半静态完整性和知情投资者的稳健定价

2022-5-9 06:39:56

知情投资者的半静态定价*B.Acciaio+M.Larsson2018年9月21日摘要我们考虑一个连续时间金融市场，该市场由可用于动态交易的证券和仅用于静态交易的证券组成。我们在Arobast框架下工作，其中给出了一组非支配模型。引入了半静态完备性的概念：它对应于通过半静态策略进行精确复制。我们证明了半静态完备性等价于非极端性，并给出了诱导过滤结构的一个特征。此外，我们考虑具有额外信息的投资者，对于特定类型的额外信息，我们描述了对知情投资者而言半静态完全的模型。最后，我们提供了一些例子，可以在半静态完整模型上对知情和未知情的代理进行鲁棒定价。关键词：半静态完备性；稳健的融资；极值点；过滤放大；知情定价。MSC2010学科分类：91G10，60G44。1简介我们考虑的是一个连续时间金融市场，有两种交易工具：可以随时间动态交易的证券，以及可以在时间零点进行交易，然后持有至到期的证券。在此背景下，我们研究了连续性声明的可复制性。本文的核心概念是半静态完备性，它指的是通过在两组可用证券中交易，完美复制任何或有权益的可能性。在数学金融中，具有半静态交易机会的市场通常被认为是稳健的无模型范式。

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2022-5-9 06:39:59

根据这一范式，与其致力于一个特定的模型（概率度量），不如考虑整个班级*我们要感谢Monique Jeanblanc提供的有用意见和讨论。我们还感谢联合编辑和两位匿名推荐人的宝贵意见。+伦敦经济与政治学院，统计系，10 Houghton St，WC2A 2ELONDON，英国。电子邮件：b。acciaio@lse.ac.uk——苏黎世ETH，数学系，瑞士苏黎世CH-8092，R–amistrasse 101。电子邮件：马丁。larsson@math.ethz.chof概率测度绝对连续性意义上的非支配模型。目标是通过对被认为合理的模型进行最坏情况分析来解释模型的不确定性。大量且不断增长的文献围绕以下非正式问题展开：在合适的框架内，建立公式的双重性∈MEQ[Φ]=inf十、∈ R：Φ可以通过从初始资本x开始的半静态交易进行超级复制, （1.1）其中M表示一组适当的鞅测度，Φ表示或有权益。关键的特点是超级复制需要M-准周期。继霍布森[Hobson[Hob98]的论文发表之后，这个问题已经被许多作者解决了；有关调查，请参见[Hob11]和[Tou14]。特别是，（1.1）已在各种环境中得到证明；参见离散时间中的[BHLP13、ABPS13、Nut14、BN15、BZ14、FH14]，以及[GHLT14、DS14a、DS14b、BCH14、BBKN15、BNT15、HO15、GTT15、BCH+15]不连续时间等。这与半静态完整性有什么关系？首先，在某些情况下，setM是凸紧的；有关示例，请参见第6节。因此，通常可以将（1.1）的左侧简化为M的极值点上的最大化问题。

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2022-5-9 06:40:02

我们的第一个主要结果将经典的Jacod-Yor极值点定理和鞅表示推广到了半静态交易和非支配模型。我们证明了半静态完备性等价于所考虑模型的极值性质；见定理3.1。这一结果与Campi和Martini[CM16]的工作有关，他们研究了具有可数状态空间的两周期模型中的极值。第二，很明显，（1.1）的双方都依赖于基础过滤，它对市场上投资者可用的信息集进行建模。事实上，随着过滤变得更大，鞅性质变得更具限制性。这将减小setM，并减小（1.1）的左侧。同样，更大的信息集会增加可用交易策略的数量，从而减少（1.1）的右侧。在有关过滤的结构假设下，我们描述了那些对于有权获得更大过滤的知情代理来说是半静态完整的模型；见定理5.1。在半静态完全模型下，知情代理会发现较大的过滤与原始过滤一致，直至零集。由此产生的信息是，对于知情代理而言，唯一相关的定价措施是无法区分这两种过滤的定价措施。第三，为了利用这些观察结果，需要澄清半静态完整模型的概率结构。事实上，鉴于数学金融中完整性概念的悠久历史，在半静态交易的背景下研究这一概念似乎很自然。假设动态交易证券具有连续的价格路径，我们从动态完备性的角度给出了半静态完备性的完整刻画；见定理4.6。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:40:05

动态完整模型在数学金融领域得到了广泛的研究，其结构也得到了很好的理解。因此，我们的特征化定理可以被看作是一个可以构造半静态完全模型的方法。让我们提到，该定理在很大程度上依赖于一种结构，我们称之为原子树，它与基础过滤有关；参见第4.1节。论文的其余部分组织如下。第2节给出了数学设置，特别是半静态完备性的定义。第3节将Jacod-Yor定理推广到半静态环境。第4节致力于半静态完整模型的特征描述。第5节研究了与过滤变化相关的半静态完整性。在第6节中，我们提供了一些例子，其中鞅测度集是紧的，因此第5节的结果可用于比较具有不同信息集的代理的稳健定价。最后，附录包含第4节中主要结果的证明，以及第5.2节“设置和注释”T中所需的Jeulin-Yor定理的扩展∈ (0, ∞) 是一个有限的时间范围，是一个经过过滤的可测量空间(Ohm, F、 F）其过滤系数F=（英尺）0≤T≤这是正确的。没有先验的概率度量。考虑一个由两种证券组成的金融市场：一个风险费用储蓄账户和m个可用于动态交易的风险资产，以及n个可用于静态交易的证券，这意味着它们只能在时间零点买入或卖出，并且必须在时间T之前持有。通过储蓄账户贴现的动态交易风险资产的价格由c`adl`ag F适应过程S=（St）0建模≤T≤T、 St=（St，…，Smt）。我们在不丧失一般性的情况下设置S=0。

