扩散极限订货簿中小订单的最优布局

2022-6-1 06:00:50

小订单在不同LimitOrder BookJos'e e.Figueroa-L'opez中的最佳布局*Hyoun Lee+Raghu Pasupathy2021年11月15日摘要我们研究希望在预定时间范围t内通过使用限制指令或市场指令清算其库存的股票交易员的最优配售问题。对于不同的市场，我们描述了最优限价订单安排政策，并分析了其在不同市场条件下的行为。特别是，我们表明，在存在负漂移的情况下，存在一个临界时间t>0，这样，对于任何时间范围t>t，都存在一个最优位置，与早期的工作相反，它不同于“完全”接近最佳ask的位置，如最佳出价和次优出价。我们还提出了一种近似临界时间和最优订单安排的简单方法。关键词和短语：最优订单安排、独特的限额订单、高频交易1简介在当今的股票市场上，大多数证券交易所都采用了电子交易系统，买卖双方可以通过电子方式交易证券、外汇或金融衍生品。这导致了算法交易的发展，它依赖于基于*美国密苏里州圣路易斯市华盛顿大学数学系，邮编63130。figueroa@math.wustl.edu.部分由NSF资助的研究：DMS-1561411和DMS-1613016。+美国西拉斐特普渡大学统计系，邮编：47907。lee1487@purdue.edu.美国西拉斐特普渡大学统计系，邮编：47907。pasupath@purdue.edu.on预先编程的交易指令。更普遍地说，高频交易（HFT）是一种新的趋势，主要集中在短时间尺度上。

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2022-6-1 06:00:53

据估计，HFT超过了美国上市股票交易量的50%。通常，股票交易员的首要问题之一是将大订单拆分为小订单，以减少市场影响，即订单可能对证券价格产生的不利影响，因为购买（分别出售）资产往往会使价格上升（分别下降）。其次，他们需要将这些小订单分为多个时间间隔。在下订单时，他们还需要决定是使用市场订单还是有限订单，在第二种情况下，还需要决定下订单的价格水平。限价订单是以指定价格交易资产的订单。买方/卖方可以指定价格，但不保证限价订单的执行。相比之下，市场指令是指以最佳可用价格买卖资产的指令。立即执行市场指令。用于解决这些问题的不同方法被广泛称为最优执行/安置策略。限价订单簿（LOB）收集所有限价订单，包括数量和价格。在执行市场订单、提交更多限额订单或取消现有限额订单时更新LOB。在传统的最优执行问题中，我们感兴趣的是决定是否（以及何时）下市价订单或限价订单，但仅以最高价或最高价（见[11]、[3]、[2]、[9]、[13]、[6]）。然而，最近的一系列文献也考虑了这样一个问题，即是否应该在书中更深入地放置限制顺序。这个确定最优价格水平的问题通常被称为限价订单的最优配置问题。在文献[10]中，研究了LOB水平知识产权的离散时间模型下的最优布局问题。具体而言，郭等人。

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2022-6-1 06:00:56

[10] 研究当投资者想要在特定的时间范围t内购买一股资产时的最优配售问题，假设最佳卖价遵循对称相关随机游走（CRW）（CRW的定义见[14]）。郭等人[10]假设一种“静态”交易策略，即投资者的限额指令不能在t之前取消，并且，未在时间t前执行的限制指令会自动取消，并在时间t时更改为市场指令。其中还假设，每次指令价格成为LOB的最佳出价时，投资者的指令都会被执行，这是一种积极的持续概率。[10]中的一个关键结论是，最佳的strategyhttps://www.sec.gov/marketstructure/research/hft2014年3月lit回顾。将投资者的预期成本降至最低的PDF是三种可能性之一：（i）以最佳出价配售；（ii）排名第二；或（iii）初始市场购买订单。此外，答案会根据回扣、市场费用和转移概率的各自值而变化。在当前工作中，我们将订单置于最佳或次优投标水平（如上文（i）或（ii）所述）的策略称为“i-ii级”或“琐碎”解决方案。这种术语有两个原因。首先，以最佳或次最佳出价下单不会包含关于时间0时账簿状态的任何信息，这通常是可用的，最好在下单时予以考虑。第二，通过构造，文献[10]中假设的非对称随机游动缺乏“漂移”，即使在中范围时间范围内，实际价格过程有时表现出中度漂移（见文献[3]）。我们在本文中的调查直接解决了这两个问题。

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2022-6-1 06:00:59

具体而言，当价格动态偏离对称相关随机游走时，我们描述了最优布局的性质，同时还结合了LOB初始状态的信息。本文讨论了当价格动态服从布朗运动（BM）或几何布朗运动（GBM）等不同模型时的最优策略。BM模型，通常称为Bachelier模型，可以被视为中间日内时间范围内资产价格动态的合理近似值（参见，例如，[5]和[4]）。此外，与[10]的工作衔接，当价格变化与刻度大小之间的时间步长以某种方式变为0时，漂移为0（分别为非零漂移）的BM显示为对称（分别为非对称）相关随机游动的极限（参见[14，第3节]，[8]）。然而，人们普遍认为，GBM（也称为Black-Scholes模型）在较长时期内能够更好地反映资产价格动态，这与更传统的宏观资产价格模型一致。预计在存在负漂移的情况下，存在一种与[10]的I-II级解决方案不同的最优安置政策。直观地说，如果股票的漂移u<0，那么平均而言，在时间范围t内，最好的卖出价在S+ut的水平上，我们预计，在这样一个水平上下订单比在接近最佳任务S的水平上下订单要好。这种直觉是完全合理的，我们证明了临界时间t>0的存在，这样任何水平t>t都存在一个非平凡的最优解。此外，我们发现，对于BM模型，这样的时间范围限制了简洁的闭式近似值ρ（0+）（r+f）/2 |u|，对于GBM模型，限制了ρ（0+）（r+f）/2S |u|。

