具体来说，我们有gmn（x）（t，y）=（mn（x）- y（1））1- E-mn（x）（T）-t） mn（x）；hmn（x），mn（y）=y（1）+γ（y，mn（x），mn（y））。我们从（B.9）和（B.10）中得出，引理A.4的假设是满足的（自mn起α=α）∈ 给定任意α的Cα（Dn）∈ （0，β），因此对于所有β∈ （0，1）通过取α∈ （0,1），α<β：kumn（x），mnkCβ（D~n）≤ ∧（~n，β）|gmn（x）|0，~n+1+|umn（x），mn | 0，D | n+1≤ ∧（~n，β）∧（n+1）+C（1）~n+1+|umn（x），mn | 0，D |n+1.现在，对于y∈ D~n:|umn（x），mn（y）|=|kn（mn（x），y；锰|≤ZT1.- E-mn（x）（T）-（t）EQyht≤τne-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））duidt+EQy“ZT∧τnrt1- E-mn（x）（T）-t） mn（x）e-Rt（ru+γ（Xu，mn（x），mn（Xu）））dudt+mn（x）n≤ T+T等式ZT∧τnrte-Rtrududt+∧（n+1）n≤ 2T+λ（~n+1）~n=λ（~n+1）。因此我们得出结论| umn（x），mn | 0，D | n+1≤ λ（~n，β），因此|kn（mn（x），x；mn）- kn（mn（x），y；mn）|≤ ∧（~n，β）|x- y |β。将这两个估计值加在（A.22）中，得出| mn（x）- mn（y）|≤ ∧（~n，β）|x- y |β， x，y∈ 根据（A.21）完成证明。有了这些准备，我们现在就可以证明定理3.9了。定理3.9的证明。注意，（3.7）相当于tom（x）=exhrtp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudtiExhRTp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu））dudti；十、∈ D.让α∈ (0, 1). 根据引理A.10，存在一个正常数∧（1，α），使得n>1，我们有kmnkα，D≤ Λ(1, α). ArzeláAscoli定理证明了{mn（x）}n>1的子序列的存在，我们将其表示为bynmn（1）k（x）ok∈N、 还有一些m（1）∈ k每n（1）k，mn（1）k代表x的（A.21）质量∈ 使mn（1）k（x）在Das k中一致收敛于m（1）（x）→ ∞, 用km（1）kα，D≤ Λ(1, α).再次应用引理A.10，我们发现存在一个正常数∧（2，α），这样n（1）k>2，我们有kmn（1）kkα，D≤ Λ(2, α).

ArzeláAscoli定理再次证明了子序列24 ZHE CHENG和SCOTT ROBERTSONofnmn（2）k（x）ok的存在性∈和一些m（2）∈ k使得mn（2）k在Das k中均匀地收敛到m（2）→ ∞, 用km（2）kα，D≤ Λ(2, α). 注意，通过构造，m（2）（x）=m（1）（x）代表x∈ D.上述程序可以反复执行，我们得出结论：L∈ N、 存在一个子序列{mn（l）k}k>1，用{mn（l+1）k}k表示∈N、 函数m（l+1）∈ Kl+1，使得mn（l+1）kC在Dl+1as k中均匀地收敛于m（l+1）→ ∞, km（l+1）kα，Dl+1≤ ∧（l+1，α）。此外，通过构造，m（l+1）（x）=m（l）（x）代表x∈ Dl。现在，为了所有的x∈ D、 有一些我∈ N这样x∈ Dk，K≥ l、 我们定义了m:D→ [0, ∞) 由（A.23）m（x）：=m（l）（x），注意，通过构造，m被很好地定义，m（x）∈ Cαloc（D），α ∈ (0, 1). 我们声称m是设计的固定点。事实上，Fix l并注意到∈ 我们有m（x）=limk→∞mn（l′）k（x）表示anyl′≥ l、 因此，对于任何l′≥ l我们可以用（A.21），m（x）=limk来写→∞前任RT∧τn（l′）krtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特林克→∞前任RT∧τn（l′）kp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特+mn（l′）k（x）n（l′）k1-E-mn（l′）k（x）！=：A（l′）B（l′，（A.24）式中，（回忆x∈ D和l是固定的）A（l′）=limk→∞前任ZT∧τl′rtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！杜+ 林克→∞前任ZT∧τn（l′）kT∧τl′rtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特= 前任ZT∧τl′rtp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudt+ 林克→∞前任ZT∧τn（l′）kT∧τl′rtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特,上面的第二个等式来源于自0以来的有界收敛定理≤ P≤ 1, 0 ≤ rt≤ C（1）l′，γ≥ 0和自mn（l′）k（Xu）→ m（徐）几乎可以肯定是为了u≤ τl′，而且，由于≥ l、 来自x∈ Dl Dl′内生电流：25somn（l′）k（x）→ m（x）。

