批量加权平均价格最优执行

2022-5-9 06:02:18

交易量加权平均价格最优执行Enzo Busseti Stephen Boyds 2015年9月30日摘要我们从风险规避者的角度研究了交易量加权平均价格（VWAP）基准下交易指令的最优执行问题。问题在于以二次交易成本最小化滑动的均值方差。我们设计了多种方法来解决这个问题，特别是我们研究如何在日程安排期间整合来自市场的信息。文献中的大多数相关作品都回避了对总市场容量不完全了解的问题。我们将其纳入我们的模型中。我们通过对纽约证券交易所真实市场数据的大量订单执行模拟来验证我们的方法。我们提出的解决方案使用了一个简单的市场容量模型，将标准“静态”解决方案的VWAP偏差降低了10%（并可以同时降低交易成本）。1简介大多数关于最佳执行的文献都集中在执行短缺（IS）目标上，将执行价格相对于提交订单时的市场价格降到最低。开创性论文[BL98]、[AC01]和[OW05]推导了各种风险偏好和市场影响模型的最优时间表。然而，股票市场上的大部分交易量都是以交易量加权平均价格（VWAP）为基准，以执行期内的平均市场价格为基准[Mad02]。从随机控制的角度来看，使用这个基准使这个问题更加引人注目，并促使开发更丰富的市场动态模型。VWAP执行的优化调度问题最初是在静态优化设置中研究的[Kon02]（日程安排在一天开始时确定）。这在直觉上是次优的，因为它忽略了随着进度而来的新信息。

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2022-5-9 06:02:21

最近的一些论文[HJ11][MK12][FW13]扩展了该模型，并纳入了市场上出现的新信息，但它们依赖于一个关键假设，即市场总量是事先已知的。其他著作[BDLF08]采取了不同的路线，侧重于市场容量的实证建模。最近的一篇论文[GR13]研究了包含市场影响项的随机控制问题，而李[Li13]的工作采用了不同的方法，研究了市场和限制订单的最优配置，以实现VWAP目标。我们的方法与文献中最新的作品（[FW13]，[GR13]）相匹配，并添加了一个关键的补充：我们不假设总市场容量已知，而是将其视为随机变量。我们还提供了大量的实证结果来验证我们的工作。我们在§2中定义了问题和所有相关变量。在§3中，我们导出了一个“静态”最优交易解决方案。在§4中，我们开发了一个“动态”解决方案，以尽可能最好的方式使用计划期间从市场获得的信息：随着我们对市场总交易量的估计提高，我们相应地优化了我们的交易活动。在§5中，我们使用VWAP解决方案算法，详细介绍了我们在纽约证券交易所真实市场数据上进行的交易模拟。我们在§6.2问题公式中得出结论，从经纪人的角度来看，我们考虑执行客户发出的交易指令的问题。客户决定交易C∈ 在一个交易日的过程中，Z+股票k的份额。通过假设C>0，我们将分析限制在“购买”订单上。如果我们对“卖出”订单感兴趣，我们只需要更改相应的标志。Wedon没有探究客户订单的原因（可能是为了重新平衡她的投资组合，进行新的投资等）。经纪人接受订单，并在市场上进行所有交易以完成订单。

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2022-5-9 06:02:25

经纪人有执行订单的自由（可以决定何时购买以及购买金额），但必须在一天中累计交易C金额。提交订单时，客户和经纪人就执行基准价格达成一致，该价格规定经纪人的报酬和风险分担。客户向经纪人支付的金额等于交易的股票数量乘以执行基准，再加上费用（我们忽略了这一点）。反过来，经纪人为自己在市场上的交易活动买单。基准价格的一些选择是：o交易计划开始时的股票价格。这导致执行不足（[BL98]，[AC01]），客户不承担风险（因为基准价格是固定的）收盘时的股价。这种类型的执行可能会使代理和客户对象不一致。经纪人可能会利用其交易的市场影响，通过推高或推低成交价格来从其执行中获利成交量加权平均价格（VWAP），按市场成交量加权的全天平均股价。这是最常见的基准价格。它鼓励经纪人在整个交易日平均执行，最大限度地减少订单的市场影响和可检测性。它将与市场价格变动相关的大部分风险分配给客户，因此经纪人可以专注于优化执行。在本文中，我们推导了VWAP基准下的最优执行算法。2.1定义我们致力于简化离散时间。我们考虑给定股票的一个交易日，以相同长度的间隔分割。在下列情况下，T固定为390，因此每个间隔为一分钟。成交量我们用“成交量”一词来表示整数数量的已交易股份（由整个市场或单个代理人）。我们定义了∈ 对于t=1。

