下面的证据是Kruse&Popier（2015）[33]的第2点建议的改进，它遵循了Pardoux&Rascanu（2014）[44]的第6.80点建议，这使得P的预测略为精确≥ 2.第一步：用n引入一系列停止时间∈ N、 τN:=infnt≥ 0;Zte2Vλs | Zs | ds+ZtZEe2Vλs |ψs（z）|u（ds，dz）+ν（dz）ds+||eVλY | | t+ZteVλsdNλs≥ 不∧ T.我们通过应用公式|Y |+Zτne2Vλs | Zs | ds+ZτnZEe2Vλs |ψs（Z）|u（ds，dz）=e2Vλτn | Yτn |+Zτne2Vλs获得hYs，ef（s，Ys，Zs，ψs）ids- |Ys | dVλs-Zτne2Vλs2hYs，ZsdWsi-Zτne2Vλs2hYs-, ψs（z）ieu（ds，dz）≤ e2Vλτn | Yτn |+Zτne2Vλs|Ys | dNλs+λ（|Zs |+|ψs | | L（E））ds-Zτne2Vλs2hYs，ZsdWsi-ZτnZEe2Vλs2hYs-, ψs（z）ieu（ds，dz）。BDG（或p=2时的Davis）不等式产生，一些正常数Cp仅依赖于p，EZτne2Vλs | Zs | dsp+ZτnZEe2Vλs |ψs（Z）|u（ds，dz）P≤ CpE||eVλY | | pτn+ZτneVλsdNλsP+λpCpEZτne2Vλs | Zs | dsp+Zτne2Vλs | |ψs | | L（E）dsP+CpEZτne4Vλs | Ys | | Zs | dsp+ZτnZEe4Vλs | Ys |ψs（Z）|u（ds，dz）P.当任意常数>0时，一个为CPEZτne4Vλs | Ys | | Zs | dsP≤ CpE||eVλY | | pτnZτne2Vλs | Zs | dsP≤Cp4Eh|eVλY|pτni+EZτne2Vλs | Zs | dsP同样的ZτnZEe4Vλs | Ys |ψs（Z）|u（ds，dz）P≤Cp4Eh|eVλY|pτni+EZτnZEe2Vλs |ψs（Z）|u（ds，dz）P.因此，我们得到（1）-  - λpCp）EZτne2Vλs | Zs | dsp+（1）-）EZτnZEe2Vλs |ψs（Z）|u（ds，dz）P-λpCpEZτnZEe2Vλs |ψs（Z）|ν（dz）dsP≤ C′pE||eVλY | | pτn+ZτneVλsdNλsP.首先，选择一些∈ (0, 1). 然后，通过引理A.2，存在λ∈ （0，1）仅依赖于p，因此第三项绝对小于第二项。重新定义系数并将其传递到极限τn→ T yieldsEZTe2Vλs | Zs | dsp+ZTZEe2Vλs |ψs（z）|u（ds，dz）P+EZTZEe2Vλs |ψs（z）|ν（dz）dsP≤ Cp，λE||eVλY | | pT+ZTeVλsdNλsP. （B.2）第二步：放置θ（y）：=|y | p。