至于第二学期，我们有0≤ 前任ZT∧τn（l′）kT∧τl′rtp（t，mn（l′）k（x））e-Rtru+γ（Xu，mn（l′）k（x），mn（l′）k（Xu））！达特,≤ 前“ZTT∧τl′rte-Rtrududt#。拿l\'↑ ∞ 利用X的非爆炸性和单调收敛定理，它就得到了thatliml′↑∞A（l′）=ExZTrtp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudt.对B（l′）重复同样的计算，并注意到唯一的区别是a）不存在Rt，这对t是有界的≤ τl′，b）分数mn（l′）k（x）/（n（l′）k（1）- E-mn（l′）k（x）），这显然会消失↑ ∞, 这与x的情况类似∈ Dl:liml′↑∞B（l′）=ExZTp（t，m（x））e-Rt（ru+γ（Xu，m（x），m（Xu）））dudt.因此，由于（A.24）左侧的m（x）不依赖于l′，因此结果如下。附录B.引理A.5第A.3节的补充证明。注意，对于t，rt，γ（Xt，m，η（Xt）是非负的，并且在上面由C（1）n+Bγ（n）一致地限定≤ τn。

此外，从（3.4）和（3.5）中，我们得到了所有x的结果∈ Dn，m，z≥ 0表示（B.1）γm（x，m，z）≤ min{Bγ（n）+Lγ（n）m，Ξ（mT）}≤Bγ（n）+Lγ（n）m≤ 1Ξ（T）m>1:=m（n），因此γm（Xt，m，η（Xt））几乎肯定在T上有界≤ τnb是一个仅依赖于n的常数。因此，根据有界收敛定理，我们可以将微分算子（关于m）拉到期望值内，并在（a.9）中积分，以获得mkn（m，x，T；η）=ExZT∧τnM1.-rtm1.- E-m（T）-（t）E-Rt（ru+γ（Xu，m，η（Xu）））dudt+n、 26 ZHE CHENG和SCOTT Robertson通过微分和收集项（同样，积分和导数的所有互换都是基于当前的假设），我们得到了（ru+γ（Xu，m，η（Xu）））du×M1.-rtm1.- E-m（T）-（t）E-Rt（rn+γ（Xu，m，η（Xu）））du= rt1- E-m（T）-t） m-（T）- t） e-m（T）-t） m+1- E-m（T）-t） mZtγm（Xu，m，η（Xu））du！+（T）- t） e-m（T）-（t）- (1 - E-m（T）-t） Ztγm（Xu，m，η（Xu））du。（B.3）对于所有m>0，t≤ T计算表明（B.4）为0≤1.- E-m（T）-t） m-（T）- t） e-m（T）-t） m≤（T）-t） )；0≤1.- E-m（T）-t） m≤ （T）- t） 。从0开始≤ γm（x，m，z）≤M（n）和0≤ rt≤ C（1）在Dnit中，最确定的是（B.3）的右边在（B.5）（T）之下- t） e-m（T）-（t）- (1 - E-m（T）-t） Ztγm（Xu，m，η（Xu））du，以及从上面的byC（1）n（T）- t） +（t）- t） tM（n）+ （T）- t） 。（A.10）中的上限如下。至于下限，从（3.5）我们有（T）- t） e-m（T）-（t）- (1 - E-m（T）-t） Ztγm（Xu，m，η（Xu））du≥ （T）- t） e-m（T）-（t）- Ξ（mT）t（1）- E-m（T）-t） ）；≥ 0.（B.6）要查看第三个不等式，请注意（书写β=1）- t/t和分子和分母乘以t）Ξ（mT）=infβ∈（0,1）βe-βmT（1）- β)(1 - E-βmT）=inft∈（0，T）（T）- t） e-m（T）-t） t（1）- E-m（T）-t） 因此，从（B.3）可以得出，几乎可以肯定的是，对于所有的m>0和t≤ T∧ τnthatM1.-rtm1.- E-m（T）-（t）E-Rt（rn+γ（Xu，m，η（Xu）））du≥ 0得出（A.10）中的上限。

