双重风险模型中的最优投资

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收藏 2022-05-09

英文标题：
《Optimal Investment in a Dual Risk Model》
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作者：
Arash Fahim, Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
Dual risk models are popular for modeling a venture capital or high tech company, for which the running cost is deterministic and the profits arrive stochastically over time. Most of the existing literature on dual risk models concentrated on the optimal dividend strategies. In this paper, we propose to study the optimal investment strategy on research and development for the dual risk models to minimize the ruin probability of the underlying company. We will also study the optimization problem when in addition the investment in a risky asset is allowed.
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中文摘要：
双风险模型是风险投资或高科技公司建模的常用模型，对于这些公司，运行成本是确定的，利润随时间随机到达。关于双重风险模型的现有文献大多集中在最优股利策略上。在本文中，我们提出研究双重风险模型的最优研发投资策略，以最小化标的公司的破产概率。此外，我们还将研究风险资产投资允许时的优化问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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Optimal_Investment_in_a_Dual_Risk_Model.pdf
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何人来此

2022-5-9 07:40:11

双重风险模型中的最优投资。双风险模型常用于风险投资或高科技公司的建模，对于这些公司来说，运营成本是确定性的，随着时间的推移，收益是随机的。关于双重风险模型的现有文献大多集中在最优股利策略上。在本文中，我们提出研究双重风险模型的最优研发投资策略，以最小化基础公司的破产概率。此外，我们还将研究在允许风险资产投资的情况下的优化问题。1.引言经典的克拉姆-伦德伯格模型或经典的复合泊松风险模型表示，保险公司的盈余过程遵循以下动力学：（1.1）dXt=ρdt- dJt，X=X>0，其中ρ>0为保险费率，Jt=PNti=1yi为复合泊松过程，其中nTi为强度λ>0的泊松过程，索赔额yi为独立于泊松过程的i.i.d.正随机变量，E[Y]<∞. 破产理论的一个核心问题是研究破产概率P（τ<∞), 其中τ：=inf{t>0：Xt<0}。近年来，关于所谓的双重风险模型，在保险和金融领域进行了大量研究，参见[1,4,3,6,10,11,22,23,26,29,32]，财富过程遵循动力学：（1.2）dXt=-ρdt+dJt，X=X>0，其中ρ>0是公司的运营成本，Jt=PNti=1Yi是利润流，其中yi是i.i.d.R+值随机变量，具有公共概率密度函数p（y），y>0，NTI是强度λ>0的泊松过程。双重风险模型用于对风险资本的财富进行建模，其收益取决于研发。经典风险模型（1.1）通常被解释为保险公司的盈余。

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何人来此

2022-5-9 07:40:14

另一方面，双重风险模型（1.2）可以理解为风险资本或高科技公司的财富。经典模型中的保费类似于双重模型中的运行成本，索赔将成为公司未来的利润。双重风险模型中最基本的问题之一是最优股利策略。Avanzi等人[4]研究了双重风险模型中的最优股息，其中最优策略是障碍策略。Avanzi等人[3]研究了双重风险模型的股息壁垒策略，其中股息决策日期为2015年10月16日。修订日期：2015年10月16日。2000年数学科目分类。62P05；91B30；93E20。关键词和短语。双重风险模型，最小化破产概率，最优投资。ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu只是周期性地制造，但仍然允许随时发生毁灭。Ng[22]研究了一个具有阈值红利策略的双重模型，该模型的索赔时间为指数级。阿方索等人[1]还研究了双重风险模型中的股息问题，假设了指数级的索赔时间。提出了一种计算预期贴现红利的新方法，并研究了破产概率和红利概率、红利数量、分红时间以及单个红利金额的分布。Cheung和Drekic[11]考虑了双重风险模型中的股息时刻。他们推导了总贴现红利矩的积分微分方程，假设跳跃大小分布具有有理拉普拉斯变换，则可明确求解。Rodriguez等人[26]研究了假设利润遵循阶段型分布的预期贴现股息。

