最优跟踪的渐近下界：一个线性规划

2022-5-9 07:28:00

最优跟踪的渐近下界：线性规划方法Jiatu Cai，Mathieu Rosenbaud和Peter TankovLaboratoroire de Probabilit\'es et Mod\'eles Al\'Eatories，巴黎迪德罗大学（巴黎7）Laboratoroire de Probabilit\'es et Mod\'eles Al\'Eatories，玛丽和皮埃尔·居里大学（巴黎6）摘要我们考虑跟踪一个动态由连续半鞅建模的目标的问题。目标是将偏离目标和跟踪效果降至最低。我们建立了这个问题的渐近下界的存在性，这取决于成本结构。这些下界可能与布朗运动的时间平均控制有关，这是一个确定性线性规划问题。本文提供了一个全面的示例列表，其中包含下限的显式表达式。关键词：最优跟踪，渐近下界，占用测度，线性规划，奇异控制，脉冲控制，正则控制。MSC2010:93E201简介我们考虑跟踪动态（Xot）由过滤概率空间上定义的连续半鞅建模(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）中的值ot=btdt+√atdWt，Xo= 0.这里，（Wt）是d维布朗运动，（bt），（at）是可预测的过程，其值分别为Rd和Sd+d×d对称正定义矩阵集。代理o坦德调整她的位置以跟随Xot、然而，她必须为职位调整支付一定的干预费用。目标是保持接近目标Xot同时尽量减少跟踪效果。

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2022-5-9 07:28:03

这个问题在各种情况下都会自然而然地出现，比如期权对冲策略的离散化[14,15,50]、指数基金的管理[31,46]、汇率的控制[11,43]、交易成本下的投资组合选择[2,29,47,51]、市场影响下的交易[4,40,42]或非流动性成本[44,49]。更精确地说，设（Yψt）是由控制ψ确定的代理的位置，Yψt∈ Rd，设（Xt）为代理与目标（X）的偏差ot），因此，text=-十、ot+Yψt.（1.1）设H（X）为偏离目标的惩罚函数，H（ψ）为控制ψ在有限视界t内产生的成本。这样，跟踪问题就可以用sinfψ来表示∈AJ（ψ），J（ψ）=H（X）+H（ψ），（1.2），其中A是容许策略集。正如文献中通常所做的那样（例如，参见[30,41]），我们考虑了一个惩罚H（X），用于偏离加法formH（X）=ZRTD（Xt）dt的目标，其中（rt）是一个随机加权过程，D（X）是一个确定性函数。例如，我们可以使用D（x）=hx，∑Dxi，其中∑Dis正定义和h·，·i是Rd中的内积。另一方面，根据成本的性质，代理可以随时控制自己的速度，也可以瞬间跳向目标。控制ψ和代价泛函H（ψ）属于以下类别之一：1。脉冲控制。每个行动都有一个固定的成本组成部分，因此代理必须以离散的方式进行交互。A类容许控制包含所有序列{（τj，ξj），j∈ N*} 式中{τj，j∈ N*} 是一个严格递增的停止时间序列，表示跳跃时间和满足limj→∞τj=+∞, 对于每个j∈ N*, ξj∈ RDI是一个Fτj-可测的随机向量，代表第j跳的大小。

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nandehutu2022

2022-5-9 07:28:06

agent的位置由yt=X0<τj给出≤tξjand累积成本由h（ψ）=X0<τj给出≤TkτjF（ξj），其中（kt）是一个随机权重过程，F（ξ）>0是大小ξ6=0的跳跃成本。如果我们取kt=1，F（ξ）=Pdi=1{ξi6=0}，其中ξi是ξ的第i分量，那么H（ψ）表示在时间间隔[0，T]内每个分量上的作用总数，参见[14，15]。如果F（ξ）=Pdi=1{ξi6=0}+Pdi=1Pi |ξi |其中Pi≥ 0，我们说成本有固定成分和比例成分。2.奇异控制。如果成本与跳跃的大小成正比，则也允许存在有限的不均匀位移，并且通过有界变化的过程对（Yt）进行建模是很自然的。在这种情况下，A级可容许控制包括所有耦合（γ，φ），其中φ是一个渐进可测量的递增过程，且φ为0-= 0表示干预的累积量，γ是一个逐渐可测量的过程，γt∈ := {n∈ 对于所有t，Rd | Pdi=1 | ni |=1}≥ 0，表示控制力在每个方向上的分布。换句话说，ηt=Pdi=1kYikt，其中k·k表示一个过程的绝对变化，γ是YitWith相对于ρt的Radon-Nikodym导数。试剂的位置由yt=Ztγsd~ns给出，相应的成本通常表示为（例如参见[29,51]）H（ψ）=ZThtP（γt）d~nt，其中（ht）是一个随机加权过程，我们取（例如）P（γ）=hP，|γ|i和P∈Rd+和|γ|=（|γ|，···，|γd·）T.向量P=（P，···，Pd）T表示每个方向的比例成本系数。3.定期控制。在大多数情况下，过程（Yt）必须是绝对连续的，比如[42,49]等等。

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2022-5-9 07:28:09

在这种情况下，可容许控制的Aof类包含所有渐进可测可积过程u，其值在Rd中，代表代理的速度，代理的位置由YT=Ztusds给出，成本函数isH（ψ）=ZTltQ（ut）dt，其中（lt）是一个随机权重过程，例如，Q（u）=hu hu，∑Qui带有∑qa正定义矩阵。与控制变量为（γt）和（φt）的奇异控制情况相比，这里我们优化了（ut）。联合控制。代理可能有几种类型的控件可用。在这种情况下，ψ=（ψ，…，ψn），其中对于每个i，ψi延伸到前面介绍的类之一。例如，在常规控制和脉冲控制相结合的情况下（见[43]），代理的位置由yt=X0<τj给出≤tξj+ztuds，而成本函数由h（ψ）=X0<τj给出≤TkτjF（ξj）+ZTltQ（ut）dt。同样，可以考虑其他控件组合。问题（1.1）-（1.2）很少有明确的解决方案。在本文中，我们提出了一个跟踪成本很小的渐近框架，并在这种情况下导出了（1.1）-（1.2）的下界。更准确地说，我们引入了一个趋向于零的参数ε，并考虑了一个代价函数族Hε（ψ）。例如，对于某些常数βψ，我们可以用Hε（ψ）=εβψH（ψ），但成本函数的不同分量也可以在不同的水平上与ε成比例。我们定义了控制问题xεt=-十、ot+Yψεt，（1.1-ε）和目标函数infψ∈AJε（ψε），Jε（ψε）=H（Xε）+Hε（ψε）。（1.2-ε）此外，我们假设函数D，Q，F，P具有齐性。本文的主要结果是在各种条件下，Jε与常参数布朗运动的时间平均控制问题之间的精确渐近关系。

