具有线性和二次成本的再平衡

2022-5-5 20:06:39

因此，与使用比例交易成本的单一控制相比，最优政策通常规定在任何时候，但以固定的绝对连续速率进行再平衡。*作者感谢保罗·瓜索尼（Paolo Guasoni）的富有成效的讨论，以及两位匿名推荐人的评论。+ETH Z–urich，瑞士Z–urich，R–amistrasse 101，CH-8092，Mathematik部门，电子邮件：ren。liu@math.ethz.ch.——卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，邮编15213，电子邮件：johannesmk@cmu.edu.§哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，535G西南Mudd大楼，纽约州纽约市，邮编10027，美国电子邮件：mhw2146@columbia.edu.For小型私人投资者、对每笔交易收取的固定佣金，无论其规模大小，也至关重要（参见[25]和其中的参考文献）。然而，对于大型投资组合，它们的影响变得微不足道[3]，我们在本研究中忽略了它们。参见[27,8,10,11,34,9]了解具有恒定投资机会的模型，[34,20,5,14]了解相应的显式渐近公式，[28,36,32,22,21]了解最近对更一般设置的扩展。最优执行文献中对价格影响进行了广泛研究，例如[4,1,33]。最近，人们越来越关注它对动态投资组合选择的影响[12,13,2,19,7,30]。所有现存文献研究的都是线性或二次交易成本。本文通过分析比例交易成本和线性价格对投资组合再平衡的联合影响，填补了这一差距。为了使模型易于处理，我们关注（如Gerhold et al.[14]resp.Guasoni和Weber[19]中的比例resp.）。

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2022-5-5 20:06:43

二次成本（单独处理）是指具有恒定投资机会的单一风险资产，以及具有恒定相对风险厌恶度的代表性代理人。代表投资者的财富是市值倍数的代表，而奖金影响被认为与市值成反比。也就是说，与Guasoni和Weber[19]中的讨论相比，随着市场增长，给定规模的交易产生的影响较小。本研究以Guasoni和Weber[19]的研究结果为基础，添加了一个出价askspread。这种价格影响模型会导致稳定的长期行为。最受欢迎的替代方案——如[4,26,1]中所述的固定价格影响——非常适合这些作者心目中的短期最优执行问题。然而，从长远来看，这会导致结果恶化，因为不断增长的基金价值最终会使重新平衡的成本高得让人望而却步。为了弥合不同模型之间的差距，我们认为，对于小成本，我们的结果渐进地扩展到价格影响函数的一般规范。在两种摩擦都存在的情况下，最优策略的形式如下。与比例交易成本一样，存在一个无交易区域，在该区域，只持有当前投资组合是最佳选择。一旦突破界限，价格影响就排除了单一控制；因此，人们开始以一定的利率进行交易，以便将投资组合引导回非交易区域。由于该政策不允许使投资组合一致地接近无摩擦的StarGet，因此交易比仅以比例成本的模型更早开始，也就是说，非交易区域的宽度因额外的价格影响而减小。

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大多数88

2022-5-5 20:06:46

另一方面，由于现在有两个摩擦导致总的再平衡成本，总交易率总是低于只考虑价格影响的模型。我们证明了一个严格的验证定理，该定理通过一个非线性自由边值问题的解来识别交易边界、交易率和相关福利，该问题可以通过数值求解。为了便于实现，我们还提出了小线性和二次成本的渐近性，这将减少最优政策和福利的计算，从而找到标量函数的根。由于存在两个相互竞争的摩擦，评估渐近近似的质量尤为重要，因为先验上尚不清楚匹配的重新缩放是否会导致准确的结果。我们的精确公式说明了这一点，并表明小成本近似值表现得非常好。我们的渐近结果的正式扩展表明，与单独考虑比例成本[22]和价格影响[30]类似，最优政策对交易成本的形式是稳健的。也就是说，在第6节中，我们以任意方式考虑了一般价格影响函数，它取决于大投资者的财富和额外的外生状态变量（例如，其他交易者的财富）。然后，得到与我们的基线模型相同的渐近交易率，替换每个时间点的交易成本的当前值。论文的其余部分组织如下。第2节描述了该模型。我们的主要结果见第3节。随后，我们用一些数值例子来说明它们。第5节包含我们主要结果的启发式推导；第6节给出了我们的渐近解。

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nandehutu2022

2022-5-5 20:06:49

为了更好的可读性，所有的证据都被委托给第7节。这在复杂性上类似于[25]研究的小固定成本和比例成本的渐近性。2模型考虑一个市场，由一个标准化为一的安全资产和一个风险资产组成，其中间价格遵循几何布朗运动：dStSt=udt+σdWt。（2.1）此处，（Wt）t≥0是标准的一维布朗运动，u>0是预期超额收益，σ>0是波动率。交易不是在理想的最佳报价处结算的。相反，销售只希望更低的出价，而购买则收取更高的要价。此外，交易大额头寸会迅速将价格进一步推向不利方向。也就是说，交易的平均执行价格θ在一段时间间隔内共享是的1+εsgn(θ） +λStθXtT. （2.2）这里，第一项对应于相对的买卖价差ε，即较高的买价（1+ε）和较低的买价（1- ε）分别用于销售。第二个术语描述快速执行的大型交易的附加（相对）价格影响。这种价格影响与货币交易率成正比θ/t、与市值成反比，市值由代表投资者的财富代表。周转率中的比例常数λ量化了市场的有限流动性；换句话说，1/λ衡量市场“深度”。对于ε，λ→0，恢复了经典的无摩擦情况，其中θ可以购买，也可以按St的中间价购买θ. 非平凡的买卖价差（ε>0）和有限的市场深度（λ>0）分别导致额外的线性和二次交易成本。具体而言，在双方都存在摩擦的情况下，交易的执行成本θ在一段时间间隔内共享t由t给出θ+εStθTt+λStθXtTt、（2.3）对于可处理性，我们现在通过连续时间限制。

