据我们所知，除了[2,15,19,27,42]之外，没有高维布朗运动时间平均控制的闭式解的例子。5与市场摩擦下效用最大化的关系正如我们已经提到的，下限（1.6）也出现在效用最大化框架下的小市场摩擦的影响研究中，参见[2,17,28,29,40,42,47,51]。在本节中，我们将以启发式的方式解释如何将小市场摩擦下的效用最大化与跟踪问题联系起来。应该指出的是，我们只是把这两个问题联系起来，并没有严格地建立等价关系。我们遵循[29]中的介绍，考虑经典的效用最大化问题U（t，wt）=sup~nE[U（wt，wtT）]，其中wt，wts=wt+Zst k udSu，其中k是交易策略。市场动态是一个It半鞅DST=bStdt+qaStdWt。在无摩擦市场中，我们用φ表示*t最佳策略和*t相应的财富过程。如[29]所述，间接边际效用u（t，w*t） 沿着最优财富过程计算的是一个鞅密度，我们用Zt:Zt=u（t，w）表示*t） 。注意S是Q下的鞅，dqdp=ZTZ。还定义了间接风险承受过程RtbyRt=-u（t，w）*t） u（t，w）*t） 。考虑[28]中的指数效用函数，即isU（x）=-E-px，p>0。在一个具有比例交易成本的市场中，投资组合的动力学由wt，wt，εs=wεt+ZstεudSu给出-Zstεhudk~nεku，其中Ht是一个随机权重过程，而ηεta过程具有有限的变化。

控制问题是Uε（t，wt）=sup~nεE[U（wt，wt，εt）]。当成本ε很小时，我们可以预期|ε接近|*倒立装置wεT:=w0，w，εT- W*T=ZT（ψεT）- φ*t） dSt- εZThtdk~nεkt。然后，对于第一批订单数量，我们有uε- u=E[u（w）*T+wεT）]- E[U（w）*T） [U（w）]*（T）wεT+U（w*（T）(wεT）]=-u（w）EQ[wεT+2R(wεT）]-u（w）EQ[εZThtdkаεkt+2R（ZT（аεt- φ*t） dSt）]=-u（w）EQ[εZThtdk~nεkt+ZTaSt2R（νεt）- φ*t） dt]。类似地，在一个交易成本固定的市场中，见[2]，投资组合的动态是给定的nbywt，wt，εs=wεt+Zst~nεudSu+ψs- εXt<τεj≤skτεjF（ξεj），νεt=X0<τεj≤tξεj，我们有uε- 你-u（w）EQ[εX0<τεj≤TkτεjF（ξεj）+ZTaSt2R（νεt- φ*t） dt]。最后，在一个对价格有线性影响的市场中，见[42,49]，投资组合的动态是给定的nbywt，wt，εs=wεt+Zst~nεudSu- εZstlu（uεu）du，νεt=Ztuεtdt，我们有uε- 你-u（w）EQ[εZTlt（uεt）dt+ZTaSt2R（νεt）- φ*t） dt]。综上所述，如果偏差惩罚设置为bertD（x）=aSt2Rx，则小市场摩擦下的效用最大化在启发式上等价于跟踪问题。（5.1）确定确定性相当于财富损失εbyuε=：u（w- ε） 因此εβζDε\'EQ[ZTItdt]，（5.2）另见[29，等式（3.4）]和[42，第18页]。备注5.1（更高维度和一般效用函数）。对于高维和一般效用函数的情况，应设置RTD（x）=2Rthx，aStxi。（5.3）换句话说，市场摩擦下的效用最大化可以通过二次偏差成本跟踪问题（5.3）一阶近似。因此，我们可以在[2,18,19,42]中的跟踪问题和效用最大化问题之间建立联系。备注5.2（一般成本结构）。当存在具有可比影响的多个市场摩擦时，偏差惩罚的选择与（5.3）相同，只需调整成本结构。我们的结果直接适用于这些情况，见[18,40]。

例如，在具有比例成本和线性市场影响的交易中，参见[40]，局部问题是成本结构为ca（x，u）=rx+lu+h | u |的布朗运动的时间平均控制。事实上，[40]中的方程（4.3）-（4.5）给出了在这种成本结构下布朗运动的时间平均控制问题的HJB方程的验证定理。备注5.3（非零利率）。在非零利率的情况下，对应关系应写成εβζDε\'EQ[ZTe-里特]，（5.4）其中e-RTSTI是一个Q-鞅，跟踪问题由（5.3）定义。例如，（5.4）的右侧是[52]中等式（3.11）的Black-Scholes模型下的概率表示。备注5.4（有限期内的最佳消费）。在[47,51]中，作者考虑了小比例成本下有限时间内的最优消费问题。它们的结果可以以同样的方式与跟踪问题相关，即εβζDε\'EQ[Z∞E-Ridtt]，e在哪里-RTSTI是一个Q-鞅，跟踪问题由（5.3）定义。6定理2.1的证明本节致力于定理2.1的证明。在第6.1节中，我们首先严格建立了第2.1节中概述的论点，表明考虑一个小视界（t，t+Δε）就足够了。然后，我们在第6.2节中证明了定理2.1。我们的证明受[34]和[39]中的方法启发。