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2022-6-1 06:01:03

这里，r和f分别是投资者每执行限额和市场订单的回扣和费用，ρ（0+）衡量的是在初始最佳出价下的订单在最佳ASK队列耗尽之前执行的概率。通常，最优解取决于时间范围t、漂移u、波动率σ和函数ρ：（0，∞) ×(0, ∞) → （0，1），使得ρ（x，t）是在S级下订单的概率-x在该级别成为最佳投标价格的第一时间段内以及在投资的时间范围t之前执行。我们可以通过ρ（x，t）合并关于LOB初始状态的信息：级别x的初始队列大小越大，ρ（x，t）越小。我们还分析了不同市场制度下非平凡最优解的行为。因此，例如，在长周期或小波动的情况下，最优配售解决方案的形式如下-utθ，其中θ>1显式表征。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了最优配售问题，以及我们旨在最小化的投资者预期成本函数。在第3节中，我们研究了BM模型下的问题，并证明了临界水平时间t的存在性，以及当t和t%时最优布局策略的渐近行为∞. 在第4节中，我们对GBM模型进行了相同的计划，此外，我们还考虑了在小波动率区域σ&0下最优配售策略的行为。第5节研究了上述概率ρ（x，t）的行为，并从理论和经验两方面评估了本文所用假设的可行性。第6节给出了一些结论。附录中给出了我们主要结果的证明和一些进一步的细节。一般符号。

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2022-6-1 06:01:05

函数f（x，t）的偏导数表示为xf，tf，t型xf，xf等。标准正态r.v.Z的pdf、cdf和存活或尾部分布用φ（Z）=e表示-z/2/√2π，N（z）=Rz-∞φ（x）dx，且Nc（z）=N（z）=1- N（z）分别为。2对于连续时间最优配售问题，投资者希望在预定的时间范围t>0之前购买一股股票。显然，他希望以尽可能低的价格购买，为此他在价格水平下了一个限价购买订单- x、其中x>0。此后，\'Su:=\'S（δ，ε）ude注意到u时每股的最佳要价≥ 当价格变化之间的平均时间跨度由一个参数δ>0控制，并且假设与每次价格变化时的价格增量一致的刻度大小为ε>0时，为0。特别是，我们还假设最佳买卖价格之间的价差总是相隔一个刻度ε（一些有力支持这一假设的实证证据见[5]）。因此，投资者的指令只能在最佳询价处于s级时执行- x+ε，或者，当最佳投标价格处于S级时- x、我们还表示τ：=0和0<τ<τ<。最佳要价的连续变化次数。特别地，我们假设δ=E（τi+1- τi），对于所有i≥ 0。让我们在此指出，在更一般的设置中，可以将δ设置为不同的模型参数，例如将价格变化速度增加为δ&0的参数。我们采取以下交易策略，并由此产生投资者成本：1。如果“Su>”- x+ε，对于所有0≤ u≤ t（特别是，x>ε），投资者的限价指令将不会完成，他将在时间t取消指令，并以市场价格St购买股票。在这种情况下，投资者的成本/收益可以设置为-\'S+f，其中f≥ 0是市场对每个执行的市场订单施加的费用。2.

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2022-6-1 06:01:08

否则，假设询价第一次处于-x+ε，此处表示τ，发生在时间t之前。集合j：=min{i≥ 0：τi=τ}。然后，有三种可能性：（i）投资者的指令在s时间执行≤ t型∧ τj+1。在这种情况下，投资者的成本/收益设置为-x个- r、其中r≥ 0是每个执行的有限订单的返利。（ii）相反，如果在t和τj+1之前未执行命令≤ t（因此必要的\'Sτj+1=\'S-x+2ε），投资者将取消订单，并以市场价格购买股票- x+2ε。在这种情况下，他的成本/收益将为-x+f+2ε。（iii）如果在t和τj+1>t之前未执行指令，导致下一次价格变化发生在时间范围t之后，则投资者将在时间t取消指令，并以市场价格“St=”S购买股份- x+ε。在这种情况下，他的成本/收益将为-\'S+f，与上述情况1相同。如上文第1-2点所述，我们的目标是将投资者的预期成本降至最低。首先，让我们推导出一个明确的公式，我们需要确定最佳投标价格达到水平的事件- x乘以时间t，并且在第一次发生这种情况的时间段内，订单在时间t之前执行。就事件Et而言，运行最小值“Yt：=”Y（δ，ε）t：=inf0≤u≤t'S（δ，ε）u和j：=min{i≥ 0:Sτi=(R)S- x+ε}，当x>0时，成本函数可以写成如下形式（其推导见附录C）：\'Cδ，ε（x，t）=E\'\'St-\'\'S年初至今- x+εP年初至今- x+ε+ P（年初至今）≤\'\'S- x+ε）[-x个- ρ（x，t）（r+f）+2ε（1- ρ（x，t））]+f（1）+P（(R)Yt≤\'\'S- x+ε，τj+1>t，Ect）ε，其中ρ（x，t）：=ρ（δ，ε）（x，t）=P（Et | Yt≤ S-x+). 成本函数（1）受【10】的启发，但由于【10】中不允许提前取消，因此对上述情况2-（ii）的处理存在显著差异。备注2.1。

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2022-6-1 06:01:11

如上所述，ρ（x，t）是指投标限价单处于S级的概率- 时间0的x在时间t之前执行，并且在第一时间段内，当最佳投标价格处于水平- x、考虑到后一事件的发生。可以根据级别S的初始投标队列大小Qbx（0）数值计算ρ（x，t）- x和一些关于订单流如何发生以及静态价格变化后最佳询价队列大小的特定假设。直觉上，我们期望ρ（x，t）与初始队列大小Qbx（0）反向移动：Qbx（0）越大，概率ρ（x，t）越小。例如，稍微修改一下[5]中的框架，假设在最佳出价队列耗尽后（这会暂时扩大价差），限价订单的流动会迅速填补缺口，价差再次减少到一个刻度。我们假设，填补缺口后，最佳询问队列的最终大小是从固定分布fa:Z中随机抽取的+→ [0, 1]. 然后，ρ（x，t）可建模如下，对于x>ε，ρ（x，t）：=∞Xi=1Qbx（0）Xj=0fa（i）Ztfτ（s | 0<τ<t）P（Nb，xs=j）αt-s（i，Qbx（0）- j+1）ds，（2）其中τ是最佳投标价格第一次达到- x、 fτ（s | 0<τ<t）是τ调节在0<τ<t上的密度，Nb，xs表示在初始Qbx（0）级未完成订单的时间sout取消的订单数- x、 αu（i，`）是一个LOB的最佳出价在最佳ask之前和时间u之前耗尽的概率，此时在时间0时，在最佳ask时有订单，在最佳出价时有订单。我们假设α只取决于θ，根据文献[5]，这通常发生在几毫秒内。