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2022-5-9 06:02:28

，T，整个市场在区间T内交易的股票数量，非负。我们注意到，事实上，市场容量是整数，而不是实数。这种近似是可以接受的，因为交易的股票的典型数量远大于1（如果间隔时间为1分钟或更长），因此整数舍入误差可以忽略不计。这些市场容量根据联合概率分布Fm1:T（m，…，mT）分布。在§5.2中，我们提出了这种联合分配的模型。我们还定义了呼叫ut的总日容量EV=TXt=1∈ R+我们的经纪人在区间t内交易的股票数量，fort=1，T（我们再次假设体积足够大，因此舍入误差可以忽略。）根据规定，这些交易必须是非负的，以便经纪人作为订单的一部分进行的所有交易都具有相同的符号。价格出租∈ R++表示t=1，这不是股票的平均市价。这被定义为区间t内所有交易的VWAP（如果在区间t内，市场中没有>0个交易，则每个交易量ωi）∈ Z++和priceπi∈ R++，然后pt=PNti=1ωiπi/PNti=1ωi。）如果在区间t内没有交易，那么pti是未定义的，实际上我们将其设置为等于最后一个可用期间的价格。我们将这个价格过程建模为零漂移的年龄计量随机游动。初始价格是已知的常数。然后价格增加ηt≡pt-pt-1吨-1对于t=1，T是独立的，分布为ηT~ N（0，σt），其中N是高斯分布。周期波动率σt∈ R+表示t=1，从市场日开始就知道这些常数。我们确定了市场VWAP价格aspVWAP=PTt=1mtptV。（1）交易成本我们通过引入有效价格^pt对交易成本进行建模，定义为t区间的整个交易成本为ut^pt。

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2022-5-9 06:02:31

我们的模型捕捉了即时交易成本，尤其是买卖价差的成本，而不是长期市场影响的成本。（有关交易成本和市场影响的详细文献综述，请参见[BFL09]。）让我们∈ R++是t期间的平均分数（作为股票价格的比率）买卖价差。我们假设经纪人使用优化交易算法进行交易，该算法将市场和限制订单最佳地混合在一起。买方市场订单的成本或交易费用平均为pt（1+st/2），而限价订单的成本或交易费用平均为pt（1+st/2）- st/2）。让uLO和uMObe分别通过限制订单和市场订单执行ut的部分，以便uLO+uMO=ut。我们要求算法使用相同符号的交易，因此uLO、uMO和UTA都是非负的（与§2.3中引入的约束一致）。我们假设市场订单占交易量的比例与参与率成比例，定义为ut/mt.SouMOut=αUTMt，其中比例系数α∈ R+取决于所用交易算法的具体情况。这是一个合理的假设，尤其是在参与率很低的情况下。交易的全部成本或程序为ut^pt=pt乌洛1.-圣+ 巫统1+st这意味着^pt=pt1.-st+αstutmt. （2）因此，我们有一个简单的有效价格^pt模型，在ut中呈线性。这会产生二次交易成本，这是股票市场的合理近似值（[BFL09]，[LFM03]）。2.2问题目标考虑到经纪人的现金流，等于他从客户处收到的付款减去交易CPVWAP的成本-TXt=1ut^pt。实际上也会有费用，但我们忽略了它们。贸易行业通常将这种下滑定义为现金流的负面影响。它代表订单执行价格偏离基准的金额。

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2022-5-9 06:02:35

（符号的选择是常规的，因此优化问题在于最小化符号）。相反，我们定义了滑动屁股≡PTt=1ut^pt- cpvwappvwap，（3）通过订单的值进行规范化。我们需要这个来比较不同订单之间的滑动。通过替换上面定义的表达式，我们得到=TXt=1utpt1.-st+αstutmt- CPTt=1mtptV！，CpVWAP=TXt=1ptpVWAPutC-mtV+TXt=1ptst2pVWAPαutCmt-utC\'T-1Xt=1ηt+1Ptτ=1mτV-Ptτ=1uτC+TXt=1stαutCmt-utC（4）我们使用了两个近似值（均为一阶，在一天的交易周期内合理）pt- pt-1pVWAP\'pt- pt-1吨-1=ηt（5）ptstpVWAP’st.（6）我们将经纪人建模为标准的风险规避代理人，因此目标函数为给定风险规避参数λ的最小值S+λvar（S）≥ 0.这些期望和方差运算符适用于系统中的所有随机性来源，即市场容量m和市场价格p，在我们的模型下，它们是独立的。滑动的预期值isEm，pS=EmEpS=Em“TXt=1stαutCmt-utC#（7）因为价格增量的平均值为零。请注意，我们表达了对市场容量的预期。滑移的方差为Varm，pS=Em，p“s- 嗯，pS#= 嗯，pS-嗯，pS=EmEpS-EmEpS- Em（EpS）+Em（EpS）=Emvarp（S）+varm（EpS）。（8）第一项isEmvarp=EmEpT-1Xt=1ηt+1Ptτ=1mtV-Ptτ=1utC!=埃姆特-1Xt=1σt+1Ptτ=1mtV-Ptτ=1utC#（9）这源于价格增长的独立性。第二项isvarm（EpS）=varmTXt=1stαutCmt-utC!. （10）我们放弃第二项，只保留第一项，这样产生的优化问题是可处理的。我们通过假设（如[FW13]中所述）与第一项相比，第二项方差可以忽略不计来激励这一点。我们在§5中的实证研究证实了这一点。因此我们得到，pS+λvarm，p（S）\'TXt=1Em圣αutCmt-utC+ λσtPt-1τ=1mtV-Pt-1τ=1utC！.