引理6.3是一个重要的组成部分，其证明在第6.3.6.1节“局部时间平均控制问题的简化”中给出。我们首先表明，为了获得（2.13），研究局部时间平均控制问题就足够了（注意，参数rt、lt、kt、HTT在时间t时被冻结）Iεt=tεZTεrtD（eXε，ts）+ltQ（euε，ts）ds+X0<eτε，tj≤TεktF（eξεj）+htP（eξεj）, （6.1）式中，dexε，ts=ebε，tsds+qeaε，tsdfWε，ts+euε，tsds+d（X0<eτε，tj≤seξεj），eXε，t=0（6.2），tε=ε-αβΔε和Δε∈ R+依赖于ε，以Δε的方式→ 0，Tε→ ∞, （6.3）asε→ 0.回想一下α=2，这是由于布朗运动的标度特性。我们可以简单地把Δε=εβ。本地化，因为我们感兴趣的是在假设2下收敛的概率结果。2和2.3，考虑以下假设成立的情况就足够了。假设6.1。存在一个正常数M∈ R*+这样的SUP（t，ω）∈[0，T]×Ohm|at（ω）|∨ rt（ω）±1∨ lt（ω）±1∨ ht（ω）±1∨ kt（ω）±1<M<∞.此外，Xo是鞅（bt）≡ 0).实际上，设置Tm=inf{t>0，sups∈[0，t]| bs |∨ |作为|∨ r±1s∨ ls（ω）±1∨ h±1s∨ k±1s≤ m} 。然后我们有了limm→∞P[Tm=T]=1。通过标准定位程序，我们可以假设所有参数都有界，如假设6.1所示。LetdQdP=expn-ZTa-1tbtdWt-ZTbTta-2tbtdto，然后根据Girsanov定理，Xo是Q下的鞅。由于Q等价于P，我们只需要证明Q下的（2.13）。因此，我们可以假设Xo是一个没有失去普遍性的鞅。从现在起，我们假设假设假设6.1成立。局部平均costLemma 6.1。在假设6.1下，我们几乎可以确定Lim infε→0εζDβJε≥ lim-infε→0ZTIεtdt。证据我们引入了一个辅助成本函数：Jε=ZTΔεZ（t+Δε）∧TtrsD（Xεs）+lsQ（uεs）ds+ΔεXt<τεj≤（t+Δε）∧TεβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）dt。请注意，积分中的参数r、l、k、h不会冻结在t。

利用富比尼定理，我们得到了Jε=ZTsΔε{0<s<Δε}rsD（Xεs）+lsQ（uεs）ds+X0<τεj≤TτεjΔε{0<τεj<Δε}εβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）.亨塞≤εζDβ（Jε）-\'\'Jε）≤ ΔεIε+{τε=0}εβFkτεF（ξε）+εβPhτεP（ξε）, （6.4）式中，Iε由（6.1）给出，t=0。另一方面，我们有ztiεtdt=εζDβZTΔεZ（t+Δε）∧TtrtD（Xεs）+ltQ（uεs）ds+ΔεXt<τεj≤（t+Δε）∧TεβFktF（ξεj）+εβPhtP（ξεj）dt，其中参数在时间t处冻结。因此εζDβ′Jε-ZTIεtdt≤ M·w（r，l，k，h；Δε）·εζDβ′Jε∧eJε, （6.5）假设6.1中w为连续性模量，M为常数。注意我们有w（r，l，k，h；δ）→ 0+asδ→ 0+通过r、l、k、h的连续性。结合（6.4）和（6.5），它们的内在质量如下。使用前面的引理，我们可以将问题简化为局部问题的研究，如下所述。引理6.2（约化）。对于定理2.1的证明，只要证明lim infε就足够了→0E[Iεt]≥ E[它]。（6.6）证据。根据引理6.1，为了得到定理2.1，我们需要证明lim-infε→0ZTIεtdt≥pZTItdt。通过假设2.1和引理D.1，就足以证明lim infε→0E[yiεt]≥ E[Y It]，对于任何有界随机变量Y。最多可更改符号rt→ Y rt，中尉→ 是的，是的→ Y和kt→ Y kt（请注意，这是允许的，因为我们不要求对rt、lt、ht和kt进行调整），它需要显示（6.6）。6.2定理2.1的证明在第6.1节之后，它需要证明（6.6），其中Iε由（6.1）-（6.2）给出。特别是，我们可以假设supε>0E[Iεt]<∞. （6.7）结合[34,39]中的观点，我们首先考虑（eXε，ts）的经验职业测量。确定以下带有自然夹杂物的随机占用措施|εt=tεZTεδ{（eXε，ts，euε，ts）}ds∈ P（Rdx×Rdu），ρεt=tεX0<eτε，tj≤Tεδ{（eXε，teτε，tj-,eξεj）}∈ M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）→ M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}），其中E=E∪{∞} 是E的一点压缩。状态空间的这种压缩出现在[7]中。