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2022-6-1 06:01:15

相反，如果大量限购订单填补了缺口，我们不会将这一次视为卖价的变化，而是继续分析下一次最佳出价再次变化的情况。通过i和`，LOB的状态。对于x=ε，ρ（ε，t）=αt（Qaε（0），Qbε（0）+1，其中，现在Qaε（0）表示在时间0的最佳要价下的未完成订单。在对LOB订单流量和最佳ask价格的动态（决定fτ）施加一些合理的假设后，以及在根据realLOB数据估计Fa后，可以对函数ρ（x，t）进行数值计算。第5节提供了有关ρ（x，t）计算的一些详细信息。现在，我们已经准备好进入连续时间的最优布局问题。我们假设价格变化δ和刻度大小ε之间的（平均）时间步长足够小，并且彼此相关，因此可以通过适当的连续时间过程S来很好地近似'S（δ，ε）：={Su}u≥0和ρ（δ，ε）（x，t）→ 对于光滑函数ρ（x，t），ρ（x，t）。然后，在极限（δ，ε→ 0），类似于（1）的连续时间问题可以写成asC（x，t）=E[St- S | Yt>S- x] P（Yt>S- x） +P（Yt≤ S- x）(-x个- ρ（x，t）（r+f））+f，x>0。（3）特别是，最佳位置x*（t），它将所有x>0的C（x，t）最小化，仅依赖于r和f到r+f，这可以被视为未执行limitorder的“惩罚”。

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2022-6-1 06:01:17

接下来，我们研究最优布局x的存在性和行为*（t）有争议的是，金融领域最重要的两个连续模型：Bachelier模型和BlackScholes模型。3 Bachelier模型下的最优订单安排在本节中，我们研究了当价格过程{St}t≥0遵循带漂移的布朗运动（BM），通常称为Bachelier模型。本节的所有证明均推迟至附录A。如最近的一些著作所示（参见，例如，[5]和[4]），带漂移的布朗运动是一种合理的中间日间时间范围近似值（如几分钟）。此外，我们可以将此模型视为相关随机游动（CRW）的连续时间对应物。具体而言，通过使价格变化和刻度大小之间的时间步长以某种方式衰减为0，对称CRW收敛于无漂移布朗运动（参见【14，第3节】），而某些非对称CRW收敛于无零漂移布朗运动（参见【8】）。让我们从给出成本函数的封闭形式表示开始。引理3.1。设dSt=udt+σdWt，其中W={Wt}t≥0是标准布朗运动，u∈ R和σ>0分别是价格过程S的漂移和波动。然后，等式（3）中引入的COST函数接受以下表示：C（x，t）=N-x个- utσ√t型+ e-2xuσN-x+utσ√t型(-x个- ρ（x，t）（r+f））+utNx+utσ√t型+ e-2xuσ（2x- ut）N-x+utσ√t型+ f、 x>0。当u=0时，C（x，t）=-2N个-xσ√t型ρ（x，t）（r+f）+f，x>0，严格地在x上递增∈ (0, ∞) 例如，如果x→ ρ（x，t）是非递增的。另外，请注意，对于任何u∈ (-∞, ∞),C（0+，t）：=limx→0+C（x，t）=-ρ（0+，t）（r+f）+f<f，因此，在时间0时按市场指令立即购买永远不是最佳选择。因此，对于x不递增的零漂移BM→ ρ（x，t），C（0+，t）<C（x，t），对于所有x>0。

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2022-6-1 06:01:20

在这种情况下，我们说x=0+是最优布局解决方案，并称之为“平凡”最优布局解决方案。从直觉上看，值0+代表一个“最小”数字，在实践中，这可以解释为以最佳或次优出价下达限价购买订单的策略。刚才提到的无漂移BM的最优顺序安排与[10]关于对称相关随机游动的结论一致，这是预期的，因为如上所述，零漂移布朗运动是[10]中使用的对称相关随机游动的扩散极限。当漂移为正值时，对于非递增函数x，最优布局策略仍然为x=0+→ ρ（x，t）。然而，对于负漂移，应该存在一个非平凡的最优布局解决方案。如图1所示，如果时间范围很小，则不一定是这种情况。下面的结果探索了非中心最优布局解存在的条件。定理3.2。设C（x，t）和{St}t≥0如引理3.1所示，假设r+f>0，ρ（x，t）为Con（0，∞) × (0, ∞). 然后，以下断言成立：根据备注2.1，如果Qbx（0）一书的初始状态是非减量的，因此结论是有意义的，那么这种情况预计会发生。0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-0.003-0.001 0.001C（x，t），t<t0，t>t0x预期成本t=0.0384t=0.0334t=0.0234t=0.0184图1：当t=0.0284，（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.2时，C（x，t）对x，t=0.0184（洋红），t=0.0234（蓝色），t=0.0334（绿色），t=0.0384（红色）。（i）如果u>0和x→ ρ（x，t）对于每一个t>0是不递增的，然后对于所有x>0，C（0+，t）<C（x，t）。（ii）假设u<0，并且在给定的时间范围t>0时，以下条件保持不变：ρ（0+，t）<2 |u| tr+f，ρ（0+，t）x个≥ 0

