带跳跃的正倒向随机微分方程的渐近展开

2022-5-9 07:03:48

向前向后跳跃的渐近展开*Fujii Masaaki+&Akihiko Takahashi本版本：2018年9月7日摘要本工作为带跳跃的解耦正向反向SDE（FBSDE）提供了一种半解析近似方法。特别是，我们构造了一种由随机泊松测度和σ-单位补偿器驱动的FBSDE的渐近展开方法，以及前向SDE小方差极限周围的标准布朗运动。我们提供了一种半解析的求解方法及其误差估计，对于这种方法，我们只需要求解线性常微分方程组。对于强度有界的有限跳跃测度，该方法还可以处理与状态无关的非泊松跳跃，这与许多实际应用非常相关。关键词：BSDE、跳跃、随机测量、渐近扩展、L’evy过程1简介自从Bimit（1973）[5]和Pardoux&Peng（1990）[42]提出后，后向随机微分方程（BSDE）因其与非线性偏微分方程的深刻联系吸引了许多数学家。对于感兴趣的读者来说，现在已经有了El Karoui&Mazliak（编辑）（1997）[17]、Ma&Yong（2000）[38]和Pardoux&Rascanu（2014）[44]等优秀的观点。BSDE在金融和运营问题上也有广泛的应用；El Karoui等人（1997）[18]、Lim（2004）[36]、Jeanblanc&Hamad\'ene（2007）[28]、Cvitani\'c&Zhang（2013）[11]、Touzi（2013）[54]和Cr\'epey、Bielecki&Brigo（2014）[8]仅举几例。

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2022-5-9 07:03:51

至于带跳跃的BSD，请参见Barles、Buckdahn&Pardoux（1997）[2]、Royer（2006）[49]、Crepey&Matoussi（2008）[9]、Morlais（2010）[41]、Delong（2013）[12]和Quenez&Sulem（2013）[48]。上一次金融危机以及随之而来的一系列新法规，使得涉及BSDE的各种问题，如XVAs、风险度量、非流动性市场中的最优执行以及高效数值计算方案的开发成为金融行业的中心问题。尽管许多研究人员已经提出并研究了反向蒙特卡罗模拟方案，如Bouchard&Touzi（2004）[7]，Zhang（2004）[55]，Gobet et al.（2004）[27]an d Bender&Denk（2007）[3]等，用于连续的模拟*即将出版的《随机学》。本研究中表达的所有内容仅为作者的内容，不代表任何机构的任何观点或意见。作者对使用本研究中的任何内容造成的任何损失和/或损害不承担任何责任。+东京大学经济研究生院定量金融课程东京大学经济研究生院定量金融课程。BSDEs和Bouchard&Elie（2008）[6]对于带跳跃的BS DEs，由于其计算负担，它尚未成为从业者的标准工具。特别是，我们只能使用泊松过程而不是现有文献中的随机测度来找到简单的一维例子。例如，见Elie（2006）[16]和Lejayet。al.（2014）[34]。另见[8]和Cr\'epey&Song（2015）[10]中关于现有计算方案中应用于实际问题的讨论。此外，在某些应用中，如均值-方差套期保值和多重相依违约，一个BSDE的解出现在另一个BSDE的驱动中。

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2022-5-9 07:03:54

在这种情况下，推导第一个BSDE的解析近似值似乎是在合理的计算时间内获得数值结果的唯一可能性。作为解决这些问题的一种可能方法，目前的工作为带跳跃的BSDE提供了一种简单的半解析近似方法，用标准蒙特卡罗方法评估这种方法尤其困难且耗时。我们发展了一种解耦合的前向-后向随机微分方程（FBSDE）的渐近展开方法，它除了标准布朗运动外，还具有Lipschitz驱动和泊松随机测度。我们提出了一个关于forwardSDE的小方差极限的表达式。它从求解对应于BSDE的非线性ODE开始，其中每个正向分量都被确定性平均过程所取代。每一个高阶近似都会产生一个线性FBSDE，它可以通过线性常微分方程组半解析地求解。更准确地说，包含鞅分量的BSDE的近似解由前向过程随机流中的多项式显式给出，其系数可由线性O-DE计算。为了证明近似方法及其误差估计的正确性，我们使用Kruse&Popier（2015）[33]的结果来证明先验估计和带跳BSDE的唯一Lp解的存在性，Delong&Imkeller（2010）[13]和Delong[12]的结果来证明基于Malliavin导数的表示定理，以及Pardoux&Peng（1992）[43]和Ma&Zhang（2002）[39]关于控制BSDE的鞅被积函数的上范数的思想。对于具有有界强度的有限跳跃测量，该方法也可以应用于具有状态依赖性的系统，因此也可以应用于与任何实际应用非常相关的非泊松跳跃。

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2022-5-9 07:03:57

当forwardSDE属于（时间非齐次）指数L’evy类型时，可获得高达任意高阶项的近似的闭合形式表达式。目前的工作还证明了Fujii（2015）[20]提出的多项式展开法适用于某类模型，该方法提供了两个有趣的数值例子。本文的组织结构如下：第2节给出了一些预备知识，第3节给出了感兴趣的FBSDE的建立和基于Malliavin竞争的表示定理，第4节给出了渐近展开及其误差估计，最后第5节给出了该方案的具体实现。附录A和B总结了相关的先验估计，附录C提供了FBSDE的平滑近似理论，该理论对正文中使用的假设进行了调整。备注1.1。对于远期SDE，围绕小方差极限的渐近展开方法已应用于各种金融问题。不变性的数值例子表明，前几个扩张项足以实现期权定价的精确近似，其典型波动率从10%到[10]，作者成功地将[22,23]中提出的渐近展开法应用于120个基础名称的附带债务，以评估信用/融资估值调整。具体例子见Mania&Tevzadze（2003）[40]，Pham（2010）[46]和Fujii（2015）[21]。20%，最长期限为几年。有关详细信息和全面的文献列表，请参见高桥（2015）[50]版本。备注1.2。目前的工作可以通过两种方式扩展。

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2022-5-9 07:04:00

首先，基于Fujii&Takahashi（2017）[25]的结果，对于具有二次指数增长驱动和有界终端条件的BSDE，类似的渐近展开可能是正确的。这将通过用H-BMO系数代替当地Lipschitz BSDE的估计值来实现。也可以开发类似于Fujii（2014）[19]和Takahashi&Yamada（2015）[52]中的子步进方案，该方案可以处理更高的波动性和更长的到期日。参见Fujii&Takahashi（2016）[24]在二次增长驱动的扩散设置中的初步尝试。2初步研究2。1一般设置t>0是一个宽泛的时间范围。空间(OhmW、 FW，PW）是具有维纳测度的l维布朗运动的常用正则空间。(Ohmu，Fu，Pu）表示正则空间的乘积Ohmu:= Ohmu×···×Ohmku，Fu：=Fu×·Fku和Pu×·Pku，带有一些整数k≥ 1，在每个uiis上，使用补偿器νi（dz）dt进行泊松测量。这里，νi（dz）是R:=R\\{0}满足rr|z|νi（dz）<∞.在本文中，我们研究了过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），空间在哪里(Ohm, F、 P）是正则空间的乘积(OhmW×Ohmμ，FW×Fu，PW×Pu），并且过滤F:=（Ft）t∈[0，T]是P的标准过滤，并且满足通常条件。在这种结构中，（W，u，··，uk）是独立的，并且众所周知，可预测的表示属性是成立的。我们使用向量表示法u（ω，dt，dz）：=（u（ω，dt，dz），···，uk（ω，dt，dzk））。补偿泊松测度由eu表示：=u- ν. 我们代表了Ohm ×[0，T]由P.2.2注释让Cp表示一个通用常数，它可能会根据P，T和Lipschitz常数以及相关函数的边界逐行变化。

