后一个条件意味着，对于所有x>0的情况，C（0，t）<C（x，t）是不可能的，因此，x的存在*（t） 如定理陈述所述。定理3.5的证明。回想定理3.2的证明xC（0，t）<0，对于t大。因此，对于定理的第一个断言，我们只需要证明对于足够小的t，xC（0，t）>0。但这在（25）中是清楚的，因为ρ（0，t）/√t型→ +∞, 作为t→ 0，假设ρ（0，t）≡ ρ(0) ∈ （0，1），对于所有t，我们得出结论，TCA可以选择为xC（0，t）=0。对于第二个断言，让我们首先注意到→ 0，as（r+f）→ 0因为推论3.4的上界。接下来，将φ（at）和N（at）展开为√经过一些简化，我们有Cx（0，t）=c2ρ(0+)φ(0)σ√t+ρ（0+）uσ- xρ（0+，t）+φ（0）ρ（0+）μσ√t型+4uφ(0)σ√t+E（t），其中E（t）=μσt-ρ（0+）uφ（0）c12σt1.5+O（t），现在，插入t=t，回想一下xC（0，t）=0，我们有0=1+2uρ（0+）tc+ρ(0+)u/σ -xρ（0+，t）σ2ρ（0+）φ（0）√t+u2σt+E（t）σ√t2ρ（0+）φ（0）cSince，根据推论3.4，t→ 0，作为c→ 0和t/c≤ 2/|u|，我们得到上一个方程右侧的最后三项收敛到0，因此，我们必须得到1+2uρ（0+）tc→ 0，这意味着第二个断言。对于最后一个断言，请注意Ct型x（0，t）=-φ（at）cρ（0，t）σt√t+2uσ√t（φ（at）+atN（at））- ct型由于我们的假设，xρ（0，t），（27）为负值t型xρ（0，t）≥ 0和（19）中的最后一个不等式。定理3.6的证明。我们将使用中值定理来显示最优布局解x的行为*（t） ，当t接近t时。为此，需要满足以下条件：xC需要在（0，t），x处为正*（t）→ 0作为t→ t、 C应该是（0，t）的邻域。首先，让我们回顾一下定理3.5的证明xC（0+，t）=0。

然后，使用（25），我们可以找到φ（at）+N（at）at的表达式，可以替换为Cx（0，t）=-（φ（at）+N（at）at）4u（cρ（0，t）+ut）σ√t型-4c级xρ（0，t）σ√t型- N（at）4uσ- cxρ（0，t）得到Cx（0，t）=2 |u|σ（1+xρ（0，t）c）+2cxρ（0，t）1- 2N（at）+xρ（0，t）cρ（0，t）+ut- cxρ（0，t）。（28）最后一个表达式是肯定的，因为xρ（0，t）>0，xρ（0，t）<0，t<cρ（0+）/2 |u|作为推论3.4的A序列。接下来，让我们回顾一下x*（t） 满意度xC（x*（t） ，t）=0，因此，根据隐函数定理，存在一个包含x=0的开集U、一个包含t=t的开集v和一个唯一的连续可微函数x*（t） 使得{（x*（t） ，t）| t∈ V}=（x，t）∈ U×V|Cx（x，t）=0.特别是，x*（t）→ 0作为t→ t、 此外，由于定理3.5中的t>0，很明显xC（x，t）在（x，t）=（0，t）的邻域中是可微的，因此，我们可以应用均值定理证明存在β∈ （0，1）使0=Cx（x*（t） ，t）=Cx（βx*（t） ，t+β（t- t） ）x*（t）+Ct型x（βx*（t） ，t+β（t- t） ）（t- t） 。自从C类/x，C类/x个当t>0时，t都是连续的，并且有一个包含（0，t）的开集，使得C类/xis严格正，而且x*（t） t型- t=-Ct型x（βx*（t） ，t+β（t- t） （）Cx（βx*（t） ，t+β（t- t） （）---→t型→t型-Ct型x（0，t）Cx（0，t）：=κ。注意κ>0，因为从（27）看，t型xC（0，t）>0。对于二阶近似，我们采用0=xC（x*（t） ，t）约（0，t）到：0=Cx（0，t）x*（t）+Ct型x（0，t）（t- t）+Cx（βx*（t） ，t+β（t- t） ）x*（t）+Ct型x（βx*（t） ，t+β（t- t） ）x*（t） （t- t）+Ct（βx*（t） ，t+β（t- t） ）（t- t） 。并遵循上述类似步骤。定理3.7的证明。为了找到上界，我们需要以下不等式e-2uxσN（βt）- N个(-αt）+φ（αt）（1/αt+1/βt）>0，（29），对于u<0和x>-ut。

