具有风险敏感性偏好的随机最优增长模型

2022-5-9 05:21:53

具有风险敏感偏好的随机最优增长模型sNicole B¨auerlea，Anna Ja\'skiewiczbaDepartment of Mathematics，Karlsruhe理工学院，Karlsruhe，Germany电子邮件：nicole。baeuerle@kit.edubFaculty波兰Wroc law理工大学数学系电子邮件：anna。jaskiewicz@pwr.edu.plAbstract.本文研究了一个i.i.d.生产率冲击允许无界的单部门最优增长模型。效用函数假定为非负且从上面看是无界的。在我们的框架中，一个新颖的特点是，根据Hansen和Sargent（1995）的观点，代理具有风险敏感偏好。在对生产率和效用函数施加Milda假设的情况下，我们证明了有限时间范围内的最大贴现非预期效用满足最优性方程，并且代理具有平稳的最优策略。我们分析中使用的一个新点是所谓关联随机变量的不等式。我们还建立了包含最优性方程解的欧拉方程。关键词。随机增长模型，熵风险测度，无界效用，无界冲击。1.导言本文研究了一个部门随机最优增长模型，该模型具有可能无界的冲击和非负效用，且允许从上面无界。无限回报在经济模型中非常常见，见Alvarez和Stokey（1998）；博伊德（1990）；杜兰（2000）；Le Van和Morhaim（2002）研究确定性问题，Dur\'an（2003）；Ja\'skiewicz和Nowak（2011b）；Kamihigashi（2007）对随机问题的研究。上述工作大多采用Wessels（1977）提出的加权上确界范数方法。另一组论文在确定性框架内利用了Rinc’on Zapatero和Rodriguez Palmero（2003）提出的观点。

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2022-5-9 05:21:56

他们的方法建立在局部收缩的基础上，并利用了单侧主函数。Ja’skiewicz和Nowak（2011a）报道了这些结果对随机动态规划的扩展；Martins da Rocha和Valakis（2010年）；马特科夫斯基和诺瓦克（2011）。我们模型的新颖之处在于，代理具有风险敏感偏好，即vt=u（at）-βγln-Et[-γVt+1]，（1）其中γ>0是一个风险敏感系数，β∈ [0，1）是一个时间折扣因子，t时的消费，u是一个幸福函数，vt是从周期t开始的寿命效用。这里，Et代表关于周期t信息的期望算子。参数γ影响消费者在未来效用中对风险的态度。（1）中的参考形式来自Hansen和Sargent（1995），他们用它们来处理一个线性二次高斯控制模型。（1）中定义的偏好有几个优点。首先，它们不是未来效用的时间加法。然而，时间可加性要求代理人在未来效用中保持风险中性。另一方面，风险敏感偏好允许代理人在未来效用中规避风险，以及在未来消费中规避风险。这一事实导致了风险规避和跨期替代弹性之间的部分分离。此外，正如？对风险敏感的偏好也很有吸引力，因为它们可以用来为偏好建模以增强稳健性。值得强调的是，形式（1）的风险敏感偏好已经在处理帕累托最优分配（见Anderson（2005））或小噪声扩展（见Anderson等人（2012））的问题中找到了一些应用。我们的主要结果有两个方面。首先，当代理人具有风险敏感偏好时，我们建立了有限时间范围内非预期效用的最优性方程（1）。

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2022-5-9 05:22:00

标准预期效用案例中的证明基于Banach收缩原理，见Stokey等人（1989）。然而，为了证明动态编程算子将某些函数的空间映射到自身中，我们必须考虑凹函数、非减函数和非负函数，这些函数在加权上确界范数内。这种分析的一个新特点是对所谓的关联随机变量应用了一些不等式。这个不等式在证明动态规划算子的一个固定点确实是值函数方面也起着关键作用。此外，它自然符合我们的模型，其中生产函数和效用函数满足一些温和的条件，如单调性和凹性。在这里，我们想强调的是，与Kamihigashi（2007）中的情况类似，我们不假设生产函数的纳达条件为零和完整。其次，我们建立了欧拉方程，假设生产函数和效用函数是连续可微的。作为副产品，我们得到了最优策略控制的收入过程的分布函数的存在性。这个结果要归功于西村和斯塔舒尔斯基（2005）以及斯塔舒尔斯基（2009）之前的工作，他们将欧拉方程与福斯特-李雅普诺夫函数联系起来。本文的组织结构如下。第2节描述了模型、代理人的风险敏感偏好，并提供了基本假设。在第3节中，我们使用动态规划方法来证明代理具有最优静态策略，并且寿命效用是最优性（Bellman）方程的解。第四节建立了欧拉方程。第5节利用欧拉方程定义Foster Lyapunov函数，用于证明最优程序的稳定性。

