多维投资组合的最优再平衡频率

2022-5-9 07:49:06

多维投资组合的最优再平衡频率*Ibrahim Ekren+Ren LiuJohannes Muhle Karbe.§2017年5月24日摘要我们研究了存在小比例交易成本的多资产最优投资。我们没有计算渐近最优的非交易区域，而是在适当的交易频率上进行优化。我们推导出了在一般多维差异环境下，由于小交易成本导致的这些和相关福利损失的显式公式，并使用蒙特卡罗模拟将其性能与许多替代方案进行了比较。数学学科分类：（2010）：91G10、91G80。分类：JEG11。关键词：交易成本、最佳交易频率、最佳投资、多重资产1简介资产管理中的一个基本问题是何时以及如何重新平衡投资组合。在这样做的过程中，贸易商需要在密切跟踪实现最佳风险回报交易效果的无摩擦目标投资组合和限制交易成本之间取得平衡，这使得所有过于频繁的交易都非常昂贵。在实践中，这个问题通常是通过指定一个“合适的”交易频率来解决的，比如每天、每周或每月重新平衡，或多或少是以一种特别的方式。然而，理论指出，这种方法不是最优的。事实上，对于比例交易成本——这对中等规模投资者来说是合理的假设——有大量文献证明，最优策略应该是“移动”，而不是“基于时间的”[28、10、11、38、43]。也就是说，再平衡时间的选择不应该是外在的，而应该是由投资者的实际投资组合偏离其无摩擦目标的内在决定的。

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2022-5-9 07:49:10

近年来，在这类问题上取得了重大进展，导致对单一风险资产的小额交易成本限制制度进行了相当完整的分析，并制定了明确的再平衡规则[39,40,29,23]。*对于有帮助的评论，我们感谢Kai Du、Paolo Guasoni、Yaroslav Melnyk和Max Reppen。我们还感谢后者慷慨地分享了他的研究成果。此外，感谢匿名裁判的相关评论。+ETH Z¨urich，瑞士Z¨urich，R¨amistrasse 101，CH-8092，Mathematik部门，电子邮件：ibrahim。ekren@math.ethz.ch.ETH Z¨urich，瑞士Z¨urich，CH-8092，R¨amistrasse 101，Mathematik部门，电子邮件：ren。liu@math.ethz.ch.§密歇根大学数学系，美国密歇根州安娜堡教堂街530号，邮编：48109，emailjohanmk@umich.edu.这项研究的一部分是在作者访问ETH Z¨urich的Forschungsinstitut f¨urMathematik（FIM）时完成的。相比之下，人们对许多风险资产这一事实上非常重要的案例知之甚少。对于二元Black-Scholes模型[34]有一些数值结果，但尽管最近在渐近分析[7,36]方面取得了一些进展，这类问题仍然相当棘手。因此，在本研究中，我们重新探讨了更简单的基于时间的方法。在一般的多维差异环境中，我们考虑最大化预期相对回报的投资者，因相应的（局部）差异和交易成本而受到惩罚。在对小交易成本的限制中，我们明确确定了最佳的“基于时间的再平衡规则”，在当前交易实施时，下一个交易时间已经确定。我们还提供了一个显式的渐近公式，用于量化与无摩擦状态相比的性能损失。

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2022-5-9 07:49:14

这些结果为（多维）投资组合的再平衡提供了新的思路。首先，对于单个风险资产，它们允许我们明确量化基于时间的再平衡规则相对于基于移动的再平衡规则的次优性[19,29,39,23]。结果表明，与无摩擦情况相比，相应的效用损失的比率是一个普适常数，与市场或偏好参数无关：（12/π）1/3≈ 1.56. 该数字应与常数21/3进行比较≈ 1.26将基于移动的最佳策略[15]（通过改变交易边界来实施）与一类策略中的最佳策略区分开来，一旦这些边界被打破，该类策略将立即交易回无摩擦目标[32]。因此，采用基于移动的策略会引入一个几乎相同大小的额外“次优因素”(≈ 1.24）立即回到无摩擦目标(≈ 1.26).第二，我们提供了一个明确的公式，用于在一般多维环境中评估简单基准策略的性能。在一维情况下，交易成本造成的福利损失的关键统计数据是无摩擦目标权重的扩散系数[43,19,23]。在我们的环境中，这个角色是由无摩擦StarGet与其买入和持有近似值之间差异的差异矩阵来扮演的。该数量通过（1.1）中定义的L2,1-范数确定最佳等待时间和相应政策的绩效，并通过跟踪范数与风险资产的扩散矩阵加权。第三，我们进行了大量数值测试，比较基于时间的交易规则与各种替代方案的性能。

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2022-5-9 07:49:17

对于具有恒定投资机会的Black-Scholes模型，我们发现，对于一种和两种风险资产，基于时间的最优再平衡规则的性能实际上与基于移动的最优投资组合一致。在这些情况下，1%交易成本的最佳交易频率低于每两年一次，因此，特定的再平衡方法并不起关键作用。为了说明随机投资机会模型中的这种变化，我们考虑了Kim和Omberg[24]模型的截断版本，其中预期收益是均值回复，最优策略是趋势跟踪类型。在这里，最佳交易频率增加到大约每半年一次，当可以明确计算单个风险资产时，基于移动的最佳策略会带来显著的改善。对于不止一种风险资产，以最优移动策略为特征的非交易区域不再明确已知，其计算的数值算法也不可用。然而，我们发现，即使是相关风险资产，单变量非交易区域的关联（对于具有固定或二次交易成本的不相关模型来说是渐近最优的）更容易处理，分别参见[2]或[12,9,33,17]，但对于非线性交易成本，例如许多实践者[1,41]倡导的平方根价格影响得出的交易成本，该问题只会加剧[40,29,12,15]中使用了标准。