接下来，将（19）和（29）应用于（17）的RHS，我们可以得到以下表达式：Cxφ（αt）>2（cρ+ut）σ√t型+-βt+βt2ut- 2uxσ+2ucρσ(-βt）-αt-βt=2xcρσ√t（x- ut）（x+ut）x个- ut1.-2σucρ:= f（x，t）。很明显，x*（t） ：=-utθ等于f（(R)x*（t） ，t）=0且f（x，t）>0，对于所有x>\'x*（t） 。因此，x*（t）≤ \'\'x*（t） 。对于下界，让我们再次将（19）中的适当不等式应用于（17）中的不同项，以获得上界：Cxφ（αt）<2xcρ（x- utθ）σ√t（x- ut）（x+ut）+σt√t型-2u（x- ut）-2ucρ（x- ut）+σ（x+ut）. （30）注意当t>cρ时/(-u），x>-ut，以下不等式为真：2xcρ(-σt- 2utσ√tθ）σ√t（x- ut）（x+ut）+σt√t型-2u（x- ut）-2ucρ（x- ut）+σ（x+ut）> 0。（31）然后，将（30）的RHS和（31）的LHS相加，Cx<2xcρφ（αt）σ√t（x- ut）（x+ut）x个- utθ- σt- 2utσ√tθ=: g（x，t）自x起*（t） ：=-σ√t型-utθ等于g（t，x*（t） ）=0且对于所有x，g（t，x）<0∈ (-ut，x*（t） ，我们得出结论，x*（t）≤ x个*（t） ，前提是x*（t） >-ut。对于后者，我们需要附加条件t>σ/（u（θ- 1)).定理3.8的证明。LetH（z）=Ncρ（z）φ（z），E（z）=H（z）-z、 E（z）=H（z）-那么，我们可以把（17）写成Cxφ（αt）=2（cρ+ut）σ√t+2u（ut- x） σ|βt|-|βt|+σ+2ucρσ|β|-αt+2u（ut- x） σE（|βt |）+σ+2ucρσE（|βt |）- E（αt）经过一些简化后，最佳x=x*（t） 为xt=uθ+2uσ2σcρ√t（x- tu）（x+tu）txE（|βt |）-√t（x- tu）（x+tu）2cρσxtσ+2ucρE（|βt |）+σ√t（x- tu）（x+tu）2cρxtE（αt）。由于误差项Eiconverge为0，其阶数为O（t-1） ，我们得出结论，x*（t）~ |u|θt，ast→ ∞. 特别是，作为t→ ∞, 我们还有（x*（t）-ut）~ |u| t（θ+1）和（x*（t） +ut）~|u| t（θ-1） ，这反过来意味着Ei（|βt |）=O（t-（2i+1）/2）和E（αt）=O（t-3/2).

然后我们得到：x*（t） t型- uθ=2uσ2σcρ|u|（θ+1）|u|（θ- 1） |u|θ3σ|u|（θ+1）t-1.-σ|u|(θ+ 1)|u|(θ- 1） 2（cρ|u|θσ+2ucρσ-σ|u|（θ+1）t-1+σ|u|(θ+ 1)|u|(θ- 1） 2cρ|u|θ-σ|u|(θ- 1） t型-1+o（t-1） ，经过一些简化，我们得出结论（8）。B证明：几何布朗运动为了便于记法，我们在计算函数C和ρ及其导数时，用C代替C表示预期成本，用y=0代替y=0+。我们还经常使用符号α±：=u±σ/2，c：=r+f，α：=u- σ/2σ, β :=u + σ/2σ. （33）为了便于将来参考，我们还要注意：Cy=-硒-y2uσe-2yμσeyN公司-y+α-tσ√t型- eutN-y+α+tσ√t型（34）+Se-yeute-2μσyN-y+α+tσ√t型- N-y-α-tσ√t型（35）+cρ（y，t）e-2yμσ+yσ√tφ-y+α-tσ√t型- (-2uσ+1）N-y+α-tσ√t型(36)- cyρ（y，t）N-y-α-tσ√t型+ e-2yμσ+yN-y+α-tσ√t型, （37）因此，Cy（0，t）=2cρ（0，t）σ√t型φα√t型+ α√田纳西州α√t型(38)- S1+2ασNα√t型-2βσeutNβ√t型- cyρ（0，t）。（39）引理4.1的证明。设Xt：=ln（St/S）=（u-σ） t+σWt，x=S- 硒-y、 和▄Yt：=infu≤tXu。那么，很容易看出▄C（y，t）=（Se-y- （r+f）～ρ（y））P（～Yt≤ -y） +SE[分机|Yt>-y] P（▄Yt>-y） +f- S、 然后，我们可以使用（20）计算成本函数，使用与Lemma3.1中使用的步骤类似的步骤。定理4.2的证明。我们首先表明，（10）中的两个条件排除了y*（t） =0，对此我们将显示yC（0+，t）<0。让我们首先注意到，根据（38）和（50），Cy（0，t）<2cρ（0，t）σ√tφα√t型- Sφ（α√t） 2a |u|σ√t型- cyρ（0，t）=2φα√t型σ√t（cρ（0，t）- aS |u| t）- cyρ（0，t）。由于（10）中的两个假设，最后一个表达式为负。这意味着最佳值为y*（t）∈ (0, ∞]. 排除y*（t） =∞, 我们现在表明，在（11）中的两个条件下，当y足够大时，预期成本的初始偏差为正。设D（y，t）为第（34）-（36）行中的yC。