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能者818

2022-5-9 06:02:38

（11）我们注意到，目标函数在每个时间步的项和中分离，这是我们将用于应用§4.2.3约束中的动态规划优化技术的关键特征。我们考虑适用于优化问题的约束。优化变量为UTT=1，T我们要求执行的交易量总和为总订单量CTXt=1ut=C。（12）然后我们要求所有交易都有正号（买入）ut≥ 0，t=1，T.（13）（如果我们执行销售订单，C<0，我们将拥有所有ut≤ 这是大多数市场对机构经纪人的监管要求，本质上是为了防止市场操纵。这是有关VWAP执行的文献中的标准约束。2.4优化范例价格增量η和市场容量是随机的。选择体积作为优化问题的解。这个问题可以用几种不同的方式来解决。我们定义了当时可用的信息集≡ {（p，m，u），…，（pt）-1.mt-1，犹他州-1)}. （14）在本文的其余部分，我们推导了多种方法来解决最小化目标（11）的优化问题。对于这些不同的求解方法，（10）的经验值在（9）的1%到5%之间，因此我们的近似值是有效的。结果详见§5.6。通过因果关系，我们知道当我们选择UT的值时，我们最多可以使用其中包含的信息。在§3中，我们阐述了优化问题，并为变量utin提供了一个最优解决方案。在这种情况下，我们在选择ut时不访问信息集中的任何内容。UTA仅使用交易开始前可用的信息进行选择。我们称之为静态解决方案（或控制语言中的开环）。

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2022-5-9 06:02:41

在§4中，我们开发了一个最优策略，它可以被视为一系列函数ψtof信息集，在tut=ψt（It）时可用。我们在动态规划的框架下开发它，我们称之为动态解决方案（或闭环）。3静态解决方案我们考虑一个程序来解决§2中描述的问题，而无需访问其中的信息集。我们称这种解决方案为静态的，因为它在交易期开始时是固定的。（仅使用交易开始前可用的信息计算。）这与[Kon02]的假设相同，与许多从业者使用的方法相对应。然而，我们的模型比[Kon02]更灵活，它结合了可变的买卖价差和经过验证的交易成本模型。不过，它有一个非常简单的数值解，利用凸优化[BV09]理论和软件。我们从目标函数（11）和两个约束（12）和（13）的优化问题开始，最小化em，pS+λvarm，p（S）S.t.PTt=1ut=Cut≥ 0，t=1，T.我们从目标中去掉一个常数项，并将问题写成等价形式MinimizeUptt=1st2C（αutκt- ut）+λσtPt-1τ=1utC- 2百万吨-1τ=1utCs、 t.PTt=1ut=Cut≥ 0，t=1，T（15），其中mt和κ皮重为constantsMt=Em“Pt-1τ=1mtV#，κt=Emmt对于t=1，T在这种形式下，这个问题是一个标准的二次规划[BV09]，可以由开源求解器（如ECOS[DCB13]）使用符号对流优化套件（如CVX[GB14]或CVXPY[DCB14]）有效地解决。3.1常数扩展我们考虑了常数扩展的特殊情况，s=·sT，这导致了解决方案的极大简化。凸问题（15）的形式为minimizeuptt=1st2C（αutκt）- ut）+λPTt=1σt（Ut- 2MUT/C）≡ φ（u）+λψ（u）s.t.u∈ cWut=Pt-1τ=1ut/C，每t=1，T，C是凸可行集。

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2022-5-9 06:02:45

考虑到目标的两个方面，我们将问题分为两个子问题。第一个是最小φ（u）s.t.u∈ Cwhich相当于（因为传播是恒定的且α>0）最小化EUPTT=1utκts.t.u∈ C最优解是（[BV09]，拉格朗日对偶）u？t=C1/κtPTt=11/κt，t=1，我们估计κT=Em[1/mt]\'1/Em[mt]和thusu？t\'CEm[mt]PTt=1Em[mt]\'C EmhmtVi，t=1，T.第二个问题是极小ψ（u）≡PTt=1σt（Ut- 2MtUt/C）u∈ Cwe选择Ut，使σt（Ut- Mt=0，因此t=1时，Ut=Mt，T我们的价值观，美国犹他州-因此，我们选择最终体积uT，使uT=C- 切满足目标函数的一阶条件，并且这些u，UTAREFEABLE（因为MTT和MT没有减少≤ 1). 这是一个最优解，它的值为u？t=C Em[mt/V]对于t=1，T现在考虑一下最初的问题。它的目标是上述两个凸问题的目标的凸组合（除了常数因子），并且所有三个都具有相同的约束集。由于这两个子问题共享一个最优解u？，那么你呢？也是组合问题的最优解。因此，在恒定排列isu的情况下，（15）的最优解是什么？t=C EmhmtVit=1，T.（16）这相当于[Kon02]中推导的溶液，是经纪行业的标准。在我们的模型中，这个解是作为恒定扩散的特殊情况出现的，通常我们可以得到更复杂的静态解。我们还注意到，我们引入了近似值κt=Em[1/mt]\'1/Em[mt]。（实际上，估计新兴市场[1/mt]需要比新兴市场[mt/V]更复杂的市场容量模型）。因此，我们希望能够在优化交易成本方面取得一些成效。

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2022-5-9 06:02:47

然而，关于S的方差的最小化（如果λ→ ∞ 或者s=0），这个解决方案确实是最优的。在下文中，我们比较了（16）和§4.4动态解决方案中开发的动态解决方案的性能。我们开发了一个问题的解决方案，该解决方案使用了每个决策时可用的所有信息，即一系列函数ψt（It），其中是在时间t（如（14）中定义的）时可用的信息集。我们在动态规划（DP）[Ber95]的框架下工作，总结见§4.1。特别是，我们在§4.2中描述的线性动力学和二次成本的特殊情况下解决了问题。然而，我们不能应用标准DP，因为在不同时间影响系统的随机冲击不是有条件的（市场容量具有联合分布）。我们使用了[SBZ10]的近似程序，总结于§4.3中。在§4.4中，我们最终写出了我们的优化问题，定义了状态、行动和成本，在§4.5中，我们得出了它的解决方案。4.1动态规划我们总结了动态规划的标准形式，如下[Ber95]。假设我们有一个状态变量xt∈ 定义为t=1的X。。。，T+1和xknown。我们的决策变量是ut∈ U表示t=1。。。，T和每个UTI被选为当前状态的函数，ut=uT（xt）。（我们使用与时间t交易量相同的符号，因为在下文中它们重合。）系统的随机性由一系列IID随机变量建模∈ W、对于t=1。。。，T