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mingdashike22

2022-5-9 07:28:12

让我们回顾一下常规控制和脉冲控制相结合的情况下的主要结果（注意，第3节考虑了涉及奇异控制的情况）。在这种情况下，受控布朗运动的动力学由xs给出=√aWs+Zsuνdν+X0<τj≤sξj（1.1-局部），时间平均控制问题可以用aseI（a，r，l，k）=inf（τj，ξj，u）limS表示→∞经济特区rD（Xs）+lQ（美国）ds+kX0<τj≤SF（ξj）i.（1.2-局部）在我们感兴趣的一般性水平上，我们需要考虑上述控制问题的一个放松公式，作为测度空间上的线性规划问题。在[35]之后，我们介绍了占领度量ut（H）=tEZtH（Xs，us）ds，H∈ B（Rd×Rd），ρt（H）=tEX0<τj≤tH（Xs）-, ξj），H∈ B（Rd×Rd）。如果过程X和控制装置处于静止状态，则这些措施不取决于时间和时间界限→∞经济特区rD（Xs）+lQ（美国）ds+kX0<τj≤SF（ξj）i=ZRd×Rd（Rd（x）+lQ（u））u（dx×du）+ZRd×RdkF（ξ）ρ（dx×dξ）。另一方面，根据o的公式，对于任何f∈ C、 f（Xt）=f（X）+√aZtf（Xs）dWs+ZtAf（Xs，us）ds+X0<τj≤tBf（Xτj）-, ξj），（1.3）式中f（x，u）=Xi，jaijijf（x）+hu，f（x）i，Bf（x，ξ）=f（x+ξ）- f（x）。考虑（1.3）中的期望，并再次假设控制的平稳性，我们发现在适当的可积条件下，度量u和ρ满足约束条件TZRD×RdAf（x，u）u（dx×du）+ZRd×RdBf（x，ξ）ρ（dx×dξ）=0。（1.4）因此，布朗运动（1.1-局部）-（1.2-局部）的时间平均控制问题与计算（a，r，l，k）=infu，ρZRd×Rd（Rd（x）+lQ（u））u（dx×du）+ZRd×RdkF（ξ）ρ（dx×dξ）的问题密切相关，其中u是概率测度，ρ是满足约束（1.4）的有限正测度。在第4节中，我们将看到，如果我们将布朗运动的最优控制问题描述为一个可控的鞅问题，那么这个刻画本质上等价于（1.1-局部）（1.2-局部）。

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2022-5-9 07:28:16

在综合考虑常规控制和脉冲控制的情况下，我们的主要结果如下。主要结果是，常规控制和脉冲控制相结合。存在β*> 0由成本结构手（Hε）ε>0明确确定，使得对于所有δ>0和任何允许策略序列{ψε∈ A、 ε>0}，我们有limε→0+Phεβ*Jε（ψε）≥ZTItdt- δi=1，（1.6）其中It=I（at，rt，kt，lt）是布朗运动（1.1-局部）-（1.2-局部）的时间平均控制问题（1.5）的线性规划公式（1.5）的最优成本，参数在时间t冻结。因此，原始问题（1.1）-（1.2）简化为局部问题（1.1-局部）-（1.2-局部），因为目标的动力学简化为局部问题（1.1-局部）一个布朗运动，代价参数变为常数。在许多实际重要的情况下（见示例4.3-4.7），我们能够显式求解（1.1-局部）-（1.2-局部），并证明时间平均控制问题的两个公式是等价的，因此I=eI。此外，在即将发表的一篇论文中，我们证明了对于（1.1-局部）-（1.2-局部）允许显式解的例子，下界是紧的（见备注3.1）。我们的结果使我们能够重新审视[14,15]中的享乐策略离散化的渐近下界。在这些论文中，下界是通过使用微妙的不等式推导出来的。在这里，我们通过布朗运动的时间平均控制问题，可以简单地解释这些界限。局部控制问题（1.1-局部）-（1.2-局部）也出现在交易成本下效用最大化的研究中，参见[2,42,47,51]。这并不奇怪，因为一开始，这些问题和跟踪问题基本相同，见第5节。

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2022-5-9 07:28:19

在上述参考文献中，作者推导出了与值函数的一阶校正相关的偏微分方程，这是与布朗运动的时间平均控制相关的HJB方程。受[34]和[39]的启发，我们的方法基于经验职业指标的弱收敛性，与基于偏微分方程的方法非常不同，使我们能够处理更一般的情况。与[34]相反，下界在期望下成立，我们得到了路径下界。与[39]相比，我们能够处理目标的脉冲控制和一般动力学。论文的结构如下。在第二节中，我们介绍了我们的渐近框架，并试探性地建立了正则控制和脉冲控制相结合情况下的下界。第3节将讨论各种扩展。在第4节中，我们使用放松鞅公式为布朗运动的时间平均控制提供了一个精确的定义，并收集了一维显式解的完整列表。第5节将效用最大化与小市场摩擦联系起来，第6、7和8节给出了证明。符号对于一个完整的、可分离的度量空间S，我们定义了S上的C（S）连续函数集，Cb（S）S上的有界连续函数集，M（S）S和P（S）上的有限非负Borel测度集S上的概率测度集。集合M（S）和P（S）具有弱收敛的拓扑结构。我们定义了S×[0]上的非负Borel测度集，∞) 使得Γ（S×[0，t]）<∞. 表示Γt对S×[0，t]的限制。我们使用Rdx、rdu和Rdξ来表示变量x、u和ξ对应的状态空间。

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2022-5-9 07:28:22

最后，C（Rd）表示一组具有紧凑支撑的二次可微分实函数Rd，配备了normkfkC=kfk∞+dXi=1k如果∞+dXi，j=1kijfk∞.2常规控制和脉冲控制相结合的跟踪本节重点讨论常规控制和脉冲控制相结合的跟踪问题，而不是直接给出一般结果，这将导致冗长的演示。这使我们能够阐明我们的关键观点。第3节讨论了其他情况，如奇异控制。在规则控制和脉冲控制相结合的情况下，跟踪策略（u，τ，ξ）由一个渐进可测过程u=（ut）t给出≥0的值为Rd，且（τ，ξ）={（τj，ξj），j∈ N*},（τj）是一个增加的停止时间序列，（ξj）是一个Fτj-可测量的随机变量序列，其值在Rd中。过程（ut）代表代理的速度。停止时间τj表示第j跳向目标的时间，ξj表示跳转的大小。通过遵循策略（u，τ，ξ）获得的跟踪误差由xt=-十、ot+zts+X0<τj≤tξj.在任何时候，代理人都要为保持速度而支付费用，每次跳跃ξjincurs都是正成本。我们对以下类型的成本函数lj（u，τ，ξ）=ZT感兴趣rtD（Xt）+lotQ（ut）dt+Xj:0<τj≤TKoτjF（ξj）+hoτjP（ξj）,T在哪里∈ R+和（rt），（lot），（k）ot）和（h）ot）都是随机权重过程。