接下来，将（19）中的第一个或最后一个不等式（取决于符号）应用于D（x，t）的每个N（·）项，我们得到y>max{-α-t、 α+t}：D（y，t）φ-y-α-tσ√t型> 硒-y-2uσσ√泰-α-t型-(σ√t） （y）-α-t）-σ√泰-α+t+σ√泰-α+t-(σ√t） （y）-α+t）-σ√ty+α-t型+ cρ（y，t）2yσ√t（y-α-t） 。很容易看出，因为y→ ∞, 第一项渐近等价于4Se-年初至今√tσ|u|/y，而第二项渐近等价于2cρ（y，t）/σ√t、 因此，对于大的enoughy，根据（11）中的最后一个条件，函数D（y，t）是正的。由于（37）中的表达式最终根据（11）中的第二个条件是非负的，我们得出结论，对于足够大的y，C相对于y的导数为正，因此y*（t） <∞.定理4.4的证明。事实上，从（38）-（39）和附加假设ρ（0+，t）≡ρ(0+) ∈ （0，1）和lim支持→0|yρ（0，t）|<∞, 我们显然有这个限制→0Cy（0，t）=+∞,这意味着t*> 0，并且是这样的Cy（0，t*) = 0、此外，t*是的唯一根Cy（0，t），因为在附加假设下，Cy（0，t）在t中严格递减。事实上，首先要注意Ct型y（0，t）=S2uσ√tφα√t型+2SβσueutNβ√t型-cρ（0，t）σt√tφα√t型- cρt型y（0，t）。（40）根据我们的附加假设，最后一项是非正的t型yρ（0，t）≥ 为了检查前两项是否为负值，我们考虑了两种情况。如果β>0，很明显（40）是负的，而如果β<0，我们可以将（19）中的最后一个不等式应用于N（·）项，得到Ct型y（0，t）<-cρ（0）σt√tφα√t型-cρ（0，t）σt√tφα√t型- cρt型y（0，t）<0。因此，无论β的符号是什么，yC（0，t）是严格递减的，我们得出了定理的最后一个结论。最后，我们检查第二个断言。为了便于记法，让我们使用tinsteadof t*. 我们首先表明→ 0 as（r+f）/S→ 0

否则，假设存在序列cn=rn+fn和Sn0，使得cn/Sn0→ 0和limn→∞tn0=：t∈ (0, ∞), 其中TN0是yC（0，tn0）=0对应于Cn和Sn0。那样的话，limn→∞Sn0C（0，tn）y=-1.-2ασN（αpt）+2βσeutN（βpt）- cyρ（0，t），这实际上是严格负的，因为（50）和（10）中的第二个条件。现在，让我们证明t.展开φ的渐近行为α√t型, Nα√t型, 和Nβ√t型作为的权力√t并进行一些简化，我们有Cy（0，t）=σcρ（0）φ（0）√t+cρ（0）α+√t型cρ（0）αφ（0）+Sφ（0）2u+ E（t）- cyρ（0），其中e（t）=SβuN（0）t- ρ（0）cφ（0）αt√t+Sαφ（0）t√t+（S+c）O（t）和术语O（t）都不依赖于Snor c。现在，插入t=t，回想一下yC（0，t）=0，设置γ：=cρ（0）/（2uS），我们得到：0=1+α2φ（0）√t+tγ+αt+E（t）√t2γSuφ（0）-σyρ（0）√t2ρ（0）φ（0）。因此，由于t→ 0作为c/S→ 0，我们有γ1+E（t）2S√tuφ（0）= -1.-α2φ(0)√t型-αt-σyρ（0）√t2ρ（0）φ（0）→ -1，完成了自clearlyE（t）2S以来第二个断言的证明√tuφ（0）=β2φ（0）N（0）√t型-ρ（0）cα48uSt+α12ut+（1+cS）O（t）→ 0，作为c/S→ 定理4.5的证明。为了便于记谱，让我们用t代替tin*. 我们基本上需要证明这一点yC（0，t）>0，其余的证明遵循与第3.6条相同的线。检查一下yC（0，t）>0，让我们首先注意Cy（0，t）=S2uσNα√t型-4SβσeutNβ√t型+ 序号-α√t型(41)-4ασ√tρ（0）chφα√t型+ α√田纳西州α√t型i（42）+8cρ（0）σ√thφα√t型+ α√田纳西州α√t型我- cρ（0）。（43）（43）中的项是正的，因为根据假设，ρ（0）<0，ρ（0）>0，α<0，所以φα√t型+ α√田纳西州α√t型> 0

然后，让我们分析（41）-（42）中表示D（t）的术语。为此，我们回顾yC（0，t）=0，根据（38）-（39）中的表达式，我们得到ρ（0）cSφα√t型+ α√田纳西州α√t型= 1+2ασNα√t型-2βσeutNβ√t型.然后我们可以代入（42），得到：D（t）=SN-α√t型- eutNβ√t型-4uσ- Nα√t型+ eutNβ√t型+ Nβ√t型1.- eut最后，当u<0时，上述所有项均为正值，因此，yC（0，t）>0。命题4.6的证明。回想一下定理4.4yC（0，t*) = 0和yC（0，t）是t的严格递减函数。因此，要找到t的下界（分别为上界）：=t*, 我们将找到函数的根，该根是yC（0，t）。在定理4.2的证明中，在这两种情况下都得到了上界和后续根。让我们将A（t）定义为（38）-（39）的前两项。然后我们可以重写a（t）=2σ-1ρ（0）ct-1/2楼(√t） +Sg(√t） 式中，f（x）=φ（αx）+αxN（αx），g（x）=-1.-σαN（αx）+σβeuxN（βx）。注意，f（x）=αN（αx），f（x）=αφ（αx），g（x）=σuφ（αx）+βuxeuxN（βx）. 那么，对于一些θ∈ (0,√t） ，我们有(√t） =φ（0）+α√t+f（θ）t=φ（0）+α√t+αφ（αθ）t≥ φ(0) +α√t、 同样，对于β<0，g（x）≥σuφ（αx）≥σuφ（0），因此，对于某些θ∈ (0,√t） ，g(√t） =g（θ）√t型≥σuφ(0)√t、 将前面的两个不等式A（t）放在一起≥σ√t型2ρ（0）cφ（0）+αρ（0）c√t+4Suφ（0）t.最后一个表达式的根精确地为t（μφ（0））。对于β≥ 0，我们用它来表示θ∈ (0,√t） ，g(√t） =g（θ）√t型≥4uσφ(0) -4βσp-u/2e-0.5√t、 由不等式ux exp（ux）>-p-u/2e-0.5. 将上述不等式与f的下界结合起来(√t） ，我们得到a（t）≥σ√t型2ρ（0）cφ（0）+αρ（0）c√t+4Suφ(0) - βp-u/2e-0.5t型.很容易检查t（uφ（0）- βp-u/2e-0.5）是最后一个表达式的正根。定理4.7的证明。回想一下，我们假设ρ=ρ（y，t）在y和t中是常数。

