金融价格的二次霍克斯过程

2022-5-9 05:45:55

金融价格的二次Hawkes过程斯皮尔·布兰科，乔纳森·多尼尔，让-菲利普·布乔德2015年9月28日摘要我们介绍并建立了QHawkes（“二次”Hawkes）模型的主要性质。QHawkes模型概括了E.Bacry等人（2014）中引入的Hawkes价格模型，允许跳跃强度中的所有反馈效应在收益中是线性和二次的。纽约证券交易所股票数据的非参数检验表明，二次核的反对角分量确实具有标准霍克斯模型无法重现的结构。我们的模型展示了两个主要特性，我们认为这对建模和理解波动过程至关重要：首先，该模型是时间反转不对称的，类似于金融市场，其时间演化具有偏好方向。第二，它产生了一个乘法、厚尾波动过程，我们在指数衰减的情况下详细描述了这一过程，它与连续极限下的皮尔逊差异有关。本文还讨论了QHawkes过程的其他一些有趣的性质，特别是它们可以产生长记忆，而不必处于临界点。最后，我们对经过校准的QHawkes模型进行了数值模拟，该模型在经验时间序列中仅表现出少量的二次非线性、正确的厚尾和时间反转不对称性。1简介：fBMs、GARCHs和Hawkest寻找金融市场的“完美”统计模型仍在进行中。

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mingdashike22

2022-5-9 05:45:58

自Bachelier首次提出原始布朗运动模型以来，人们设计了大量越来越复杂的数学框架来描述金融时间序列的显著风格化事实，即：收益分布的胖（幂律）尾、相关性缓慢衰减的波动性（或交易活动）集群，负回报波动相关性（所谓杠杆效应），迄今为止最成功的两类模型是：a）具有低衰减记忆核的类GARCH模型（如FIGARCH模型）和b）随机波动率模型，其中对数波动率遵循具有小赫斯特指数的分数布朗运动（如多重分形随机游走[4]，或最近Gathereal的“粗糙波动率”模型，Jaisson-andRosenbaum[19]）。尽管这些模型非常简洁，令人信服地捕捉到了金融时间序列的许多特征，但它们在几个方面仍然不令人满意。首先，这些模型中的收益率是条件高斯分布的，因此永远不会“足够胖”，即使波动率是可变的。非高斯残差（或跳跃）必须手动引入，以匹配经验概率分布。第二，这些模型并非源自对导致厚尾和波动性聚集的潜在机制的更深入假设。理论家的梦想是从具有简单交易规则或行为偏差的代理人开始，并发现在聚合后，他们的集体行为会导致某一类随机模型。这方面的许多尝试都已被记录在案，尤其是基于代理的市场模型、程式化的人口动力学模型或“少数群体游戏”——有关评论，请参见。

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大多数88

2022-5-9 05:46:01

[12, 16].不过，可以公平地说，这些提议中没有一个被广泛接受为对上述程式化事实的令人信服的“微观”解释。一个更进一步、讨论较少但在我们看来高度相关的程式化事实与金融时间序列的时间反转（A）对称性（TRS/TRA）有关。正如祖姆巴赫[37]最初强调的那样（遵循之前的观点[29,30,31]），当过去和未来互换时，金融时间序列在统计上并不对称；见[36]。有（至少）两种不同的影响打破了这种对称性：一种是上文提到的杠杆效应：过去的回报率对未来的波动率σ产生（负面）影响，但不是反过来。这是一种破坏TRS和上下对称性r的效应→ -r、然而，还有另一个影响，在r下是不变的→ -r、也就是说：过去的大规模已实现波动率与未来的小规模已实现波动率之间的相关性大于反之[37]。解释这一相当抽象的概念的一种更为透明的方法是：假设r是每日收益率，σ是基于五分钟收益率的波动性估计值。然后，考虑[14]中的平均hrtσt+τit，τ>0，它测量过去的每日波动率与未来五分钟波动率之间的相关性。[14]中重新表述并经经验证实的祖姆巴切效应是hrtσt+τit>hrt+τσtit。很明显，这个准则在r下是不变的→ -r、因此与杠杆效应无关。不对称性从何而来？与TRA一致的模型是什么？有趣的是，从著名的CIR Hestonl模型[15,23]到上文提到的多重分形随机游走模型，所有连续时间随机波动率模型都通过构造遵循TRS，因此无法解释金融时间序列的经验变化。

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2022-5-9 05:46:04

另一方面，GARCH-likemodels确实导致了强TRA[37]，事实上比数据[14]中看到的更强。这是预料之中的；GARCH模型确实对从过去到未来的反馈进行了编码：大量过去实现的回报会导致大量未来波动。这种自激机制实际上非常类似于一个潜在的“霍克斯过程”（在地震统计背景下发明），最近引起了相当大的兴趣（最近的评论见[5,28]）。在金融领域，霍克斯过程可以被视为纯粹随机模型和基于代理的模型之间的中间环节。我们假设时间t的活动率λt取决于点过程本身的历史，通过自回归关系λt=λ∞+Zt-∞φ（t）- s） dNs，（1）其中λ∞是一个基线强度，φ是一个非负的，可测量的函数，使得| |φ| |=R∞dsφ（s）≤ 1.霍克斯过程被称为“自激”，因为每次跳跃dNs6=0都会通过核φ增加t>s未来事件的概率；这反过来会导致活动聚集，并产生一种诱人的因果解释：每一个事件都是市场其他部分的新信号，引发更多活动。在对金融数据进行校准时，发现了霍克斯过程的两个显著特征[10,20,21,5]：其内核φ（s）显示出长程（幂律）衰减-1.-, 它的L1范数| |φ| |非常接近统一，这意味着这个过程即将变得稳定（见[17]）。这很有趣，因为这正是对应的平方波动率的连续时间限制（此处与活动一致）是分数CIR Heston过程[26]，局部Hurst指数H= - 1/2.