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2022-5-9 07:04:03

对于任意整数r≥ 1，让我们为Rr值函数x[0，T]引入一个sup范数→ Rras | | x | |[a，b]：=sup{xt |，t∈ [a，b]}并写出| | x | | t:=| | x | |[0，t]。让我们介绍一下p的随机过程的下列空间≥ 2.oSpr[s，t]是一组Rr值的ad ap c`adl`ag过程X，使得| | X | | Spr[s，t]：=Eh | | X（ω）| p[s，t]i1/p<∞ .o Hpr[s，t]是一组渐进可测的Rr值过程，其| | Z | | Hpr[s，t]：=EZts|Zu|dup/21/p<∞.例如，参见[30]中的第十三章。如果一个人假设了可预测的表征属性，那么这个结构就无关紧要了Hpr，ν[s，t]是函数ψ={（ψ）i，j，1的集合≤ 我≤ r、一,≤ J≤ k} ，（ψ）i，j：Ohm×[0，T]×R→R是P×B（R）-可测且满足| |ψ| | Hpr，ν[s，t]：=E“kXi=1ZtsZR |ψ·，iu（z）|νi（dz）dup/2#1/p<∞.为了简单起见，我们使用旋转（E，E）：=（Rk，B（R）k）并表示上述映射{（ψ）i，j，1≤ 我≤ r、一,≤ J≤ k} 通过ψ：Ohm ×[0，T]×E→ Rr×kand-sayψ是P×E-可测的，不涉及每个分量。为了简单起见，我们还使用了ztszeψu（z）eu（du，dz）：=kXi=1ZtsZRψiu（z）eui（du，dz）的表示法。对于带u和ν的积分也使用类似的简化。当我们使用E和E时，人们应该总是用这种方式来解释它，这样带K维泊松测度的积分才有意义。

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2022-5-9 07:04:08

另一方面，当我们使用范围rw和积分器（eu，u，ν）时，例如，ZRψu（z）ν（dz）：=ZRψiu（z）νi（dz）1.≤我≤kwe将其视为k维向量Kp[s，t]是空间Sp[s，t]×Hp[s，t]×Hpν[s，t]中函数（Y，Z，ψ）的集合，其形式由| |（Y，Z，ψ）| Kp[s，t]定义：=||Y | | pSp[s，t]+| | Z | | pHp[s，t]+| |ψ| | pHpν[s，t]1/p.oL（E，E，ν：Rr）是满足| | U | | L（E）的Rr×k值E-可测函数U的集合：=ZE | U（z）|ν（dz）1/2:=kXi=1ZR | U·，i（z）|νi（dz）1/2< ∞ .当它们在上下文中很明显时，我们经常忽略其维度r和时间间隔[s，t]的下标。我们使用偏导数的表示法:=, x:=(x、 ·····························，xd）：=x、 ·····························，除息的x:=x、 x:=xixji、 j={1，·，d}，对于没有详细索引的每一个更高阶的主动式，也是如此。为了符号的简单性，我们通过本文抑制了指数的显著求和。3向前和向后SDEs3。1设置和一些标准结果我们在过滤概率空间中工作(Ohm, F、 F，P）在最后一节中定义。让我们引入（Xt，x，s，s）的d维正向SDE∈ [t，t]），初始数据（t，x）∈ [0，T]×Rd和一个小扰动参数∈ [0,1]，以及由Xt，x，驱动的m维马尔可夫BSDE:Xt，x，s=x+Zstb（r，Xt，x，r，）dr+Zstσ（r，Xt，x，r，）dWr+ZstZEγ（r，Xt，x，r）驱动的m维马尔可夫BSDE-, z、 eu（dr，dz）（3.1）Yt，x，s=ξ（Xt，x，T）+ZTsfr、 Xt，x，r，Yt，x，r，Zt，x，r，ZRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）博士-ZTsZt，x，rdWr-ZTsZEψt，x，r（z）eu（dr，dz），（3.2）表示s∈ [t，t]。这里，b:[0，T]×Rd×R→ Rd，σ：[0，T]×Rd×R→ Rd×landγ：[0，T]×Rd×E×R→ 远期SDE的Rd×k和ξ：Rd→ Rm，f:[0，T]×Rd×Rm×Rm×l×Rm×k→ Rmandρ：E→ BSDE的RK是可测量的函数。我们将在第5.1节中更明确地规定（b，σ，γ）在中的依赖关系，其中我们将对其进行调整，使Xt，x，在的极限内成为确定性过程→ 0

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2022-5-9 07:04:11

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2022-5-9 07:04:16

此外，仅在x上的每一个偏导数最多有多项式增长|nxf（t，x，y，z，u）|≤ K（1+| x | q），1≤ N≤ Nae和所有其他偏导数都以K为界，一致地在（t，x，y，z，u）中∈ [0，T]×Rd×Rm×Rm×l×Rm，（iv）| f（T，x，0，0，0）|≤ K（1+| x | q）每x∈ RDT中的一致性∈ [0，T]。我们定义(xXt，x，s，s∈ [t，t]）作为SDE（如果存在）的解决方案，通过形式推导得出：xXt，x，s=Zstxb（r，Xt，x，r，）xXt，x，rdr+Zstxσ（r，Xt，x，r，）xXt，x，rdWr+ZstZExγ（r，Xt，x，r，z，）xXt，x，reu（dr，dz），（3.3）同样适用于(Xt，x，s，s∈ [t，t]）和每一个高阶流(nxmXt，x，s，s∈ [t，t]）m，n≥0.提案3.1。在假设3.1下，SDE（3.1）有一个唯一的解Xt，x，∈Spd[t，t]P≥ 2.此外，对于0≤ n、 m≤ nae，eve-ry（n，m）-Xt，x，in（x，）的时间经典差异定义如下：nxmXt，x，∈ Spdn+1[t，t]P≥ 2，这是对应SDE的唯一解决方案，通过对系数的正式区分定义为（3.3）。证据唯一解Xt，x，的存在性∈ Spd[t，t]P≥ 2是标准的，可以用引理A.3证明。由于每个SDE都是线性的，所以递归地证明相同的结论适用于每个SDE并不困难nxmXt，x，。根据马和张（2002）[39]定理3.1中的论点，可以证明与经典微分的一致性。尤其是林肯→0E||Xh- xXt，x，|[t，t]=0其中Xhs:=Xt，x+h，s- Xt，x，sh（s im-plicity的d=1）和（x，）中每个高阶导数的相似关系。提议3.2。在假设3.1和3.2下，BSD E（3.2）有一个唯一解（Yt，x，，Zt，x，，ψt，x，），它属于Spm[t，t]×Hpm×l[t，t]×Hpm，ν[t，t]P≥ 2.此外，它还满足| |^Θt，x，| | Kp[t，t]≤ 每p的Cp（1+| x | q）（3.4）≥ 2.证据。引理B.2给出了唯一解的存在性。