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2022-5-9 05:22:03

最后，第6节给出了两个例子来说明我们的理论。关于这个话题的更多讨论，请参考爱泼斯坦和津（1989）、塔拉里尼（2000）、苗（2014）。读者还可以参考Becker和Boyd（1997）中的第1章和第3章，这两章构成了研究非时间可加目标函数的强大动力。2.模型本节包含随机最优增长模型的公式，该模型具有Payo-off标准，在特定情况下，可简化为Brock和Mirman（1972）研究的标准。符号R+和R++分别表示非负实数和正实数。设N是正整数的集合。这个过程演变如下。在蒂梅特∈ N代理人有一个收入xt，它分为消费和投资（储蓄）yt。从消耗中，代理接收效用u（at）（独立于xt）。投资用于投入产出xt+1=f（yt，ξt）的生产，其中（ξt）t∈Nis一系列分布为ν的i.i.d.冲击∈ Pr（R+）和f:R+×R+7→ R+是一个生产函数。假设x∈ R+是非随机的。我们做出以下假设。（U1）函数u:R+7→ R+在零处是连续的，严格凹形，增加andu（0）=0。（U2）存在一个常数d>0和一个连续的非递减函数w:R+7→[1, ∞) 以至于u（x）≤ dw（x），代表所有x∈ R+和（2）保持不变。（F1）对于每个z≥ 0函数f（·，z）：R+7→ R+是连续的、凹的、不减损的，适用于每个y≥ 0函数f（y，·）：R+7→ R+是可测量的。（F2）存在一个常数α∈ （0，1/β）这样∈[0，x]ZR+w（f（y，z））ν（dz）≤ αw（x），对于所有x∈ R+。（2） PutD:={（x，y）：x∈ R+，y∈ [0，x]}。无论如何∈ N、通过Htwe表示所有sequencesht的集合=x、对于t=1，（x，y，x，…，xt），对于t≥ 2，其中（xk，yk）∈ D代表所有k∈ R+。因此，HTT是迄今为止所有可行的投资过程历史的集合。

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能者818

2022-5-9 05:22:06

投资政策π是序列（πt）t∈N、其中π是一个可测量的映射，它将任何可容许的历史Ht与动作yt相关联∈ [0，xt]。通过∏我们表示所有投资政策的集合。我们将注意力限制在非随机政策上，这些政策足以研究贴现最优增长模型。Stokey等人（1989年）对一般政策进行了正式定义。设Φ为所有Borel可测函数的集合，使得φ（x）∈ [0，x]外汇∈ R+。平稳（投资）策略是一个常数序列π，πt=φforevery t∈ N.我们将用序列的成员识别一个固定策略，即用映射φ。Φ还表示所有固定投资政策的集合。在本文中，我们将考虑在有限的时间范围内，借助于所谓的熵风险度量，代理人的非预期效用。为了确定这一指标，让我们用(Ohm, F、 P）一个概率空间，设X为非负随机变量(Ohm, F、 P）。X的熵风险度量是ρ（X）=-γlnZOhmE-γX（ω）P（dω），其中γ>0是风险敏感系数。设X，Y为非负随机变量(Ohm, F、 P）。ρ的以下性质在分析中很重要（见第184页inF–ollmer and Schied（2004））：（P1）单调性，即如果X≤ Y=> ρ（X）≤ ρ（Y）（P2）凹度，即ρ（λX+（1）- λ） Y）≥ λρ（X）+（1）- λ）任意λ的ρ（Y）∈ [0, 1].然而，该度量不是正齐次的，即ρ（αX）6=α的αρ（X）∈ R++，这并不能使我们的分析变得简单（参见引理4和定理1的证明）。这里，我们只想提到，利用泰勒展开式对指数函数和对数函数，我们可以近似ρ（X），如下ρ（X）≈ 前任-γV arX，如果γ>0非常接近于0。

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2022-5-9 05:22:09

因此，如果X是一个随机支付，那么借助熵风险度量评估其预期支付的代理不仅考虑随机支付X的预期值，还考虑其方差。关于熵风险度量的进一步评论可在B–auerle和Rieder（2011）中找到；F¨ollmer and Schied（2004）及其引用的参考文献。假设k∈ N.我们说函数vk∈ Bw（香港），如果vk:Hk7→ R+是可测量的，并且存在一个常数dvk≥ 0，以便vk（香港）≤ 每个YHK的dvkw（xk）∈ 香港。这里，w是（U2）和（F2）中使用的函数。设π=（πk）k∈N∈ 无论什么政策。对于vk+1∈ Bw（Hk+1）和给定的Hk∈ 我们把ρπk，hk（vk+1）：=-γlnZR+e-γvk+1（hk，πk（hk），f（πk（hk），z））ν（dz）。（3）通过Jensen不等式和（F2），我们得到了0≤ ρπk，hk（vk+1）≤ZR+vk+1（hk，πk（hk），f（πk（hk），z））ν（dz）（4）≤ dvk+1ZR+w（f（πk（hk），z））ν（dz）≤ dvk+1supy∈[0，xk]ZR+w（f（y，z））ν（dz）≤ dvk+1αw（xk）适用于任何香港∈ 香港及香港∈ N.此外，我们定义了算子Lπkas followsLπkvk+1（hk）：=u（xk- πk（hk））+βρπk，hk（vk+1），其中β∈ （0，1）是一个主观的折扣系数。通过性质（P1），可以得出Lπk单调，即Lπkvk+1（hk）≤ Lπk^vk+1（hk）代表hk∈ 香港和vk+1≤ ^vk+1。此外，通过（4），（U2）和（F2），我们得到了0≤ Lπkvk+1（香港）≤ （d+αβdvk+1）w（xk）（5）每香港∈ 香港与韩国∈ N.我们遵循Hansen和Sargent（1995）的方法，对消费者的偏好进行递归建模。对于任何初始收入x=x和T∈ N我们定义T——阶段总贴现效用jt（x，π）：=（Lπ）o . . . o LπT）0（x），（6），其中0是一个函数，使得0（hk）≡ 每香港0∈ 香港及香港∈ N

