重要的Payoff函数类具有非光滑Payoff，我们在这里通过考虑欧式期权将证明推广到这类函数。对于欧式期权h（x）=（x- K） +我们从Eq。

1.41英寸[27]Q（0）t（x）=xΦσ√T- tlogxK+σ√T- T-KΦσ√T- tlogxK-σ√T- T, （4.1）其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。我们可以看到h是不光滑的，所以我们的假设是3。然而，正如我们现在所展示的，命题3.1的结论仍然是正确的。证据必须证明（3.20）满足的Rt、TdeRt，T | Ft对于任何p，在lp中为δ阶，并且由（3.19）定义的局部鞅是鞅（直到时间T）。这个问题源于Q（0）t（x）的导数在t→ T然而，正如我们下面所示，这种爆炸并不强烈。

我们首先陈述了Rt，T表达式中适用的确定性和随机项的一些性质：-由（4.1）saties给出的确定性函数Q（0）T（x）kxQ（0）t（x）≤ C1+（T- t） k-1.,任何一个≤ K≤ 4，t∈ [0，T]，x∈ (0, ∞), 对于某些常数C（见附录Bin[25]）：由（3.11）satifiesdt，T驱动的确定量Dt，T≤ C（T）- t） H+，对于任何t∈ [0，T]和一些常数C（见附录A中的引理2和下面的引理）（3.17）定义的确定量θt，Tde满足θt，t≤ C（T）- t） H+，对于任何t∈ [0，T]和一些常数C（将（2.9-2.10）替换为（3.17））-由（3.9）satifie[|φt | p]p定义的随机分量φtde≤ Cp（T- t） ，无论如何∈ [0，T]对于任何p>0的常数Cp（应用附录中的引理3，并使用φ为高斯的事实）随机过程zhtsatiese[|ZHt | p]p≤ Cp，对于任何t∈ [0，T]对于任何p>0的常数Cp（使用Zhtis高斯、平稳、均值为零且方差为σou的事实）。因此，确定性函数Q（1）t（x）满足|kxQ（1）t（x）|≤ C（T）- t） H++（t- t） H+-K1+x,任何一个≤ K≤ 2，t∈ [0，T]，x∈ (0, ∞), 对于前一个常数，我们发现有[124p]和[124p]对于前一个常数≤ CpδZTt（T- （s）-+ （T）- （s）-+ （T）- s） H-+ （T）- s） H-ds≤ Cpδ（T）- t） +（t）- t） H+,对于任何δ∈ （0,1）和t∈ [0，T]，它显示了Rt，T的期望结果。此外，局部鞅ales N（j）tin（3.19）是直到时间T的连续平方可积鞅，其括号是ddn（j）Et=N（j）tdt，j=0，1，2，N（0）T=σt十、xQ（0）t（Xt）,N（1）t=十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφt+2ρθt，t十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σtφt十、十、Q（0）t（Xt）+十、十、Q（0）t（Xt）θt，t，N（2）t=σt十、xQ（1）t（Xt）,其中N（j）皮重关于t一致有界∈ [0，T]在LPP中表示任何p，由此得出证明。5.隐含波动率。

我们现在计算并讨论与命题3.1中给出的价格近似值相关的隐含波动率。这种隐含的波动性是指当在恒定波动率Black-Scholes定价公式中使用时，其价格与近似值相同，达到近似值的阶数。上一节中介绍的欧式期权的隐含波动率由它=\'σ+ΔφtT给出- t+ΔρDt，Th′σ2（t- t） +log（K/Xt）’σ（t- t） i+O（δ）。（5.1）前两个术语可以组合并重写为（最多δ阶术语）：‘σ+ΔφtT- t=EhT- tZTtσsds | Fti+O（δ）。（5.2）当a（T- （t）<< 1隐含波动率是随机的，我们有（见Lemma.3）和等式（A.5）：它=\'σ+δZHt+δρΓ（H+）H\'\'σ（T- t） +H+log（K/Xt）’σ（t- （t）-你好（5.3）注意，对于H∈ （0，1/2），隐含波动率在成熟度T的小时间点上升- t、 请注意，以上结果在渐近区域δ中是有效的<< 1.事实上，对于σ是一个一阶严格正的量，等式（5.3）中的隐含可用性对于足够小的δ是严格正的。当a（T）-（t）>> 1，订单数量Dt，T-t） H+和是确定性的（通过引理A.2），而fφ皮重的函数是有序的（t- t） 因此，大多数a和D都可以忽略（引理a.3）。作为消费者，当- （t）>> 1，我们可以将隐含波动率写成：It=\'σ+ΔρaΓ（H+）H\'\'σ（T- t） H-+对数（K/Xt）’σ（T- （t）-你好（5.4）注意，对于H∈ （1/2,1），隐含波动率在成熟度T的大时间点爆炸- t、 我们注意到，因子乘以等式中的方括号。（5.3）和（5.4）在一般情况下稍作修改，当ZT是通用的美国工艺时，见附录B.6。一个缓慢的波动因素。在本节中，我们展示了本文开发的方法可以应用于其他随机波动率模型。