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2022-5-9 05:46:07

这似乎失去了循环：因为根据经验发现接近1/2[20]，我们手头有一个“微观模型”（霍克斯过程），它在粗粒度尺度上生成一个粗波动过程，它推广了CIR-Heston模型，以解释波动性的缓慢、多时间尺度衰减。不幸的是，情况还没有那么乐观：首先，分数CIR-Heston过程的尾部太薄（指数衰减），无法解释波动率的经验分布。因此，Jaisson和Rosenbaum[26]建议将霍克斯过程解释为对数波动率的模型，但这不是自然现象。其次，在我们对上述TRS的讨论之后，分馏-赫斯顿过程（实际上是正常的CIR-赫斯顿过程）严格来说是TRS，因此无法捕捉观察到的金融交易时间序列！上面的长话短说为我们的贡献奠定了基础，这是为了解决霍克斯形式主义的上述缺陷——当应用于金融时间序列时——并让astep更接近我们在开场白中提到的“完美”模型。我们提出了霍克斯过程的广义版本（以下称为QHawkes），其中包括Sentana[33]引入的QARCHmodel的特征，并在[14]中进行了深入探讨。其思想是，自我激励机制不仅是从市场活动到市场活动，而且是从实际价格变化到市场活动。为了明确我们的动机，考虑一系列价格变动，所有这些变动都具有相同的振幅|r |：：=ψ。人们预计，当地的趋势，即。

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2022-5-9 05:46:10

虽然连续的价格波动比连续的价格波动更频繁，但连续的价格波动比连续的价格波动更频繁。我们需要在广义霍克斯过程中包含的额外术语，除了由经验数据驱动之外，还将从数学上编码这种影响。我们将看到，这种修改不仅在收益分布中产生了所需的厚尾（来自对数活动确实将作为一个自然变量出现的事实），而且还定量地解释了回报率，至少在我们校准模型的日内时间尺度上是如此。我们将看到，在特定情况下，我们模型的连续时间限制归结为一个简单、易于处理的二维皮尔逊扩散，然后可以将其用作波动过程的低频代理。本文概述如下：我们首先在第2节介绍我们的通用模型，并强调其一些核心特性。第2.2节介绍了factorzedqhawkes过程的一个特殊子族，我们在Zumbach之后称之为ZHawkes，因为它捕获了上面讨论的生成TRA的Zumbach机制。第3节与QARCH模型进行了比较，我们使用类似于[14]的方法对美国股票数据进行了日内校准，显示了一种非零效应对角线结构。在第4节中，我们证明了在指数核的情况下，过程是马尔可夫的，并且我们写出了相应的随机微分方程及其连续对应的方程。最后，我们在第5节中通过数值模拟表明，我们的ZHawkes过程生成的TRA的数量级与数据非常匹配，并且产生了具有适当数量厚尾的波动过程。

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2022-5-9 05:46:13

第6节结束。2.QHawkes模型2。1与霍克斯过程（1）类似的一般模型，QHawkes（二次霍克斯）过程（Pt）t≥0是一个自激励点过程，其强度λt取决于过程本身的过去实现。顾名思义，我们将价格变化的强度建模为最普遍的自激励点过程，该过程在dPs中是二次的<t:λt=λ∞+ψZt-∞L（t）- s） dPs+ψZt-∞Zt-∞K（t）- s、 t-u） dPsdPu，（2）其中P是高频价格，这是一个带符号增量的纯跳跃过程。更准确地说，每当一个事件发生在t和t+dt之间，概率为λtdt时，价格就会跳动量ξ，其中ξ是零均值和方差ψ的随机变量。我们将在下面考虑的一个简单情况是ξ=±ψ，其中ψ可以被视为刻度大小。在上面的方程式中，L:R+→ R是一个“杠杆”内核，将价格变化与市场活动和K:R+×R线性耦合+→ R是一个二次反馈核。λ∞也是流程的基线强度（在没有任何反馈的情况下）。请注意，上述方程可以被视为过去价格变动的幂次价格变动强度的非系统扩展，被截断为二阶。当然，我们可以通过添加三阶项asRt来进一步推广该模型-∞Rt-∞Rt-∞K（t）- s、 t- u、 t- v） dPsdPudPv等，但我们不会在下文中进一步考虑此路径。虽然有必要考虑每日时间尺度上的杠杆效应，但我们稍后会发现，在日内尺度上，核L并不重要，因此对于许多应用，人们可以只关注二次核，并写入λt=λ∞+ψZt-∞Zt-∞K（t）- s、 t-u） dPsdPu。

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能者818

2022-5-9 05:46:16

（3）很容易看出，模型（3）是[3]中介绍的价格的简单霍克斯过程的推广：当选择单价跳跃时，dPt=±ψdnt，其中ψ可以被视为勾号，并丢弃任何效应——对角二次效应（因此K（t，s）=φ（t）δt）-s）我们恢复了核φ（s）=K（s，s）的Hawkes过程。众所周知，线性霍克斯过程（1）可以看作是一个分支过程，其中每个“移民”事件都来自外生强度λ∞产生了许多“子”事件，它们以参数nH=| |φ| | |的泊松定律分布，其中| |φ| |是核φ的形式。这些子代中的每一个又在事实上产生了第二代子代，如果任意顺序的核K、K等都是对角的，则该模型归结为一个具有杠杆作用的霍克斯过程，即λt=λ∞+Rt-∞φ（t）- s） dNs+ψ-1Rt-∞L（t）- s） dPs，具有充分重新定义的内核φ和L，使得φ（s）- |L（s）|+λ∞≥ 0以确保强度的积极性。同样的概率定律等等。当nH<1时，每个移民平均生育tonH/（1）- nH）<∞ 后代。因此，NH可以被视为过程内生性的度量，因为它对应于内部触发的事件的分数，在简单泊松过程中达到零，在没有祖先的霍克斯过程的特殊情况下达到一[10]。QHawkes关于分支过程的直觉非常相似，只是现在事件的速率也取决于事件对之间的相互作用。我们将考虑正面反馈K（s，t）≥ 0，使得具有相同符号的两个母事件（即两个价格朝同一方向移动）增加了未来触发新事件的概率（即。