最后，从（B.3）中可以明显看出，mapm 7→ M1.-rtm1.- E-m（T）-（t）E-Rt（rn+γ（Xu，m，η（Xu）））du几乎可以肯定，它在m中是连续的，并且与上界c（1）n是非负的T+TM（n）+ T、 内生电流，因此根据有界收敛定理，映射M7→ mkn（m，x；η）是连续的，每一个都大于0。转到（A.11），写出kn（m，·；η）=um，η，其中um，η（x）：=Ex“ZT∧τn（m）- rt）1- E-m（T）-t） 我-Rt（ru+γ（Xu，m，η（Xu）））dudt#；十、∈ Dn（B.7）um，η的形式为（A.3），其中gm（t，x）：=（m- x（1））1- E-m（T）-t） mhm，η（t，x）=hm，η（x）：=x（1）+γ（x，m，η（x））。（B.8）计算显示0<m≤ C（1）n（B.9）极限↑T、 y→xgm（t，y）=0，x∈ Dn|gm | 0，n≤ C（1）新界；[gm]α，n≤ C（1）nT1-α/2+T（C（1）n）1-α和| hm，η|0，n≤ C（1）n+Bγ（n）；[hm，η]α，n≤ （C（1）n）1-α+Lγ（n）∨ C（1）n∨ kηkα，Dn）（2Cn）1-α+kηkα，Dn,（B.10）注意，上述可使所有kηkα，Dn一致≤ R表示任何R>0。因此，引理A.2给出了（A.11）中的上界。引理A.6的证明。我们有kn（m，·；η）- kn（m，·；η）=um，η- η，其中η来自（B.7）。对于0<m，m≤ C（1）n，来自（B.9），（B.10）（适用于各自的mi，ηi），它来自引理A.2，对于umi，ηi=umi，ηi（0，·），其中umi，η隔离（A.4）中给出的线性抛物线PDE。此外，|Umi，ηi | 2，α，Dn≤ C（n，kηikα，Dn），其中kηikα，Dn的有界常数是一致的≤ R.定义V:=嗯，η- 嗯，η。然后V解线性抛物线偏微分方程（B.11）Vt+LV- hm，ηV=-~g，（t，x）∈ Qn，V（T，x）=0，x∈ Dn，V（t，x）=0（t，x）∈ [0，T]×Dn，我们设置的位置（回忆（B.8））：~g（t，x）：=gm（t，x）- gm（t，x）+Um，η（t，x）（hm，η）- hm，η）（x）。（B.12）从（B.10）中我们得到了|hm，η|α，nis，由一个只依赖于upon，kηkα，Dn的常数来限定（如果kηkα，Dn，可以使其一致）≤ R） 。

一个冗长但直接的计算表明| gm- gm | 0，n≤T+C（1）nT|M- m |，| hm，η- hm，η| 0，n≤ Lγ（n）∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn+| m- m|.28 ZHE CHENG和SCOTT Robertson注意到，上述情况同样可以使kηikα，Dn统一≤ 下面的R引理B.1表明存在常数∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）（对于kηkα，Dn，kηkα，Dn是一致的）≤ R） 因此[gm]- gm]α，n≤（1+2tc（1）n）T1-α/2+T（C（1）n）1-α|M-m |，[hm，η- hm，η]α，n≤∧（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn+| m- m | kη-ηkα，Dn.（B.13）从（B.12）开始，它很容易从| Um，η| 2，α，Dn开始≤ C（n，kηkα，Dn）表示（通过潜在地扩大∧′′）|g |α，n≤∧∧（n，kηkα，Dn，kηkα，D）|M- m |+kη- ηkα，Dn+| m- m | kη- ηkα，Dn.结果来自引理A.2，因为gmand Um，η在t=t，x上取0∈ Dn，因此兼容性条件成立。我们接下来证明（A.13）。从（B.2）和（B.3）中，我们得到了mkn（m，x；η）- mkn（k，x；η）=ExZT∧τn（A（t）（B（t）C（t）+D（t））- A（t）（B（t）C（t）+D（t）））dt,（B.14）其中i=1，2Ai（t）=e-Rt（ru+γ（Xu，mi，ηi（Xu）））du；B（t）=rt，Ci（t）=mi1.- E-米（T）-（t）- 米（T）- t） e-米（T）-（t）+1.- E-米（T）-t） miZtγm（Xu，mi，ηi（Xu））du，Di（t））=（t- t） e-米（T）-（t）- (1 - E-米（T）-t） Ztγm（Xu，mi，ηi（Xu））du。使用基本估计| A（BC+D）- A（BC+D）|≤ |A | | B | | C-C |+（|B | | C |+| D |）A-A |+| A | D-D |，我们将在（A.13）中获得上界。首先，我们有几乎确定的不等式| A（t）|≤ 1; |B（t）|≤ C（1）n，| C（t）|≤ T+M（n）; |D（t）|≤ T（1+M（n））。在上面，我们使用了γ≥ 0, 0 ≤ rt≤ C（1）非t≤ τn，（B.4）和（B.1）。