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2022-5-9 05:22:11

例如，ifT=2定义（6）被解读为以下j（x，π）=（Lπo Lπ）0（x）=Lπ（Lπ0）（x）=u（x- π（x））-βγlnZR+e-γLπ0（x，π（x），f（π（x），z））ν（dz）=u（x- π（x））-βγlnZR+e-γu（f（π（x），z）-π（x，π（x），f（π（x，z））ν（dz）。从（U1）和（P1）中观察，序列（JT（x，π））T∈Nis不减损，每x从下到下以0为界∈ R+和π∈ Π. 此外，JT（x，π）≤dw（x）1- x的αβ∈ R+，π∈ π，T∈ N.的确，首先请注意，通过（U2），我们得到πT0（hT）=u（xT）- πT（hT））≤ u（xT）≤ dw（xT）≤dw（xT）1- αβ，hT∈ 嗯。（7）现在利用（5）和k:=T-1，vT（hT）：=dw（xT）/（1）- 算子LπT的αβ、（7）和单调性-我们得到了πT-1（LπT0）（hT）-1) ≤ LπT-1.dw1- αβ（hT）-1) ≤ dw（xT）-1） +αβdw（xT-1)1 - αβ=dw（xT-1)1 - αβ.继续这个过程，我们最终推断jt（x，π）=（Lπ）o . . . o LπT）0（x）≤ （Lπ）o . . . o LπT-2)dw1- αβ（十）≤ . . .≤ dw（x）+αβdw（x）1- αβ=dw（x）1- αβ.通过以上讨论→∞JT（x，π）对于每个x都存在∈ R+和π∈ Π.问题陈述。对于初始收入x∈ R+与政策π∈ 我们将有限时间范围内的非预期贴现效用定义为以下j（x，π）：=limT→∞JT（x，π）。（8）代理的目的是在有限的时间范围内找到非预期贴现效用的最优值（所谓的价值函数）和策略π*∈ 其中j（x，π）*) = supπ∈πJ（x，π），对于所有x∈ R+。备注1。当风险敏感系数γ→ 0+，则（8）中的非预期效用倾向于Brock和Mirman（1972）针对随机最优增长模型首次研究的冯·诺依曼·摩根斯坦预期效用。γ>0越大，风险规避者越多。我们在框架中使用的熵风险度量（见（3））也被称为指数确定性等价物。它可以用来研究具有鲁棒性偏好的模型。

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2022-5-9 05:22:15

这是因为，该度量具有稳健的表示，相对性作为惩罚函数，参见F¨ollmer and Schied（2004）或Ja!skiewicz and Nowak（2011b）。此外，正如Hansen和Sargent（1995）所指出的那样，这种递归的规范在风险敏感控制理论（见Whittle（1990））和Epstein和Zin（1989）使用的更普遍的递归效用规范之间架起了桥梁。3。为了解决上述问题，我们将使用动态规划方法。我们从定义一类函数开始，在这些函数中我们寻找最优方程的解。对于Borel可测函数v:R+7→ 将其w-范数定义为以下kVkw:=supx∈R+| v（x）| w（x）。设bw为所有Borel可测函数v:R+7的集合→ R与有限的w-标准一致。然后，（Bw，k·kw）是一个Banach空间（见Hern’andez Lerma和Lasserre（1999）中的命题7.2.1）。定义：={v∈ v是连续的，凹的，非递减的，非负的。注意，（B，k·kw）是作为Banach空间（Bw，k·kw）的闭子集的完备度量空间。现在我们准备好陈述我们的第一个结果。读者可参考Miao（2014）中的第20章，其中对该主题进行了详细讨论和进一步参考。定理1。假设（U1）-（U2）和（F1）-（F2）。然后，下面是霍尔德。（a）存在唯一的函数V∈ B和我*∈ Φ使得v（x）=supy∈[0，x]u（x）- y）-βγlnZR+e-γV（f（y，z））ν（dz）（9） =u（x）- 我*（x） )-βγlnZR+e-γV（f（i）*（x），z）对于所有x∈ R+。此外，V是严格的concav e。（b）函数x7→ 我*（x）和x7→ C*（x）：=x- 我*（x）是持续的，不减损的。（c） V（x）=supπ∈πJ（x，π）=J（x，i*) 为了所有的x∈ R+，即存在一个最优的固定极化*.在本节中，我们假设（U1）-（U2）和（F1）-（F2）是令人满意的。Westart的结果将在许多地方使用。引理1。让v∈ B

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2022-5-9 05:22:18

然后是函数7→ bv（y）：=-γlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）是连续的、凹的、非递减的、非负的。证据到（F1）我们有0≤ f（0，z）和0≤ v（0）≤ v（f（0，z））对于任意z∈ R+。因此，（P1）得到0≤ bv。此外，通过（F1），函数v（f（·，z））在每个z上都是非递减的∈ R+。因此，通过（P1），函数bv也是非递减的。同样地，再次利用（F1），我们发现v（f（·，z））对于每个z都是连续的∈ R+。因此，支配收敛定理暗示bv是连续的。最后，我们展示了bv的凹度。设y=λy′+（1）- λ） y′，其中λ∈ (0, 1). 通过（F1）它跟随着f（y，z）≥ λf（y′，z）+（1）- λ） f（y′，z），z∈ R+，并且通过v是非递减的凹的事实，我们得到了v（f（y，z））≥ v（λf（y′，z）+（1）- λ） f（y′，z））≥ λv（f（y′，z）+（1）- λ） v（f（y′，z）），z∈ R+。现在，属性（P1）和（P2）意味着bv（y）≥ -γlnZR+e-γ（λv（f（y′，z）+（1-λ） v（f（y′，z））ν（dz）≥ λbv（y′）+（1）- λ） bv（y′），（11）完成证明。引理2。假设我∈ Φ是一个非递减函数，因此x7→ 十、- i（x）也是不递减的。那么，无论如何∈ N函数x7→ JT（x，i）是不递减且连续的。证据注意，i是Lipschitz连续的，常数小于或等于1。我们按归纳法进行。对于T=1，断言为真（U1）。假设它适用于某些T∈ N.那么，JT+1（x，i）=u（x- i（x））-βγlnZR+e-γJT（f（i（x），z），i）ν（dz）。（12）现在结论如下，引理1假设（U1）。引理3。假设i=1,2时giare为非递减且非负。那么接下来呢-γlnZR+e-γ（g（f（y，z））+g（f（y，z）））ν（dz）≤-γlnZR+e-γg（f（y，z））ν（dz）-γlnZR+e-γg（f（y，z））ν（dz。证据这个不等式来自附录中的命题1。它需要定义：=f（y，ξ），其中ξ是分布ν的随机变量，h:=e-γg，g:=e-γg。