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2022-5-9 05:46:19

增加未来的波动性），而补偿事件具有抑制作用，与[14]的经验观察结果一致（并直接受到其推动），如引言中所强调的。2.2一个特例：ZHawkes模型受引言中的讨论和下面给出的实证（日内）结果的推动，我们将把QHawkes模型专门用于没有杠杆的情况（L≡ 二次反馈核K的形式为K（t，s）=φ（t）δt-s+k（t）k（s），即对角Hawkes分量和可分解的秩一核的和。我们假设φ，k:R+→ R+是满足| |φ的两个正的可测函数||≡Z+∞φ（u）du<+∞ , ||k||≡Z+∞k（u）du<+∞.在这种情况下，方程（2）变为λt=λ∞+ Ht+Zt，（4）其中o霍克斯术语由Ht给出：=Zt-∞φ（t）- s）域名系统；新界- 新界-:=ψ（Pt）- Pt-)o Zt给出的“Zumbach项”，其中Zt=ψZt-∞k（t）- s） dPs。我们称之为Ztmbach术语，因为它直接受到G.Zumbach对波动过程的一系列经验观察的启发（[37]，[36]）。实际上，Zt只是过去收益的移动平均值（具有正的非标准化权重k（τ））。因此，根据经验观察，这一术语的定义是，同一方向的收益序列触发的未来波动性大于补偿收益[36]。除了其经验动机外，ZHawkes核的因式分解特性还显著降低了过度拟合的风险，因为我们将得到两个一维核，而不是等式2中的二维核。

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2022-5-9 05:46:22

正如我们在下面看到的，这种简化的设置仍然捕捉到了价格波动的主要现象，尤其是时间反转不对称和厚尾，即使是短期内核。2.3数学框架让我们从指定方程式（2）中对象的数学定义开始：尽管Zumbach在每日时间尺度上描述了这种影响，但我们将在这里研究日间时间尺度（Pt）t∈Ris是随机强度（λt）t的纯跳跃过程∈R、在（R，B（R））上具有普通法p的不可预测的i.i.d.ξ。我们假设rrξp（dξ）=0和rrξp（dξ）=ψ<+∞, i、 e.跳跃居中且具有有限的变化Ft=σ（Ps，s≤ t）是P.的自然过滤m（dt，dξ）是与P相关的准时泊松测度，因此对于所有t∈ 兰达∈ B（R），林→0hEm（[t，t+h[，A）英尺= λtp（A）。二次核K:R+×R+→ 假设R满足o对称性：s、 t≥ 0，K（t，s）=K（s，t），o正性：F∈ L（R+），R+∞R+∞K（t，s）f（t）f（s）dt ds≥ 0，o非爆炸性：R+∞|K（t，t）| dt<+∞.K定义积分算子TK:L（R+）→ L（R+）映射f∈ L（R+）至TKf:t 7→R+∞K（t，s）f（s）ds。如果K是连续的，这个算子就是Hilbert-Schmidt，因此是紧的，一个算子有K（t，t）≥ 0代表所有t≥ 0（见[11]）。我们定义了KTr（K）=Z的轨迹+∞t（t）t<+∞.杠杆内核L:R+→ R被假定为一个可测函数。与QARCHmodels（见[14]）类似，它应该以某种方式由K控制，以确保强度λt的正性（见上文脚注1）。由于在续集中发现杠杆内核在经验上可以忽略不计，我们将这个积极条件留给未来的研究。2.4时间平稳的必要条件在线性Hawkes过程的情况下，已经证明，只要核的范数kφk<1，就可以获得平稳性。

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2022-5-9 05:46:26

直观地说，这意味着每个事件触发的子事件平均不到一个，因此每个祖先生成的集群最终会消失。如果违反该条件，祖先产生有限数量事件的概率为非零，这只能在kφk=1和λ的情况下导致平稳过程∞= 0在[10]中进行了研究，另见[20]。由于二次反馈，QHawkes过程不能解释为一个简单的分支过程，这使得事情变得有些棘手。本节的目标是确定（一阶）时间平稳性的必要条件。我们定义了与（Pt）具有相同跳跃时间的跳跃过程（Nt），其中Nτ=(Pτ）/ψ（=1 i ff）Pτ=±ψ），并将方程（2）改写为λt=λ∞+ Lt+Ht+2Mt（5）和符号Lt=ψRt-∞L（t）- u） dPu（杠杆）Ht=Rt-∞K（t）- u、 t- u） dNu（霍克斯/对角线）Mt=ψRt-∞Θt，udPu（斜对角），其中Θt，u=Ru--∞K（t）-u、 t- r）朝鲜（Fu）u≤t-适用于t固定。因为P是鞅，所以E[Mt]=0，E[Lt]=0。因此，E[λt]=λ∞+ψEZRZt-∞K（t）- s、 t- s） ξm（ds，dξ）= λ∞+ EZt-∞K（t）- s、 t- s） λsds通过定义准时泊松测度m（ds，dξ）。我们得到[λt]=λ∞+Zt-∞K（t）- s、 t- s） E[λs]ds。过程（λt）t的一个必要条件∈Rto处于平稳状态是指其期望值λ≡ E[λt]是常数、正和有限的。这将产生λ=λ∞+ λTr（K），因此如果λ∞> 0,λ =λ∞1.- Tr（K）。这导致了必要的平稳性条件λ∞> 0和Tr（K）<1（6）或λ∞= 0和Tr（K）=1。（7）在ZHawkes过程的特殊情况下，内生性比由以下公式给出：Tr（K）=| |φ| |+|K||≡ nH+nZ，其中nH是标准的“霍克斯标准”，而nZ≡ ||k | |是“尊巴赫规范”。当然，有限平均强度λ的存在对于过程达到稳态是必要的。