然后，它^o公式yieldsd（epVλs | Ys | p）=epVλsp | Ys | pdVλs+p | Ys-|P-2hYs-, dYsi+Tr(yθ（Ys）ZsZs） ds+ZEepVλs|Y-+ ψs（z）|p- |Y-|P- p|Ys-|P-2hYs-, ψs（z）iu（ds，dz）。使用相同的停止时间序列（τn）n∈N、 epVλt | Yt | p=epVλτN | YτN | p+ZτntepVλsp | Ys | p-2.hYs，ef（s，Ys，Zs，ψs）ids- |Ys | dVλs-ZτntepVλsTr(yθ（Ys）ZsZs） ds-ZτntZEepVλs|Y-+ ψs（z）|p-|Y-|P- p|Ys-|P-2hYs-, ψs（z）iu（ds，dz）-ZτntepVλsp | Ys | p-2hYs，ZsdWsi-ZτntZEepVλsp|Ys-|P-2hYs-, ψs（z）ieu（ds，dz）。让我们提一下事实(yθ（Ys）ZsZ（s）≥ p | Ys | p-2 | Zs |，| Ys-+ ψ是（z）|p- |Y-|P- p|Ys-|P-2hYs-, ψ是（z）i≥ p（p-1)31-p|Ys-|P-2 |ψ是（z）|，对于每一个i∈ {1，··，k}。后者是通过评估泰勒公式的残差得到的[33]。设置κp:=minp、 p（p- 1)31-P, 一个是sepvλt | Yt | p+κpZτntepVλs | Ys | p-2 | Zs | ds+κpZτntZEepVλs | Ys-|P-2 |ψs（z）|u（ds，dz）≤ epVλτn | Yτn | p+ZτntepVλsp | Ys | p-2.|Ys | dNλs+λ（|Zs |+|ψs | | L（E））ds-ZτntepVλsp | Ys | p-2hYs，ZsdWsi-ZτntZEepVλsp|Ys-|P-2hYs-, ψs（z）ieu（ds，dz）。（B.3）将t=0，取期望值κpZτnepVλs | Ys | p-2 | Zs | ds+κpZτnZEepVλs | Ys-|P-2 |ψs（z）|u（ds，dz）≤ EepVλτn | Yτn | p+ZτnepVλsp | Ys | p-1dNλs+ λEZτnepVλsp | Ys | p-2.|Zs |+|ψs | | L（E）ds.通过引理A.2，我们得到ZτnepVλs | Ys | p-2 | Zs | ds+ZτnZEepVλs | Ys-|P-2 |ψs（z）|u（ds，dz）≤ Cp，λEepVλτn | Yτn | p+ZτnepVλs | Ys | p-1dNλs（B.4）通过选择一个小λ∈ (0, 1).现在，将Davis不等式（见[37]第一章第9节定理6）应用到（B.3），Eh | | eVλY | | pτni+EκpZτnepVλs | Ys | p-2 | Zs | ds+κpZτnZEepVλs | Ys-|P-2 |ψs（z）|u（ds，dz）≤ En|pλ-1dNλs+ λEZτnepVλsp | Ys | p-2.|Zs |+|ψs | | L（E）ds+总工程师Zτne2pVλs | Ys | 2p-2 | Zs | ds+ 总工程师ZτnZEe2pVλs | Ys-|2p-2 |ψs（z）|u（ds，dz）,其中C是一个正常数。

通过引理A.2，我们可以选择λ∈ （0，1）足够小（仅取决于p），因此eh | | eVλY | | pτni≤ En|pλ-1dNλs+总工程师Zτne2pVλs | Ys | 2p-2 | Zs | ds+ 总工程师ZτnZEe2pVλs | Ys-|2p-2 |ψs（z）|u（ds，dz）.如有必要，通过在第一步中重新获得较小的λ，可以使用公共λ∈ （0,1）第一步和第二步。请注意Zτne2pVλs | Ys | 2p-2 | Zs | ds≤ 总工程师||eVλY | | pτnZτnepVλs | Ys | p-2 | Zs | ds≤ Eh | | eVλY | pτni+C4EZτnepVλs | Ys | p-2 | Zs | ds,同样地ZτnZEe2pVλs | Ys-|2p-2 |ψs（z）|u（ds，dz）≤ Eh | | eVλY | pτni+C4EZτnZEepVλs | Ys-|P-2 |ψs（z）|u（ds，dz）.因此，取=1/4，得到seh | | eVλY | | pτni≤ CpEepVλτn | Yτn | p+ZτnepVλs | Ys | p-1dNλs+CpEZτnepVλs | Ys | p-2 | Zs | ds+ZτnZEepVλs | Ys-|P-2 |ψs（z）|u（ds，dz）.然后不等式（B.4）就意味着eh | | eVλY | | pτni≤ Cp，λEepVλτn | Yτn | p+ZτnepVλs | Ys | p-1dNλs.达到极限τn→ T，左侧的单调收敛和右侧的支配收敛给出了| | eVλY | pTi≤ Cp，λEepVλT | eξp+ZTepVλs | Ys |p-1dNλs.根据杨氏不等式，对于任意的>0，我们得到了它ZTepVλs | Ys | p-1dNλs≤ E||eVλY | | p-1TZTeVλsdNλs≤P- 1ppp-1Eh | | eVλY | | pTi+ppEZTeVλsdNλsP.因此，通过取small，可以得到一个| | eVλY | | pTi≤ Cp，λEepVλT|eξp+ZTeVλsdNλsP,结合第一步中的结果（B.2），可以得到预期的结果。现在，让我们介绍一下mapseξi：Ohm → 范德芬：Ohm ×[0，T]×Rm×Rm×l×l（E，E，ν；Rm）→ RMI∈ {1, 2}.假设B.2。（i） 因为我∈ {1,2}，eξiis FT可测与映射（ω，t）7→efi（ω，t，·）是F-逐步可测的。（ii）对于每一个（y，z，ψ），（y′，z′，ψ′）∈ Rm×Rm×l×l（E，E，ν；Rm），存在一个正常数K>0，使得| efi（ω，t，y，z，ψ）-efi（ω，t，y′，z′，ψ′）|≤ K|Y- y′|+| z- z′|+| |ψ-ψ′|L（E）数据处理 dt-a.e.英寸Ohm ×[0，T]。（iii）我和∈ {1，2}，存在一些p≥ 2.这样|eξ| p+ZT | ef（s，0，0，0）| dsP< ∞ .引理B.2。（a） 假设B。