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mingdashike22

2022-5-9 06:02:51

动态由一系列函数xt+1=ft（xt，ut，wt）来描述，在每个阶段，我们都会产生成本gt（xt，ut，wt），在决策过程结束时，我们有一个最终的成本gt+1（xt+1）。我们的目标是最小化EJ=E“TXt=1gt（xt，ut，wt）+gT+1（xt+1）#。我们通过反向归纳法来解决这个问题，定义每一时间步tvt（x）=分钟[gT（x，u，wt）+vt+1（ft（x，u，wt）），t=1，…，t.（17）这个递归被称为贝尔曼方程。最终条件由vt+1（·）=gT 1（·）确定因此，时间t的最佳动作由解ut=argminuE[gt（xt，u，wt）+vt+1（ft（xt，u，wt））]给出。（18）一般来说，这些方程是不可解的，因为定义函数的迭代需要在状态空间、动作空间和时间步数（维数灾难）的维度上进行指数计算。然而，这个问题的一些特殊形式有封闭形式的解。我们在下面的部分中看到一个。4.2线性二次随机控制当动力学函数为随机函数且成本函数为随机二次函数时，§4.1中的问题有一个解析解[BLR12]。我们称之为线性二次随机控制（LQSC）。对于一些n，m>0，我们定义了状态空间X=Rn，动作空间u=rm。扰动与已知分布无关，属于一般集合W。对于t=1，T系统动力学用xt+1=ft（xt，ut，wt）=At（wt）xt+Bt（wt）ut+ct（wt），T=1。。。，在（·）：W处的两个矩阵函数→ Rn×n，Bt（·）：W→ Rn×m和ct（·）：W→ 注册护士。阶段成本是gt（xt，ut，wt）=xTtQt（wt）xt+qt（wt）Txt+uTtRt（wt）ut+rt（wt）tut，带有矩阵函数qt（·）：W→ Rn×n，qt（·）：W→ Rn，Rt（·）：W→ Rm×m和rt（·）：W→ Rm。

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2022-5-9 06:02:54

最终成本是最终状态GT+1（xT+1）=xTT+1QT+1xT+1+qTT+1xT+1的二次函数。线性二次问题理论[Ber95]的主要结果是，最优策略ut（xt）是问题参数的一个简单函数，可以解析地得到ut（xt）=Ktxt+lt，t=0。。。，T- 1，（19）式中∈ Rm×nand lt∈ 这取决于问题参数。此外，costto go函数是statevt（xt）=xTtDtxt+dTtxt+bt（20）的二次函数，其中Dt∈ Rn×n，dt∈ Rn和bt∈ R表示t=1，T我们通过反向归纳法求解Bellman方程（17）得到了这些结果。这些被称为Riccati方程，在附录A.1.4.3中报告了条件相关干扰。我们现在考虑干扰不独立的情况，我们不能使用§4.1中的Bellman迭代。具体地说，我们假设扰动具有密度函数fw（·）：W····×W描述的伴随分布→ [0, 1].解决这个问题的一种方法是增加状态xt，包括时间t之前的干扰。这会导致解的计算复杂度随着维数的增加呈指数增长（维数灾难）。一些近似动态规划技术可以用来解决增广问题[Ber95][Pow07]。我们采用[SBZ10]中开发的近似方法，称为shrinkinghorizon动态规划（SHDP），该方法在实践中表现得相当好，并得出了一个易于处理的解决方案。（它可以被视为模型预测控制的一个扩展，已知在各种情况下表现良好[Bem06][KH06][MWB11][BMOW13]）。我们现在总结一下方法。假设我们知道未来干扰的密度，wt取决于观察到的一个SFW | t（wt。

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2022-5-9 06:02:57

，wT）：W×·W→ [0, 1].（如果t=1，这是无条件密度。）我们通过对所有其他扰动进行积分，得出每个未来扰动的边际密度，^fwt | t（wt），^fwT | t（wT）。我们用这些边缘的乘积来近似未来扰动的密度，所以它们都是独立的。然后，我们使用Bellman方程（17）和（18）计算具有后向递推的成本函数，其中每个扰动wτ的期望值取条件边际密度^fwτ| t。成本函数的方程（17）在任何时候都变为（注意下标·| t）vτ| t（x）=mine710fwτt[gτ（x，u，wτ）+vτt+1 | t（fτ（x，u，wτ）]，（21），T，与通常的最终条件相同。类似地，对于所有时间τ=t，…，最优作用的方程（18）为：，T当我们在下一步中使用SVT+1时，我们只使用SVT+1，vT | t+1（x）使用更新的边际条件密度，然后求解（22）得到ut+1。有了这个框架，我们可以解决我们在§2.4.4 VWAP问题中提出的VWAP问题，因为LQSCWe现在在§4.2的框架中阐述了§2中描述的问题。对于t=1，T+1我们将状态定义为：xt=Pt-1τ=1uτPt-1τ=1mτ, （23）所以x=（0，0）。动作为ut，即我们在区间t内的交易量，如§2所述。干扰是WT=mtV（24）其中第二个要素是总市场容量V=PTt=1mt。根据这一定义，扰动并非条件独立。在§4.5中，我们研究了它们的联合分布和边际分布。

