如果Arrow证券的首次到期日为1.001美元，则Arrow证券的首次到期日为1.001美元。用上一节介绍的抵消力解释结果。对于具有完全无信息先验的做市商而言，第二个因素在很大程度上主导了第一个因素。第一个因素是无能为力的，因为有了统一的优先权，做市商在一个州遭受损失的风险不会比在其他州更大。在第二种力量的支配下，做市商不接受任何指令。相反，对于具有指数周期的做市商来说，第一个因素要强得多。First t、second和third s State获得的概率权重非常小。因此，做市商将出售第一只证券视为一个机会，可以获得每股0.18美元的无风险收益。根据类似的推理，做市商对接受第五次订单有强烈的抑制作用。结果与这种直觉一致。图3显示，具有指数优先权的市场制造商只接受第一、第二和第三订单。6 KPM的优势：实证讨论基于从市场微观结构理论的角度对平价拍卖商的深入了解，我们讨论做市商为什么可能希望基于KPM组织衍生市场。6.1为什么要自动化？KPM是一家自动做市商。自动做市商相对于人工做市商的主要优势在于其几乎同时更新数十种相关证券报价的能力。

这种能力降低了逆向选择成本，从而使市场庄家能够向客户提供更具竞争力的报价。在当今日益电子化和自动化的交易环境中，做市商快速更新报价的能力越来越重要。市场参与者对新信息的到来做出反应的各种速度代表了信息不对称的来源（Foucault et al.，2003；Litzenberger，2012）。尤其是，对新信息反应迟钝的流动性供应商可能会使其陈旧的报价容易受到高频交易员的不利选择（Hendershott和Riordan，2013）。比任何人都更快地响应新信息的竞争已经变得如此激烈，以至于交易公司想要把他们的计算机放在交易所匹配机器所在的大楼里：光从他们的计算机传输到匹配机器所需的时间（Litzenberger，2012）。鉴于这种异常频繁的交易环境，q-uote更新流程的自动化对于流动性供应商的生存至关重要。对于参与多个相关市场的做市商来说，这种不利的选择成本变得尤为重要：报价需要彼此一致，以确保没有套利机会。随着需要处理的信息越来越多，自动做市商相对于人工做市商的比较优势只会变得更加重要（Gerig and Michayluk，2013）。KPM是一种自动算法，通过该算法，流动性供应商可以在考虑各种因素的情况下快速为多个连续索赔定价。

由此产生的价格反映了市场制造商的风险厌恶和模糊厌恶，同时确保不存在任何风险机会。6.2同等燃料拍卖的其他众所周知的优势首先，ISE对PDCA感兴趣，主要是因为同等燃料市场可以有效地降低交易对手风险（Burne，2013）。ari mutuel拍卖人可以被视为中央结算对手（CCP）。特别是，pari mutuel拍卖行是在多个或有债权市场中运营的常见CCP。一位拍卖师处理多个市场的事实，使得pari mutuel市场能够更好地降低交易对手风险。其次，拍卖的表现优于其他交易平台，尤其是在低流动性环境下。拍卖会将分散在多个单独市场的流动性集合到共同池中。最后，在多个市场拥有共同的做市商可以提高价格效率（Lange和Economide，2005）。详情请参见附录。6.3潜在的应用领域KPM预计将对期权市场有用，在这些市场中，不可能对做市商的股票进行定价。KPM解决了一个对最坏情况下的稳健优化问题。特别是，推论1表明，当Ohm 它很大。如果市场完全平等，做市商不会损失任何资金，无论到期时发生了什么。因此，无法对投资进行套期保值就变得不那么重要了。有两个特定的期权市场，其中增量对冲可能特别不可行。第一个例子是标的资产不可交易的期权（例如，写在美国非农就业名单上的市场预测衍生品）（Baron and Lange，2007）。