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2022-5-9 07:49:20

在适当的可积条件下（例如[22]），我们的渐近结果可以推广到全局准则。一种特殊情况是之前文献中考虑的恒定交易频率，例如[5,18]；更一般地说，等待时间可能取决于当前的市场特征。处于高风险厌恶极限[16]）的风险资产仍优于基于时间的再平衡规则。这些结果传达的信息好坏参半。随着投资机会的不断增加，基于时间的平衡提供了几乎最优的结果，并为最优交易时间及其在任意维度的表现提供了明确的公式。因此，在这些环境中，它们是一种简单的替代方案，而不是易于驾驭的最优策略。相比之下，对于随机投资机会，例如，如果最优策略是趋势跟踪型的，我们的结果表明，即使是临时的多维非贸易区似乎也比基于时间的再平衡计划更适合。因此，这方面的进一步发展——可能在Gobet和Landon[14]中使用更明确的离散化方案——仍然是未来研究的一个具有挑战性的方向。本文的剩余部分组织如下：第2节介绍了模型和优化问题。我们的主要结果收集在第3节。随后，我们在不同的基线模型中对最优策略的性能进行了数值分析，并通过蒙特卡罗模拟将其与许多备选方案进行了比较。所有证据都收集在附录A中。在本文中，符号C代表一个通用的正常数，它可能因表达式而异。

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2022-5-9 07:49:23

b> 表示列向量b的转置∈ Rm，kbkRmits是Rm上的欧氏形式，bc是b的内积∈ Rmand c∈ Rm。我们用Mm×d（R）表示m×d矩阵的空间，实数项具有L2,1范数：kAk2,1：=mXi=1vuutdXj=1 | Aij |。（1.1）对于m×m矩阵A，tr（A）：=Pmi=1aii表示其轨迹。此外，我们还为m×d矩阵a的Frobenius范数编写了kAkF:=qPmi=1Pdj=1 | Aij |，并用（Ai）1表示≤我≤M∈ Rd是矩阵A的第i行。最后，对于E Rp和K=Rmor Mm×d（R），我们用Cjb（E；K），j表示∈ N一类k值有界j次可微函数，其导数高达j.2阶模型2。1.基于过滤概率空间的市场(Ohm, F、 P），我们考虑一个由m+1资产组成的金融市场：一个无风险资产，标准化为一，m个由d维布朗运动B=（B，…，Bd）>：dSitSit=ui（Yt）dt+mXj=1σij（Yt）dBjt，i=1，m、这里，状态变量Y=（Y，…，Yp）>∈ RPI是一个自主扩散过程，dYit=bi（Yt）dt+pXj=1gij（Yt）dBjt。Gobet和Landon[14]研究了当价格增量存在于椭球体时，重新平衡策略的离散化误差。联合最小化交易成本，这种离散化误差更复杂，需要使用数值方法优化从RDR到R的函数，这些函数来自命中时间的预期。风险资产的预期超额收益通过向量估值过程u（Y）=（u（Y），um（Y））>；矩阵值过程σ（Y）中的条目σij（Y）描述了风险资产i在布朗运动b的第j分量引起的冲击方面的暴露。同样地，b（Y）=（b（Y），bp（Y））>∈ Rmand g（Y）=（gij（Y））1≤我≤p、一,≤J≤D∈ Rp×状态变量的位移系数和扩散矩阵。自始至终，我们施加以下规则性条件：假设2.1。

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2022-5-9 07:49:26

让E Rpbe是状态变量Y的支持。（i） u∈ Cb（E；Rm），b∈ Cb（E；Rp），σ∈ Cb（E，Mm×d（R））和g∈ Cb（E，Mp×d（R））。也就是说，漂移系数和扩散系数是有界的，并且两次连续可微分有界导数。特别是supy∈对于某些常数Kσ>0，Ekσ（y）k2,1<Kσ。（ii）风险资产的协方差矩阵∑（Yt）：=σ（Yt）σ（Yt）>是一致椭圆的，因此其逆∑-1=（ξij）1≤i、 j≤mexists for all t∈ [0，T]且在E.2.2无摩擦优化上一致有界。为了设置阶段，我们首先简要概述了无摩擦情况，即投资组合再平衡是无成本的。为此，考虑一个初始财富v>0的投资者。如果她在时间t持有风险资产的fractionswt=（wt，…，wmt）>，她的财富具有以下动态：dVtVt=mXi=1witui（Yt）dt+σi（Yt）dBt, V=V.如[9,15]中所述，投资者将其预期相对回报最大化，并因相应的差异而受到惩罚。在连续时间限制中，这导致以下局部均值-方差标准：F（w）：=TEZTdVtVt-γZTd[V]tVt=TZTEhw（Yt）>u（Yt）-γw（Yt）>∑（Yt）w（Yt）idt→ 最大值！（2.1）在这里，风险规避参数γ>0与预期收益和方差的相对重要性进行权衡。逐点最大化很容易产生这个目标函数被梅顿投资组合最大化：w*（Yt）：=（w）*,1（Yt），W*,m（Yt））>=γ∑-1（钇）u（钇）。（2.2）通过将（2.2）插回（2.1）：F（w）获得相应的最佳无摩擦性能*) =TEZTu（Yt）>∑-1（钇）u（钇）2γdt.自始至终，我们假设默顿投资组合既不卖空安全资产，也不卖空风险资产，并且从不将所有基金投资于其中一项：假设2.2。0≤ W*,i（Yt）<1，i=1，m、 0<Pmi=1w*,i（Yt）≤ 1.第二个等式来自假设2.1（ii）。

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2022-5-9 07:49:30

[21]在无摩擦的情况下，以及[30,12,13,29]在交易成本的情况下，研究了财富过程绝对增量的类似标准。2.3引入交易成本，我们在优化问题（2.1）中加入比例交易成本ε>0。即使交易成本非常小，任何有限变化的策略都会导致立即破产。特别是，默顿投资组合（2.2）无法实施，因为相应的风险股数量一般遵循一个扩散过程。在这里考虑的一般多维环境中，即使在小交易成本的限制下，也不可能计算表征最优策略的非交易区域。因此，我们在这里关注的是在“基于时间的”再平衡策略类别中确定最佳交易频率这一不太雄心勃勃的目标，可以描述如下。在时间τ=0时，设置默顿投资组合w*（Yτ）从（2.2）中选择，并根据当前市场特征选择下一个再平衡日期τ。在时间τ之前，让投资组合不受控制地发展，然后再将其重新平衡到默顿投资组合w*（Yτ）atτ。然后，根据时间τ上的可用信息选择下一个交易时间τ，并重复操作，直到到达终端时间T。因为我们最终对极限ε感兴趣↓ 对于小交易成本，我们将连续交易之间的等待时间参数化如下：定义2.3。离散化规则是一个适应的、连续的、积极的过程ZTAtdt< ∞ 还有E输入∈[0，T]At< ∞. （2.3）与离散化规则A相关的交易时间和交易成本ε>0由以下停止时间的递增顺序给出：τ=0，τj=τj-1+εαAτj-1，j=1，2。