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2022-5-9 06:40:09

静态分级证券的贴现时间T payoff由一组可测量的随机变量ψ={ψ，…，ψn}表示。在不丧失普遍性的情况下，我们将每个静态交易安全性在时间零点的价格固定为零。请注意，离散时间模型包含在该框架中；参见示例6.1。校准鞅测度。设P=P（F）为FT（先验）上的一组固定概率测度。集合P的作用是识别哪些事件被视为相关，哪些不相关。采用[BN15]中的符号，我们写Q<< P当Q是FTsuch上的一个概率测度时 P换一些P∈ P.我们考虑以下一组经过校准的鞅测度，在这些鞅测度下，价格过程S是鞅，静态交易证券的定价是正确的：M（F）=（Q）<< P:S是Q，EQ[ψi]=0，EQ[ψi]<∞ 就我所知）。因此，M（F）是在鲁棒框架中出现的鞅测度集，对应于先验集合P；参见例如[GHLT14]和[BN15]。鞅和校准条件在稳健（非支配）环境中是标准的。此外，我们还需要静态交易证券的平方可积性。文献中通常会对资产的终端分布施加一些可积条件；例如，[ABPS13]要求存在一些超线性矩，[DS14a，DS14b]和[HO15]假设某些p>1的Lp可积性。在这里，我们只要求S是鞅，但会对交易策略施加过分可积性。这将允许我们使用特定于结构的工具，例如正交投影。注意，如果选择P作为FT上的所有概率测度集，那么，模可积条件M（F）是模型独立框架中考虑的通常鞅测度集；见例句。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:40:13

[BHLP13]和[DS14a]。半静态完备性和极值点。我们现在定义半静态完备性，这是本文的关键概念。对于概率测度Q∈ M（F），我们用H（F，Q）表示平方可积鞅集，对于鞅M=（M，…，Md），我们让L（M，F，Q）表示M-可积过程集，例如H·M∈ H（F，Q）。这里使用[JS03]或[SC02]中常见的向量随机积分。遵循[DM80]，我们使用约定M=Mand（H·M）=Pdi=1HiMi。由于S=0，这不影响关于价格过程S的积分，但当我们对其他鞅积分时，这将很重要。请注意，F并没有用Q-零集进行增广。如果过滤F和概率度量Q与上下文无关，我们通常会将它们从符号中删除。定义2.1。我们说半静态完备性在Q下成立∈ M（F）if anyX∈ L（FT，Q）可以表示为x=x+aψ+···+anψn+（H·S）TQ-a.S。对于某些x，a，一∈ R和H∈ L（S，F，Q）。因此，半静态完备性意味着任何平方可积支付都可以使用半静态策略进行复制。在没有静态交易证券的情况下，半静态完备性恰好对应于通常的可预测表示属性。第3节的主要结果将半静态完备性与测度的极值性联系起来。定义2.2。元素Q∈ 如果Q=λQ+（1），则称M（F）为极值点- λ） Q和Q，Q∈ M（F）和0<λ<1意味着Q=Q=Q。M（F）的所有极值点集由ext M（F）表示。如果M（F）是凸的，并且概率测度空间被赋予了一个拓扑，在该拓扑下M（F）是紧的，则Krein-Milman定理暗示M（F）是其极值点的闭凸壳。

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2022-5-9 06:40:16

对于任何支付Φ，Q 7→ EQ[Φ]是连续的，然后可以计算其在极端点集上的鲁棒超级套期保值价格：supQ∈M（F）EQ[Φ]=supQ∈外接M（F）等式[Φ]。（2.1）在第6节中，我们提供了两个例子，其中M（F）是紧的。然而，请注意，在我们随后的任何结果中，M（F）的紧性都不是假设的；以上这些评论只是研究其极端点的一个动机。备注2.3。半静态完备性是给定模型Q的一个性质∈ M（F）。人们还可以想出一个健壮的概念，在M（F）中的所有模型下，复制都是可能的。然而，根据定理3.1，这相当于M（F）是一个单体。除了经典情况P={P}之外，这种情况似乎太过严格，不太令人感兴趣。此外，定理3.1表明，我们的半静态完备性概念是刻画ext M（F）的正确概念，ext M（F）是一个稳健的目标，它不依赖于任何特定的参考度量选择。稳定子空间与正交性。对于固定概率测度Q∈ M（F）和一个可能的多维鞅M=（M，…，Md），我们用S（M）表示hgivenbys（M）={H·M:H的闭子空间∈ L（M，F，Q）}。如果M是平方可积的，那么S（M）是包含SM的最小闭子空间，Mdand在停止时是稳定的。这通常被视为S（M）的定义，但这对我们来说很不方便，因为特别是价格过程S不需要平方可积。在本文中，我们只需要S（M）在停止时在手桌中是闭合的。回想一下，平方可积鞅的正交性有两个概念：如果EQ[MTNT]=0，则M和N是弱正交的，也就是说，如果M和N与希尔伯特空间H上的内积正交。如果MN是鞅，则M和N是强正交的。

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2022-5-9 06:40:18

为了简化表示法，我们通常用平方可积鞅的最终值来确定它们。特别是，我们将S（M）视为L（FT）的子空间。3半静态Jacod-Yor定理经典Jacod-Yor定理将过程X的可预测表示性质与X的鞅测度集的极值点联系起来；参见[JY77]。本节的主要结果是在半静态套期保值的背景下模拟Jacod-Yor定理。它表明，M（F）的极值点完全对应于这些半静态完全模型。定理3.1。让Q∈ M（F）。下列条件是等价的：（i）Q∈ 分机M（F）。（ii）半静态完备性在Q下成立。定理3.1的证明需要两个辅助结果。第一个结果表明，在L引理3.2中，作为L（FT）子集的半静态策略的结果集相对于收敛是闭合的。让Q∈ M（F）。半静态策略的结果集，W={a+aψ+···+anψn+（H·S）T:a，…，an∈ R和H∈ L（S）}，在以下意义下是闭合的：if（Xk） W satis fies Xk→ 对于某些X∈L（英尺），然后是X∈ W证据我们在n上进行归纳。假设n代替n，结果为真- 1，将Wbe定义为W，n替换为n- 1.让（Xk）满足Xk的W-bea序列→ 对于某些X∈ L（英尺）。那么Xk=Xk+akψ∈ 旺达克∈ R.如果ψn在W的L-闭包中，则归纳假设产生ψn∈ W、所以事实上（Xk）魔杖∈ W 通过归纳假设的另一个应用。因此，我们可以假设ψndoes不在W的L-闭包中。然后根据哈恩-班纳赫定理，存在一个连续的线性泛函F onL（FT），它在满足F（ψn）=1的条件下消失。因此ak=F（Xk）→ F（X），whenceXk→ 十、- F（X）ψninl。