s econdexample是一种到期时间极短的期权，因为elta波动太大（Baron and Lange，2007）。7结论在本文中，我们首先表明凸型对等回调拍卖机制（CCPAM）的市场清算策略与对未来或有事件具有极端模糊厌恶的做市商的市场清算策略是渐近等价的。由于CPC AM与文献中其他值得注意的pari mutuel拍卖密切相关，我们将这一结论作为论证pari mutuel拍卖与模糊厌恶密切相关的基础。基于这种理解，我们设计了一个新的未定权益交易市场，即KnightianPari mutuel机制（KPM）。KPM的主要优化问题是，如果市场庄家坚持模糊厌恶下的决策理论，他/她应该解决什么问题。该算法在控制做市商的风险水平和模糊性的同时清理市场。Du ffee和Z hu（2011）表明，如果同一CCP参与多个市场，交易对手风险可以得到更好的管理。Baron和Lange（2007）也认为PDCA适用于三角洲对冲困难的市场。厌恶我们提出了一个多项式时间算法来解决这个优化问题。我们的论文可能有助于促进贸易界采用对等机制。

正如罗伯特·希勒（Robert Shiller）曾经指出的那样，对等机制在启动各种各样的创新衍生品市场方面尤其有用，从而使投资者能够对冲新的基本面风险（Baron and Lange，2007）。8附录8。假设有一个瓮，里面有红色、蓝色和绿色的球，其中总共有90个。虽然瓮中有30个红色球，但DM不知道蓝色球或绿色球的确切数量。假设有五张彩票。当且仅当theDM从骨灰盒中抽出一个红球时，乐透R支付1美元。彩票B和彩票G在他/她分别抽一个蓝球和一个绿球的情况下支付1美元。同样，彩票RB支付1美元，当且仅当红球或蓝球中的任何一个被抽中时。当且仅当蓝球或绿球被抽中时，彩票BG支付1美元。实证研究表明，大多数人更喜欢R彩票而不是B或G彩票。此外，大多数人更喜欢BG彩票而不是RB彩票。众所周知，这一实证结果与萨维奇的主观概率效用最大化理论相矛盾（萨维奇，1954）。让我们用定理1的语言重新表述DM的问题。所有可能的地产的集合是{red，blue，green}。结果集X是{0，1}，用美元表示。DMI对五种不同的行为感兴趣：fR、fB、fG、fRB和fBG。法案：S-→ X是一个映射，使得fR（红色）=1，fR（蓝色）=0，fR（绿色）=0。我们对其他四种行为的定义类似。在不知道蓝球或绿球的确切数量的情况下，DM无法将单个概率分布附加到S。

假设DM的候选集是ψ={（1/3，x，2/3）- 十）∈R | 0.1≤ 十、≤ 0.4}，其中1/3，x和2/3- x分别是红球、蓝球和绿球的机会。让我们来看看-→ R表示DM的效用函数。方程式（29a）和（29b）应该适用于DM选择彩票R而不是其他两种彩票。min0。1.≤十、≤0.4u（1）+u（0）≥ min0。1.≤十、≤0.4[x·u（1）+（1）- x） u（0）]（29a）min0。1.≤十、≤0.4u（1）+u（0）≥ min0。1.≤十、≤0.4- 十、· u（1）+（+x）·u（0）（29b）此外，方程式（30）必须适用于DM偏好彩票BG而非RB。min0。1.≤十、≤0.4u（1）+u（0）≥ min0。1.≤十、≤0.4+ 十、· u（1）+(- x） ·u（0）（30）只要效用函数不递减，方程（29a）、（29b）和（30）就成立。定理1成功地使理论与经验观察相一致。8.2定理2的证明如果我们假设i、 （3）是（31）的障碍问题。maxx，MbTx-Msuch（A）PJj=1Ai，jxj≤ 我为每一个我∈ {1,2，…，N}（B）0≤ 十、≤ Q（31）假设（31）的f可行集不是空的。在内点法中，将参数δ的值发送到零相当于沿原始-对偶中心路径减小对偶间隙。