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2022-5-5 20:06:52

用θt表示投资者在时间t持有的风险股数量，并替换θ/带˙θt:=limh的tin（2.3）↓0θt+h-θth。然后，投资者的现金头寸Ct=Xt- Stθtevolves asdCt=-标准θt- εSt|˙θt|dt- λSt˙θtXtdt。写出ut:=˙θtSt/xtt表示时间t的财富周转率。用这个符号，直接应用It^o的公式（比较[19，引理a.1]）表明相应的财富过程xt:=θtSt+cT和风险权重Yt:=θtSt/xt具有以下动力学：dXtXt=Yt（udt+σdWt）- ε| ut | dt- λutdt，（2.4）dYt=（Yt（1- 钇（u）- Ytσ）+ut+ε| ut | Yt+λYtut）dt+Yt（1- Yt）σdWt。（2.5）也就是说，利率r设置为零。有关此价格影响模型和相关文献的更多详细信息，请参见[19]。请注意，在我们的模型中，价格影响纯粹是暂时的，因为没有贸易影响后续的影响。有大量关于持续价格影响的最优执行的文献，这些文献只有在每次交易完成后才会逐渐失效（参见[31]以及许多最近的研究）。由于我们研究的时间尺度比本文中的要长得多，因此我们从这个问题中抽象出来，转而假设在一个更明确的“执行时间网格”上，各种“子交易”产生的临时和持续影响成本都被汇总到我们的价格影响成本中。事实上，假设每个微小的子交易都是在Obizhaeva和Wang[31]的背景下执行的。然后，预期的执行成本与我们的模型中的线性二次型相同。由于没有比例交易成本[19]，线性价格影响意味着风险权重不再是投资者可以自由指定的控制变量。相反，它变成了一个状态变量，应用控制u只能影响漂移率。

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2022-5-5 20:06:56

为了使这个精确，fix是一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、（F）t≥0，P）支持布朗运动（Wt）t≥0，其中FTI是W产生的过滤的增强。然后，我们根据控制变量（ut）t定义策略≥0.为了排除倍增策略，我们将重点放在具有正财富过程的可接受策略上：定义2.1。一个可接受的策略是一个适应的过程（ut）t≥0，这是平方可积的（即RTutdt<∞ a、（2.4）在[0]上有唯一的强解，∞)对任何人来说∈ [0, 1]. 对于任何此类可接受的策略，相应的财富过程是xut=XexpZTuYt-σYt- ε| ut |- λutdt+ZTσYtdWt.正如[11,15,16]中所述，代表性投资者具有恒定的相对风险厌恶，并在长期内最大化其终端财富预期效用的增长率。换言之，她最大化了“等效安全率”，在这个“等效安全率”下，完全安全的投资产生的效用与在原始市场的最优投资相同：定义2.2。容许策略（ut）t≥0被称为长期最优，如果它使等效安全率ESRγ（u）：=lim infT最大化→∞Tlog E（XuT）1-γ1.-γ（2.6），其中0<γ6=1表示投资者的相对风险厌恶。3主要结果我们的主要结果可以总结如下：定理3.1。在存在非平凡的买卖价差ε和有限的市场深度1/λ的情况下，相对风险厌恶度为0<γ6=1的投资者交易以最大化等效安全率（2.6）。

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2022-5-5 20:06:59

那么，如果*:= u/γσ∈ （0，1）和交易成本ε，λ非常小：i）存在常数β∈ [max{0，u- γσ/2}，u/2γσ]和0≤ Y-≤ y+≤ 1，以及交流功能q:[0,1]→ 求解ODE0的R=-β+uy-γσy+y（1）- y）（u）- γσy）q+σy（1）- y）（q+（1）- γ） q）+4λ（q）-ε(1-yq）1-yq，如果y∈ [0，y-],0，如果y∈ [y]-, y+]，4λ（q+ε（1-yq）1-yq，如果y∈ [y+，1]，（3.1）如果y*:= u/γσ∈ （0，1），即无摩擦目标投资组合既不规定杠杆也不规定卖空，引理7.5表明，几乎可以肯定的是，YT对所有t的估值为[0，1]。尤其是RTYtdt<∞ 因此，在这种情况下，流程是明确的。边界条件sq（0+）=ε+2pλβ，（3.2）q（1）-) =λd- ε(1 - ε) -pλd（λd）- 2 + 2ε)(1 - ε），其中d:=-γσ- 2β+2u，（3.3）q（y）-) =ε1+εy-, （3.4）q（y+）=-ε1 - εy+。（3.5）ii）长期最优策略^u是保持不活动，而相应的风险权重位于非贸易区[y]-, y+]，如果没有，则按以下财富周转率重新平衡：^u（y）=2λq（y）1-yq（y）- ε≥ 0，如果y∈ [0，y-],2λq（y）1-yq（y）+ε≤ 0，如果y∈ [y+，1]。iii）最大等效安全率为β。常数y*= u/γσ是无摩擦的风险权重[29]。因此，y*∈ （0，1）意味着无摩擦最优策略既不做空也不杠杆风险资产。正如Guasoni和Weber[19，定理2.3]所示，对于风险厌恶型投资者来说，杠杆或空头头寸不能被允许具有线性价格影响，因为它们不能被足够快地清算，从而产生不利的价格波动。这只会因为额外的线性交易成本而加剧。因此，买入并持有策略是y的最佳选择*/∈ （0，1），如[19，定理2.3]：命题3.2。