2，B SDEYit=eξi+ZTtefi（s，Yis，Zis，ψis）ds-ZTtZisdWs-ZTtZEψis（z）eu（ds，dz）（B.5）有一个唯一解（Yi，Zi，ψi），它属于满足不等式| |（Yi，Zi，ψi）| | pKp[0，T]的Spm[0，T]×Hpm，ν[0，T]≤ CpE|eξ| p+ZT | efi（s，0，0，0）| dsP（B.6）其中，CPI是一个仅依赖于（p，K，T）的正常数。此外，如果Ai:=Eh | eξi |+|efi（·0）| | Ti<∞, 然后喝≤U≤|yit- 是|我≤ C艾未未- s|+Zts | Ziu | du+ZtsZE |ψiu（z）|ν（dz）du. （B.7）（B）固定ξ，eξ∈ Lp(Ohm, FT，P；设（Yi，Zi，ψi）为i的（B.5）解∈ {1, 2}.那么，尽管如此∈ [0，T]，E||δY | p[t，t]+ZTt |δZs | dsp/2+zTZe |Δψs（z）|u（ds，dz）p/2+EZTtZE |Δψs（z）|ν（dz）dsp/2≤ CpE|Δξ| p+ZTt |δefs | dsP（B.8）式中Δξ：=eξ-eξ，δY:=Y- Y、 δZ:=Z- Z、 Δψ：=ψ- ψ和δef·：=（ef-ef）（·，Y·，Z·，ψ·）。值得注意的是，在[33]中，估计值（B.6）和（B.8）略弱，其中右手侧由RT | ef（s，0，0，0）| pds而不是RT | ef（s，0，0，0）| dsp、 这源于引理B.1，如果一个人需要对一个短T应用一个不动点定理，这可能是至关重要的。证据首先，假设（B.5）存在一个解，使得（Yi，Zi，ψi）∈ Kp[0，T]对于两个i∈ {1, 2}. 一个hashYis，efi（s，Yis，Zis，ψis）ids≤ |易斯||efi（s，0）|+K|Yis |+| Zis |+|ψ是| | L（E）ds≤ |易斯|K+K2λds+| Yis | | efi（s，0）| ds+λ（| Zis |+|ψ是| | L（E））dsforλ > 0. 通过选择vλt，可以很容易地检查假设B.1是否满足：=K+K2λt、 Nλt:=Zt | efi（s，0）| ds，对于t∈ [0，T]。因此引理B.1证明了不等式（B.6）。BDG不等式是“supu”∈[s，t]|姚- 易斯|#≤ 总工程师Zts | efi（r，Yir，Zir，ψir）|dr+中兴通讯|Zir |+|ψir | | L（E）博士再加上估算（B.6），证明了（B.7）。

对于（b），很容易检查| f（s，Ys，Zs，ψs）- f（s，Ys，Zs，ψs）|≤ |δfs |+K|δYs |+|δZs |+| |Δψs | | L（E）.因此，通过选择vλt，假设B.1再次满足（δY，δZ，Δψ）：=K+K2λt、 Nλt:=Zt |δf（s）| ds。因此，估计值（B.8）紧随引理B.1。现在，让我们证明（a）中的存在。唯一性已经由（b）证明。以下g是对定理5.17[44]的简单修改，该定理是针对扩散设置给出的。考虑到BSDE的序列（超级脚本i∈ （省略{1，2}），用于n∈ N、 Yn+1t=eξ+ZTtef（s，Yns，Zns，ψns）ds-ZTtZn+1sdWs-ZTtZEψn+1s（z）eu（ds，dz）。假设（Yn，Zn，ψn）∈ Kp[0，T]。然后，从线性生长性质来看，它明显是ξ+ZTtef（s，Yns，Zns，ψns）ds∈ Lp(Ohm, FT，P；Rm）。因此，鞅表示定理（例如，见[1]中的定理5.3.6）意味着存在唯一解（Yn+1，Zn+1，ψn+1）∈ Kp[0，T]。让我们把这个映射定义为（Yn+1，Zn+1，ψn+1）=Φ（Yn，Zn，ψn）。表示（ΔYn，ΔZn，Δψn）：=（Yn）-伊恩-1，锌- 锌-1，ψn- ψn-1). 然后（B.8）（Lipschitz常数为零）表示| |（ΔYn+1，ΔZn+1，Δψn+1）| | pKp[0，T]≤ CpEZT | ef（s，Yns，Zns，ψn）-ef（s，Yn）-1s，Zn-1s，ψn-1s）| dsP≤ C′pEZT|δYns |+|δZns |+| |Δψns | | L（E）dsP≤ C′pmax（Tp，Tp）| |（ΔYn，ΔZn，Δψn）| | pKp[0，T]。（B.9）特别注意，C′pis独立于终端条件。因此，如果终端时间T足够小，以至于α：=C′pmax（Tp，Tp）<1，那么mapΦ严格地收缩。在这种情况下，根据Banach空间中的不动点定理，存在一个解（Y，Z，ψ）∈ Kp[0，T]到BSDE（B.5）。对于一般的T，可以考虑一个时间分区0=T<T<···<TN=T。通过采取-1，T]sm总之，上述参数保证存在解（Y，Z，ψ）∈ Kp[TN-1，T]。