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2022-5-9 07:28:27

代价函数D，Q，F，P是确定性函数，对于任何ε>0和ζD>0，Q（εu）=εζQQ（u），F（εξ）=εζFF（ξ），P（εξ）=εζPP（ξ），（2.1），ζQ>1，ζF=0，ζP=1。注意，这里我们通过引入两个函数F和P略微扩展了上一节的设置，这两个函数通常分别代表固定成本和比例成本。在本文中，我们基本上考虑了以下情况：d（x）=hx，∑Dxi，Q（u）=hu，∑Qui，F（ξ）=Dxi=1Fi{ξi6=0}，P（ξ）=Dxi=1Pi |ξi |，带Fi，Pi∈ R+使得minifi>0，（2.2）和∑D，∑Q∈ Sd+。注意，在这种情况下，我们有ζD=ζQ=2.2.1渐近框架。我们现在解释成本很小的渐近设置，并提供主要结果的启发式证明。我们假设存在ε>0和βQ，βF，βP>0，使得lot=εβQlt，kot=εβFkt，hot=εβPht。（2.3）然后，渐近框架包括考虑由ε表示的优化问题序列→ 0inf（uε，τε，ξε）∈AJε（uε，τε，ξε），其中jε（uε，τε，ξε）=ZTrtD（Xεt）+εβQltQ（uεt）dt+Xj:0<τεj≤TεβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）,andXεt=-十、ot+Ztuεsds+Xj:0<τεj≤tξεj.关键观察结果是，在这种设置下，跟踪问题可以分解为一系列局部问题。更精确地说，设{tεk=kΔε，k=0，1，····，kε}是区间[0，t]与Δε的一个划分→ 0为ε→ 0

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mingdashike22

2022-5-9 07:28:30

然后我们可以写出ejε（uε，τε，ξε）=Kε-1Xk=0Ztεk+ΔεtεkrtD（Xεt）+εβQltQ（uεt）dt+Xj:tεk<τεj≤tεk+ΔεεβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）=Kε-1Xk=0ΔεZtεk+ΔεtεkrtD（Xεt）+εβQltQ（uεt）dt+Xj:tεk<τεj≤tεk+ΔεεβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）（tεk+1）- tεk）=kε-1Xk=0jεtεk（tεk+1- tεk），其中jεtεk=ΔεZtεk+ΔεtεkrtD（Xεt）+εβQltQ（uεt）dt+Xj:tεk<τεj≤tεk+ΔεεβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）.当ε趋于零时，我们近似有jε（uε，τε，ξε）\'ZTjεtdt。因此，我们研究了jεtasε→ 这与布朗运动的时间平均控制问题密切相关。要看到这一点，请考虑以下对地平线上的Xε（t，t+Δε）进行重新缩放：eXε，ts=εβXεt+εαβs，s∈ （0，Tε），其中Tε=ε-αβδε，α=2和β>0有待确定（此处α=2与布朗运动的标度性质有关）。我们用上标t表示标度系统响应于视界（t，t+Δε）。然后，xε的动力学由[48，命题V.1.5]，eXε，ts=eXε，t+Zsebε，tνdν+Zsqeaε，tνdfWε，tν+Zseuε，tνdν+X0<eτε，tj给出≤seξεj，其中ebε，ts=-ε(α-1） βbt+εαβs，eaε，ts=at+εαβs，fWε，ts=-εβ（Wt+εαβs）- Wt），andeuε，ts=ε（α-1） βuεt+εαβs，eξεj=εβξεj，eτε，tj=εαβ（τεj- （t）∨ 0.注意（fWε，ts）是一个关于fε的布朗运动，ts=Ft+εαβs。稍微滥用符号，我们写出了dexε，ts=ebε，tsds+qeaε，tsdfWε，ts+euε，tsds+d（X0<eτε，tj）≤seξεj），s∈ （0，Tε）。

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2022-5-9 07:28:34

（2.4）利用成本函数的齐性性质（2.1），我们得到jεt=tεZTεεβζDrt+εαβsD（eXε，ts）+εβQ-(α-1） ζQβlt+εαβsQ（euε，ts）ds+X0<eτε，tj≤TεεβF-(α-ζF）βkt+εαβeτε，tjF（eξεj）+εβP-(α-ζP）βht+εαβeτε，tjP（eξεj）\'TεZTεεβζDrtD（eXε，ts）+εβQ-(α-1） ζQβltQ（euε，ts）ds+X0<eτε，tj≤TεεβF-(α-ζF）βktF（eξεj）+εβP-(α-ζP）βhtP（eξεj）.第二个近似值可以通过成本系数rt、lt、KT和ht的连续性进行调整。现在，如果存在β>0，那么βζD=βQ- (α - 1） ζQβ=βF- (α - ζF）β=βP- (α - ζP）β，即β=βFζD+α- ζF=βPζD+α- ζP=βQζD+（α- 1） ζQ，（2.5）其中α=2，那么我们有jεt\'εβζDIεt，其中iεt=tεZTεrtD（eXε，ts）+ltQ（euε，ts）ds+X0<eτε，tj≤TεktF（eξεj）+htP（eξεj）. （2.6）通过适当选择Δε，我们得到了Δε→ 0，Tε→ ∞.因此，Ebε，ts\'0和eaε，ts\'ats表示∈ （0，Tε）。因此，（2.4）的动力学几乎是一个受控布朗运动，扩散矩阵为。我们推导出Iεt&I（at，rt，lt，kt，ht），（2.7），其中右侧的术语定义为I（a，r，l，k，h）=inf（u，τ，ξ）lim supS→∞ShZSrD（Xs）+lQ（美国）ds+X0≤τj≤skF（ξj）+hP（ξj）i、（2.8）带XS=√aWs+Zsurdr+X0≤τj≤因此，我们得到ε→ 0:Jε\'ZTjεtdt\'εβζDZTIεtdt&εβζDZTItdt。那么我们可以预期（2.8）等于以下预期成本标准（a，r，l，k，h）=inf（u，τ，ξ）lim supS→∞经济特区rD（Xs）+lQ（美国）ds+X0≤τj≤skF（ξj）+hP（ξj）i、（2.10）参见示例[7,23,24]。因此，我们将使用后一个版本来描述下边界，因为它更容易操作。备注2.1。弱收敛方法是证明类似于（2.7）的不等式的经典方法，尤其是在重传输网络的研究中（见[38，第9节]的概述）。通常的弱收敛定理可以证明当ε趋于零时，扰动系统在Skorohod拓扑中收敛到受控布朗运动。