另请参见推论4.1的证明，其中使用了状态空间的紧定位。请注意，对于“m”∈ M（E）我们有正则分解M（de）=M（de）+θδ∞,和m∈ M（E）和θ∈ R+。其次，我们定义：Ohm ×P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）→ R、 （ω，u，ρ）7→ZRdx×Rdurt（ω）D（x）+lt（ω）Q（u）u（dx×du）+ZRdx×Rdξ\\{0ξ}kt（ω）F（ξ）+ht（ω）P（ξ）ρ（dx×dξ），其中通过设置F将代价函数F和P扩展到Rdx×Rdξ\\{0ξ}(∞（x，ξ））=infξ∈Rdξ\\{0ξ}F（ξ）>0，P(∞（x，ξ））=0，（6.8）带∞（x，ξ）Rdx×Rdξ\\{0ξ}的紧致点。请注意，函数F和P仍然是紧空间上的l.s.c.，这是我们在下面需要的一个重要属性。此外，对于任何ρ=ρ+θρδ∞（x，ξ），我们有（ω，u，ρ）≥ ct（ω，u，ρ）。（6.9）现在我们有iεt=ct（μεt，ρεt），（6.10），我们可以写出（6.7）assupε>0E[ct（μεt，ρεt）]<∞. （6.11）第6.3节证明的下列引理是定理2.1证明的关键。引理6.3（极限的表征）。假设（6.11）成立，那么1。序列{（μεt，ρεt）}是紧的随机变量序列，其值为P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ），具有弱收敛的拓扑结构。特别是，{（μεt，ρεt）}在PP中相对紧凑Ohm×P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）, 具有稳定收敛的拓扑结构（见附录D）。让Qt∈ 聚丙烯Ohm ×P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）是{（μεt，ρεt）}的任何F-稳定极限，分解形式qt（dω，du，d′ρ）=P（dω）Qωt（du，d′ρ）。andS（a）=n（u，’ρ）∈ {Rdx}Rdx（ρ）ρ∞ρ∈ M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}），ZRdx×RduAaf（x，u）u（dx，du）+ZRdx×Rdξ\\{0ξ}Bf（x，ξ）ρ（dx，dξ）=0，F∈ C（Rdx）o，其中aab由（4.2）和（4.3）给出。

然后我们有P-几乎可以肯定，（u，\'-ρ）∈ S（at（ω）），Qωt-几乎可以肯定。通过引理6.3，我们得到了一个子序列（μεt，ρεt）→FQt∈ 聚丙烯P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）.把qt写成分解形式，我们有qt（dω，du，d′ρ）=P（dω）Qωt（du，d′ρ）。（6.12）和Qωt-几乎肯定（u，ρ）∈ S（at（ω））。（6.13）由于成本函数CTI是下半连续的，我们有lim infε→0E[Iεt]（6.10）=lim infε→0E[ct（μεt，ρεt）]（D.1）≥ EQt[ct（ω，u，ρ）]（6.9）≥ EQt[ct（ω，u，ρ）]（6.12）=ZOhmP（dω）ZP（Rx×Ru）×M（Rx×Rξ\\{0ξ}）ct（ω，u，ρ）Qωt（du，d′ρ）（6.13）=ZOhmP（dω）ZS（at（ω））ct（ω，u，ρ）Qωt（du，d′ρ）≥ZOhmP（dω）inf（u，ρ）∈S（at（ω））ct（ω，u，ρ）。最后，通过定义I，我们得到了lim infε→0E[Iεt]≥ 6.3引理的证明6.3首先我们证明了P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}中{（με，ρε）}的紧性。常用的方法是使用紧密度函数（见C节）。回想一下，代价函数F和P被（6.8）扩展到Rdx×Rdξ\\{0ξ}，使得c是低半连续的。此外，c是假设6.1下的紧度函数，见第c节或[13，第309页]。因此，如果（6.11）成立，随机测度{（με，ρε）}族是紧的。此外，根据命题D.1，我们有（μεt，ρεt）→FQt∈ PP（P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}），直到一个子序列，qt（dω，du，d′ρ）=P（dω）Qωt（du，d′ρ）。对于引理的其余部分，我们使用[34]和[39]中的参数组合。还记得AAF（x，u）=Xi，jaij吗ijf（x）+uTf（x），Bf（x，ξ）=f（x+ξ）- f（x）。为了f∈ C（Rdx），定义ψft（ω，u，ρ）：=ZRdx×RduAat（ω）f（x，u）u（dx×dx）+ZRdx×Rdξ\\{0ξ}Bf（x，ξ）ρ（dx，dξ），ρ=ρ+δρ∞.注意，自ρ以来，ψfti定义良好∈ M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）。然后我们声称等式[|ψft（ω，u，ρ）|]=limε→0E[|ψft（ω，μεt（ω），ρεt（ω））|]=0。（6.14）虽然ψf（ω，·，·）∈ C（P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ\\{0ξ}），它是无界的。（6.14）中的初始质量并不直接来自稳定收敛的定义。

然而，根据推论4.1，条件（4.14）成立，即存在β∈ （0，1）和θfn依赖于f的负实数，使得（Af）1/β≤ θf（1+CA），（Bf）1/β≤ θfCB。通过（6.11），我们推导出{ψft（ω，μεt，ρεt）}是一致可积的，并通过[25，定理2.16]得到（6.14）中的第一个等式。对于（6.14）中的第二个等式，我们将它的公式应用于f（eXε，tTε）（回想一下，动态of eXε，由（2.4）给出），并得到f（eXε，tTε）=f（eXε，t0+）+ZTεf（eXε，ts）qeaε，tsdfWε，ts+ZTεXijeaε，tij，sijf（eXε，ts）ds+ZTεXieuε，ti，s如果（eXε，ts）ds+X0<eτε，tj≤Tεf（eXε，teτε，tj-+eξεj）- f（eXε，teτε，tj-).结合με、ρε和ψft的定义，我们得到了[|ψft（ω，μεt（ω），ρεt（ω））|]≤TεE[|f（eXε，tTε）- f（eXε，t0+|]+TεEhZTεf（eXε，ts）qeaε，tsdfWε，tsi+TεE[ZTεXij | eaε，tij，s-eaε，tij，0|ijf（eXε，ts）ds]。根据假设2.2和6.1以及主导收敛，右侧的项收敛为零。因此（6.14）成立。通过定义Qω和富比尼定理，我们得到了EQ[|ψft（ω，u，ρ）|]=EP[EQω[|ψft（ω，u，ρ）|]=0。因此我们有P-a.e.-ω，EQω[|ψft（ω，u，ρ）|]=0。设D是C的可数稠密子集。SinceD是可数的。对于所有f，我们有P-a.e.-ω，EQω[|ψft（ω，u，ρ）|]=0∈ D.固定ω∈ Ohm \\ N财产所持有的财产。同样地，通过同样的论证，我们得到了Qω-a.e-（u，ρ）。，ψft（ω，u，ρ）=0∈ D