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kedemingshi

2022-5-9 07:40:18

Yang和Sendova[29]推导了Spare-Andersen对偶模型的破产时间、预期损失红利的拉普拉斯变换。到目前为止，关于双重风险模型的文献中研究的优化问题几乎都是关于最优股利策略的。在本文中，我们考虑一个不同类型的优化问题。对于风险投资公司或高科技公司来说，研发投资策略至关重要。增加研发投资的决定将增加公司的运营成本，但这也将提高未来盈利的可能性。因此，我们认为，了解最佳投资策略以加强公司地位具有根本利益。众所周知，研发是经济和社会增长的基本引擎。在世界上许多领先的公司中，这是一笔相当大的支出。《财富》2014年的一篇文章列出了2013年全球十大研发支出者，包括大众、三星、英特尔、微软、罗氏、诺华、丰田、强生、谷歌和默克，其中英特尔在研发上的支出高达其收入的20.1%，见[9]。许多技术巨头每年都在不断增加研发支出，如表1所示，2011-2014年谷歌的研发和收入占比。请注意，在谷歌的案例中，尽管研发支出逐年增加，但它随着总收入的增加而增加，因此作为收入的百分比，这个数字变化不大。对于一些公司来说，研发支出的绝对金额和作为收入的百分比都相当稳定，如默克公司2011-2014年的表2所示。

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kedemingshi

2022-5-9 07:40:21

对于一些公司来说，研发支出的绝对金额和收入的百分比可能会发生巨大变化，例如，特斯拉2011-2014年的表3。特斯拉的情况很特殊，但对于一家新的高科技公司来说并不罕见。在2011年，研发支出超过了总收入。另一家与特斯拉有着类似惊人增长的公司是Facebook，见表4。但Facebook在研发上的支出没有特斯拉那么积极。由于它是费用化的，而不是资本化的，研究和开发的削减在短期内会增加利润，但从长远来看，它可能会损害公司的实力，即使削减的不利影响可能在几年内不会感受到。可于https://investor.google.com/financial/tables.htmlAvailable关于谷歌金融https://www.google.com/financeAvailable关于谷歌金融https://www.google.com/financeDUAL风险模型3在最近的经济衰退中，收入超过1亿美元的公司将其研发强度（除以收入）降低了5.6%，尽管广告强度实际上增加了3.4%，参见[19]。从长远来看，研究和开发确实有助于公司的发展和增加公司的价值。1981年至2006年间，一项针对美国上市公司的整体研究使用了所谓的研究商数，结果表明，研究商数增加10%，市场价值增加1.1%，见[19]。事实上，美国ZF也鼓励研发活动。研究与实验税收抵免是国会1981年通过的一项一般商业税收抵免，以回应人们对研究支出下降对该国经济增长、生产率提高和全球市场竞争力产生不利影响的担忧。

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能者818

2022-5-9 07:40:24

根据安永会计师事务所（Ernst&Young）的一项研究，2005年，17700家美国公司在其纳税申报表中申请了66亿美元的研发税抵免。2011年2012年2013年2014年全年研发（百万）5162美元6083美元7137美元9832美元收入（百万）37905美元46039美元55519美元66001美元占收入的14%13%13%15%表1。2011-2014年间谷歌的研发支出。2011年2012年2013年2014年全年研发（百万）7742美元7911美元7123美元6897美元收入（百万）48047美元47267美元44033美元42237美元占收入的16%17%16%16%表2。默克在2011-2014年间的研发支出。2011年2012年2013年2014年全年研发（百万元）$209$274$232$465收入（百万元）$204$413$2014$3198收入占总收入的102%66%12%15%表3。特斯拉在2011-2014年间的研发支出。2011年2012年2013年2014年全年研发（百万元）$388$1399$1415$2666收入（百万元）$3711$5089$7872$12466占收入的10%27%18%21%表4。2011-2014年间Facebook的研发支出。参见支持创新和经济增长：2005年研发信贷的广泛影响。由安永会计师事务所为研发联盟编制。2008年4月。可获得的athttp://investinamericasfuture.org/PDFs/R&DTaxCreditStudy2008final.pdf4ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu据我们所知，双风险模型的最佳研发投资从未被研究过。关于最佳风险资本投资的研究数量有限，见[6]。除了对研发的投资，我们还将允许对风险资产的投资，例如市场指数。布朗[8]研究了一种可能性，即保险公司可以将部分盈余投资到风险资产中，以最小化破产概率。这种情况下，保险业务是由具有恒定漂移的布朗运动建模的，而风险资产是由几何布朗运动建模的。