通过解的唯一性，人们可以在间隔[TN]内重复相同的过程-2，田纳西州-1] 具有新的终值YTN-1.重复N次，就得到了期望的结果。下面的引理在处理有限测度的跳跃时很有用。引理B.3。假设νi（R）<∞ 每1≤ 我≤ k、 给定ψ∈ Hν[0，T]，设Mbe由[0，T]上的Mt:=RtREψs（z）eu（ds，dz）定义。那么P≥ 2，kp | |ψ| | pHpν[0，T]≤||M | | pSp[0，T]≤ Kp | |ψ| | pHpν[0，T]，其中Kp，Kpare正常数仅依赖于p，ν（E）和T。证据示例见[16]f.第125页。C光滑近似理论在这篇论文的提醒下，我们提供了一个在向前向后的SDE中使用光滑系数进行任何数值近似的方法。由于是一个pertu-rbation参数，我们总是可以引入它，以便所有函数都依赖于。第5.1节和第5.2节中使用的示例实际上就是这种情况。因此，我们将注意力集中在其他参数上，并忽略以下g中函数的依赖性。让我们首先考虑正向分量：eXs=x+Zsteb（r，eXr）dr+Zsteσ（r，eXr）dWr+ZstZEeγ（r，eXr，z）eu（dr，dz），（C.1），其中x∈ Rdandeb:[0，T]×Rd→ Rd，eσ：[0，T]×Rd→ Rd×l，eγ：[0，T]×Rd×e→ Rd×kare可测函数。我们省略了表示初始数据（t，x）的上标。假设C.1。eb，eσ，eγ在（t，x，z）中是连续的。存在一些正常数，因此，对于每个x，x′∈ Rd，（i）| eb（t，x）-eb（t，x′）+|eσ（t，x）- eσ（t，x′）|≤ K | x- t中的x′|一致∈ [0，T]，（ii）| eγj（T，x，z）-eγj（t，x′，z）|≤ Kη（z）|x-x′|代表1≤ J≤ k在（t，z）中均匀分布∈ [0，T]×R，（iii）|eb（·0）|T+| eσ（·0）|T+| eγ（·0，z）|T/η（z）≤ K在z上一致∈ E.通过与适当的molli fiers卷积的正则化技术，我们得到了以下近似函数。引理C.1。

在假设C.1下，可以选择函数序列bn:[0，T]×Rd→ Rd，σn:[0，T]×Rd→ Rd×l，γn:[0，T]×Rd×E→ Rd×kwith n∈ N、 它们在所有的参数中都是连续的，在x中具有连续导数，并且对于每个N都是完全可微分的≥ 1.（i） 为了每一个男人≥ 1, |mxbn（t，x）|+|mxσn（t，x）|+|mxγn（t，x，z）|/η（z）是一致有界于（t，x，z）∈ [0，T]×Rd×E，（ii）对于每（T，x，z）∈ [0，T]×Rd×E，bn（T，x），σn（T，x）和γn（T，x，z）分别以点方式收敛于b（T，x），Eσ（T，x）和Eγ（T，x，z），并且（iii）（bn，σn，γn）满足假设C.1中的性质，其中一些正常数K′与n证明无关。我们考虑一系列（对称）molli fierN∈ C∞: 研发部→ R+带compactsupport满足RRDn（x）dx=1和n（x）→ δ（x）as n→ ∞ 在施瓦茨分布空间中，δ（·）是狄拉克-德尔塔函数。Let us将中间软件功能定义为“bn（t，x）：=N*eb（t，x），\'σn（t，x）：=N* eσ（t，x），‘γn（t，x，z）：=N* eγ（t，x，z）其中* 表示与x有关的卷积，例如“bn（t，x）=ZRdn（x）- y） eb（t，y）dy=ZRdeb（t，x）-y）n（y）dy。因为eb，eσ，eγ是连续的，每个点x∈ 这是艾伯斯格角。因此，根据Lebesguedifferentiation定理（例如，参见Igari（1996）[31]中的定理8.7或Leoni（2009）[35]），已知近似函数“bn”、“σn”、“γnar”在点方向上收敛于toeb、eσ、eγf。Lipschitz性质可以表示为，对于每个x，x′∈ Rd，|γn，j（t，x，z）- γn，j（t，x′，z）|≤ZRd | eγj（t，x-y、 z）- eγj（t，x′）- y、 z）|n（y）dy≤ Kη（z）|x-x′| ZRdn（y）dy=K | x- x′|η（z），其他的也一样。不难看出，存在满足| | | bn（·，0）| | T+| | |σn（·，0）| | T+| |γn（·，0，z）| T/η（z）≤ C′在z上一致∈ E和n∈ N自NHA是一种紧凑型支架，收缩为theorigin as n→ ∞.