因为D在C中是稠密的，所以ψft（ω，u，ρ）=0代表f∈ C.7定理3.1重定标过程（eXε，ts）的证明由dexε给出，ts=ebε，tsds+qeaε，tsdfWε，ts+euε，tsds+eγε，ts+eγε，ts+eγεε，ts=γεt+ε2βs，eεεεε- εt）。奇异控制的经验占位度量由νεt=tεZTεδ{（eXε，ts，eγε，ts， eаε，ts）}d eаε，ts。而аε的定义与之前相同。确定成本功能ct：Ohm ×P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×） ×R+δ）→ R:（ω，u，\'ν）7→ZRdx×Rdu（rt（ω）D（x）+lt（ω）Q（u））u（dx×du）+ZRdx××R+δht（ω）P（γ）×ν（dx×dγ×dδ）。然后我们可以展示引理6.3的类似版本，并用（4.5）替换的算子证明定理3.1。关键成分是o功能性c是一种紧密性功能。o条件（4.14）适用于（4.4）-（4.5）给出的A和B。为了满足这两个性质，我们需要使用不同的算子B.8证明命题4.1-4.5。在本节中，我们证明命题4.1-4.5。首先，我们在Rd中提供了一个针对线性规划公式的验证参数。其次，我们给出了命题4.4证明的全部细节。其余案例中的证据完全相同，因此省略了。8.1 RDA:D中的验证定理→ C（Rdx×Rdu）和B:D→ C（Rdx×V），D=C（Rdx）。算符A由af（x，u）=Xijaij给出ijf（x）+xui如果（x），f∈ C（Rd），算子B由bf（x，ξ）=f（x+ξ）给出- f（x），如果V=Rdξ\\{0ξ}，且byBf（x，γ，δ）=（hγ，f（x）i，δ=0，δ-1.f（x+Δγ）- f（x）, δ>0，如果= ×R+δ。设CA:Rdx×Rdu→ R+和CB:Rdx×V→ R+是两个成本函数。我们考虑以下优化问题：I=inf（u，ρ）c（u，ρ）：=ZRdx×RduCA（x，u）u（dx，du）+ZRdx×VCB（x，v）ρ（dx，dv），（8.1）式中（u，ρ）∈ P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×V）满足ZRdx×RduAf（x，u）u（dx，du）+ZRdx×VBf（x，V）ρ（dx，dv）=0，F∈ C（Rdx）。（8.2）引理8.1（验证）。

让我们∈ C（Rdx）∩C（Rdx\\N），因此Aw是x的精确定义点/∈ N和Bw对于x有很好的定义∈ Rdx。假设1。对于每个（u，ρ）∈ P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×V）满足（8.2）和c（u，ρ）<∞, 我们有u（N×Rdu）=0.2。这里有∈ C（Rdx）使之（x，u）→ Aw（x，u），（x，u）∈ Rdx\\N×Rdu，Bwn（x，v）→ Bw（x，v），（十、五）∈ Rdx×V，存在θ∈ R+使得| Awn（x，u）|≤ θ（1+CA（x，u）），（x，u）∈ （Rdx\\N）×Rdu | Bwn（x，v）|≤ θCB（x，v），（十、五）∈ Rdx×V.3。存在一个常数IV∈ 是这样吗∈RduAw（x，u）+CA（x，u）≥ 四、 x∈ Rdx\\N，（8.3）infv∈VBw（x，v）+CB（x，v）≥ 0，x∈ Rdx。（8.4）然后我们有了我≥ 四、 如果存在（u）*, ρ*) 满足LP约束且aw（x，u）+CA（x，u）=IV，u*- a、 e.（8.5）Bw（x，v）+CB（x，v）=0，ρ*- a、 e.（8.6）那么我们有I=IV。此外，通过（u）获得最佳值*, ρ*) 我们称（w，IV）为线性规划问题的值函数。引理8.1的证明。设（u，ρ）为满足（8.2）和c（u，ρ）的任意一对∞. 我们有ZRdx×RduAw（x，u）u（dx，du）+ZRdx×VBw（x，v）ρ（dx，dv）=ZRdx×RduAwn（x，u）u（dx，du）+ZRdx×VBwn（x，v）ρ（dx，dv）=0。第一个术语定义得很好，因为Aw在任何地方都有定义。第二个等式源自第二个条件和支配收敛定理。