在此假设下，C类/y减少为（34）-（36）中的表达式。让我们在证明中也使用以下符号：dt：=-y*（t）- ut+σtσ√t、 et:=-y*（t） +ut+σtσ√t、 英尺：=-y*（t） +ut-σtσ√t、 （44）我们将首先表明dt→ ∞ 作为t→ ∞. 为了便于记法，下面我们简单地写y（t）=y*（t） 在dt和y（t）中经常省略t。首先，请注意(-y+α-t）/√t型→ -∞,作为t→ ∞, 不管y的值是多少，这表明用φ（z）/z分别近似（34）和（36）的第一项和第二项。现在，让我们首先假设dt→\'\'d∈ (-∞, ∞), ast转到∞ 沿子序列tn→ ∞. 这意味着et=dt+2ut/（σ√t）→ -∞ 作为tgoes to∞ 沿着tn，因此，我们可以通过φ（z）/z分别近似（34）和（35）的第二项和第一项。具体来说，回顾误差函数EAN和Efrom（32），我们将（34）-（36）写成Cy=-硒-yN（dt）+φ（dt）2Se-yσudt+α+et+ φ（dt）2ρcσ√t型1.-α√tft（45）+φ（dt）2Se-yσ{|u| E(-ft）+α+E(-et）}+φ（dt）2ρcα-σE(-ft），（46），其中我们使用了（33）和（44）中的符号。请注意，（45）次右侧的前两项√自dt起t变为0→以类似的方式，第（46）次√tall收敛到0，而右侧的第三项为（45）次√t可重写为φ（dt）2ρcyy-ut+σt=φ（dt）2ρc-dtσ√t型- ut+σt-dtσ√t+2(-ut+σt）→ φ（(R)d）ρ（0）cas t→ ∞ 沿着tn.我们得出结论√田纳西州yC（y（tn），tn）→ φ（(R)d）ρd，这是矛盾的，因为yC（y（tn），tn）=0。其次，假设dt→ -∞, 作为t→ ∞, 注意，在这种情况下，我们可以应用近似值N(-z）≈ φ（z）/z到所有项，经过一些简化后，我们得到：0=Se-yσ√t2ut2y（y-ut+σt）（y-ut-σt）（y+ut-σt）+2ρcyσ√t（y-ut+σt）-2uSe-yσE(-ft）+α+Se-yσE(-et）- 硒-yE公司(-dt）+2ρcα-σE(-英尺）。从这里，我们得出结论√t（y-ut+σt）yφ（dt）Cy→2ρcσ，再次导致矛盾。然后我们可以得出结论，dt→ ∞, 作为t→ ∞.

我们现在已经准备好展示y的第一和第二近似值*（t） 。我们考虑两种情况：情况1：u+σ<0。让我们将近似值φ（z）/z应用于（34）-（36）中的适当项，并除以2φ（dt）ρcy/σ√t（y-ut+σt/2）. 然后，我们得到以下等式：0=-硒-yφ（dt）ρcσ√tyy公司-ut+σt+1+Se-yσ√t2ρcσ√t（y+ut+σt）y（y- ut-σt）+y-ut+σtydt！- 硒-yy2ρc2|u|σ全职员工(-英尺）- 硒-yyρcα+σftE(-et）- 硒-yσt2ρcE（dt）fty-yα-σftE(-英尺）。因此，作为t→ ∞, 我们有Se-y~ φ（dt）ρcσtyft。让我们把对数取到两边，得到（y-ty+（y-泰-)2σt+ln t+lny-ut+σt/2y+ 自然对数Sσ√2π2ρc→ 0，（47），其中y±=-u+σ±σp-2u + 2σ. 让我们用t除以两边，因为y/t 9 0（在引理C.3中得到了改进），ln（（y- ut+σt/2）/y）有界，这意味着（y/t- y+（y/t-y-) → 0、决定是否→ y+或y/t→ y-, 注意，自dt→ ∞, 是/否<-u+σ/2，对于足够大的t，因此，y/t-y+<-σ-σp-2u + 2σ< 0. 因此，我们必须有- y-→ 0，我们得出一阶近似值。对于第二个近似值，让我们将（47）的两边除以ln（t），然后重写得到的第一项，得出以下结论：年初至今- y型+年初至今- y-2σtln t→ -,自年月日起- y型+→ y-- y+=-2σp-2u+2σ，我们最终得出y的二阶近似值*（t） 。情况2：u+σ≥ 我们考虑et的情况→ \'\'e∈ (-∞, ∞], 当t转到∞ 沿序列tn→ ∞ （案例et→ -∞ 相似）。

