（7.12）将（7.11-7.12）代入（7.10）后，该不等式读数为asZTuYt- ε| ut |- λut-σYt+σ（1）- γ） Yt（1+q（Yt）（1）- Yt）dt≤ZTβ - q（Yt）（Yt（1）- 钇（u）- Ytσ）+ut+ε| ut | Yt+λYtut）-σYt（1）- Yt）q（Yt）dt。因此，仍需验证的是，尽管美国∈ R和y∈ [0,1]：uy- ε| u |- λu-σy+1- γσy（1+q（y）（1）- y） )≤ β - q（y）（y（1）- y） （u）- yσ）+u+ε| u | y+λyu）-σy（1）- y） q（y）。（7.13）重新安排（7.13），必须检查∈ R和y∈ [0, 1]:0 ≥ -β+uy-γσy+y（1）- y） （u）- γσy）q+σy（1）- y） （q+（1）- γ） q）- λu- ε| u |+（u+ε| u | y+λyu）q.（7.14）最大化-λu- ε| u |+（u+ε| u | y+λyu）q除以u表明在| u（y）处达到的最大值=2λq（y）1-yq（y）- ε, ifq（y）1-yq（y）≥ ε、 0，如果- ε ≤q（y）1-yq（y）≤ ε,2λq（y）1-yq（y）+ε, ifq（y）1-yq（y）≤ -ε.鉴于（7.4），~u（y）=2λq（y）1-yq（y）- ε, 如果∈ [0，y-),0，如果y∈ [y]-, y+]，2λq（y）1-yq（y）+ε, 如果∈ （y+，1）。现在，在用ODE（3.1）代替q并使用^u的最大值之后，不等式（7.14）就出现了。显然，这个不等式从引理7.6变成了策略^u的等式。[0,1]上的条件q（y）y<1保证临界点确实是一个最大值。为了完成定理3.1的证明，我们现在验证如下：→ ∞, 对于任何容许策略，Emma 7.7的上界收敛于β，对于^u，上界由引理7.6得到。定理3.1的证明。让β和q定义为引理7.2，让u是任意可容许策略。通过引理7.5，我们得到了∈ [0,1]对于所有t.由于引理7.2，q在[0,1]上有界，函数q（ξ）=Rξq（z）dz也在[0,1]上有界。因此，对于每一个可接受的策略，wehavelimT→∞(1 - γ） Tlog E^Pu[E-(1-γ） （问（是的）-Q（y））]=0。作为T→ ∞, 因此引理7.7为当量安全率提供了一个与策略无关的上界：ESRγ（u）=limT→∞(1 - γ） Tlog E[（XuT）1-γ] ≤ β.这个上界是从引理7.6得到的容许策略^u的。

因此，后者是长期运行最优的，具有所声称的等效安全率β。7.2命题6.1、6.2和6.3的证明在最后一节中，我们提供了第6节渐近结果的证明。引理7.8。假设λ=Kε4/3。对于非常小的ε，定理3.1中定义的解q（y）严格递减。证据将方程（3.1）改写为q（y）=f（y，q（y））。在定理3.1的证明中，我们证明存在一个函数h（y）定义为接近0，使得f（y，h（y））=0，h（0+）=带h（0+）<0。注意f（y，ε±2√Kβε2/3）<0，因此| h（y）-ε| ≤ 2.√Kβε2/3，尤其是小ε的h（y）<y。方程f（y，h）=0可以被视为h中的一个三次方程（当h<ε1+εy时，该方程简化为一个二次方程），并且存在一个结果，即最终（当ε变为0时），该方程在（0，y）上具有正判别式*- Npc（ε）），其中c（ε）：=u2γσ- β（和y处等于0的判别式）*-Npc（ε））。在这种情况下，f（y，h）=0的三个实根在y方面有明确的表达式，其中一个根将函数h（y）扩展为整个区间（0，y）上的连续函数*-Npc（ε））。注意在（y）上*-Npc（ε），y*) 三次方程只有一个实根不在（b，b）中，换句话说，f（y，q）<0在（y）上*- Npc（ε），y*) ×（b，b）。利用| h（y）-ε| ≤ 2.√Kβε2/3，我们看到不存在y∈ （0，y）*-Npc（ε）），使得同时ddyf（y，h（y））=0和h（y）=0。这意味着h（y）在整个定义区间内是单调的，特别是（因为h（0+）<0），它是一个递减函数。定理3.1中定义的（3.1）的解q（y）是这样的：q（0+）=带q（0+）=0，而h（0+）=带h（0+）<0，因此接近于0时，我们有q>h。因为h是一个亚解，即0=f（y，h（y））>h（y），我们在（0，y）上有q（y）>h（y）*- Npc（ε））。

