请注意，ZHawkes模型对经验分布函数的再现效果如何，并按照第3.2.3.5.2节ZHawkes过程的时间反转不对称性进行了校准。正如导言中所述，金融市场的另一个显著特征是价格时间序列的时间反转对称性（TRA）。[14]的作者一方面研究股票数据的这一特征，另一方面研究模拟的FIGARCH波动过程。所选的观测值是当前罗杰斯背包波动率σt与过去平方收益rt的互相关-τ、 现在的平方收益加上过去的波动率，发现hrt-τσtit>hrtσt-τIt适用于τ>0，适用于实际数据和FIGARCH过程。这一观察结果是本文介绍的模型的主要动机之一，因为使用布朗SDE的标准模型是构造的TRS，不能再现这种不对称性。在本节中，我们测量了模拟ZHawkes过程、前一节中描述的Hawkes基准以及第3.2.1节中研究的财务数据集的TRA量。如第3.2节所述，我们考虑了为日内五分钟垃圾箱定义的退货和罗杰斯背包波动率。这里，最大滞后q固定为36（36箱5分钟=3小时的试验），滞后指数τ在1和q之间变化。

我们引入o罗杰斯-萨切尔波动率和绝对收益率的互相关函数sc（τ）=hσRSt×| rt-τ| i- hσRSih | r | iqhσRSi- hσRSiphri- h | r | i.o时间不对称比率（τ） =τPτ=1[C（τ）- C(-τ） [qPτ=1max（|C（τ）|，|C(-τ)|)∈ [-1,1].0510152025300 2 4 6 8 10罗杰斯书包挥发性时间（天）数据（平静）0510152025300 2 4 6 10罗杰斯书包挥发性时间（天）数据（聚类）0510152025300 2 4 6 8 10罗杰斯书包挥发性时间（天）ZHawkes（平静）0510152025300 2 4 6 10 12罗杰斯书包挥发性时间（天）ZHawkes（聚类）图6：罗杰斯书包挥发性时间序列。上图：真实数据；以下：模拟ZHawkesdata；左：平静期；右图：密集的活动群。请注意，我们选择使用绝对收益率而不是平方收益率来计算互相关函数，因为它产生的结果噪音更小，对尾部事件更鲁棒（并且对标准化方法不太敏感）。我们比较了时间不对称率（τ） 对于实际股票收益率，使用Zhawkes模型模拟收益率，使用基于霍克斯的标准价格模型模拟收益率。结果如图7所示。也许令人惊讶的是，标准霍克斯模型并没有产生任何可检测的TRA：|(τ )| < 10-3对于所有τ。因此，很明显，没有对角二次反馈的霍克斯模型无法重现在日内波动中观察到的时间不对称性，因此（τ） 比它大一百倍。另一方面，ZHawkes模型的参数与第3节的QARCH校准一致，具有一定的时间不对称性，不仅符号正确，而且重现了正确的数量级，无需进一步调整参数。然而，函数τ7→ （τ）对于Zhawkes模型是凹的（正如一般情况下的预期），而奇怪的是，对于股票数据是凸的。

即使有一个彻底的标准化协议，日内收益也不是严格平稳的，我们相信τ7的凸性→ 在实际数据上观察到的（τ）是虚假的，因为它应该饱和到小于1的某个时间尺度。这种凸性可能很难用简单的模型重现，除非手动添加一些非平稳性。6结论我们研究的中心信息是，标准的霍克斯反馈，即过去的活动增加了当前活动的强度，未能解释市场动态的两个基本特征：a）活动/波动性中的厚尾无法复制，b）时间反转-0.0500.050.10.150.220 40 60 80 100 120 160 180（τ）滞后τ（min）数据ZhawkeShawkes图7：时间不对称率（τ） 对于美国股票数据（直线）、模拟霍克斯模型（红线）和模拟扎克斯模型（蓝点虚线）。注意，霍克斯过程不会产生任何可检测的TRA。在霍克斯框架内，过去的日波动率和未来的日内波动率之间的不对称性，或相反，是完全不存在的。这并不是一个先验的明显现象，因为霍克斯的过程是建立在过去反馈的基础上的。因此，我们提出了QHawkes过程，这是对Hawkes过程的简单、直观的概括，该过程假定反馈实际上不仅是关于过去的活动，而且是关于过去的价格回报本身。QHawkes模型可以看作是二次拱（QARCH）模型作为连续时间点过程的一致定义。事实上，这使我们能够根据133只纽约证券交易所股票的初始收益率校准QHawkes模型。我们发现，QHawkes的矩阵核有一个对角部分（对应于标准Hawkes分量）和一个反对角的秩，我们称之为“ZHawkes”。