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2022-6-1 06:01:23

（4）然后，存在x*（t）∈ (0, ∞] 这样C（x*（t），t）≤ C（x，t），对于所有x>0。此外，x*（t） <∞, 如果以下附加条件成立：lim supx→∞ρ（x，t）x个≤ 0，lim infx→∞ρ（x，t）x>2 |u|σtr+f，（5）备注3.3。根据我们在第2节中的讨论，可以将ρ（0+，t）解释为ρ（ε，t），即在时间0上放置在最佳出价队列上的限价指令在下一次价格变化之前（或在）和时间t之前执行的概率。条件xρ（0+，t）>0本质上是指ρ（2ε，t）>ρ（ε，t）和，如第5节所述，在实际中，当存在一些LOB不平衡（例如，0<Qbε（0））时，通常满足- Qaε（0）≤ Qb2ε（0）-Piifa（i），其中我们使用了与（2）中相同的符号。需要（4）中的条件来排除x=0+可能是最优的，而需要（5）中的条件来排除x=+∞ 可能是最佳选择。在第5节中，我们证明，对于一大类模型，（5）中的第一个条件成立，而数量lim infx→∞其中第二个条件中出现的ρ（x，t）x可以由一个显式量下界，因此，可以对模型参数施加精确约束，以满足该条件（见下面的命题5.2和备注5.3）。需要（4）中的两个条件来保证xC（0+，t）<0（因此，排除x*（t） =0）。很自然地，我们会考虑最小的时间范围，即对于任何t>t，都存在一个非平凡的最优布局策略。具体来说，lett：=infu≥ 0 :Cx（0+，s）<0，对于所有s>u. （6）这一阈值很重要，因为如果投资者的首选时间范围大于T，那么他/她可以获得的限价订单将有一个非零的最优位置。作为定理3.2证明的推论，我们推导出t的以下上界，它对于σ的任何值都是显著相同的。推论3.4。

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2022-6-1 06:01:26

假设u<0，并且（4）中的第二个条件满足（6）中定义的所有t。然后，我们得到了t≤其中，对于所有t>t，ρ（0+，t）<2ut/（r+f）。特别是，t≤ （r+f）/2 |u|。很容易看出ρ（0+，t）随t不减，如第5节所述，在合理的市场条件下，通常在几秒钟内达到其最大值（见图6）。出于这些原因，以下我们假设ρ（0+，t）在t中是常数，并在第3节的其余部分使用ρ（0+）。推论3.4意味着它的上界为（r+f）/2 |u|，因此，当漂移负变大或回扣和费用之和变小时，它会变小。虽然在实践中需要ularge可能太多，但我们确实知道r+f在实践中非常小。因此，询问tas（r+f）的渐近行为是很自然的→ 以下结果提供了关于t定理3.5的进一步信息。让（4）中的第二个条件和（5）中的两个条件满足，所有t>0。也假设ρ（0+，t）≡ ρ(0+) ∈ （0，1），对于所有t和lim supt→0xρ（0，t）<∞.那么，（6）中定义的临界时间tde为正，因此xC（0+，t）=0.0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.25-0.15-0.05σ=0.1u3.0 3.5 4.0 4.50.000 0.004 0.008 0.012x*（t）κ1（t0）（t-t0）κ1（t0）（t-t0）κ1（t0）（t-t0）+κ2（t0）（t-t0）2κ1（t0）（t-t0）+κ2（t0）（t-t0）2最佳布局解决方案和近似值t（天）最佳布局图2：左面板：相对误差，（t-当（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.1，和（t=ρ（0+）（r+f）/2/|u|时，t）/t的不同值为|u|。

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mingdashike22

2022-6-1 06:01:29

右面板：当（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.2，u=-0.25：x*（t）（黑色），κ（t）（t-t）（蓝色），κ（(R)t）（t-\'t）（红色），κ（t）（t-t） +κ（t-t）（绿色）和κ（(R)t）（t-\'t）+κ（\'t）（t-\'t）（洋红色）与t（天）。此外，我们有lim（r+f）→0t（r+f）=ρ（0+）2 |u|。此外，如果，t型xρ（0，t）≥ 0，对于所有t，那么这是方程的唯一解xC（0+，t）=0。从实用的角度来看，之前结果提供的近似值非常重要，因为在大多数市场中，r+f可以忽略不计。例如，对于任何美国交易所，都有每股0.003美元的费用和回扣上限，这使得r+f≤ $0.006. 一般来说，如果投资者可以等待的时间超过（r+f）ρ（0+）/2u|，他/她可以使用一种最优配售策略，该策略优于以最佳出价或市场秩序配售。在图2的左面板中，我们展示了当（r+f）ρ（0+）=0.006且σ=0.1时，t的相对误差：=（r+f）ρ（0+）/2 |u|相对于|u|。现在，我们分析最优配售的行为，投资者应该发出限价指令，以最小化预期成本。定理3.6。假设满足定理3.5的条件，并且xρ（0+，t）<见《联邦法规》，第17篇，242.610（c）（1）和《证券交易法》第51808号（2005年6月9日），70 FR 37496，37545（2005年6月29日）（文件号S7-10-04）0和t型xρ（0+，t）≥ 0，对于所有t>0。同样，让t>0和x*（t），对于t>t，如OREMS 3.2和3.5所述。

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2022-6-1 06:01:32

然后，作为t&t，x*（t） =κ（t- t） +κ（t- t） +o（（t- t）），（7）式中κ：=-Ct型x（0，t）Cx（0，t）>0，κ：=-Cx（0，t）κ+Ct型x（0，t）κ+Cx个t（0，t）Cx（0，t）。让我们注意到，κ和κ中涉及的所有偏导数都可以用N（u）以闭合形式计算√t/σ）（例如，关于κ涉及的衍生物，请参见下文（27）和（28））。上述结果为我们提供了t和t时最优布局解的一阶和二阶近似值。这些近似值需要t的值，根据推论3.5，当r+f→ 因此，定理3.5和3.6的组合为我们提供了最优布局解x的简单近似值*（t），当t→ tand（r+f）很小，这在大多数市场是合理的假设。在图2的右面板中，我们绘制了显式最优位置解、一阶和二阶近似值，并用其近似值t=ρ（0+）（r+f）/2u|替换。如图所示，使用“t”的近似值的性能略低于使用“t”的近似值。在本节的其余部分，我们分析了最优布局解决方案x的行为*（t）对于大时间范围t。为简单起见，我们假设ρ=ρ（x，t）在x和t中是常数。我们在这个方向上的第一个结果给出了上下估计。定理3.7。设u<0，θ：=p1- 2σ/（uρ（r+f）），设x*（t），对于t>t，如前3.2所示。然后-σ√t型- utθ≤ x个*（t）≤ - uθt，其中上述第一个和第二个不等式适用于任何t>maxρ（r+f）-u,σu(θ-1)和t>t。作为定理3.7的推论，我们可以推导x的一阶近似值*（t）当投资者的时间范围t较大时，为|u|θt。下面的定理提供了二阶近似。定理3.8。设u<0和x*（t）为定理3.2中定义的最佳位置，θ为定理3.7中定义的最佳位置。