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nandehutu2022

2022-5-9 07:40:27

后来，Hipp和Plum[18]研究了经典复合泊松风险模型中保险公司在市场指数中的最优投资。我们将研究当研究开发投资和风险资产投资都允许时的最优投资问题。与经典风险模型[18]中保险人破产概率最小化的问题不同，我们将在双重风险模型中得到封闭形式的公式。自Browne[8]和Hipp and Plum[18]的工作以来，经典风险模型和相关模型的市场最优投资已被广泛研究。在Liu和Yang[20]中，他们将Hipp和Plum[18]的作品概括为无风险资产。Schmidli[27]研究了在arisky同意投资和比例再保险都允许的情况下，经典风险模型的破产概率最小化的优化问题。Gaier等人[15]获得了经典风险模型在风险集合中最优投资下的渐近破产概率。在Hipp[17]中获得了小索赔额的渐近性。在Yang和Zhang[30]中，他们研究了当风险过程是受标准布朗运动扰动的复合泊松过程且保险人可以投资于货币市场和风险资产时，保险人的最优投资。在Gaier和Grandits[13]中，研究了索赔额大小有规律变化的情况。然后，将结果扩展到包括[14]中的利率。Schmidli[28]研究了亚指数型裂纹的情况。在Promislow和Young[25]中，他们研究了当保险过程由布朗运动建模时，保险人破产概率最小化的问题，该布朗运动对风险资产投资和购买配额份额再保险进行漂移优化。在Wang等人。

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mingdashike22

2022-5-9 07:40:30

[31]他们采用鞅方法来研究保险人的最优投资问题，当保险人的风险过程由一个L’evy过程建模，并且可能投资于标准Black Scholes模型描述的证券市场时。当潜在投资者是个人而不是保险公司时，Bayraktar和Young[7]研究了最小化破产概率的最优投资问题。在Azcue和Muler[5]中，他们研究了经典风险模型的破产概率最小化问题，该模型考虑了在借贷约束下，可能投资于遵循几何布朗运动的风险资产。这方面还有很多其他的工作。有关详细信息，请参阅Paulsen[24]及其参考文献。本文的组织结构如下。我们首先研究研发的最优投资策略，以最小化公司破产概率。然后，我们将我们的结果推广到一个依赖于状态的双重风险模型，该模型在Zhu[32]中首次提出。当公司规模增大时，成本通常也会增加，而收入来源一般也会增加，这使得研究依赖于状态的双重风险模型变得自然。接下来，我们将研究双风险模型5的最优投资策略，以便除了对研发的投资外，还允许对风险资产的投资，例如资本市场指数。最后，我们将进行一些数值研究，以更好地理解最小破产概率和最优策略如何依赖于模型中的参数。2.