我们准备了另一个（对称的）molli fiersn∈ C∞: Rd×E→ R+按以下方式：n（x，z）=（1表示|x |+|z |≤ n0表示| x |+| z |≥ 2n。（C.2）然后我们定义了软化函数asbn（t，x）：=n（x，0）`bn（t，x），σn（t，x）：=n（x，0）`σn（t，x），γn（t，x，z）：=n（x，z）`γn（t，x，z）。由于它们在x上是光滑的，并且有紧支集，所以它们在（t，x，z）上对每个n都有关于x的所有阶的有界导数。点态收敛性被清楚地保持。最后，我们必须检查是否存在一个独立于n的Lipschitz常数K′。通过（C.2）中的构造，我们可以按照以下方式安排molli fier：存在一个正常数C，即sup（x，z）∈Rd×Exn（x，z）≤ C/n∈ 那么N∈ N、 人们看到|xγn（t，x，z）|≤ n（x，z）|x′γn（t，x，z）|+|xn（x，z）||γn（t，x，z）|≤ Kη（z）+η（z）C/n（C′+K（2n））≤ K′η（z）在（t，x，z）中均匀分布。在这里，我们使用了以下事实：当|x|时，xn（x，z）消失≥ 2n和‘γn的线性生长性质。我们可以类似地检查|xbn（t，x）||xσn（t，x）|≤ K′代表N∈ N.第二次开采C.1的财产（iii）明显保留在第二次开采中。这将产生以下结果。定理C.1。在假设C.1下，考虑（C.1）的processeX和过程序列（Xns，s∈ [t，t]）n≥1定义为xns=x+Zstbn（r，Xnr）dr+Zstσn（r，Xnr）dWr+ZstZEγn（r，Xnr，z）eu（dr，dz）（C.3），引理C.1中包含bn，σ和γngiven。然后，存在唯一的解ex，xnisp[t，t]P≥ 2.此外，以下关系保持不变：→∞呃| |前- Xn | | p[t，t]i=0forP≥ 2.证据。Spfor中（C.1）和（C.3）唯一解的存在性P≥ 2.我从艾玛A.3。我们也有P≥ 2.| | eX- Xn | | pSp≤ CpEZTt |δebn（r，eXr）| drp+ZTt |δeσn（r，eXr）| drp/2+ZTt |δLnr | pdr式中δebn:=eb- bn，δeσn:=eσ- σn。

此外，δln是一个满足|δeγn |（t，eXt）的可预测过程-, z）≤ δLntη（z），dP dt-a.e.英寸Ohm ×[0，T]，其中δeγn:=eγ- γn.我们可以取δln，使得rtte |δLnr | pdr<∞, 因为我们有|δeγn |（s，eXs）-, z）≤ 2K（1+| eXs）-|)η（z）在当前设置中。另见引理A.3中的相关讨论。注意，由于引理C.1（iii），CPI依赖于n。由于线性增长性质，期望的内部由C（1+| | eX | p[t，t]）控制，其中一些正常数C独立于n。从引理C.1（ii），（δebn，δeσn，δeγn）逐点收敛到零。因此，也可以取（δLn，n）的序列∈ N） 逐点收敛到零。自墨西哥以来∈ SpforP≥ 2.支配收敛定理在极限n中给出了期望的结果→ ∞.上述结果表明，通过选择足够大的n，可以对xn进行处理，这是原始过程的Spsense中的任意精确近似，只涉及s光滑系数（bn，σn，γn）。这个结论可以推广到前向-后向系统。C在Bdex驱动的BSDE旁；eYs=eξ（eXT）+ZTsefr、 eXr，eYr，eZr，ZRρ（z）eψr（z）ν（dz）博士-ZTseZrdWr-s的ZTsZEeψr（z）eu（dr，dz）（C.4）∈ [t，t]式中ξ：Rd→ Rm，ef:[0，T]×Rd×Rm×Rm×l×Rm×k→ R可测函数和ρ的定义与之前相同。假设C.2。函数ξandef在所有参数中都是连续的。存在一些正常数K，q≥ 使得（i）| eξ（x）|+|ef（t，x，0，0，0）|≤ K（1+| x | q）每x∈ RDT中的一致性∈ [0，T]。（ii）ef（t，x，y，z，u）-ef（t，x，y′，z′，u′）|≤ K（| y）-y′|+| z-z′|+|u-对于每一个（y，z，u），（y′，z′，u′）∈Rm×Rm×l×Rm×kuniformly in（t，x）∈ [0，T]×路引理C.2。