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2022-6-1 06:01:35

那么，limt→∞德克萨斯州*（t） t型- uθ!= θ、（8）式中θ：=σ2ρ（r+f）|u|θh-6(θ-1)(θ+1)+1+2uρ（r+f）σ(θ-1)θ+1-(θ+1)(θ-1） i.4 Black-Scholes模型下的最优订单安排虽然带有漂移的布朗运动能够在短时间内（例如，几分钟内）大致捕捉价格运动，但通常认为几何布朗运动（GBM），也称为Black-Scholes模型，能够在更长的时间段内提供更好的效果。因此，在这一范式下研究最优布局问题的行为既自然又重要。本节中的所有证明均推迟至附录B。当价格过程S遵循波动率σ和漂移u的几何布朗运动时，下列引理提供了等式（3）中引入的预期成本函数的闭合形式表示。引理4.1。设St：=Sexp(u - σ/2）t+σWt, t型≥ 0，其中{Wt}t≥0是标准布朗运动，leteC（y，t）是在价格水平下下达限价订单的预期成本-y（y＞0）；i、 e.，eC（y，t）：=C（S- 硒-y、 t），C（x，y）定义如式（3）所示。类似地，fixρ（y，t）：=ρ（S- 硒-y、 t）。然后，可以将eC（y，t）写入aseC（y，t）=（Se-y- （r+f）~ρ（y，t））N-y-ut+σtσ√t型+ e-2yμσ+yN-y+ut-σtσ√t型+ SeutNy+ut+σtσ√t型- e-2yμσ+ut-yN公司-y+ut+σtσ√t型+ f- S、在下文中，我们简单地分别写出C（y，t）和ρ（y，t）foreC（y，t）和|ρ（y，t）。对于带漂移的BM，我们有c（0+，t）：=limy→0C（y，t）=f-（r+f）ρ（0+，t）<f，因此，立即下达市场指令也不是最优的。类似地，当u=0时，C（y，t）=-（r+f）ρ（y，t）“N-y+σtσ√t！+eyN公司-y-σtσ√t！#+f- S、（9）这是y上的递增函数∈ (0, ∞) 当y→ ρ（y，t）是非递增的。我们可以再次指出，y=0+是最优配售解决方案，这可以解释为投资者以最佳或次优出价下单的策略。

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2022-6-1 06:01:38

与之前一样，我们称之为“琐碎的”限额订单安排。现在，下面的定理表明，当漂移为负且时间范围足够长时，存在一个非平凡的最优布局解。定理4.2。设C（y，t）：=~C（y，t）如引理4.1所示，并假设u<0，且以下条件成立：ρ（0+，t）<as |u| tr+f，ρ（0+，t）y≥ 0，（10），其中，如果u>-σ/2，如果u，则a=1≤ - σ/2. 然后，存在一个y*（t）∈ (0, ∞] 此类（y*（t），t）≤ C（y，t），对于所有y>0。此外，y*（t） <∞ 如果以下附加条件成立：lim supy→∞ρ（y，t）y≤ 0，lim infy→∞eyyρ（y，t）>2Sσt |u| r+f.（11）备注4.3。在第5节中，我们将验证定理4.2中条件的合理性。特别是，我们证明了（11）中的第一个条件对于一大类模型是满足的，而（11）中的第二个条件在温和的条件下总是满足的。基于经验合理参数，（10）中的第二个条件通常也满足。正如在Bachelier模型中一样，（10）中的两个条件保证yC（0+，t）<0，因此，最优布局问题允许一个非平凡解。这是很自然的*:= inf公司u≥ 0 :Cy（0+，s）<0，对于所有s>u. （12）这是因为（9）中方括号内的函数是限制订单放置atS的概率- 硒-执行Yi，它随y的增加而减少。临界值t*对于任何投资期限t>t，都存在一个非平凡的最优配置政策*. 与Bachelier模型一样，为了进一步指定临界时间t*并提供r+f时的估计值→ 0，我们需要进一步的假设。这在以下结果中提供。定理4.4。让（10）中的第二个条件和（11）中的两个条件满足所有t>0。让t*定义如（12）所示。

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mingdashike22

2022-6-1 06:01:40

此外，我们假设ρ（0+，t）≡ ρ(0+) ∈ （0，1），forall t和lim supt→0|yρ（0，t）|<∞. 那么，t*是积极的，因此yC（0+，t*) = 此外，当（r+f）/S→ 0，我们没有*~ρ（0+（r+f）2 |u| S.（13）如果，此外，t型yρ（0，t）≥ 0，对于所有t，则t*是方程的唯一解yC（0+，t）=0。在图3的左面板中，我们绘制了t*和't：=（r+f）ρ（0+/（2 |u| S）来自定理4.4相对于S。如图所示，^t收敛到t*以非常快的速度，因此^t是t*. 根据我们在定理4.2和（13）之后的讨论，我们知道“t：=（r+f）ρ（0+/（2 |u| S）是t的紧上界*当u>-σ/2. 但是，对于u≤ - σ/2，不知道是否仍然是t的上界*. 然而，t：=（r+f）ρ（0+/（|u| S）是上限（在这两种情况下）。现在，我们继续讨论当投资者的时间范围t接近t时，最优配售解决方案的行为*. 以下结果类似于定理3.6。定理4.5。假设满足定理4.4的条件，并且yρ（0，t）<0和t型yρ（0，t）>0，对于所有t。那么，作为t&t*,y*（t） =ρ（t- t型*) + ρ（t- t型*)+ o（（t- t型*)),式中ρ：=-Ct型y（0，t*)Cy（0，t*), ρ:= -Cy（0，t*)ρ+Ct型y（0，t*)ρ+Cyt（0，t*)Cy（0，t*).让我们注意到，ρ和ρ中涉及的所有偏导数都可以用N（pt）的闭合形式计算*（u±σ/2）/σ）（ρ中涉及的导数见下文（40）和（41）。要使用近似值，投资者需要t的近似值*, 在小费用/回扣制度下，可从定理4.4中获得。