这与祖姆巴赫的观点一致，即价格的本地趋势，无论是上涨还是下跌，都会产生更多的未来活动。ZHawkes过程具有一些标准Hawkes过程所缺乏的有趣性质，即：（i）二次反馈自然产生了波动率的乘法动力学，为波动率和收益率生成幂律尾，（ii）它可以产生长记忆，而不必处于临界点（iii）它再现了时间反转不对称（TRA）的水平，与实际财务数据的测量结果完全一致。与指数核对应的连续极限SDE被发现是Pearson微分的一个易于处理的二维推广。特别是，在几种情况下，可以精确计算挥发率的尾部指数，而且非常显著的是，即使ZHawkes核的振幅很小，它也在经验范围内。这些数学上易于处理的差异让人想起[34,4,7]和最近[19]中考虑的对数正态波动过程，并为波动性本身的乘法过程提供了一种自然的“微观”机制，到目前为止，这仍然是一个相当神秘的假设[26]。我们希望本文能推动QHawkes模型家族的进一步发展。事实上，我们只讨论了此类模型的数学性质和经验相关性，但我们认为，在这一主题上进行更深入的研究将是有价值的，尤其是在模型本身的精确校准方面。在这一阶段，一个完全开放的问题是对夜间的处理和模型的泛化，以描述更长的时间尺度（我们的校准仅限于日间数据），泛化了我们两人在[9]中提出的QARCH描述。

特别是，我们知道，时间反转不对称性仍然可以在几天或几周的时间尺度上检测到[37,14]，而这肯定不能在ZHawkes核在30分钟内衰减的情况下重现，如本文所示。类似地，波动率的乘法对数正态模型通常被考虑用于日收益率。在我们看来，最近在标准霍克斯过程中描述的波动性的厚尾、长记忆到底有多少应该与这里提出的QHawkes机制相匹配，是未来研究中一个非常有趣的问题。总之，我们认为，从事件规模到宏观规模，对波动过程的全面理解在几个方面似乎非常有价值，尤其是在市场设计方面。人们可能会理解市场微观结构规则（如刻度大小）的变化如何影响其宏观属性（如波动性）。为波动过程找到坚实的行为微观基础似乎至关重要：如果理解充分，对代理人的简单约束可能会改变整体宏观市场行为。我们希望我们的广义霍克斯过程能为这个问题提供一些线索。致谢我们要感谢R.Chicheportiche，J.Gathereal，S.Hardiman，Th。Jaisson，I.Mastromatteo和M。罗森鲍姆对这些问题进行了许多有见地的讨论。参考文献[1]R.Allez和J.-P.Bouchaud。个人和集体股票动态：日内季节性。《新物理学杂志》，13（2）：025010，2011年。[2] E.Bacry、K.Dayri和J.-F.Muzy。对称Hawkes过程的非参数核估计。高频金融数据的应用。《欧洲物理杂志B》，85（5）：2012年1-12月。[3] E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.-F.Muzy。用相互激励的点过程模拟微观结构噪声。