Hencec（u，ρ）=ZRdx×Rdu（CA（x，u）+Aw（x，u））u（dx，du）+ZRdx×V（CB（x，V）+Bw（x，V））ρ（dx，dv）≥ 四、 其中，最后一个不等式是由（8.3）-（8.4）引起的，当且仅当（8.5）-（8.6）满足时，等式成立。因此，如果我们可以从（8.5）-（8.6）中确定合适的值函数，就可以找到线性规划的显式解=-hw\'=-hw\'=hw\'=hw\'<0w\'<0h=2h=-2w\'（x）w（x）图1：常规和脉冲控制组合的值函数8。2验证命题4.4在本节中，我们提供了以下线性规划问题的显式解：I（a，r，l，k，h）=inf（u，ρ）ZRx×Ru（rx+lu）u（dx，du）+ZRx×rξ\\{0ξ}（k+h|ξ|）ρ（dx，dξ），（8.7）其中u∈ P（Rx×Ru）和ρ∈ M（Rx×Rξ\\{0ξ}）满足yzrx×Ruaf（x）+uf（x）u（dx，du）+ZRx×Rξ\\{0ξ}f（x+ξ）- f（x）ρ（dx，dξ）=0，（8.8）对于任何f∈ C（R）。下面的引理，其证明在附录中给出，以及定理8。1确定（8.7）-（8.8）的值函数（w，IV）的存在性。引理8.2（组合规则和脉冲控制的值函数）。存在U>ξ*> 0、IV>0和w∈ C（R）∩ C（R\\{U，U}）使得aw（x，U）*（x） ）+CA（x，u*（x） ）=IV，x∈ (-U、 U），（8.9）Bw（x，-sgn（x）ξ*) + CB（x，-sgn（x）ξ*) = 0，x∈ {-U、 U}，（8.10）其中*（x） 是由你定义的吗*（x） ：=Argminu∈RuAw（x，u）+CA（x，u）=-w（x）2l。（8.11）更准确地说，我们有（c.f.图1）w（x）=（rl）1/2x- 2al lnF（1-ι;;拉尔1/2x），|x |≤ U、 w（U）+h（|x|）- U） ，|x |>U，（8.12），其中f是Kummer对流超几何函数（见A节）andIV=ι√阿尔，为了一些ι∈ (0, 1). 此外，w满足以下条件SW（x）=w（x- sgn（x）ξ*) = sgn（x）h，x∈ {-U、 U}，（8.13）w（x）<0，x∈ {-U、 U}，（8.14）w（x）∈(-∞, -h） ,，-U<x<-U+ξ*,(-h、 h），-U+ξ*< x<U- ξ*,（h），∞), U- ξ*< x<U，（8.15）和w，ξ*, U和Iv持续依赖于参数（a、r、k、h）。备注8.1。

等式（8.9）和（8.10）基本上对应于（8.5）和（8.6）。间歇(-U、 U）称为连续区域。等式（8.13）是所谓的“平滑”条件，并保证w是一个C函数。方程（8.14）和（8.15）描述了w导数的增长，并将有助于定理8.1的证明。命题4.4是下列定理的直接结果。定理8.1（规则控制和脉冲控制相结合）。对于任何参数a、r、l、k>0和H≥ 0，我们有1。引理8.2中的对（w，IV）是引理8意义上的（8.7）-（8.8）的值函数。1.具体而言，（8.7）-（8.8）的最佳成本由I=IV.2给出。让p*（十）∈ C([-U、 U]）∩ C((-U、 U）\\{-U+ξ*, U- ξ*}) 解决问题美联社（x）- （u）*（x） p（x））=0，x∈ (-U、 U）\\{-U+ξ*, U- ξ*},p(-U） =p（U）=0，ap((-U） +）=p((-U+ξ*)-)) -a（p((-U+ξ*)+),ap（美国）-) = p（（U）- ξ*)+)) -a（p）（U- ξ*)-),汝-上（x）=1，（8.16）写入ρ*-, ρ*+∈ ρ的R+*-=美联社((-U） +），ρ*+= -ap（美国）-), （8.17）并回顾美国*由（8.11）给出。然后通过u获得（8.7）-（8.8）的最佳值*（dx，du）=p*（x） dx δu*（x） （du），ρ*（dx，dξ）=ρ*-δ(-U、 ξ*)+ ρ*+δ（U，-ξ*). （8.18）证据。1.考虑引理8.2中定义的函数。首先，我们证明引理8.1中的三个条件满足w.i）注意N={-U、 U}。对于满足LP约束的任何（u，ρ），我们证明了u（{x}×Ru）=0，十、∈ Rx。具体而言，u（N×Ru）=0。的确，让fn∈ C（Rx）bea测试功能序列，以便fn→{x} ，kfnk∞∨ kfnk∞→ 存在θ∈ R+使得| Afn（x，u）|≤ θ（1+CA（x，u）），|Bfn（x，ξ）|≤ θCB（x，ξ）十、∈ Rx，u∈ Ru，ξ∈ Rξ\\{0ξ}。例如，让我们∈ cw，其中φ是分段线性函数，因此φ（±∞) =φ(-1） =~n（1）=~n（3）=~n（5）=0，~n（0）=~n（4）=1和~n（2）=-2和takefn（z）=nа（n（z- x） ）。