接下来是| C（t）- C（t）|≤1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m+1.- E-m（T）-t） mZT |γm（Xu，m，η（Xu））- γm（Xu，m，η（Xu））|du+ZTγm（Xu，m，η（Xu））du1.- E-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-t） m.地图M7→ (1 -E-m（T）-（t）-m（T）-t） e-m（T）-t） ）/mhas衍生物-（2/m）（1）-E-m（T）-（t）-m（T）-t） e-m（T）-（t）- （1/2）米（T）- t） e-m（T）-t） ）是非正的，并且以（t）的绝对值为界-t） /3≤ T/3。因此1.- E-m（T）-（t）-m（T）- t） e-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m≤T | m- m |。第二学期我们有1个- E-m（T）-t） mZT |γm（Xu，m，η（Xu））- γm（Xu，m，η（Xu））|du≤ TLγ（n）∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn.对于第三项，我们有ztγm（Xu，m，η（Xu））du1.- E-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-t） m≤TM（n）|m- m |，从M7开始→ (1 - E-m（T）-t） ）/m有一个以（t）为界的导数- t） /2。因此，我们可以找到一个常数（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn），因此几乎可以肯定t≤ T | C（T）- C（t）|≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn.接下来，通过r，γ的非负性和| e-A.- E-b|≤ |A.- b |对于a，b≥ 0，这对t来说几乎是肯定的≤ T∧ τn:|A（t）- A（t）|≤ZT |γ（Xu，m，η（Xu））- γ（Xu，m，η（Xu））|du，≤ tlγ（n）∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn,= C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dm.30郑哲和斯科特·罗伯茨最后，我们有| D（t）- D（t）|≤ TE-m（T）-（t）- E-m（T）-（t）+ (1 - E-m（T）-t） ZT |γm（Xu，m，η（Xu））- γm（Xu，m，η（Xu））|du+ZTγm（Xu，m，η（Xu））duE-m（T）-（t）-E-m（T）-（t）,≤ T | m- m |+tlγ（n∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn+M（n）T|M- m |，≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn.把这些放在（B.14）中，就得到了所有的x∈ 是吗|mkn（m，x；η）- mkn（m，x；η）|≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M-m |+kη- ηkα，Dn,这是理想的结果。引理。对于0<m，m≤ C（1）n，η，η∈ Knand gm，（B.8）中的hmas（B.13）中的不等式成立。证据

这个证明是基于泰勒公式的冗长计算，利用γ都是C的事实，以及阶导数≤ 2可以连续扩展到D×{0}×{0}，以及所有阶导数≤ 2是Lipschitz常数为Lγ（n）的‘Dn×[0，n]×[0，n]中的Lipschitz连续。特别是对于γ的任意阶偏导数u≤ 2，任意n和常数mn，zn>0supx∈Dn，m≤mn，z≤zn|u（x，m，z）|<∞,supx，x′∈Dn；m、 m′≤锰；z、 z′≤zn | u（x，m，z）- u（x′，m′，z′）|≤ Lγ（n）∨ 锰∨ 锌）|十、- x′|+|m- m′|+| z- z′|.上述不等式在续集中反复使用。此外，C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）是一个常数，它可以在不同的直线之间变化，并且对于kηkα，Dn，kηkα，Dn，kηkα，Dn，始终可以在η中保持一致≤ 现在，对于s，t<t，x，y∈ Dnwe havegm（t，x）- 总经理（t，x）- （总经理（s，y）- gm（s，y））=（m- x（1））1- E-m（T）-t） m- （m）- x（1））1- E-m（T）-t） m-（m）- y（1））1- E-m（T）-s）m- （m）- y（1））1- E-m（T）-s）m=Zmm（T- t） e-m（T）-t） +x（1）米1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-（t）!dm-Zmm（T- s） e-m（T）-s） +y（1）m1.- E-m（T）-（s）- m（T）- s） e-m（T）-（s）!马克。我们现在有Zmm（T）- t） e-m（T）-（t）-（T）- s） e-m（T）-（s）dm=ZmmZtse-m（T）-τ）（m（T）- τ ) - 1） dτdm≤ （1+C（1）nT）|t- s | | m- m |。接下来，我们有x（1）米1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-（t）-y（1）m1.- E-m（T）-（s）-m（T）- s） e-m（T）-（s）≤ x（1）1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m+ |x（1）- y（1）|1- E-m（T）-（s）- m（T）- s） e-m（T）-s） m.任何k≥ 0函数m 7→ M-2.1.- E-公里-kme-公里是非负的，在m>0时递减，极限为m→ （1/2）k中的0。利用这个我们有| x（1）- y（1）|1- E-m（T）-（s）- m（T）- s） e-m（T）-s） m≤（T）- s） |x（1）- y（1）|≤T | x（1）- y（1）|。接下来，对于任何m>0，映射M7→ M-2.1.- E-m（T）-τ )- m（T）- τ） e-m（T）-τ )有导数-（T）-τ） e-m（T）-τ）的绝对值在τ上有界≤ 一点一点。