这里我们考虑以下模型σt=F（Zδ，Ht），（6.1），其中F是一个光滑的正值d函数，有界于零，有界导数，Zδ，Ht是一个重新标度的fOU过程：dZδ，Ht=δHdWHt- δaZδ，Htdt，（6.2），其自然时间标度为1/δ。它的形式是zδ，Ht=δHZt-∞E-δa（t）-s） 德沃斯。（6.3）其移动平均积分表示为zδ，Ht=Zt-∞Kδ（t）-s） dWs，Kδ（t）=δK（δt），（6.4），其中K由（2.8）定义。特别是，其变量由（2.5）定义，与δ无关。因此，该模型的特点是波动性的波动强烈但缓慢。如果风险资产的价格遵循随机微分方程（3.1），我们会得到类似于命题3.1的结果。提议6.1。当δ很小时，表示σ=F（Zδ，H）和p=F′（Zδ，H），期权价格（3.4）的形式为mt=Qt（Xt）+O（δ2H），（6.5），其中Qt（x）=Q（0）t（x）+σpφδt十、xQ（0）t（x）+ δHρpQ（1）t（x），（6.6）Q（0）t（x）由Black-Scholes公式给出，具有恒定的波动率σ，LBS（σ）Q（0）t（x）=0，Q（0）t（x）=H（x），（6.7）φδ是随机分量φδt=EhZTtZδ，Hs- Zδ，Hds | Fti，（6.8）和Q（1）t（x）是校正Q（1）t（x）=σx十、十、xQ（0）t（x）Dt，T，（6.9）与Dt，由Dt定义的Tde，T=（T- t） H+Γ（H+）。（6.10）我们注意到，我们确实可以预期波动系数缓慢的情况在定性上与命题3中波动系数较小的情况相同。1从中等粗糙度s的影响来看。这是因为我们从分数布朗运动的自相似性得出，分布δWHtd=WHδ1/Ht。然而，我们有δZHt | a=a′d=ZHδ1/Ht | a=δ1/Ha′，因此模型（小波动率波动与慢波动）在强烈意义上和分布上都有所不同。此外，从模式角度来看，模型有不同的解释，例如不同的偏度机制。

特别要注意的是，这种差异表现为，对于固定的赫斯特系数，校正项和误差项的大小，尤其是从相关性模型中推导出来的，在两个模型的δ中具有不同的标度。例如，对于小赫斯特指数H，对于给定的δ，在慢波动系数的情况下，我们可以预期校正（以及误差项）相对较大。随机修正δ为δH阶。更确切地说，它是一个方差为e的零均值高斯随机变量（δt）=δ2HT2+2HΓ（H+）Z∞H1.-tT+vH+- vH+-1.-tTH+五、-tTH-+t的idv+O（δ2H+1），（6.11）∈ [0，T]。证据我们注意到σt=σ+p（Zδ，Ht- Zδ，H）+gδt，其中gδt=F（Zδ，Ht）- F（Zδ，H）- F′（Zδ，H）（Zδ，Ht）- Zδ，H）和| gδt |≤kF′k∞（Zδ，Ht）- Zδ，H）。我们有（Zδ，Ht）- Zδ，H）=ZδtK（s）ds+Z∞K（δt+s）- K(s)ds，其阶数为δ2H:E（Zδ，Ht）- Zδ，H）= σH（δt）2H+o（δ2H）。因此，gδ在lpp中以δ2H的数量为界。然后我们可以遵循与命题3.1相同的证明。术语dδt，t=Zτ（τ- u） Kδ（u）du由dδt给出，t=δH（t- t） H+Γ（H+）+O（δ2H）。修正系数的方差（δt）=ZtZTtKδ（s）- u） dsdu+Z-∞ZTtKδ（s）- u）- Kδ(-u） dsdu，这反过来又给出了（6.11）。与小幅度随机波动模型的情况一样，我们发现欧洲期权的隐含波动率由它=σ+pφδtT给出- t+δHρpΓ（H+）Hσ（t-t） H++log（K/Xt）σ（t）- （t）-Hi+O（δ2H）。（6.12）前两项可以组合并重新书写为（高达δ2H阶的项）：σ+pφδtT- t=EhT- tZTtσsds | Fti+O（δ2H）。(6.13)7. 结论我们分析了当波动率是随机的，并且具有作为时间效应集的分数幂衰减的相关性时的欧式期权价格。