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2022-5-9 07:28:37

然而，由于时间范围趋于一致，这并不立即意味着时间平均成本函数（如Iεt）的收敛。在[39]中，作者考虑了重极限下受控队列的路径平均成本问题，其中控制项是绝对连续的。他们使用正则路径空间上的经验“泛函位置测度”，并将极限描述为受控布朗运动。[10]中也使用了相同的方法研究单类排队网络。然而，这种方法不能直接应用于单一/脉冲控制，因为难以确定占领措施的强度。事实上，通常的斯科罗霍德拓扑不适用于脉冲控制项εt:=X0<eτεj≤的确，在奇异/脉冲控制的情况下，{eYε}在Skorokhod拓扑下通常是不紧的。例如（参见[37，p.72]），考虑一个族（Yεt），其中函数Yεt在t<1时等于零，并向上跳跃一定量√ε乘以1+iε，i=0，1，ε-1/2直到它达到统一值。Yε的自然极限当然是{t≥1} 但这个序列在斯科罗霍德拓扑中并不紧密。[32]中讨论了这种收敛的性质，并在[26]中提供了相应的拓扑结构。这种困难可以通过引入随机时间变化来避免，在此之后（合适的内极化）控制项变为一致的Lipschitz，从而在目的论下收敛。[8,9,37]中使用了这种技术来研究具有折扣成本的受控队列的收敛性。这似乎是将[39]方法扩展到奇异/脉冲控制的一种可能的替代方法。

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2022-5-9 07:28:40

然而，分析可能会涉及很多内容。我们将使用布朗运动的时间平均控制问题的一个替代特征，而不是在较弱的拓扑中证明控制项（eYεt）的紧密性。在[34]中，作者将重传输极限下Jackson网络的时间平均控制描述为线性规划的解。结果表明，在状态空间而不是路径空间上使用占用测度能够有效地描述极限随机控制问题。然而，优化标准不是路径的。在本文中，我们结合使用[34]和[39]中的技术来获得路径下的lowerbounds。2.2下界为了恰当地说明我们在规则控制和脉冲控制相结合的情况下的结果，我们首先介绍以下线性规划问题的解I=I（a，r，l，k，h）：I（a，r，l，k，h）=inf（u，ρ）ZRdx×RdurD（x）+lQ（u）u（dx×du）+ZRdx×Rdξ\\{0ξ}kF（ξ）+hP（ξ）ρ（dx×dξ），（2.11）与（u，ρ）∈ P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×Rdξ{0ξ}）满足下列约束条件：Rdx×RduAaf（x，u）u（dx×du）+ZRdx×Rdξ{0ξ}Bf（x，ξ）ρ（dx×dξ）=0，F∈ C（Rdx），（2.12）af（x，u）=Xi，jaijijf（x）+hu，f（x）i，Bf（x，ξ）=f（x+ξ）- f（x）。我们将在第4.2节中看到，它本质上是时间平均控制问题（2.9）-（2.10）的等价表征。在例4.6中，我们考虑一种特殊情况，对于这种情况，I和最优解u*, ρ*可以明确确定。从现在起，我们做出以下假设。假设2.1（线性规划的正则性）。由（2.11）-（2.12）定义的函数I=I（a，r，l，k，h）是可测量的。假设2.2（模型）。可预测过程（at）和（bt）是连续的，并且（at）是[0，T]上的正定义。假设2.3（优化标准）。

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kedemingshi

2022-5-9 07:28:44

成本函数（rt），（lt），（kt）和（ht）的参数在[0，T]上是连续的和正的。假设2.4（渐近框架）。成本泛函满足齐性（2.1），并且对于某些β>0的情况，关系式（2.5）成立。备注2.2。让我们简略地评论一下上述假设。假设2.1是避免病理病例的必要条件。在大多数示例中，函数I是连续的（参见示例4.3-4.7）。假设2.2-2.3对X的动力学施加最小的规律性o以及成本参数。假设2.4确保所有成本具有相似的数量级。其次，我们介绍以下概念。定义2.1。设{Z，（Zε）ε，ε>0}为同一概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）。我们说，如果δ>0，limε→0P[Zε>Z- δ] = 1.我们写lim-infε→0Zε≥pZ。现在我们给出了正则控制和脉冲控制相结合情况下的主要结果。定理2.1（规则和脉冲组合控制的渐近下界）。在假设2.1、2.2、2.3和2.4下，我们得到了lim infε→0εβζDJε（uε，τε，ξε）≥pZTI（at，rt，lt，kt，ht）dt，（2.13）对于任何允许的跟踪策略序列{（uε，τε，ξε）∈ A、 ε>0}。因此，在定理2.1中，我们用线性规划解I的积分表示了跟踪问题的下界，这将在第4节被解释为布朗运动的时间平均控制。对于任何子序列ε，我们总是可以选择进一步的子序列ε，使得lim infε→0（ε）βζDJε（uε，τε，ξε）≥ZTI（at，rt，lt，kt，ht）dt- δ、几乎可以肯定。因此，通过法头引理，以下推论成立。推论2.1。

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kedemingshi

2022-5-9 07:28:47

我们有lim infε→0εζDβE[Jε（uε，τε，ξε）≥ EhZTI（at、rt、lt、kt、ht）dti。3定理2.1对其他类型控制的扩展在这一节中，我们考虑正则控制和奇异控制相结合的情况，以及只有一种类型控制的情况。特别是，我们将看到，在存在奇异控制的情况下，算子B是不同的。从形式上讲，我们可以对所有三个控件的组合给出类似的结果，甚至在存在多个具有不同成本函数和缩放特性的相同类型控件的情况下。为了避免繁琐的注释，我们将自己局限于实践中有意义的案例，第4.3.1节中的明确示例说明了常规和单一控制相结合。当固定成本成分不存在时，即F=0，脉冲控制和单一控制可以合并。在这种情况下，制定跟踪问题的自然方法是考虑策略（uε，γε，νε），uε与之前一样是一个渐进的可测量过程，γεt∈ 以及（εt）一个可能不连续的非递减过程，使得xεt=-十、ot+Ztuεsds+Ztγεsdаεs，和jε（uε，γε，аε）=ZtrtD（Xεt）+εβQltQ（uεt）dt+ZTεβPhtP（γεt）d~nεt。为了避免简并，我们假设对于任何γ∈ ,P（γ）>0。（3.1）使用与前一节中类似的启发式参数，我们考虑了布朗运动的时间平均控制，以及正则和奇异控制的组合i（a，r，l，h）=inf（u，γ，ν）lim supS→∞经济特区rD（Xs）+lQ（美国）ds+ZShsP（γs）dаsi，（3.2）其中=√aWs+Zsurdr+Zsγrd~nr。