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2022-5-5 20:07:02

在定理3.1的假设下：（i）如果u/γσ≤ 0，则所有t的Yt=0和^ut=0是长期最优的，ESRγ（^u）=0。（ii）如果u/γσ≥ 1，则所有t的Yt=1和^ut=0是长期最优的，ESRγ（^u）=u-γσ/2.目标函数（2.6）使用纸面财富，而不是投资组合的清算价值。对于信托基金和大学捐赠等旨在独立运营的长期投资而言，这似乎更为合理。然而，与[19，引理2.4]中的纯二次成本类似，可以证明这种选择几乎没有什么意义。也就是说，假设一个恒定的最佳报价（如果投资组合很快被出售，这是合理的），以恒定的换手率出售的政策在短时间内以投资组合价值的一小部分完成清算。形式上：引理3.3。让我们≡ t保持不变≥ T然后，清算时间L（u）=inf{t≥ 0:θT+T=0}不变销售策略ut≡ u<0，等于l（u）=-日志1+（ε| u |+λu）YTuε| u |+λu~ -YTu。相应的相对清算成本为xt- XT+L（u）XT=εYT- λuYT。在[19，引理2.4]的证明中，使用（2.4-2.5）代替[19，等式（2.4）和（2.5）]。其余的校样照样进行。0.50.60.70.8-6-4-20.50.60.70.8-6-4-2图1：左面板：最优财富周转率^u（虚线：λ=0.001%，实线：λ=0.01%，虚线：λ=0.1%）与ε=0.1%固定的风险权重Y对比。右图：财富周转率^u（虚线：ε=0.01%，实线：ε=0.1%，虚线：ε=1%）与风险权重Y之比，λ=0.01%固定。模型参数为u=8%，σ=16%，γ=5。例如，ifu=-λ-1/2自年初至今，清算时间小于λ1/2年∈ [0, 1].此外，相应的清算成本小于终端财富的（ε+λ1/2）倍。使用[10]的估计区间-3, 10-7] 对于λ（cf。

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2022-5-5 20:07:05

[19，第3.1节]）并假设买卖价差为10个基点的流动股票的清算时间在0.08至7.91天之间，相对清算成本在0.13%至3.26%之间。随着时间的推移，这些小成本对等效安全率的影响消失了。此外，较短的清算时间支持恒定最佳报价假设。4数值例子在本节中，我们通过一些数值例子研究了定理3.1中最优再平衡政策的性质。这也使我们能够评估第6节中建立的渐近线的质量，结果证明是非常好的。图1显示了各种交易成本的最佳策略。左面板显示了周转率和相应的非贸易区如何取决于价格影响参数λ。随着后者的减少，在非贸易区边界附近的营业额迅速增加，收敛到仅以比例成本实施的单一控制（“以固定速度推进”）。对于较高的价格影响成本，最优交易率在偏离交易边界时几乎是线性的。此外，在这种情况下，非贸易区的宽度会减小，因为投资者会更早开始交易，以弥补边界处交易速度较慢的影响。然而，这种影响的大小相当小，即最优非贸易区的宽度对二次成本相对不敏感。图1中的右面板绘制了买卖价差不同宽度ε的交易率。随着后者的减少，无贸易区缩小到零，最优政策收敛到只有价格影响的一个，即以与无摩擦默顿投资组合的偏差基本成比例的速度重新平衡[19]。

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kedemingshi

2022-5-5 20:07:09

对于较大的价差，非贸易区迅速扩大，如[19，等式（2.12）]所示，无线性成本的最优营业额u0，λ允许以下渐近展开：u0，λ（y）=σ（γ/2）1/2（y）*- y） λ-1/2+o（λ）-1/2）.0.50.60.70.8-0.4-0.20.20.40.50.60.70.8-0.2-0.10.10.2图2：根据定理3.1（实数）及其渐近展开式（6.15）（虚线），ε=λ=1%（左图）和ε=λ=5%（右图）。模型参数为u=8%，σ=16%，γ=5。最佳再平衡率在交易边界附近的增长速度远快于远离这些边界的增长速度。总之，最优政策规定i）比只考虑比例成本的情况下更早开始交易，ii）比只考虑价格影响的情况下更慢地重新平衡。交易边界附近的换手率增长更快；更进一步说，它只需支付二次成本就可以接近同类产品。作为补充，图2评估了第6节中得出的小成本渐近曲线的质量。在这里，我们比较了两种交易成本组合的最优换手率及其渐近展开式（6.15）。即使对于不现实的大摩擦，近似也提供了极好的结果。因此，计算量可以轻松地找到单尺度函数的根，精度损失很小。5启发式在本节中，我们使用随机控制的参数，以启发式方式推导出长期问题的候选解决方案（2.6）。为此，考虑预期功率利用率u（x）=x1的最大化-γ/(1-γ）从时间T>0时的终端财富。用V（t，Xt，Yt）表示相应的价值函数，该函数假定取决于当前财富Xt、当前风险权重Yt和时间t。

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2022-5-5 20:07:12

对于任何给定的策略u，它^o的公式产生：dV（t，Xt，Yt）=Vtdt+VxdXt+VydYt+vxdhxit+VyydhY It+VxydhX，Y It=Vtdt+Vx（uXtYt）- εXt|ut|- λXtut）dt+VxXtYtσdWt+Vy（Yt（1- 钇（u）- Ytσ+ut+εYt | ut |+λYtut）dt+VyYt（1- Yt）σdWt+σVxxTyt+σVyyyyt（1）- Yt）+σVxyXtYt（1）- Yt）dt。根据随机控制的鞅最优性原理，对于任何容许策略，值函数V（t，Xt，Yt）必须是上鞅，对于最优策略，值函数V（t，Xt，Yt）必须是鞅。也就是说，它根据渐近公式（6.16）增长，对应于一个只有二次成本的模型。V（t，Xt，Yt）的漂移不能为正，必须为零。这导致了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程：0=Vt+y（1- y）（u）- σy）Vy+uxyVx+σy（xVxx+（1- y） Vyy+2x（1- y） Vxy）+maxu-λxuVx- εx | u | Vx+Vy（u+εy | u |+λyu）.同感U（x）=x1-幂效用函数的γU（1）和长期效用应以恒定指数速率增长的猜想，激发了长期价值函数的以下假设：V（t，x，y）=x1-γ1 - γe（1）-γ）（β（T-t） +Rypq（z）dz）。（5.1）注意，函数q被定义为任意的p。V的这种定义导致HJB方程的长期运行版本：0=- β+uy-γσy+y（1）- y）（u）- γσy）q+σy（1）- y）（q+（1）- γ） q）+maxu(-λu- ε| u |+（u+ε| u | y+λyu）q）。（5.2）将财富周转率u分解为买卖周转率，即u=u+- U-, HJBequation减少到0=- β+uy-γσy+y（1）- y）（u）- γσy）q+σy（1）- y）（q+（1）- γ） q）+maxu+≥0(-λ（u+）- εu++（u++εu+y+λy（u+）q）+maxu-≥0(-λ（u）-)- εu-+ (-U-+ εu-y+λy（u）-))q）。（5.3）假设满足“二阶条件”q（y）y<1（这适用于引理7.2中构造的函数q）。然后，在u+（y）=max时达到最大值2λq（y）（1）- yq（y））- ε, 0, （5.4）美国-（y） =最大值-2λq（y）（1）- yq（y））+ε, 0.