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2022-6-1 06:01:44

因此，定理4.410 15 20 25 300.6 0.8 1.0 1.2 1.4t0与S0S0t（天）t0*t00.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.5049.5 49.7 49.9最优布局解决方案和近似ST（天）最优布局S0exp（y*（t））S0exp的组合(-ρ1（t0）（t-t0））S0exp(-ρ1（t0）（t-t0））S0exp(-ρ1（t0）（t-t0）-ρ2（t0）（t）-t0）2）S0exp(-ρ1（t0）（t-t0）-ρ2（t0）（t-t0）2）图3：左面板：t*当（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.2，u=-0.05。右面板：Sexp(-y*（t））（黑色），Sexp(-ρ（t）（t-t））（蓝色），Sexp(-ρ（(R)t）（t-\'\'t））（红色），Sexp(-ρ（t）（t-t）-ρ（t）（t-t））（绿色），Sexp(-ρ（(R)t）（t-(R)t）-ρ（(R)t）（t-当（r+f）ρ（0+）=0.006，σ=0.2，u=-0.1，S=50。4.5为我们提供了一个简单但精确的最优布局近似解。在图3的右面板中，我们显示了最佳位置Se-y*（t）以及其与tand t的一阶和二阶近似值*如定理4.4所示。很明显，当t接近时，二阶近似显示出比一阶近似更好的性能*, 当t较大时，结果相反。除了我们提到的上界之外，我们的下一个结果还提供了t的下界*.提案4.6。假设满足定理4.4的条件，并设t：=ρ（0+）（r+f）/（2 |u| S）和t：=ρ（0+）（r+f）/（|u| S）。同样，将t（z）定义为ast（z）=ρ（0+（r+f）-(u -σ) -q（u-σ）-32σφ（0）Szρ（0+（r+f）8σSz.那么，t（uφ（0））<t*<t，如果u<-σ/2，而t（uφ（0）- βp-u/2e-0.5）<t*<\'t，如果u>-σ/2.上一个结果中获得的上限和下限取决于β的符号：=u- σ/2. 一般来说，β>0表示大σ或小u区域。

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2022-6-1 06:01:47

在图4中，我们显示了0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.0200.0030 0.0034 0.0038t0*具有低u（β>0）ut0*t0*下限的估计值T00.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.0500.0015 0.0025t0*具有高u（β<0）ut0*t0*下限的估计值图4：左：t*当β>0时，为（实心黑色）、？t（点红色）和下限t（点蓝色）。右：t*当β<0时，为（实心黑色）、？t（点红色）和下限t（点蓝色）。在两幅图中，r+f=0.006，σ=0.2，S=50。当β>0（左图）和β<0（右图）时，下限t和't。如图所示，下界t在β>0的情况下相当粗糙，但在β<0的情况下表现非常好。对于所选的参数设置，(R)t也提供了一个很好的近似值，结果是上界t*在这两种情况下，虽然我们只有当β>0时才能证明这一点。现在，我们继续分析当投资者的时间范围t很大时，最优解的行为。正如在Bachelier模型中，我们假设ρ=ρ（y，t）在y和t中是常数，这对于大t是一个合理的假设，如第5节所述。定理4.7。假设ρ=ρ（y，t）在y和t中是常数。设u<0和y*（t）是定理4.2中定义的最佳位置。那么，我们有限制→∞y*（t） t型- (-u+σ）+σp-2u+2σln t/t=σp-2u+2σ，尤其是y*（t） /吨→ -u +σ- σp-2u+2σ，如t→ ∞.当投资者可以等待很长一段时间时，之前的结果提供了一个合适的近似值，用于最优安排限额订单。然而，这种分析有一个缺点，因为我们没有考虑货币的时间价值。对于最终渐近区域，我们考虑了低波动率情况下最优布局问题的行为，即σ→ 该定理给出了当波动率很小时最优布局解的一阶和二阶近似值。

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mingdashike22

2022-6-1 06:01:50

如果投资者选择参与价格波动性相对较低的市场，这种近似值可能会很有用。对于隐式，我们再次假设ρ=ρ（x，t）在x和t中是常数。定理4.8。假设ρ=ρ（y，t）在y和t中为常数，且u<0。让我们将预期成本函数表示为C（y，σ），即y和σ的函数。然后，存在一个σ>0，因此每0<σ<σ，就存在y*（σ）在（0，-ut），使C（y*(σ), σ) ≤ C（y，σ），对于ally>0。此外，我们有：y*(σ) = -ut-p2σt ln（1/σ）+a2 ln（1/σ）p2σt ln（1/σ）+oσpln（1/σ）！，其中a：=ln S+ut+ln t- ln（ρ（r+f））+ln2π。5ρ（x，t）的计算和行为在第3节和第4节中，我们对ρ（x，t）做出了一些假设，我们记得，这些假设被定义为投标限价订单处于S级的概率-在第一时间段内，当最佳投标价格处于S级时，时间0的x在时间t之前执行-x、假设latterevent发生了。本节的目的是研究ρ（x，t）的行为，并从理论和经验上验证我们假设的合理性。如备注2.1所述，式（2）中给出了ρ（x，t）的合理模型。这取决于各级取消订单的假定订单流量（确定P（Nb，xs=j））、最佳买卖订单的假定订单流量（确定αt（i，j））、分布fa（可根据实际LOB数据估计；参见下图9）和分布fτ（s | 0<τ<t），其中τ是最佳买卖价格第一次达到这些级别- x、根据目前工作的精神，在接下来的工作中，我们假设最佳ask价格遵循布朗运动（BM）或几何布朗运动（GBM）。