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可人4

2022-5-9 07:04:19

此外，在e上有| |^Θt，x，| | pKp[t，t]≤ CpE|ξ（Xt，x，T）|p+ZTt|f（s，Xt，x，s，0，0，0）|dsP通过引理A.3和ξ（x）和f（·，x，0，0，0）的多项式增长假设，我们得到了期望的结果。为了减轻符号的重量，我们使用以下符号来表示集合参数：Θt，x，r：=Xt，x，r，Yt，x，r，Zt，x，r，ZRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）^Θt，x，r：=Yt，x，r，Zt，x，r，ZRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）.我们也使用Θ:= (十、YZu） ,，^Θ：=(YZu）对于它们的高阶导数也是如此。备注3.1。让我们谈谈假设3.1和3的实际含义。2，因为一些读者可能会发现平滑度假设过于严格。在附录C中，我们证明了FBSDE的一个光滑逼近定理，只要满足标准Lipschitz条件，该定理就证明了假设3.1和3.2。由于与BSDE相关的财务问题不可避免地是非线性的，我们不得不在投资组合层面上考虑。因此，ξ和f可能由复杂的分段线性函数给出，这些函数涉及大量非光滑点。我们可以做的第一步是通过引入molli fiers或projec Tingon切比雪夫多项式等平滑函数来近似这些函数。在行业中，这是很常见的，即使是线性产品，如数字期权，使三角洲对冲在实践中可行。由借款人产生的少量额外费用作为对冲成本向客户收取。Henry-Labord`ere（2012）[29]也将其用于CVA评估。3.2 BSD的表示定理我们根据德隆和伊姆凯勒（2010）[13]第3节和德隆（2013）[12]第2.6节（σ=1）中使用的约定定义了Malliavin导数Dt。

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能者818

2022-5-9 07:04:23

有关详细信息和其他应用，请参见Di Nunno等人（2009）[14]。根据他们的定义，如果随机变量H（·ωu）在经典的马利雅文微积分意义下对于Pu-a.e.ωu是可微分的∈ Ohmu，那么我们有关系dt，0H（ωW，ωu）=DtH（·ωu）（ωW），其中D·是关于维纳方向的Malliavin导数。对于z=0的定义Dt，zH，引入了增量商算子，它，zH（ωW，ωu）：=H（ωW，ωt，zu）- H（ωW，ωu）z其中ωt，zu变换族ωu=（（t，z），（t，z），·）∈ Ohm进入一个新的家族ωt，zu（（t，z），（t，z），（t，z），·）∈ Ohmu. 这是为一维泊松分布测量定义的。在多维情况下，它以明显的方式将zH扩展到k维向量。已知当EhRTRE | It，zH | zν（dz）dti=EhPki=1rtr | It，ziH | ziνi（dz）dti<∞, 一个有Dt，zH=It，zH。提议3.3。在假设3.1下，过程Xt，x，是可区分的。此外，我还感到满足（s，z）∈[0，T]×RkEhsupr∈[s，T]| Ds，zXt，x，r|pi<∞对于P≥ 2.证据。这是对[12]中定理4.1.2的修改，适用于我们的设置。Malliavin der ivative的存在源自Petrou（2008）[45]中的定理3。根据[45]，对于zi6=0，一个hads，ziXt，x，r=γi（s，Xt，x，s）-, zi，）zi+ZrsDs，zib（u，Xt，x，u，）du+ZrsDs，ziσ（u，Xt，x，u，）dWu+ZrsZEDs，ziγ（u，Xt，x，u）-, z、 eu（du，dz）（3.5）用于s≤ r和Ds，ziXt，x，r=0。这里，γide表示第i列向量和ds，zib（u，Xt，x，u，）：=zib（u，Xt，x，u+ziDs，ziXt，x，u，）-b（u，Xt，x，u，）类似地，对于术语（Ds，ziσ（u，Xt，x，u，），Ds，ziγ（u，Xt，x，u-, z、 )）。

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2022-5-9 07:04:28

由于xb，xσ，xγ/η（3.5）通过引理A.3得到唯一解。此外，应用Burkholder-Davis-Gundy（BDG）、Gronwall不等式和引理A.1，我们得到了| | Ds，ziXt，x，| | p[s，T]≤ 内容提供商γi（s，0，zi，）zip+E | | Xt，x，| | pT.因此，通过假设3.1（iii），我们得到了期望的结果。维纳方向（z=0）的参数类似。下一个定理是对[12]中定理3.5.1和[25]中定理C.1的改编。为了简单起见，我们增加了表示初始数据的上标（t，x，）。定理3.1。在假设3.1和3.2下，（a）存在属于Kp的唯一解（Ys，0，Zs，0，ψs，0）P≥ 2到BSD，0u=Ds，0ξ（XT）+ZTufs，0（r）dr-ZTuZs，0rdWr-ZTuZEψs，0r（z）eu（dr，dz）式中，0ξ（XT）：=xξ（XT）Ds，0XTfs，0（r）：=xf（r，Θr）Ds，0Xr+yf（r，Θr）Ys，0r+zf（r，Θr）Zs，0r+uf（r，Θr）ZRρ（z）ψs，0r（z）ν（dz）。（b）对于zi6=0，存在一个属于Kp的唯一解（Ys，zi，Zs，zi，ψs，zi）P≥ 2到BSD，ziu=Ds，ziξ（XT）+ZTufs，zi（r）dr-ZTuZs，zirdWr-ZTuZEψs，zir（z）eu（dz，dr）式中，ziξ（XT）：=ξ（XT+ziDs，ziXT）- ξ（XT）zifs，zi（r）：=hfr、 Xr+ziDs，ziXr，Yr+ziDs，ziYr，Zr+ziDs，ziZr，Zrρ（e）ψr（e）+ziDs，ziψr（e）]ν（de）- Fr、 Xr，Yr，Zr，Zrρ（e）ψr（e）ν（de）i/ZI每1个≤ 我≤ k、（c）美国≤ T，set（Ys，zu，Zs，zu，ψs，zu）=0表示z∈ Rk（即，包括lu ding W iener方向Z=0）。然后，（Y，Z，ψ）是Malliavin可微的，（Ys，Z，Zs，Z，ψs，Z）是（Ds，zY，Ds，zZ，Ds，Zψ）的一个版本。（d）用BSDE（3.2）的解设置一个确定性函数u（t，x，）：=Yt，x，t。如果u在t中是连续的，并且对于x是一次性连续可微的，那么zt，x，s=徐（s，Xt，x，s）-, ）σ（s，Xt，x，s）-, ) (3.6)ψt，x，s（z）i1≤我≤k=Us、 Xt，x，s-+ γi（s，Xt，x，s）-, 子，），- u（s，Xt，x，s）-, )1.≤我≤k（3.7）代表t≤ s≤ T和z=（zi）1≤我≤K∈ Rk。证据