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nandehutu2022

2022-5-9 07:28:52

（3.3）相应的线性规划问题由i（a，r，l，h）=inf（u，ρ）ZRdx×Rdu给出rD（x）+lQ（u）u（dx×du）+ZRdx×x R+δhP（γ）ρ（dx×dγ×dδ），（3.4）带（u，ρ）∈ P（Rdx×Rdu）×M（Rdx×） x R+δ）满足以下约束条件tzrdx×RduAaf（x，u）u（dx×du）+ZRdx××R+δBf（x，γ，δ）ρ（dx×dγ×dδ）=0，F∈ C（Rdx），（3.5）af（x，u）=Xijaijijf（x）+hu，f（x）i，Bf（x，γ，δ）=（hγ，f（x）i，δ=0，δ-1.f（x+Δγ）- f（x）, δ > 0.我们有下面的定理。定理3.1（正则和奇异组合控制的渐近下界）。假设I（a，r，l，h）是可测量的，参数（rt），（lt）和（ht）是连续且正的，假设2.2成立，假设2.4满足某些β>0。那么，lim infε→0εβζDJε（uε，γε，νε）≥pZTI（at，rt，lt，ht）dt，（3.6）对于任何允许的跟踪策略序列{（uε，γε，νε）∈ A、 ε>0}。通过对定理2.1和定理3.1的证明进行明显的改进，我们很容易在只存在一个控制的情况下得到以下界。3.2脉冲控制系数（τε，ξε）∈AJε（uε，τε，ξε），其中jε（uε，τε，ξε）=ztrd（Xεt）dt+X0<τεj≤TεβFkτεjF（ξεj）+εβPhτεjP（ξεj）,andXεt=-十、ot+X0<τεj≤我们有以下定理。定理3.2（脉冲控制的渐近下界）。设I=I（a，r，k，h）由I（a，r，k，h）=inf（u，ρ）ZRdxrD（x）u（dx）+ZRdx×Rdξ\\{0ξ}（kF（ξ）+hP（ξ））ρ（dx×dξ）和（u，ρ）∈ P（Rdx）×M（Rdx×Rdξ{0ξ}）满足以下约束条件：zrdxaaf（x）u（dx）+ZRdx×Rdξ{0ξ}Bf（x，ξ）ρ（dx×dξ）=0，F∈ C（Rdx），其中af（x）=Xi，jaijijf（x），Bf（x，ξ）=f（x+ξ）- f（x）。假设I（a，r，k，h）是可测量的，参数（rt），（kt）和（ht）是连续且正的，假设2.2成立，假设2.4满足某些β>0。

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kedemingshi

2022-5-9 07:28:55

那么，lim infε→0εβζDJε（τε，ξε）≥pZTI（at，rt，kt，ht）dt。关于I.3.3奇异控制consisderinf（γε，νε）的封闭形式解，参见示例4.5∈AJε（γε，νε），其中jε（γε，νεε）=ztrd（Xεt）dt+ZTεβPhtP（γεt）d~nεεt和Xεt=-十、ot+Ztγεsd~nεs。我们有以下定理。定理3.3（奇异控制的渐近下界）。设I=I（a，r，h）由I（a，r，h）=inf（u，ρ）ZRdxrD（x）u（dx）+ZRdx×给出×R+δhP（γ）ρ（dx×dγ×dδ），带（u，ρ）∈ P（Rdx）×M（Rdx×） ×R+δ）满足以下约束条件TZrDxaaf（x）u（dx）+ZRdx××R+δBf（x，γ，δ）ρ（dx×dγ×dδ）=0，F∈ C（Rdx），其中af（x）=Xijaijijf（x），Bf（x，γ，δ）=（hγ，f（x）i，δ=0，δ-1.f（x+Δγ）- f（x）, δ > 0.假设I（a，r，h）是可测量的，参数（rt）和（ht）是连续且正的，假设2.2成立，假设2.4满足某些β>0。那么，lim infε→0εβζDJε（γε，νε）≥pZTI（at，rt，ht）dt。关于I.3.4正则控制Considerinfuε的闭式解，参见示例4.4∈AJε（uε），其中jε（uε）=ZTrtD（Xεt）+εβQltQ（uεt）dt和xεt=-十、ot+Ztuεsds。我们有下面的定理。定理3.4（正则控制的渐近下界）。设I=I（a，r，l）由I（a，r，l）=infuZRdx×Rdu给出rD（x）+lQ（u）u（dx，du），带u∈ P（Rdx×Rdu）满足以下约束条件tzrdx×RduAaf（x，u）u（dx，du）=0，F∈ C（Rdx），其中af（x，u）=Xi，jaijijf（x）+hu，f（x）i.假设i（a，r，l）是可测量的，参数（rt）和（lt）是连续且正的[0，T]，假设2.2成立，假设2.4满足某些β>0。那么，lim infε→0εβζDJε（uε）≥pZTI（at，rt，lt）dt。关于I.备注3.1（上限）的闭式解，参见示例4.3。我们很自然地会想，我们理论中的下限是否很紧，如果是这样的话，实现它们的策略是什么。

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2022-5-9 07:28:58

在接下来的工作中，我们证明了对于第4节中提供的例子，有一些封闭形式的策略达到了下界。例如，在规则控制和脉冲控制相结合的情况下，这意味着存在（uε，*, τε,*, ξε,*) ∈ 一个这样的常数ε→0εβζDJε（uε，*, τε,*, ξε,*) →pZTI（at，rt，lt，kt，ht）dt。这些最优策略本质上是布朗运动时间平均控制最优策略的时变版本。4下界解释和示例本节的目标是对OREMS 2.1、3.1、3.2、3.3和3.4中的下界进行概率解释，这些下界用线性规划表示。特别是，我们想把它们与布朗运动的时间平均控制问题联系起来。据我们所知，时间平均控制问题与线性规划之间的等价性还没有普遍的结果。部分结果存在于[7,20,33,34,36]中，但并未涵盖我们需要的所有病例。在这里，我们提供了一个简短的独立研究，使我们能够研究单一/脉冲控制及其与常规控制相结合的情况。我们提出了受控鞅问题，并证明了它们可以被视为受控布朗运动（1.1-局部）的放松版本。然后我们在这个鞅框架下建立了时间平均控制问题。最后，我们证明了这个问题在有限维线性规划中有一个等价的描述。

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2022-5-9 07:29:01

虽然获得这些结果的基本成分和论据来自[33]和[35]，但我们提供了明确的条件，以保证这两种配方的等效性。4.1与受控布朗运动相关的鞅问题[2,42,47,51]中，作者获得了交易成本下效用最大化问题的价值函数的一阶HJB方程，这基本上为他们的控制问题提供了一个下界。他们提到了HJB方程和布朗运动的时间平均控制问题之间的联系，另见[21]。在这里，我们希望严格地在我们的下界中的线性规划和布朗运动的时间平均控制之间建立一个等价性。这就引出了受控布朗运动的一个放松版本。我们将在下一节提供的示例中看到所有这些公式的最佳成本是一致的。我们将自己置于[35]的环境中，从中借用并重新表述了几个元素，并假设状态空间E和控制空间U和V是完整的、可分离的度量空间。考虑一个操作符A:D Cb（E）→ C（E×U）和一个算子B:D Cb（E）→C（E×V）。定义4.1（受控鞅问题）。一个三元组（X，λ，Γ）具有（X，λ）一个E×P（U）值过程和Γ一个L（E×V）值随机变量，是（A，B）初始分布为ν的受控鞅问题的解∈ P（E）如果存在一个过滤（Ft），使得过程（X，λ，Γt）是Ft渐进的，那么Xhas分布ν，对于每个f∈ D、 f（Xt）-ZtZUAf（Xs，u）∧s（du）ds-ZE×V×[0，t]Bf（x，V）Γ（dx×dv×ds）（4.1）是Ft鞅。我们现在考虑算子A和B的两种特殊情况，这两种情况与我们的下界有关。