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2022-5-9 06:03:00

我们注意到，对于t=1，…，在时间t之后，没有观察到每个wt的第二个元素V（到目前为止，我们发展的理论不要求观察扰动wt，贝尔曼方程只需要wt函数的预期值）。。。，T状态转换由xt+1=xt组成+utmt.使动力学矩阵面积（wt）=1 00 1≡ 一、英国电信（wt）=≡ e、 ct（wt）=mt.目标函数（11）可以写成EmPTt=1gt（xt，ut，wt），其中每个阶段的成本由gt（xt，ut，wt）=st给出αutCmt-utC+ λσtxTtC-个人简历-CVVxt。二次成本函数项为thusQt（wt）=λσtC-1/CV-1/CV 1/Vqt（wt）=0Rt（wt）=αst2Cmtrt（wt）=-对于t=1，T总执行量等于C的约束施加了最后一个操作ut=uT（xT）=C-T-1Xt=1ut，≡ KTxt+ltwithKT=-eTlT=C。这反过来会在TvT（xT）=E gT（xT，KTxt+lt，wt），（25）时确定值函数，因此我们可以将xT视为最终状态，只考虑向上选择动作的问题-1.我们只剩下最后一条路了≥ 0表示t=1，T不幸的是，这在LQSC形式主义中无法实现。我们采用[KB14]的近似动态编程方法。我们允许utto得到负号，然后将其投影到一组可行解上。每t=1，我们不能计算最大值（ut，0），并用它来代替ut，作为我们的交易计划。这就将我们的优化问题转化为线性二次型随机控制框架。我们现在将重点放在它的解决方案上，使用SHDP中§4.3.4.5解决方案的近似方法。我们使用shinking horizon动态规划的框架（总结在§4.3中）提供§4.4中定义的问题的近似解决方案。假设固定时间t=1，T- 1.我们注意到（与[SBZ10]的假设不同），我们没有观察到扰动序列w。

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能者818

2022-5-9 06:03:04

，wt-1，因为总体积V直到一天结束时才知道。我们只观察市场容量m，mt-1.如果fm（m，…，mT）是市场容量的联合分布，那么扰动的联合分布是fw（w，…，wt）=fm（eTw，…，eTwT）×1{eTw=V}×·1{eTwT=V}×1{V=PTτ=1eTwτ}，其中e=（1，0，1），当条件为真时，函数1{·}的值为1，否则为0。我们假设我们的市场容量模型也提供了mt的条件密度fm |t（mt，…，mt），给定MTM，mt-1.给定m，…，v的条件分布，mt-1isfV | t（V）=Z··Zfm | t（mt，…，mt）1{V=PTτ=1mτ}dmt··dmt（其中-1.市场容量为常数，其他为整合变量）。假设边际密度为^fmt |t（mt），^fmT | t（mT）。因此，对于τ=t，…，扰动的边际条件密度为^fwτt（·）=^fmτ| t（·）×fV | t（·）（26），T我们使用这些方法来应用§4.3中的机制，求解贝尔曼方程，并在时间t时获得次优SHDP策略。我们计算时间τ=t，T对于τ=t，…，成本函数为vτ| t（xτ）=xTτDτ| txτ+Dτ| txτ+bτ| t（27），T-1.与方程式（20）唯一不同的是下标中的条件| t，因为预期值超过了边际条件密度^fwτ| t（·）。类似地，对于τ=t，…，策略为μτ| t（xτ）=Kτ| txτ+lτ| t（28），T- 1.我们在附录A.2中报告了这种递归的方程式。在每一步，我们都要计算整个成本和政策的顺序，以便得到最佳的行动？t=ut | t（xt）=Kτ| txτ+lτ| t.（29）。然后我们进入下一个时间步骤，重复整个过程。

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2022-5-9 06:03:07

如果我们对计算vt | t（xt）的成本不感兴趣，那么方程会稍微简化（我们忽略大部分递归，只计算我们需要的）。我们在附录A.3.5实证结果中开发了这些简化公式。我们通过模拟执行或股票订单，使用纽约证券交易所的实际市场价格和交易量数据，研究§3的静态解与§4的动态解的性能。我们在§5.1中描述了数据集以及我们如何处理它。动态解决方案需要amodel来联合分配市场容量，这里我们使用一个简单的模型，如§5.2所述。（我们预计，更复杂的市场容量模型将显著提高解决方案的性能。）在§5.3中，我们描述了我们运作的“滚动测试”框架。我们的程序由两部分组成：模型参数的历史估计（见§5.4）和订单执行的实际模拟（见§5.5）。最后在§5.6中，我们展示了我们的综合结果。5.1数据我们根据纽约证券交易所股票市场的数据模拟执行情况。具体而言，我们使用构成道琼斯工业平均指数（DJIA）的K=30种不同股票，从9月24日到12月20日，对应于2012年最后一个季度的N=60个交易日（我们不考虑12月的最后几天，因为市场关闭或交易时间减少）。该季度的30个符号是：MMM、AXP、T、BA、CAT、CVX、CSCO、KO、DD、XOM、GE、HD、INTC、IBM、JNJ、JPM、MCD、MRK、MSFT、PFE、PG、TRV、UNH、UTX、VZ、WMT、DIS、AA、BAC、HPQ。我们使用沃顿研究数据服务公司（WRDS）[TAQ]的原始交易和报价（TAQ）数据。我们对原始数据进行处理，以获得每日的市场交易量∈ Z+和平均周期价格p∈ R++，对于t=1，Tw=390，因此每个间隔为一分钟。