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2022-5-9 07:04:32

（a）（b）可以用引理b.2，导数的有界性和Θt，x，∈ Sp×kPad和Ds，zX∈ SpforP≥ 2.（c）可以被证明为[12]中定理3.5.1的一个简单模型，它是El Karoui等人（1997）[18]中的命题5.3对跳跃情况的扩展。对于ω相关驱动（假设[12]中的（vii）和（viii））所写的条件，可以用我们的假设f代替，它是关于（y，z，u）的Lipschitz，在x中有多项式增长。注意，我们已经知道Xt，x，，Ds，zXt，x，∈ 服务提供商P≥ 2.参见[25]中定理6.1的证明中使用的关于马尔可夫设置的参数。（d）根据[12]的定理4.1.4，4渐近展开式在渐近展开式中，我们想得到FBSDEs（3.1）和d（3.2）的解（Xt，x，，Yt，x，，Zt，x，）在=0附近的泰勒展开式。众所周知，这对于正向过程Xt，x，是可能的。我们需要证明经典分量的存在性n^Θt，x，for every0≤ N≤ 然后以适当的范数获得其估计值。因为它们对应于经典导数n^Θt，x，包含比例为qji=1的术语ki^Θt，x，在其驱动程序中pji=1ki=n时(基什特，x，基什特，kiψt，x，）ji=1关于范数Hp×HpνP≥ 2不足以保证相关BSDE的适当性。接下来，我们将通过展示来解决这个问题(基什特，x，基什特，kiψt，x，）实际上属于Sp×SpP≥ 2而不是Hp×HpνP≥ 2.这是通过递归地应用表示定理和关于x的解的多项式增长性质来实现的。为了在定理3.1（d）中使用这一结果，我们必须从研究BSDE（3.2）的经典导数开始，特别是BSDE 4.1的x.4.1经典导数。

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2022-5-9 07:04:35

在假设3.1和3.2下，^Θt，x，在x中是典型的可区分的，它由x^Θt，x，被定义为BSDE的唯一解决方案，具有正式的差异：xYt，x，s=xξ（Xt，x，T）xXt，x，T+ZTsΘf（r，Θt，x，r）xΘt，x，rdr-中兴通讯xZt，x，rdWr-中兴通讯xψt，x，r（z）eu（dr，dz）（4.1）和x^Θt，x，∈ Kp[t，t]令人满意||x^Θt，x，|Kp[t，t]≤ Cp（1+| x | q）用于P≥ 2.证据。引理B.2可以很容易地证明它的存在性和唯一性。请注意，th eBSDE（4.1）与有界Lipschitz常数和满意度呈线性关系||x^Θt，x，| pKp[t，t]≤ CpEh|xξ（Xt，x，T）|p|xXt，x，T|p+ZTt|xf（r，Θt，x，r）||xXt，x，r |博士圆周率≤ Cp||xXt，x，| pS2p[t，t]nE|xξ（Xt，x，T）|2p1/2+EZTt|xf（r，Xt，x，r，0）|dr2p1/2+| |^Θt，x，| | pK2p[t，t]o≤ Cp（1+| x | pq）用于P≥ 2.通过对[39]中定理3.1的简单修改，我们还可以证明：→0||h^Θt，x，- x，t，其中^Θt，x，：=^Θt，x+h，-^Θt，x，h，h 6=0（每个方向）。这与经典的差异一致。推论4.1。在假设3.1和3.2下，存在xu（t，x，），它在（t，x）中是连续的，在（t，x）中至多有一个均匀的多项式增长∈ [0，T]×[0，1]。此外，Zt，x，和rrρ（z）ψt，x，（z）ν（dz）属于Sp[t，t]P≥ 2.证据。请注意徐（t，x，）=xYt，x，并且存在一些常数C>0，这样|徐（t，x，）|≤ ||x^Θt，x，|Kp[t，t]≤ C（1+| x | q）每x∈ RDT中的一致性∈ [0，T]引理4.1。连续性（t，x，）in（t，x）中的xu（t，x，）可以用[39]相同的方式表示，使用Xt，x，in（t，x）的连续性，这可以在引理A.3中看到。然后，根据（3.6）、（3.7）中给出的表示和上述结果，一个是| Zt，x，s |+ZEρ（z）ψt，x，s（z）ν（dz）≤ C（1+|Xt，x，s）-|q+1）给出了期望的结果^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.任何p≥ 2.提案4.1。

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2022-5-9 07:04:38

在假设3.1和3.2下，c经典导数nx^Θt，x，每0存在一次≤ N≤ 奈维思nx^Θt，x，∈ Kp[t，t]P≥ 由以下BSDE的解给出：nxYt，x，s=ξn+ztsnn，r+Θf（r，Θt，x，r）nxΘt，x，rodr-中兴通讯nxZt，x，rdWr-中兴通讯nxψt，x，r（z）eu（dr，dz）（4.2），其中ξn:=n！nXk=1Xβ+··+βk=n，βi≥1k！kxξ（Xt，x，T）kYj=1βj！βjxXt，x，T，Hn，r:=n！nXk=2Xβ+··+βk=n，βi≥1kXix=0k-ixXiy=0k-九-iyXiz=0ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf（r，Θt，x，r）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九- 艾伊- 伊兹）！×ixYjx=1βjx！βjxxXt，x，rix+iyYjy=ix+1βjy！βjyxYt，x，rix+iy+izYjz=ix+iy+1βjz！βjzxZt，x，r×kYju=ix+iy+iz+1βju！ZRρ（z）βjuxψt，x，r（z）ν（dz）。此外，f或每0≤ N≤ nmax+1，nx^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.证据。我们可以用命题3.2、引理4.1和推论4.1中使用的参数递归证明。我们已经知道^Θt，x，∈ Sp[t，t]3和x^Θt，x，∈ Kp[t，t]对于任何p≥ 2.英国科学院x^Θt，x，具有有界Lipschitz常数和H2，ris，在(x^Θt，x，r）。根据ξ（x），f（·，x，0）至多有一个多项式增长x和th(mxXt，x，）0≤M≤奈，^Θt，x，∈ Sp[t，t]P≥ 2，可以证明唯一解的存在性x^Θt，x，∈ Kp[t，t]P≥ 引理B.2。此外，我们可以在引理4.1中证明||x^Θt，x，| Kp[t，t]在x上最多有多项式增长。根据[39]中定理3.1的参数，我们可以看到这与引理4.1意义上的经典微分一致。这反过来又表明了它的存在徐（t，x，）=xYt，x，还有一个事实xu（t，x，）在x上最多有一个多项式增长。这意味着，连同假设3.1和表示定理（3.6）（3.7），xZt，x，和rrρ（z）xψt，x，（z）ν（dz）在Sp[t，t]P≥ 2.