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2022-5-9 05:22:21

对于任何v∈ B、我们将运算符L定义为以下Lv（x）：=supy∈[0，x]u（x）- y）-βγlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）（13）为了所有的x∈ R+。引理4。算子L把B映射成它的El f，并且是收缩的。证据让v∈ B.首先注意，通过（U2）和（F2），我们得到了klvkw≤ d+αβkvkw，通过（U1）和引理1，我们得到了Lv≥ 0（另见（5））。此外，通过（U1）和引理1，函数（x，y）7→ u（x）- y） +βbv（y）在D上是连续的。因此，极大值定理（见Berge（1963））暗示Lv是连续的。接下来，我们观察到，对于x′<x′，我们有lv（x′）≤ supy∈[0，x′（u（x′）- y） +βbv（y））≤ Lv（x′）。我们现在证明Lv是凹的（另见B–auerle和Rieder（2011）第2.4.4节）。让λ∈ （0,1），x′，x′∈ R+和x:=λx′+（1）- λ） x′\'。是的∈ [0，x′和y′的∈ [0，x′我们分别表示（13）中在x′和x′处达到最大值的点。那么，y:=λy′+（1）- λ） y′\'∈ [0，x]。因此，我们得到lv（x）≥ u（x）- y）-βγlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz。（14）此外，通过（U1）我们得到了u（x）- y） >λu（x′）- y′）+（1- λ） u（x′）- y′）。（15）现在将（14）与（15）和（11）结合，我们最终得到了Lv（x）>λLv（x′）+（1）- λ） Lv（x′）。只剩下证明L是收缩的。假设v，v∈ B.然后，Lv（x）- Lv（x）≤ supy∈[0，x]-βγlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）+βγlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）≤ βsupy∈[0，x]-γlnZR+e-γkv-vkww（f（y，z））-γv（f（y，z））ν（dz）+γlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）≤ βsupy∈[0，x]-γlnZR+e-γkv-vkww（f（y，z））ν（dz）ZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）+γlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）= βsupy∈[0，x]-γlnZR+e-γkv-vkww（f（y，z））ν（dz）≤ βsupy∈[0，x]ZR+kv- vkww（f（y，z））ν（dz）（由詹森不等式）≤ αβkv- vkww（x）（由（F2）构成）。第二个不等式来自性质（P1），第三个不等式来自引理3（g=kv）- vkww，g=v）以及w和vare不递减的事实。用vwe获得的VLV改变VW的磁极- Lvkw≤ αβkv- vkw，其中αβ<1。定理1的证明。第（a）部分来自引理4和应用于算子L的Banach固定点定理。

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能者818

2022-5-9 05:22:24

因此，（9）成立。此外，请注意，V是严格凹的，因为（15）中有严格的不等式。因为，通过引理1和（U1）函数y7→ u（x）- y）-βγlnZR+e-对于x，γV（f（y，z））ν（dz）在[0，x]上是连续且严格凹的∈ R+，因此存在唯一点y*∈ [0，x]实现了（9）右侧的最大值。因此，根据极大值定理（见Berge（1963））存在一个唯一的连续函数i*∈ Φ达到（9）中的最大值。此外，Balbus等人（2015）中u和引理3.2的严格凹性（另见Topkis（1978）中的定理6.3）暗示函数*是非递减的。此外，观察（9）可以重新表述为以下v（x）=supa∈[0，x]u（a）-βγlnZR+e-γV（f（x）-a、 z）ν（dz）, 十、∈ R+。Balbus等人（2015）中的假设（U1）和严格凹V和引理3.2*∈ Φ也是非递减的。显然，c*（x） +i*（x） =x每x∈ R+。因此，（b）部分是正确的。第（三）部分。从（9）开始，它跟在v（x）后面≥ u（x）- y）-βγlnZR+e-γV（f（y，z））ν（dz），y∈ [0，x]和x∈ R+。设π=（πk）k∈N∈ 任何投资政策。那么，对于任何历史而言∈ 香港，k∈ N、上面的显示意味着V（xk）≥ LπkV（hk）。（16）修正任何错误∈ N.从（16）开始计算k:=T，并连续应用（16）计算k=T- 1.1我们推断v（x）≥ （Lπ）o . . . o LπT）V（x）。自从V≥ 对于每个πk，k，0和Lπkis单调∈ N、我们得到v（x）≥ （Lπ）o . . . o LπT）V（x）≥ （Lπ）o . . . o 对于任意π，LπT）0（x）=JT（x，π），（17）∈ π和x∈ R+。让T→ ∞ 在（17）中，我们最终得到了V（x）≥ 任意π的J（x，π）∈ x和∏∈ R+。因此，V（x）≥ supπ∈πJ（x，π）x∈ R+。（18）让我*∈ Φ应如（10）所示。