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能者818

2022-5-9 07:40:33

最小化破产概率基础公司的管理层可以决定是否增加研发方面的资本支出，以提高未来的利润。我们的目标是找到研发方面的最佳支出，以最小化公司最终破产的可能性。设τ：=inf{t>0:Xt≤ 0}是毁灭的时刻。最终破产概率定义为初始财富x：ψ（x）：=P（τ<∞|X=X）。注意，在λE[Y]>ρ的假设下，破产概率ψ（x）小于1。的确，ψ（x）=e-αx，其中α>0是方程的唯一解：（2.1）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。现在，让我们介绍一下与研发投资相关的特殊成本Ct>0。设C为所有可接受策略的集合，定义为asC：=C:[0，∞) × Ohm → R≥0:C是逐步可测量的，（2.2）有界且可预测的.给定Ct∈ C、假设粒子到达过程的强度为（2.3）λCt=λ+δCγt，其中δ>0和γ>0。给定Ct∈ C、财富过程Xt=：XCtsatis fies the dynamics:（2.4）dXCt=-（ρ+Ct）dt+dJCt，XC=x，其中JCt=PNCti=1yi，nct是一个简单的点过程，强度λCtat时间t。注意当γ>1时，对于任何常数策略Ct≡ C、其中C>0表示破产概率，破产概率由e给出-αCx，其中αCis是方程的唯一正解：（2.5）（ρ+C）αC+（λ+δCγ）Z∞[e]-αCy- 1] p（y）dy=0。我们可以把这个方程改写为：（2.6）ρ+Cλ+δCγαC=Z∞[1 - E-αCy]p（y）dy.上述方程的右边有界于0和1之间。在上面等式的左边，limC→∞ρ+CδCγ=0，这意味着αC→ ∞ asC→ ∞. 因此，V（x）≤ infC>0e-αCx=0，最小破产概率为零。因此，在本文的其余部分中，我们只考虑两种情况：（i）0<γ<1；（ii）γ=1.6 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU2。1.

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kedemingshi

2022-5-9 07:40:37

0<γ<1例。首先假设0<γ<1。因此，λ是Ct的一个重要功能。它说的是，研究和开发的初始投资可以提高未来利润的前景，但利润随着投资的增加而减少。我们有兴趣研究以下随机最优控制问题：（2.7）V（x）：=infC∈CP（τ<∞|X=X），其中C是满足∞.我们知道如果我们选择C（·）≡ 0，ψ（x）=e-在λE[Y]>ρ的条件下，αx<1，因此V（x）<1。请注意，我们对ρ和λ为常数的假设可能过于简单，无法对实际公司的运营成本和利润进行建模，尤其是当标的公司是一家相对较新的高科技公司，其收入和研发支出可能会随着时间的推移发生很大变化时，请参见表1、表3。但对于更成熟的公司，收入和研发通常更稳定，见表2。因此，我们过于简单的假设仍然可以为我们提供一些关于这个优化问题的见解，特别是因为它将导致分析的可处理性。稍后，我们还将考虑ρ、λ等依赖于过程Xt状态的情况。事实上，当它被允许投资于研发时，我们将在后面看到，条件（2.8）（ρ- λE[Y]）- (δγ)1-γγ- 1.（E[Y]）1-γ<0足以保证V（x）<1。注意，这比通常的条件ρ弱- 对于双重风险模型，λE[Y]<0。很容易看出，V（x）满足汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程：（2.9）infC>0-（ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy= 0，边界条件V（0）=1。引理1。

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何人来此

2022-5-9 07:40:40

在假设（2.8）下，V（x）=e-βxis是HamiltonJacobi-Bellman方程（2.9）的解，其中β是满足方程β的唯一正值ρ +δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.(2.10)-λ + δδγγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γγ-1.1.-Z∞E-βyp（y）dy= 0.给定V（x）=e-βx和（2.11）C*:= 阿明{(-（ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy}对偶风险模型7由（2.12）C给出*=δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1，也满足方程：（2.13）λ+（1- γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-1.证据。在等式（2.9）中最小化C，我们得到（2.14）- V（x）+ΔγCγ-1Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy=0。注意，C是正的，V（x）在x中减少。因此，（2.15）C=δγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γ-1，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程-ρ +δγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γ-1.V（x）（2.16）+λ + δδγγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γγ-1.·Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy=0。我们可以看到V（x）=e-βx，其中β>0是方程的唯一解：βρ +δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.(2.17)-λ + δδγγγ-1β1 -R∞E-y（β）dy！γγ-1.1.-Z∞E-βyp（y）dy= 0.让我们定义（β）：=βρ +δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.(2.18)-λ + δδγγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γγ-1.1.-Z∞E-βyp（y）dy.我们想证明存在一个唯一的正值β，使得F（β）=0。为了方便起见，让我们也介绍一下符号：（2.19）g（β）：=1-R∞E-βyp（y）dyβ。8 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu对于β>0，（2.20）g（β）=βZ，计算起来很容易∞β叶-βy- 1+e-βyp（y）dy.设h（x）=xe-十、- 1+e-x、 x≥ 然后h（0）=0和h（x）→ -1作为x→ ∞.此外，h（x）=-xe公司-当x>0时，x<0。