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2022-5-9 07:04:41

因此，我们得到x^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.以同样的方式，如果我们假设ix^Θt，x，我≤N∈ Sp[t，t]3那n+1x^Θt，x，∈Kp[t，t]表示 P≥ 2当Kp范数在x上最多为一个多项式增长时，可以证明唯一解的存在性n+2x^Θt，x，∈ Kp[t，t]的范数在mosta多项式上通过引理B.2增长。然后，它从代表理论中暗示n+1x^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.通过重复这些过程，一个人可以得到想要的结果。4.2渐近展开我们现在要证明n^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 每0取2≤ N≤ nmax+1。虽然该策略与上一节类似，但我们实际上必须研究mxn^Θt，x，因为a影响u（s，Xt，x，s-, ）不仅通过它的明确解释，而且通过Xt，x，间接。引理4.2。在假设3.1和3.2下，^Θt，x，在中是典型的可出租的，它由^Θt，x，被定义为BSD E的唯一解决方案，具有正式的差异：Yt，x，s=xξ（Xt，x，T）Xt，x，T+ZTsΘf（r，Θt，x，r）Θt，x，rdr-中兴通讯Zt，x，rdWr-中兴通讯ψt，x，reu（dr，dz）。有一个^Θt，x，∈ Kp[t，t]令人满意||t，x，Kp[t，t]≤ Cp（1+| x | q）对于任何P≥ 2.证据。证明可以类似于L emma 4.1中的证明。我们现在得到以下结果。提议4.2。在假设3.1和3.2下，c经典导数n^Θt，x，每0存在一次≤ N≤ 奈维思n^Θt，x，∈ Kp[t，t]P≥ 2和由以下BSDE的唯一解决方案给出：nYt，x，s=eξn+ZTsneHn，r+Θf（r，Θt，x，r）nt，x，rodr-中兴通讯nZt，x，rdWr-中兴通讯nψt，x，reu（dr，dz）。这里，eξnandeHn，由ξnand Hn，rin命题4.1的表达式给出，带有βjΘx替换为βjΘ。此外，f或每0≤ N≤ nmax+1，n^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.证据。我们从引理4.2的结果开始u（t，x，）在x中有最多的多项式增长。

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2022-5-9 07:04:44

利用这个事实Θt，x，∈ Sp[t，t]×Kp[t，t]和xΘt，x，∈Sp[t，t]4.可以证明十、^Θt，x，存在和满足十、^Θt，x，∈ Kp[t，t]表示P≥ 2.4引理。相应的定范数在x上最多有多项式增长，因此十、u（t，x，）。这意味着，连同表述（3.6）和（3.7）一起^Θt，x，∈ Sp[t，t]用于P≥ 2.如命题4.1所示，我们可以递归地证明经典导数nx^Θt，x，存在并属于Kp[t，t]P≥ 每0取2≤ N≤ 而且它属于Sp[t，t]3.P≥ 每0取2≤ N≤ nmax+1通过诱导。然后，由Lemm a B.2编写，它是向前查看的nx^Θt，x，存在并属于Kp[t，t]P≥ 2比0≤ N≤ 奈。根据表示定理，它意味着nx^Θt，x，实际上属于∈ Sp[t，t]P≥2比0≤ N≤ nmax+1。通过重复同样的过程，我们可以证明，对于每一个≤ n、 m≤ nmax+1，nxm^Θt，x，存在并属于Sp[t，t]3.P≥ 2.从而证明了命题的正确性。我们已经证明了Θt，x，是关于（x，）的nae时间经典可微的，尤其是对于n≤ nmax+1，nΘt，x，∈ Sp[t，t]4.P≥ 2.让我们来定义∈ [t，t]和0≤ N≤ nMaxhatΘ[n]s:=n！nt，x，s=0.利用可微性和泰勒公式，我们可以对任何1≤ N≤ nmaxΘt，x，s=Θ[0]s+NXn=1nΘ[n]s+n+1N！Z（1）- u） NN+1αΘt，x，αsα=udu。（4.3）我们将在后面看到，每个Θ[m]，m∈ {1，2，·，nmax}可以通过求解线性常微分方程组来计算。尽管Θ[0]要求作为例外解非线性常微分方程，但在假设3.1和3.2下，有界解的存在是有保证的。下一个定理是本文的主要结果，它给出了Θt，x，由Θ[m]，m的级数逼近的误差估计∈ {0,1，··，nmax}。定理4.1。

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2022-5-9 07:04:48

在假设3.1和3.2下，前向-后向SDE（3.1）和（3.2）的渐近展开式由（4.3）给出≤ N≤ Nmax和Saties，通过一些正常数CpΘt，x，-Θ[0]+NXn=1nΘ[n]Sp[t，t]≤ N+1Cp。（4.4）证据。这直接源于以下事实：N+1Θt，x，在Sp[t，t]P≥ 2.与命题3.1和命题4.2.4.3中的相关的连续跳跃强度，当ν是一个有限测度时∞, 对于η，ρ稍弱的假设，所有先前的结果都成立≡ 1在假设3.1和3.2中。然而，在实际应用中，有许多情况下我们想要使跳跃强度状态依赖。在本节中，我们将在强度有界时解决这个问题。特别是，我们考虑了向前向后的SDE（3.1）和（3.2），但带有补偿随机测度eu（dr，dz），由1给出≤ 我≤ k、 eui（dr，dz）=ui（dr，dz）-λi（r，Xt，x，r）νi（dz）dr，其中νiis归一化为νi（r）=1和λi:[0，T]×Rd→ R.我们可以看到，随机测度不再是泊松的，它通过强度隐式地依赖于。假设4.1。每1≤ 我≤ k、 νi（R）=1，并且存在一些正常数k，c，c，例如（i）λi（t，x）在（t，x）中是连续的，并且在x中是可微分的，具有连续的导数消息化|nxλi（t，x）|≤ K代表eve ry 1≤ N≤ naein（t，x）∈ [0，T]×Rd，（ii）0<c≤ λi（t，x）≤ 楔形in（t，x）∈ [0，T]×路（三）|mγ·，i（t，x，z，）|≤ K代表每1≤ M≤ 奈因（t，x，z，）∈ [0，T]×Rd×R×[0，1]。引理4.3。

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2022-5-9 07:04:51

根据假设4.1，我们可以定义一个等效的概率度量Qby，用于∈ [t，t]，dQdPFs=Ms，其中M是严格正的P-鞅g，由Ms=1+kXi=1ZstMr驱动-cλi（r，Xt，x，r）-)- 1.eui（dr，R）。在新的测度Q下，补偿的随机测度变成uQ（dr，dz）=u（dr，dz）-cν（dz）dt，因此u是泊松的。此外s∈ [t，t]，Ms≥ 经验-（c）- c） k（T）- （t）.证据Kazamaki（1979）[32]指出，如果X是BMO鞅Xt≥ -1+Δa.s.适用于所有t∈ [0，T]当某些严格正常数δ>0时，thenDol\'eans-Dade指数E（X）是一致可积的。我们可以很容易地证明这个条件对于鞅是满足的·c/λ（s，Xt，x，s）- 1.eu（ds，R）。因此，给定的度量值变化得到了很好的定义，第一个主张源自[47]第3章中的定理41。第二个声明直接来自显式表达式ms=kYi=1Y0<r≤scλi（r，Xt，x，r）-)ui（r，r）exp-Zst（c）- λi（r，Xt，x，r）-))博士≥ 经验-Zstk（c）- c）博士.在测度Q下，我们有Xt，x，s=x+Zsteb（r，Xt，x，r，）dr+Zstσ（r，Xt，x，r，）dWr+ZstZEγ（r，Xt，x，r）-, z、 euQ（dr，dz）（4.5）Yt，x，s=ξ（Xt，x，T）+ZTsefr、 Xt，x，r，Yt，x，r，Zt，x，r，ZRψt，x，r（z）ν（dz）博士-ZTsZt，x，rdWr-ZTsZEψt，x，r（z）euQ（dr，dz）（4.6），其中eb（s，x，）=b（s，x，）+kXi=1（c）- λi（s，x））ZRγi（s，x，zi，）ν（dzi）ef（s，x，y，z，u）=f（s，x，y，z，u）-kXi=1（c）- λi（s，x））ui。定理4.2。在假设3.1、3.2下，ρ和η替换为1，以及假设4。1，前向-后向SDE（3.1）和（3.2）的解Θt，x，允许关于的渐近展开，并满足原始测量P证明中相同的误差估计（4.4）。假设4.1使（eb，ef）再次满足假设3.1和3.2，ρ，η替换为1。因此，前几节中的所有结果在等效FBSDE（4.5）和（4.6）的测量Q下均成立。