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2022-5-9 07:49:33

也就是说，参数α控制着如何在交易成本较低的情况下加快交易，而交易过程（At）t∈[0，T]结合了当前的市场特征。请注意，（2.3）中的第二个要求意味着到期前的交易数量为a.s.finite:N:=inf{j≥ 0:τj+1≥ T}≤ε-αTinft∈[0，T]At<∞ P-a、 s.（2.4）此外，利用a的连续性，（2.3）中的第一个要求得出thatlimε→0supj≤N{τj+1- τj}≤ limε→0εαsupt∈[0，T]At=0 P- a、 s.（2.5）也就是说，离散化的网格宽度确实由εα决定。给定一个离散化规则和初始财富，相应的财富过程可以递归地描述如下：只有当它恰好是买入并持有类型时，才会出现例外，因为它位于单位单纯形的一个角。在不考虑小成本限制的情况下，最优目标投资组合通常不同于无摩擦优化器，请参见[13]以了解更易于处理的二次成本模型中的详细讨论。在小成本限制下，差异消失，向默顿投资组合的再平衡变得渐近最优[33]。这与具有小比例成本的单资产模型的渐近结果类似，其中渐近最优策略也围绕无摩擦默顿投资组合对称[43,19]。在这里，我们不确定其他目标投资组合的次优性，以避免由此带来的额外技术问题，因为向默顿投资组合再平衡在实践中是标准的。定义2.4。确定初始财富v>0和离散化规则a。然后，美元金额vε，i（a），i=0，m投资于每项资产，反过来总财富Vε（A）=Pmi=0Vε，i（A）演变如下。在初始时间t=τ=0时，我们有vε，i（A）：=vw*,i（Y），i=1。

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2022-5-9 07:49:36

，m，Vε，0（A）：=V-mXi=1Vε，i.On（τj-1，τj）没有进行交易，因此财富过程演变为不受控制的asVε，0t（A）=Vε，0τj-1（A），Vε，it（A）=Vε，iτj-1（A）expZtτj-1.ui（Ys）-||σi（Ys）|Rdds+Ztτj-1σi（Ys）dBs！，i=1，m、与相关的风险权重wε，it（A）：=Vε，it（A）/Vεt（A），i=0，m、在时间t=τj时，投资组合重新平衡为默顿投资组合w*（Yτj）来自（2.2）。也就是说，美元金额Vετj-资产i中的Liτj通过wε确定，iτj=Vετj-（A）wε，iτj-+ LiτjVετj-（A）1.- εPmi=1|Liτj|=wε，iτj-+ Liτj1- εPmi=1|Liτj |！=W*,iτj，i=1，m、然后，风险权重wετj（A）与默顿权重w匹配*（Yτj）从安全账户中减去交易成本，然后再减去总财富：Vετj（A）=Vετj-（A）一,- εmXi=1||τ！。根据手头的财富动态，我们现在制定了投资者的局部均值-方差标准，交易成本与其无摩擦对应物（2.1）直接类比：Fε（A）：=TEZTdVεt（A）Vεt-（A）-γZTd[Vε（A）]tVεt-（A）→ 最大值！（2.6）3主要结果由于优化问题（2.6）不能以封闭形式求解，我们研究了当传递成本ε趋于零且解接近其无摩擦对应物（2.2）时的极限。然后，目标函数可以渐近地分解为无摩擦对应函数，以及分别由交易成本和无摩擦目标位移直接造成的损失（比较[37,19,20,23]）：命题3.1。在假设2.1和2.2下，对于0<α<2和离散化规则a，目标函数的展开式如下：↓ 0:Fε（A）=TEZTu（Yt）>∑-1（钇）u（钇）2γdt-TEhTAC（A）+γDE（A）i+O（ε2）-α).

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2022-5-9 07:49:40

（3.1）也就是说L对应于每种风险资产中交易的财富份额。注意，（2.6）中的两个积分都与跳跃过程有关，这与无摩擦情况（2.2）不同。α ≥ 2对应于非常频繁的再平衡，目前的渐近性不再适用。然而，在这种情况下，我们可以直接验证相应的交易成本是否大于最优订单O（ε2/3）。这里，交易成本TAC（A）和离散化误差DE（A）由TAC（A）给出：=εmXi=1NXj=1|Liτj |，（3.2）DE（A）：=ZT（w）*（Yt）- wε（Yt））>∑（Yt）（w*（Yt）- wε（Yt））dt。（3.3）证据。见A.2节。在上述分解中，术语TAC（A）跟踪通过应用离散化规则A累积的交易成本。术语DE（A）反过来测量剩余的效用损失，这是由于从无摩擦目标投资组合中置换而产生的。随着交易成本ε趋于零，这些项在定义2.3：引理3.2中的参数α确定的不同渐近速率下趋于零。定义β（Yt）=（β（Yt），βm（Yt）>带βi（Yt）：=~σi（Yt）- W*,i（Yt）σi（Yt）-mXk=1w*,k（Yt）σk（Yt）！∈ Rd，（3.4），其中∑（Yt）是默顿投资组合（2.2）的扩散系数（A.2）。然后，对于0<α<2和离散化规则a，以下展开式保持在极限ε内↓ 0:E[TAC（A）]=EεmXi=1NXj=1|Liτj|= ε1-α/2E“rπZTkβ（Yt）k2,1√Atdt#+o（ε1）-α/2），（3.5）E[DE（A）]=EZT（西）*T- wεt）>∑t（w*T- wεt）dt=εαE“ZTtrβ（Yt）>∑tβ（Yt）Atdt#+o（εα），（3.6），其中所有预期都是积极的和确定的。证据见A.3节。上述公式中的关键量是矩阵β。其条目测量无摩擦目标重量和离散再平衡偏差之间的差异，cf。