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2022-5-9 05:46:30

然而，强度的高阶矩的存在需要K（t，s）上的强条件，类似于[14]中研究的QARCH情况。特别是，K的对角部分的衰减必须足够快，以确保过程存在两点和三点相关性（见下文）。2.5 QHawkes模型中的自相关结构这类模型研究输入核与生成过程的自相关函数之间的关系非常有用。事实上，由于后者可以直接在数据上观察到，因此可以通过反转这种关系来获得底层内核。对于线性Hawkes过程，可以找到一个维纳-霍普夫方程，该方程将两点相关函数与一维核联系起来[2]。在我们的例子中，还需要考虑三点相关函数，这将导致一组紧密的关系。2.6精确的方程组我们采用无杠杆的模型，L≡ 0.等式（5）变为（见上述符号）：λt=λ∞+ Ht+2Mt。我们定义了τ6=0和τ>0，τ>0，τ6=τ，相关函数c（τ）≡ EDNTDNT-τdt- λ=EλtdNt-τdt- λ、 D（τ，τ）≡ψEDNTDPT-dptτ-τdt=ψEλtdPt-τdtdPt-τdt. （8）然后C在零处连续扩展，如[22]所示。让我们注意到，通过构造，C是偶数，D是对称的。在自相关函数（C，D）和核K（cf。

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2022-5-9 05:46:33

附录A中的推导：C（τ）=κλK（τ，τ）+Z∞duk（u，u）C（τ+u）+2Z∞+杜兹∞u+drk（τ+u，τ+r）D（u，r），（9）D（τ，τ）=2K（τ，τ）[C（τ- τ） +λ]+Zτ（τ）-τ） +duk（τ）- u、 τ- u） D（u）- τ+τ，u）+2Z+∞(τ-τ） +duk（τ，τ+u）D（τ- τ, τ- τ+u），（10）在线性霍克斯过程的情况下，该条件也足以在Tr（K）<1的情况下获得平稳性（而Tr（K）=1的情况更微妙，见[10]）。其中，κ=ψRRξp（dξ）是价格跳跃的第四个时刻（对于恒定价格跳跃，κ=1）。由于C（τ）和D（τ，τ）在数据上是可直接测量的，因此原则上可以通过反演上述方程来推断核函数（s，t）。2.6.1渐近行为鉴于上述方程（9）和（10）通常难以求解，人们可以研究τ的关节尾行为→ ∞ 当核函数和自相关函数都有幂律衰减时。让我们假设：K（τ，τ）~τ→∞cτ-1.-（对角线， > 0）K（τv，τv）~τ→∞~K（v，v）τ-2δ（o off-对角线，δ>1/2）C（τ）~τ→∞cτ-β（2点AC）D（τ，τ）~τ→∞cτ-β（三点AC，对角线）D（τv，τv）~τ→∞~D（v，v）τ-2ρ（3点AC，o off-对角线）（11），其中c，c，care常数和K（v，v），~D（v，v）是（v，v）的有界函数。约束 > 0源于| |φ| |必须是有限的，而δ>1/2则确保了二阶和三阶矩也是有限的。为了简单起见，我们将进一步假设： < 1，这是实践中有趣的情况，并且K（τ，τ）的渐近行为~ τ-1.-仅限于对角线|τ周围的狭窄通道-τ| τ、 τ，超过该值，o-对角幂律将接管。然后，指数β和ρ可以与δ和通过将这些AnsatZ插入Eq。（9）（10）并仔细匹配渐近行为。我们可以找到自协方差结构的几个可能阶段：1。

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2022-5-9 05:46:36

在非临界情况下，我们发现：δ>（3+)/4.=> β = 1 + ; β= 1 + ; ρ = δ, (12)(2 + )/3 < δ < (3 + )/4.=> β = 4δ - 2.β= 1 + ; ρ = δ, (13)2 < δ < (2 + )/3.=> β = 4δ - 2.β= 3δ - 1.ρ=δ，（14）这三个阶段的解释很简单。在第一阶段（12），自相关函数的尾部直接来自K的对角线部分的尾部：直接效应然后主导二次反馈效应。然而，在最后两个阶段（13），（14），一个更复杂的现象开始发挥作用，因为对角线效应影响反馈，以至于它们产生的相关性比内核本身的对角线部分衰减慢。在这些阶段，有可能β<1（对应于一个长的记忆过程）提供<δ<。这一结果很重要，因为它意味着QHawkes进程不必是关键的（即Tr（K）=1）来生成长内存，这与标准的线性Hawkes进程[10,32,20,21]不同。在临界情况下，Tr（K）→ 1, λ∞→ 0时，情况更微妙，如在标准霍克斯凯斯中，β和完全改变，条件0< < 1/2必须保持，流程才能存在[10]。在目前的情况下，类似的机制运行并导致：δ>3/4=> β = 1 - 2.; β= 1 - ; ρ = δ, (15)2/3 < δ < 3/4 => β = 4δ - 2. - 2.β= 1 - ; ρ = δ. (16)(1 + )/2 < δ < 2/3 => β = 4δ - 2. - 2.β= 3δ - - 1.ρ = δ. （17）提供0< < 1/2和δ>（1+)/2.否则，关键流程不存在或不重要。所以在这个临界情况下，这个过程总是长记忆的（即β<1），或者不再存在，就像线性霍克斯过程一样。3日内QHawkes模型3。1 QHawkes作为Qarches的一个限制在本节中，我们研究了（2）给出的QHawkes模型与Sentana在[33]中引入的离散Qarche模型之间的联系，并在[14]中进行了深入探讨。