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2022-5-5 20:07:15

（5.5）具有比例交易成本但没有价格影响的优化器的特点是围绕无摩擦最优y的无交易区间*= u/γσ. 因此，我们推测，在目前的环境下，没有贸易区，ny:u+（y）=u-（y） =0o=ny:-ε<q（y）1- yq（y）<εo，也由某个区间[y]给出-, y+]。将最优周转率（5.4-5.5）替换回（5.3），HJB方程反过来简化为ODE（3.1）。跨越边界实现连续性-, 非贸易区的y+收益率依次为（3.4-3.5）。因为微分方程（3.1）是一阶的，有四个未知量需要确定（β，y-, 值匹配条件（3.4-3.5）不足以表征溶液。作为一种解决方法，我们添加了两个额外的边界条件，当投资者的投资组合接近完全安全（Yt=0）或完全风险投资（Yt=1）时，这些边界条件变得活跃。其理念是，在每种情况下，交易利率（5.4-5.5）应保持不变；此外，在Yt=0时为正，在Yt=1时为负，以保留[0,1]中的风险权重。在y求解常微分方程（3.1）∈ {0，1}导出q的边值的二次方程；选择符号正确的解，依次给出sq（0+）=ε+2pλβ，（5.6）q（1）-) =λd- ε(1 - ε) -pλd（λd）- 2 + 2ε)(1 - ε），d=-γσ- 2β + 2u. （5.7）与值匹配条件（3.4-3.5）一起，这产生了定理3.1的表示。为了你*∈ （0,1），这种非正式的推导确实得出了正确的答案（参见第7节中的严格验证定理）。为了你*/∈ （0，1），然而，候选风险权重以正概率爆炸，随之而来的大规模再平衡将相应的财富减少到零（参见引理7.5）。

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kedemingshi

2022-5-5 20:07:18

因此，在这种情况下，我们的候选策略甚至是不可接受的，而一个简单的买入并持有策略反而是最优的（参见命题3.2）。这强调了需要严格的验证定理来补充启发式考虑，否则可能会导致错误的结果。6渐近结果定理3.1中的微分方程（3.1）为Abel型；目前还没有明确的解决方案。然而，无贸易区[y]的渐近展开是可能的-, y+]、tradingrate^u和相应的等效安全率β，因为市场摩擦趋于零。然后，将最优政策和福利的计算从非线性自由边值问题的解简化为非线性函数的根，类似于Korn[25]中关于比例和固定成本的计算。考虑比例交易成本ε和价格影响参数λ均趋于零的限制制度。如果单独考虑这些摩擦，其对等效安全率的主要影响顺序分别为ε2/3和λ1/2（参见[14，公式（2.7）]。[19，公式（2.13）]）。为了得到摩擦均不消失的展开式，我们对它们进行了适当的重新缩放，将它们的渐近贡献放在相同的尺度上：λ=Kε4/3，其中K>0。（6.1）通过这种重新缩放，两次摩擦对等效安全率的联合影响为ε2/3as级：命题6.1。假设λ=Kε4/3，定义c（ε）：=u2γσ-ESRγ（^u），其中^u是定理3.1中定义的长期最优策略。然后0<lim infε→0c（ε）ε2/3≤ lim supε→0c（ε）ε2/3<+∞.证据见第7.2节。回想一下，这是确保偿付能力所必需的，因为涉及空头或杠杆头寸的投资组合以正概率导致破产。找到渐近展开式的问题分为两个区域：靠近非贸易区和远离非贸易区。

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2022-5-5 20:07:21

为了研究第一种情况，可以使用Soner和Touzi[36]中提到的均质化技术（另见[32,3,30]）。为此，首先推导价值函数V的HJBE方程，并假设适当的渐近展开式。然后，将展开式替换回HJB方程，并收集前导阶项。这反过来又导致了所谓的修正方程。在纯交易成本的情况下，V isV（t，x，y）=V（t，x）的合适值- ε2/3u（t，x）- ε4/3w（t，x，z）+O（ε），（6.2），快速变量z=y-Y*ε1/3. 这里，Vdenotes表示无摩擦价值函数，x表示总财富，y表示投资于风险资产的财富。注意，V的HJB方程是二阶的。因此，取函数w的二阶导数，并将其与ε4/3相乘，产生一个ε2/3级的项，证明展开式中的幂为4/3。我们的长期目标迫使我们使用约化值函数q，即V（t，x，y）=x1-γ1 - γe（1）-γ）（β（T-t） +Rypq（西）dw），p∈ R、（6.3）因此，均质化方法必须进行如下调整。定义：=y- Y*ε1/3，q（y）：=ε×rB（z），y∈ [0，y-],r（z），y∈ [y]-, y+]，rS（z），y∈ [y+，1]，β：=u2γσ- ε2/3l，（6.4）对于常数0≤ Y-≤ y+≤ 1，l>0，函数rB、r、Rs待定。确定非贸易区的边界-y+我们还需要两个条件。为此，当风险权重y接近完全投资水平0和1时，我们考虑q的极限行为。匹配前导顺序ε2/3we定义q（y）=ε2/3q的项*（y）。Asε↓ 0，theODE（3.1），然后简化为Q*（y）=2Kγσ1/2（y）*- y）。