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nandehutu2022

2022-5-9 07:40:44

因此h（x）≤ 0代表任何x≥ 因此，g（β）是β的递减函数。注意，我们可以将F（β）重写为（2.21）F（β）=βρ - (δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ- λg（β）.因此，F（β）=0表示β>0当且仅当G（β）=0表示β>0时，其中（2.22）G（β）：=ρ-(δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ- λg（β）。注意，根据L\'H^opital的规则，（2.23）limβ→0+g（β）=E[Y]。因此，（2.24）limβ→0+G（β）=（ρ-λE[Y]）- (δγ)1-γγ- 1.（E[Y]）1-γ< 0.另一方面，g（β）→ 0为β→ ∞, 因此G（β）→ ρ>0为β→ ∞. 由于G（β）在β中是一个递减函数，而0<γ<1，因此G（β）在β中是递增的。因此，我们得出结论，G（β）=0有一个唯一的正解。给定V（x）=e-βx，那么我们有：（2.25）C*=δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.回想一下（2.22）中对G（β）的定义，以及β满意度G（β）=0。因此，最佳的C*在（2.25）中，必须满足以下等式：（2.26）λ+（1）- γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-1.例2。当p（y）=νe-νy，ν>0，β满足度（2.27）β“ρ+δγγ-1(β + ν)γ-1#=\"λ + δδγγγ-1(β + ν)γγ-1#ββ+ν，这意味着（2.28）ρ（β+ν）=λ+γ- 1.δγγ-1(β + ν)γγ-1.特别地，当γ=时，我们得到（2.29）ρ（β+Ⅴ）=λ（β+Ⅴ）+δ，因此（2.30）β=λ+pλ+ρδ2ρ- ν、双风险模型9与最优C*由（2.31）C给出*=Δρ（λ+pλ+ρδ）。验证定理。让我们回顾一下（2.32）infC≥0-（ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy= 0，V（0）=1。给定C∈ C、财富过程满足了动态：dXct=-（ρ+Ct）dt+djct和XC=x。定理3（验证）。让我们∈ Cbbe（2.32）的解决方案∈ C（2.33）极限→∞w（XCt）1{t≤τ} =0 a.s.那么，w≤ 五、另外，如果存在有界函数C*: R≥0→ R≥例如*（十）∈ argminC≥0-（ρ+C）w（x）+（λ+δCγ）Z∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy,和dX*t=-（ρ+C）*（十）*t））dt+dJC*（十）*T-)这是一个解决方案，w=V。证据

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大多数88

2022-5-9 07:40:47

由于w是有界的，并且连续可微，有界导数，因此通过跳过程的It^o引理，我们得到了[w（XCt∧τ） ]=w（x）+EZt∧τ- （ρ+Cs）w（Xcs）（2.34）+（λ+δCγs）Z∞[w（XCs+y）- w（XCs）]p（y）dyds≥ w（x），对于任何C∈ C.因此，w（x）≤ E[w（XCt∧τ） ]=E[w（XCt）1{t<τ}+1{t≥τ}].If由（2.33）和Lebesgue支配的收敛定理得出，上面的右手边收敛到P（τ<∞) andw（x）≤ P（τ<∞).通过对C的了解∈ C、我们得到w≤ 五、要获得等式，请注意，在上述参数中，当Ct=C时，我们有等式*（十）*T-) 推论4。V（x）=e-βx其中β是方程（2.17）的唯一解。证据这足以证明对于任何C∈ 克里姆特→∞经验(-βXCt）1{t≤τ} =0 a.s.注意，上述限值不为零的事件包括在L中∈N{ω：lim inft→∞XCt<L且τ=∞}. 因为C是有界的，给定XCt=x代表x∈ [0，L]，在任何有界时间间隔[t，t+h]内，XCt+hhas没有跳跃的概率为正。更具体地说，XCt+h=x- （ρt+RTCSD）对于所有h∈ [0，x/ρ]是正数。换句话说，如果lim inft→∞最终，阿拉什·法希姆和灵炯·朱的毁灭发生了。这意味着P（lim inf→∞< 五十、 τ=∞) = 0完成了证明。2.1.2. 渐近分析。备注5。我们已经证明了V（x）=e-βx，其中β是方程（2.17）的唯一正解，相当于G（β）=0，即（2.35）ρ- (δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ- λg（β）=0。现在，让我们来讨论值β（以及值函数V（x）=e-βx）和最优投资率C*取决于参数ρ、λ和δ。通过（2.35），我们有以下观察结果：（i）随着ρ的增加，g（β）增加。由于g（β）在β中减少，我们得出结论，β随着ρ的增加而减少。直观地说，随着研究和投资的固定运行成本增加，破产概率增加。