因为c（u，ρ）<∞, 我们通过控制收敛定理u（{x}×Ru）=limnZAfn（z，u）u（dz×du）+ZBfn（z，ξ）ρ（dz×dξ）=0。ii）让∈ Cbe一系列指示函数，使得|x |n（x）=1≤ n和supnk~nnkC:=k~nnk∞∨ k k nk∞∨ k k nk∞< ∞.设wn=w~nn，则wn在{-U、 U}并且具有紧凑的支持。对于每n，Wn也满足LP约束Shawndu+ZBwndρ=0。实际上，设δ为任何卷积核，且δ：=wn* φδ. 因此，δ满足lp约束。此外，Awn，δ→ x的雨篷/∈ {-U、 U}，Bwn，δ→ 对于任何（x，u）和supδkwn，δkC<kwnkC<∞. 通过主导收敛，WN满足LP约束。最后，直接计算表明，对于某些常数θ和θ，|Awn |≤ θk|nkC（|w |+|w |+|w |）≤ θ（1+CA），|Bwn |≤ 2k~nnk∞|wn|≤ θCB。第二个条件是满足的。iii）通过（8.9）和（8.14），我们有Aw+CA≥ 0代表x/∈ {-U、 U}。通过（8.10）-（8.15）和对[U，U]之外的w的定义，我们得到了Bw+CB≥ 通过引理8.1，我们得出结论：I=IV.2。我们需要证明这一点*和ρ*满足LP约束。假设*和ρ*由（8.18）给出，然后通过部分积分，如果p*（x） 是（8.16）的解。很容易看出，后者承认了一个独特的解决方案。这里我们收集了Kummer对流超几何函数的一些性质，这些性质有助于确定一维组合控制问题的值函数的存在性。回想一下FIS定义的asF（a、b、z）=∞Xk=0（a）k（b）kzkk！，带有（a）K波克哈默符号。引理A.1。我们有以下属性。1.函数fad提供以下积分表示f（a，b，z）=Γ（b）Γ（b）- a） Γ（a）泽兹塔-1(1 - t） b-A.-1dt。它是a和z的整函数和b.2的亚纯函数。我们有zF（a，b，z）=abF（a+1，b+1，z），b（a，z）=∞Xk=0（a）k（b）kzkk！K-1Xp=0p+a.3。

我们有（a+1）zF（a+2，b+2，z）+（b+1）（b）- z） F（a+1，b+1，z）- b（b+1）F（a，b，z）=0.4。我们有f（a，b，z）=Γ（a）Γ（b）- a） eiπaz-a（1+O（|z |）+Γ（b）Γ（a）ezza-b（1+O（|z |）），作为z→ ∞.5.考虑韦伯微分方程W（x）- （x+θ）w（x）=0。（A.1）该方程的奇偶解分别由ew（x；θ）=e给出-xF（θ+，x），（A.2）`w（x；θ）=xe-xF（θ+，x）。（A.3）证据。见[1,3]。B引理的证明8.2我们首先在延拓区域寻找w(-U、 U）。定义（变量的变化来自[45，第260页]）w（x）：=-2al-ln-ew（xα；-ι） ，α=a（r）-1l）1/2，ι=IV（arl）1/2，其中ew是韦伯微分方程（A.1）的奇解（A.2）。然后，我们满足以下条件ODEaw（x）-4l（w（x））+rx=IV，正好是（8.9）。因此我们推测，在延拓区域中的解(-U、 U）由w（x）给出-2al lnE-x/αF（1）- ι、 ，2αx）= （rl）1/2x- 2al lnF（1）- ι、 ，2αx）.现在我们证明存在合适的值U，ξ（U）和ι，使得0≤ U+ξ（U）≤ U、 ι∈ （0,1）和条件（8.10）-（8.15）均满足。Leth（x；ι）：=Wx=2（rl）1/2（1- (1 - ι） g（2αx；ι））x，其中g（z；ι）=F（1-ι+1，+1，z）F（1-ι、 ，z）。我们有下面的引理。引理。函数g（z；ι）满足函数g（z；ι）→（1，z）→ 0+,1-ι、 z→ +∞,andg（z；ι）>0，Z∈ [0, +∞).证据ι的渐近行为。为了证明g是递增的，我们使用引理A.1中的性质2和3，得到g（z）=g（z）1.-1.- ιg（z）+2z1.- g（z）.注意g（0）>0，所以在x=0附近g>1。因为g（z）>0表示g（z）=1，而g（z）<0表示g（z）=1-ι、 g（z）不能离开带[1,1]-ι].我们现在陈述第二个引理。引理B.2。函数h（x；ι）满足以下性质。1.为了ι∈ （0，1），我们有（x；ι）x→（2（rl）1/2ι，x→ 0+,-2（rl）1/2，x→ +∞.设0<\'xι<∞ 是h（x；ι）的第一个零。