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2022-5-9 05:22:28

为了便于记谱，我们设置了用户界面*（x）：=u（x）- 我*（x））和任何非负函数∈ Bwρi*,x（~n）：=-γlnZR+e-γ~n（f（i）*（x），z）ν（dz），Li*ν（x）：=ui*（x） +βρi*,x（~n），x∈ R+。因此，（10）的右边等于*V（x）=ui*（x） +βρi*,x（V），x∈ R+。通过迭代后一个等式T- 1次我们得到v（x）=L（T）i*V（x），x∈ R+，（19）式中，L（T）i*表示运算符Li的第T个组合*和它自己。因此，（19）、性质（P1）和詹森不等式以及（F2）（另见（4））产生了V（x）=L（T）-1）我*（ui）*+ βρi*,·（V）（x）≤ L（T）-1）我*（ui）*+ βρi*,·（千伏千瓦）x（20）≤ L（T）-1）我*（ui）*+ αβkVkw（x）=L（T-2）我*（ui）*+ βρi*,·（ui）*+ αβkV（kww））（x）对于x∈ R+。现在把g:=ui*= J（·，i）*), g： =引理3中的αβkV kww，我们有βρi*,x′（ui）*+ αβkww）≤ βρi*,x′（ui）*) + βρi*,x′（αβkww）（21）≤ βρi*,x′（ui）*) + （αβ）kww（x′，x′）∈ R+，其中第二个不等式是由Jensen不等式和假设（F2）引起的（另见（4））。因此，不等式（20）和（21）结合在一起≤ L（T）-2）我*（ui）*+ βρi*,·（ui）*) + （αβ）kww（x）（22）=L（T）-3）我*（ui）*+ βρi*,·（ui）*+ βρi*,·（ui）*) + （αβ）kVkw（x）。我们重复这个过程。从引理2到函数x7→ J（x，i）*) = 用户界面*（x） +βρi*,x（用户界面）*)是非递减的。因此，再次利用引理3（g:=J（·，i）*), g:=（αβ）kVkw），Jensen不等式和（F2）我们得到βρi*,x′（ui）*+ βρi*,·（ui）*) + （αβ）kww（23）=βρi*,x′（J·，i）*) + （αβ）千伏（千瓦）≤ βρi*,x′（J·，i）*)) + βρi*,x′（（αβ）kww）≤ βρi*,x′（J·，i）*)) + （αβ）kww（x′，x′）∈ R+。通过结合（22）和（23），我们得到了v（x）≤ L（T）-3）我*（ui）*+ βρi*,·(J·,i)*)) + （αβ）kww（x）=L（T）-3）我*(J·,i)*) + （αβ）kww（x）=L（T）-4）我*（ui）*+ βρi*,·(J·,i)*) + （αβ）kVkw（x）。重复这个过程，例如，对函数g=Jk（·，i）使用引理3*)（通过引理2，它是非递减的）和g:=（αβ）kkV-kwk=3，T- 1我们最终得出结论（x）≤ JT（x，i）*) + （αβ）TkV kww（x），x∈ R+。

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2022-5-9 05:22:31

（24）因此→ ∞ 在（24）中，它紧跟着V（x）≤ J（x，i）*) 十、∈ R+。（25）现在，（18）和（25）结合在一起产生（c）部分。4.欧拉方程本节致力于建立欧拉方程。因此，我们需要额外的条件来保证描述模型的函数的差异性。（U3）函数u:R+7→ R+在R++上是连续可微的。（U4）u′+（0）=∞ .（F3）函数f（·，z）：R+7→ R+在R++上是连续可微的。（F4）f（0，z）=0表示所有z≥ 0.（F5）存在一个y>0的投资，使得zr+f′（y，z）ν（dz）>0，其中f′（y，z）：=f（y，z）y、假设（F5）和（F1）排除了f（y，z）=0ν-a.s.对于每个y∈ R+。定理2。假设（U1）-（U4）和（F1）-（F5）。然后，我们有以下内容。（a）为了一个y x∈ R++欧拉方程holdsu′（c*（x））=βRR+e-γV（f（i）*（x），z）u′（c*（f（i）*（x） f′（i*（x），z）ν（dz）RR+e-γV（f（i）*（x）其中V是定理1中得到的函数。（b）函数x7→ 我*（x）和x7→ C*（x）正在增加。备注2。与标准预期效用情况相比，具有风险敏感性偏好的代理的欧拉方程包含了价值函数V。当γ=0时，方程（26）成为具有预期效用的模型的著名欧拉方程，见Brock和Mirman（1972）或Kamihigashi（2007）。让我们来定义v（y）：=-γlnZR+e-γV（f（y，z））ν（dz。（27）在随后的引理中，我们假设条件（U1）-（U4）和（F1）-（F5）成立。注意，根据Stokey等人（1989）的定理7.4，函数z 7→ f′（y，z）是可测的。引理5。（27）中定义的函数B是凹的、连续的且无n递减。此外，bV′+（0）=∞ . （28）证据。第一部分来自引理1。按任意顺序→ 0+作为n→ ∞.通过（F4）和u（0）=0的事实，我们得到V（0）=0和bv（0）=0。