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2022-5-9 07:29:05

此外，我们还解释了为什么A和Bare的这些特殊选择与布朗运动的正则和奇异/脉冲控制相结合。例4.1（布朗运动的规则控制和脉冲控制相结合）。设D=C（Rd）⊕兰德公司定义A:D→ C（E×U）和B:D→ C（E×V）byAf（x，u）=Xi，jaijijf（x）+hu，f（x）i，（4.2）Bf（x，ξ）=f（x+ξ）- f（x）。（4.3）这里E=Rdx，U=rdu，V=Rdξ\\{0ξ}。我们把这个鞅问题的任何解称为布朗运动的正则控制和脉冲控制的组合。实际上，请考虑以下过程xt=X+√aWt+Ztusds+X0<τj≤tξj，具有（ut）一个渐进可测过程，（τj）一个停止时间序列和（ξj）一个Fτj-可测随机变量序列。definent=Xj{τj≤t} ，ξt=ξj，t∈ （τj）-1，τj]。那么对于任何f∈ D、由o的公式，f（Xt）-ZtAf（Xs，美国）ds-ZtBf（Xs）-, ξs-)dNs=f（X）-Ztf（Xs）T√adWs，这是一个鞅。设∧t=δut（du），Γ（H×[0，t]）=ZtH（Xs）-, ξs-)dNs，H∈ B（Rdx×Rdξ\\{0ξ}）。然后（X，λ，Γ）用初始分布L（X）求解鞅问题（A，B）。例4.2（布朗运动的规则控制和奇异控制相结合）。以D=C（Rd）为例⊕R和def（x，u）=Xi，jaijijf（x）+hu，f（x）i，（4.4）Bf（x，γ，δ）=（hγ，f（x）i，δ=0δ-1.f（x+Δγ）- f（x）, δ > 0.（4.5）这里E=Rdx，U=rdu，V= ×R+δ。这个鞅问题的任何解都称为布朗运动的正则控制和奇异控制的组合。事实上，让X由xt=X表示+√aWt+Ztusds+Ztγsd~ns，u是一个逐步可测量的过程，γs∈ 和~nsnon减少。根据它的公式，wehavef（Xt）-ZtAf（Xs，美国）ds-ZtBf（Xs）-, γs，Δ~ns）d~ns=f（X）-Ztf（Xs）T√adWs，它是任意f的鞅∈ D

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2022-5-9 07:29:10

设∧t=δut（du），Γ（H×[0，t]）=ZtH（Xs）-, γs，Δ~ns）d~ns，H∈ B（Rdx×） x R+δ）。然后（X，λ，Γ）求解初始分布为L（X）的鞅问题（A，B）。4.2布朗运动的时间平均控制现在，我们根据受控鞅问题建立了布朗运动的时间平均控制问题的放松版本。这将[20,33]推广到鞅问题的正则控制和奇异/脉冲控制，另见[36]。回想一下，A和B是两个运算符，其中A:D Cb（E）→ C（E×U）和B:D Cb（E）→ C（E×V）。考虑两个成本函数CA:E×U→ R+和CB:E×V→ R+。定义4.2（时间平均控制问题的鞅公式）。鞅公式下的时间平均控制问题由im=inf（X，λ，Γ）lim-supt给出→∞tEZtZUCA（Xs，u）∧s（du）ds+ZE×V×[0，t]CB（x，V）Γ（dx×dv×ds）, （4.6）如果inf接管了鞅问题（A，B）的所有解，且具有任何初始分布ν∈ P（E）。现在，让（X，λ，Γ）是带有算子A和B的鞅问题的任何解。定义（ut，ρt）∈ P（E×U）×M（E×V）asut（H）=tEhZtZUH（Xs，U）∧s（du）dsi，（4.7）ρt（H）=tEΓ（H×[0，t]）, （4.8）对于H∈ B（E×U）和H∈ B（E×V）。然后，到时间t in（4.6）的平均成本可以表示为ZE×UCA（x，u）ut（dx×du）+ZE×VCB（x，v）ρt（dx×dv）。另一方面，对于f∈ D、（4.1）定义鞅。根据这个期望，我们得到了ztZuaf（Xs，u）∧s（du）ds+ZE×V×[0，t]Bf（x，V）Γ（dx×dv×ds）i=tE[f（Xt）- f（X）]。如果x是静止的，我们有ZE×UAf（x，u）ut（dx×du）+ZE×VBf（x，v）ρt（dx×dv）=0。让t趋于一致，这就引出了下面的线性规划问题。定义4.3（时间平均控制的线性规划（LP）公式）。

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2022-5-9 07:29:14

LP公式下的时间平均控制问题由IP=inf（u，ρ）c（u，ρ），（4.9）和c:P（E×U）×M（E×V）给出→ R+（u，ρ）7→ZE×UCA（x，u）u（dx×du）+ZE×VCB（x，v）ρ（dx×dv），（4.10），其中inf在所有u上计算∈ P（E×U）和ρ∈ M（E×V）满足约束条件tze×UAf（x，u）u（dx×du）+ZE×VBf（x，V）ρ（dx×dv）=0，F∈ D.（4.11）我们现在给出了连接线性规划和布朗运动时间平均控制的定理。定理4.1（I和IP之间的等价性）。假设1。（关于运算符A和B的条件）运算符A和B满足[35]中的条件1.2。特别是存在ψA∈ C（E×U），ψB∈ C（E×V），常数af，bf取决于f∈ D使得| Af（x，u）|≤ afψA（x，u），|Bf（x，v）|≤ bfψB（x，v），十、∈ E、 u∈ U、五∈ V.（4.12）2。（关于代价函数CA的条件）代价函数cai是非负且inf紧的，即{（x，u）∈ E×U | CA（x，U）≤ c} 是每个c的紧凑集∈ R+。特别是，CAis下半连续。3.（关于成本函数CB的条件）成本函数CB是非负且下半连续的。此外，CBsatis FIESINF（x，v）∈E×VCB（x，v）>0。(4.13)4. （算符与代价函数的关系）存在常数θ和0<β<1，例如ψA（x，u）1/β≤ θ1+CA（x，u）, ψB（x，v）1/β≤ θCB（x，v），（4.14）表示ψa和由（4.12）驱动的ψb。那么时间平均控制问题的上述两个公式在sensethatIM=IP中是等价的。因此，我们为IMand和IP编写I。证据证明的思想与[33]中的相同，其关键成分由[35，定理1.7]提供。我们首先展示了IP≤ 感应电动机。给定鞅问题的任何解（X，λ，Γ），我们将占用测度定义为（4.7）和（4.8）。