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2022-5-9 05:46:39

这将使我们能够在离散采样的价格时间序列上校准QHawkes。对于固定的时间步长 > 0，我们为所有t∈ R:o时间t和时间t+之间的价格（或原价）增量: Rt=Pt+- Pt，ot时的波动率：σt=rEhrTFti。当 → QARCH模型σ的0+t=σ∞+Xτ≥1L（τ） rT-τ+Xτ，τ≥1K（τ，τ）rT-τRT-τ, （18） σ在哪里∞= ψλ∞, L（τ） =L（τ）) 和K（τ，τ）=K（τ）, τ) . 的确，对于t∈ R、 EhrTFti=ψPPt+- Pt6=0英尺+ o()= ψλt + o(),这意味着缩放：σT-→→0+ψλt。由于这两个模型之间的这种联系，有可能根据[8,14]中的当日5分钟仓位收益率校准QARCH模型，并获得有关基础QHawkes模型结构的一些定性和定量见解。当然，更直接、更困难的是，论文的校准范围会更大。3.2 QARCH模型的日内校准迄今为止，QARCH模型主要根据每日数据进行校准（[33]，[14]）。为了为我们研究高频波动的二次效应提供一个起点，我们校准了一个离散的QARCHon日内五分钟收益率。3.2.1数据集和符号我们考虑与[1]中相同的数据集，由当天五分钟内的股价组成。它包括纽约证券交易所的133只股票，这些股票在2000年1月1日至2009年12月31日期间没有中断交易。这将产生2499个交易日，每天78个5分钟的仓位。对于每个仓位，可提供开盘价、收盘价、高价和低价（O、C、H、L>0）。

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2022-5-9 05:46:42

我们考虑原木价格过程，并在每个箱子上定义：o返回r=ln（C/O）。oRogers Satchell波动率σRS=pln（H/O）×ln（H/C）+ln（L/O）×ln（L/C）。3.2标准化程序为了能够考虑日内价格是（近似）平稳随机过程的独立实现，我们需要仔细地标准化数据。事实上，强烈的日内季节性可能会破坏校准结果。这可以通过横向和历史的正常化在一定程度上避免。我们利用我们的大型数据集计算每个交易日的横截面日内波动模式，并通过这种模式将回报正常化，从而抑制给定日期集体冲击的影响。另一方面，我们使用[9]的日内/隔夜模型波动率模型来考虑每日反馈效应，并关注纯粹的日内动态。为了充分解释我们的标准化协议，我们引入了以下符号：o5分钟bin索引1≤ B≤ 78日指数1≤ T≤ 2499和股票指数1≤ U≤ 133.o经验平均值：hxu，t，。我指的是x在仓位上的条件平均值，对于库存u和固定日；hxu，。，bi和hx。，t、 bi的定义与天数/存量的条件平均值类似；hxi=hx。，。，。我指的是x在库存、天数和垃圾箱上的平均值。我们计算t日的横截面波动率模式，我们用它来标准化u股的数据，如：b∈ {1, ··· , 78} 7→ vu，t（b）≡qhru6=u，t，bi。对于u股，ru、t、bis的值被排除在平均值之外，因此标准化协议不会对u股的大额回报率设置上限。我们还考虑了股票u从开盘到收盘的波动率σDu，tof day t，由[9]的日内/隔夜模型计算，数据为股票u在{1，··，t天内的数据- 1}.

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2022-5-9 05:46:45

对于t=1，我们定义σDu，1=1。规范化协议如下：u、 t，b，oru，t，b← ru，t，b/σDu，t，σRSu，t，b← σRSu，t，b/σDu，t（通过开盘至收盘波动率进行归一化）oru，t，b← ru，t，b/vu，t（b），σRSu，t，b← σRSu，t，b/vu，t（b）。（横截面日内正常化）我们进一步排除了涉及至少一个bin的交易日，其中绝对收益大于平均值加上六个标准差。这大约占交易日的7%，即每三周一天。结合横截面模式规范化，这种数据处理强烈抑制了异常新闻事件的影响，这需要特殊处理，我们不打算在这里建模。最后，我们将平方的平均值设为1，并将平均回报率设为0，以使股票宇宙更加均匀：u、 t，b，oru，t，b← ru，t，b/qhru，。，。i、所以hri=1，oσRSu，t，b← σRSu，t，b/qhσRSu，。，。i、所以hσRSi=1，oru，t，b← ru，t，b- hru，。，。i使hri=0.3.2.3校准结果校准过程类似于[14]和[9]。核的第一次估计是通过广义矩法获得的，该方法使用了一组经验可观测的相关函数。然后，使用这个估计作为起点，我们使用最大似然估计，假设残差是t分布的（这解释了残留在残差中的肥尾）。与单独的GMM估计相比，第二步显著提高了校准结果的精度。我们发现值得注意的是，与[14]的每日校准结果相反，在日内情况下，反馈矩阵中出现了清晰的对角线结构（见图1）。此外，Intra day杠杆内核被发现接近于零，这证明了我们主要考虑≡ 整篇论文都是0。

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mingdashike22

2022-5-9 05:46:48

二次核的谱分解（见图2）表明K是正秩一矩阵和对角矩阵的叠加。实际上，我们得到了一个很好的近似值（见图3）K（τ，τ）≈ φ(τ )δτ-τ+k（τ）k（τ），其中φ（τ）=gτ-α、 k（τ）=kexp(-ωτ），其中g=0.09，α=0.60，k=0.14，ω=0.15。注意，ω=0.15对应于大约30分钟的特征时间（料仓尺寸×ω-1）对于反对角线分量的衰减。We-0.015-0.01-0.00500.0050.010.01510 20 30 40 50 60 70 80 90LeverageLagτ（min）L（τ）图1：美国股票五分钟日内收益率校准的QARCH内核。最大延迟为18箱，即交易时间的一个半小时。左：二次核的热图。白色系数接近于零，蓝色系数为负，黄色/橙色/红色系数为正，随着绝对值的增加，颜色会变深。我们发现，所有重要的系数都是正的，有一个不可忽略的对角线分量。右图：利用内核。它与零完全不同，可以被视为纯噪声（与它明显为负的日常模型相反）。00.020.040.060.080.10.120.142 4 6 8 10 12 16 18本征熔渣τ（5分钟b ins）本征对角系数-1-0.500.512 4 6 8 10 12 14 16本征向量熔渣τ（5分钟b ins）图2：二次QARCH核的谱分解。左：排序特征值（普通暗线）和对角线系数（虚线）。可以看出，对角线系数与特征值非常接近，但第一个特征值明显大于对角线的最大值。右：对应于五个最大特征值的特征向量。