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2022-5-9 06:40:23

然后，归纳假设得到X- F（X）ψn∈ 旺克斯∈ W，根据需要。n=0的结果还有待证明。这紧随着[Yor78]的以下结果；参见[DS06]中的定理15.4.7，了解一个涵盖多维情况的公式：Let Hk，k≥ 1，是S-可积过程，使得Hk·S是每个n的鞅，并且假设（Hk·S）T→ 对于某个随机变量X，存在一个可积过程H，使得H·S是一个（H·S）T=xa.S的鞅，因为在我们的例子X中∈ L（FT），我们额外获得H∈ L（S）和X∈ W这就完成了证明。定理3.1的证明。（一）==> （ii）：通过引理3.2，可以证明S（S）和1的线性跨度，ψ，ψn，我们用W表示，在L（FT）中是稠密的。事实上，这已经被证明了。那么对于任何X∈ L（FT）我们可以找到一个序列（Xk） W带XK→ L中的X，从哪里来∈ 引理3.2。还有待证明W在L（FT）中是稠密的。这源于道格拉斯定理的应用；参见[Dou64]。为了完整性，我们提供了简短的论点。通过Hahn-Banach定理，可以证明任意随机变量Z=0∈ L∞（FT）使得所有Y的等式[Y Z]=0∈ W选择任何这样的Z。通过缩放，我们可以假设| Z |≤ 1/2. 定义概率度量Q+和Q-bydQ±=（1±Z）dQ。由于Radon-Nikodym导数位于[1/2,3/2]中，随机变量在Q下是平方可积的当且仅当它在Q±下是平方可积的。此外，对于所有i=1，…，我们有EQ±[ψi]=EQ[ψi]±EQ[Zψi]=0，n、类似地，对于所有简单可预测有界被积函数H，EQ±[（H·S）T]=EQ[（H·S）T]=0 Q、我们有Q“∈ M（F）。既然Q=Q++Q-Q是一个极值点，因此Q+=Q-= Q、根据需要，Z=0。（二）==> （i）：假设Q=λQ+（1）-λ） Qforsome Q，Q∈ M（F）和λ∈ (0, 1). 然后 Q、所以我们可以定义Z=dQdQ。

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2022-5-9 06:40:25

对于任意X=a+aψ+···+anψn+（H·S）T∈ Wwe然后haveEQ[（Z- 1） X]=EQ[X]- 等式[X]=a- a=0。因为W是L（FT，Q）的全部，所以Z=1，因此Q=Q=Q。因此Q是一个极值点。备注3.3。定理3.1也可以在Lsetting中陈述和证明，其中ψi仅假设可积，半静态完备性是使用integrandsH定义的，因此H·S是鞅。通过观察引理3.2中相应修改的集合W在L中是闭合的（其顶基本相同），可以很容易地证明定理3.1的这种说法。由于后续的发展很大程度上依赖于L的希尔伯特空间结构，为了保持一致性，我们选择在整篇论文中进行L设置。在没有静态成分的动态套期保值的经典设置中，存在广泛的完整模型。例如，当价格过程是一个可能依赖路径的随机微分方程的强解时，动态完备性就成立，形式为dSt=σ（t，Su:u）≤ t） dWt，其中W是布朗运动和σ-nevervanishes。因此，人们可能想知道，在半静态环境中，是否有任何理由期望完整的模型表现出进一步的结构特性。现在，我们来说明为什么人们可能会认为会出现这种情况。为此，考虑一下someQ∈ M（F）下半静态完备性成立，暂时假设ψ={ψ}包含一个元素。考虑不可对冲部分ψ- ψ的π（ψ），其中π表示闭子空间{XT:X上的正交投影∈ S（S）}L（英尺）。设M是由这个不可对冲部分生成的平方可积鞅，Mt=EQ[ψ]- π（ψ）|Ft]。那么M是弱的，因此是强的，与S（S）正交。因此，对于任何H，H·M与S（S）是（弱的和强的）正交的∈ L（M），因此，通过半静态完备性，H·M位于span{M}，M的线性跨度。

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2022-5-9 06:40:29

此外，结论是span{M} S（M）之所以成立，是因为我们对随机积分时间零值的约定。因此，S（M）=span{M}。因此，关于M的随机积分集是一维的，这显然对M的行为施加了严格的限制；关于多维环境中的精确陈述，请参见命题B.1。进一步发展这些观察结果，我们可以用动态完全模型来描述半静态完全模型的行为。这是下一节的主题。4连续价格过程的半静态完整性本节的目标是描述具有连续价格过程的半静态完整模型的行为。我们考虑一个概率测度Q∈ M（F）在本节中保持不变。随机量之间的关系在Q-几乎确定的意义下是可以理解的，为了简化符号，我们去掉了下标Q和writeE[·]=EQ[·]。表征定理中需要的一个关键概念是原子树。A组∈ FTwe表示A第一次可测量的时间t（A）=inf{t∈ [0，T]：A∈ 英尺。请注意∈ F（A）的右连续性，而A/∈ Ft（A）-如果t（A）>0。回想一下A是Ftif A的一个原子∈ F和Q（B）等于零或Q（A）只要B∈ 英尺，B A.定义4.1。原子树是满足以下属性的事件的有限集合：（i）每个∈ T是Ft（a）的非零原子；（ii）对于每个A∈ 使T（A）<T（A），或 A区∩ A=;（iii）对于每个A∈ T使得A）A，Q（A\\A）>0。为了讨论原子树，有以下术语是有用的：元素A∈ T被称为另一个元素a的子元素∈ T如果A（A）存在noA∈ T.使，使，使，使，使，使，使。

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2022-5-9 06:40:32

此外∈ 如果它没有孩子，就称它为叶子；如果没有孩子，就称它为叶子∈ 不是这样的（A.很明显，T承认通过将每个元素A连接到其子元素A而获得的自然树结构。尤其是，叶的上述概念与通常的图论概念相吻合。图1为说明。原子树T大小的自然度量是通过树的路径数，或相当于叶的数量。我们将该数量称为时间ion of T，dim T=T中的叶子数。这个术语的动机是，在通过树的路径集上定义的函数空间具有维数dim T；另见下文备注4.3（iii）。现在我们在原子树上引入一个自然的非简并条件。定义4.2。如果一棵原子树的叶子构成了一个原子的分区，它就被称为满树Ohm （向上）如果A是Ft（A）的原子-当我是一个孩子的时候。Ohmaaaaaaaattt图1：包含完整原子树T的过滤F的示意图。每个圆圈表示一个事件a∈ 特别是，T的叶子是{A，A，A，A，A}。这些线表示T元素之间的关系；例如，a和a是a的孩子，而a又是a的孩子Ohm. 此外，我们有t=t（A），t=t（A）=t（A），t=t（A）=t（A），因此ζ（t）=tA+tA+tA。下面的评论收集了有关完整原子树的一些基本特性和观察结果，这些特性和观察结果是上述定义的直接结果。备注4.3。让T成为一棵完整的原子树。（i）每个A∈ 这不是一片叶子，而是它的子代到零集的结合。此外，如果A和A是A的孩子，那么t（A）=t（A）。（ii）因为T是F元素的集合，所以西格玛代数σ（T） F的定义很明确。此外，对于零集，σ（T）=σ（A∈ T:A是一片叶子）。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:40:36

