这里，我们取ρ=2，ν=2，λ=0.1。在图3中，我们研究了最优C*关于参数ρ和λ，给定δ=1，ν=0.1和γ=。对于γ=，我们在例2中表明28 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu是最佳的C*由（5.6）C给出*=Δρ（λ+pλ+ρδ）。当p（y）=νe-νyandγ=，条件（2.8）降低到（5.7）ρ-λν-δ4ν< 0.当违反此条件时，不管投资多少，破产概率始终为1，它对应于图3中地块右下角的黑暗区域。当满足该条件时，最佳温度的热图*作为ρ和λ的函数，如图3所示。我们可以看到，随着ρ的增加，最佳C*随着λ的增加，最佳C*减少。10 20 30 40 50246810ρλ010图3。这是C的热图*作为ρ和λ的函数。在图右下角较暗的区域，无论投资多少，破产概率始终为1。在图的其余部分，最小破产概率小于1，并显示了热图。这里，我们取ν=0.1，γ=0.5和δ=1。最后，让我们对依赖于状态的双重风险模型进行一些数值研究。首先，让我们考虑一个0<γ<1的例子。让我们把这个模型看作例子10。为了简单起见，我们假设γ=。回想一下，在示例10中，ρ（x）=ρ，λ（x）=λ（cx+c），以及δ（x）=δ（cx+c）。

最优投资率*（十）≡ Cis是一个常数，由以下公式给出：（5.8）C=Δρ（λ+pλ+ρδ）。最小破产概率由（5.9）2a给出√德克斯-dx+√πec4d（ac+2bd）erfc（2dx-C√d） 2a√d+√πec4d（ac+2bd）erfc(-C√d） ，双风险模型29，其中x是初始财富，a:=c，b:=c，（5.10）c:=ν-λ+δC1/2ρ+Cc，d:=λ+δC1/2ρ+Cc。通过在（5.9）中设置C=0，我们得到了在没有任何研究和开发投资的情况下的破产概率。在图4中，带圆圈标记的蓝色曲线代表无投资的破产概率，红色虚线代表有投资的最小破产概率。这两条曲线不同于指数衰减，这是由于状态相关模型的灵活性。正如在[32]中所观察到的，对于状态相关的双重风险模型，破产概率在初始财富方面可以有次指数、指数和超指数衰减。同样对于国家相关的双重风险模型，破产概率在初始财富中可能不是凸的（如图4中带圆圈标记的蓝色曲线所示）。0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81初始财富破产概率R&DNo投资图4。没有任何投资的破产概率图（带圆圈标记的蓝色曲线），研究和开发投资的最小破产概率图（红色虚线曲线）。x轴表示基础公司的初始财富，y轴表示（最小化）破产概率。这里，我们取γ=0.5，ρ=1，ν=0.1，λ=0.1，δ=1，c=1，c=1。接下来，让我们考虑一个与状态相关的双重风险模型的γ=1的例子。

让我们回忆一下，在例12中，ρ（x）=ρ（cx+c），λ（x）=ν+λ1+xρ（x）和δ（x）=δ，并且在假设ν<δ<ν+λ的情况下，最优C*由C给出*= 如果x为0≤ 十、*C*= ∞ 如果x>x*, 式中（5.11）x*:=λ- δ+ νδ- ν.从例12，在最优投资下，如果x>x，则最小破产概率由（3.20）中的V（x）给出*最小破产概率由（3.21）中的V（x）给出，如果x≤ 十、*, 其中x是初始财富。在没有任何投资的情况下，如ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU[32]中所述，在λ>1的假设下，我们可以计算破产概率由v（x）=R给出∞xλ（y）ρ（y）eνy-Ryλ（w）ρ（w）dwdyR∞λ（y）ρ（y）eνy-Ryλ（w）ρ（w）dwdy（5.12）=R∞十、ν+λ1+y（1+y）λdyR∞ν+λ1+y（1+y）λdy=ν（1+x）-λ+1+ (λ- 1） （1+x）-λλ+ ν - 1，严格介于0和1之间。在图5中，我们绘制了R&DNo investmentx中的初始财富破产概率投资的曲线*图5。没有任何投资的破产概率图（带圆圈标记的蓝色曲线），研究和开发投资的最小破产概率图（红色虚线曲线）。x轴表示基础公司的初始财富，y轴表示（最小化）破产概率。十、*在x轴上是临界阈值，超过该阈值时，最优策略将尽可能多地投资于研发，低于该阈值时，最优策略将完全不投资于研发。这里，我们取ρ=1（不相关）、ν=0.1、λ=1.2、δ=0.4、c=c=1（不相关）和γ=1。概率作为无投资初始财富的函数（带圆圈标记的蓝色曲线）和最小破产概率作为研究和开发最佳投资初始财富的函数（红色虚线曲线），如上文所述的依赖于状态的双重风险模型示例。在图5中，最优投资策略的临界阈值为x*= 3.在停车场。

当财富过程低于这个阈值x时*, 研发投资的最佳策略是不投资，当财富过程超过这个阈值x时*, 研发投资的最佳策略是尽可能积极地投资于双重风险模型。当x<x时*, 从（3.21）中，我们可以看到V（x）在x中衰减多项式，当x>x时*, 从（3.20）中，我们可以看到V（x）在x中呈指数衰减。参考文献[1]阿方索、L.B.卡多佐、R.M.R.和A.D.如idio dos Reis。(2013). 双重风险模型中的股利问题。保险：数学和经济学。53, 906-918.[2] 阿尔布雷彻，H.，巴德斯库，A.和D.兰德里奥。(2008). 关于纳税的双重风险模型。保险：数学和经济学。42, 1086-1094.[3] Avanzi，B.，Cheung，E.C.K.，Wong，B.和J.K.Woo。(2013). 在偿付能力连续监测的双重模型中，研究了一种周期性的股利限制策略。经济学：数学保险。52, 98-113.[4] 阿万齐，B.，格伯，H.U.和E.S.W.肖。(2007). 对偶模型中的最优红利。保险：数学和经济学。41, 111-123.[5] Azcue，P.和N.Muler。(2009). 借款约束下保险公司破产概率最小化的最优投资策略。保险：数学和经济学。44, 26-34.[6] Bayraktar，E.和M.Egami。(2008). 在跳跃扩散模型中优化风险投资。运筹学的数学方法。67, 21-42.[7] 贝拉克塔尔，E.和V.R.杨。(2007). 在借贷约束下，最小化生存时间破产的概率。保险：数学和经济学。41, 196-221.[8] Browne，S.（1995年）。具有随机风险过程的企业最优投资策略：指数效用和最小化破产概率。运筹学数学。20, 937-958.[9] 凯西，M.和R.哈克特。全球10大研发支出者。财富

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