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2022-5-9 05:22:36

因此，bV（yn）-bV（0）yn=-γynlnZR+e-γV（f（yn，z））ν（dz）≥ -γlnZR+e-γu（f（yn，z））ynν（dz）。（29）根据链式法则，我们得到了任意z∈ R+thatu（f（yn，z））yn=u（f（yn，z））- u（0）f（yn，z）- f（0，z）f（yn，z）- f（0，z）yn。（30）出租→ ∞ 在（30）中，我们得到了thatlimn→∞u（f（yn，z））yn=u′+（f（0，z））f′+（0，z）。（31）注意，（31）中的收敛是单调的，因为u和f（·，z）是凹的，f（·，z）对于z是非递减的∈ R+。通过单调收敛定理（29）和（31），我们最终得到bv′+（0）≥ -γlnZR+e-γu′+（0）f′+（0，z）ν（dz）。假设（F5）和（F1）一起得出f′+（0，z）>0。因此，通过（U4），断言如下。引理6。让我*在（10）中定义。然后，我*（十）∈ （0，x）对于任何x∈ R++。证据我认为*（x）根据假设（U4）得出>0，而（28）yieldsi*（x） <x.读者参考Kamihigashi（2007）中的引理5。引理7。函数V在R++和V′（x）=u′（c）上是连续可微的*（x）），x∈ R++。证据展示平等性的方式与Stachurski（2009）中对命题12.1.18和推论12.1.19的证明是一样的。定理2的证明。首先我们展示第（一）部分。根据引理7和（9），可以证明在R++上bV是可微的，在y=i时βbV′（y）是可微的*（x）等于（26）的右手边。因为引理5是凹的，所以我们知道存在右手边和左手边的导数。让我来∈ R++可以是任意的，h>0。

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2022-5-9 05:22:40

SetF（y，z）：=e-γV（f（y，z））RR+e-γV（f（y，z））ν（dz）>0，注意对于任何y，zr+f（y，z）ν（dz）=1∈ R++。然后，通过引理7和（F4）bV（y+h）-bV（y）h=-γhlnRR+e-γV（f（y+h，z））ν（dz）RR+e-γV（f（y，z））=-γhlnZR+e-γ（V（f（y+h，z））-V（f（y，z）））f（y，z）ν（dz）≤ZR+V（f（y+h，z））- V（f（y，z））hF（y，z）ν（dz）=ZR+V（f（y+h，z））- V（f（y，z））f（y+h，z）- f（y，z）f（y+h，z）- f（y，z）hF（y，z）ν（dz）≤ZR+V′（f（y，z））f′（y，z）f（y，z）ν（dz）=:G（y），其中第一个不等式是由Jensen不等式引起的，第二个不等式是由V和f（·z）表示z的事实得出的∈ R+呈凹形且不递减。因此，对于y来说∈ R++bV′+（y）≤ G（y）。（32）现在让我们考虑一下bV的左侧导数，即bV（y）- h）-bV（y）-h=γhlnRR+e-γV（f（y）-h、 z）ν（dz）RR+e-γV（f（y，z））≥ZR+V（f（y）- h、 z））- V（f（y，z））-hF（y，z）ν（dz）=ZR+V（f（y）- h、 z））- V（f（y，z））f（y- h、 z）- f（y，z）f（y）- h、 z）- f（y，z）-hF（y，z）ν（dz）≥ZR+V′（f（y，z））f′（y，z）f（y，z）ν（dz）=G（y）。因此，对于y来说∈ R++bV′-（y）≥ G（y）。（33）观察G是连续的。这是由于引理7，（F1），（F4）和支配收敛定理。因为bv是凹的并且（32）和（33）保持不变，那么对于h>0，我们得到（y+h）≤bV′-（y+h）≤bV′+（y）≤ G（y）≤bV′-（y）≤bV′+（y）- h）≤ G（y）- h）。（34）现在让h→ 在（34）中，bv在R++上是连续可微的。为了证明（b）假设x′<x′。如果x′=0，那么通过引理6我们得到*（x′）=0<i*（x′）和c*（x′）=0<c*（x′）=x′\'- 我*（x′）。因此，设x′>0和i*（x′）=i*（x′）。然后，通过欧拉方程（26），我们得到了u′（x′）- 我*（x′）=u′（x′）- 我*（x′）。但这个等式不能成立，因为u是严格凹的。同样，如果c*（x′）=c*（x′），那么通过引理7，我们必须有V′（x′）=u′（c）*（x′）=u′（c）*（x′）=V′（x′）。然而，这种平等与V的严格凹性相矛盾。5.

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nandehutu2022

2022-5-9 05:22:43

平稳分布在本节中，我们将考虑当代理遵循最优策略i时增长模型的动力学*∈ Φ. 我们的目标是提供一组假设，在这些假设下，系统是全局稳定的，由此产生的平稳分布是非平凡的，因为它不集中在零上。我们希望遵循西村（Nishimura）和斯塔丘斯基（Stachurski，2005年）研究的方法，并由Kamihigashi（2007年）和斯塔丘斯基（Stachurski，2009年）进一步发展。它结合了欧拉方程（见（26））和马尔可夫链的福斯特李雅普诺夫理论。更准确地说，我们处理processxt+1=f（i*（xt），ξt，（ξt）t∈Nis i.i.d.序列，其中ξt~ ν ∈ Pr（R+）（35）和f:R+×R+7→ R+是连续的。显然，（xt）t∈这是一个马尔可夫过程。假设每y的f（y，z）>0∈ 并利用我*（十）∈ （0，x）对于x>0，我们可以在R++上研究收入过程（见Stachurski（2009）第303页）。我们证明了至少一个平稳非平凡分布的存在性。根据附录中的命题2，我们必须找到一个函数W:R++7→ R+满足性质（a）和（b）。由于我们希望避免重复上述论文中包含的所有细节，我们只关注证明中使用欧拉方程的一个元素。这是因为，我们框架中的欧拉方程与预期效用情况下得到的方程不同。因此，我们仅以最简单的方式制定关键条件。