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大多数88

2022-5-9 05:46:51

第一个特征向量（普通暗线）是一个正衰减核，其他特征向量接近正则向量ei（τ）=δi-τ.然后将核K的反对角线部分乘以其设定值K（τ）K（τ）=kexp(-ω（τ+τ）），我们重新校准了K的对角线，最大滞后时间更长，为60箱（交易五小时）。我们得到φlr（τ）=gτ-α的新系数g=0.09，α=0.76，与上述在较短时间跨度内获得的系数相差不远。QARCH模型的残差ξtof由t=σtξt定义，其中Rti是五分钟收益率，σ是QARCH波动率，用Student的st分布建模。K（τ，τ）=φ（τ）Δτ模型的标定-τ+k（τ）k（τ）产生ν≈ 7.9残差的自由度，给出峰度κ≈ 4.5. 这必须与0进行比较。010.110 100核φ和kLagτ（min）φ（τ）k（τ）图3：通过幂律对角矩阵和指数秩1矩阵之和拟合核k。左图：填充矩阵和原始矩阵之间差异的热图。除左上角外，系数较小（白色或浅色）：原始矩阵具有更强的短期反馈。右：使矩阵距离p[k（τ，τ）最小化的核φ（τ）和k（τ）-φ(τ)δτ-τ-k（τ）k（τ）]。秩1的核k以红色绘制（对于小τ，它更大），对角线的核φ以蓝色绘制，两者都以对数比例绘制。灰线是指数α=0.6的φ（τ）的幂律fit，以及特征时间约为30分钟的k（τ）的指数fit。0.010.110 100核φ（长程）滞后τ（min）φ（τ）图4：长程核k。左：长程核的热图，其作用-对角线固定为其指数秩1 fit，对角线在无约束的情况下校准。右：霍克斯核φ（τ）=K（τ，τ）-k（τ）安装在60个料仓上。

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2022-5-9 05:46:54

核φ（τ）以对数标度绘制，其幂律系数的指数α=0.76（虚线）。尾部指数νrof rtitself，众所周知，其范围为3→ 4.另见下图5。由于ν是νr的两倍以上，因此带有高斯残差的QARCH模型和这种特殊形式的K在很大程度上解释了五分钟收益的厚尾，这似乎完全由二次反馈机制产生。我们将在第4节和第5节从理论和数字上证明为什么会出现这种情况。在QARCH模型中，波动率的内生性比（即来自反馈效应的波动率的比例）由二次核的迹Tr（K）给出。我们的参数化和q的最大滞后≥ 1，一个hasTr（K）=qXτ=1φ（τ）+qXτ=1k（τ）。我们使用fits k（τ）=kexp(-ωτ）和φlr（τ）=gτ-α来计算q=78的Tr（K），这是一个交易日五分钟仓位的总数。我们得到了qXτ=1φ（τ）\'0.74，qXτ=1k（τ）\'0.06=> Tr（K）\'0.80。这种内生性比率意味着80%的日内波动是由于内生反馈效应。有趣的是，它接近于QARCH和ARCH模型在每日时间尺度上获得的值，见[14]和[9]。请注意，尽管内生性比率很高，但显著低于临界极限Tr（K）=1，这是在更长时间范围内校准标准线性Hawkesprocess-to-activity数据得出的值：参考文献[20,21]报告nH≈ 在几个小时的时间窗内为0.9≈ 当内核延长到40天时为0.99。我们将在ZHawkes模型4的第4.2.4节波动率分布中进一步讨论这个问题。1指数情况下的SDE，如果核φ（.）和k（.）ZHawkes模型具有指数形式，过程是马尔可夫过程，可以编写一个随机微分方程来描述其演化。

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2022-5-9 05:46:57

虽然这一假设仅适用于k，但这种情况允许人们对模型有一个良好的直觉，因此我们将详细研究这一限制。事实证明，马尔科夫的例子实际上在数学上非常有趣。为了简单起见，让我们假设价格跳变为二进制ξ=±ψ，并且我们在不损失一般性的情况下设置ψ=1。此外，我们注意到k（t）=√2nZωexp(-ωt）和φ（t）=nHβexp(-βt），其中NH是霍克斯范数，NZ是祖姆巴赫范数。我们要求：Tr（K）=nH+nZ<1。然后可以在这种情况下编写模型：λt=λ∞+ Ht+ZT在哪里dHt=β[-Htdt+nHdNt]，dZt=-ωZtdt+kdPt（19）过程N和P以λ和振幅同时跳跃Nτ=1和Pτ=±1，概率相等。虽然非常简单，但与持续的差异相比，这种跳跃式SDE系统缺乏可操作性。因此，我们转向低频渐近线，当给定时间窗口中的跳跃次数变大时，我们会得到低频渐近线，而它们的振幅会相应地减小。这是下一节的主题。4.2低频渐近性Jaisson和Rosenbaum[25,26]详细研究了具有短程核的近临界Hawkes过程的低频渐近性。他们表明，对于适当的缩放和收敛到临界点nH=1，巴克里等人[6]基于短记忆霍克斯的价格过程收敛到赫斯顿过程（因为霍克斯强度收敛到CIR波动过程）。同样的作者[26]表明，当内核表现出幂律行为φ（t）~ T-1.-1/2 < 强度的极限过程是一个分数布朗运动，赫斯特指数H= -.