因为叶子也构成了Ohm,E[X |σ（T）]=XAE[X1A]Q（A）A（4.1）适用于任何X∈ L（FT），其中总和延伸至所有叶A∈ T.此外，σ（T）也可以用σ（T）=Fζ（T）和ζ（T）=XAt（A）1A（4.2）来描述为零集，其中总和再次延伸到T的叶子上。注意，ζ（T）是一个以T为界的停止时间，可以认为是“树的终点”。（iii）鉴于（4.1），L的维数（σ（T））等于T中的叶片数。这促使了对dim T的定义。最后，需要以下（动态）完整性的有限概念。定义4.4。给定t∈ [0，T]和A∈ Ft，我们说S在×[t，t]ifany X上是完全的∈ L（FT）可以通过[t，t]上的动态交易在A上复制；也就是说，对于某些x，几乎可以肯定ifX=x+（H·S）t Aholds∈ R和一些H∈ [0，t]]上H=0的L（S）。备注4.5。如果S在A×[t，t]上是完整的，那么A必然是一个Ft原子。事实上，如果定义4.4中任意选择的随机变量X是Ft可测量的，那么它几乎肯定是A上的常数，因为X1A=E[X+（H·X）t | Ft]1A=X1A。现在我们可以陈述我们的主要特征定理。证据在附录B中给出。回想一下，我们在任意固定测度Q下工作∈ M（F）。我们让ζ（T）表示（4.2）中与原子树T相关的停止时间。定理4.6。假设S是连续的。然后，半静态完备性成立，当且仅当存在一个完整的原子树T，使得（i）S在a×[T（a），T]上对于每个叶a是完整的∈ T、（ii）集合{E[ψi |σ（T）]：i=1。

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能者818

2022-5-9 06:40:39

，n}包含dim T-1线性独立元件。在这种情况下，L（FT）=L（σ（T））⊕ S（S），S在[0，ζ（T）]上是常数。因此，半静态完整性完全取决于过滤结构。更准确地说，一个模型是半静态完整的，当且仅当在该模型下，过滤具有图2所示的形状：存在一个原子成分，由静态交易证券中不可通过S交易复制的部分生成（另见引理B.7），以及由S生成的更丰富的成分。因此，半静态完整模型是通过原子树将动态完整模型“粘合”在一起的组合。显然，这些模型是“非实物”的，因为它们不能给出真实资产价格的真实描述。尽管如此，它们确实刻画了校准鞅测度集的极值点（见定理3.1）。因此，可以将定理4.6视为根据动态完整模型和原子树对这组极值点进行参数化。让我们简要地提到原子树T是如何在定理4.6的证明中出现的。关键思想是考虑不可边缘部分Vit=E[ψi | Ft]- （Hi·S）tofψi，其中Hi·S是E[ψi | Ft]到S（S）的正交投影。半静态完备性则意味着，根据第3节末尾所述的论点，即（V，…，Vn）=span{V，…，Vn}。这通过命题B.1产生了一组原子，用于构造一个原子树，使得ψi=E[ψi |σ（T）]+（Hi·S）T；见引理B.7。由此，我们可以以一种相对简单的方式推断（i）和（ii）。Ohmaaaaaaaattt图2：半静态完整性保持时过滤的示意图。从叶子（A除外）发出的摆动曲线表明，在ζ（T）之后，过滤可能很快变得丰富。

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能者818

2022-5-9 06:40:42

然而，也有可能在到达一片叶子时不会发生进一步的事件；这一点可以通过A的流线来说明。通过半静态完整性，从叶子开始的每个模型都是动态完整的。备注4.7。定理4.6中的树T是非空的，因为它是满的。因此，它至少有一片叶子，是从那里来的≥ 1.在退化情况下，T={Ohm}, （i）说这已经完成了Ohm ×[0，T]，这只是动态完整性的常见概念。此外，对于空集，T是唯一的。事实上，如果这是另一棵可能的树，则该理论表明L（σ（T））=L（σ（T））。推论4.8。假设S是连续的，让Q∈ ext M（F），让T表示相关的完整原子树。那么任意鞅M的跳跃都在T上得到了支持，在这个意义上{m6=0} {A×{t（A）}:A∈ T} 。证据根据定理4.6，对于某些x，M=x+V+H·S∈ R、一些鞅V，例如vt是Fζ（T）-可测的，一些H∈ L（S）。特别是，]]ζ（T），T]] {M=0}。接下来，让我们看一看∈ Don’不要做一个孩子∈ 因为T是满的，所以A是Ft（A）的原子-. 很明显，A×（t（A），t（A）） {M=0}。设D表示该形式的所有集合的并集，]]ζ（T），T]]。然后{m6=0} Dc={A×{t（A）}:A∈ T} ，从而生成评估。我们用两个例子来结束本节。第一个示例说明了如何使用定理4.6在连续路径设置中建立半静态完整模型。第二个例子表明，如果S跳跃，定理4.6的陈述不一定有效。例4.9。在这里，我们使用定理4.6建立一个半静态完整模型，通过二维原子树将两个（动态）完整模型放在一起。允许Ohm = C（[0，T]，R）表示[0，T]上的实值连续函数集在零处消失。设S为坐标过程，St（ω）=ω（t），F为S生成的正确连续过滤。