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因此，EAtdNsds= Tr（K）λ+κλ~n（t- s） +Zt-∞~n（t）- u） C（u）- s） 杜。另一方面，EMtdNsds=ψZt-∞EΘt，udpudnsdsdu=ψZt-∞祖--∞K（t）- u、 t- r） EDNSDPUDUDPRdrdu=Zs--∞祖--∞K（t）- u、 t- r） D（s）- u、 s- r） 杜博士，自从Pτ与(Pτ）居中，这意味着DNSDPUDUDPR= 0代表你≥ s、 假设t=τ>0且s=0，我们得到c（τ）=κλ洎（τ）+Zτ-∞φ(τ - u） C（u）du+2Z∞0+Z∞u+K（τ+u，τ+r）D（u，r）drdu。对于t>t>t，有D（t- t、 t- t） =ψehatdptdptdti+ψehmtdptdptdti。Firstterm给出ψEATDPTDPTDT=ψZt-∞~n（t）- u） EDnudUdPtdTdTdTdTdu=Ztt+~n（t- u） D（u）- t、 u- t） 杜。第二项由ψE给出MTDPTDPTDT=ψZt-∞祖--∞K（t）- u、 t- r） EDPTDPTDTDPUDPRDR由于r<u在积分中，t<t，如果u6=t，期望值为零。对于u=t，我们有德普杜dptdprdridu=ψEhdNu（du）dptdprdridu=ψehdntdptdprdri。因此，EMTDPTDPTDT=ψZt--∞K（t）- t、 t- r） EDNTDPTDTDPRDR对于r6=t，我们有ψehdntdptdtdpridr=D（t-t、 t-r） 另一方面，r=tyieldsehdntdnr（dr）idr=ehdntdntdti=C（t- t） +λ。我们在这里MTDPTDPTDT= K（t）- t、 t- t） [C（t- t） +λ]+Zt--∞K（t）- t、 t- r） D（t）- t、 t- r） 博士，我们最终通过取τ=t>τ=t得到- t、 t=0，D（τ，τ）=2K（τ，τ）[C（τ）- τ） +λ]+Zτ（τ）-τ)+φ(τ- u） D（u）- τ+τ，u）du+2Z（τ）-τ)--∞K（τ，τ）- u） D（τ）- τ, τ- τ- u） 杜。B Hawkes+ZHawkes过程的渐近分析为了分析耦合的Hawkes+ZHawkes过程，我们首先写出h的联合概率∏（h，y）的Fokker-Plancker方程≡“H和y≡“Y=”Z.设置t← 作为新时间，我们发现：Πt=-h{[-(1 - nH）h+nH（λ）∞+ y） ]π}（32）- χy{[（新西兰）- 1） y+nZ（λ）∞+ h） ]π}+2χnZy{[y（λ）∞+ 我们将研究过程的平稳分布，使得上述方程的左边为零。