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2022-5-9 07:04:55

特别是，这从引理4.3中暗示，对于某些正常数Cp，p（N+1）Cp≥ EQ“sups∈[t，t]Θt，x，s-Θ[0]s+NXn=1nΘ[n]sp#=E“MTsups∈[t，t]Θt，x，s-Θ[0]s+NXn=1nΘ[n]sp#≥ 经验-k（c）- c）（T）- （t）E“sups∈[t，t]Θt，x，s-Θ[0]s+NXn=1nΘ[n]sp#。这证明了这一说法。5渐近展开式的实现5。1评估方案在本节中，我们将解释如何计算Θ[n]，n∈ {0，1，·，nmax}（半解析）。正如我们将要看到的，如果我们以一种特殊的方式将ce引入正向SDE（3.1），那么渐近展开引入的分级结构会产生一个非常简单的方案，只需要求解线性常微分方程组，在零阶只有一个例外。同样值得注意的是，我们不仅可以直接逼近（Yt，x，Zt，x），还可以直接逼近L（E；ν）值过程ψt，x（·）。这对于基于标准回归的模拟方案来说几乎是不可行的。让我们把初始时间设为t=0，并取（m=d=l=1）以简化符号。高维设置的扩展非常简单，只需对每个变量进行适当的索引。让我们用对X进行如下参数化，这显然会导致较小的方差扩展；Xs=X+Zsb（r，Xr，）dr+Zsσ（r，Xr）dWr+ZsZRγ（r，Xr）-, z） eu（dr，dz），其中我们省略了初始数据（0，x）的上标。我们可以看到，当X→ 0.与标准应用[50]类似，这种参数化对于获得半解析近似值至关重要。我们将假设3.1和3.2（或用ρ=η=1和假设4.1代替）作为本节的标准假设。引理5.1。零阶解Θ[0]s，s∈ [0，T]由x[0]s=x+Zsb（r，x[0]r，0）干[0]s=ξ（x[0]T）+ZTsf（r，x[0]r，Y[0]r，0，0）dr（5.1）Z[0]=ψ[0]（·）≡ 0 .它是连续的、确定性的和有界的。证据

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2022-5-9 07:05:00

由于b，f分别相对于x，y的Lip-schitz连续性，这个定理可以用常微分方程的标准结果来证明。让我们介绍一些符号。我们指的是s∈ [0，T]，b[0]（s）：=b（s，X[0]s，0），σ[0]（s）：=σ（s，X[0]s，γ[0]（s，z）：=γ（s，X[0]s，z）ξ[0]：=ξ（X[0]T），f[0]（s）：=f（s，X[0]s，Y[0]s，0，0），Γ[0]（s）：=ZRρ（z）γ[0]（s，z）ν（dz）。至于导数，我们表示，例如xb[0]（s）：=xb（s，x，0）x=x[0]s，b[0]（s）=b（s，X[0]s，）=0xΓ[0]（s）：=ZRρ（z）xγ（s，x，z）x=x[0]sν（dz）和其他明显的术语。对于展开式的第一阶，我们必须解x[1]s=Zsb[0]（r+xb[0]（r）X[1]rdr+Zsσ[0]（r）dWr+ZsZRγ[0]（r，z）eu（dr，dz），（5.2）Y[1]s=xξ[0]x[1]T+ZTsΘf[0]（r）Θ[1]rdr-ZTsZ[1]rdWr-ZTsZRψ[1]r（z）eu（dr，dz）。（5.3）引理5.2。对于（5.2）和（5.3）存在唯一的解Θ[1]，它属于toSp[0，T]4.P≥ 2.^Θ[1]由给出，表示s∈ [0，T]和z∈ R、 Y[1]s=Y[1]（s）X[1]s+Y[1]（s）Z[1]s=Y[1]（s）σ[0]（s）（5.4）ψ[1]s（Z）=Y[1]（s）γ[0]（s，Z）。在这里y[1]（s），y[1]（s），s∈ [0，T]以下是线性常微分方程的解：-dy[1]（s）ds=xb[0]（s）+yf[0]（s）y[1]（s）+xf[0]（s），-dy[1]（s）ds=yf[0]（s）y[1]（s）+b[0]（s+zf[0]（s）σ[0]（s）+uf[0]（s）Γ[0]（s）y[1]（s）（5.5），终端条件y[1]（T）=xξ[0]和y[1]（T）=0。证据从引理A.3和d B.2中可以明显看出Θ[1]的唯一解的存在性。由于常微分方程与有界系数以及终端条件是线性的，所以它们可能有边界解（y[1]，y[1]）。Y[1]的形式自然是由BSDE的线性结构和的阶所期望的。它会自动将z[1]和ψ[1]的形式固定下来。通过将It^o公式应用于（5.4）中的假设Y[1]，并使用（5.5），可以直接确定（5.4）给出了BSDE（5.3）的解决方案。这也证明了Θ[1]∈ Sp[0，T]4.P≥ 2.

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2022-5-9 07:05:04

由于BSDE的解决方案是唯一的，我们已经完成了。在的秒级中，我们需要解x[2]s=Zsxb[0]（r）X[2]r+xb[0]（r）（X[1]r）+十、b[0]（r）X[1]r+b[0]（r）dr+Zsxσ[0]（r）x[1]rdWr+ZRxγ[0]（r，z）x[1]reu（dr，dz）（5.6）andY[2]s=xξ[0]x[2]T+xξ[0]（x[1]T）+ZTsΘf[0]（r）Θ[2]r+Θf[0]（r）Θ[1]rΘ[1]r博士-ZTsZ[2]rdWr-Ztsψ[2]r（z）eu（dr，dz）。（5.7）你可以看到，X[2]的动力学在X[2]中是线性的，并且包含{（X[1]）j，j≤ 2}. ^Θ[2]的BSDE本身是线性的，d包含{（Θ[1]）j，j≤ 2}. 因为我们在X[1]中看到了^Θ[1]是线性的，所以驱动程序包含{（X[1]）j，j≤ 2}. 假设^Θ[2]在X[2]中是线性的，在X[1]中是二次的。然后，我们可以检查Y[2]和hen ce的驱动程序的情况是否与初始假设一致。事实上，虽然它变得有点乏味，但我们可以通过直接将其^o公式的结果与BSDE的驱动程序进行比较，以与Lemm a 5.2完全相同的方式证明下一个引理。引理5.3。