在假设C.2下，可以选择函数序列ξn:Rd→Rm，fn:[0，T]×Rd×Rm×Rm×l×Rm×k→ RMN∈ N、 它们在所有参数中都是连续的，在（x，y，z，u）中具有连续导数，并且对于每个N都满足≥ 1.（i） 每一次我≥ （ξn，fn）的所有第i阶偏导数都是u形式有界于（t，x，y，z，u）∈ [0，T]×Rd×Rm×Rm×l×Rm×k，（ii）每个（T，x，y，z，u）∈ [0，T]×Rd×Rm×Rm×l×Rm×k，ξ和fn分别收敛于ξ和f，满足假设C.2，具有一些独立于n证明的正常数k′。软化的第一步可以用与引理C.1完全相同的方法进行，引理C.1给出了“ξn（x）和”fn（t，x，^Θ）：=”fn（t，x，y，z，u）。为了实现p=2的性质，我们可以更直接地看到| | eX- Xn | | S→ 0，因为δln的积分可以替换为δeγn的积分（见引理a.3.下面的注释）。如果必要，采取适当的子序列，也可以显示（Xns，s∈ [t，t]）n≥1几乎肯定一致收敛于（eXs，s）∈ [t，t]）由Borel Cantellimma提出。（iii）必须考虑驾驶员关于tox的多项式增长性质。我们可以将第二个molli fiers序列视为n（x，^Θ）=（1代表|x | q+|^Θ）≤ n0代表| x | q+|^Θ≥ 2n然后用一些正常数C，bysup（x，^Θ）控制它们的第一个导数∈Rd×Rm（1+l+k）|^Θn（x，^Θ）|≤ C/NN∈ N.然后，我们可以检查ξN（x）：=N（x，0）ξN（x），fn（t，x，^Θ）：=N（x，^Θ）\'-fn（t，x，^Θ）满足所需的性质，类似于Lemm a C.1。最后，我们得到了主要的逼近定理。定理C.2。

在假设C.1和C.2下，考虑（C.4）的过程（eY，eZ，eψ）和过程序列（Yn，ms，Zn，ms，ψn，ms）s∈[t，t]，（n，m）∈ {1,2，···}定义为以下BSDEYn的解，ms=ξm（XnT）+ZTsfmr、 Xnr，Yn，mr，Zn，mr，ZRρ（z）ψn，mr（z）ν（dz）博士-ZTsZn，mrdWr-ZTsZEψn，mr（z）eu（dr，dz）（C.5），其中Xnis（C.3）的解，（ξm，fm）是引理C.2中给出的软化函数。然后，存在唯一解（eY，eZ，eψ），（Yn，m，Zn，m，ψn，m）n，m≥1.∈ Kp[t，t]P≥ 2.此外，以下关系保持不变：→∞画→∞（δYn，m，δZn，m，Δψn，m）Kp[t，t]=0P≥ 式中δYn，m:=eY- Yn，m，δZn，m:=eZ- Zn，mandΔψn，m:=eψ- ψn，m.证明。Kpfor中u-nique解（eY，eZ，eψ）和（Yn，m，Zn，m，ψn，m）的存在性P≥ 引理B.2中的2是明确的。我们有，因为P≥ 2.（δYn，m，δZn，m，Δψn，m）pKp[t，t]≤ CpE|Δξn，m | p+ZTt |δfn，m（r）| drP根据稳定性结果，其中Δξn，m:=eξ（eXT）- ξm（XnT）和δfn，m（r）：=efr、 eXr，eYr，eZr，ZRρ（z）eψr（z）ν（dz）-调频r、 Xnr，eYr，eZr，ZRρ（z）eψr（z）ν（dz）.首先，让我们来看看m.自xξmand定理C.1 yieldslimn的结果→∞（δYn，m，δZn，m，Δψn，m）pKp[t，t]≤ CpE|Δξm | p+ZTt |δfm（r，eΘr）|drPΔξm:=eξ（eXT）-ξm（eXT）和δfm（r，eΘr）：=（ef-（调频）r、 eXr，eYr，eZr，RRρ（z）eψr（z）ν（dz）.从那时起∈ Sp×kForP≥ 2和（ef，fm）在（y，z，u）中线性增长，在x中多项式增长，比例系数独立于m，传递到极限m→ ∞ 从molli fied函数的逐点收敛和支配收敛定理中得出所需的结果。