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nandehutu2022

2022-5-9 07:40:51

渐近地，如ρ→ 0，g（β）→ 0.当g（β）时→ 因为0<γ<1，我们必须有[g（β）]1-γg（β）。因此，通过（2.35），作为ρ→ 0，我们有g（β）~ρλ. 从g（β）的定义来看，我们有g（β）~βasβ→ ∞. 因此，我们得出结论（2.36）β~λρ，asρ→ 因此，最佳的C*满意度（2.37）C*~ (δγ)1-γρλ1.-γ、 asρ→ 0.（ii）随着δ的增加，g（β）减小。由于g（β）在β中减少，我们得出结论，β随着δ的增加而增加。直观地说，如果考虑到研发投资，未来利润的前景增加，那么破产概率就会降低。渐近地，如δ→ ∞, 我们有g（β）→ 0，因此δ→ ∞,(2.38) (δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ→ ρ、这意味着作为δ→ ∞, 我们有（2.39）g（β）~ρ1-γγγ- 1.1.-γδ.自g（β）~βasβ→ ∞, 我们得出结论（2.40）β~γγ- 1.1.-γρ1-γδ，asδ→ ∞.此外，最优C*满意度：（2.41）C*→ργ- 1，asδ→ ∞.现在，如果δ→ 0，然后是g（β）→ρλ. 因此，作为δ→ 0, β → α、这里我们重新定义α是唯一的正值，所以（2.42）1-Z∞E-αyp（y）dy=αρλ。双重风险模型11，与（2.1）中定义的相同。此外，最优C*满意度（2.43）C*~ (δγ)1-γρλ1.-γ、 asδ→ 直观地说，它表示为δ→ 0，在研发上投资没有价值。（iii）类似地，随着λ增加，β增加，破产概率降低。Asλ→ ∞, 我们有g（β）→ 因此，λg（β）→ ρ、和g（β）~ρλ. 自g（β）~βasβ→ ∞, 我们得出结论（2.44）β~λρ，asλ→ ∞.此外，最优C*满意度：（2.45）C*~ (δγ)1-γρλ1.-γ、 asλ→ ∞.（iv）假设选择的参数为（2.46）（ρ- λE[Y]）- (δγ)1-γγ- 1.（E[Y]）1-γ→ 0.那么，g（β）→ E[Y]和β→ 更准确地说，是β→ 0，g（β）~E[Y]-βE[Y]如果E[Y]<∞, （2.35）变成（2.47）ρ- (δγ)1-γγ- 1.E[Y]-βE[Y]1.-γ- λE[Y]-βE[Y]= O（β）。asβ→ 0