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2022-6-1 06:01:54

在这种情况下，可以显式计算fτ（s | 0<τ<t）（详见附录D）。以下结果表明，（5）（分别，（11））中的第一个条件在我们的BM（分别，GBM）设置中得到满足。提案5.1。设ρ（x，t）如式（2）所示（分别为|ρ（y，t）：=ρ（S- 硒-y、 t），并让最佳询价遵循BM（分别为GBM）。假设Qbx（0）=0表示大值x。那么，lim supx→∞ρ（x，t）x个≤ 0，lim supy→∞ ρ（y，t）y≤ 0。（14）以下结果表明，在相对温和的假设下，lim inf在等式的第二个条件下。（5）和（11）保持为正，并给出明确的下界。提案5.2。让最好的要价跟随BM或GBM。此外，当最佳bid和ask队列的初始大小分别为i和`时，设σia和σ\'bbe为最佳ask和bid队列耗尽的时间。假设Qbx（0）=0表示足够大的x。那么，当σia和σ\'bare相互独立，且σbis有界和Cin的密度gb（s）[0，t]时，我们有thatlim infx→∞ρ（x，t）x≥ 2gb（0）σt，极限→∞y▄ρ（y，t）≥ 2gb（0）σt.（15）备注5.3。从命题5.2的结果来看，当密度gb有界且gb（0）>(-u）/（r+f）。在附录D中，我们表明，在aPoissonian阶流下，gb（0）=ub+θb，最佳出价队列的净消耗率（见附录D中的详细信息）。每当gb（0）>0时，就会满足（11）中的第二个条件。现在我们来看看（4）和（10）中条件的合理性，这是通过数值计算得出的。为简单起见，我们仅对GBM进行了分析，但对BM也有相同的结论。

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2022-6-1 06:01:57

对于订单流，我们假设其中一个最简单（但相关）的设置，其中限额订单的到达、取消和执行遵循独立的泊松过程，其各自的强度率λ\'、θ\'、k和u\'，其中`是a还是b，取决于订单是在询价方还是投标方，k是距离最佳出价或要价的刻度数（详情请参阅附录D）。下表1给出了到达率λ`、θ`、1和u`，而初始LOB曲线k→ Qbkε（0）如图5左面板所示，这与[1]和[7]的平均深度曲线一致。θ`，k的选定值（k=2，3，…）是从[7]借来的。基于上述假设，我们使用实际LOB数据估计的参数值计算ρ（x，t）。ρ（x，t）的计算细节见附录D→ ρ（εi，t）（i表示记号数，ε=0.01），t=30、60和90秒。如图5的右面板所示。如图所示，ρ（ε，t）<ρ（2ε，t），甚至ρ（2ε，t）<ρ（3ε，t），这证明了我们的假设y￠ρ（0+，t）>0。（14）中的条件已经在命题5.1中得到证明，从图5中也可以看出。关于条件1 6 12 19 26 33 40 47 54 61 68初始账簿，Qx（0）勾选股份数量（批次）0 20 40 60 80 1200 20 40 60 80 1000.3 0.5 0.7ρ（x，t），t=30、60和90粘滞概率t=30st=60st=90s图5：左面板：初始业务线i→ Qbiε（0）；右面板：i的图形→ ρ（εi，t），ε=0.01，t=30秒（黑线），t=60秒（红色虚线），t=90秒（蓝色虚线）。在（15）中，图6的左面板表明y→ eyy￠ρ（y，t）向∞ 因此，（15）中的第二个条件是合理的。

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2022-6-1 06:02:00

让我们注意到，当t变大时，ρ（x，t）变大，这正好使得对于较大的t值，ρ（x，t）在x中近似为常数，正如我们在第3节和第4节的大视界渐近中所做的那样。我们在第3节和第4节中做出的下一个主要假设是t 7→ ρ（0+，t）收敛到其极限值ρ（0+）：=ρ（0+，∞), 作为t→ ∞, 足够快，以便我们可以使用ρ（0+）代替ρ（0+，t）来估计tand t*. 为了证明当u<0时，该假设确实可行，在图6的右侧面板中，我们显示了t→ ρ（ε，t）（ρ（0+，t）的代理）表示最佳出价和询问队列的不同初始值。这里，Qa（0）=6=Pifa（i）i（即价格下跌后最佳询价队列的平均大小），Qb（0）=38是从实际LOB数据中获得的价格下跌后最佳出价的平均大小（详情见附录D）。如图6右面板所示，ρ（0+，t）收敛到极限ρ（0+）几乎是瞬时发生的，只需几秒钟，从而验证了我们的假设ρ（0+，t）≡ρ（0+），对于合理的投资期限t。事实证明，在泊松顺序流量设置下，极限值limt→∞ρ（0+，t）可以显式计算（见下面的等式（68））。在图6的右面板中，我们还显示了近似值“tof t*对于任何t>t，2uSt/（r+f）>ρ（0+，t）。

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何人来此

2022-6-1 06:02:03

由于ρ（0+，t）在几秒钟后保持不变，t*≈ ρ（0+）（r+f）/2 |u| S，当Qbε（0）=38、6和1时，分别取64、90和96秒的值。现在，我们讨论假设的有效性t型xρ（0+，t）>0，用于理论0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.0250e+00 2e-04 4e-04ρ~（y，t）y2ey，t=30、60和90syt=30st=60st=90s0 20 40 60 80 1000.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ρ（ε，t）t（秒）概率图6：左面板：y图→ ey▄ρ（y，t）y，t=30秒（黑线），t=60秒（红色虚线），t=90秒（蓝色虚线）。右面板：ρ（0+，t）=ρ（0+，t），Qaε（0）=6，Qbε（0）=1（实心黑色），Qbε（0）=6（虚线红色），Qbε（0）=38（虚线蓝色）。（点划线）绿线的斜率为2S |u|/（r+f），因此t*≈ 当Qbε（0）=38、6和1时，分别为64、90和96秒。4.4和4.5以保证*是唯一的临界值yC（0+，t）和y的近似值*（t）作为t&t*保持。我们可以取D（t）：=ρ（2ε，t）- ρ（ε，t）作为ε的代理xρ（0+，t）。在图7中，我们将D（t）绘制为Qaε（0）、Qbε（0）和Qb2ε（0）不同值的t函数。如图所示，D（t）在t中增加，几秒钟后为正值。最后，让我们讨论ρ（x，t）的近似。虽然ρ（x，t）的计算有些复杂，但图8表明ρ（x，t）可以很好地近似于ρ（x，∞),我们推测ρ（x），∞) =Pifa（i）α∞（一，1）。在图8中，我们展示了Bachelier模型（左）和Black-Scholes模型（右）中ρ（x，t）的数值计算，其中x=0.1，Qbx（0）=0、1、10、38、50或100批。

