（A.16）此外，不等式（A.6）给出εEmXi=1NXj=1 | PiTAC（τj）|≤ CmεEmXi=1NXj=1 | w*,iτj- wε，iτj-|.因此，limε→0εEhPmi=1PNj=1 | PiTAC（τj）| iε1-α/2≤Cm-limε→0εEhPmi=1PNj=1 | w*,iτj- wε，iτj-|iεEhPmi=1PNj=1 |βiτj-1（Bτj）- Bτj-1） i×εEhPmi=1PNj=1 |βiτj-1（Bτj）- Bτj-1） iε1-α/2=0，我们在最后一步中使用了（A.16）和（A.12）。这就完成了（A.13）和（3.5）的证明。第2步：离散化误差的扩展。对于离散化误差，我们进行类似的处理。对于j∈ N和r∈ [τj-1，τj）回想一下*,红外光谱- wε，ir=Zrτj-1.?- wε，ituwε，itdt+“√σit- wε，itσit-mXk=1wε，ktσkt#dBt。与第一步类似，我们可以替换w*T-wεtand∑tat带rrτj的前导阶-1βτj-1dBu∈Rmand∑τj-分别为1。因此，离散化误差可以重写为asE[DE（A）]=EZT（西）*T- wεt）>∑t（w*T- wεt）dt= EX0<τj<TZτjτj-1Ztτj-1βτj-1dBu！>∑τj-1Ztτj-1βτj-1dBu！dt+ o（εα）。关于Fτj的条件-1和t上的积分反过来使[DE（A）]=EX0<τj<TZτjτj-1trβ> τj-1∑τj-1βτj-1.（t）- τj-1） dt+ o（εα）=EX0<τj<Ttrβ> τj-1∑τj-1βτj-1.（τj）- τj-1)+ o（εα）=εαE“X0<τj<Ttrβ> τj-1∑τj-1βτj-1.Aτj-1（τj）- τj-1） #+o（εα）。由于过程∑和β被假定为有界、连续且满足（2.3），因此应用与之前相同的支配收敛参数意味着该和可以再次被相应的积分逼近：E[DE（A）]=εαE“ZTtrβ> t∑tβtAtdt#+o（εα）。这就完成了（3.6）和引理3.2的证明。A.4定理3.4的证明定理3.4的证明。选择α=，Fε简化的渐近展开式为Fε（A）=TEZTu>t∑-1tut2γdt-ε2/3TE“ZTγtrβ> t∑tβtAtdt+rπZTkβtk2,1√Atdt#+o（ε2/3）。因此，要获得最佳离散化规则A，仍然需要解决以下优化问题：min（At）t∈[0，T]ε2/3E“ZTγtrβ> t∑tβtAt+rπkβtk2,1√Atdt#。

（A.17）被积函数的逐点最小化很容易得到（3.9）中的优化器：*t=qπkβtk2,1γtrβ> t∑tβt2/3.堵住*回到成本函数（A.17）中，相应的最小订单总成本由（3.10）中的公式给出。为了完成证明，还需要证明这个过程是正确的*在定义2.3的意义上是可接受的。为此，请注意Frobenius范数yieldstr的次乘法性β> t∑tβt= trβ> tσtσ>tβt= kβtσtkF≤ kβtkFkσtkF≤ kβtk2,1kσtk2,1。考虑到推论A.2，它如下*T≥ Ckβtk2,1kβtk2,1kσtk2,1！2/3≥ CKσKβ2/3>0，适用于所有t∈ [0，T]。因此，E[（inft∈[0，T]A*（t）-1] < ∞. 此外，协方差矩阵∑的一致椭圆度意味着β> t∑tβ≥C trβ> tβt= CkβtkF≥ Ckβtk2,1。结果是：一个*T≤ Ckβtk2,1kβtk2,1！2/3≤Ckβtk2/32,1，所以RTA*根据假设，tdt有明确的预期（3.7）。总之，离散化规则a*是可容许的，因此确实是渐近最优的。参考文献[1]R.Almgren、C.Thum、E.Hauptmann和H.Li。直接估计股票市场的影响。风险，7月：58-62日，2005年。[2] A.Altarovici、J.Muhle Karbe和H.M.Soner。固定交易成本的渐近性。财政司司长。，19(2):363–414, 2015.[3] A.Altarovici、M.Reppen和H.M.Soner。重新审视固定成本和比例成本。暹罗J.ControlOptim。，2017年上映。[4] 巴伯里斯。在回报可预测的情况下进行长期投资。《金融杂志》，55（1）：225-264，2000年。[5] D·贝尔西马斯、L·科根和A·W·洛。时间什么时候是连续的？J.Financ。经济。，55(2):173–204,2000.[6] 比丘奇先生和瓜索尼先生。用流动和非流动资产进行投资。数学《金融》，2016年出版。[7] 比丘奇先生和史莱夫先生。效用最大化以交易成本交易两个期货。暹罗J.Financ。数学4(1):26–85, 2013.[8] 克拉克。关于反函数定理。派克靴。J