因此，当δ接近零时，x（δ）应收敛到（31）的最优解（Luenberger and Ye，2008），我们将其表示为x*.（31）等于（32）。马克斯bTx- maxiPJj=1Ai，jxj使（A\'）0≤ 十、≤ Q（32）（32）相当于（33）。maxxminiuhbTx-PJj=1Ai，jxjisuch表示（A\'）0≤ 十、≤ Q（33）（33）相当于（34）。MaxxMinpPi=1piuhbTx-PJj=1Ai，jxjisuch表示（A\'）0≤ 十、≤ Q（B’）p≥ 0，PNi=1pi=1（34）8.3推论1的证明，假设wi=0i、 （8）收敛到（35）作为Ohm 增加到单位。maxξ，xminp-PNi=1piexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀我是这样认为的≥ 0，PNi=1pi=1（B）ξ≥ 0（C）PNi=1ξi=1（E1）J∈ {1,2，…，J}，xj=0如果在ξj> BJ（E2）J∈ {1,2，…，J}，xj∈ [0，Qj]如果在ξj=Bjbj（E3）J∈ {1,2，…，J}，xj=Qjif在ξj<Bjbj（35）Letξ*还有x*分别表示优化（35）的ξ和x的值。定义一*as（36）。我*可能不是唯一定义的。在这种情况下，我们只需选择任意一个最小化的倍数- 扩展-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀i、 我*= 阿格迷你- 经验-αXJj=1x*J在ξ*J- 哎呀（36）考虑内部最小化问题。为了最小化目标函数，我们需要pi*= 1和pi=0表示i 6=i*. 如果我们用π代替*= 1和pi=0表示i 6=i*在（35）的目标函数中，我们得到（37）。- 经验-αXJj=1x*J在ξ*J- 艾岛*J= 迷你- 经验-αXJj=1x*J在ξ*J- 哎呀（37）如果我们将x=0代入（35）的目标函数，我们得到1。在此之前，（35）的目标函数（37）的最优值至少应等于1。迷你- 经验-αXJj=1x*J在ξ*J- 哎呀≥ 1（38）（38）等于（39）。miniXJj=1x*J在ξ*J- 哎呀≥ 0（39）PJj=1x*J在ξ*J- 哎呀是指如果第i个结果实现，做市商的货币回报。因此，miniPJj=1x*J在ξ*J- 哎呀是市场创造者可能收到的最糟糕的货币回报。

不平等（39）表明做市商即使在最坏的情况下也不会赔钱。市场是完全平等的。8.4引理的证明18.4.1内极小问题（40）的对偶问题是从（8）中分离出来的内极小问题。这个内部优化问题的最优值是ξ和x的隐函数。因为目标函数在p中是线性的，而ψ是凸集，所以这个问题是一个凸优化问题。明普∈ψPNi=1piziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀是（A）ψ=np吗∈ RN×1 | p≥ 0，PNi=1pi=1，PNi=1pi皮奇≤ Ohm在求解（40）时，o（40）x和ξ应被视为常数。为了简化符号，我们引入了新的常数。di=ziexp-αXJj=1xj在ξJ- 哎呀对于我∈ {1，…，N}（41）d=dd。。。dN然后，最小化问题（40）减少到（43）。使（A）p≥ 0（B）PNi=1pi=1（C）PNi=1pi皮奇≤ Ohm（43）最小化问题的范围如（44）所定义。D=P∈ RN | p>0（44）与问题（43）相关的拉格朗日是（45）。λ, λ,..., λN，u，ν是拉格朗日乘数。L（p，λ，u，ν）=dTp+NXi=1λi(-pi）+u（NXi=1磅）皮奇-Ohm)+ νNXi=1pi- 1.（45）与问题（43）相关的拉格朗日对偶函数是（46）。g（λ，u，ν）=infp>0L（p，λ，u，ν）（46）L（p，λ，u，ν）是每个pi的凸函数。一阶条件为L（p，λ，u，ν）pi=（di- λi+ν）+u1+ln皮奇= 0（47）1+ln皮奇= -di- λi+νu（48）pi=qiexp-1+λi- di- νu> 0（49）因为函数是凸的，（49）是全局极小值。我们将（49）替换为（46）。g（λ，u，ν）=NXi=1（di- λi）qie-1+λi-di-νu+NXi=1(-u+λi- di- ν） 切-1+λi-di-νu- uOhm + vNXi=1qie-1+λi-di-νu- v=NXi=1(-u）qie-1+λi-di-νu- uOhm - ν= -uNXi=1qie-1+λi-di-νu- uOhm - ν（50）与内部极小化问题相关的拉格朗日对偶问题是（51）。最大λ，u，ν-uPNi=1qie-1+λi-di-νu- uOhm - νs.t.λ。。。，λN≥ 0u ≥ 0（51）假设每个Qi为正。