随机波动率模型是根据具有赫斯特指数H的分馏朗斯坦-乌伦贝克过程定义的，当波动率的典型振幅相对较小时，进行分析。两种情况是不同的。首先是H∈ （0，1/2）对应于短尺度上粗糙的“短程”依赖过程，其相关性在原点处衰减非常快，比线性衰减快。第二种情况是∈ （1/2,1）因此，相关性在大范围内衰减相对较慢，那么波动性相关性是不可积的。我们使用鞅方法推导了两种情况下Black-Scholes价格的一般表达式。在短期情况下，短期内的粗糙行为会产生波动性，随着到期时间变为零，波动性会发生变化。在长期情况下，相关性的缓慢衰减给出了隐含效用的期限结构，随着成熟时间的推移，该期限结构会发生变化。我们给出的主要结果在某种意义上是特定的，即一个特定的随机波动率模型已经被描述，然而，正如我们所说明的，只要可以计算出一些中心共变项，fra模型就可以适用于相关模型。我们通过考虑一个具有缓慢但有序的波动率波动的模型来说明这一点，并推导出相关的分数隐含波动率期限结构。附录A.技术引理。在本附录中，我们陈述并证明了与第3节和第5节中价格推导中使用的一些感兴趣的中心量有关的一些技术引理。marting aleψ是为任何t定义的∈ [0，T]乘以（3.14）。它用于命题3.1的证明，它具有以下性质。引理A.1。

（ψt）t∈[0，T]是高斯平方可积鞅，d hψ，W it=ZT-tK（s）dsdt，dhψit=ZT-tK（s）dsdt。（A.1）证据。对于t≤ s、 给定Ftis高斯分布的ZHs的条件分布ZHs |英尺=Zt-∞K（s）- u） dWu，（A.2）和由VaR产生的确定性方差ZHs |英尺=Zs-蒂克（u）杜。因此我们有ψt=ZtZHsds+ZTtEZHs |英尺ds=ZtdsZs-∞K（s）- u） dWu+ZTtdtZt-∞K（s）- u） dWu=Z-∞hZTK（s）- u） dtidWu+ZthZTuK（s）- u） 戴德武。这给出了hψ，W it=ZTtK（s）- t） dsdt，dhψit=ZTtK（s）- t） dsdt，如引理中所述。我们定义了确定性分量dt，T=hψ，W iT- hψ，W it，（A.3）出现在等式（3.10）中。它具有以下属性。引理A.2。Dt是T的确定函数- 它由dt给出，t=D（t- t） ，D（τ）=Zτ（τ）-u） K（u）du。（A.4）函数D可以写成一个s（3.11），它有以下行为：对于τ<< 1，D（τ）=Γ（H+）aH+（aτ）H++o（aτ）H+. （A.5）对于τ>> 1，D（τ）=Γ（H+）aH+（aτ）H++o（aτ）H+. （A.6）最后，我们考虑由（3.9）定义的随机过程φtde。引理A.3.1。φ是方差var（φt）=Z的零均值高斯过程∞ZT-tK（s+u）ds杜。2.存在一个常数C（取决于H），使得φt的方差以var（φt）为界≤ C（T）- t） 2小时∧ （T）- t） 。（A.7）3。φT约等于（T- t） ZHTT适用于小t- t:嗯φtT- T- ZHt信息技术-T→0-→ 0.（A.8）证据。