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2022-5-9 05:22:48

读者可以参考Kamihigashi（2007）和Stachurski（2009），其中提供了详细的讨论和更一般的条件，暗示了下面给出的条件。（D1）令人满意的是→0+ZR+βf′（y，z）ν（dz）<1。（D2）存在λ∈ （0，1）和κ>0使得Zr+f（y，z）ν（dz）≤ λy+κ，y∈ R+。在这里，我们想提到的是，假设（D1）防止概率质量逃逸到单位，而假设（D2）的作用是防止概率质量逃逸到零。引理8。假设（D1）。那么，对于W（x）：=pu′（c*（x））e-γV（x），x∈ R++，存在λ∈ （0,1）和κ>0使得Zr+W（f（i*（x），z）ν（dz）≤ λW（x）+κ，x∈ R++。证据首先注意，通过柯西-施瓦兹不等式，它遵循Zr+W（f（i*（x），z）ν（dz）=ZR+“u′（c*（f（i）*（x），z）e-γV（f（i）*（x） βf′（i*（x），z）βf′（i）*（x），z）RR+e-γV（f（i）*（x），z）ν（dz）RR+e-γV（f（i）*（x），z）ν（dz）#ν（dz）≤“ZR+u′（c*（f（i）*（x），z）e-γV（f（i）*（x） βf′（i*（x），z）RR+e-γV（f（i）*（x），z）ν（dz）ν（dz）#×“ZR+RR+e-γV（f（i）*（x） v（dz）βf′（i*（x），z）ν（dz）#，x∈ R++。（36）此外，应用（26）到（36）我们得到了Zr+W（f（i*（x），z）ν（dz）≤pu′（c）*（x） )ZR+ν（dz）βf′（i）*（x），z）ZR+e-γV（f（i）*（x），z）ν（dz）≤pu′（c）*（x） )ZR+ν（dz）βf′（x，z）, （37）第二个不平等是由于V≥ 0和（F1）（f′（·，z）对z是非递增的∈ R+。从假设（D1）可知，存在δ>0，因此λ：=eγ/2V（δ）ZR+ν（dz）βf′（δ，z）< 1.那么，对于x∈ （0，δ）我们有e-γ/2V（x）eγ/2V（δ）≥ 因此，由（37）ZR+W（f（i*（x），z）ν（dz）≤qu′（c）*（x））e-γV（x）eγ/2V（δ）ZR+ν（dz）βf′（δ，z）≤ λW（x）。（38）对于x≥ δ我们有zr+W（f（i*（x），z）ν（dz）≤锆+u′（c）*（f（i）*（δ），z）e-γV（f（i）*（δ），z））ν（dz）=：κ。（39）不等式（38）和（39）结合在一起得出结论。从引理8和（D2）我们推导出函数W（x）=W（x）+x，x∈ R++用λ：=max{λ，λ}和κ：=κ+κ满足命题2中的点（b）。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:22:51

显然，从（U4）可以看出，条件（a）也是满足的。因此，在（35）中，马尔可夫过程存在一个非平凡分布。最近，Kamihigashi（2007）、Nishimura和Stachurski（2005）以及Stachurski（2009）研究了平稳分布的唯一性问题，即全局稳定性。因此，我们在此不给出所有这些假设，而是参考上述工作。Meyn和Tweedie（2009年）、Bhattacharya和Majumdar（2007年）以及Kamihigashi和Stachurski（2014年）、Zhang（2007年）最近的论文中也有关于不变分布的进一步结果。备注3。如果收益过程在紧空间[0，\'s]上演化，则假设（U2）和（F2）满足w≡ 1.因此，第3节和第4节的结果是令人满意的，尤其是最佳投资政策是非减递增。在这种情况下，非平凡不变分布的存在源自Krylov-Bogolubovtheorem，例如，参见Stachurski（2009）中的定理11.2.5。下面我们提供了两个实用和生产函数的例子，它们符合我们在第3-4节中使用的假设。例1。具有乘性冲击的模型。假设过程按照差分方程xt+1=yθtξt，t发展∈ N、 θ在哪里∈ (0, 1). 假设\'z:=RR+zν（dz）是有限的，让u（a）=aσ和σ∈ (0, 1).显然，（U1）和（F1）是满足的。假设（U2）适用于w（x）=（r+x）σ，其中≥ 1是一个常数，足够大，因此1+\'z1-θr！σβ < 1.然后，对Ja\'skiewicz和Nowak（2011b）中第263页的计算表明，（F2）也包含α：=1+/z1/1-θrσ. 我们还注意到（U3）-（U4）和（F3）-（F5）都成立。对于该模型，也满足条件（D1）和（D2）。显然，rR+1/zν（dz）的完整性意味着（D1）。