u被假定为非零，因为它在（51）中作为分母出现。因此，（51）的目标函数随着λi的减小而减小。因此，每个λ的最佳值应为零。（51）减少到（52）。最大u，ν-uPNi=1qie-1.-di+νu- uOhm - νs.t.u≥ 0（52）8.4.2将强对偶性应用于内部最小化问题我们使用Palomar（2009）中提出的技巧来解决最大-最小问题。我们用对偶最大化问题来代替内极小问题。当且仅当强对偶成立时，这种替换才有效。然后，问题的整体结构是max-max，而不是max-min。双max结构可以崩溃为一个更传统的问题，只需要一个最大化算子。我们使用Boyd和Vandenberghe（2004）中的标准来确定是否存在强对偶。如果原始问题是凸的，d Slater条件成立，则强对偶成立。如果存在严格可行的p，Slater的条件成立∈ 重温。斯莱特的情况在我们的问题背景下成立，只要Ohm 是一个严格的正数（即p su ch，pi=qifor我是一个严格可行的解决方案）。

因此，强大的对偶性对于我们的内部极小化问题是成立的，只要Ohm 绝对是正面的。利用强对偶，我们的极大极小问题可以转化为（53）。最大ξ，x，dmaxu，ν-uPNi=1qie-1.-di+νu- uOhm - 使得（A）di=ziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀执行官我∈ {1，…，N}（B）u≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（53）两个最大化算子可以折叠成一个算子。最大ξ，x，u，ν，d-uPNi=1qie-1.-di+νu- uOhm - 使得（A）di=ziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀执行官我∈ {1，…，N}（B）u≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（54）8.4.3通过代数运算进一步简化由于（54）的目标函数是严格的凹函数，我们可以从一阶条件中找到全局优化值。-uNXi=1qi-uE-1.-di+νu- 1=0NXi=1qie-1.-di+νu=1e-νue-1NXi=1qie-diu=1-νu- 1+lnNXi=1qie-diu！=0ν*= -u+ulnNXi=1qie-diu！我们把（55）代入（54）的目标函数。-uNXi=1qie-1.-di+ν*u- uOhm - ν*= -uePNi=1qie-diuNXi=1qie-1.-二u- uOhm + u - ulnNXi=1qie-diu！=-u - uOhm + u - ulnNXi=1qie-diu！=-uOhm - ulnNXi=1qie-迪奥！（56）将（56）替换为（54）进一步模拟了这个问题。最小ξ，x，u，duOhm + ulnPNi=1qie-二u使（A）di=ziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀执行官我∈ {1，…，N}（B）u≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（57）我们定义了新的常数。θi=eOhmqi>0表示i（58）那么，（57）的目标函数可以更简洁地表示为μ的函数l (u) = uOhm + ulnNXi=1qie-diu！=ulnNXi=1qieOhmE-diu！=ulnNXi=1θie-迪奥！（59）然后优化问题变成：minξ，x，u，dulnPNi=1θie-二u使（A）di=ziexph-αPJj=1xj在ξJ- 哎呀执行官我∈ {1，…，N}（B）u≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（60）8.4.4约束的线性化（A）注意，（60）中的约束（A）涉及二次项spjj=1xj在ξJ