我们可以表示φtas的方差：Var（φt）=ZT-tdsZT-tds′CovEZHs | F, EZHs′|F,第一项是辛切科夫EZHs | F, EZHs′|F=Z-∞K（s）- u） K（s′）- u） 杜。莫尔瓦（φt）≤ZT-特瓦尔EZHs | F1/2秒≤ZT-TZ∞sK（u）du1/2秒≤ C（T）- t） 2小时∧ （T）- t） ，这给出了引理的第二项。同样地，我们有φtT- T- ZHt我≤T- tZT-tdsVarEZHs | F- ZH1/2,安第斯山脉ZHs | F- ZH=Z-∞K（s）- u）-K(-u）dWu，所以呢φtT- T- ZHt我≤T- 坦桑尼亚先令-太赫兹∞K（s+v）- K（v）dvids.作为s→ 0，我们有∞K（s+v）-K（v）dv→ 0由Lebes-gue的支配收敛定理（关于K∈ 五十） ，它给出了第三项。附录B.对一般随机波动率模型的扩展。在本文中，我们将波动率建模为fOU过程的有界函数。事实上，将所有结果推广到波动率模型是一个平稳高斯过程的有界函数，它的相关特性与fOU过程的相关特性在质量上相似，这是一个很好的尝试。在本附录中，我们考虑了波动率为σt=？σ+F（δZt），（B.1）的情况，对于均值为零的Zt=Zt的Zta平稳高斯过程-∞K（t）- s） dWs，（B.2），其中wt是标准布朗运动，K∈ L（0，∞) 是一个通用内核，而不是对应于fOU的特定内核（2.8）。然后高斯过程Zthas均值为零，方差σZ=Z∞K（u）du，（B.3）和协方差[zt+s]=Z∞K（u）K（u+s）du。如前所述（上述命题3.1），函数F被假定为一对一的光滑函数，由一个大于-带有界导数的σ，以及F（0）=0和F′（0）=1。命题3.1则成立，函数Dde定义为比亚迪（τ）=Zτ（τ- u） K（u）du，（B.4）和欧式期权上下文中的隐含波动率仍然由（5.1）给出，其中Dt，T=D（T- t） 。

函数D的行为由核K的行为决定，我们更详细地考虑了两种情况，分别对应于长程和短程相关性：1。存在cZ6=0，使得k（t）=cZtH-1+o（1）作为t→ ∞. （B.5）如果H∈ （1/2，1）这意味着K在单位是不可积的，正如我们将在下面看到的（见LemmaB.1），Zt的协方差函数有一个尾巴行为，类似于fOU单位的尾巴行为。换言之，ZT具有长程相关性，隐含波动率的形式（5.4）与Hur st指数为H、cZΓ（H）的fOU相同- 1/2）/Γ（H+3/2）而不是1/[aΓ（H+3/2）]。存在dZ6=0，使得k（t）=dZtH-1+o（1）作为t→ 0.（B.6）如果H∈ （0，1/2）这意味着K在零处是单数的，正如我们将在下面看到的（见LemmaB.2），ZT的c卵巢功能在零处的行为类似于fOU。换句话说，ZT具有短期相关性，隐含波动率的形式（5.3）与赫斯特指数为H的fOU相同，但dZΓ（H+1/2）/Γ（H+5/2）替代了1/Γ（H+5/2）。引理。我们假设（B.5）。如果H∈ （1/2，1），则Ztsatis fie[ZtZt+s]的协方差函数=kZs2H-2.1+o（1）作为s→ ∞, （B.7）kz=cZΓ（2）-2H）Γ（H）-)Γ(- H） =cZΓ（H）-)2 sin（πH）Γ（2H）- 1). （B.8）2。如果H∈ （1/2,1），则函数D（τ）由（B.4）满足（τ）=cZΓ（H）定义-)Γ（H+）τH+1+o（1）asτ→ ∞. （B.9）如果zt是fOU过程（2.4），那么cZ=1/[aΓ（H-1/2)]. 在这种情况下，我们可以检查kZ=a-2/[2sin（πH）Γ（2H）- 1） ]=σoua2H-2/Γ（2H）- 1） ，其中（B.7-B.8）给出（2.12），而（B.9）给出（A.6）。证据我们表示c（s）=E[zt+s]=Z∞K（u）K（u+s）du和C（s）=cZZ∞UH-（u+s）H-杜。我们可以检查C（s）=kZs2H-2withkZ=cZZ∞UH-（1+u）H-du=cZΓ（2）-2H）Γ（H）-)Γ(- H） 。我们现在证明C（s）-~C（s）变为零a s→ ∞ 比s2H快-2.