还要注意的是，一个人可以通过极限limn的倒序实现同样的收敛→∞林姆→∞通过你唱出这样一个事实：∈ [t，t]）n∈Nis几乎肯定一致收敛于（eXs，s）∈ [t，t]），必要时采取适当的子序列。定理C.1和C.2意味着，人们可以对光滑系数（bn，σn，γn，ξn，fn）定义的过程进行处理，作为原始过程eeΘ的Sp×kp意义上的任意精确近似，该过程仅满足假设C.1和C.2。事实上，我们可以进一步削弱这些假设。只要它们都是勒贝格点，就不难在ξ和x之间添加不连续性。因此，我们假设在任意的条件下（ξ）都是可测的。只要forward processeX在dx中的这个空集合上没有质量，相同的结论就成立。确认这项研究得到了金融高级研究中心（CARF）和卡肯尼JSPS（授权号25380389）的部分支持。参考文献[1]Applebaum，D.，2009，《列维过程与圣奥喀斯特微积分》（第二版），C《安布里奇高等数学研究》，剑桥大学出版社，L N.[2]Barles，G.，Buckdahn，R.和Pardoux，E.，1997，反向随机微分方程和积分偏微分方程，随机与随机报告，第60卷，57-83页。[3] Bender，C.和Denk，R.，2007，向后SDE的正向方案，随机过程及其应用，117，12，1793-1832。[4] K.比希特勒、J.阿维鲁和J.贾科德。，1987年，《带跳跃过程的Malliavin演算》，随机Monog-raphs，Gordon和Break science出版社，LN。[5] Bimit，J.M.，1973，《最优随机控制中的共轭凸函数》，J.数学。肛门。Apl。44, 384-404.[6] 布查德，B。

和Elie，R.，2008，《具有Ju mps的解耦前向后向SDE的离散时间近似，随机过程及其应用》，118，53-75。[7] Bouchard，B.和Touzi，N.，2004，向后随机微分方程的离散时间近似和蒙特卡罗模拟，随机过程及其应用，111,2，175-206。[8] Crèepey，S.和Bielecki，T.R.与Damiano Brigo的介绍者对话，2014年，缔约方风险和资金，纽约州泰勒和弗朗西斯集团华润出版社。[9] Crepey，S.和Ma toussi，A.，2008，《带跳跃的反射和双重反射BSDE：优先估计和比较》，应用概率年鉴，18,5，2041-2069。[10] Cr’epey，S.和Song，S.，2015，《交易对手风险和融资：浸入式和超越式》，工作文件。[11] Cvitani\'c，J.和Zhang，J.，2013，连续时间方法中的契约理论，柏林斯普林格。[12] 德隆，L.，2013，带跳跃的倒向随机微分方程及其精算和金融应用，斯普林格·维拉格，LN。[13] Delong，L.和Imkeller，P.，2010，关于带时滞发生器的BSDE的Malliavin可微性，由布朗运动和泊松随机测度驱动，随机过程及其应用，120,91748-1775。[14] Di Nunno，G.，Oksendal，B.和Proske，F.，2009，L\'evy过程的Malliavin演算及其在金融中的应用，纽约州斯普林格。[15] Dzhapa ridze，K.和Valkeila，E.，1990，关于过滤实验的Hellinger型距离，Probab。理论相关领域，85,1105-117。[16] 埃利，R.，2006年，巴黎多芬大学博士，控制随机数和数学数。[17] El Karoui，N.和Ma z liak，L.（编辑），1997年，向后圣奥切斯特微分方程，AddisonWesley Longman有限公司，美国。。[18] 埃尔卡鲁伊，北，彭，南。