因此，在本节中，我们建议将该约束线性化。直觉上，xj在ξjis只是做市商从第j个订单中获得的收入。让我们看看做市商从第j张订单中获得的收入。xjis是期权交易的股份数量。在ξjis第j个订单的市场结算价格。为了开始转换，我们首先考虑x和ξ的可行集。我们说pairx和ξ是可行的，当且仅当这对满足（61）。（E1）J∈ {1,2，…，J}，xj=0如果在ξj> BJ（E2）J∈ {1,2，…，J}，xj∈ [0，Qj]如果在ξj=Bjbj（E3）J∈ {1,2，…，J}，xj=Qjif在ξ我们把注意力限制在第j命令上。图4显示了一组可行的对xjand在ξj、 该图只是（61）的图解。图5是一个三维图形。图表显示了做市商的收入，因为人工智能可以简单地忽略Qj=0的情况。我还可以简单地从优化问题中删除第j个顺序。图4:xjand（在ξ处）j的可行集填充量（xj）和市场结算价格的函数在ξj、 为了便于说明，图6将图5分为三个不同的区域。区域（1）对应于（61）中的约束（E1）。区域（2）和（3）分别对应于约束（E2）和（E3）。如果我们假设市场结算价格在ξ随着交易量的增加，做市商的收入变成了一个非线性项在ξjxj。然而，如果我们不注意图4中的可行设置，三个地区的市场清算价格或填充量都保持不变。

做市商的收入是一个线性函数。Rj=0如果在ξj> bjbjxjif在ξj=bjqj在ξ吉夫在ξj<bj（62）（62）等于（63）只要xjand在ξb延伸到图4所示的可行集。H在ξJ- bji+是maxn0的简写符号，在ξJ- 比乔。Rj=Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- Qjh在ξJ- 例如，考虑区域（1），其中在ξj> bj和xj=0。然后，（63）减少到（64）。图5：做市商从第j张订单中获得的收入，作为第j张订单的完成量和市场结算价格的函数在ξ处图6：做市商从第j张订单中获得的收入，作为第j张订单的完成数量和市场结算价格的函数在ξ注意（64）与（62）一致。Rj=Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- Qjh在ξJ- bji+=Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- Qjh在ξJ- 我们可以简化（63）：Rj=Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- Qjh在ξJ- bji+=minhQj在ξj+Bjbj（xj- Qj），Qj在ξj+Bjbj（xj- Qj）- 景儿峪组在ξJ- bjoi=minhQj在ξj+Bjbj（xj- Qj），bjxji（65）将（65）替换为（60）得到（66）。（66）中的约束（E）确保成对（x，ξ）在图1所示的可行集s内。由于这一限制，用分段线性项替换四次项是有效的。最小ξ，x，u，dulnPNi=1θie-二u以致（A）-di=-zieαPJj=1hxjAij-minnQj（ATξ）j+Bjbj（xj）-Qj），bjxjoifori（B）μ≥ 0（C）ξ≥ 0（D）PNi=1ξi=1（E）（x，ξ）∈ F（66）因为zi是负的，α是正的，（66）的约束（A）等价于（67）。- di=最大值-zieαPJj=1hxjAij-Qj（ATξ）j-bj（xj）-Qj）我，-zieαPJj=1[xjAij-BJXJ]（67）最小化（66）的目标函数，-必须最小化。因此，优化问题可以进一步归结为（68）。

请注意，约束（B）到（F）都是线性的。最小ξ，x，u，d，ζulnPNi=1θie-二u以致（A）-di=-zieζifori（B）ζi≥ αPJj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）执行部队i（C）ζi≥ αPJj=1[xj]- bjxj]用于uF（i）≥ 0（G）ξ≥ 0（H）PNi=1ξi=1（i）（x，ξ）∈ F（68）ζ∈ RN×1是一个虚拟变量。ζ=hζ。。。ζNi8。5优化问题（9）中引理2的证明，为了最小化目标(-di）需要缩小。定义一个新的向量ω∈ RN×1ω=[ω，…，ωN]因此，（9）等价于（69）。最小ξxuζωlnPNi=1θieωiu使得（A）ωi≥ -zieζifori（B）ζi≥ αPJj=1hxjAij- Qj在ξJ- bj（xj）- Qj）我，i（C）ζi≥ αPJj=1[xj]- bjxj]，i（D）u≥ 0（E）（x，ξ）∈ C（69）我的目标是证明（69）是一个凸优化问题。一个必要的初步步骤是说明满足（69）中约束（A）的ωi和ζi对构成一个凸集。引理3（69）中满足约束（A）的ωi和ζi对的集合形成一个凸集。证据定义一个新功能。F（ωi，ζi）=-ωi- 为了证明引理，必须证明函数F是凸的。黑森人是：F=FωiFωiζiFωiζiFζi=0 00 -齐ζi（71）因为Zi是负的，F是正半定义。因此，F是凸的。下一步是展示目标函数ulnPNi=1θieωiu它是凸的。定义一个新函数。G（ω，ω，…，ωN，u）=ulnNXi=1θieωiu！（72）在进行证明之前，我们给出了Boyd and Vandenberghe（2004）的一个非常有用的结果。。引理4将函数f（y）定义为（73），其中ak，y∈ Rn，bk∈ R.f（y）=lnKXk=1eaTky+bk！（73）f（y）是凸函数。因此，f（y）的Hessian必须是正半定义。引理5函数G是凸的，定义为（72）。证据注意，函数G可以表示为（74）。