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2022-5-9 07:49:43

引理A.1和引理A.3。更频繁的再平衡明显减少了离散化错误，但也增加了货币交易成本。因此，为了使离散规则上的目标函数Fε最大化，我们必须选择α>0，这样两个误差项的前导阶都是相同的。引理3.2表明，对于α=2/3，前导阶在ε2/3处匹配。在这种选择下，最大化交易成本的局部均值-方差标准相当于最小化i）交易成本和ii）离散化误差之和，加权风险规避：注意，尽管离散再平衡投资组合中的股票数量变化有限，但相应的风险权重并非如此，这会引起不同的价格冲击。[40]直接使用了绝对量方面的类似标准。定义3.3。如果离散化规则A使引导顺序总成本TC（A）：=limε最小，则称其为渐近最优→0ETAC（A）+γDE（A）ε2/3.该渐近准则的最优离散化规则和性能可以显式计算：定理3.4。假设假设假设2.1和2.2成立，假设（3.4）中的β满足“影响”∈[0，T]kβ（Yt）k2/32,1#<∞. （3.7）那么，TC（A）=E“ZTγtrβ（Yt）>∑（Yt）β（Yt）Atdt+rπZTkβ（Yt）k2,1√Atdt#。（3.8）渐近最优离散化规则由A给出*（Yt）=qπkβ（Yt）k2,1γtr（β（Yt）>∑（Yt）β（Yt））2/3，（3.9）与相关交易时间τ*= 0和τ*j=τ*J-1+ε2/3A*（Yτj）-1），j=1，2。对应的最小前置订单总成本为（A*) =EZTrπkβ（Yt）k2,1！2/3γtrβ（Yt）>∑（Yt）β（Yt）1/3dt.

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2022-5-9 07:49:46

（3.10）相对于无摩擦情况，渐近最优交易频率（3.9）和相应的福利损失（3.10）完全由（3.4）中的β和风险资产的协方差矩阵∑决定——与其他交易成本较小的模型一样，预期收益不会在前序直接贡献。条件（3.7）要求β（Y）不太小。由于该术语描述了无摩擦目标权重和离散再平衡差异系数之间的差异，这意味着目标策略与买入持有投资组合不太接近。否则，目前的渐进机制可能不适用。在多元Black-Scholes模型中，只要一个投资组合权重既不是零也不是一，这个条件就满足。对于更复杂的模型，需要根据具体情况进行验证；在第4.2节中，我们对具有均值回复收益的二元模型进行了这项研究。公式（3.10）的推导表明，直接交易成本占总成本TC（A）的三分之二*), 剩下的三分之一是由于离散化错误。令人惊讶的是，这些普遍相对贡献并不取决于风险资产的数量，也与单变量渐近最优移动策略的相应结果一致[23]。经适当修改后，同样的参数也可用于评估一个平衡频率的性能，即交易时间τj=τj-1+ε2/3A，对于某些常数A>0。

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2022-5-9 07:49:49

这些政策更容易解释和实施，但会导致一些更麻烦的公式。事实证明，最优常数离散化规则是beA*=EhqπRTkβ（Yt）k2,1dtiEhγRTtr（β（Yt）∑（Yt）β（Yt））dti2/3，（3.11），这导致了TC的总成本（a*) =E“rπZTkβ（Yt）k2,1dt#！2/3EγZTtr（β（Yt）∑（Yt）β（Yt））dt1/3.4示例和含义在本节中，我们用一些示例来说明我们的结果。首先，我们考虑单个风险资产的情况，并将基于时间的再平衡规则与基于行动的最优策略的性能进行比较[15,32]。然后，我们转向具有两个风险集的模型，其中我们使用蒙特卡罗模拟来对我们的政策进行基准测试，i）简单的买入和持有策略，ii）单变量基于移动的策略按组件粘贴在一起，以及iii）最优的双变量基于移动的策略，数值计算[3]。（在每次模拟中，选择足够大的路径数，以确保结果的标准误差小于1基点。）最后，我们还报告了10个风险资产的Black-Scholes模型的渐近公式的结果。4.1单资产Black-Scholes模型我们首先考虑单变量Black-Scholes模型，其中预期超额收益u、风险资产的波动率σ，以及无摩擦的Merton portfoliow*= u/γσ为正常数。

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2022-5-9 07:49:52

然后，w的波动率σ*消失，我们默认γ>u/σ，因此假设2.2是满足的，（3.7）也是成立的，因为β=σ（1- W*)W*∈ (0, 1).因此，定理3.4是适用的，并产生以下渐近最优离散化规则：A*=qπσ|（1）- W*)W*|γσ(1 - W*)（w）*)2/3=p8/πγσ| w*(1 - W*)|!2/3.因此，交易时间τ之间的等待时间*j+1=τ*j+ε2/3A*如果i）交易成本ε较大，ii）目标投资组合接近于买入并持有策略，iii）风险规避γ较低，或iv）市场波动率σ较低，则为多头。相应的前序性能损失由σT给出8πγε| w*(1 - W*)|1/3.它相当于在营业时间σT=dhSiT/ST中应计的年金，由风险规避γ、交易成本ε和| w确定*(1-W*)| 它衡量了无摩擦优化器基于时间的买入和持有2的无摩擦移动。50%2.47%2.46%2.32%表1：不同策略的模拟预期收益（2.6）。参数为：样本尺寸=10，dt=1/250，u=8%，σ=16%，γ=5，T=20，ε=1%。与买入并持有策略的距离。同样的成分也出现在[15]：σT中研究的渐进最优基于移动的性能中γε| w*(1 - W*)|1/3.因此，基于行动的策略所能实现的渐进福利损失与基于时间的最佳绩效之间存在一个普适因子，即π1/3≈ 1.56，独立于市场和偏好参数。这补充了[32]的一个结果，他发现，对于单位相对风险厌恶，基于移动的策略（通过影响交易边界实现再平衡）和基于移动的策略（直接重新平衡到无摩擦目标）也存在类似的关系。然后，连接两个相应优化器的通用常数为21/3≈ 1.26.为了了解这些影响的程度，让我们考虑一个具体的例子。