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能者818

2022-5-9 07:40:55

然后，它得出ρ- (δγ)1-γγ- 1.E[Y]1-γ-2(1 - γ）（E[Y]）γ1-γE[Y]β(2.48)- λE[Y]-βE[Y]= O（β）。因此，我们得出结论（2.49）β~-(ρ - λE[Y]）+（Δγ）1-γγ- 1.（E[Y]）1-γ(δγ)1-γ2γ（E[Y]）γ1-γE[Y]+λE[Y]。此外，最优C*满意度：（2.50）C*~ (δγ)1-γ（E[Y]）1-γ.备注6。值函数V（x）=e-βx和最优投资率C*也取决于参数γ。稍后我们将详细研究γ=1的情况。现在，让我们试着理解价值函数的渐近行为和最优投资率γ→ 1.-. 我们还将获得渐近解→ 0+. 让我们回忆一下，最优C*满足方程：（2.51）λ+（1- γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-因此，我们有- γ） δ（C）*)γ≤ ρΔγ（C）*)γ-这意味着（2.52）C*≤ργ1 - γ、 12 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHUThus，C*→ 0为γ→ 0.注意limγ→0+γγ= 1. 因此，我们可以检查（2.53）C*~ρΔλ+Δγ，asγ→ 0+.现在，让我们考虑γ→ 1.-限度让我们把方程（2.51）改写为（2.54）λ（1）- γ)1-γ+δDγ=ρδγD1-γ、其中D=（1）- γ） C*. 让我们首先考虑ρδ>λ的情况。首先请注意Limγ→1.-(1 - γ)1-γ= 1. 首先，D不能作为γ变为0→ 1.-, 因为除此之外，（2.54）的左手边变为λ，随着D变为0，D<1和D1-γ≤ 1，所以（2.54）的右手边大于ρΔγ。那么，在γ的极限下→ 1.-, 我们得到λ≥ ρδ，这是一个矛盾。第二，D不能去∞ 作为γ→ 1.-. 要看到这一点，请注意→ ∞, （2.54）的左侧变为∞ 在（2.54）的右侧，对于较大的D，D>1和D1-γ≥ 因此右手边小于ρδ，这是一个矛盾。因此，如果ρδ>λ，D收敛到一个正常数，从（2.54）我们可以看到极限为ρδ-λδ，我们有（2.55）C*~ρδ - λδ1 - γ、作为γ→ 1.-.如果ρδ<λ，则最优C*→ 0为γ→ 1.-.

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mingdashike22

2022-5-9 07:40:59

要看到这一点，请注意iflim supγ→1.-C*∈ (0, ∞), 在（2.51）中，我们有lim supγ→1.-ρΔγ（C）*)γ-1=ρδ和lim supγ→1.-[λ + (1 - γ） δ（C）*)γ] =λ，这是一个矛盾，因为ρδ<λ。如果lim supγ→1.-C*= ∞, 那么C呢*> 1，我们从（2.51）得到λ<λ+（1）-γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-1<ρδ，这又是一个收缩。因此，我们必须有C*→ 0.自从C*→ 0, (1 - γ） δ（C）*)γ ρΔγ（C）*)γ-1，因此为（2.56）C*~λρδγγ-1.~Eρδλ1.-γ、作为γ→ 1.-.如果ρδ=λ，则最佳C*满足以下等式：（2.57）λ=（1- γ） δ（C）*)γ（C）*)γ-1.- 1.假设C*> 0是固定的，然后根据L\'H^opital的规则，（2.58）limγ→1.-(1 - γ） δ（C）*)γ（C）*)γ-1.- 1=limγ→1.--δ（C）*)γ+（1- γ） δ（C）*)γ对数C*（C）*)γ-1+γ（C）*)γ-1日志C*=-δC*1+对数C*.因此作为γ→ 1.-, C*收敛到方程的唯一正解：（2.59）δx+λ（1+logx）=0.2.2。γ=1例。当γ=1时，这是一个奇异控制问题，V（x）满足Hamilton-Jacobi-Bellman方程，参见[12]：min中的第8章- ρV（x）+λZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy（2.60）- V（x）+δZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy= 0，双重风险模型13，边界条件V（0）=1。凭直觉，我们可以这样争论。When[Y]≥λρ，在没有任何研发投资的情况下，破产概率为1。当[Y]<λρ时，单位概率为e-αx小于1，其中α是满足以下等式的唯一正值：（2.61）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。如果我们投资于固定利率C和ifE[Y]<λ+δCρ+C，破产概率为e-αCx，其中αCis是满足以下等式的唯一正值：（2.62）（ρ+C）αC+（λ+δC）Z∞[e]-αCy- 1] p（y）dy=0。When[Y]- δ<0时，总是有可能投资以实现破产概率小于1。否则，投资根本无济于事。因此，我们得出以下结论：oE[Y]- δ<0，λE[Y]>ρ。在这种情况下，在没有任何研发投资的情况下，破产概率小于1。