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2022-5-9 05:22:55

现在定义κ：=max{z，\'z1-θ(1 - θ)}, λ:= θ.那么，对于y来说≤ 1我们有Zr+yθzν（dz）=yθ′z≤ \'z≤ θy+κ。集合l（y）：=θy- y>0时的zyθ+κ。此函数可获得最小的atymin=\'zy1-θ和l（ymin）≥ 因此，ZR+f（y，z）ν（dz）=zyθ≤ λy+κ表示所有y∈ R+。例2。具有附加冲击的模型。让这个过程的演变用公式xt+1来描述=ηyt+ξt，如果yt>0,0，如果yt=0，t∈ N、其中η>0表示恒定的增长率。显然，（F1），（F3）-（F5）成立。如例1所示定义实用程序。然后，（U2）用anyr表示w（x）=（x+r）σ≥ 1.现在，我们证明假设（F2）。也就是说，根据詹森不等式，它遵循了∈[0，x]ZR+（ηy+z）ν（dz）≤ （ηx+/z+r）σ。因此，supx∈R+（ηx+\'z+R）σw（x）=（s（x））σ，其中s（x）：=ηx+\'z+rx+R，x∈ R+。我们有Limx→0+s（x）=1+zr，limx→+∞s（x）=η。如果η>1，那么根据第264页Ja\'skiewicz和Nowak（2011b）中的计算，它遵循r>max{1，\'zη的计算-1} 条件（F2）适用于所有β∈ （0，1）其中βησ<1（此处α：=ησ）。另一方面，如果η≤ 1，则（F2）满足每个β∈ (0, 1).也就是说，对于给定的贴现系数，足够大的r≥ （1+/zr）σβ<1的情况。显然，α：=（1+\'zr）σ。在这种情况下，不满足假设（D1）。然而，在其他技术的帮助下，在一些额外的要求下，可以证明不变分布的存在，例如，参见Stachurski（2009）或Meyn and Tweedie（2009）中的第207页和第259页。附录Devroye等人（1996）（定理A.19）给出了以下结果。提议1。设X为定义在上的实值随机变量(Ohm, F、 P）设g为非递增实值函数。

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2022-5-9 05:22:58

然后，E{h（X）g（X）}≥ E{h（X）}E{g（X）}，前提是所有期望都存在且是有限的。关于下一个结果的证明，读者可以参考Kamihigashi（2007）（Lemma3.1）或Stachurski（2009）（推论11.2.10）。提议2。考虑马尔可夫定义过程（35）。假设存在一个函数W:R++7→ R+使得（a）limx→∞W（x）=∞ 还有limx→0+W（x）=∞（b）κ > 0, λ ∈ [0, 1), 十、∈ R++ZR+W（f（i）*（x），z）ν（dz）≤ λW（x）+κ。然后，R+上至少存在一个非平凡平稳分布。参考文献Alvarez F.，N.Stokey，齐次函数动态规划，J.Econ。理论82（1998），167-189。Anderson，E.W.，风险敏感分配的动态，J.Econ。理论125（2005），93-150。Anderson，E.W.，L.P.Hansen，T.J.Sargent，《风险敏感/稳健经济的小噪声方法》，J.Econ。戴恩。控制36（2012），468-500。Balbus，L.，A.Ja\'skiewicz，A.S.Nowak，具有拟双曲贴现的动态选择模型中的鲁棒马尔可夫完美均衡。摘自：Haunschmied，J.等人（编辑）《经济学中的动态博弈》，第1-22页，《经济学和金融学中的动态建模与计量经济学》16。Springer Verlag，柏林海德堡，2014年。Balbus，L.，A.Ja\'skiewicz，A.S.Nowak，随机利他增长经济中平稳马尔可夫完美均衡的存在性。J.Optim。理论应用。165 (2015), 295-315.B–auerle，N.，U.Rieder，马尔可夫决策过程及其在金融中的应用。柏林海德堡，2011年。贝克尔，R.A.，J.H.博伊德，资本理论，均衡分析和递归效用。布莱克威尔出版社，纽约，1997年。Berge，E.，拓扑空间。麦克米伦，纽约，1963年。《随机动力系统，理论与应用》，剑桥大学出版社，2007年。Boyd，J.H.，递归效用和拉姆齐问题，J.Econ。理论50（1990），326345。布罗克，W.A.，L。

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mingdashike22

2022-5-9 05:23:01

米尔曼：《最优经济增长与不确定性：贴现案例》，J.Econ。理论4（1972），479-513。Devroye，L.，L.Gy–or fi，G.Lugosi，模式识别的概率理论。斯普林格·维拉格，纽约，1996年。杜兰，J.，关于收益无限的动态规划，经济学。理论15（2000），339-352。杜兰，J.，贴现随机动态计划中的长期平均增长，经济学。理论22（2003），395-413。Epstein，L.G.，S.E.Zin，《替代、风险规避与消费和资产回报的时间行为：一个理论框架》。《计量经济学》第57卷（1989），937-969页。《随机金融学》，离散时间导论。德格鲁伊特，柏林，2004年。汉森，L.P.，T.J.萨金特，贴现线性指数二次高斯控制，IEEE Trans。自动驾驶。控制40（1995），968-971。Hern’andez Lerma，O.，J.B.Lasserre，关于离散时间马尔可夫控制过程的进一步主题。斯普林格·维拉格，纽约，1999年。Ja\'skiewicz，A.S.Nowak，《收益无限的贴现动态规划：经济模型的应用》，J.数学。肛门。阿普尔。378（2011a），450-462。Ja\'skiewicz，A.S.Nowak，报酬无界的随机博弈：经济学中的鲁棒控制应用，Dyn。游戏应用。1（2011b），253-279。Kamihigashi，T.，效用有界或无界以及冲击有界或无界的随机最优增长，J.Math。经济部。43 (2007), 477-500.Kamihigashi，T.，J.Stachurski，《单调经济中的随机稳定性》，Theoret。经济部。9 (2014), 383-407.Le Van，C.，L.Morhaim，收益有界或无界的最优增长模型：Aunizing方法，J.Econ。理论105（2002），158-187Martins-da-Rocha，V.F.，Y.Valakis，局部收缩定点的存在性和唯一性，计量经济学78（2010），1127-1141。J.马特科夫斯基，A.S.诺瓦克，关于收益无限的贴现动态规划，经济学。

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