这意味着X（1）1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m-1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-t） m≤ C（1）nT | t- s |。把这两个术语放在一起就可以Zmmx（1）m1.- E-m（T）-（t）- m（T）- t） e-m（T）-（t）-y（1）m1.- E-m（T）-（s）- m（T）- s） e-m（T）-（s）!dm≤T | x（1）-y（1）|+C（1）nT | t- s||M- m |。因此| gm（t，x）- 总经理（t，x）- （总经理（s，y）- 总经理（s，y））|≤ |M- m|（1+2C（1）nT）|t- s |+T | x（1）- y（1）|,因此[gm]- gm]α，n≤ |M- m|（1+2C（1）nT）T1-α/2+T（C（1）n）1-α,也就是（B.13）对于g，把ai（x）写成（x，mi，ηi（x）），对于i=1，2和x∈ Dn。组（B.15）Mn:=n∨ C（1）n∨ kηkα，Dn∨ kηkα，Dn，注意（B.16）ai（x）∈\'EMn=\'DMn×[0，Mn]×[0，Mn]；十、∈ Dn。32郑哲和斯科特·罗伯逊我们从二阶泰勒公式中得到η（x）- hm，η（x）- （hm，η（y）- hm，η（y））=γ（a（x））- γ（a（x））- （γ（a（y））- γ（a（y）），=（m- m） （γm（a（x））- γm（a（y））+γz（a（x））（η（x）- η（x））- γz（a（y））（η（y）- η（y））+（m- m）Rmm（a（x）a（x））- Rmm（a（y）a（y））+ Rzz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- Rzz（a（y）a（y））（η（y）- η（y））+2（m- m）Rmz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- Rmz（a（y）a（y））（η（y）- η（y））.（B.17）这里，对于a（x），a（x），x∈ Dnwe有setRmm（a（x）a（x））=Z（1）- u） γmm（a（x）+u（a（x）- a（x）））du，=Z（1）- u） γmm（x，m+u（m- m） η（x）+u（η（x）- η（x）））du，以及Rzzand Rmz的类似公式。自m+u（m- m） 介于m和η（x）+u（η（x）之间- η（x））介于η（x）和η（x）之间，该公式立即给出（回忆（B.16））Rmm（a（x）a（x））≤x，m，z∈En |γmm（x，m，z）|=C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn），（B.18）（使用Rmz，Rzz的类似公式）以及Rmm（a（x）a（x））- Rmm（a（y）a（y））≤ Lγ（Mn）Z（1）- u） （|x）- y |+|（1）- u） （η（x）- η（y））+u（η（x）- η（y））|）du，≤Lγ（Mn）|十、- y |+kηkα，Dn | x-y |α+kηkα，Dn | x- y |α,= C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|x- y |α，（B.19）（与Rzz、Rmzas井的类似公式）。我们现在使用（B.18），（B.19）分别约束（B.17）右侧的五个条款。