我们有h（x；ι）=（2（rl）1/2ι>0，x=0，-2（rl）1/22（1- ι） \'xιg（\'zι）<0，x=\'xι，其中\'zι=2α\'xι和h（x；ι）<0，x∈ [0，\'xι].2。为了x∈ (0, ∞), 我们有ιh（x；ι）>0和h（x；ι）→ 2（rl）1/2x，ι→ 1.- .我们有‘xι=O（ι1/2），ι→ 0+和hencemaxx∈[0，\'xι]h（x；ι）→ 0, ι → 0 + .证据固定的ι。h的渐近行为遵循引理B.1。第二个属性是明确的，因为h（x；ι）=2（rl）1/2- 2(1 - ι） g（z）z+1.- (1 - ι） g（z）= 2（rl）1/2(-2(1 - ι） g（z）z）+h（x）x，其中z=2αx。最后，我们得到h（x；ι）=ddzh（z；ι）z（x）=-2（rl）1/2（1- ι） （3g（z）+2g（z）z（x）.0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0 1.0 2.0 3.0xh（x；物联网）0+<--- 极少量---> 1.-y=2*sqrt（rl）*iota*x图2:h（x；ι）的定性行为此外，我们有3g（z）+2g（z）z=3g（z）+2zg（z）1.- (1 - ι） g（z）+2zg（z）- 1.- zg（z）= 2zg（z）1.- (1 - ι） g（z）+z（g（z）- 1） +2g（z）对于x来说是严格正的∈ [0，\'xι]。对于固定x.h的极限为ι→ 1.- 从f（a，b，z）在a中是整的这一事实出发。现在我们证明h在ι中是单调的。让G:=ι1F，我们有ιh（x；ι）=-2alιxlnF（1）- ι;;2αx）=-2al十、ιlnF（1）- ι;;2αx）=alxGF（1- ι;;2αx）=alz（x）FzG- GzFF（1- ι;; z） ，z（x）=2αx。这足以证明最后一项是正的。使用和G的序列表示（见引理A.1），writeF=∞Xk=0fkzk，G=∞Xk=0βkfkzk，其中βk=k-1Xp=0p+a，a=1- ι.我们得到了xG- GxF=∞Xi=0fizi∞Xj=0（j+1）βj+1fj+1zj-∞Xi=0（i+1）fi+1zi∞Xj=0βjfjzj=∞Xk=0Xi+j=kfi（j+1）βj+1fj+1zk-∞Xk=0Xi+j=k（i+1）fi+1βjfjzk。然后Zk的系数由xi+j=kfi（j+1）βj+1fj+1给出-Xi+j=k（i+1）fi+1βjfj=Xi+j=k（j+1）（βj+1）- βi）fifj+1=X1≤i<j+1≤K（j+1）（βj+1）- βi）fifj+1- i（βi）- βj+1）fj+1fi+Xj+1=k+1（···）+Xi=j+1（···）=X1≤i<j+1≤k（j+1）-i） （βj+1）- βi）fifj+1+Xj+1=k+1（···）+Xi=j+1（·····）。这一项是正的，因为βkis在k中增加ιh>0。

因此，固定x的h（x；ι）在ι中增加∈ R+。根据g和h之间的关系，\'zι是1的第一个解- (1 - ι） g（z）=0，z>0。此外，我们有g（z）=1+（1）-1.- ι） z+o（z），z→ 0 + .然后在ι上，g（z）从下到[0，z]上的1+z是一致的，因此ιzι≤3ι1 - ι=O（ι），ι→ 0 + .最后，我们有max[0，\'xι]h（x；ι）≤ 2（rl）1/2ιxι→ 0, ι → 0 + .B.1提案。对于任何参数r、l、h>0和k≥ 0，存在ι∈ （0,1）和0≤U+ξ≤ U使得zuu+ξh（x；ι）dx=k- hξ，h（U；ι）=h，h（U+ξ；ι）=h，h（x；ι）∈（（0，h），0≤ 十、≤ U+ξ，（h，∞), U+ξ≤ 十、≤ U、 h（x；ι）<0,0≤ 十、≤ 此外，（ι，ξ，U）持续依赖于（r，l，k，h）。证据存在让k>0。因为h（x；ι）在ι和h（x；ι）中是单调的→ 2（rl）1/2x asι→ 1.-,存在ι=ι（h）≥ 0使得（ι，1）={ι∈ （0，1），在[0，\'xι]上存在两个解Uι+ξ和Uι我们有h（Uι+ξ；ι）>0，h（Uι）<0，所以根据隐函数定理，Uι和Uι+ξ连续依赖于ι。definek（ι）=ZUιUι+ξιh（x；ι）dx。那么K在ι和limι中是连续的→ιK（ι）=0，limι→1.-K（ι）=∞.因此存在ι（h，k）∈ （ι（h），1）使得K（ι（h，K））=K。h的剩余性质是可以验证的。如果K=0，则正好存在一个ι（h）∈ （0，1）使得h（x；ι）的最大值是h，并且由Uι获得，使得h（Uι；ι）=0。由于h（Uι；ι）<0，Uι通过隐函数定理连续依赖于ι。持续依赖。由于ξ和U持续依赖于ι，因此必须证明ι持续依赖于参数a，r，h，k，l。要看到这一点，请注意ι=ι（a，l，r，h，k）是由k（a，r，l，k，h）=k确定的。但是，我们有ιK（ι；a，r，l，K，h）>0。因此，通过隐函数定理，ι连续依赖于参数。引理8.2的证明。将命题B.1中的函数w扩展到R byw（x）=（w（|x |），x |≤ U、 w（U）+h（|x|）- U） 然后（8.9）-（8.14）保持。

到（8.10）和（8.13），我们有w∈ C（R）∩ C（R\\{U，U}）。C.有关以下结果的更多详细信息，请参见[13，附录A.3]和[6]。定义C.1。度量空间g：（E，d）上的可测实值函数g→ R∪ {∞}是一个紧密性函数if1。infx∈例如（x）>-∞.2.M<∞, 水平集{x∈ E | g（x）≤ M} 是（E，d）的一个相对紧凑的子集。引理C.1。如果g是抛光空间E上的紧度函数，则为1。函数G（u）=REg（x）u（dx）是P（E）上的紧度函数。如果加上g≥ δ其中δ是一个正常数，E是紧的，那么G（u）=REg（x）u（dx）是M（E）上的紧度函数。证据注意M（E）是一个度量空间，因此序列紧性等价于相对紧性（参见[13，第303页]中的度量）。关于第一个属性，请参见[13，第309页]。对于第二个性质，我们考虑水平集{u∈ M（E）| G（u）≤ M} 设{un}为水平集中的任意序列。通过[6，定理8.6.2]，足以证明1。非负实数的序列un（E）是有界的。2.家庭关系紧密。自从g≥ δ、 我们有u（E）≤ G（u）/δ≤ M/δ。因此，第一个条件是正确的。另一方面，对于任何ε>0，我们考虑un/un（E）∈ P（E）。然后G（un/un（E））≤ M/un（E）≤ M/ε，如果un（E）>ε。由于G是紧函数，我们推断{un |un（E）>ε}是紧函数。因此{un}是紧的，第二个条件如下。D概率收敛，稳定收敛集(Ohm, F） 是可测空间和（E，E）波兰空间，其中E是E定义的Borel代数Ohm = Ohm ×E，F=F E.让Bmc(Ohm) 是有界可测函数g的集合，使得z 7→ g（ω，z）是任意ω的连续应用∈ Ohm. 让Mmc(Ohm) 成为一套明确的积极措施(Ohm, F） ，配备最弱的拓扑结构，使得u7→ZOhmg（ω，z）u（dω，dz）对于任何g都是连续的∈ Bmc(Ohm).我们将概率测度P固定在(Ohm, F） 。