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2022-5-9 07:05:08

对于（5.6）和（5.7）存在唯一的解Θ[2]，它属于toSp[0，T]4.P≥ 2、^Θ[2]由，s给出∈ [0，T]和z∈ R、 Y[2]s=Y[2]（s）X[2]s+Y[2]1,1（s）（X[1]s）+Y[2]（s）X[1]s+Y[2]（s）Z[2]s=X[1]s-y[2]（s）xσ[0]（s）+2y[2]1,1σ[0]（s）+ y[2]（s）σ[0]（s）ψ[2]s（z）=X[1]s-y[2]（s）xγ[0]（s，z）+2y[2]1,1（s）γ[0]（s，z）+ y[2]1,1（s）（γ[0]（s，z））+y[2]（s）γ[0]（s，z）。在这里y[2]（s），y[2]1,1（s），y[2]（s），y[2]（s），s∈ [0，T]以下问题的解决方案如下：-dy[2]（s）ds=xb[0]（s）+yf[0]（s）y[2]（s）+xf[0]（s）-dy[2]1,1（s）ds=2.xb[0]（s）+yf[0]（s）y[2]1,1（s）+xf[0]（s）+xb[0]（s）y[2]（s）+十、yf[0]（s）y[1]（s）+yf[0]（s）（y[1]（s））-dy[2]（s）ds=xb[0]（s）+yf[0]（s）y[2]（s）+十、b[0]（s）y[2]（s）+2b[0]（s）y[2]1,1（s）+zf[0]（s）y[2]（s）xσ[0]（s）+2y[2]1,1（s）σ[0]（s）+uf[0]（s）y[2]（s）xΓ[0]（s）+2y[2]1,1（s）Γ[0]（s）+yf[0]（s）y[1]（s）y[1]（s）+十、yf[0]（s）y[1]（s）+y[1]（s）十、zf[0]（s）σ[0]（s）+十、uf[0]（s）Γ[0]（s）+（y[1]（s））Yzf[0]（s）σ[0]（s）+Yuf[0]（s）Γ[0]（s）-dy[2]（s）ds=yf[0]（s）y[2]（s）+y[2]1,1（s）（σ[0]（s））+ZR（γ[0]（s，z））ν（dz）+b[0]（s）y[2]（s+b[0]（s）y[2]（s）+y[2]（s）zf[0]（s）σ[0]（s）+uf[0]（s）Γ[0]（s）+y[2]1,1（s）uf[0]（s）ZRρ（z）（γ[0]（s，z））ν（dz）+yf[0]（s）（y[1]（s））+（y[1]（s））zf[0]（s）（σ[0]（s））+uf[0]（s）（Γ[0]（s））+Zuf[0]（s）σ[0]（s）Γ[0]（s）+（y[1]（s）y[1]（s））Yzf[0]（s）σ[0]（s）+Yuf[0]（s）Γ[0]（s）终端条件y[2]（T）=xξ[0]，y[2]1,1（T）=xξ[0]，y[2]（T）=y[2]（T）=0。可以按任意顺序重复上述步骤≤ nmax。这可以通过以下方式进行检查。

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2022-5-9 07:05:12

通过简单修改（4.2）givesY[n]s=Gn+ZTsnFn，r+Θf[0]（r）Θ[n]罗德尔-ZTsZ[n]rdWr-ZTsZRψ[n]r（z）eu（dr，dz），其中gn:=nXk=1Xβ+·β+βk=n，βi≥1k！kxξ（X[0]T）kYj=1X[βj]T，Fn，r:=nXk=2Xβ+·βk=n，βi≥1kXix=0k-ixXiy=0k-九-iyXiz=0ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf[0]（r）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九- 艾伊- 伊兹）！×ixYjx=1X[βjx]rix+iyYjy=ix+1Y[βjy]rix+iy+izYjz=ix+iy+1Z[βjz]rkYju=ix+iy+iz+1ZRρ（z）ψ[βju]r（z）ν（dz）。从Gn、Fn、r的形状可以确定多项式给出的^Θ[n]riskYj=1X[βj]r；β+··+βk=m（βi≥ 1），k≤ m、 m≤ N通过归纳法。由于Θ[n]在正向和反向SDE中仅线性出现，因此相关的ODE总是线性的。5.2一个多项式模式我们刚刚发现{X[n]}n的分级结构≥0和{n]}n≥0起到了重要作用。特别是，即使{^Θ[n]}n≥0有梯度结构，除非{X[n]}n，否则不能得到线性O-DEs系统≥0共享相同的功能。假设Xt、xis的动力学本身是线性的。然后，无需展开前向SDE，thusone可以通过Xt，x的多项式得到^Θt，x，的展开式。如果是这种情况，则每个顺序所需的相关系数的ODE将大大简化。让我们考虑以下s的前向后向SDE∈ [t，t]：Xt，xs=x+Zstb（r）+b（r）Xt，xrdr+Zstσ（r）+σ（r）Xt，xrdWr+ZTSZγ（r，z）+γ（r，z）Xt，xr-eu（dr，dz）（5.8）Yt，x，s=ξ（Xt，Xt）+ZTsfr、 Xt，xr，Yt，x，r，Zt，x，r，ZRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）博士-ZTsZt，x，rdWr-ZTsZEψt，x，r（z）eu（dr，dz）。（5.9）其中b:[0，T]→ Rd，b:[0，T]→ Rd×d，σ：[0，T]→ Rd×l，σ：[0，T]→ Rd×d×l，γ：[0，T]×E→ Rd×k，γ：[0，T]×E→ Rd×d×kare可测量函数和ξ，f与之前一样定义。假设5.1。函数{bi（t），σi（t），γi（t，z）}，i∈ {0，1}是连续的。

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2022-5-9 07:05:15

此外，存在一些正常数K，使得|bi（t）|+|σi（t）|+|γi（t，z）|/η（z）≤ K因为我∈ （t，z）中的{0，1}统一∈ [0，T]×E.在s轻微滥用符号的情况下，让我们使用ΘT，x，r：=Xt，xr，Yt，x，r，Zt，x，r，RRρ（z）ψt，x，r（z）ν（dz）在本节中。定理5.1。在假设3.2和5.1下，BSDE（5.9）的经典导数存在唯一解^Θt，x，n^Θt，x，∈ Kp[0，T]P≥ 每0存在一个2≤ N≤ naeand由以下BSD E的溶液给出：nYt，x，s=gn（Xt，Xt）n+ztsnn，r+nxf（r，Θt，x，r）（Xt，xr）n+^Θf（r，Θt，x，r）n^Θt，x，rodr-中兴通讯nZt，x，rdWr-中兴通讯nψt，x，r（z）eu（dr，dz），其中gn:=nxξ（Xt，Xt）和hn，r:=n！nXk=2k-1Xix=0k-ixXiy=0k-九-iyXiz=0Xβix+1+·βk=n-ix，βi≥1.ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf（r，Θt，x，r）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九- 艾伊- 伊兹）！（Xt，xr）ix×ix+iyYjy=ix+1βjy！βjyYt，x，rix+iy+izYjz=ix+iy+1βjz！βjzZt，x，rkYju=ix+iy+iz+1βju！ZRρ（z）βjuψt，x，r（z）ν（dz）。此外，每0≤ N≤ nmax+1，n^Θt，x，∈ Sp[t，t]3.P≥ 2.^Θt，x，关于满意度的渐近展开，具有一些正常数Cp^Θt，x，-^Θ[0]+NXn=1n^Θ[n]Sp[t，t]≤ N+1Cp。每1≤ N≤ nmax。证据我们可以遵循命题4.2和定理4.1中的相同论点，将（Xt，x，）替换为（Xt，x）。由于通过Xt，xin没有相关性，表达式Yt，x，s=u（s，Xt，xs，）和Zt，x，s=徐(x,Xt,xs)-, ）σ（s，Xt，xs）-, ），关于x的一次可微性及其多项式增长性质可以递归地证明：n^Θt，x，∈Sp[t，t]用于P≥ 2.备注5.1。上述结果也证明了Fujii（2015）[20]提出的方法适用于具有线性动力学的基础X。