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能者818

2022-5-9 06:40:45

设P是FT上所有概率测度的集合。假设存在一个静态交易证券ψ=[S，S]T- K、对于某些固定的K>0。修正t*∈ （0，T）和常数σ，σ使得σ>pK/（T）- T*) > σ> 0. 我们考虑了两种概率测度Q，Qon-FTsuch thatSt=σiWt-T*{t≥T*}在Qi下，其中W是在Qi下的标准布朗运动。现在我们设置Q=λQ+（1）- λ） Q，其中λ∈ （0，1）由校准条件EQ[ψ]=0:0=EQ[ψ]=λσ（T）确定- T*) + (1 - λ） σ（T）- T*) - K、这意味着Q∈ M（F）。我们让Ai={+[S，S]t*= σi}，在哪里+表示右导数，注意T={Ohm, A、 A}是Q下的原子树，其dim T=2，且eq[ψ|σ（T）]=σ（T- T*)1A+σ（T）- T*)1A- k6≡ 因此，根据定理4.6，Q是一个半静态完全模型。图3给出了相应过滤的表示。例4.10。在这里，我们提供了一个半静态完整模型，定理4.6中给出的过滤结构不适用于该模型。我们让Ohm = C（[0，T]，R）×R+×{0，1}，并为坐标元素写入（W，θ，ξ）。修正t*∈ （0，T）和σ，σ>0，σ6=σ。定价过程由T定义=-t、 t<θ∧ T*1.- θ、 t≥ θ、 θ<t*-T*+ (ξσ+ (1 - ξ） σ）Wt-T*, T≥ T*, T*≤ θ、 F是它产生的正确的连续过滤。设P是FT上所有概率测度的集合。设Q是FT上的概率测度，其中W，θ和ξ相互独立，W是标准布朗运动，θ是标准指数，和OhmAAt*图3：叶片A，A对应于两个波动率σ>σ的Bachelier模型。因此，方差交换ψ=[S，S]T- K在两种模型下的定价不同，可用于对冲参数为1/2的Aor A.ξA Bernoulli。然后在Q下，S的行为就像一个补偿的泊松过程，严格地在t之前*. 如果S跳跃，那么它在T之前保持不变。

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2022-5-9 06:40:48

否则，如果t之前没有跳转*, S继续作为布朗运动，其波动率为σ或σ，取决于伯努利变量ξ的结果。很明显，S是Q下的鞅。我们现在引入静态交换安全性ψ=[S，S]T- K=EQ[[S，S]T]。如下面引理4.11所示，这使得模型半静态完整。然而，过滤F不允许一个完整的原子树T，正如定理4.6在连续情况下所保证的那样。因此，定理的陈述不适用于S有跳跃的情况。引理4.11。示例4.10中定义的模型是半静态完整的。证据考虑任何X∈ L（FT）和writeX=十、- 等式[X |英尺*]+ 等式[X |英尺*-] +等式[X |英尺*] - 等式[X |英尺*-].使用泊松过程和布朗运动的鞅表示定理，可以很容易地证明，右边的前两项的形式为EQ[X]+（H·S）T。要处理第三项，请注意Ft*= 英尺*-∨ σ（A）可达零集，其中＝{θ≥ T*} ∩ {ξ=1}是Ft的一个原子*. 因此，等式[X | Ft*] - 等式[X |英尺*-] = 对于某些常数c和某些Ft，c1A+y*--可测量的随机变量Y，其表示形式为Y=Y+（J·S）T。因此，仍然需要证明1A可以半静态地复现。然后取上面的X=ψ。实际上，我们有ψ=σ（T- T*)1A+σ（T）- T*)1B+1C- K、其中A如上所述，B={θ≥ T*} ∩ {ξ=0}，C=Ohm \\ （A）∪ B）。自从∪ B∈ 英尺*-σ6=σ，我们得到a=（σ- σ）（T）- T*)ψ+yf对于某些Ft*--可测随机变量Y，如上所述，它允许S的一个表示形式。这就是半静态完备性的证明。5知情投资者的定价除了F，我们现在考虑的是正确的连续过滤G=（Gt）0≤T≤吨(Ohm, F）与英国《金融时报》合作 GTT≤ T

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2022-5-9 06:40:51

虽然F应该被认为是一个典型的市场参与者可以获得的信息，但G包括只有一些投资者观察到的额外信息。请注意，M（F）是用ft上的概率测度族P=P（F）定义的，而M（G）是用GT上的概率测度族P（G）定义的。为了比较两组校准的鞅测度，我们总是假设p（F）={Q | FT:Q∈ P（G）}。对于任何过滤，H=（Ht）0≤T≤T、 F随H的逐渐增大是过滤G=（Gt）0≤T≤由GT定义的Tde=\\u>tFu∨ 胡。（5.1）因此，G是包含F和H的最小右连续过滤。我们的主要结果考虑了S是连续的，H由单跳过程的集合生成的情况。我们指的是形式为X1[[τ，T]]的过程，其中X是arandom变量，τ是随机时间，即a[0，T]∪ {∞}-有值随机变量。在不丧失普遍性的情况下，我们总是假设τ=∞ 在{X=0}上。为了说明这些结果，我们定义了以下F停止时间，这是第一次开始移动：σ=inf{t∈ [0，T]：St6=0}。此外，我们说F和G在Q下重合，如果Ftequals Gtup达到每个t的Q-零集∈ [0，T]。以下定理与知情和不知情投资者的半静态完备性有关。定理5.1。假设S是连续的。设G由（5.1）给出，H由无数非负有界单跳过程Xi[[τi，T]]，i=1，p、假设{0<τi<∞} 对于所有的i，下一个M（G）={Q:F和G在Q下重合，Q∈ 分机M（F）}。（5.2）定理5.1可以解释如下：考虑一个知情的代理人，他通过最大化M（G）的极值点来计算超级套期保值价格，如（2.1）所示。该机构发现，相关模型Q实际上已经包含在F中的附加信息（当然，最多为空集）。