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2022-5-9 05:47:01

什么时候接近1/2，如经验数据所示[20]，后一个过程的粗糙度与[4,19]的经验结果一致，后者发现Hurst指数H接近于零对数波动率（对于[4]的多重分形模型，H=0）。然而，目前尚不清楚霍克斯过程强度如何与对数波动性相一致。厚尾行为不能通过简单的线性霍克斯过程复制，因为赫斯顿CIR过程中不存在这种行为（另见下文）。在这里，我们想研究马尔科夫-扎克斯模型的低频渐近性，正如我们将看到的，它揭示了由二次反馈效应引起的非常有趣的新特征。选择一个最终会发散的时间尺度T>0，我们定义过程“HTt=HTt，\'ZTt=ZTt，\'NTt=NtTand\'PTt=PTt，参数β和ωT可能取决于T，但内生性参数nH和nZ固定：等式（19）给出d¨HTt=-βT“HTtT dt+nHd”NTt,dāZTt=-ωT¨ZTtT dt+γTd¨PTt，（20），其中γT:=2ωtn和¨n和¨PTis T×[λ]的共同跳跃强度∞+\'HTt+（\'ZTt）]。由于“pta”跳跃的迹象被认为是不可预测的且等于±1，因此该过程的单位误差发生器由ATF（h，z）给出-β-Th-Thf（h，z）- ωTz Tzf（h，z）（21）+Tλ∞+ h+zf（h+nHβT，z+γT）+f（h+nHβT，z）- γT）- f（h，z）对于在（0+∞)x R.我们现在考虑以下标度βT=β/T，ωT=ω/T，（22），其中β，ω>0。

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2022-5-9 05:47:04

由于我们确定了nHand nZ的值，因此我们的程序可以称为“恒常性重标度”，而不是Jaisson和Rosenbaum在[25]和[26]中使用的标度，其中过程的内生性比nHat需要随着时间的推移收敛到统一。我们的选择部分是受第3.2节关于日内收益率的校准结果的影响，该校准结果产生了0.7范围内的内生性比率- 0.9，接近每日时间标度[14]和[9]获得的值，显著偏离临界值nH=1。方程（21）和（22）结合asATf（h，z）=-βhhf（h，z）- ωzzf（h，z）+Tλ∞+ h+zTFh+nHβT，z+γ√T+Fh+nHβT，z-γ√T- f（h，z）,我们介绍γ的地方=√2nZω。我们转向低频渐近线。随着时间的推移，一个人已经h+nHβT，z+γ√T+Fh+nHβT，z-γ√T-f（h，z）=nHβThf（h，z）+γ2Tzzf（h，z）+oT,因此ATf（h，z）收敛到∞f（h，z）=-β(1 - nH）h- nH（λ）∞+ z）hf（h，z）- ωzzf（h，z）+nZωλ∞+ h+zzzf（h，z）。接线员A∞是这种差异的微型发生器d\'H∞t=h-(1 - nH）`H∞t+nHλ∞+\'Z∞Tiβdt，d\'Z∞t=-ω′Z∞tdt+γqλ∞+\'H∞t+\'Z∞TdWt，（23），其中W是标准布朗运动。Kallenberg[27]（定理19.25）的标准参数给出了过程（\'HT，\'ZT）到（\'H）的收敛性∞,\'Z∞) 随着时间的推移。因此，对于非退化极限过程，不需要过程的范数趋于1（即过程几乎是临界的）。上述限制过程是本节的主要结果。虽然它是为马尔可夫扎克斯过程推导出来的，但我们认为这是对整个类具有短记忆的非临界扎克斯过程的限制过程，是霍克斯的赫斯顿CIR限制过程的类似物，如[25]。

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2022-5-9 05:47:07

根据[26]的精神，与长记忆/临界ZHawkes过程相对应的极限行为留给未来研究。我们现在研究限制过程的一些性质，公式（23），特别是波动率分布的诱导尾。4.3波动率分布的尾部从现在起，我们去掉上标∞ 在“H”和“Z”上；我们正在研究限制过程这一事实是隐含的。首先，我们要注意的是，SDE中不存在“H”的布朗部分，因此它可以作为（\'Zs）的确定函数显式求解≤t:\'Ht=\'H∞+ nHβZt-∞经验(-(1 - nH）β（t- s））Zsds；\'H∞:=λ∞1.- 因此，在所考虑的极限中，“Ht”可以写成常数项和“Zs”平方的指数移动平均值之和。我们得到了“Zt:d”Zt=-ω\'Ztdt+γs\'H∞+\'-Zt+nHβZt-∞经验(-(1 - nH）β（t- s））ZsdsdWt。（24）4.3.1没有霍克斯的ZHawkes我们首先考虑霍克斯反馈为零的简单情况，即nH=0。这对应于启动模型中仅存在Zumbach项的情况，即λt=λ∞+ Z不等式（4）。正如我们在续集中看到的，这个简单的模型仍然足够丰富，可以重现波动过程中一些有趣的经验特性。其中一个是：d\'Zt=-ω′Ztdt+γqλ∞+“-ZtdWt，（25）这是皮尔逊差异的一个特例，福尔曼和索伦森[18]对其进行了广泛的描述和分类。过程“Z”/√λ∞第三种分类（见[18]第2.1节），使用字典→ 0, θ → ω和a→ 新西兰。因此，\'zt是遍历的，其平稳律是一个具有1+1/nz自由度和标度参数pnzλ的Student t分布∞/（1+nZ）。这意味着Z平方的静止定律∞是一个F分布，具有1和1+1/nZ自由度，尺度参数nZλ∞/（1+nZ）。

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mingdashike22

2022-5-9 05:47:10

我们将表示为asVt=ψλ∞+“Zt价格的低频平方波动率（为了完整性，我们重新引入跳跃大小ψ）。变量的直接变化产生过程v的稳态密度q（v）：q（v）=Γ1+2nZΓ+2nZpπv∞（五）- 五、∞)五、∞五、1+2nZ{v>v∞}（26）其中v∞= λ∞ψ是平方波动率的基线水平。对于Vt分布的尾部指数，我们得到一个幂律尾部：q（v）~五、→+∞C v-+2nZ（27）C是一个显式常数。我们发现这个结果有趣有两个原因。首先，我们可以从以下事实中获得一个自然出现的幂律行为：对于较大的| Zt值，波动性表现为| Zt |，描述其动力学的过程只是一个带漂移的乘法布朗运动（见25）。这与[25]中的“对角线”霍克斯对应物不同，在[25]中，布朗噪声前面的系数仅为波动率的平方根，这必然导致一个具有特征尺度和细尾的过程。其次，V的平稳分布只取决于Zumbach范数nZ，这可以被视为过程的内生性。这最后一个结果表明，与霍克斯过程类似，在霍克斯过程中，当核是短程核时，渐近性质仅依赖于范数nHas，对于任何短程核，平方效用的分布（26）都应该保持不变。另一句话是≥ 1/3，活动V的方差σVO爆炸，其平均值为uVremains fine至nZ→ 1.-. 现在，当使用一个简单的霍克斯过程拟合这个过程生成的时间序列时，我们会发现nH≈ 1.-puV（W）/σV（W）用于选择合适的窗口尺寸W（见[21]）。因此，均值/方差比的消失必然会导致fitted Hawkes过程必须是关键的，即。