让ε∈ (0, 1).存在Sε使得| K（t）t-H+3/2- cZ|≤ ε对于任何t≥ Sε。我们什么都有≥ Sε：s2-2小时丙(s)-~C（s）≤ s2-2HZSεK（u）K（u+s）- 哲-（u+s）H-du+s2-2HZ∞Sε| K（u）| K（u+S）- cZ（u+s）H-|du+s2-2HZ∞Sε| cZ |（u+S）H-|K（u）- 哲-|杜≤ s2-2HZSεK（u）K（u+s）- 哲-（u+s）H-du+s2-2Hε（2 | cZ |+ε）Z∞（u+s）H-UH-杜。作为s→ ∞ 根据Lebesgue支配收敛定理，右边的第一项变为零，因为（2- 2H）+（H- 3/2) < 0. 这给了你一点小惊喜→∞s2-2小时丙(s)-~C（s）≤ ε（2 | cZ |+ε）Z∞（u+1）H-UH-杜。因为这适用于任何ε∈ （0，1），这证明了（B.7）。我们表示∧D（τ）=Zτ（τ- u） 哲-du，它由∧D（τ）=cZH给出-τH+=cZΓ（H-)Γ（H+）τH+。让ε∈ (0, 1). 如上所述，存在Sε使得| K（t）t-H+3/2-cZ|≤ ε对于任何t≥ Sε。然后我们得到了任意τ≥ Sε：τ-H-D（τ）-~D（τ）≤ τ-H-ZSε（τ）-u）K（u）- 哲-du+τ-H-εZτSε（τ- u） 嗯-杜。Asτ→ ∞ 根据Lebesgue支配收敛定理，右边的第一项变为零，因为-（H+1/2）+1<0。这给出了slim supτ→∞τ-H-D（τ）-~D（τ）≤ εZ（1）-u） 嗯-杜。因为这适用于任何ε∈ （0，1），这证明了（B.9）。引理B.2。我们假设（B.6）。如果H∈ （0，1/2）如果K满足两个技术条件：（CB.2.1）K是可积的，且Lipschitz在（1，∞).（CB.2.2）函数k（t）和k（s）的存在使得对于所有t，s∈ （0,1）我们有|K（t+s）-~K（t）|≤ k（t）k（s），其中k（t）=k（t）- dZtH-1/2，k∈ 和lims（0，L）→0秒-香港（s）=0。然后zt满足[zt+s]=σZ的协方差函数- qZs2H+o（s2H）as-s→ 0，（B.10）其中qz=dZΓ（H+）Γ（2H+1）sin（πH），（B.11）σZ=Z∞K（u）du。（B.12）2。不管怎样∈ （0,1），函数D（τ）由（B.4）满足度（τ）=dZΓ（H+）Γ（H+）τH定义+1+o（1）asτ→ 0.（B.13）条件（CB.2.1）给出了远离原点的K的一些控制，这种特定条件可以放宽。