然后，通过φ（z）/z近似（34）中的第一项和（36）中的第二项，并进行一些简化，我们可以将（34）-（36）写成：0=-硒-y+Se-y-2yμσ+ut2uσ+ 1N（dt）φ（dt）ρcσ√tyy公司-ut+σt+1+Se-y型(-u）tρcy+y-ut+σtydt！+硒-y2ρc2μσyftE(-英尺）- σtftE（dt）-yα-σftE(-英尺）。这反过来意味着√2πexp-y型+(-y-ut+σt/2）2σth1-2uσ+ 1N（dt）exp2μσdt√t型-2μσti（r+f）σ√tyy公司-ut+σt→ 现在，让我们取上一个方程两边的对数，得到- y型+(-y-ut+σt）2σt+ln t+ln（y-ut+σt/2）y+lnSσ√2π2ρc！+自然对数1.-2uσ+ 1N（dt）exp2μσdt√t型-2μσt→ 0。（48）注意，我们假设dt→\'\'d∈ (-∞, ∞], 这意味着（48）中的最后一项收敛到0。很明显，- y型+(-y-ut+σt）2σt+ln t+ln（y-ut+σt/2）y+lnSσ√2π2ρc！→ 0，它可以产生与（47）完全相同的表达式，我们按照其中的步骤得到二阶近似值。定理4.8的证明。在下面的引理C.4和C.5中，我们表明y（σ）*∈ [0, -ut]和δ（σ）：=y*（σ） +ut%0，作为σ→ 0。然后，替换y=y*（σ） 使用-ut+δ（σ）in（34）-（36）并使用该δ（σ）→ 0，我们得到φ-δ（σ）+σtσ√t！ρ（r+f）σ√t型→ Seut。取两边的对数，除以ln（1/σ），表示a=ln S+ut+ln t-ln（r+f）+ln2π，我们得到1-δ（σ）2σt ln（1/σ）+σtδ（σ）2σt ln（1/σ）-σt/42σt ln（1/σ）-aln（1/σ）→ 0（49）为σ→ 0和δ→ 0，该表达式的第三项和第四项收敛到0，这表示δ（σ）~ -p2σt ln（1/σ），作为σ→ 为了证明二次近似，将（49）改写为1+δ（σ）√2σt ln（1/σ）c/ln（1/σ）+δ（σ）4c-σt26c-1.-δ(σ)√2σt ln（1/σ）→ 0、自δ（σ）→ 0和σ→ 0，从δ（σ）的一阶近似值来看，上述第二项和第三项收敛到0，而第四项收敛到-1/2. 因此，δ（σ）p2σt ln（1/σ）+1~a2 ln（1/σ），这意味着二阶近似。C支持引理C.1。

在第2节的设置和假设下，成本函数可以写成公式（1）。证据使用上述等式（1）中引入的符号，我们得到：(R)Cδ，ε（x，t）=E成本×1{Yt>S- x+}+ E成本×1{年初至今≤ S- x+}= E\'St+f-\'\'S年初至今- x+εP年初至今- x+ε+ E成本×1{年初至今≤ S- x+, Et}+ E成本×1{年初至今≤ S- x+, Ect，τj+1>t}+ E成本×1{年初至今≤ S- x+, Ect，τj+1≤ t}= E\'St+f-\'\'S年初至今- x+εP年初至今- x+ε+ (-x个- r） P（年初至今）≤\'\'S- x+ε，Et）+(-x+f+ε）P（(R)Yt≤ S- x+, Ect，τj+1>t）+(-x+f+2ε）P（(R)Yt≤ S- x+, Ect，τj+1≤ t） =E\'St+f-\'\'S年初至今- x+εP年初至今- x+ε+ [(-x个- r） ρ（x，t）+(-x+f+2ε）（1- ρ（x，t））]P（(R)Yt≤\'\'S- x+ε）- εP（(R)Yt≤\'\'S- x+ε，τj+1>t，etc），其中ρ（x，t）=P（Et | Yt≤ S-x+). 在重新排列上述各项后，我们得到等式（1）。引理C.2。设α：=（u- σ/2）/σ和β：=（u+σ/2）/σ，并假设u<0。那么，1+2ασNα√t型-2βσeutNβ√t型> φ(α√t） 2a |u|σ√t、 （50）式中，如果u，a=1≤ - σ/2，如果u>-σ/2.证据让A表示（50）中不等式的左侧，并注意A=N-α√t型- eutNβ√t型+-2uσeutNβ√t型- Nα√t型> N-α√t型- eutNβ√t型,自那时起utN（β√t）- N（α√t） =Zβ√t型-∞eutφ（z）dz-Zα√t型-∞φ（z）dz=z-∞σ√t型eutφv+βtσ√t型- φv+αtσ√t型dv=Z-∞φw+α√t型e-σ√tw公司- 1.dw>0。情形u的不等式≤ - σ/2随后出现，因为(-α√t）- eutN（β√t） >N(-α√t）- N（β√t）≥ min{φ（α√t） ，φ（β√t） }(-α - β)√t=φ（α√t） 2 |u|σ√t、 我们用它的地方-α>β和|α|>β|。对于另一种情况，u>- σ/2，letg（x）=-1.-σαN（αx）+σβeuxN（βx），注意，由于β>0，当u>- σ/2，g（x）=σuφ（αx）+βuxeuxN（βx）≤ 4uφ（αx）。因此，对于某些θ∈ (0,√t） ，g(√t） =g（θ）√t型≤σuφ(αθ)√t型≤σuφ(α√t）√t、 当u>- σ/2.引理C.3。设u<0，并假设ρ=ρ（y，t）在y和t中为常数。设y*（t） 如第4.2条所示。然后，y*（t） /t 9 0，作为t→ ∞.证据