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2022-5-9 07:49:56

对于u=8%、σ=16%和γ=5，无摩擦目标组合由w给出*= 62.5%. 对于1%的交易成本，我们基于时间的再平衡规则规定每2.23年交易一次。即使fortransaction成本仅为ε=0.1%，等待时间仍将近6个月。因此，所有再平衡策略的福利损失都相对较小。事实上，最佳时间和基于移动的再平衡规则之间的差异在这里被证明是可以忽略的，参见表1。Kim-Omberg模型下一步，我们转到一个环境，在这个环境中，随机投资机会提供了额外的交易动机，这使得交易成本更加重要，参见[27]。为此，我们考虑了Kim和Omberg[24]模型的一个变体，其中预期回报是均值回复。为了满足我们的规律性假设，我们考虑了一个版本，其中由于状态变量的值过大，预期收益被截断：dSt=Stu（Yt）dt+σdBt,dYt=λY“Y”- u（Yt）dt+αYηdBt+αYp1- ηdBt。这里，B=（B，B）>是二维布朗运动，函数u是恒等式函数的光滑切分形式，选择时u为C，有界导数，y为7→ u（y）-“Y）很奇怪。也就是说，存在ymin<ymax和一个小常数ξ>0，使得（u）（y）=1，给y∈ [ymin+ξ，ymax- ξ] ，s（y），代表y∈ （ymin，ymin+ξ）∪ （ymax）- ξ、 ymax），0，否则，其中y7→ s（y）是一个（0，1）值函数。状态变量Y遵循修正的OrnsteinUhlenbeck过程，长期平均值为0</Y∈ （ymin，ymax），平均回复速度λY>0。

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2022-5-9 07:49:59

这个数量也可以解释为无摩擦目标权重相对于股价相对变化的敏感性，比较[19]。[23,32]中的启发式论证表明，相同的通用常数也适用于更普遍的偏好。为了证明这确实是长期平均值，计算一维扩散Y的不变测度，它有指数尾，并且在Y附近对称，因为Y 7→ u（y）-“Y）/σ是奇数。Y的扩散向量由（αYη，αYp1）给出- η），其中αY>0和η∈ (-1, 1).附加的状态变量意味着无摩擦默顿解不再是恒定的，而是随机的*（Yt）=u（Yt）/γσ。我们假设风险规避γ和削减水平symin，ymaxforu的选择使得δ≤ W*≤ δ为0<δ<δ<1。然后，默顿比例*（Y）又是一个It^o过程（参见引理A.1）：dw*（Yt）=u（Yt）dt+＠σ（Yt）dBt，带＠σ（Yt）=γσ（αYη，αYp1- η） >，对于Yt∈ [ymin+ξ，ymax- ξ] ，s（Yt）γσ（αYη，αYp1- η） >，对于Yt∈ （ymin，ymin+ξ）∪ （ymax）- ξ、 ymax），否则为0。一个简单的计算表明（3.4）中的矩阵β（Y）由β（Yt）给出=γσ（αYη，αYp1- η)>- W*（Yt）（1）- W*（Yt））（σ，0）>，对于Yt∈ [ymin+ξ，ymax- ξ] ，s（Yt）γσ（αYη，αYp1- η)>- W*（Yt）（1）- W*（Yt））（σ，0）>，对于Yt∈ （ymin，ymin+ξ）∪ （ymax）- ξ、 ymax），-W*（Yt）（1）- W*（Yt））（σ，0）>，否则。特别是，存在一个C>0的kβ（Yt）k2,1≥|β（Yt）|=αY√1.-ηγσ>0，对于Yt∈ [ymin+ξ，ymax- ξ],≥ Ckβ（Yt）k=C|s（Yt）γσαYη- σw*（Yt）（1）- W*（Yt）|+|s（Yt）γσαYp1- η|> 0，为Yt∈ （ymin，ymin+ξ）∪ （ymax）- ξ、 ymax），|β（Yt）|≥ δ(1 - δ） σ>0，否则，这反过来意味着假设2.2和条件（3.7）满足。

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2022-5-9 07:50:02

因此，定理3.4表明，最佳交易频率现在取决于状态变量，并且由（τ）给出*J- τ*J-1）（Yτj）-1） =rπεγσkβ（Yτj）-1） k2，1！2/3, J≥ 其中kβ（y）k2,1=2σ（（w*（y）（1）-W*（y）））-αYγσηw*（y）（1）-W*（y） [ymin+ξ，ymax上的αY2γσ）-ξ].相应的前置订单性能损失（3.10）如下所示：σE“ZT2πγεkβ（Yt）k2,11/3dt#。对于单位相对风险规避，基于移动的最优策略的前导顺序损失比（12/π）1/3的普适因子小，就像Black-Scholes模型[32，定理4.1]一样。[23,32]中的启发性论证再次表明，对于更一般的参考文献，这种关系仍然成立。无摩擦移动基于时间的恒定频率购买和持有2。65%2.28%2.09%2.09%1.27%表2：不同策略的模拟预期收益（2.6）。参数取自[4]：Y=5.60%，αY=3.68%，λY=0.2712，σ=14.28%，γ=5，η=-0.9351，T=20，ε=1%，dt=1/250，N=10。为了说明这些结果，我们考虑了从使用权市场数据的长时间序列估计的参数[4]：Y=5.60%，αY=3.68%，λY=0.2712，σ=14.28%，η=-0.9351.表2收集了最佳基于时间的再平衡规则、其基于移动的对应规则和简单的买入持有策略的性能的蒙特卡罗估计。此外，我们还考虑了与最佳恒定交易频率（3.11）相关的策略，即对于1%的交易成本和风险规避γ=5的投资者，该策略为6.7个月。我们观察到，与Black-Scholes模型相比，不同策略之间的差异要明显得多，这与[27]的结果一致。然而，这些差异的相对大小实际上是相同的，并且与我们的渐近结果非常一致。