首先，|（m）- m） （γm（a（x））- γm（a（y）））|≤ |M- m | Lγ（Mn）|十、- y |+kηkα，Dn | x- y |α,≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|m- m | | x- y |α。内生电流|γz（a（x））（η（x）- η（x））- γz（a（y））（η（y）- η（y））|≤ |γz（a（x））| |η（x）- η（x）- （η（y）- η（y））|+|η（y）- η（y）| |γz（a（x））- γz（a（y））|，≤ x，m，z∈\'EMn|γz（x，m，z）| kη- ηkα，Dn | x-y |α+kη- ηkα，DnLγ（Mn）|十、- y |+kηkα，Dn | x- y |α,= C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，D | x- y |α。第三，从（B.19）我们得到（m）-m）Rmm（a（x）a（x））- Rmm（a（y）a（y））≤ C（1）nC（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|m- m | | x- y |α，=C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|m- m | | x- y |α。第四（召回）（B.18）、（B.19）和a- b=（a）- b） （a+b））Rzz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- Rzz（a（y）a（y））（η（y）- η（y））≤Rzz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- （η（y）- η（y））+ （η（y）- η（y））Rzz（a（x）a（x））- Rzz（a（y）a（y））,≤ 2C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn | x- y |α+kη- ηkα，DnC（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|x- y |α，=C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，D | x-y |α。最后，还是第五次2（m）-m）Rmz（a（x）a（x））（η（x）- η（x））- Rmz（a（y）a（y））（η（y）- η（y））≤ 2米- m | | Rmz（a（x）a（x）| |η（x）- η（x）- （η（y）- η（y）|+2 | m- m | |η（y）- η（y）|Rmz（a（x）a（x））- Rmz（a（y）a（y））,≤ 2米- m|C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）kη- ηkα，Dn | x- y |α+C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|x- y |α= C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|m- m | kη-ηkα，D | x- y |α。将上述（B.17）中的五个估计值相加，我们得到| hm，η（x）- hm，η（x）- （hm，η（y）- hm，η（y））|≤ C（n，kηkα，Dn，kηkα，Dn）|M- m |+kη- ηkα，Dn+| m- m | kη- ηkα，Dn|十、- y |α，由此得出（B.13）中的结果。34 ZHE CHENG和SCOTT ROBERTSONAPPENDIX C.技术结果下列引理表明，对于所有≥ 0，平衡点p（t，m）第一次降到或低于1/2至少是t/2：引理C.1。对于所有m>0，infT∈ [0，T]：p（T，m）≤ (1/2)≥ T/2。证据假设对于某些m>0，t∈ [0，T]，p（T，m）=2。

Thent=T+mlog1+e-mT.很明显，T>T<==>mlog（1+e）-mT）> -T<==>1+e-mT> E-mT/2。最后一个不等式适用于所有m>0和T>0，从而完成了证明。附录D.关于风险中性措施的构建，QLet D与假设3.2相同，假设b:D 7→ RDA:D7→ 应给出满足假设3.3的函数。假设D、~b和A是这样的，对于与D上的（~b，A）相关联的二阶线性算子L，存在一个（必然唯一的）马丁格尔问题的解（见[27]）。现在，fix一个概率空间(Ohm, G、 P）并用fw表示P下的d维布朗运动。Setff是fw自然过滤的右连续放大的P-增强版本，因此ffw满足通常条件。由于L的鞅问题是适定的，因此SDE（D.1）dXt=~b（Xt）dt+a（Xt）dfWt存在唯一强解。哪里=√A.下一步让我们看一下：D 7→ Rd，∑：d7→ SDALS也满足假设3.3。带σ=√∑，通过交易工具（S，S）形成的市场，其中S=（S，…，Sd）具有动态性，S=ui（Xt）dt+kXj=1σij（Xt）dfWjt；i=1。。。，d、 和St=expRtrudu是r=X（1）的货币市场。定义b:D 7→ Rdby（D.2）b（x）=b（x）- a（x）σ（x）-1（u（x）- r1），其中1∈ RDI是一的向量。请注意，b满足假设3.3。最后，假设与（b，A）相关的L的鞅问题在D上也是适定的。在这些假设下，众所周知（见[23，第5章]，[19，2]）上述市场（采用FfWadapted，S积分交易策略）是完整的，FFWT上的唯一风险中性测度Q具有Radon Nikodym导数（D.3）dQdPFfWT=ZT；Zt:=E-Z·（u（Xt）- rt1）′σ-1（Xt）dfWtt、 t≤ 特别地，Z是一个（P，FfW）鞅。随着Q在FfWT上得到了很好的定义，我们回忆起（见[23，Ch。