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2022-5-9 07:29:18

在不失去普遍性的情况下，我们可以假设Lim supt→∞c（ut，ρt）<∞ 式中，c在（4.10）中定义（否则我们的IM=∞ ≥ IP）。我们将展示IP≤ 林监督→∞c（ut，ρt）。我们考虑一点比较E×V=E×V∪ {∞ = （十）∞, 五、∞)} 并将cbe×V扩展到byCB（x∞, 五、∞) = lim-inf（x，v）→（十）∞,五、∞)CB（x，v）>0，其中最后一个不等式由（4.13）保证。由于Cb是下半连续的，水平集{（x，v）∈ E×V | CB（x，V）≤ c} 它们很紧凑。利用引理C.1，我们推导出C是P（E×U）×M（E×V）上的紧度函数。因此，职业指标族（ut，ρt）t≥如果ρ被视为E×V上的一个度量值，则为0。因此，用t表示的职业测量族是相对紧凑的。Let（u，ρ）∈ P（E×U）×M（E×V）是（ut，ρt）的任意极限点，正则分解为ρρ=ρ+θρδ∞. 我们认为（u，ρ）满足线性约束（4.11）。事实上，通过（4.12）和（4.14），我们得到了| Af | 1/β≤ θf（1+CA），|Bf | 1/β≤ θfCB，其中θfis是一个依赖于f的非负实数。然后suptc（ut，ρt）<∞ 这意味着af和Bf对于u和ρ是一致可积的。因此，我们有ZE×UAfdu+ZE×VE×VBf d′ρ=limt→∞ZE×UAfdut+ZE×VE×VBf dρt。右手边等于零，我们得到ZE×UAfdu+ZE×VBf dρ=0。由于Ca和Cb是下半连续的，因此（见[13，定理A.3.12]）IP≤ c（u，ρ）≤ c（u，ρ）≤ lim inft→∞c（ut，ρt）≤ 林监督→∞c（ut，ρt）。由于受控鞅问题（X，λ，Γ）解的选择是任意的，我们得出结论：IP≤ 感应电动机。我们现在展示IM≤ IP。给定满足线性约束（4.11）的任何（u，ρ），使得C（u，ρ）<∞, [35]中的定理1.7以及算子A和B上的条件，证明了带边值（u，ρ）的鞅问题（A，B）的平稳解（X，λ，Γ）的存在性，因此≤ IP。备注4.1。

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2022-5-9 07:29:21

与[7,33]中的结果相比，奇异分量不需要近似单调条件。这是因为在线性约束（4.11）中，ρ小于M（E×V），而不是P（E×V）。现在我们给出IP=IM的自然示例。推论4.1（二次成本布朗运动的时间平均控制）。假设cai由ca（x，u）=rhx，∑Dxi+lhu，∑Qui给出，（x，u）∈ Rdx×Rdu，（4.15），其中∑D，∑Q∈ S+d。那么对于以下两种情况，我们有IM=IP:1。算子A和B由（4.2）-（4.3）给出，代价函数cb由cb（x，ξ）=kdXi=1Fi{ξi6=0}+hhP，|ξ| i，（x，ξ）给出∈ Rdx×Rdξ\\{0ξ}，（4.16），miniFi>0.2。算子A和B由（4.4）-（4.5）给出，代价函数cb由ca（x，γ，δ）=hhP，|γ| i，（x，γ，δ）给出∈ Rdx× x R+δ（4.17），miniPi>0。证据我们考虑冲动的情况。首先，我们证明A和B满足[35，条件1.2]。（i）很明显∈ D、 ARd=0，BRd=0。（ii）定义ψA（x，u）=1∨dXi=1 | ui |，ψB（x，ξ）=1，则（4.12）是满足的。（iii）由于C（Rdx）与k·kc是可分离的，第三个条件是满足的。（iv）Auf（x）=Af（x，u）和Bξf（x）=Bf（x，ξ）满足正最大原理，因此它们是耗散的。很明显，他们证实了[35，（1.10）]。因此，他们是预产生者。（v）显而易见。第二，由于CAA和CBA均为l.s.c.且miniFi>0，因此CAA和CBA上的条件得到验证。第三，β=1/2时，（4.14）保持不变。对于单数情况的证明是相似的。请注意，miniPi>0对于（4.13）和（4.14）中的第二个边界保持不变是必要的。4.3维度1中的显式示例我们在这里收集了维度1中可获得显式解决方案的全面示例列表。

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mingdashike22

2022-5-9 07:29:24

这些结果中的大多数已经存在于经典SDE公式下的文献中（参见示例[2,12,15,20,22,23,24,42,51]），但示例4.6和4.7首次出现在这里。其基本思想是明确解决与时间平均控制问题对应的HJB方程，并应用验证定理。类似的方法适用于线性规划框架。然而，为了完整性，我们在第8节中提供了针对线性规划公式的详细证明。事实上，我们只证明了规则控制和脉冲控制相结合的情况，即例4.6。其他示例的屋顶类似，因此省略。例4.3（布朗运动的规则控制）。设r，l>0，考虑以下线性规划问题i（a，r，l）=infuZRx×Ru（rx+lu）u（dx，du），（4.18），其中u∈ P（Rx×Ru）满足Zrx×Ruaf（x）+uf（x）u（dx，du）=0，F∈ C（Rx）。（4.19）根据推论4.1，这相当于定义4.2意义上的二次成本布朗运动的时间平均控制。让我们以启发式的方式解释如何获得最优解（第8节提供了线性规划公式的严格验证论证）。大致来说，定义4。2描述了以下DynamicSxut=√adWt+utdt。优化目标isinf（ut）∈阿利姆·苏普特→∞TEhZT（r（Xut）+lut）dti，其中容许控制集合A包含所有渐进可测量过程（ut），如HTHATLIM supT→∞E[（XuT）]<∞考虑相关的HJB等式infu∈Ruaw（x）+uw（x）+lu+rx- IV=0，其中常数IV必须作为溶液的一部分找到。