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2022-5-9 07:50:05

最后，请注意，调整基于时间的规则以适应不断变化的市场特征在这里只有很小的影响；简单常数离散化规则的性能几乎相同。4.2两个风险资产Black-Scholes模型现在，我们转向一个有两个风险资产的Black-Scholes模型，预期超额收益率u=（u，u）∈ R> 0和扩散矩阵σ=α0v·ρvp1- ρ,i、风险资产的波动率分别为α、v>0和相关系数ρ∈ [-1, 1]. 与之前一样，我们假设风险规避程度非常大，因此默顿港*:= （w）*,1，w*,2)>=γΣ-1u，其中∑=σ>，满足假设2.2。该恒定投资组合的差异系数为零；使用（3.4）Astraight Forward计算显示β=（w*,1.- 1） w*,1α+w*,1w*,2vρw*,1w*,2vp1- ρ（w）*,1w*,2α+w*,2（w）*,2.- 1） vρw*,2（w）*,2.- 1） vp1- ρ!.因此，我们有kβk2,1≥ |β|>0如果w*,2> 0和kβk2,1=|（w*,1.- 1） w*,如果w为1α|>0*,2=0，这表明满足条件（3.7）。定理3.4反过来得出最佳交易时间由τ给出*j+1- τ*j=εqπkβk2,1γ·tr（β>∑β）2/3.0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0012340.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.000.010.020.030.040.05图1：左面板：最佳等待时间τ*J- τ*J-1在二维（固体）响应中绘制各种相关性ρ。一维（点）Black-Scholes模型。右面板：在二维（实体）响应中绘制各种相关性ρ的预期结果（2.6）。一维（点）Black-Scholes模型。参数为u=u=8%，α=v=16%，γ=5和ε=1%。ρ基于无摩擦移动的基于时间的买入和持有0。3.84%3.80%3.77%3.67%0.6 3.12%3.09%3.08%3.01%0.9 2.62%2.60%2.59%2.48%表3：不同策略的模拟预期收益（2.6）。

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2022-5-9 07:50:08

参数为：样品尺寸=10，dt=1/250，u=u=8%，α=v=16%，γ=5，T=20，ε=1%。对于预期超额收益和波动率相同的风险资产，非零相关性的影响如图1（左面板）所示。对于非常大的相关性（ρ≈ 1）实际上，这个市场相当于一个只有单一风险资产的市场。因此，最优交易频率收敛到其单变量对应的ρ↑ 1.对于中间相关性ρ∈ （0，1），尽管相关的最优福利（2.6）在ρ中减少（图1，右面板），但这种关系令人惊讶地非单调。数值结果我们再次将基于时间的策略的性能与许多替代方案进行比较。第一个基准是基于移动的渐进最优策略。对于不止一种风险资产，显式公式不再可用，因为即使在达到小成本限制后，仍然需要解决自由边界问题[36]。为了便于说明，我们使用[3]中提出的策略迭代算法来执行这些计算。第二个竞争对手又是一个简单的买入并持有投资组合。模拟性能如表3所示。在一维情况下，基于时间和移动的最佳策略之间的差异非常小。

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2022-5-9 07:50:12

因此，在不断的投资机会下，我们简单、明确的交易规则是一种替代不易处理的优化器的最佳选择。Kim-Omberg模型最后，我们考虑了一个Kim-Omberg型模型，它有两个风险资产：dSt=Stu（Yt）dt+αdBt,dSt=Stu（Yt）dt+vρdBt+vp1- ρdBt,dYt=λY“Y”- u（Yt）dt+αYηdBt+αYp1- ηdBt，与一维情形类似，B=（B，B）>是二维布朗运动，对于每个i∈ {1，2}函数uiis是单位函数的光滑截断，其截断水平为yi，minand yi，max和相关的小正常数ξi，选择该函数，使得uiis Cand具有有界导数。同样，状态变量Y遵循修正的Ornstein-Uhlenbeck过程，长期平均值为0</Y∈ （y1，min，y1，max），平均回归速度λY>0和波动向量（αYη，αYp1- η） >带η∈ (-1, 1).风险资产的波动率矩阵S=（S，S）>由σ给出=α0v·ρvp1- ρ,ρ∈ (-1，1）和0<α<1/ρ，在ρ>0的情况下，无摩擦的默顿组合是W*（Yt）：=（w）*,1（Yt），w*,2（Yt））>=γ∑-1（u（Yt），u（Yt））>，带∑=σ>和∑-1=（ξij）1≤i、 j≤2=αv（1）- ρ)五、-ραv-ραvα.我们假设选择风险规避γ和u、u的削减水平，以便δ≤ W*,1< 1, δ≤ W*,2<1，0<w*,1+w*,2.≤ 1，对于某些δ，δ>0。与之前类似的计算得出了i∈ {1,2}和y∈ [y1，最小+ξ，y1，最大-ξ] 默顿比σi和矩阵β（Yt）的扩散系数由σi（Yt）=γ（ξi1+ξi2）（αYη，αYp1）给出- η） >β（Yt）=σ（Yt）- W*,1（Yt）（（α，0）T- W*,1（Yt）（α，0）T- W*,2（Yt）（vρ，vp1- ρ） T）β（Yt）=σ（Yt）- W*,2（Yt）（（vρ，vp1- ρ） T- W*,1（Yt）（α，0）T- W*,2（Yt）（vρ，vp1- ρ） T）。关于R\\[y1，min+ξ，y1，max-ξ] 可以推导出类似的公式。