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2022-5-9 05:47:13

nH=1！我们在这里争论的是，这种明显的临界性实际上可能是由二次反馈效应引起的，但并不一定意味着真正的潜在过程是关键的。最后，请注意，在价格过程满足方程式d’P的差异极限中∞t=√VtdWt，收益的渐近平稳分布由以下公式给出：p（r）~|r|→∞C | r | 1+v；ν ≡ 1+nZ。我们的模型产生的厚尾波动率自然会产生瞬时收益的厚尾分布，累积分布的指数ν等于1+1/nZ≥ 2.内生性越强，回报的尾部越厚：这种解释似乎是直观的。对于一个关键过程，nZ=1，尾部是这样的，即收益的波动性会发生分歧。累积分布的尾指数≈ 3（所谓的“逆立方定律”，在交易产品的大宇宙中观察到）为nZ=0.5。然而，请注意，上述通过校准模型获得的nZ值要小得多，nZ≈ 0.06，导致ν≈ 18.Farto large解释了财务回报的尾部。现在我们将看到，非常有趣的是，与非临界Hawkes核的相互作用可以极大地降低v.4.3.2 ZHawkes与Hawkes的值。当nH>0时，情况更复杂，但值得注意的是，活动分布的尾部指数q（v）仍然可以在某些极限下解析计算。这个想法是要意识到→ ∞, H的分布取决于Y的某个大值：=\'Zis的形式：∏（\'H|Y）=\'YFH\'Y+ o（Y）；（\'Y→ ∞),其中F（.）是一个特定的标度函数，它遵循附录B中导出的微分方程。相应地，我们可以证明Vt=ψ分布的远尾λ∞+“Zt仍然是幂律，由q（v）给出~五、→+∞个人简历-+2nZ（1+a）*), （28）其中Cis是另一个常数，a*定义为：a*=Z∞dx×F（x）。

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2022-5-9 05:47:16

（29）引入χ：=2ωβ作为Hawkes过程的相关时标与ZHawkes过程的相关时标之比，可以在两个极限χ中找到F的完整解→ 0和χ→ ∞,允许一个人乘以*. 结论之一（见附录B）：a*≈nH1- 新罕布什尔州1.- χ1 - 新罕布什尔州- 新西兰（1）- （新罕布什尔州）, (χ → 0); A.*≈nHχ（1）- nZ），（χ，χnZ→ ∞). （30）另外两种极限情况可以精确解决：一种是nH→ 0，1发现a*≈nHχ（1）-新西兰）仍然持有* 1，另一个是新西兰→ 0，我们找到了*作为二次方程的解（见附录B）。返回值累积分布的渐近尾部对应的指数现在由：ν=1+nZ（1+a）给出*), （31）使用：o对于nH=0（ZHawkes无Hawkes），可以恢复之前的情况，其中*= 0和ν=1+1/nZ.o对于0<nH<1和χ→ 0（Hawkes比ZHawkes“快得多”），指数ν减小到ν=1+（1）- nH）/nZ+O（χ）对于0<nH<1和χ→ ∞ （霍克斯比扎克斯“慢得多”），指数ν再次从ν=1+1/nz减少了一个数量~ 1/χ.o 就新西兰而言→ 0，one-findsν=1+bnZ，其中b可以用nHandχ计算，见附录b。我们认为，本节的结果非常有趣。首先，由等式定义的二维极限过程。（23）导致波动率的幂律尾部，可以在某些极限下准确描述。从理论角度来看，如果ZHawkes过程被证明是金融市场动力学建模的核心要素，那么在该模型中精确计算尾部指数的可能性可能非常重要。其次，我们发现，虽然霍克斯核本身不会导致幂律尾（即，ν）→ ∞ 当新西兰→ 0），Hawkes内核实际上与ZHawkes内核“合作”以使分布的尾部更肥。

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2022-5-9 05:47:20

经验兴趣的情况是nZ=0.06，nH≈ 0.8导致ν=1+（1- nH）/新西兰≈ 4对于χ→ 0，对于非马尔可夫ZHawkes过程，它确实保持在实验范围内，参数根据日内数据进行校准，如下一节中的数值模拟所示。我们发现这一现象非常显著：虽然霍克斯反馈本身无法解释厚尾，但只有相对少量的二次（Zumbach）反馈在正确的范围内产生幂律尾（记住，nZ=0.06） nH）。然而，请注意，thisZHawkes系列模型的指数是连续变化的（作为参数的函数），而不是像在许多物理情况下那样的固定、通用指数。这就引出了一个问题：是否有任何机制可以解释为什么反馈参数nZ、nH、χ位于一个较大的限制区间内，比如解释（成熟）金融市场尾部指数的明显普遍性？5数值模拟结果5。1波动过程的经验尾部在本节中，我们将ZHawkes模型产生的波动过程与基于标准Hawkes的价格模型以及第3.2.1节研究的财务数据进行数值比较。我们模拟了具有指数Zumbach部分和幂律Hawkes部分的ZHawkes模型，其参数受第3.2节QARCH校准的启发：对于以分钟表示的t，φ（t）=0.0016×（1+0.01×t）-1.2，k（t）=0.003×exp(-因此nH=0.8，nZ=0.1，Tr（K）=0.9。请注意，为了模拟平稳的ZHawkes模型，我们选择φ的衰减指数大于1，尽管QARCH校准表明对应于日内时间尺度的t衰减较慢。

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