数学64(1):97–102, 1976.[9] P.柯林·杜弗兰、K.丹尼尔、C.莫阿莱米和M.萨格拉姆。具有可预测回报和交易成本的战略资产配置。预印本，2015年。[10] 康斯坦丁尼德斯。具有交易成本的资本市场均衡。J.波利特。经济。，94(4):842–862,1986.[11] M.H.A.戴维斯和A.R.诺曼。具有交易成本的投资组合选择。数学奥普。第15（4）号决议：676–7131990年。[12] N.加里诺和L.H.佩德森。具有可预测回报和交易成本的动态交易。《金融杂志》，68（6）：2309-23402013年。[13] N.G^arleanu和L.H.Pedersen。带摩擦的动态投资组合选择。J.经济。学说165:487–516,2016.[14] E.戈比特和N.兰登。几乎可以确定最优对冲策略。安。阿普尔。Probab。，24(4):1652–1690,2014.[15] P.Guasoni和E.Mayerhofer。杠杆的极限。预印本，2015年。[16] P.Guasoni和J.Muhle Karbe。长期、高风险厌恶和内生利差。数学《金融》，25（4）：724–753，2015年。[17] P.瓜索尼和M.H.韦伯。重新平衡具有共同价格影响的多种资产。预印本，2015年。[18] T.Hayashi和P.Mykland。评估套期保值误差：一种渐近方法。数学《金融》，2005年15:309-343。[19] K·简·切克和S·E·史莱夫。具有交易费用的最优投资和消费的渐近分析。金融斯托赫。，8(2):181–206, 2004.[20] K·简·切克和S·E·史莱夫。有交易成本的期货交易。伊利诺伊州J.数学。，54(4):1239–1284,2010.[21]J.卡尔森。基于局部效用最大化的衍生定价。金融斯托赫。，6(1):115–140, 2002.[22]J.卡尔森和S.李。小交易成本下的投资组合优化：凸对偶方法。预印本，2013年。[23]J.卡尔森和J.穆勒·卡贝。具有小交易成本的最优投资和消费的一般结构。数学《金融》，2015年出版。[24]T.S.Kim和E.Omberg。

动态非近视投资组合行为。牧师。财务部。螺柱。，9(1):141–161,1996.[25]S.L.劳、C.F.李、S.豪森和J.N.德温。将多资产组合优化与交易成本相关联。预印本，2007年。[26]刘浩。具有交易成本和多重风险资产的最优消费和投资。《金融杂志》，59（1）：289-3382004。[27]A.W.林奇和S.谭。解释流动性溢价的规模：回报可预测性、财富冲击和依赖国家的交易成本的作用。《金融杂志》，66（4）：1329-13681011。[28]M.J.P.Magill和G.M.Constantinides。具有交易成本的投资组合选择。J.经济。《理论》，13（2）：245–2631976年。[29]R.马丁。比例交易成本下的最优交易。风险，2014年8月：54-59日。[30]R.Martin和T.Schoneborn。均值回归带来了回报，但也付出了代价。风险，2011年2月：96-101日。[31]A.J.麦克尼尔、R.弗雷和P.恩布雷切斯。定量风险管理：概念、技术和工具。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2015年。[32]Y.Melnyk和F.T.Seifred。不完全市场中长期增长率的小成本渐近性。数学《金融》，2017年出版。[33]L.Moreau、J.Muhle Karbe和H.M.Soner。价格影响小的交易。数学《金融》，toappear，2015年。[34]K.穆图拉曼和S.库马尔。具有比例交易成本的多维投资组合优化。数学《金融》，16（2）：301-3352006。[35]M.纳茨。电力效用最大化的风险规避渐近。Probab。理论关系。Fields，152（3）：703–7492012。[36]D.Possamai、H.M.Soner和N.Touzi。小交易成本的同质化和渐近性：多维案例。公社。部分差别。等式40（11）：2005-20462015。[37]L.C.G.罗杰斯。为什么比例交易成本的影响是O（δ2/3）？《金融数学》编者尹G和张Q著，Contemp第351卷。数学第303-308页。

艾默尔。数学Soc。，普罗维登斯，国际扶轮，2004年。[38]S·E·史莱夫和H·M·索纳。具有交易成本的最优投资和消费。安。阿普尔。Probab。，4(3):609–692, 1994.[39]H.M.索纳和N.图兹。小交易成本的同质化和渐近性。暹罗J.控制优化。，51(4):2893–2921, 2013.[40]P.坦科夫和M.罗森鲍姆。带跳跃套期保值策略的渐近最优离散化。安。阿普尔。Probab。，24(3):1002–1048, 2014.[41]B.T\'oth、Y.Lemperiere、C.Deremble、J.De Latailade、J.Kockelkoren和J.-P.Bouchaud。反常的价格影响和金融市场流动性的关键性质。物理修正。十、 1（2）：2011年2月1日。[42]J·B·沃尔什。随机偏微分方程导论。在《圣面学院十四至1984》第265-439页。斯普林格，1986年。[43]A.E.沃利和P.威尔莫特。考虑交易成本的期权定价最优套期保值模型的渐近分析。数学《金融》，7（3）：307-324，1997年。