5] 如果C={C（t）}t，那么，如果必要的可积性成立≤这是一个累积的现金流，根据汇率C（t）=˙C（t）进行调整，然后该流的唯一价格由EQhRTC（t）e给出-鲁杜迪。有了这个符号，我们现在在两个例子中推导出抵押贷款价格。D.1。大型游泳池。假设除了tofW(Ohm, G、 P）支持U（0，1）随机变量{Ui}i=1，。。。它们也是独立的。设γ是任何非负的、可积的、FfWadapted过程。给定γ，随机时间{τi}i=1，。。。通过（D.4）τi=infnt构造≥ 0 | Ui=e-Rtγ-udo；i=1。注意{τi}i∈i是给定FWT的P条件i.i.d.，每个都有共同的P-强度γ。现在，考虑一个大的池，由许多贷款组成，这些贷款（一致地）都非常小。更准确地说，对于i=1。。。，N setτ是N-loanpool中ithloan的提前还款时间，每笔贷款的规模为1/N。池中有共同的合同利率m，因此相应的主平衡和息票为pi（t，m）=（1/N）p（t，m）（其中p来自（2.3）和ci=（1/N）m/（1）-E-mT）=（1/N）c（m）对于i=1。。。，N.因此，池的累积现金流为：CN（t）=NNXi=1c（t∧ τi）+NNXi=1p（τi，m）1τi≤t、 根据条件大数定律和[28，定理6.6]中的Glivenko-Cantelli型定理，我们几乎可以肯定地得到P-limN↑∞监督∈[0，T]| CN（T）- C（t）|=0，其中t≤ T和τ是τi:C（T）=cEht的一般副本∧ τFfWTi+Ehp（τ，m）1τ≤TFfWTi，=cte-Rtγudu+cZtuγue-Ruγvdtdu+Ztp（u，m）γue-我是VDU。现金流量率isC（t）=ce-Rtγudu+p（t，m）γte-Rtγudu。因此，大型游泳池的价格由EQ给出ZT（c+p（t，m）γt）e-Rt（ru+γu）dudt= 1+EQZT（m）- rt）p（t，m）e-Rt（ru+γu）dudt,其中最后一个不等式使用（2.1）和分部积分。

这将产生（2.7）和γ，γ是预处理强度。该推导在[11,12]中被暗指（如果没有明确给出），并使用了与[14]中类似的论点。36 ZHE CHENG和SCOTT ROBERTSOND。2.单一贷款池。这里，我们假设除了(Ohm, G、 P）支持与P无关的U（0，1）随机变量U。随机时间τ如（D.4）所示，其中γ是一个非负的、可积的、FfWadapted过程。与τ相关的是指示过程H={Ht}t≥当Ht=1τ>t时，H生成过滤FH={Ht}t≥0via Ht=σ（Hs；s≤ t） τ显然是停止时间。此外，FHP和FFP软件是独立的。最后，放大的过滤G是由FFF和FH的P-增强版本生成的，并且是右连续的[13，定理1]。现在，让我们来谈谈∈ FfWand t≥ 0.我们清楚地知道EP[1τ>tA]=EPh（1）- E-Rtγudu）1和hencePPτ>tFfW= 聚丙烯τ>tFfWt= 1.- E-所以γ是τ的（P，FfW）强度。扩大上述市场，以适应G交易策略。虽然这个市场现在还不完整，但最小熵鞅测度（与上面的符号相同）满足QDPGT=ZT；T≥ 0.事实上，这一事实已在[1,21]和其他文献中得到证明。接下来，我们声称γ也是τ的Q强度。看到这张纸条~ 自Q[U]以来Q下的U（0，1）≤ u] =EP[1U≤uZT]=P[U≤ u] =u。接下来，对于所有A，u与FfWsince无关∈ FFWTT≥ 0:Q[U≤ u、 A]=EP[1U≤uAZT]=P[U≤ u] Q[A]=Q[u≤ u] Q[A]，因此Q独立性随之而来。因此∈ FfWand t≥ 0:Q[τ>t，A]=EQhAEQhU>e-RtγuduFfWii=EQhA1.- E-Rtγudui、 证明γ是τ的Q强度。