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可人4

2022-5-9 07:50:15

特别是，我们要为所有人∈ Rkβ（y）k2,1≥ |β（y）|≥ W*,1（y）w*,2（y）vp1- ρ> ΔΔvp1- ρ> 0，这反过来表明假设2.2和条件（3.7）是满足的。请注意，我们对这两种风险资产使用相同的状态变量，但考虑到与回报冲击的不同程度的相关性。ρ基于购买和持有的无摩擦粘贴时间0。3 4.07%3.53%3.26%2.25%0.6 3.31%2.80%2.64%1.79%0.9 2.79%2.27%2.21%1.40%表4：不同策略的模拟预期收益（2.6）。参数取自[4]：\'Y=\'Y=5.60%，αY=vY=3.68%，λY=λY=0.2712，α=v=14.28%，γ=5，η=-0.9351，T=20，ε=1%，dt=1/250，N=10。数值结果在表4中，我们再次比较了基于时间的再平衡规则与两种替代策略的性能。与买入和持有相比，基于时间的再平衡带来了回报均值回复的显著收益。然而，与无摩擦基准相比，性能损失也不容忽视，与一维情况类似。在这种情况下，基于移动的渐进最优策略是不明确的，甚至计算它的数值也会非常复杂。因此，作为部分补救措施，我们考虑“粘贴”基于移动的策略，其中单变量非贸易区域只是连接在一起。这是由将投资组合选择与高恒定相对风险厌恶与恒定绝对风险厌恶[35,16]联系起来的结果所驱动的，对于这一结果，多元问题考虑了不相关资产[26,16]。因此，如果相对风险规避程度足够高，且资产之间的相关性足够低，则这些政策有望成为有用的代理。

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2022-5-9 07:50:18

我们发现，对于相对风险厌恶度γ=5，即使在高相关性的情况下，尽管随着相关性的增加，不同的折线会有所不同，但在高相关性的情况下，快速策略的表现也优于基于时间的规则。4.3许多风险资产我们的公式很容易确定高维上下文中基于时间的最佳再平衡规则，并分析其性能。为了说明这一点，让我们考虑一个包含10项风险资产的模型。为了回避高维相关矩阵估计中固有的问题，我们使用[31，表6.5]中提供的（正定义）估计值对DJIA的10项资产进行了评估。正如第4.2节所述，为了简单起见，我们用每个资产的均值和方差的相同值作为补充。选择u=4%、σ=20%和风险规避γ=5，这将产生一个无摩擦的斯梅顿投资组合，其中所有风险权重均为正，总比例为66%投资于这十项风险资产。特别是，假设2.2和（3.7）得到满足。在计算相应的矩阵β后，定理3.4很容易得出最佳交易频率，其结果甚至低于一维投资组合。这里，对于ε=1%，它规定每3.48年重新平衡一次；对于具有相同特征的单一风险资产，相应的等待时间为1.84年。多风险资产的这种较低交易频率与[25,6]中的观察结果一致，即在多变量环境下，最优无交易区域应该更宽。通过本附录，我们通常会抑制对状态变量Y的依赖，以便于记法。例如，ui（Yt）通常缩写为uit。如第4.2节所述，更高的预期回报需要外部投资组合约束，以避免做空安全资产。

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2022-5-9 07:50:21

对此类约束模型的分析不在本文的范围内，但这是一个值得进一步研究的有趣方向。A.1投资组合动力学首先，我们计算默顿投资组合（2.2）及其离散化版本wε的动力学（参见定义2.4）：引理A.1。在假设2.1和2.2下，默顿投资组合*（Yt）是一个It^o过程，具有以下动态：dw*,i（Yt）=ui（Yt）dt+~σi（Yt）dBt，i=1，m、（A.1）Rd3σi（Yt）=mXl=1mXk=1W*,l（Yt）ξik（Yt）(∑kl）G（Yt）+γξil（Yt）(ul）G（Yt）！>，（A.2）在哪里∑kl=∑klY∑klyp（Yt），微升=微升Y微升yp（Yt）。此外，它的漂移和扩散系数是有界的、有限制的∈Ek)u（y）kRm<∞, supy∈Ek~σ（y）k2,1<∞.证据在假设2.1下，It^o表示和相应漂移和扩散系数的公式遵循It^o公式。此外，根据假设2.2（0），由于默顿投资组合没有任何资产做空≤ W*,对于i=1，…，它小于1，m和t∈ [0，T]），所有出现在（A.2）中的函数都是有界的。一个类似的论点适用于漂移系数μi。推论A.2。在假设2.1和2.2下，矩阵βt=（βt，…，βmt）>和（3.4）中的βias具有有界L2,1范数，即存在常数Kβ<∞ 如此令人惊讶∈Ekβ（y）k2,1<Kβ。现在我们转向离散化的默顿投资组合的动力学：引理A.3。确定再平衡时间（τj）j∈Nas定义2.3。在假设2.1和2.2下，定义2.4中相应的风险权重wε=（wε，1，…，wε，m）>满足：dwε，it=wε，ituwε，itdt+σit-mXk=1wε，ktσkt！dBt！关于[τj]-1，τj），j≥ 1，（A.3）带uwε，it:=uit- wεtut- σitmXk=1wε，ktσkt+mXk=1wε，ktσkt！mXk=1wε，ktσkt！，i=1，m、和wε，iτj-1=w*,iτj-1，j≥ 1.（A.4）特别是，过程wε，it，i=1，m、定义良好，并取[0,1]中的值。为了更好的可读性，我们省略了漂移¨u（Yt）=（¨u（Yt），…）的明确但复杂的公式。

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2022-5-9 07:50:25

，um（Yt））T.证明。投资组合的定义wε收益率（A.4），连同^o公式和风险资产的动力学，以及财富过程Vε（参见定义2.4），动力学（A.3）。由于（A.3）中的漂移系数和扩散系数都是局部Lipschitz连续的，对于给定的初始值w*τj-1存在唯一的局部解（wεt）τj-1.≤T≤τ直到爆炸时间τ。副定义，wε，iτj-1=w*,iτj-1.∈ [0,1]对于i=0，…，m和j≥ 1.由于价格过程S是连续的，定义2.4意味着wε∈ [0,1]对我来说∈ {0，…，m}，t∈ [τj-1，τj）和j≥ 1.总之，过程wε因此保持[0,1]——在[0,T]上取值。A.2命题3.1的证明命题3.1的证明。第一步：估计交易规模。确定再平衡时间（τj）j∈Nas定义2.3。然后，通过定义2.4，相应策略wε的财富过程Vε满足dVεt/Vεt=Pmi=1wε，它（uitdt+σitdBt）在（τj）上-1，τj），并且在时间t=τj时，风险权重（wε，1τj-, ..., wε，mτj-)>重新平衡到无摩擦目标（w*,1τj。。。，W*,mτj）>。因此，对于每个i=1，m各美元金额Vετj-转移的Liτj满足以下再平衡条件：Vετj-（wε，iτj）-+ Liτj）=w*,iτjVετj=w*,iτjVετj-1.- εmXk=1|Lkτj |！。换言之，这些变化Liτjin风险权重由Liτj+εw*,iτjmXk=1|Lkτj |=w*,iτj- wε，iτj-.因此，对于小ε>0，Lipschitz映射的隐函数定理（例如[8，定理1]）是：Liτj=w*,iτj- wε，iτj-+ PiTAC（τj）。（A.5）在条件（2.2）（无卖空）下，剩余期限满足| PiTAC（τj）|≤ Cεkw*τj- wετj-kRm。（A.6）此外，Vετj- Vετj-Vετj-= -εmXk=1|Lkτj |。（A.7）把所有的东西放在一起，我们得到了ztdvεtVεt-=ZTwεt（utdt+σtdBt）- εmXi=1NXj=1 | w*,iτj- wε，iτj-+ PiTAC（τj）|。（A.8）第2步：估计跳跃的二次变化。