让我们回顾一下（32）中的E（z），以及（33）中的符号dt，et，ftintroductin（44）。首先，让我们考虑一下u+σ<0的情况。注意，当u+σ<0时，（y- ut±σt/2）/√t型→ ∞, 作为t→ ∞, 不考虑y的值≥ 接下来，我们使用近似φ（z）/z和误差函数重写（34）-（36），如下所示：Cyφ（dt）=-硒-yN（dt）/φ（dt）（51）+Se-y-2 |u|σft-2α+σet-2ρcyσtft（52）+Se-y2 |u|σE(-ft）+2α+σE(-et）+2ρcα-σE(-英尺）。（53）请注意，（53）中的误差项收敛到0，而与y>0的值无关。为了便于记法，下面我们只写y=y（t）=y*（t） 。假设y（t）/t→ 0，作为t→ ∞. 然后，很容易看出（52）中的项收敛到0，因为σ√泰-ut±σt=√tσyt- u ±σ→ 0,√tyy公司-ut±σt=√泰泰特- u ±σ→ 对于（51）的RHS，我们将其写成-S√2π出口-年初至今+(-年初至今- u +σ)2σ!!Nt型-年初至今+(-年初至今- u +σ)2σ!.很明显，当y/t→ 0，则（51）的RHS将收敛到-∞. 这是一个矛盾，因为（51）的LHS始终为0。因此，y（t）/t不会在t时收敛到0→ ∞. 现在，让我们考虑另一种情况，当u+σ≥ 在这种情况下，我们现在将（34）-（36）重写如下：Cyφ（dt）=-硒-yN（dt）φ（dt）+Se-y-2yμσ+ut2uσ+ 1N（et）φ（dt）（54）+Se-y-2uσσ√泰-ut+σt+ ρcσ√tyy公司-ut+σt（55）+Se-y-2uσE类(-英尺）- ρc-2uσ+ 1E类(-英尺）。（56）让我们再次假设→ 0，作为t→ ∞. 然后，（55）和（56）收敛到0，而RHSof（54）收敛到-∞ 如果是，则→ 0，我们又有了一个矛盾。引理C.4。假设ρ=ρ（y，t）在y和t中为常数，且u<0。然后，存在σ，因此，对于所有情况，0<σ<σ，Cy> 0表示所有y>-ut.证明。让我们回顾一下（34）-（36）中的一阶导数和（44）中引入的符号dt、et、fti。请注意，当y>-ut，我们可以使用（19）得到以下不等式：Cy> Se公司-yφ（dt）-et公司--et公司+-2uσ-英尺--英尺--et公司（57）+ρ（r+f）φ（dt）2yσ√t（y-ut+σt）- 硒-yN（dt）。

（58）为了证明这个引理，我们将首先证明当y>-ut，存在σ，使得σ<σ时，（58）中的表达式为正，并且存在σ，使得σ<σ时，（57）中的表达式也为正。那么，当σ<min{σ，σ}，yC>0表示所有y>-ut.假设σ<√-2u. 经过一些简化后，不等式（58）>0可以重写为以下内容：σ√t> Se公司-yρ（r+f）N（dt）φ（dt）y-ut+σty，当y>-ut，σt<-ut，σ<ρ（r+f）e-utφp-ut/2/3SNp-ut/2.因此，不等式（58）>0适用于所有σ<σ，其中σ=minp-2u，ρ（r+f）e-ut3Sφp |u| t/2Np |u| t/2!.现在，存在σ，对于σ<σ=> (57)> 0. 请注意，（57）>0可以重写为以下内容：Se-y-et公司--et公司+-2uσ-英尺--英尺--et公司< （r+f）yσ√t（y-ut+σt），对于每一个σ<σ，其中σ=min，均为真p-2u，ρ（r+f）e-ut3Sut(-u - ut+9/4）√-2ut.设σ=min（σ，σ）。对于σ<σ，Cy> 0表示所有y>-ut.引理C.5。在定理4.8的条件下，y*(σ) % -ut为σ→ 0.证明。让我们回忆一下yC在（34）-（36）中给出，符号在（33）中给出，旋转dt，et，fti在（44）中引入，E（z）=N(-z） /φ（z）- 1/z.注意，当σ→ 0，不考虑y的值。如果y>-ut.然而，从引理C.4中，我们知道在小σ下，y>0时yC>0-ut，这意味着y*(σ) ≤ -ut。所以，现在我们只分析那些可以用φ（z）/z很好地近似的项。在这种情况下，我们可以写：Cy=-硒-yN（dt）+φ（dt）Se-y2uσft-2α+σet+ φ（dt）2ρcσ√t型1.-α√tft+ φ（dt）Se-y-2uσE类(-英尺）+2uσ+ 1E类(-et）(59)- φ（dt）ρ（r+f）-2uσ+ 1E类(-ft）（60）现在，我们证明涉及Econverge的项为0。

