悉尼时间10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00时间1。00.50.00.51.01.52.02.53.0对数正态模型的u历史值图7：使用前W=20天的数据对体积模型的跨时间分量进行经验估计。在哪里∈ RT，s≥ s≥ ... ≥ 圣≥ 0，U∈ RT×T和V∈ R（wk）×T（因为实际上我们有wk>T，因为W=20，K=30，T=390）。我们有∑=wk- 1U·diag（s，s，…，sT）·UT。我们在图8中显示了第一个奇异值s，s，根据前两天的数据进行计算。很明显，第一个奇异值比所有其他奇异值都大得多。Wethus通过保持第一个（左）奇异向量f=sU:，1来建立经验协方差矩阵的秩1近似值√W K- 1，因此ffTis是^∑的最佳（在Frobenius范数中）秩1逼近。我们现在需要为协方差矩阵的稀疏部分提供一个近似值。我们假设S是带宽b>0的带状矩阵，仅在主对角线和b上是非零的-其上下各有一条对角线（共有2b条）-1条非零对角线）。如§b.2所述，通过交叉验证选择b的值。S是带状的假设是由对数m（j，k）的元素- 1b（k）- u与短延迟相关（在时间上）。我们通过简单复制经验协方差矩阵的对角线元素来发现：·Si，j=（（^∑）- ffT）i，jif | j- 我|≤ 否则。0 5 10 15 2040608010120140160180200对数正态体积模型的最大奇异值图8：观测值对数m（j，k）矩阵X的前20个奇异值-^b（k）- ^u.因此，我们建立了一个形式为∑=f fT+S的矩阵。请注意，该程序不能保证∑为正定义。然而，在我们的实证测试中，对于任何b=1，2，…，我们总是得到正的定义∑。

…B.2交叉验证如§B.1所述，我们需要选择参数B的值∈ N（用于协方差矩阵∑的经验估计）。我们通过交叉验证进行选择，保留数据集的FirstWcv=10个测试日。我们在图2中展示了划分数据的方式（因此，就交叉验证而言，实证测试是在样本之外进行的）。我们根据λ=∞ （即附录A.3.1的特例），对于不同的b值，我们计算S的经验方差，并选择使其最小化的b值。（我们最感兴趣的是优化S的方差，而不是交易成本。）在图9中，我们展示了这个过程的结果（为了简单起见，我们展示了标准偏差而不是方差），以及使用静态解（16）进行比较的结果。由于b=3和b=5之间的性能差异很小（我们希望避免过度匹配），我们选择b=3.1 2 3 4 5 6 7 8 9b5。75.85.96.06.16.26.36.46.5标准。B动力溶胶的S（pips）交叉验证开发。静电溶胶。图9：为了交叉验证体积模型参数b，我们用λ=∞, 改变体积模型中b的值。我们还展示了不使用体积模型的静态解（16），以供比较。根据这个结果，我们选择b=3（以避免过度匹配）。B.3预期利益值我们在任何固定时间t=1，T-1.对于给定的股票k和第一天（我们观察到市场交易量m，…，mt-1.）我们得到了未观测体积mt，Mt并导出Etmτ、Ethmτi和Et的表达式五、对于任何τ=t，T

我们需要这些数值解（29），如附录A所示。3.1.条件分布我们将协方差矩阵分块：∑=∑1：（t）-1） ，1：（t）-1） ∑1：（t）-1） ，t:t∑t:t，1：（t）-1） ∑t:t，t:t.然后我们得到边际分布~ 通过取协方差矩阵ν| t的舒尔补（例如，[BV09]）记录N（ν| t，∑t）≡ ut:t+b（k）+∑T1:t-1） ，t:t∑-11：（t）-1） ，1：（t）-1） （对数m1:（t）-1)- u1：（t）-1)- b（k）∑t≡ ∑t:t，t:t- t：（T1∑）-1） ，t:t∑-11：（t）-1） ，1：（t）-1） ∑1：（t）-1） 注意，ν| 1=u+b（k）和∑| 1=∑，即市场容量的无条件分布。现在我们开发条件期望表达式。体积剩余体积的预期值mτEtmτ=exp（ν| t）τ-t+1+（∑t）τ-t+1，τ-t+1, τ=t，T.（因为（τ）- v|t的t+1）-th元素对应于τ-th体积。）逆体积剩余体积的逆期望值mτEtmτ= 经验-（ν| t）τ-t+1+（∑t）τ-t+1，τ-t+1, τ=t，T.我们的总体积，因为我们已经观察到m，mt-1EtV=t-1Xτ=1mτ+TXτ=tEtmτ。我们还表示它的方差，我们需要latervart（V）=vartTXτ=tmτ=TXτ=tTXτ=tcov（mτ，mτ）=TXτ=tTXτ=tEtmτEtmτ（exp（∑t）τ-t+1，τ-t+1）- 1) .逆总体积我们使用以下近似值，由泰勒展开式导出。考虑一个随机变量z和一个光滑函数φ（·），然后是neφ（z）‘φ（ez）+φ（ez）var z。因此，逆的总体积五、\'EtV+vart（V）Et[V]。参考文献[AC01]罗伯特·阿尔姆格伦和尼尔·克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[BDLF08]Jedrzej Bia lkowski、Serge Darolles和Ga–elle Le Fol。改进vwap策略：一种动态容量方法。《银行与金融杂志》，32（9）：1709-1722，2008年。[Bem06]阿尔贝托·贝马帕德。模型预测控制设计：新趋势和工具。《优柔寡断与控制》，2006年第45届IEEE大会，第6678-6683页。

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