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2022-5-5 20:07:25

（6.5）该方程描述了q的行为*（并反过来q）远离非贸易区，从而产生确定y所需的条件-和y+。Asε↓ 0，转换（6.4）将ODE（3.1）简化为非齐次Riccati方程：0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)rB+4K（rB- 1），z∈ (-∞, Z-], (6.6)0 = -γσz+l+σy*(1 - Y*)r、 z∈ [z]-, z+]，（6.7）0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)rS+4K（rS+1），z∈ [z++∞), （6.8）重新调整的买卖界限-和z+由以下值匹配条件确定：rB（z-) = r（z）-) = 1，rS（z+）=r（z+）=-1.（6.9）对于小交易成本——无市场价格影响——非贸易区[y]-, y+]包含墨顿y*, 其宽度为ε1/3级，相应的福利效应为ε2/3级，见[20]。考虑到价格影响，非贸易区又是一个区间，其中包含默顿比例，前提是ε与λ相比不是太小（参见引理7.2之后的讨论）。[6]中使用了两种不同扩张的类似“粘贴”来处理小规模的资本利得税。作为z→ -∞ （分别为z）→ ∞), 函数rB（resp.rS）的发散速率必须与我们在（6.5）中的第一次扩展相同：limz→-∞rB（z）-p2Kγσz=1和limz→∞rS（z）-p2Kγσz=1。（6.10）总之，这将导致ODE（6.6-6.8）具有值匹配和增长条件（6.9-6.10）——当前设置中的校正方程。将（6.5）与（6.4）中等效安全率的展开式一起插入（6.3），得到：V（t，x，y）=V（t，x）·e（1-γ)(-ε2/3l·（T）-t） +ε2/3Rypq*（w） dw）=V（t，x）- V（t，x）（1）- γ）（T）- t） l·ε2/3+V（t，x）（1）- γ） Zypq*（w） dw·ε2/3+o（ε2/3）。（6.11）下一个命题（在第7.2节中证明）表明，带有边界条件（6.9-6.10）的ODE（6.6-6.8）允许一个唯一的解。

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2022-5-5 20:07:28

作为副产品，我们表明，与纯线性成本情况相比，额外的价格影响减少了非贸易区的宽度。提议6.2。这里有独特的z-, z+和l*> 0，使方程（6.6-6.8）具有满足值匹配条件（6.9）和增长条件（6.10）的解。特别是，我*> maxrγKσy*(1 - Y*),rγσy*(1 - Y*)2/3!.还有，如果z-z+是没有价格影响的非贸易区的边界（见[14，公式（2.9）]，然后z-> Z-z+<z+。证据见第7.2节。我们已经用形式参数证明了OREM 3.1中适当重标度的值函数q（y）在增长条件（6.10）下收敛于方程（6.6-6.8）的解r（z）。下一个命题使这些启发性论点变得严格。提议6.3。假设λ=Kε4/3。设qε（y）为方程（3.1）的解，如定理3.1所示。然后ε-1qε（ε1/3z+y）*) 收敛到命题6.2中定义的方程（6.6-6.8）的解。特别是limε→0c（ε）ε2/3=l*, 式中c（ε）：=u2γσ- ESRγ（^u）。证据见第7.2节。为了找到边界条件（6.9-6.10）下ODE（6.6-6.8）的显式解，我们进行如下处理。一个简单的计算表明，线性非齐次常微分方程（6.7）具有显式解r（z）=σy*(1 - Y*)γσz- lz.由于r是一个奇函数，边界条件r（z-) = 1和r（z+）=-1可由R（z）代替-) = 1和r（0）=0。然后，z-= -z+并且它需要确定z-因为常数l与z相连-通过条件r（z-) = 1:l（z）-) =γσz--σy*(1 - Y*)2z-.

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2022-5-5 20:07:31

（6.12）找到重新缩放的交易边界z-由rB（z）决定-) = 1，首先需要求解带有边界条件（6.10）的Riccati方程（6.6）。方程（6.6）–直到变换[23，变换1.25，1.105，2.220和2.273，公式（9）]–相当于已知显式解（根据惠特克函数）的惠特克方程（参见[35，第1节]）。为了简洁起见，我们省略了对解的推导，只是简单地陈述了最终结果：rB（z，l）：=-Z2a+c2ar2Kγσ+ 1+p2Kγσz-阿兹k+1，-1/4，ap2KγσzWK-1/4，ap2Kγσz, （6.13）式中=2Kσy*(1 - Y*), c=2lσy*(1 - Y*), k=cr2Kγσ，惠特克函数W通过库默函数f（a，b，x）和三角函数U（ξ，η，x）定义[35，第一章]：U（ξ，η，x）：=Γ（1）- η)Γ(1 + ξ - η） F（ξ，η，x）+Γ（η）- 1） Γ（ξ）x1-ηF（1+ξ）- η, 2 - η、 x），W（k，m，x）：=x+me-徐（1/2+m）- k、 1+2m，x）。我们注意到Whittaker方程的通解是由Whittaker函数SM（k，m，x）和m（k，-m、 x）（参见[37，第16节]），其中m（k，m，x）：=x+me-xF（1/2+m）- k、 1+2m，x）。然而，Riccati方程需要用初始条件（6.10）求解。因此，惠特克函数W（k，m，x）是唯一的候选函数，因为它具有正确的渐近增长[37，第16.31节]：W（k，m，x）~ xke-x、作为x→ ∞. （6.14）事实上，对于任何l∈ R、（6.13）满足边界条件（6.10）：limz→-∞rB（z，l）-p2Kγσz=limz→-∞-p2Kγσz-Z2a+c2ar2Kγσ+ 1.+p2Kγσ-p2KγσzZ-2zap2KγσzWk+1，-1/4，ap2KγσzWK-1/4，ap2Kγσz= 1，对于b6=0，-1.-2、··，库默函数F（a，b，x）是通过以下绝对收敛级数[35，第1章]：F（a，b，x）定义的：=∞Xn=0a（n）xnb（n）n！。这里，Pochhammer符号a（n）由a（n）给出：=a（a+1）（a+2）·a+n- 1).