μfixed，G的结构是ω，ω，…，的函数。。。，ωNis与（73）完全相似。G（ω，ω，…，ωN，u）=ulnxi=1euωi+lnθi！（74）对于ufixed，G是ω，ω，…，的凸函数。。。，ωN.因此，matrixin（75）的所有主要子代都是非负的。GωGωω...GωωNGωωGω...GωωN。。。GωNωGωNω...GωN（75）参见第162页的等式（4.44）为了证明引理，必须证明HessianG为正半限定。我们需要告诉大家G在（76）中是非负的。G=ωNμω。。。ωNuGω...GωωNGωu... ...GωNω...GωNGωNuGuω...GuωNGu（76）然而，因为我们已经知道（75）中矩阵的所有主要子项都是非负的，所以只需要证明一下Gu≥ 0和detG≥ 0.首先，我们展示Gu≥ 0找到G的第一个导数。Gu=lnNXi=1θieωiu！+uPNi=1θi-ωiueωiuPNi=1θieωiu=lnxi=1θieωiu！-uPNi=1θiωieωiuPNi=1θieωiu（77）求G的二阶导数。Gu=PNi=1θi-ωiueωiuPNi=1θieωiu+uPNi=1θiωieωiuPNi=1θieωiu-uPNi=1θieωiuPNi=1θi-ωiueωiu-PNi=1θi-ωiueωiuPNi=1θiωieωiuhPNi=1θieωiui（78）Gu=uPNi=1θieωiuPNi=1θiωiueωiu-PNi=1θiωiueωiuPNi=1θiωieωiuhPNi=1θieωiui=PNi=1θieωiuPNi=1θieωiu-hPNi=1θiωieωiuiuhPNi=1θieωiui（79）（79）的分母为正。因此，只剩下证明分子是非负的。

这一部分可以用柯西-施瓦兹不等式来表示。NXi=1qθieωiuNXi=1qθiωieωiu≥“NXi=1qθieωiu·qθiωieωiu#（80）∴Gu始终为非负。其次，我们展示了detG≥ 0.从（77）开始，我们计算Gωkuk∈ {1,2，…，N}。Gωku=ωk“lnNXi=1θieωiu！-uPNi=1θiωieωiuPNi=1θieωiu#=θkueωkuPNi=1θieωiu-uPNi=1θieωiu·ωkθkωkeωku-θkueωkuPNi=1θiωieωiuhPNi=1θieωiui=θkueωkuPNi=1θieωiu-uPNi=1θieωiuθkeωku+θkωkueωku-θkueωkuPNi=1θiωieωiuhPNi=1θieωiui=θkueωkuPNi=1θieωiu-θkeωku+θkωkueωkuPNi=1θieωiu+θkeωkuPNi=1θiωieωiuuhPNi=1θieωiui=-θkωkeωkuPNi=1θieωiuhPNi=1θieωiui+θkeωkuPNi=1θiωieωiuuhPNi=1θieωiui=θkeωkuPNi=1θiωieωiu- ωkPNi=1θieωiuuhPNi=1θieωiui=θkeωkuPNi=1θi（ωi- ωk）eωiuhPNi=1θieωiui（81）类似地，Gωk=ωkulnNXi=1θieωiu！=μθkueωkuPNi=1′θieωiu=θkeωkuPNi=1θieωiuGωk=ωkθkeωkuPNi=1′θieωiu=PNi=1θieωiu·θkueωku- θkeωku·θkueωkuhPNi=1θieωiui=θkeωkuPNi=1θieωiu- θkeωkuhPNi=1θieωiui提供j，k∈ {1，…，N}和J6=k，Gωjωk=ωjθkeωkuPNi=1θieωiu=PNi=1θieωiu·0- θkeωkuuθjeωjuhPNi=1θieωiui=-μθkθjhPNi=1θieωiuieωkueωju因此，G·，kin（82）显示了G