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2022-5-9 06:40:54

下面的示例5.2简单说明了这种限制如何导致M（G）显著小于M（F）。这些集合之间的差异导致知情代理和未知情代理计算的绝对超级对冲价格之间可能存在巨大差异。第6节给出了进一步的例子。例5.2。让我们在S=0时连续。假设H由单跳过程1[[τ，T]]生成，其中τ=sup{T∈ [0，T]：St=1}是S最后一次达到1级，如果从未发生过，我们将τ=0设置在这里。注意，τ满足OREM 5.1中的条件。那么，为了使S成为G的鞅，我们必须使S几乎肯定地小于1。要了解这一点，请注意，如果连续鞅在某一时刻达到某一水平（在本例中，Sτ=1），它将多次返回到该水平，除非这发生在时间T。因此，τ=T或S<1，因此τ=0。这意味着{ST=1}={τ=T}={τ=0}c∈ G.由于S=0，鞅性质几乎肯定地施加τ=0，从而迫使S<1。除了这个属性，任何Q∈ M（G）应正确定价静态交易证券。本例将在第6节中再次出现。备注5.3。请注意，定理5.1中考虑的过滤G是最小的右连续过滤，其中包含F，使得τi映射时间和Xi{τi<∞}变为Gτi-可测。具有随机时间的进行性增大和具有随机变量的初始增大都被列为特例；对于前者，简单地取X=1，对于后者，取τ=0。这些经典类型的过滤放大是文献中研究最多的，我们的分析在很大程度上借鉴了这一理论；参见例如[JY78]和[Jeu80]。备注5.4。由于定理3.1，定理5.1意味着在给定的模型下，这里考虑的形式的额外信息不能用于完成市场。

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kedemingshi

2022-5-9 06:40:57

知情代理人面对半静态完全市场的唯一方式是，未知情代理人的半静态完全性已经成立。因此，虽然在一个不完整的市场中，额外的信息可能会降低超级复制的成本，但它通常不足以保证精确复制。定理5.1的证明。唯一需要证明的是“”. 事实上，我们将用归纳法证明p上的语句ext M（G） {Q:Fand G在任意右连续基函数F的Q}保持下重合，其中G是fw与p的推进放大≥ 1单跳过程。（5.3）假设基本情况p=1已被证明。让p≥ 假设（5.3）适用于p- 1.设Hbe为Xp[[τp，T]]生成的过滤，设Hbe为Xi[[τi，T]]生成的过滤，i=1，P- 1.然后，用明显的符号，我们有=F∨ H∨ H.采用基础过滤F=F的归纳假设∨ 他希望F∨ 手G在任意Q下重合∈ 分机M（G）。因此M（G）=M（F∨ H）。因此，应用F=F的基本情况，我们发现F和F∨ H、因此F和G在anyQ下重合∈ 分机M（G）。这就完成了导入步骤。对于H由一个单跳过程X1[[τ，T[]生成的基本情况，只需证明（5.3）。我们写F=F。修正一个度量Q∈ 分机M（G）。通过mt=X1{τ定义一个过程≤t}-Zt∧τZs-dAs，（5.4），其中Z是与τ相关的Az’ema超马氏体（C.3），A是过程X1[[τ]的双重可预测投影，∞[[.根据引理C.1，M是一个G-鞅。对于一些S-可积过程H和一些带有VT的G-鞅V，结合半静态完备性的局部化参数，来自定理4.6，yieldsM=M+V+H·S（5.5）∈ L（σ（T）），其中是对应的完整原子树。

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2022-5-9 06:41:01

要了解这一点，首先要注意M是局部有界的。实际上，X是有界的，（5.4）中的积分定义了一个c`adl`ag可预测过程，该过程自动局部有界；见第七章。32英寸[DM80]。设（ρk）为局部序列。半静态完备性与定理4.6关于某些Hk的yieldMρkT=M+VkT+（Hk·S）t∈ L（S，G）和VkT∈ L（Gζ（T））。自ρk→ ∞ 和ζ（T）≤ T取很多值，对于所有足够大的k，比如k，我们有ρk>ζ（T）≥ k、因此，取gζ（T）-条件期望，并利用S在[0，ζ（T）]上是常数，我们得到vkT=Mζ（T）∧ρk- M=Mζ（T）- Mfor all k≥ k、右侧不依赖于k；用VT表示它。然后（5.5）用H=Hk[[0，ρk]]+Xk>kHk]]ρk表示H-1，ρk]]，如权利要求所述。考虑到（5.4）、（5.5）和S的连续性，考虑MyieldsX1[[τ]]的跳跃过程=阿兹-[[0,τ ]]+ 五=阿兹-+ 五、[0，τ]]，（5.6），其中[[τ]]表示τ的图形，我们使用约定Y0-= 0表示任何进程。注意[[τ]] [[0]] ∪ ]]σ、 T]]由于假设{0<τ<∞}.还有，σ≥ ζ（T），因为S在[0，ζ（T）]上是常数。因此，将（5.6）的两边乘以[[0]]∪ ]]σ,∞[b]然后使用它V=0外]]0，ζ（T）]]通过推论4.8，我们得到x1[[τ]]=阿兹-[[0]] ∪ ]]σ,τ ]]. （5.7）由于{τ<∞} 根据假设，这会产生τ=infT∈ [0，T]：阿兹-[[0]] ∪ ]]σ、 T]]6=0,这是一个F-stop时间。因此，（5.7）的右侧和左侧是F自适应的。因此，我们放大F的过程X1[[τ，T]]已经是F自适应的，其中F和G在Q和Q下重合∈ 分机M（F）。对定理5.1的证明稍加修改即可表明，在没有静态交易证券的情况下，既不需要S的连续性假设，也不需要τi的条件。推论5.5。假设ψ=. 设G由（5.1）给出，H由多个独立的有界单跳过程Xi[[τi，T]]生成，i=1。

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2022-5-9 06:41:04

下一个M（G）={Q:F和G在Q下重合，Q∈ 分机M（F）}。证据同样，唯一重要的包容是“”, 和之前一样，它需要考虑一个单跳过程X1[[τ，T[[]。使用该（动态）完备性在anyQ下成立∈ ext M（G），与导致（5.6）yieldsX1[[τ]的论点类似=阿兹-+ Hs[0，τ]]对于一些H∈ L（S，G）。设J为F-可预测过程，J1[[0，τ]]=H1[[0，τ]]；见（C.2）。用J代替H，我们可以像以前一样看到τ几乎肯定等于anF停止时间，然后X1[[τ]]已经是F自适应的。备注5.6。例如，定理5.1可以推广到具有可数个单跳过程的渐进放大，这样，对于每一个ω，在T之前只能发生无数跳。然而，要使定理的结论成立，还需要一些关于扩大的假设。事实上，假设W是Q下的标准布朗运动，生成过滤G，通过St=Rtsgn（Ws）dWs定义S，并假设F是S生成的过滤。那么S再次是布朗运动，并且（动态）完整性与这两种过滤有关。因此Q | FT∈ 分机M（F）和Q∈ ext M（G），其中取ψ= P（G）是GT上所有概率测度的集合。尽管如此，众所周知，F与| W |产生的过滤一致，并且严格小于G；参见[RY99]中的推论VI.2.2。我们感谢Monique Jeanblanc向我们指出这一点。6示例在本节中，我们提供了离散时间和连续时间的示例，其中校准鞅测度的集合M（F）和M（G）都是紧的（示例6.2和6.5）。在这些情况下，可以通过极端措施进行稳健定价，如（2.1）所示，第5节的结果可用于比较具有不同信息集的代理的定价。