必要的条件是-2HZ∞K（u+s）-K（u）Dus归零→ 0（参见下面的证明）。该条件（CB.2.2）意味着剩余的K（t）应在原点附近足够小。（CB.2.2）的一个有效条件是，对于so meα>H，K是α-H-更大的连续超越（0，2）。对于某些常数c，n（CB.2.2）充满K（t）=c和K（s）=Kαsα。如果Zt是fOU过程（2.4），那么K是可积的，Lipschitz在（1，∞) 我们有dZ=1/Γ（H+1/2）和K（t）=-[a/Γ（H+1/2）]Rt（t-s） H-1/2e-asds，它是（H+1/2）-H–在（0，2）上连续的：| K（t+s）-~K（t）|≤ [2a/Γ（H+3/2）]sH+1/2。在这种情况下，我们可以检查qZ=1/[2Γ（2H+1）s In（πH）]=σoua2H/Γ（2H+1），此外，我们还有σZ=σou，这证实了（B.10-B.12）给出（2.11），而（B.13）给出（A.5）。证据我们可以写出[zt+s]=σZ- Q（s），Q（s）=E（Zt+s）- （Zt）.我们有Q（s）=Q（s）+Q（s），其中Q（s）=Z∞K（u+s）- K（u）du，Q（s）=ZsK（u）du。我们的想法是，当dZtH-1/2替换K（t）。我们表示Q（s）=dZZ∞（u+s）H-- UH-du，~Q（s）=dZZsu2H-1du。我们可以检查<<Q（s）+<<Q（s）=qZs2HwithqZ=dZZ∞UH-- （1+u）H-du+dzu2h-1du=dZΓ（H+）Γ（2H+1）sin（πH）。我们现在证明Q（s）-Q（s）随着s变为零→ 0比s2H快。我们有两个-2小时Q（s）-Q（s）≤ s-2小时ZK（u+s）- K（u）- dZ（u+s）H-- UH-杜+s-2HdZZ∞（u+s）H-- UH-du+s-2HZ∞K（u+s）- K（u）杜≤ 2 | dZ | s-2HhZ（u+s）H-- UH-双1/2hZ~K（u+s）-~K（u）对决1/2+s-2HZ~K（u+s）-~K（u）du+s-2HdZZ∞（u+s）H-- UH-du+s-2HZ∞K（u+s）- K（u）|K（u+s）|+|K（u）|杜≤ 2 | dZ | hZ∞（u+1）H-- UH-酒后驾车1/2小时-2HZ~K（u+s）-~K（u）对决1/2+s-2HZ~K（u+s）-~K（u）du+dZZ∞1/s（u+1）H-- UH-du+2s1-2HLKZ∞|K（u）| du，其中Lk是K在（1）上的Lipschitz常数，∞). 作为s→ 因为积分是收敛的，所以右手边的第三项变为零，第四项变为零- 2H>0。

第一项和第二项归零，因为-2HZ~K（u+s）-~K（u）杜≤ s-2Hk（s）Zk（u）du，k∈ L（0，1）和s-香港(s)→ 0作为s→ 0.特里弗利姆→0秒-2小时Q（s）-Q（s）= 0.我们现在证明Q（s）-Q（s）随着s变为零→ 0比s2H快。让ε∈ (0, 1).存在Sε使得| K（t）t-H+1/2- dZ|≤ ε对于任何t≤ Sε。我们什么都有≤ Sε：2s-2小时Q（s）-Q（s）≤ s-2HZsK（u）- 嗯-|K（u）|+| dZ | uH-杜≤ s-2Hε（2 | dZ |+ε）Zsu2H-1du≤（2 | dZ |+ε）ε2H。因为这适用于任何ε∈ （0,1），我们有lims→0秒-2小时Q（s）-Q（s）= 0，这就完成了（B.10）的证明。我们表示∧D（τ）=dZZτ（τ- u） 嗯-du，它由∧D（τ）=dZ（H+）（H+）τH+=dZΓ（H+）Γ（H+）τH+给出。让ε∈ (0, 1). 存在ε，使得| K（t）t-H+1/2- dZ|≤ ε对于任何t≤ Sε。我们有什么≤ Sε：τ-H-D（τ）-~D（τ）≤ τ-H-εZτ（τ）-u） 嗯-杜。这给出了slim supτ→0τ-H-D（τ）-~D（τ）≤ εZ（1）-u） 嗯-杜。因为这适用于任何ε∈ （0，1），这证明了（B.13）。参考文献[1]Y.Ait-Sahalia，J.Fan和J.Li，离散观测过程中的跳跃测试，Ann。统计学家。37（2009），第184-222页。[2] Y.Ait-Sahalia和J.Jacod，《杠杆效应之谜：解开高频偏差的来源》，金融经济学杂志109（2013），第224-249页。[3] E.Al`os，J.A.Le`on和J.Vives，关于随机波动率跳跃扩散模型的隐含波动率的短期行为，Finance Stoch。11（2007），第571-589页。[4] O.E.Barndor ff-Nielsen，F.E.Benth和A.E.D.Veraart，通过波动调制的列维驱动的Volterra过程模拟能源现货价格，伯努利19（2013），第80-845页。[5] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatherel，《粗糙波动下的定价》，量化金融16（2016），第887-904页。[6] H.Berestycki，J.Busca和I.Florent，计算随机波动模型中的隐含波动率，Comm.Pure Appl。数学57（2004），第1352-1373页。[7] F.Biagini、Y.Hu、B.Oksendal和T。