G·，1删除第一列，G·，2定义第二列，以此类推。G·k=Gωωk。。。Gωk。。。GωNωkGuωk=-θkeωkueωuPNi=1θieωiu...θkeωkuPNi=1θieωiu-θkeωkμPNi=1θieωiu...-θNθkeωkueωNuPNi=1θieωiuθkeωkuPNi=1θi（ωi-ωk）eωiuPNi=1θieωiu=θkeωkunPNi=1θieωiuo-θeωu。。。PNi=1θieωiu- θkeωku。。。-θNeωNuPNi=1θi（ωi- ωk）eωiu（82）考虑以下柱的线性组合。NXk=1ωkuG·，k=NXk=1ωkuGωωk。。。Gωk。。。GωNωkGuωk=NXk=1θkωkeωkunPNi=1θieωiuo-θeωu。。。PNi=1θieωiu- θkeωku。。。-θNeωNuPNi=1θi（ωi- ωk）eωiu=unPNi=1θieωiuoθωeωuPNi=1θieωiu- θeωuPNk=1θkωkeωku。。。θNωNeωNuPNi=1θieωiu- θNeωNuPNk=1θkωkeωkuPNk=1nθkωkeωkuPNi=1θi（ωi- ωk）eωiuo=unPNi=1θieωiuoθeωunPNi=1ωθieωiu-PNk=1θkωkeωkuo。。。θNωNnPNi=1ωNθieωiu-PNk=1θkωkeωkuouPNk=1nθkωkeωkuPNi=1θiωieωiu- ωkPNi=1θieωiuoNXk=1ωkuG·，k=unPNi=1θieωiuoθeωPNk=1θk（ω- ωk）eωku。。。θNωNPNk=1θk（ωN- ωk）eωkμnPNk=1θkωkeωkuo-nPNk=1θkωkuonPNk=1θkωkeωkuo（83）然而G是G·N+1=GωuGωu...GωNuGu=uhPNi=1θieωiuiθeωuPNi=1θi（ωi- ω） eωiμθeωuPNi=1θi（ωi- ω） eωiu。。。θNeωNuPNi=1θi（ωi- ωN）eωiuPNi=1θieωiuPNi=1θiωieωiu-uhPNi=1θiωieωiui（83）和（84）的组合产生（85）。NXk=1ωkuG·，k+G·N+1=...（85）因此G=dethG·，1G·，2。。。G·NG·，N+1i=dethG·，1G·，2。。。G·，NPNk=1ωkuG·，k+G·N+1i=dethG·，1G·，2。。。