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2022-5-9 06:03:10

我们通过过滤满足以下任何条件的交易来清理原始数据：o更正代码大于1，交易数据不正确；o销售条件“4”、“@4”、“C4”、“N4”、“R4”，衍生定价，即交易是在柜台（或在黑池等外部设施中）进行的销售条件“T”或“U”，延长交易时间（在正式交易时间之前或之后）销售条件“V”，股票期权交易（也在场外执行）销售条件“Q”、“O”、“M”、“6”，开盘交易和收盘交易（开盘和收盘拍卖）。换句话说，我们只关注持续的交易活动，不考虑开盘和收盘，也不考虑任何场外交易。在图1中，我们绘制了一个市场容量和价格的示例。5.2市场容量模型到目前为止，我们假设市场容量Fm（m，…，mT）的分布从一天开始就已知。事实上，经纪人有一个参数化的分配系列，每天（或不经常）用一些统计程序为分配选择参数。为简单起见，我们假设该程序基于历史数据。我们发现文献中很少有关于日内市场交易量建模的著作（[BDLF08]）。因此，我们开发了自己的市场容量模型。这包括一个市场容量分布的参数族和一个用历史数据选择参数的特殊程序。对于每只股票，我们将市场交易量向量建模为多元对数正态分布。如果上标（k）是指股票k（也就是说，m（k）是股票k在区间内的市场交易量），我们有fm（k）（m（k）。

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2022-5-9 06:03:14

，m（k）T）~ ln N（u+1b（k），∑）（30），其中b（k）∈ R是一个常数，取决于存量k（每种存量有不同的典型日产量），u∈ RTI是平均“成交量比例”（标准化为1Tu=0）和0 50 100 150 200 250 300 350时间（分钟）0501000102000成交量（股票，x1000）117.2117.4117.6117.8118.0118.2118.4价格（$）股票CVX在2012-10-09日图1：交易日示例。蓝条表示每分钟的市场交易量（以股票数量计），红线表示期间价格。Σ ∈ ST++是一个协方差矩阵。因此，成交量过程分为以常数b（k）为模型的每种股票的确定性成分和以多元对数正态分布为模型的所有股票具有相同分布的随机成分。我们在附录B中报告了我们用于根据历史数据估算该体积模型参数的特别程序，以及τ=t的条件期望Et[1/V]、Et[mτ]、Et[1/mτ]公式，T（解决方案（29）需要它）。根据过去数据估算体积模型的过程要求我们提供一个参数，我们通过交叉验证对数据的初始部分进行估算。详细说明见附录B.5.3滚动测试我们根据“滚动测试”或“移动窗口”程序组织模拟：对于用于模拟订单执行的每一天，我们根据覆盖之前W>0天的“窗口”估计数据的各种参数。（通常认为，最新的历史数据与模型校准最相关，因为观测到的现象背后的系统会随着时间而变化）。因此，我们每天模拟执行i=W+1，N使用我- W我-1.历史估算。通过这种方式，每次我们测试VWAP解决方案算法时，我们都只使用基于历史数据的模型参数Scalebrated。

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2022-5-9 06:03:17

换句话说，我们的模型的性能是根据样本估算的。此外，由于所有顺序模拟使用相同数量的历史数据进行校准，所以比较它们是公平的。我们将历史估算的窗口长度乘以W=20，大致相当于一个月。如附录B.2所述，我们留出第一个WCV=10模拟日，用于交叉验证体积模型的特征。在图2中，我们描述了该过程。在接下来的两部分中，我们将解释如何进行模型参数估计和订单执行模拟。订购simul。（交叉值）W=20天。（cross.val.）W=20天。。。WCV=10天分拣模拟。W=20天或模拟。W=20天。。。图2：滚动测试程序说明。我们在数据集上迭代，模拟任何一天i=W+1，N，并在之前的W=20天估算模型参数。用于模拟订单的第一个WCV=10天用于交叉验证（如附录B.2所述）。剩余的W+WCV+1，N天（总共30天）在§5.6.5.4模型估计中给出。我们根据历史数据，对我们的求解算法的所有相关模型的参数进行估计。我们将上标（i，k）附加到任何涉及市场日i和股票k的数量上。我们从每个区间的市场交易量开始，作为总日交易量的一部分（我们需要（16）的交易量）。我们使用样本平均数hmtvi\'Pi-1j=i-WPKk=1m（j，k）t/V（j，k）W k每t=1，T图3显示了这种估计的一个例子（在数据集的第一个W=20天）。