这意味着（0，y）上的q（y）=f（y，q（y））<0*- Npc（ε））。类似的论证证明了（y）上的q（y）<0*+ Npc（ε），1）对于某些N>0。总之，在（y）上观察f（y，q）<0是不够的*- Npc（ε），y*+ Npc（ε））×（b，b）。命题6.1表明，等效安全损失，即正值c（ε）：=u2γσ-ESRγ（^u）为ε2/3级。c（ε）的下界是通过将其与投资者仅面临二次成本时可能发生的损失进行比较而获得的，而上界是通过对具有幂形式非线性交易成本的模型进行参数调整而获得的[18]：命题6.1的证明。对于任何可接受的策略u，让ESRq。c、 γ（u）是具有二次成本的模型的等效安全率，如[19]所示。很明显，对于任何可接受的策略u，ESRq。c、 γ（u）≥ ESRγ（u）。在[19]中，证明了仅具有二次成本的模型中的最大等效安全率的形式为u2γσ- ε2/3lq。c、 正常数lq的+o（ε2/3）。C这意味着lim infε→0c（ε）ε2/3≥ lq。c> 0。现在我们将证明lim supε→0c（ε）ε2/3<+∞. 为此，我们假设存在εn↓ 这样limn→∞c（εn）ε2/3n=+∞ 并证明这会导致矛盾。设q（·）为方程（3.1）的解，如定理3.1所示。定义ynl:=y*-qγσ（1+δ）c（εn）对于某些固定的（即，独立于ε）和正δ，设≈yn为唯一的点，使得q（≈yn）=0。假设在子序列中，~yn≥ Y*. （如果不存在这样的子序列，则使用与ynr:=y相同的参数。）*+可以使用qγσ（1+δ）c（εn）我们把剩下的证明分为两部分：（i）首先我们证明假设limn→∞c（εn）ε2/3n=+∞ 意味着存在一个子序列，比如thatlimk→∞（q（ynkl）- ε） ε4/3nkc（εnk）=+∞. （7.15）回想一下q（0+）=ε+2√Kβε2/3=：b（ε），q（·）在减小，因此q（y）≤ 苯教[0,1]。

如果C>1+2qKu2γσ与ε无关，那么最终q（ynl）≥ Cc（εn），然后得出结论，注意到对于大的n，最终b（εn）<Cε2/3n<Cc（εn）≤ q（ynl），其中第二个不等式来自limn→∞c（εn）ε2/3n=+∞. 这与q（·）的单调性相矛盾，因此我们可以假设（直到一个子序列）q（ynl）<Cc（εn）。在这个假设下，也使用引理7.8中建立的q（y）在区间（y）上的单调性*-qγσ（1）- δ） c（ε），y*) 我们从方程（3.1）中得出，对于某些常数C，σy（1- y） q（y）<（1）- δ） c（ε）- c（ε）+0+Cc（ε）+0。因此，存在C>0，使得q（y）<-（y）上的Cc（ε）*-qγσ（1）- δ） c（ε），y*) 对于足够小的ε。因此，根据ynland的定义，假设为≥ Y*thatq（ynl）=-Z~ynlq（y）dy≥ -Zy*Y*-qγσ（1）-δ） c（ε）q（y）dy>Zy*Y*-qγσ（1）-δ） c（ε）Cc（ε）dy=Crγσ（1）- δ） c（ε）3/2。还记得吗-定义为q（y）的唯一点-) =ε1+εy-. Sincec（εn）3/2εn↑ ∞ 因此q（ynl）>ε1+εynl，这意味着最终ynl<y-. 此外，我们还得到了，对于C，q（ynl）- εn）ε4/3nc（εn）≥（Cc（εn）3/2- εn）ε4/3nc（εn）≥Cc（εn）ε4/3nc（εn）=Cc（εn）ε2/3n！↑ ∞,这证明了第（i）点。（ii）我们接下来证明了limn→∞c（εn）ε2/3n↑ ∞, 与（7.15）一起意味着，对于某些η∈ （0，ynl）和足够小的εn，q（η）>q（0+）=b（εn）。这与q（y）的单调性相矛盾，从而产生所需的矛盾。修正一个大常数M>0。自从limn→∞（q（ynl）-εn）ε4/3nc（εn）=+∞, 对于非常小的εnw，我们有（q（ynl）- εn）ε4/3n>Mδc（εn）=Mγσ（ynl）- Y*)- c（εn）.定义y1，n:=inf{y∈ （0，y）*) : -σy（1）-y） （1）-γ） q（y）>γσ（y）-Y*)-c（εn）}>0，通常为inf = +∞. 假设最终y1，n<ynl。