我们引入了给定y∏（h | y）的h的条件分布，以及y的边际分布，π（y），as:π（y）：=Z∞dh∏（h，y）；π（h | y）=∏（h，y）π（y），（33）和∏（h | y）的母函数，as:Z（Z | y）=Z∞dh e-zh∏（h | y），（34）使得Z（0 | y）=1和Z（0 | y）：=-A.*是给定y的h的条件平均值。现在我们假设，并且自洽地检查，对于大y，∏（h | y）的形式为1/yF（h/y），这意味着h是y阶的随机变量。这意味着：Z（Z | y）=G（x=zy）；G（x）：=Z∞杜埃-祖夫（u）。（35）用公式（32）乘以e-然后，在静止状态下，通过h积分，zhand得出：- xπ（y）[（1- nH）G（x）+nHG（x）]- χy{[（新西兰）- 1） G（x）- nZG（x）]yπ（y）}（36）+2χnZY[G（x）- G（x）]yπ（y）= 0，我们假设为y λ∞. 在渐近极限下，π（y）表现为幂律：π（y）∝A/y1+u。事实上，将这个安萨兹注入最后一个方程中，会得到一个非平凡的方程forG（x），其中y和a已完全消失：x[（1）- nH）G（x）+nHG（x）]=χ[unZH（x）- nZxH（x）- uG（x）+xG（x）]（37）+2χnZxH（x）+2（1）- u）xH（x）- u(1 - u）H（x）,这里我们引入了简写H（x）=G（x）- G（x）。让我们首先分析x=0时的方程；在没有任何进一步假设的情况下，G（0）=1和G（0）=-A.*:unZ（1+a）*) - u - 2nZu（1- u）（1+a*) = 0=> u=+2nZ（1+a）*), （38）非物理溶液u=0被丢弃。因此，我们需要解G（x）的等式（37）并确定a*从-G（0）。一个简单的例子是χ=0。一个立即发现：（1）- nH）G（x）+nHG（x）=0=> G（x）=e-nHx/（1）-nH），（39）导致*= nH/（1）- nH）。通过设置G（x）=G（x）+χG（x）+χG（x）+χG（x）+也可以方便地进行小的χ展开。对于χ中的一阶，greads的方程为：（1）- nH）g（x）+nHg（x）=g（x）nH（1）- 新罕布什尔州- 新西兰）（1）- nH）+nH（1）- nH）x, （40）因此，对于g（x）的右边界条件，g（x）=nH（1）- 新罕布什尔州- 新西兰）（1）- nH）x+nH2（1）- nH）xE-A.*十、

（41）第一个顺序是：*=nH（1）- （新罕布什尔州）1.- χ(1 - 新罕布什尔州- 新西兰）（1）- nH）+O（χ）. （42）在相反的极限χ中→ ∞, 我们发现，G（x）=1解决了方程，正如预期的那样，因为在这个极限h不能遵循y的动力学，因此我们预计在极限y→ ∞,F（u）≈ δ（u），因此G（x）=1。当χ较大但不确定时，可以认为F（u）的阶数为χ-因此G（x）是x/χ的函数。这意味着G的每一个导数都会带来一个额外的因子χ-1.设定*= a/χ并匹配等式（37）中的项，我们发现：χ（u+x（1- nZ）G（x）+（au+nHx）G（x）、（43）或：lng（x）=-χ(1 - 新西兰）[nHx+u（a- nH/（1）- nZ）ln（u+（1- nZ）x）]，（44），这表明我们假设G（x）是x/χ的函数，从而选出a=nH/（1）- nZ）作为唯一的可能性，在这种情况下：G（x）=χ→∞E-nHxχ（1）-新西兰）。（45）这意味着在这个极限下，∏（h | y）≈ δ（h）-nHχ（1）-新西兰）y）。最后，让我们考虑一下限制→ 0表示最终χ。现在的想法是假设对于小新西兰来说，∏（h | y）在一周内达到了一个很高的峰值*y、 宽度变为零√新西兰。这就转化成了G（x）G（x）=e的以下ansatz-A.*xG(√nZx）。（46）我们现在可以分析nZ中的等式（37）→ 带固定z的0=√nZx。前导有序项的阶数为1/nZ，并导出一个等式，该等式同样满足。接下来的两个阶数为O（1）/√nZ）和O（1）允许我们计算函数G（z）和a的值*. 我们特别发现：G（z）=exp（1+a）*)[(1 - nH+χ）a*- nH]χz, （47）这表明分布∏（h | y）在该极限下实际上是高斯分布。我们还发现*遵循以下等式：（γa）*- nH）（γ+（γ+2χ）a*) = A.*2χγ = 1 - nH+χ。（48）该解在极限χ中采用简单形式→ 0和χ→ ∞, 在这里，我们恢复上述结果。在一般情况下，Eq。

（37）是G（x）的三阶线性常微分方程；施加修正的边界条件G（x）→ ∞) 选择一个属性的特殊值*对于任何三重态（nH、nZ、χ）。a的最大允许值*对应于尾部指数最小值的是物理解。不幸的是，我们还未能在这一总体情况上取得进展。