为此，回想一下E（z）~ -1/z.还有σ→ 0，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设σt<(-ut）/2。由于y>0，y- ut- σt/2>-ut/2。然后，（59）-（60）中的所有项以O（σ）的顺序收敛到0。因此，当σ→ 0,Cy→ - 硒-yN（dt）+σ√tφ（dt）Se-yy+ut+σt（y-ut-σt）（y-ut+σt）（61）+φ（dt）（r+f）σ√tyy公司-ut+σt.（62），如果我们将y替换为-ut到（61）-（62）的RHS，它收敛到∞ asσ→ 0，因为（62）→∞. 这表明在（0，-ut），自limσ起→0yC（0，t）=-S、 让我们把这个最小值写为y*(σ).假设y*（σ） +ut→ δ ∈ （ut，0），作为σ→ 0。然后，对于常数δ，（61）的第一项收敛到-硒-δ+ut，而（61）和（62）中的第二项在O（exp(-1/σ)/σ). 因此，如果δ是固定常数，Cy（y*(σ)) → -硒-δ+ut，这是一个矛盾，因为它应该收敛到0。D关于ρ（x，t）计算和第5D节证明的详细信息。1ρ（x，t）的计算和参数的估计。我们记得ρ（x，t）是投标限价订单置于S级的概率-在第一时间段内，时间0的x在时间t之前执行，此时最佳投标价格处于以下水平-x、 对后一事件发生的条件。如备注2.1（其中的最终符号）所述，ρ（x，t）的合理公式由ρ（x，t）给出：=∞Xi=1Qbx（0）Xj=0fa（i）Ztfτ（s | 0<τ<t）P（Nb，xs=j）αt-s（i，Qbx（0）- j+1）ds。（63）我们在本小节中的目标是指定计算ρ（x，t）的所有元素。在可能的情况下，我们还使用实际数据估计基础参数，在本研究中，这些数据包括2015年4月17日至4月28日（8天）MSFT的一级LOB数据。对于（63）中的密度fτ（s | 0<τ<t），我们考虑了Bachelier和Black Scholes模型。

为了区分这两种模型，我们分别将τBM（τGBM）表示为S级的命中时间- x表示从S开始的BM（分别为GBM）。然后，从（20）中，我们可以推断fτBM（S | 0<τBM<t）=σ√sxφ（αt（x）s）N个(-αt（x））+e-2xμσN（βt（x））, （64）fτGBM（s | 0<τGBM<t）=yσs√sφy+α-sσ√sN-y-α-tσ√t型+ e-2yμσ+yN-y+α-tσ√t型, （65）我们使用等式中给出的符号。（16） 和（33）。回想一下，fa（i）是在最佳出价下降后，最佳询价队列的分布，新的最佳询价队列填补了缺口，将价差缩小到1个刻度。在图9中，我们显示了MSFT数据中fa（i）的样本分布。为了确定（63）中的αt（i，j）和P（Nb，xs=j），我们需要指定订单的未来流量，对于该流量，我们假设任何级别的限制订单的到达、执行和取消都遵循独立的泊松过程，其各自的强度率为λ′、u′、θ′、k。这里，`是eithera还是b，取决于订单是在ask侧还是在bid侧，k=1、2、。与对方的最佳出价或出价相差多少个勾号（因此，θa，1和θb，1是最佳出价和出价的取消率）。为简单起见，我们假设θa，k=θb，k=：θk，对于k=2，3。表1给出了使用MSFT数据估计的到达率λa、λb、θa、1+ua和θb、1+ub。θ`，k的选定值（k=2，3，…）是从[7]借来的。根据上一段中的假设，我们得到p（Nb，kεs=j）=e-θks（θks）jj！，对于0≤ j<Qbkε（0），P（Nb，kεs=Qbkε（0））=∞Xj=Qkε（0）e-θks（θks）jj！，频率0 5 10 15 20 250 1000 2000 3000最佳询问队列大小的频率大小（批次）图9：4月17日至4月28日（8天）MSFT数据中的最佳询问队列容量分布。队列大小的单位是一个批次（100个库存）。式中，Qbkε（0）是S级未完成的投标限额订单数量-时间0时的kε。

最后，我们转向αu（i，`）的计算，即当在最佳ask和bid bidprice下分别有i和`个订单时，LOB的最佳出价在最佳ask之前和时间u之前耗尽的概率。注意，如果σia和σ\'bare分别是当时间0时队列中有i和\'share时，直到最佳ask和BID队列耗尽的时间，那么αu（i，`）=P（σ\'b<σia，σ\'b<u）=ZuP（σ\'b<s）P（σia∈ ds）+P（σ\'b<u）P（σia>u）。（66）在我们的泊松分布下，σia（已在[5]中计算）和σ`的分布如下：gia（s）：=P（σia∈ ds）=isua+θaλa三pλa（θa+ua）se-s（λa+θa+ua）ds，g`b（s）：=P（σ`b∈ ds）=s`-1e级-s（ub+θb）（ub+θb）`ds。（67）因此，我们可以通过数值积分轻松计算（66）。注意，αu（i，`）与ρ（ε，u）相同，它是ρ（0+，t）的代理。此外，ρ（0+），定义为αu（i，`）asu的极限值→ ∞, 可计算为ρ（0+）：=limu→∞αu（i，`）=Z∞P（σ\'b<s）P（σia∈ ds）。（68）ua+θa，1最佳询问队列的删除率19.32λa最佳询问队列的添加率21.78ub+θb，1最佳出价队列的删除率18.68λ最佳出价队列的添加率21.98表1:MSFTdata中最佳询问和最佳出价队列的添加和删除率参数。速率单位为分批，时间单位为1秒。从（67）中，我们还得到了GB（s）=e-s（ub+θb）（ub+θb），gb（0）=ub+θb.D.2命题5.1第5节的证明。我们证明了Bachelier模型的结果。Black-Scholes框架的预测也可以类似地进行。让我们首先注意到，因为我们假设Qbx（0）=0表示足够大的x，ρ（x，t）的形式为：ρ（x，t）=∞Xi=1fa（i）Ztfτ（s | 0<τ<t）αt-s（i，1）ds。