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2022-5-9 06:41:07

我们也给出了例子，其中M（F）是紧的，M（G）是空的，其中M（F）是紧的，但M（G）不是（例6.6）。例6.1（离散时间）。假设T∈ 让我们Ohm = [s，s]t对于一些常数s<0<s。设s为坐标过程的分段常数插值，St（ω）=ω（btc），其中btc表示t的整数部分，我们按照约定设置ω（0）=0。设F为S生成的过滤，P为ft上所有概率测度的集合。此外，假设静态交易证券的收益在ω中是连续的。在这种情况下，普罗霍罗夫定理暗示P是弱紧的。此外，校准和鞅限制变成EQ[ψ]=0和EQ[f（S，…，Ss）（St）- Ss）]=0，对于所有整数0≤ s<t≤ T和所有连续函数f:Rs→ R.由于Ohm, 这些约束是弱闭合的。因此M（F） P是软弱的。例6.2（离散时间内的过滤放大）。我们继续设置示例6.1。设G为F的初始放大系数，随机变量L=L（S）连续依赖于S，即Gt=\\u>tFu∨ σ（L），t∈ [0，T]。这种随机变量的一个例子是L（S）=TPTt=1 | St |。满足所有测度的条件集- Ss）]=0，对于所有整数0≤ s<t≤ T和所有有界连续函数f:Rs+1→ R.系统的有界性Ohm L的连续性，这个约束是弱闭的，因为M（F）是弱紧的，那么M（G）也是弱紧的。现在，根据Krein-Milman定理，M（F）和M（G）都可以通过它们的极限测度来恢复，并且可以通过这些测度进行稳健定价，参见（2.1）。

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2022-5-9 06:41:10

M（F）和M（G）的极值点在推论5.5中是相关的，这使我们能够评估投资者在有或没有额外信息的情况下对衍生品的稳健定价的差异。例6.3（连续时间）。修正T>0，然后让Ohm 是[0，T]上实值连续函数在零处消失的空间C（[0，T]，R），具有一致收敛的拓扑。价格过程S被视为Ohm,以及它产生的正确的持续过滤。我们假设静态交易证券的支付函数是ω的连续函数，满足|ψi（ω）|≤ C1+支持≤T |ω（T）|κ（6.1）对于某些常数C和κ。固定σ>0，让P表示FTsuch上的概率测度集，即S是一个二次变化的半鞅，由[S，S]t=Ztσsds和σt给出≤ σ为所有t≤ T（6.2）也就是说，S具有绝对连续的二次变化，且波动率由σ限定。例如[STZ11]中讨论了这种情况。引理6.4。M（F）是弱紧的。证据我们首先证明M（F）是弱闭的，所以让Qk∈ M（F）弱收敛于某个概率测度Q。BDG不等式和（6.2）产生式[supt]≤T | St | p]≤CpσpTp/2适用于任何p≥ 1，其中Cpi是一个仅依赖于p的常数。由于右手边在k中是一致的，[Bil13]中的定理3.5断言EQk[X]→ 等式[X]适用于任何连续随机变量X，该变量在supt中最多以多项式形式增长≤|T（124t）。这会立即产生EQ[|St |]<∞ 对于所有的t，并且考虑到（6.1）也等式[ψi]<∞ andEQ[ψi]=0。此外，还可以得到EQ[（St- 对于任何σ（Su:u），Ss）X]=0≤ s） -可测有界连续随机变量X。单调类参数使我们放弃了X的连续性，表明s是过滤（σ（Su:u））的Q-鞅≤ t））t∈[0，T]。这被扩展到右连续修正F，由支配收敛；我们忽略了细节。

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2022-5-9 06:41:15

因此，S是过滤F的一个Q-鞅。只剩下检查Q了<< P.自Qk以来<< P和Qk∈ P、引理A.1 yieldsEQkhmXi=1（Sti）- 性病-1)圆周率≤ σ2p（t）- s） p1+pp！M对于任何等距网格0≤ s=t<···<tm=t≤ T和p≥ 1当p<m时，通过与上述相同的弱收敛参数，该界将延续到Q。考虑网格点tmi=s+i（t- s）利用Fatou引理，我们得到[S，S]t- [S，S]S圆周率≤ 林姆→∞EQhmXi=1（Stmi- Stmi-1)圆周率≤ σ2p（t）- s） p每p≥ 1.从左侧和右侧取pth根，并将p发送到最终生成[S，S]t- [S，S]S≤ σ（t）- s）。这表明Q∈ P、完成了M（F）闭的证明。还有待证明M（F）是紧的。为此，让p>2，并乘以任何ε>0。然后，马尔可夫不等式和BDG不等式以及（6.2）产生δQ监督≤s≤t+δ| Ss- 圣|≥ ε≤εpEQhsupt≤s≤t+δ| Ss- 圣|皮≤Cpσpεpδp/2-1对于任何δ>0和任何t∈ [0，T]（我们为s>T设置Ss=sts）。通过收缩δ，可以使右侧任意变小。紧度现在来自定理7.3和[Bil13]中的后续推论。例6.5（连续时间内的过滤放大）。我们继续例子6.3的设置。将过滤G视为fw的渐进放大，随机时间τ连续依赖于ω∈ C（[0，T]，R）。然后是元素Q∈ M（F）在M（G）中当且仅当鞅条件[F（St，…，Stk，τ]∧ s）（圣- Ss）]=0对所有0都适用≤ t<··<tk≤ s≤ T≤ T与所有有界连续函数sf:Rk×[0，T]→ R.通过τ的连续性，这是一个闭合条件。因此，M（G）是M（F）的一个极闭子集，因此由于引理6.4，它是弱紧的。