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2022-5-9 06:03:20

动态解（29）需要估计10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00时间0。00.51.01.52.02.53.03.5%总体积mt/V的历史值（百分比）图3:E的估计值mtV使用数据集的第一个W=20天，以百分比表示。挥发物σt，我们使用平方价格变化的样本平均值σt\'Pi-1j=i-WPKk=1（p（j，k）t+1- p（j，k）t）/p（j，k）tW k对于每t=1，T在图4中，我们展示了这种估计的一个例子（在数据集的第一天）。然后，我们从§5.2中定义的参数族中选择体积分布fm（m，…，mT）（使用附录B.1中描述的特殊程序）。我们以样本平均值e[V（i，k）]Pi估计每种股票的预期日交易量-1j=i-WV（j，k）wf每k=1，K.我们用它来选择模拟订单的大小。最后，我们考虑参数s，交易成本模型（2）的sT和α。由于我们需要额外的数据、价差的市场报价以及α执行订单的专有数据（出于财务原因的保密），因此我们不以经验方式对其进行估计。相反，我们将它们设置为外生值，在所有库存和天数中保持不变（以简化执行成本的比较）。为了简单起见，我们假设分数分布在时间上是常数，等于2个基点，s=····=sT=2b.p.（一个基点为0.0001）。这对于道琼斯工业平均指数等流动性股票来说是合理的。我们根据交易成本的经验法则选择参数α：交易一天的交易量成本与交易日的波动率近似[KGM03]。我们对前20天的10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00时间246810121416b进行了经验估算。p、 ^σt的历史值（以基点为单位）图4：在数据集的第一个W=20天内，周期波动率的估计值^σt。

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2022-5-9 06:03:24

估计的价格增量为每分钟一点的标准偏差。在数据集中，我们的股票从开盘到收盘的波动率大约等于90个基本点，因此，从方程（2）中，我们设定了α=90.5.5，每天用VWAP解决方案算法模拟执行i=W+1，N且每只股票k=1，我们模拟了一个命令的执行。我们确定的订单规模等于给定库存在给定日期的预期日销量的1%：c（i，k）=E[V（i，k）]/100。这样的订单很小，对股票价格的影响可以忽略不计[BFL09]，因为我们需要（2）持有。我们用不同的求解方法重复模拟：静态解（16）和动态解（29），风险规避参数λ=0,1,10,100,1000，∞. 我们使用符号a来索引求解方法。对于每次模拟，我们都会求解一组适当的方程，将所有历史估计的参数设置为按照§5.4的程序获得的值。对于每一种求解方法，我们得到一个模拟交易计划u（i，k，a）t，t=1，t上标a为解决方案方法编制索引。然后，我们使用（4）S（i，k，a）=PTt=1p（i，k）tu（i，k，a）t来计算进度计划引起的延误- C（i，k）p（i，k）VWAPC（i，k）p（i，k）VWAP+TXt=1α（u（i，k，a）t）C（i，k）m（i，k）t-u（i，k，a）tC（i，k）！。（31）请注意，我们正在模拟交易成本。直接测量它们需要实际执行u（i，k，a）t。这种交易成本优化测试对于静态解决方案（16）和动态解决方案（29）之间的比较具有价值。我们的交易成本模型（2）与文献中的其他作品（如[FW13]）相似，但涉及市场交易量。

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2022-5-9 06:03:27

静态解决方案仅使用市场开放前已知的市场容量分布，而动态解决方案使用SHDP程序整合实时信息并改进市场容量的建模。在下文中，我们展示了动态解决方案比静态解决方案实现更低的交易成本，这种收益是由于更好地处理市场容量信息。实际上，经纪人会使用不同的交易成本模型，可能比我们的模型更复杂。我们认为一个好的模型应该将市场容量作为一个关键变量[BFL09]。因此，我们的测试表明，在该设置中，动态解决方案的性能也会优于静态解决方案。我们在图5中展示了一个样本市场日的模拟结果，使用λ=0和λ=0的静态解（16）和动态解（29）∞. 我们还绘制了市场交易量m（i，k）t.5.6聚合结果我们报告了为订单模拟服务的所有日期的VWAP执行模拟的聚合结果（减去用于交叉验证的结果）。对于任何一天，i=W+WCV+1，N、股票k=1，K、解方法a（对于λ的各种值，静态解（16）或动态解（29））我们使用（31）获得模拟滑移（i，K，a）。然后，对于每种求解方法a，我们确定了S asE[S（a）]=PNi=W+WCV+1PKk=1S（i，k，a）（N）的经验预期值- W-WCV）和经验方差Var（S（a））=PNi=W+WCV+1PKk=1（S（i，k，a））- E[S（a）]（N- W-WCV）K- 1.在图6中，我们在风险回报图上显示了这些值。（为了简单起见，我们显示了方差的平方根，因此两个轴都用基点表示）。

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2022-5-9 06:03:30

我们观察到，动态解决方案在VWAP跟踪（S的方差）和交易成本（S的预期值）方面都比静态解决方案有所改善，我们可以通过选择不同的λ值来选择不同的行为。10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00时间0。00.20.40.60.81.0厘米。VWAP解决方案与市场容量的总容量比较。2012-11-27日股票JPM静态解动态解λ=∞动态解决方案，λ=0市场容量图5：模拟样本市场日的订单执行情况。我们将所有体积过程报告为其总体积的累积分数。每次τ我们为市场容量Mt绘制pτt=1MTv，为各种解决方案ut绘制pτt=1Tc。我们只显示λ=0和λ=∞ 因为对于λ的所有其他值，解介于两者之间。我们在§2.2中引入了近似值，即与（9）相比，（10）的值可以忽略不计。实证结果验证了这一点。对于静态解，（9）的经验平均值为4.45e-07，而（10）是6.34e-09，约1%。对于λ=∞ （10）的平均值为3.60e- 07和（9）是1.92e- 08，约5%。对于λ=0的动态解，（10）的平均值为4.76e- 07和（9）是5。50e- 09，约1%。λ的其他值的动态解介于两者之间。因此，近似值通常是有效的，对于λ的高值，近似值变得不那么紧。