（69）通过xfτ（s | 0<τ<t），我们可以使用积分符号下的莱布尼兹微分规则得到xρ（x，t）=∞Xi=1fa（i）Ztxfτ（s | 0<τ<t）αt-s（i，1）ds=∞Xi=1fa（i）Ztσ√sφx+usσ√sφx+utσ√t型2xσ√t型1.-tsP（τx<t）αt-s（i，1）ds，其中我们使用了（64）中的表达式和（16）中的符号。由于上面的被积函数为负，我们得出结论xρ（x，t）≤ 命题5.2的证明。在命题5.1的证明中，ρ（x，t）采用（69）的形式表示足够大的x。接下来，使用（66）中的符号和公式，uαu（i，`）=P（σ\'b<u）gia（u）+g\'b（u）P（σia>u）- P（σ\'b<u）gia（u）和uαu（i，1）| u=0=gb（0）。因此，对于任何ε>0，存在δ>0，因此，对于s∈ （t-δ、 t），uαu（i，1）| u=s- gb（0）< ε. 根据α（i，1）=0的事实，存在一些θ∈ [0，t]使得αt-s（i，1）=(uαu（i，1）| u=θ）（t-s） 。那么，I：=Rtfτ（s | 0<τ<t）αt-s（i，1）ds为i=Ztfτ（s | 0<τ<t）(uαu（i，1）| u=θ）（t- s） ds，≥ （gb（0）- ε） Ztfτ（s | 0<τ<t）（t- s） ds（70）+Zt-δfτ（s | 0<τ<t）uαu（i，1）| u=θ- gb（0）（t- s） ds。（71）注意，通过（64），（71）中的最终积分以O（xe）的顺序收敛到0-xδ/2σt（t-δ)).因此，有必要显示lim infx的顺序→∞xRtfτ（s | 0<τ<t）（t- s） ds完成证明。By（19），J（x，t）=Rtfτ（s | 0<τ<t）（t- s） ds是这样的，xj（x，t）=xt-x个N个(-αt）- e-2uxσN（βt）(-u)N个(-αt）+e-2xμσN（βt）=xφ（αt）tβt-tαt+x(-u）βt+x(-u）αt+E（x）N个(-αt）+e-2xμσN（βt）, （72）式中，E（x）以O（1/x）的顺序收敛到0，（72）中的分母收敛到2φ（αt）x/（x+ut）（x- ut）。因此，limx→∞xJ（x，t）=limx→∞xφ（αt）σt√t型4(-ut）x（x+ut）（x-ut）2φ（αt）x/（x+ut）（x- ut）=2σt，最终得到lim infx→∞xρ（x，t）≥ gb（0）2σt。在几何布朗运动模型中，ρ（x，t）和|ρ（y，t）之间的唯一区别是使用y代替x和u-使用σ/2代替u。

按照相同的步骤，我们将得到lim infy的相同下界→∞y▄ρ（y，t）。参考文献[1]F.Abergel和A.Jedidi。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，16（05）：13500252013。[2] A.Alfonsi、A.Fruth和A.Schied。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。《定量金融》，10（2）：143–157，2010年。[3] A.Cartea和S.Jaimungal。低买高卖：高频交易视角。暹罗J.Financ。数学5(1):415–444, 2014.[4] J.A.查韦斯·卡西利亚斯和J.E.菲格罗亚·欧佩斯。一级限时订货簿，具有备用和内存。arXiv预印本arXiv:1407.56842014。[5] R.Cont和A.De Larrard。马尔可夫限价订单市场中的价格动态。《金融数学杂志》（SIAMJournal on Financial Mathematics），4（1）：1–252013年。[6] R.Cont和A.Kukanov。限价订单市场中的最优订单安排。atssrn 2155218，2013年提供。[7] R.Cont、S.Stoikov和R.Talreja。订单动态的随机模型。运营研究，58（3）：549–56320010。[8] U.Gruber和M.Schweizer。广义相关随机游动的扩散极限。应用概率杂志，43（1）：60–732006。[9] F.Guilbaud和H.Pham。具有限额和市场订单的最佳高频交易。《定量金融》，13（1）：79–942013年。[10] X.Guo、A.De Larrard和Z.Ruan。限制订单簿中的最佳位置。数学与金融经济学，2016年。[11] A.Jacquier和H.Liu。大型股票的一级限额指令簿中的最优清算。预印本。可在2017年arXiv:1701.01327【q-fin.TR】上获得。[12] 让·布兰科先生、约尔先生和切斯尼先生。金融市场的数学方法。斯普林格，2009年。[13] C.Maglaras，M.C.和Z.H.《限额订单簿和相关微观结构市场影响模型中的最优执行》。预印本可从ssrn 26108082015获得。[14] E.伦肖和R。

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