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2022-5-9 06:41:18

因此，相关的问题是M（G）是否非空。为了给出一个简单的具体例子，假设某个连续函数f:R的τ（ω）=f（ω（T））→ [0，T]等于区间上的零[-a、 a]围绕原点。那么，对于任何模型Q∈ M（F）使| ST |≤ a几乎可以肯定，τ=0几乎可以肯定，因此F和G在Q下重合，因此Q∈ M（F）。因此，只要条件| ST |≤ a与校准条件EQ[ψi]=0一致，M（G）为非空。然而，它通常会显著小于M（F），这有利于知情代理计算稳健的超级对冲价格。同样，对于这两个代理，定价都可以在极端测度上进行，对于满足定理5.1的τ，通过（5.2）进行关联。例6.6（过滤放大和套利或紧凑性失效）。在自然放大的情况下，M（G）不能紧致。例如，假设G是F随着击中时间τ=sup{t的逐渐增大∈ [0，T]：示例5.2中的St=1}，如果该集合为空，则τ=0。如例5.2所述，为了使S成为G的鞅，我们必须几乎肯定S<1。然而，这不是一个封闭的条件。事实上，如果Qkis是[0，T]上的布朗运动定律第一次停止，它是1- K-然后qk弱地收敛于布朗运动定律，比如说，当它第一次达到1时停止。但是S<1在Q下失败，所以Q/∈ M（G）。此外，根据静态权利要求，M（G）= 可能发生。例如，考虑只有一个静态索赔ψ=（ST- 1)+-. 优先条件EQ[ψ]=0施加Q（ST>1）>0，因此在这种情况下M（G）=. 这种情况被解释为知情代理人存在套利行为。A技术问题A.1。固定σ>0，设M为连续鞅，M=0且[M，M]t-[M，M]s≤ σ（t）- s）对于所有0≤ s≤ T≤ T

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kedemingshi

2022-5-9 06:41:22

然后，对于任何等距网格0≤ s=t<···<tm=t≤ T和p<m的任何p>0，我们有mXi=1（Mti- Mti-1)圆周率≤ σ2p（t）- s） p1+pp！M.证据证明使用n定义的双阶乘n×（n）- 2） n奇数为··3×1，且(-1)!! = 1.我们声称E[M2kt]≤ （2k）- 1)!! σ2ktk，0≤ T≤ T、（A.1）持有任何k≥ 我们在k上进行归纳。对于k=0，这个陈述显然是正确的。现在让我们来看看k≥ 假设（A.1）对k是真的- 1.它的引理yieldsM2kt=2kZtM2k-1sdMs+k（2k）- 1） ZtM2k-2sd[M，M]s.由于[M，M]上的界，局部鞅项是真鞅；我们这里省略了这个论点。取期望值，使用归纳假设以及[M，M]上的界，这个屈服值[M2kt]≤ σk（2k）- 1）中兴[M2k]-2s]ds≤ σ2kk（2k）- 1）（2k）- 3)!!Ztsk-1ds=σ2ktk（2k- 1)!!按要求。因此（A.1）通过归纳法适用于所有k。接下来，为了便于记谱，请编写Mi=Mti- Mti-1和h=ti- 钛-1=（t- s） /m.A条件参数与（A.1）结合产生，对于任何非负整数k，公里，东[M2k··M2kmm]≤ （σh）k+··+kmmYi=1（2ki- 1)!!将其与多项式定理yieldsEh相结合mXi=1惯性矩pi=Xk+··+km=ppk··kmE[M2k····M2kmm]≤ σ2Ppxk+··+km=ppk··kmmYi=1（2ki- 1)!!= σ2hpmp+σ2hpxk+···+km=ppk··kmmYi=1（2ki- 1)!! - 1.≤ σ2ppmp+4pp！σ2ppmp-1，其中最后一行使用下面的组合不等式（A.2）。因为mh=t- s、结果如下。还有待证明不等式xk+·km=ppk··kmmYi=1（2ki- 1)!! - 1.≤ 4便士！议员-1.（A.2）我们继续归纳，首先注意到（A.2）适用于p=1，因为在这种情况下，左侧为零。现在我们假设（A.2）对p成立，并证明它对p+1成立。因为任何求和到p+1的多指数（k，…，km）至少可以用一种方式表示为（l，…，lj）-1，lj+1，lj+1，对于一些j和一些多指标（l。

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2022-5-9 06:41:26

，lm）求和，我们有xk+·km=p+1p+1k·kmmYi=1（2ki- 1)!! - 1.≤mXj=1Xl+··+lm=ppl·lmp+1lj+1（2lj+1）mYi=1（2li- 1)!! - 1.这个表达式等于mxj=1Xl+·lm=ppl·lmp+1lj+1（2lj+1）mYi=1（2li）- 1)!! - 1.+ 2lj！，因为（A.2）被假定为p的值，所以它的边界是2（p+1）4pp！mp+2（p+1）mXj=1ljXl+·M+lm=ppl·lm= 2（p+1）（4pp！+p）议员。右手边被4p+1（p+1）粗略地限定了！mp，表明（A.2）符合P+1的要求。B定理4.6的证明在证明定理4.6时，我们分别处理效率和必要性。效率是公平的，所以我们首先要解决这个问题。定理的最后两个陈述将在证明过程中遵循；关于L（FT）的直和分解，请参见下面的（B.1），关于S的恒常性，请参见推论B.6∈ M（F）是固定的。定理4.6的证明：效率。设T为满足（i）-（ii）的完整原子树。我们需要证明任何X∈ L（FT）允许半静态表示。首先，我们声称任何X∈ 对于某些H，L（FT）有一个表示X=E[X |σ（T）]+（H·S）T（B.1）∈ L（S）。为了证明这一点，让我们，注意T的叶子。由于T是满的，叶子形成了Ohm （最多一个空集）。再加上对于每个i，S在Ai×[t（Ai），t]上是完全的假设，这个产量sx=dXi=1X1Ai=dXi=1xi+（Hi·S）T爱一些xi∈ R和一些嗨∈ [0，t（Ai）]上Hi=0的L（S）。定义H=dXi=1HiAi，我们就有了H∈ [0，ζ（T）]上的L（S）和H=0。ThusX=dXi=1xiAi+（H·S）Tand，使用（4.2）和可选停止定理E[X |σ（T）]=E[X | Fζ（T）]=dxii=1xiAi。我们根据需要推导（B.1）。现在需要证明，任何σ（T）可测随机变量X（它是自动有界的，因此是平方可积的）都允许半静态表示。鉴于（B.1），我们可以找到Hi∈ L（S）使得ψi=E[ψi |σ（T）]+（Hi·S）T，i=1，N

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