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大多数88

2022-5-9 07:41:02

但如果你投资于研究和开发，将有助于降低破产概率。临界阈值为δ=λρ。如果δ>λρ，我们可以看到值函数由V（x）=e给出-α∞x、 α在哪里∞满足以下等式的唯一正值：（2.63）α∞+ δZ∞[e]-α∞Y- 1] p（y）dy=0。这是通过投资C来实现的→ +∞.如果δ<λρ，我们可以看到最优策略是不投资andV（x）=e-αx.oE[Y]- δ<0，λE[Y]<ρ。在这种情况下，破产很可能发生在没有任何研发投资的情况下。但是如果你在研究和开发上积极投资，破产概率就会降到1以下。我们可以看到V（x）=e-α∞x、接下来，我们试图严格证明上述主张。我们依赖于随机时变技术，这在随机分析中经常使用。2.2.1. 随机时间变化。现在让我们证明，值函数V（x）和最优策略确实是我们在γ=1的情况下所描述的。对于任何C∈ C、我们有（2.64）dXCt=-（ρ+Ct）dt+dJCt，其中JCt=PNCti=1Yi，其中nct是强度为λ+δCt的简单点过程-在时间t和yid处，与之前一样，是概率密度函数p（y）的i.i.d。让我们引入一个随机时间变化并定义T（T），通过：（2.65）ZT（T）（λ+δCs）ds=T.14 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu，很容易看出T（0）=0和T（T）→ ∞ 作为t→ ∞ 自从C∈ C是有界的。然后，（2.66）dXT（t）=-（ρ+CT（t））dT（t）+dJCT（t）。在随机时间变化下，dT（t）dT=λ+δc，JCT（t）分布为Jt:=PNti=1Yi，其中nti是强度为1的标准泊松过程。关于简单点过程的随机时间变化，参见例如Meyer[21]。因此，（2.67）dXT（t）=-ρ+CT（t）λ+δCT（t）dt+dJt。让我们也注意到（2.68）P（Xtever被毁）=P（XT（t）曾经被毁）。当ρλ<δ时，则infC≥0ρ+Cλ+δC=ρλ，最优策略为Ct≡ 0

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何人来此

2022-5-9 07:41:47

让我们回顾一下，当允许研发投资行业风险模型时，最佳投资率C*是下列方程的唯一正解：（5.4）λ+（1）- γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-1.当允许对一个市场指数进行额外投资时，最优投资率为C*因为对研发的投资保持不变。注意（5.4）中的最佳C*与彝族的分布无关。因此C的定义*与最小破产概率小于1的条件（2.8）无关。直觉上，这是因为*通过随机时变技术优化漂移项，但当违反条件（2.8）时，即使是最优C*仍然给出了等于1的破产概率。在图2中，我们给出了最优C*作为γ和δ的函数。注意，条件（2.8）相当于（5.5）ρ-λν- (δγ)1-γγ- 1.ν1-γ<0，对于p（y）=νe-νy.当违反此条件时，它对应于图2中图的下半部分中的深色区域。当（5.5）的左手边为零时，即为边界。在这个地区，无论研发投资多少，破产概率都是1。当条件（5.5）满足时，它对应于图2中曲线的上半部分。在这个区域，很容易观察到，随着δ的增加，C*增加。对于图2中的图，最佳C*对参数γ的变化不太敏感。0.2 0.4 0.6 0.824689.9Δγ0102。这是C的热图*作为δ和γ的函数。在图的下半部分较暗的区域，无论投资多少，破产概率始终为1。在图的上半部分，最小破产概率小于1，并显示了热图。

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