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2022-5-9 06:03:33

实际上，在图6中，我们可以看到，对于λ=∞ 比λ=10000的大多少，可能是因为（9）的贡献。（我们可以将其解释为偏差-方差权衡，因为从λ=∞ 为了λ=10000，我们有效地引入了解的正则化。）6结论我们研究了VWAP基准下的最优执行问题，并开发了两大类解决方案。§3的静态解，尽管是在与经典[Kon02]1.1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 S、b.p.6.06.26.46.66.87.0Std的预期值（样本平均值）类似的假设下得出的。S的偏差（样本），b.p.静态λ=0λ=1λ=10λ=100λ=1000λ=∞动态解与静态解的最佳边界静态解动态解图6：我们在真实市场数据上模拟的总体结果的风险-回报图。每个点代表一种求解方法，静态解（16）或动态解（29），风险规避参数λ=0,1,10,100,1000，∞.我们展示了模拟滑动的样本平均值（代表执行成本）和样本标准偏差，即跟踪VWAP的均方根误差（RMSE）。订单量相当于预期日产量的1%。动态解在两个维度上都优于静态解，我们可以通过选择风险规避参数λ来选择偏好行为。与文献中的可比静态解决方案相比，更灵活，可以适应更复杂的模型（买卖价差和交易量）。通过将问题表述为一个二次规划，可以很容易地添加其他凸约束（参见[MS12]以获得一个好的列表），并保证有一个简单快速的解决方案[BV09]。§4的动态解是这项工作的最大贡献。

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2022-5-9 06:03:36

一方面，我们将问题转化为线性二次随机控制的标准形式。另一方面，我们在优化控制的近期结果的基础上，以原则性的方式对总市场容量的不确定性进行建模（我们在文献中发现的所有类似作品中都对其进行了描述[SBZ10]。§5的经验测试基于使用良好统计实践设计的真实数据进行的模拟（§5.3的滚动测试确保所有结果都是从样本中获得的）。我们比较了贸易行业标准的静态解决方案和动态解决方案的性能。动态解决方案是围绕市场容量联合分布的模型构建的，我们在§5.2中提供了一个简单的模型（以及使用该模型的方法）。这应该是一个概念证明，因为在实践中，经纪人应该有一个更复杂的市场交易量模型，这将进一步提高动态解决方案的性能。即使使用我们的市场容量模型，我们的动态解决方案也显著提高了静态解决方案的性能。结果验证了推导动态解所涉及的所有近似值，从而显示了其价值。我们的模拟量化了我们的动态解决方案相对于标准静态解决方案的改进。一方面，我们可以将VWAP跟踪的RMSE降低10%。这一点非常重要，可以通过更复杂的市场容量模型加以改善。另一方面，我们可以将执行成本降低25%左右。在我们的测试中，这与~ 100万美元的订单可以节省50美元（VWAP执行每天价值10亿美元）。附录A动态规划方程A。1 LQSCW的Riccati方程推导出（19）和（20）的递推公式。我们知道最终条件vt+1（xT+1）=gT+1（xT+1），所以DT+1=QT+1，DT+1=DT+1，bT+1=0。

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2022-5-9 06:03:39

现在对于感应步骤，假设vt+1（xt+1）的形式为（20），已知Dt+1、Dt+1和bt+1。那么，根据（18），在时间t的最佳动作是ut=argminuE[gt（xt，u，wt）+vt+1（at（wt）xt+Bt（wt）u+ct（wt））]=Ktxt+lt，其中kt=-E[Bt（wt）TDt+1At（wt）]（E Rt（wt）+E[Bt（wt）TDt+1Bt（wt）]lt=-rt+2E[Bt（wt）TDt+1c（wt）]+dTt+1E Bt（wt）2（rt+E[Bt（wt）TDt+1Bt（wt）]。因此，时间t的值函数也是（20）的形式，它的值vt（xt）=E[gt（xt，Ktxt+lt，wt）+vt+1（at（wt）xt+Bt（wt）（Ktxt+lt）+ct（wt））=xTtDtxt+dTtxt+btwithDt=E Qt（wt）+KTtERt（重量）+Bt（重量）TDt+1Bt（重量）Kt+E[At（wt）TDt+1At（wt）]+KTtE[Bt（wt）TDt+1At（wt）]+E[At（wt）TDt+1Bt（wt）]Ktdt=E qt（wt）+KTtE rt（wt）+2E KTtRt（wt）lt+E[At（wt）+Bt（wt）KTT+1（Bt（wt）lt+EC（wt））]Bt=Bt+1+E rt（wt）lt+E rt（wt）lt+E[（Bt（wt）lt+c（wt）lt+1+Bt（wt）]。因此，我们完成了归纳步骤，因此值函数是二次函数，并且在每个步骤t=1，T只要我们知道问题参数的函数形式和扰动的分布wt.A.2 SHDP解，就可以解决递归问题。我们推导了（27）和（28）的递归公式。这些方程与我们在附录A.1中推导的Riccati方程相当，但预期值在边缘条件密度^fwτ| t（·）上。我们写信来表达这样的期望。此外，由于我们的问题有At（wt）=I，Bt（wt）=e，qt=0，以及rt（wt）=rtfor t=1，…，所以这些方程稍微简单一些，T

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2022-5-9 06:03:45

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2022-5-9 06:03:48

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