现在，从（2.5）中的抵押贷款价格开始，Q现在是扩大市场中的最小熵度量，等式（2.7）仍然成立（见（2.6）），因此（2.7）和（2.8）成立。参考文献[1]D.Becher，《恒定绝对风险规避下综合风险的理性对冲和估值》，保险数学。经济。，33（2003），第1-28页。[2] P.CHERIDITO，D.FILIPOVI\'C和M.YOR，跳跃扩散过程的等效和绝对连续测量变化，Ann。阿普尔。Probab。，15（2005），第1713-1732页。[3] 邓Y，J.M.奎格利和R.范·奥德，《抵押贷款终止，异质性和抵押贷款期权的行使》，计量经济学，（2000），第275-307页。[4] K.B.DUNN和J.J.MCCONNELL，gnma抵押贷款支持证券定价替代模型的比较，金融杂志，36（1981），第471-484页。[5] L.C.埃文斯，《偏微分方程》，数学研究生研究第19卷，美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮，1998年。[6] A.弗里德曼，《抛物线型偏微分方程》，普伦蒂斯·霍尔公司，新泽西州恩格伍德悬崖，1964年。[7] ，随机微分方程与应用，多佛出版公司，纽约州米诺拉，2006年。两卷合一，翻印1975年和1976年的原著，分两卷出版。内生电流优惠券37[8]D.GILBARG和N.S.TRUDINGER，二阶椭圆偏微分方程，数学经典，Springer Verlag，柏林，2001年。1998年版的再版。[9] Y.GONCHAROV，一种基于强度的抵押合同估值和内生抵押利率计算方法，Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，第9期（2006年），第889-914页。[10] ，计算无迭代的内生抵押贷款利率，定量金融，9（2009），第429-438页。[11] ，关于内生抵押贷款利率过程的存在性，数学。《金融》，第22期（2012年），pp。

475–487.[12] V.GOROVOY和V.LINETSKY，《基于强度的住宅抵押贷款估价：一个分析可处理的模型》，数学。《金融》，17（2007），第541-573页。[13] 何世伟和王俊杰，独立半鞅和的可预测表示的性质，Z.Wahrsch。没错。格比特，61（1982），第141-152页。[14] R.A.JARROW，D.LANDO和F.YU，《违约风险和多元化：理论和实证影响》，数学。《金融》，15（2005），第1-26页。[15] A.KALOTAY，D.YANG和F.J.FABOZZI，抵押贷款和抵押担保证券的期权理论提前还款模型，国际理论与应用金融杂志，7（2004），第949-978页。[16] J.B.KAU、D.C.KEENAN、W.J.MULLER III和J.F.EPPERSON，《违约和提前还款固定利率抵押贷款的初始估值》，《房地产金融与经济杂志》，第11期（1995年），第5-36页。[17] G.M.利伯曼，《二阶抛物型微分方程》，第68卷，世界科学出版社，1996年。[18] B.联邦研究系统管理者，美国金融账户：2015年第二季度。http://www.federalreserve.gov/releases/z1/Current/.[19] R.G.PINSKY，《正调和函数与扩散》，剑桥高等数学研究第45卷，剑桥大学出版社，剑桥，1995年。[20] S.R.PLISKA，《抵押估值与最优再融资》，随机金融，斯普林格，2006年，第183-196页。[21]S.ROBERTSON和K.SPILIOPOULOS，《未定权益的无差异定价：大偏差效应》，工作论文，（2014年）。[22]E.S.SCHWARTZ和W.N.Torus，《预付款和抵押贷款支持证券的估值》，金融杂志，44（1989），第375-392页。[23]S.E.SHREVE，《金融随机演算》。二、 Springer Finance，Springer Verlag，纽约，2004年。

连续时间模型。[24]SIFMA，待公布（tba）市场概况，证券业和金融市场协会（SIFMA），（2015年）。[25]，美国抵押贷款相关发行和未偿贷款，证券业和金融市场协会（SIFMA），（2015年）。http://sifma.org/research/statistics.aspx.[26]R.STANTON，《理性提前还款与抵押贷款支持证券的估值》，金融研究综述，8（1995），第677-708页。[27]D.W.STROOCK和S.R.S.VARADHAN，多维扩散过程，数学经典，Springer Verlag，柏林，2006年。1997年版的再版。[28]J.A.WELLNER，《经验过程：理论与应用》，代尔夫特理工大学课程笔记，（2005年）。[29]T.ZHOU，存在提前还款风险的抵押贷款支持证券的无差异估值，数学。《金融》，20（2010），第479-507页。卡内基梅隆大学摩根斯坦利分校邮箱：joshua。Zcheng@gmail.comDEPARTMENT宾夕法尼亚州匹兹堡卡内基梅隆大学数学科学系15213电子邮件地址：scottrob@andrew.cmu.edu