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2022-5-9 07:29:27

很容易找到显式解（另见[42，方程（3.18）]）：w（x）=√rlx，IV=√阿尔。现在，让（ut）成为一个容许控制，并将它的公式应用于w（XT）：w（XT）=w（X）+ZTaw（Xt）+utw（Xt）dt+ZTw（Xt）载重吨。接下来是zt（rXt+lut）dt≥ZT四、-aw（Xt）- utw（Xt）dt（4.20）=T IV+w（X）- w（XT）+ZTw（XT）载重吨。取期望值，两边除以T，利用可容许性条件，我们得到lim-supT→∞TEhZT（rXt+lut）dti≥ 四、要证明IVis确实是最佳成本，就足以证明（4.20）中的等式成立。对于U给出的最优反馈控制*（x） =-w（x）2l=-θx，θ=rrl。因此，最佳控制过程是Ornstein-Uhlenbeck过程*=√adWt- θX*tdt。自然地，（X）的平稳分布*, U*（十）*t））答案是什么*关于线性规划问题。我们得到以下结果。提议4.1。（4.18）-（4.19）的解由i（a，r，l）给出=√arl，并通过u获得最佳值*（dx，du）=√2πσe-x2σdx δ{-θx}（du），其中σ=a2θ，θ=rrl。例4.4（布朗运动的奇异控制）。对于任何参数r，h>0，考虑以下线性规划问题i（a，r，h）=inf（u，ρ）ZRxrxu（dx）+ZRx×{±1}×r+δh |γ|ρ（dx，dγ，dδ），（4.21），其中u∈ P（Rx）和ρ∈ M（Rx×{±1}×R+δ）满足yzrxaf（x）u（dx）+ZRx×{±1}×R+δγf（x）ρ（dx，dγ，dδ）=0，F∈ C（Rx）。（4.22）根据推论4.1，这相当于定义4.2意义上的具有二次偏差惩罚和比例成本的布朗运动的时间平均控制。受控鞅问题解的动力学是启发式的=√adWt+γtdаt，其中γt∈ {±1}和ν是一个非递减过程。

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2022-5-9 07:29:32

优化目标是isinf（γt，φt）∈阿利姆·苏普特→∞TEhZTrXtdt+hаTi。相关的HJB方程为（aw（x）+rx- （四）∧ （infγ）∈{x}（h）＝γ+1。[51]中给出了w的显式解（另见[12,24,30]）：w（x）=Ax+Bx，-U≤ 十、≤ U、 w(-U） +h(-U- x），x<-U、 w（U）+h（x）- U），x>U，（4.23）带a=-ra，B=Ia，andI=（ar1/2h）2/3，U=（ar）-1h）1/3。最优控制过程isdX*t=√adWt+d~n-T- d k+t，其中k±是当地时间X*T∈ [-U、这样zt{X*s6=-U} d~n-s+Zt{X*s6=U}d~n+s=0。换句话说，这是一个布朗运动，在区间上有反射[-U、 U]。最佳解决方案（u）*, ρ*) 是X的平稳分布*tand边界测量的极限zt（δ（U，-1,0）dа+s+δ(-U、 1,0）dа-s），作为t→ ∞. 我们得到以下结果。提议4.2。（4.21）-（4.22）的解由i（a，r，h）=（ar1/2h）2/3给出。并通过u获得最佳值*（dx）=2U[-U、 U]（x）dx，（4.24）ρ*（dx，dγ，dδ）=a2Uδ(-U、 1,0）+δ（U，-1,0), （4.25）式中u=（ar）-1h）1/3。例4.5（布朗运动的脉冲控制）。对于任何参数r，k>0和h≥ 0，考虑以下线性规划问题（a，r，k，h）=inf（u，ρ）ZRxrxu（dx）+ZRx×rξ\\{0ξ}（k+h |ξ|）ρ（dx，dξ），（4.26），其中u∈ P（Rx）和ρ∈ M（Rx×Rξ\\{0ξ}）满足yzrxaf（x）u（dx）+ZRx×Rξ\\{0ξ}f（x+ξ）- f（x）ρ（dx，dξ）=0，F∈ C（R）。（4.27）根据推论4.1，这相当于定义4.2意义上的布朗运动的时间平均控制问题。相关的HJB方程为（参见[2,12,15,23]）（aw（x）+rx- （四）∧ （infξ）∈Rξ\\{0ξ}（w（x+ξ）+k+h |ξ|）- w（x））=0。设θ，θ和0<ex*< 十、*下列多项式系统的be解6aθ+r=0，P（x*) - P（前*) = k+h（x）*- 前任*),P（x）*) = h、 P（前*) = h、式中P（x）=θx+θx。设U=x*. 我们可以证明HJB方程的解由w（x）=（P（x），|x|给出≤ U、 w（U）+h（|x|）- U），|x |>U，andIV=aθ。让ξ*= 十、*-前任*.

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nandehutu2022

2022-5-9 07:29:35

最优控制过程是区间上的布朗运动[-U、 U]，跳到±Uξ*当到达边界点±U时。此类过程已在[5,16]中研究过。我们得到以下结果。提案4.3。（4.26）-（4.27）的解由i（a，r，k，h）=aθ给出，最佳值由u得到*= p（x）dx，p（x）=（十）*)-（例如*)（x+x）*), -十、*≤ x<-前任*,十、*+前任*, -前任*≤ 十、≤ 前任*,（十）*)-（例如*)（十）*- x），前*< 十、≤ 十、*,(4.28)ρ*=a（x）*)- （例如*)（δ（x）*,前任*-十、*)+δ(-十、*,-前任*+十、*)). （4.29）对应于布朗运动的平稳分布和边界测度，在区间上从边界开始跳跃[-U、 U]。例4.6（布朗运动的规则控制和脉冲控制相结合）。对于任何参数sr、l、k>0和h≥ 考虑以下线性规划问题（a，r，l，k，h）=inf（u，ρ）ZRx×Ru（rx+lu）u（dx，du）+ZRx×rξ{0ξ}（k+h|ξ|）ρ（dx，dξ），（4.30）式中u∈ P（Rx×Ru）和ρ∈ M（Rx×Rξ\\{0ξ}）满足yzrx×Ruaf（x）+uf（x）u（dx，du）+ZRx×Rξ\\{0ξ}f（x+ξ）-f（x）ρ（dx，dξ）=0，F∈ C（R）。（4.31）根据推论4.1，这相当于定义4.2意义上的布朗运动的时间平均控制问题。相应的HJB方程为（aw（x）+infu（uw（x）+lu）+rx- （四）∧infξ（w（x+ξ）+k+h|ξ）- w（x）= 在第8节中，我们证明了这个方程允许经典解W（x）=（rl）1/2x- 2al lnF（1-ι;;拉尔1/2x），|x |≤ U、 w（U）+h（|x|）- U），|x |>U，（4.32），其中f是Kummer对流超几何函数（见A节）和ξ*U等于0<ξ*< U和W（±U ξ*) + k+h |ξ*| - w（±U）=0。此外，IV=ιa√rl，对一些人来说ι∈ (0, 1).让你*被定义为asu*（x） =ArgminuAw（x，u）+CA（x，u）=-w（x）2l。最优控制过程由DX给出*t=√adWt+u*（十）*t） dt+dXτj≤T{X*τj-=-U} ξ*-{X*τj-=U} ξ*.我们得到以下结果。提案4.4。

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