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2022-5-9 07:05:20

s f或一般的类似过程X（如σ（X）=√x）由于其非利普希茨性质，很难在当前技术中证明。不难看出这一点^Θ[n]s，s∈ [t，t]）由以下g BSDE的唯一解给出：Y[n]s=n！nxξ（0）（Xt，Xt）n+ZTsnehn，r+n！nxf[0]（r）（Xt，xr）n+^Θf[0]（r）^Θ[n]rodr-ZTsZ[n]rdWr-ZTsZEψ[n]r（z）eu（dr，dz）（5.10），其中n，r:=nXk=2k-1Xix=0k-ixXiy=0k-九-iyXiz=0Xβix+1+·βk=n-ix，βi≥1.ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf[0]（r）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九- 艾伊- 伊兹）！（Xt，xr）ix×ix+iyYjy=ix+1Y[βjy]rix+iy+izYjz=ix+iy+1Z[βjz]rkYju=ix+iy+iz+1ZRρ（z）ψ[βju]r（z）ν（dz）和f[0]（r）：=f（r，0，Y[0]r，0，0）。Sin ce（ix+Pjyβjy+Pjzβjz+Pjuβju）=n，可以递归地显示多项式n（Xt，xr）j，0≤ J≤ noand everycoe效率由第5.1节中的线性常微分方程组决定，我们将其作为一个简单的练习。指数L’evy情况在本节的提醒中，让我们来处理X的指数（时间不均匀）L’evy动力学的一个特殊例子。让我们把m=d=L=k=1和t=0作为隐式，并考虑b=σ=γ=0Xs=X+ZstXrb（r）dr+σ（r）dWr+ZtsZRXr-γ（r，z）eu（dr，dz）（5.11），其中b:=b，σ：=σ，γ：=γin（5.8）。我们省略了表示初始数据（0，x）的上标。让我们介绍一下j的符号：q（s，j）：=RR（γ（s，z））jν（dz）≥ 2，Γ（s，j）：=RRρ（z）（1+γ（s，z））j- 1] ν（dz）表示j≥ 1和Cn，j:=n/（j！（n）-j）！）对于j≤ n、 n≥ 2.定理5.2。

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能者818

2022-5-9 07:05:24

在假设3.1、5.1、m=d=l=k=1和t=0的情况下，前向-后向SDE（5.11）和（5.9）的渐近展开式由以下公式给出：∈ [0，T]，Y[0]s=ξ（0）+ZTsf（r，0，Y[0]r，0，0）dr（5.12）Z[0]=ψ[0]=0，对于1≤ N≤ nmax，Y[n]s=（Xs）ny[n]（s）Z[n]s=（Xs）-)ny[n]（s）nσ（s）ψ[n]s（z）=（Xs）-)纽约[n]（南）（1+γ（s，z））n- 1.其中函数{y[j]（s），s∈ [0，T]}1≤J≤由以下线性常微分方程组递归确定：-dy[n]（s）ds=nb（s）+n（n）- 1） σ（s）+nXj=2Cn，jq（s；j）+yf[0]（s）+zf[0]（s）nσ（s）+uf[0]（s）Γ（s；n）y[n]（s）+n！nxf[0]（s）+nXk=2k-1Xix=0k-九-iyXiy=0Xβix+1+·βk=n-ix，βi≥1(ixx艾伊惯性矩K-九-艾伊-izuf[0]（s）ix！哎呀！伊兹！（k）- 九-艾伊- 伊兹）！×ix+iyYjy=ix+1y[βjy]（s）ix+iy+izYjz=ix+iy+1βjzσ（s）y[βjz]（s）×kYju=ix+iy+iz+1Γ（s；βju）y[βju]（s）具有终端条件y[n]（T）=nxξ（0）/n！对于这里的每一个n，f[0]（r）由f（r，0，Y[0]r，0，0）定义，Y[0]由（5.12）确定。证据如果假设解的形式为Y[n]s=（Xs）ny[n]（s），那么Z[n]和ψ[n]必须具有给定的形式。比较应用于Xny[n]的It^o公式的结果和被{^Θ[β]}β的假设形式取代的BSDE（5.10）的形式≤n、一个是上面给出的颂歌系统。因为每个常微分方程都是线性的，所以每个y[n]都存在一个解，1≤ N≤ nmax。由于BSDE的解决方案是唯一的，因此这必须是预期的解决方案。值得注意的是，对于布朗设置，观察到与[22]中提出的线性化方案的差异是有趣的。在这里，BSDE围绕第一步中的线性驱动器展开。然后，在第二步中，通过正向SDE的小方差不对称表达式或Fujii&Takahashi（2015）[23]中提出的相互作用粒子模拟方法，对线性BSDE的结果集进行评估。

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2022-5-9 07:05:26

因此，为了使[22]的模式运行良好，它要求驱动器中的非线性项很小，尽管它在任何应用中都会自然而然地出现。此外，由于存在大量的条件期望，在大多数实际情况下，不调用粒子模拟技术来分析计算它们是不现实的。另一方面，在当前方案中，未直接执行驱动器的扩展，且在（5.1）中观察到的正向SDE平均动态周围的零点处考虑了非线性的重要部分。然后，在这个“平均”解周围，扰动地考虑向前SDE随机性的影响。因此，当驱动器中存在明显的非线性时，当前的方案将更有优势。此外，近似迭代FBSDE的特殊梯度结构使得它们可以通过ODE显式求解，而无需使用任何蒙特卡罗模拟。由于（Y，Z，ψ（·））的近似解被明确地表示为X的随机流中的多项式，因此在e上不仅可以通过简单地模拟X的流（或多项式情况下的X本身）获得当前值（Y，Z，ψ（·）），还可以获得其演化。Fujii（2015）[20]基于某类模型的这一特性，提供了一些数值示例和经验误差估计。一个有用的先验估计：forward SDEsLet us总结了具有j UMP的FSDE的有用先验估计。以下结果摘自Bichteler、Gravereaux和Jacod（1987）[4]的L emma 5-1，对于分析σ-有限随机测度至关重要。引理A.1。设η：R→ R由η（z）=1定义∧ |z |。

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