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2022-5-5 20:07:35

对于6=0，-1.-我们可以写出a（n）=Γ（a+n）/Γ（a），其中Γ（x）表示伽马函数。注意Whittaker函数W（参见[35，公式1.7.1]）可以写成W（k，m，x）=πsin（2mπ）-M（k，M，x）Γ（1/2）- M- k） Γ（1+2m）+M（k，-m、 x）Γ（1/2+m）- k） Γ（1）- 2米）.我们在最后一步中使用了（6.14）。现在，我们可以把一切都放在一起了。Z-由rB（z）决定-, l（z）-)) = 1和l（z）-) 从（6.12）开始。因此，增长率β和边界y的渐近展开式-, （6.4）中非贸易区的y+由以下公式给出：β=u2γσ-γσz--σy*(1 - Y*)2z-ε+O（ε），y= Y*±z-ε+O（ε），其中z-是方程rB（z，l（z））=1的根，其中l（z）来自（6.12）。翻转率^u的渐近性可以类似地导出。回想定理3.1，^u（y）=2λq（y）1-yq（y）- ε≥ 0，如果y∈ [0，y-],0，如果y∈ [y]-, y+]，2λq（y）1-yq（y）+ε≤ 0，如果y∈ [y+，1]。使用（6.4）中对y和q的相同变换，一个简单的计算表明^u（y）=2K（rB（z）- 1) ε-+ O（1），如果z=（y- Y*)ε-1/3∈ (-∞, Z-],0，如果z=（y- Y*)ε-1/3∈ [z]-, z+]，2K（rS（z）+1）ε-+ O（1），如果z=（y-Y*)ε-1/3∈ [z++∞),（6.15）其中我们缩写为rB（z）：=rB（z，l（z）-)) 和rS（z）：=rB（z）- 2.综上所述，对于小交易成本，非线性自由边界问题（3.1）的解可以简化为寻找标量函数的根。近似值（6.15）表现得非常好，即使对于相对较大的渐近参数ε，λ，参见图2。此外，它还允许更多地说明交易边界附近和远离这些边界的最优周转率的结构。远离非贸易区，即z→ -∞ 或者，相当于y↓ 0（分别为z→ ∞, i、 e，y↑ 1）边界条件→-∞rB（z）-p2Kγσz=1，分别为。林茨→∞rS（z）-p2Kγσz=1，意味着^u（y）=2K-p2Kγσz- 1.ε-1/3+O（1）=2Kp2Kγσ（y）*- y） ε-2/3+O（ε）-1/3）=σrγ（y）*- y） λ-1/2+O（λ）-1/4).

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kedemingshi

2022-5-5 20:07:39

（6.16）因此，对于与交易边界的较大偏差，我们恢复了财富周转率的领先订单扩张，而无需比例交易成本[19，公式（2.12）]。在接近交易边界时，我们也可以应用泰勒定理得到一阶近似值。为此，我们首先计算相应Whittaker函数的导数。0.550.600.650.700.75-4-20.550.600.650.700.75-4-2图3：定理3.1（实数）中的最优财富周转率^u，以及其分段线性近似值（点），靠近交易边界（6.17），远离交易边界（6.16）。模型参数分别为u=8%，σ=16%，γ=5，λ=0.01%，ε=0.1%（左面板）。ε=0.5%（右面板）。公式（k.2，W.35）的递推关系W（k+1，-1/4，x）xW（k，-1/4，x）=W（k+1，-1/4，x）xW（k，-1/4，x）W（k+1，-1/4，x）W（k+1，-1/4)-W（k，-1/4，x）W（k，-1/4，x）-十、=W（k+1，-1/4，x）xW（k，-1/4，x）“W（k+1，-1/4，x）xW（k，-1/4，x）-十、-十、-- （k+1）+-+ （k+1）-xW（k，-1/4，x）W（k+1，-1/4，x）- （2（k+1）x- x） #，其中x=ap2Kγσz。考虑值匹配条件rB（z-) = 1，一个简单的计算得出，接近交易边界y±的财富周转率是由^u（y）=（ε）给出的-1/32K×F×（z）- Z-) + O（1），如果z=（y-Y*)ε-1/3<z-,ε-1/32K×F×（z）- z++O（1），如果z=（y-Y*)ε-1/3>z+，（6.17），其中x-:= ap2Kγσz-,D:=1-p2Kγσz-2a+c2ar2Kγσ!,E:=DD-十、--十、-D-- （k+1）+-+ （k+1）-- （2（k+1）x-- 十、-),F:=2a+c2ar2KγσZ-+p2Kγσ- 2p2Kγσ（D+2ap2KγσEz）-).特别是，对于与交易边界的微小偏差，财富周转率——第一阶——再次是线性的，但斜率不同。如图3所示。如果与价格影响相比，比例成本很小，那么这两个斜率非常相似。

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nandehutu2022

2022-5-5 20:07:43

然而，对于更大的价差，与图3中的右图相比，在交易边界附近，成交量增长明显更快。在本节中，我们非正式地提出，在较小的成本限制下，针对特定价格影响模型（2.2）获得的解决方案的结构总体上仍然有效。这与单独处理的线性和二次成本的结果一致[22,30]，为此，考虑一个外生给定的扩散过程ξ，其动态系数ξt=uξ（ξt）dt+σξ（ξt）dWt，（6.18），其中uξ，σξ是光滑函数，因此SDE（6.18）定义良好。例如，这个额外的状态变量可以模拟在市场上交易的其他代理的财富。大投资者的平均执行价格由ST给出1+ε·sgn(θ） +λ（ξt，Xt）StθT.也就是说，价格影响是大投资者财富X和外生过程ξ的一般函数。λ（x.2，如果我们恢复）。It^o引理的简单应用表明，在这种情况下，财富过程X和权重Y满足：dXtXt=Yt（udt+σdWt）- ε| ut | dt- λ（ξt，Xt）xtdtt，（6.19）dYt=Yt（1）- 钇（u）- Ytσ）+ut+ε| ut | Yt+λ（ξt，Xt）XtYtutdt+Yt（1- Yt）σdWt。