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2022-6-1 06:02:06

如图8所示，在短时间后，ρ（x，t）相对于t近似恒定。6结论和未来工作是否下达市场指令或限价指令的问题，以及在后一种情况下，在LOB中下达限价指令的位置，最近备受关注。在本文中，我们将此问题视为资产价格服从一定差异动态的最优订单安排问题。通过特定时间0 10 20 30 40 50 60捕捉LOB队列的影响-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2ρ（2ε，t）-不同队列大小的ρ（ε，t）测试（秒）Q2b=30，Q1b=38，Q1a=6Q2b=60，Q1b=38，Q1a=6Q2b=90，Q1b=38，Q1a=60 10 20 30 40 50 60-0.8-0.4 0.0ρ（2ε，t）-不同队列大小的ρ（ε，t）测试（秒）Q2b=30，Q1b=15，Q1a=6Q2b=60，Q1b=15，Q1a=6Q2b=90，Q1b=15，Q1a=6图7：t→ ρ（2ε，t）- ρ（ε，t）在Black-Scholes模型下，Qa=Qaε（0）、qb=qbε（0）和qb=Qb2ε（0）的不同值。0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8ρ（0.1，t）具有不同初始队列大小测试（秒）概率0 20 40 60 80 1000.2 0.4 0.6 0.8ρ（0.1，t）具有GBMt（秒）概率图8:t→ ρ（0.1，t）在Bachelier模型（左）和Black-Scholes模型（右）下，Qbx（0）=0（黑色），Qbx（0）=1（红色），Qbx（0）=10（蓝色），Qbx（0）=38（品红），Qbx（0）=50（绿色），Qbx（0）=100（黄色）。队列大小是成批的（每个大小为100个共享）。黑线几乎与红线重叠。黑线isPifa（i）α∞（i，1）=0.87。依赖执行概率。

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2022-6-1 06:02:09

我们的模型和随后的分析得出了一些重要的见解：（i）存在一个阈值地平线长度，超过该长度，可以保证存在一个非平凡的最优布局；（ii）在涉及回扣和交易费的某个渐进机制下，阈值水平长度的表征；（iii）当水平长度接近阈值水平长度时，极限订单最优配置的特征和近似值，以及（iv）在涉及水平长度和波动性的不同渐进机制下，最优配置的行为。重要的是，这些关于最优布局的见解依赖于在真实市场中似乎普遍适用的假设，如通过数据和数字调整所看到的。LOB上下文中的许多其他重要上下文，以及与我们在本文中所考虑的内容密切相关的上下文，似乎在很大程度上还没有得到研究。例如，与时间相关的临时订单安排的性质、多个相关资产的影响、对大型有限订单的考虑以及参数未知（但可以估计）的不同模型的存在，都是需要进一步发展的有趣的LOB背景。本文考虑的模型和我们分析的性质可以为这种发展提供信息。A证明：布朗运动为了将来的参考，我们引入以下符号：αt（x）：=x+utσ√t、 βt（x）：=-x+utσ√t、温度：=u√tσ，c：=r+f。

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2022-6-1 06:02:12

（16）如果没有混淆，我们通常会忽略α、β、ρ和a中对t和/或x的依赖性Cx=2φ（αt）cρ+utσ√t+2N（βt）σe-2xuσ-u（x- ut）+ucρ+σ+ N（αt）- 1 (17)- cxρ（x，t）N个(-αt）+e-2xμσN（βt）（18）Cx=-φ（αt）σt√t[2cρx+4ut（cρ+ut）]+4uN（βt）σe-2xuσu（x- ut）- ucρ- σ- cxρ（x，t）N个(-αt）+e-2xμσN（βt）+4c级xρ（x，t）σ√t型σφ（αt）+u√te公司-2xμσN（βt）.为了便于记法，当计算函数C（x，t）和ρ（x，t）及其导数的极限时，我们将插入x=0，而不是x=0+。最后，在证明中经常使用以下众所周知的等式：φ（z）z-z≤ φ（z）zz+1≤ N个(-z）≤ φ（z）z，z≥ 引理的证明3.1。在不丧失一般性的情况下，我们假设S=0。然后，根据Yt和St的联合分布公式得出结果（参见[12，第3.2节]）：P（St>z，Yt>-x） =N-z+utσ√t型- e-2xuσN-z- 2x+utσ√t型, x>0，z≥ - x、（20）实际上，根据前面的公式，我们直接得到了thatP（Yt≤ -x） =N-x个- utσ√t型+ e-2xuσN-x+utσ√t型P（St∈ dz，Yt>-x） =σ√tφ-z+utσ√t型-σ√te公司-2xuσφ-z- 2x+utσ√t型,可用于查找E[St | Yt>-x] P（Yt>-x） =R∞-xzP（St∈ dz，Yt>-x） dz。定理3.2的证明。很明显，（18）中的项是非负的，因此，对于x→C（x，t）要增加，我们只需要证明（17）中的表达式，我们表示D（x，t），总是正的。该表达式的导数如下所示：Dx=-φ（αt）σt√t[2cρx+4ut（cρ+ut）]+4uN（βt）σe-2xuσu（x- ut）- ucρ- σ（21）+2cxρ（x，t）σ√t型σφ(α) + u√te公司-2xμσN（β）. （22）当x→ ρ（x，t）是非递增的，由于（19）的第三个不等式，（22）中的项是非正的。

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