昆内斯，M.-C.，1997，《金融学中的倒向随机微分方程》，数学金融，7（1），1-71。[19] Fujii，M.，2014，《随机滤波渐近展开的动量空间方法》，统计数学研究所年鉴，第66卷，93-120页。[20] Fujii，M.，20 15，《反向SDE和期权定价的渐近展开多项式方案》，数量金融出版社。[21]Fujii，M.，2015，《随机价格影响下做市商的最优仓位管理》，工作报告，CARF-F-360。[22]Fujii，M.和Ta kahashi，A.，2012，非线性FBSDE摄动方案的分析近似，国际理论与应用金融杂志，15,51250034（24）。[23]Fujii，M.和Takahas hi，A.，2015b，《利用相互作用粒子方法的非线性FBSDE微扰展开技术》，亚太金融市场，22,3283-304。[24]Fujii，M.和Ta kahashi，A.，2015，通过连接短期展开解倒向随机微分方程，工作论文，CARF-F-387。[25]Fujii，M.和Takahashi，A.，2017，《带跳跃的二次指数增长BSDE及其Malliavin可微性、随机过程及其应用》，出版。https://doi.org/10.1016/j.spa.2017.09.002.[26]Gikhman，I.I.和Skorohod，A.V.，1972，随机微分方程，柏林斯普林格。[27]Gobet，E.，Lemor，J.P.和Warin，X.，2005，一种基于回归的蒙特卡罗方法，用于求解倒向随机微分方程，应用概率年鉴，15，3，21722202。[28]Hamad`ene，S.和Jeanblanc，M.，2007，关于陈述和停止问题：应用不可逆投资，运筹学数学，第32卷，第1期，第182-192页。[29]Henry Labord`ere，P.，2012，《削减CVA的复杂性》，风险杂志，7月号，第67-73页。[30]他，S.，王，J。

Yan，J.，半鞅理论与随机演算，CRC Press，英国伦敦。[31]Igari，S.，1996，《真实分析导论》，岩南出版社，日文版。[32]Kazamaki，N.，1979，指数鞅一致可积的充分条件，数学。富山大学众议员2，1-11。MR-0542374。[33]Kruse，T.和Popier，T.，2015，在一般过滤中由布朗和泊松噪声驱动的单调发生器的BSDE，随机学，88（4）：491-5392016[34]Lejay，a.，Mordecki，E.和Tor res，S.，2014，带跳跃的后向随机微分方程的数值近似，HAL:inria-003 57992。[35]Leoni，G.，2009，Sobolev空间的第一门课程，数学研究生课程，第105卷，美国数学学会。[36]Lim，A.E.，不完全市场中具有随机参数的二次套期保值和均值-方差投资组合选择，运营数学研究，第29卷，第1期，132-161。[37]Liptser，R.Sh.和Shiryayev，A.N.，1989，《鞅理论，数学及其应用》，克卢沃学术出版社，LN。[38]Ma，J.和Yong，J.，2000，向前向后随机微分方程及其应用，柏林斯普林格。[39]马，J.和张，J.，2002，倒向随机微分方程的表示定理，应用概率年鉴，12,4，1390-1418。[40]Mania，M.和Tevzadze，R.，2003，反向随机偏微分方程和不完全对冲，国际理论与应用金融杂志，第6卷，第7卷，663-692页。[41]Morlais，M-A.，2010，带跳跃的二次BSDE的一个新的存在性结果，应用于效用最大化问题，随机过程及其应用，120196 61995。[42]Pardoux，E.和Peng，S.，1990，一个倒向随机微分方程的自适应解，系统控制Lett。，14, 55-61.[43]帕杜，E。

Peng，S.，1992，倒向随机微分方程和拟线性抛物偏微分方程，控制和通知中的课堂讲稿。Sci。176200-217，斯普林格，纽约。[44]Pardoux，E.和Rascanu，A.，2014，随机微分方程，反向SDE，偏微分方程，斯普林格国际出版社，瑞士。[45]Petrou，E.，2008，《L’evy空间中的Malliavin演算及其在金融中的应用》，电子概率杂志，13，27，852-879。[46]Pham，H.，2010，《过滤逐步扩大下的随机控制和多重违约风险管理的应用，随机过程及其应用》，1201795-1820。[47]Protter，P.E.，2005，随机积分和微分方程，纽约州斯普林格。[48]Quene z，M.C.和Sulem，A.，2013，带跳跃的BSDE，动态风险度量的优化和应用，随机过程及其应用，12 3,8 3328-3357。[49]Royer，M.，2006，带跳跃的倒向随机微分方程和相关非线性预期，随机过程及其应用，1161358-1376。[50]高桥，A.，2015，《金融学中的渐近展开方法》，P Fritz，J Gathereal，AGulisashvili，A Jacquier和J Teichman（编辑），《金融学中的大偏差和渐近方法》，第345-411页，Springer。[51]Takahashi，A.和Ya mada，T.，2015，关于带Malliavin权重的渐近展开的误差估计：随机波动率模型的应用，运筹学数学，第40卷，第3期，第513-541页。[52]Takahashi，A.和Yamada，T.，2015，《具有渐近展开和多维Malliavin权重的弱近似》，应用概率年鉴，出版。[53]高桥，A。

和Yamada，T.，2015，一个带有pertu rbed驱动程序的前后向SDE的渐进扩展，即将发表在《国际金融工程杂志》上。[54]Touzi，N.，2013，最优随机控制，随机目标问题和反向SDE，纽约斯普林格。[55]张，J。，2004年，BSDE的一个数值方案，《应用概率年鉴》，141459-488。