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2022-5-5 20:07:46

（6.20）让V（t，Xt，Yt，ξt）表示相应的有限期价值函数，假设该函数依赖于当前财富Xt、当前风险权重Yt、外生状态ξt和时间t。如第5节所述，得出V（t，x，y，ξ）=x1-γ1 - γe（1）-γ）（β（T-t） +Ryy*q（ξ，x，u）du），（6.21）使这些参数严格化需要为出现在本文中的附加状态变量指定合适的可积性和边界条件。其中函数q（ξ，x，y）满足0=- β+uy-γσy+y（1）- y）（u）- γσy）q+σy（1）- y）（qy+（1）- γ） q）+uyxZyy*qx（ξ，x，u）du+σy（1）- y）(1 - γ） xq（ξ，x，y）Zyy*qx（ξ，x，u）du+xqx（ξ，x，y）+σy“2（1- γ） xZyy*qx（ξ，x，u）du+（1）- γ)xZyy*qx（ξ，x，u）du+ xZyy*qxx（ξ，x，u）du#+#ξ（ξ）Zyy*qξ（ξ，x，u）du+σξ（ξ）败走恶犬*qξ（ξ，x，u）du(1 - γ） +Zyy*qξξ（ξ，x，u）du！+σσξ（ξ）y（1）-y）(1 - γ） q（ξ，x，y）Zyy*qξ（ξ，x，u）du+qξ（ξ，x，y）+ σσξ（ξ）y“（1- γ）齐伊*qξ（ξ，x，u）du+（1）- γ） xZyy*qx（ξ，x，u）duzy*qξ（ξ，x，u）du+xZyy*qξx（ξ，x，u）du#+4λ（ξ，x）x（q）-ε(1-yq+xRyy*qx（ξ，x，u）du）1-yq+xRyy*qx（ξ，x，u）du，如果y∈ [0，y-（ξ，x）]，0，如果y∈ [y]-（ξ，x），y+（ξ，x）]，4λ（ξ，x）x（q+ε（1-yq+xRyy*qx（ξ，x，u）du）1-yq+xRyy*qx（ξ，x，u）du，如果y∈ [y+（ξ，x），1]。（6.22）和q（ξ，x，y）-（ξ，x））=ε+εxRy-（ξ，x）y*qx（ξ，x，u）du1+εy-（ξ，x），q（ξ，x，y+（ξ，x））=-ε - εxRy+（ξ，x）y*qx（ξ，x，u）du1- εy+（ξ，x），对于函数0≤ Y-（ξ，x）≤ y+（ξ，x）≤ 1.待定。为了推导相应的小成本渐近性，相应地重新调整交易成本和价格影响：λ（ξ，x）x=K（ξ，x）ε4/3，对于某些函数K。在接近非贸易区时，我们再次应用均匀化方法，定义为：=y- Y*ε1/3，q（ξ，x，y）：=ε×rB（ξ，x，z），y∈ [0，y-（ξ，x）]，r（ξ，x，z），y∈ [y]-（ξ，x），y+（ξ，x）]，rS（ξ，x，z），y∈ [y+（ξ，x），1]，β：=u2γσ- lε2/3，（6.23）对于常数大于0且函数为0≤ Y-（ξ，x）≤ y+（ξ，x）≤ 1，以及待测定的rB（ξ，x，z）、r（ξ，x，z）、rS（ξ，x，z）。

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2022-5-5 20:07:49

为了确定非贸易区的边界，我们需要额外注意，即使在具有额外状态变量的因子模型中，最佳长期增长率通常是恒定的，请比较[17]。条件为此，我们再次考虑q（ξ，x，y）=ε2/3q*（ξ，x，y）。Asε↓ 0，直接计算表明ODE（6.22）降低到Q*（ξ，x，y）=（2K（ξ，x）γσ）1/2（y）*- y）。（6.24）如果函数rB、r、rsa足够光滑，则为ε↓ 0转换（6.23）将模式（6.22）还原为0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)rB+4K（ξ，x）（rB）- 1），z∈ (-∞, Z-（ξ，x）]，（6.25）0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)r、 z∈ [z]-（ξ，x），z+（ξ，x）]，（6.26）0=-γσz+l+σy*(1 - Y*)rS+4K（ξ，x）（rS+1），z∈ [z+（ξ，x）+∞), （6.27）重新调整的买卖界限-（ξ，x）和z+（ξ，x）满足：rB（ξ，x，z）-（ξ，x））=r（ξ，x，z）-（ξ，x））=1，rS（ξ，x，z+（ξ，x））=r（ξ，x，z+（ξ，x））=-1.（6.28）作为z→ -∞ （分别为z）→ ∞ ) 函数rB（ξ，x，·）（分别为rS（ξ，x，·））必须与（6.24）：limz中的相同速率发散→-∞rB（ξ，x，z）-p2K（ξ，x）γσz=1和limz→∞rS（ξ，x，z）-p2K（ξ，x）γσz=1。（6.29）因此，渐近交易边界和交易率仍然由非齐次Riccati方程确定，但对于附加状态变量的每个值，由不同的方程确定。也就是说，更一般的成本结构的渐近解是通过将成本的当前值插入上一节导出的渐近展开式中获得的。7.校对。定理3.1的证明*∈ (0, 1).