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2022-5-9 07:50:28

交易成本仅在交易时间τj时支付。因此，截至终端时间支付的交易成本的累计金额是一个纯跳跃过程，其二次变化在前导顺序上可以忽略不计。的确，（A.7）吉维塞NXj=1Vετj- Vετj-Vετj-!=εENXj=1mXi=1|李τj |！.根据（A.5）、（A.6）和假设2.2（无卖空），变化Liτjof风险权重是有界的。因此，E[N]=O（ε-α）（参见（2.3）和（2.4））意味着mXj=1Vετj- Vετj-Vετj-!= O（ε2）-α).此外，on（τj-1，τj）我们有d[Vεt]/（Vεt）=（wεt）>Δtwεtdt。因此，EZTd[Vεt]（Vεt-)-ZT（wεt）>∑twεtdt= O（ε2）-α). （A.9）第3步：扩展局部均值-方差标准Fε。将（A.8）和（A.9）插入Fε的定义中（参见（2.6）），并使用该w*t=∑-1tut/γ，目标函数简化为fε（A）=TEZT（（wεt）>ut-γ（wεt）>∑twεt）dt-εTEmXi=1NXj=1 | w*,iτj- wε，iτj-+ PiTAC（τj）|+ O（ε2）-α） =TEZT（（w）*t） >ut-γ（w）*t） >∑tw*t） dt-γ2TEZT（西）*T- wεt）>∑t（w*T- wεt）dt+TEZT（西）*T- wεt）>（ut- γ∑tw*t） dt-εTEmXi=1NXj=1 | w*,iτj- wε，iτj-+ PiTAC（τj）|+ O（ε2）-α） =TEZT（（w）*t） >ut-γ（w）*t） >∑tw*t） dt-TEhTAC（A）+γDE（A）i+O（ε2）-α） =TEZTu>t∑-1tut2γdt-TEhTAC（A）+γDE（A）i+O（ε2）-α).这就完成了命题3.1的证明。A.3引理3.2的证明为了建立引理3.2，我们首先得到以下有用的渐近结果：引理A.4。确定再平衡时间（τj）j=0,1，。。。在定义2.3中，让（Xε）ε>0是一个右连续的m维过程，这样：（i）过程Xε满足dXεt=εtdt+εtdbtt∈ （τj）-1，τj）。（ii）对于所有j，Xετj=0。（ii）存在常数C>0，因此∈[0，T]（kΘεtkRm+kΓεtk2,1）≤ C、 limε↓0E“supt∈[0，T]kΓεtk2,1#=0。然后：ENXj=1kXετj-- Xετj-1公里= o（ε）-α/2).证据

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2022-5-9 07:50:32

伯克霍尔德·戴维斯·甘迪·伊尔兹NXj=1kXετj-- Xετj-1公里= ENXj=1Zτjτj-1εtdt+εtdBtRm≤ENXj=1Zτjτj-1kΘεtkRmdt+ ENXj=1Zτjτj-1εtdBtRm≤C ENXj=1（τj- τj-1)+ C E监督∈[0，T]kΓεtk2,1NXj=1（τj- τj-1)1/2≤C+Cε-α/2E“supt∈[0，T]kΓεtk2,1Tinft∈[0，T]A1/2t#。这里，我们在最后一步中使用了Pnj=1（τj- τj-1） 1/2=PNj=1τj-τj-1εα/2A1/2τj-1.≤Tεα/2inft∈[0，T]A1/2t，并使用H¨older不等式和关于A和Γε的假设得出结论。通过将引理A.4与正态分布的基本估计相结合，我们现在可以建立引理3.2：引理3.2的证明。期望值的唯一性来自可积条件onA和∑和β的有界性。第一步：交易成本损失的扩大。现在我们对前导顺序项w进行更详细的分析*,iτj-wε，iτj-在（A.5）中。利用w的动力学*和（A.1）和（A.3）中的wε，我们发现*,iτj- wε，iτj-=Zτjτj-1.?- wε，ituwε，itdt+Zτjτj-1英寸σit- wε，itσit-mXk=1wε，ktσkt#dBt。（A.10）加减rτjτj-1βiτj-1dBtin（A.10）yieldsw*,iτj- wε，iτj-=βiτj-1（Bτj）- Bτj-1） +RiTAC（τj），其中RiTAC（τj）定义如下：RiTAC（τj）：=Zτjτj-1JF V，itdt+Zτjτj-1JS，itdBt，（A.11）有jf V，it=~uit- wε，ituwε，it，JS，it=~σit- wε，itσit-mXk=1wε，ktσkt！- βiτj-1.对于t∈ （τj）-1，τj）。在向量矩阵表示法中，我们有JF V=（JF V，1，…，JF V，m）>∈ Rmand JS=（JS，1，…，JS，m）>∈ Mm×d（R）。引理A.3和引理A.1暗示JF有界。用它来绘制地图→“√- 是吗-mXk=1wkσkt#是局部Lipschitz连续的，Lipschitz常数L依赖于m和Kσ（参见假设2.1（ii）），我们得到了thatkJS，itkRd≤ εLkw- W*tkRmand | JF V，它|≤ [τj]上的C-1，τj），其中C表示实常数。

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