G·，Ni=0（86），因为Gu和detG是非负的，G是凸函数。（9） 是一个凸优化问题，因为目标函数和可行集都是凸的。8.6定理3的证明从伪代码中可以看出，我们需要解决问题（27）的次数是∏Kk=1nk∏Kk=1nk≤ πKk=1J=JK（87）此外，众所周知，原则上，内点法可以解决问题维数多项式时间内的任何凸优化问题。因此，（27）在多项式时间内也应该是可解的。让τ(l, l, ..., lK） 表示解决问题所需的时间（27）。让T表示执行整个伪代码所需的时间。T=nXl=1nXl=1.nKXlK=1τ(l, l, ...l（K）≤ JKmaxl,l,...,lKτ(l, l, ...lK） 麦克斯l,l,...,lKτ(l, l, ...lK） 由J的多项式函数限定。因此，T也由J.8.7的多项式限定。Pari mutuel拍卖的其他众所周知的优势请参见Baron and Lange（2007）或Lange and Economide（2005）以获得更深入的讨论。在本小节中，我们简要介绍了pari mutuel拍卖和ourinsights的一些优势。8.7.1流动性聚合做市商可以通过参与多个市场来降低其库存持有成本。这种较低的库存持有成本使做市商能够以较低的成本向每个市场提供流动性。举例来说，考虑一个以消费者价格指数（CPI）为基础变量的奇异衍生市场。假设有两种期权：一种是行使率为0%的看涨期权，另一种是行使率相同的看跌期权。例如，如果CPI为1%，看涨期权支付1美元，而看跌期权不支付。我确信这两种选择都有压倒性的需求。首先，考虑两个市场分散的情况。每个市场都有一个经销商。

对每种期权的过度需求迫使做市商做空大量头寸。每个做市商的库存变得高度不平衡，使其面临重大风险。这种增加的库存成本导致每个市场的买卖价格上升，流动性下降（Stoll，1978）。相比之下，考虑让一个共同的做市商为两个市场服务。同时，在看涨期权和看跌期权中做空大量头寸的风险低于只做空一个期权。随着潜在变量的变化，看涨期权和看跌期权的价格会朝相反的方向移动。因此，持有看涨期权在一定程度上会影响持有看涨期权的风险，反之亦然。库存持有成本越低，各市场的买卖价差越小，流动性也越强。这种效应被称为“流动性聚集”，因为这就好像共同做市商正在将每个市场的稀缺流动性聚集到共同池中（Lange and Economide，2005；Baron and Lange，2007）。在引入新的创新衍生市场时，对总流动性的能力尤其重要（Shiller，2008）。一个重要原因是，在组织金融市场时，存在强大的网络外部性效应（Stoll，1992）。人们希望在其他人也倾向于交易的地方进行交易（斯托尔，1992；希勒，2008）。因此，新市场很难在一定阈值以上聚集足够数量的参与者，以确保市场平稳运行（Shiller，2008）。在这方面，Rober t Shiller指出，pari mutuel拍卖可以作为新市场的宣传板（Baron and Lange 2007）。

这种方法可以帮助新市场获得充足的流动性，与之前建立的市场竞争（Baron和Lange，2007）。8.7.2价格效率-价格机制提高价格效率，因为信息通过共同的市场制造商从一个市场流向另一个市场（Baron和Lange，2007）。具有相同标的资产或变量的期权价格彼此密切相关。因此，onemarket中的信息与其他期权的定价相关。因此，一个共同的做市商比只参与单一分散市场的做市商更有效率。普通做市商在为每种证券定价时，可以使用多个相关市场的信息。9图像和表格本文中使用的图像和表格文件可在以下网址找到：https://sites。谷歌。com/si te/heesurohacademics/marketmakingReferences[1]Abernethy，J.，Y.Chen和J.W.Vaughan。2013.通过凸优化高效做市，并连接在线学习。ACM经济学与计算学报，1（2）：12:1-12:39。[2] Agrawal，S.，E.Delage，M.Peters，Z.Wang和Y.Ye。2011.动态预测市场设计的统一框架。运筹学，59（3）：550-568。[3] K.男爵和J.兰格。2007年，Parimutuel在金融领域的应用。（帕尔格雷夫：纽约，纽约）。[4] 博伊德、S.和L.范登伯格。2004.凸优化。（剑桥大学出版社：英国剑桥）。[5] 伯恩，B.（2013年7月12日）。ISE计划将pari mutuel定居点引入期权市场。《华尔街日报》。[6] Chen，Y.和D.Pennock。2007.有限损失做市商的实用框架。艺术情报中的不确定性：49-56。[7] Cover、T.M.和J.A.Thomas。2012.信息论要素。（约翰·威利父子公司：新泽西州霍博肯）。[8] 杜菲、D.和H.朱。2011

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