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2022-5-5 20:07:53

实现严格验证定理的第一步是证明微分方程（3.1）确实允许具有所需性质（3.2-3.5）的解。为此，我们首先改写（3.1）中的坡度场表示法：q=f（y，q）=fB（y，q），q≥ε1+εy，fNT（y，q），-ε1-εy≤ Q≤ε1+εy，fS（y，q），q≤ -ε1-εy（7.1）每h∈ {rB，r，rS}，注意如果hξ（ξ，x，·）是连续的，那么*qξ（ξ，x，u）du=εZyy*hξ（ξ，x，（u）- Y*)ε-1/3）du=ε4/3Zzhξ（ξ，x，s）ds=o（ε2/3）。这将由引理7.2中建立的q的单调性性质进行后验检验。哪里-β+uy-γσy+y（1）- y）（u）- γσy）q+σy（1）- y）（q+（1）- γ） q）+4λ（q）-ε(1-yq）1-yq=：fB（y，q），0=：fNT（y，q），4λ（q+ε（1-yq）1-yq=：fS（y，q）。注意，f（y，q）的定义很好，因为fB（y，q）=fNT（y，q）在q=ε1+ε上，fNT（y，q）=fS（y，q）在q=-ε1-εy.备注7.1。将全部财富分配到无风险资产（即风险资产）是一种不需要交易的允许策略。相应的等效安全率为0（分别为u-γσ). 这提供了最佳等效安全率的自然下限，即β≥最大{u-γσ, 0}. 相反，上界由无摩擦等效安全率u2γσ给出。引理7.2。假设λ和ε足够小。那么，对于一个合适的β∈最大{u-γσ, 0},u2γσ,有一个q=f（y，q）的解，使得q（0+）=b（ε，λ）：=ε+2pλβ，（7.2）q（1）-) = b（ε，λ）：=λd- ε(1 - ε) -pλd（λd）- 2 + 2ε)(1 - ε），带d=-γσ- 2β + 2u. （7.3）特别是，存在-, y+∈ [0,1]令人满意（3.1）和q（y）>ε1+εy，如果y∈ [0，y-),-ε1-εy≤ q（y）≤ε1+εy，如果y∈ [y]-, y+]，q（y）≤-ε1-εy，如果y∈ （y+，1]。（7.4）此外，对于所有y，解决方案q full fill q（y）y<1∈ [0, 1].证据首先，请注意，对于每个y∈ （0，1）我们有y>ε1+εy，因此limq→（y）-f（y，q）=limq→（y）-fB（y，q）=-∞. 因此，从曲线下方开始的q=f（y，q）的每个解都必须保持在该曲线下方。

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2022-5-5 20:07:57

其余的证明如下：（i）对于每一个β>max{u-γσ，0}，在（0，y）上定义了唯一解qβ（y）（0,1）满足y=0时的边界条件（7.2）和（y,1）上定义的唯一解qβ（y）（0,1）满足y=1时的边界条件（7.3）。（ii）如果β>u2γσ，那么qβ（y）>0和0>qβ（y）在各自的定义间隔上。（iii）设置β=u2γσ- c、 c>0时。如果λ和ε足够小，那么（0，y）上的qβ（y）<qβ（y）∩ （y，1）。此外，如果y<1，则为limy→Y-qβ（y）=-∞, 如果y>0，那么→y+qβ（y）=+∞.q=f（y，q）的解连续依赖于β。因此，如果λ和ε足够小，那么就有qβ*≡ qβ*有一段时间*∈最大{u- γσ/2, 0}, u/(2γσ).（i）的证明：这类似于[19，引理A.8（i）]。实际上，将q/4λ替换为（q-ε） /4λ在[19，引理A.8（i）]证明的第一行。然后，进行类似的证明，导致oh（0）=ε+2pλβ，h（0）=-λβ1/2（u+（u+β）h（0））- εh（0）<0。该项为负值，如[19，引理A.8（i）]中首次显示的等式中的相应表达式。因此，剩下的步骤可以原封不动地进行。（ii）的证明：这遵循[19，引理A.8（iii）]中的逐字逐句。（iii）证明：与[19]相比，此处需要额外的工作。证据基于以下观察：备注7.3。关于{（y，q）：y∈ （0，1），q<y}，我们有f（y，q）≤ fNT（y，q）。备注7.4。α，ζ>0，η<0与λ和ε无关，因此f（y，q）≤ fNT（y，q）≤ η<0，在[y]上*- α、 y*+ α] × [-ζ, ζ].备注7.4的证明。在……上-, y+]，等式（3.1）可以改写为asy（1- y） fNT（y，q）=-c+k（y，q）+k（y，q），其中limy→Y*k（y，q）=0和limq→0k（y，q）=0。

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2022-5-5 20:08:00

特别是，存在一个负常数η，如果y非常接近y*q到0，我们有fNT（y，q）≤ η.一个简单的计算表明，人们可以选择足够小的λ和ε，使得对于任何λ≤ λ和ε≤ ε：oddy[y（1）- y）（0，y）上的fNT（y，b（λ，ε））]<0*- α);oddy[y（1- y） fNT（y，b（λ，ε））]>0*+ α, 1);o 麦克斯{b，-b} <ζ和η<b（λ，ε）-b（λ，ε）2α<0。从第一点开始- y） fNT（y，b（λ，ε））=0对于y=0，我们得到fNT（y，b（λ，ε））<0on（0，y）*- α). 备注7.3表示f（y，b（λ，ε））在（0，y）上小于0*- α).第二点具有相同的参数，在（y）上得到f（y，b（λ，ε））<0*+ α, 1).现在考虑q=b这条线-b2α（y）- Y*- α） +b.给定一个解q（y），第三点andRemark 7.4意味着如果q（y*- α） <b当q（y）<b-b2α（y）- Y*- α） +bon[y]*- α、 y*+ α].定义以下功能：g（y）=b、 y∈ （0，y）*- α），b-b2α（y）- Y*- α） +b，y∈ [y]*- α、 y*+ α] ，b，y∈ （y）*+ α, 1).（7.5）我们刚刚证明了f（y，g（y））<g（y）在（0，1）\\{y上*- α、 y*+ α} 因此，qβ（y）<g（y）在q的定义区间。类似地，qβ（y）>g（y）和so qβ（y）<qβ（y）在其共同的定义区间。这就完成了第（iii）项的证明。我们已经证明，对于β>u2γσ，qβ（y）>qβ（y），对于β=u2γσ，qβ（y）>qβ（y）- c>0，且在公共域上ε和λ非常小。这证明了β的存在*=u2γσ-c（ε，λ）和y∈ （0，1）使得qβ*（\'y）=qβ*（\'y）。因为qβ*（·）和qβ*（·）满足方程（3.1），（qβ*)（\'y）=（qβ*)（`y），因此qβ*（y） =qβ*（y）在整个时间间隔内（0,1）。因此，我们找到了一个解qβ*（y）满足条件（7.2）和（7.3）。最后，我们证明了集合{y:-ε<qβ*（y）一,-yqβ*（y） <ε}是区间[y-, y+]。特别是，它足以证明解qβ*（y）穿过曲线q=ε1+εyand q=-ε1-εy只有一次，在y中-和y+。方程fNT（y，ε1+εy）=ddy（ε1+εy）有两个解y<yin（0，1）。

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