让PP(Ohm ×E，F （E） Mmc(Ohm) 是一组关于Ohm 打开边缘POhm, 配备MMC的感应拓扑(Ohm). 请注意，PP(Ohm ×E，F E） 是Mmc的闭子集(Ohm). 对于概率空间上定义的任何随机变量(Ohm, F、 P），我们定义了qz（dω，dz）：=P（dω） δZ（ω）（dz）∈ 聚丙烯(Ohm ×E，F E） 。定义D.1（稳定收敛）。设{Zε，ε>0}为定义在同一概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）具有波兰空间（E，E）中的值。我们说Zε稳定地收敛于Q∈ 聚丙烯(Ohm ×E，F E） ，写为Zε→稳定q，如果QZε→ Mmc中的Q(Ohm).我们在证明中使用了以下性质。提案D.1。设{Zε，ε>0}为概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）具有（E，E）中的值。1。我们有Zε→stableQ∈ 聚丙烯(Ohm ×E，F E） 当且仅当ifE[yf（Zε）]→ 等式[Y f（z）]，对于所有有界随机变量Y on(Ohm, F） 和所有有界连续函数F∈Cb（E，R）。假设Zε→stableQ∈ 聚丙烯(Ohm ×E，F E） 。Thenlim infε→0E[g（Zε）]≥ 方程[g（ω，z）]，（D.1）适用于E.3上具有下半连续截面g（ω，·）的从下方有界的任何g。设Z是一个随机变量，定义如下：(Ohm, F、 P）。我们有zε→pZ<=> Zε→stableQZ。4.PP中的序列{QZε，ε>0}相对紧凑(Ohm ×E，F E） 当且仅当{Zε，ε>0}作为P（E）的子集是相对紧的。特别是，如果E是紧的，那么PP(Ohm ×E，F E） 它很紧凑。证据1.这是[25，命题2.4]的直接结果。这是Portmanteau定理的推广，见[25，命题2.11]。这个=> 言外之意显而易见。让我们证明另一个。考虑F（ω，z）=z（ω）- z|∧ 1.一方面，我们有E[F（ω，Zε）]→ 定义为EQZ[F（ω，z）]=0。另一方面，对于任何δ∈ （0，1）我们有p[| Zε- Z |>δ]≤ E[F（ω，Zε）>δ]≤E[F（ω，Zε）]δ，通过马尔可夫不等式。我们推导出Zε→pZ。4.参见[25，定理3.8和推论3.9]。引理D.1。

设{Z，Zε，ε>0}为概率空间上的正随机变量(Ohm, F、 P）。如果，对于定义在(Ohm, F、 P）与cY≤ Y≤ 其中，cY，cY是正常数，取决于Y，lim-infε→0E[Y Zε]≥ E[Y Z]，然后lim infε→0Zε≥pZ。证据设δ>0为任意实数，在不损失一般性的情况下，设{Zε}为P[Zε>Z的极小序列- δ] asε→ 0.考虑到单点压缩+∪{∞}, 我们可以假设Zε稳定地收敛到Q∈ P(Ohm ×（R）+∪ {∞})) 有了规范的实现，我们就有了YZ≥ lim supε→0E[Y Zε]≥ E[Y Z]，其中第一个不等式来自Z 7→ z是R上的u.s.c+∪ {∞} 和[25，Prop2.11]。由于Y是任意的，我们得出结论≥ Z.然后通过Zε到Z的稳定收敛，我们得到P[Zε>Z- δ] → P[\'Z>Z- δ] = 1.参考文献[1]M.Abramowitz和I.A.Stegun，《数学函数手册》，纽约多佛，1972年。[2] A.Altarovici，J.Muhle Karbe和H.M.Soner，《固定交易成本、金融和随机性的渐近性》（2013年）。[3] L.U.Ancarani和G.Gasaneo，《关于参数a或b的任意阶反超几何函数F（a，b，z）的导数》，数学物理杂志（2008年）。[4] P.Bank、M.H.Soner和M.Voss，利用瞬时价格影响进行套期保值。预印本，2015年。[5] I.Ben Ari和R.G.Pinsky，《边界随机跳跃的微分遍历行为，随机过程及其应用》，119（2009），第864-881页。[6] V.I.博加乔夫，《测量理论》，第二卷，斯普林格科学与商业媒体，2007年。[7] V.S.Borkar和M.K.Ghosh，《多维差异的遍历控制I：存在结果》，暹罗控制与优化杂志，26（1988），第112-126页。[8] A.Budhiraja和A.P.Ghosh，《受控随机网络的离散近似：值函数的渐近界》，应用概率年鉴，16（2006），pp。

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