详细说明：-σy1，n（1）-y1，n）（1）-γ);我们想证明，在y1中，这个不等式成立：（q（y1，n）- εn）ε4/3n>Mγσ（y1，n）- Y*)- c（εn）= pnMq（y1，n），我们在最后一个等式中使用了y1的定义。如果Pn<0（即，当γ<1），则该不等式可以满足，因此假设Pn为正。回想一下q（y1，n）>q（ynl）证明的第（i）部分≥ Cc（εn）3/2，因此最终q（y1，n）>ε。取平方根（使用q（y1，n）>ε>0）并重新排列要证明的不等式中的项，我们得到了等价不等式q（y1，n）>εn1-√pnMε2/3n。由于q（y1，n）>Cc（εn）3/2，因此有必要证明Cc（εn）3/2≥εn1-√pnMε2/3。这可以重写为Cc（εn）ε2/3n3/2≥1.-√pnMε2/3，适用于小εnsincec（εn）ε3/2n↑ ∞ Pn在εn中一致有界。如果最终y1，n<ynl，让y2，nbe等于y1，n。否则，直到一个子序列，ynl<y1，然后定义y2，n:=ynl。我们刚刚证明了在这两种情况下（q（y2，n）- εn）ε4/3n>Mγσ（y2，n）- Y*)- c（εn）y2，n≤ y1，n.选择η，使η<y2，对于每n（这是可能的，因为对于y↓ 0, -σy（1）- y） （1）-γ） q（y）↓ 0和q（y）在ε和γσ（y）中一致有界- Y*)- c（εn）↑ β > 0). 在区间（η，y2，n）上有σq（y）≤σy（1）- y） q（y）<γσ（y）- Y*)- c（εn）+0-σy（1）- y） （1）- γ） q（y）-（q（y）- εn）4Kε4/3n≤ 2.γσ（y）- Y*)- c(n）-（q（y）- εn）4Kε4/3n，（7.16），其中第一个不等式由y（1）得出-y）≤, 第二个来自y<y*q>0，从y2开始的第三个，n≤ y1，与y1，n的定义。定义（η，y2，n）上的q（y）为柯西问题的解q（y）=f（y，q（y））：=σγσ（y）- Y*)- c（εn）-（q（y）- εn）4Kε4/3n！，q（y2，n）=q（y2，n）。不等式（7.16）意味着q（y）<~f（y，q（y））。因此，q（y）<q（y）在（η，y2，n）上。定义（η，y2，n）函数k（y）>εnby（k（y）- εn）ε4/3n=Mγσ（y）- Y*)- c（εn）.为了得出结论，我们还需要证明k（y）是（η，y2，n）上的q（y）的一个子解，而k（η）<q（η）。

特别是，如果选择M足够大，我们得到了矛盾。因此，仍需证明（η，y2，n）上的f（y，k（y））<k（y），即σ2.-M4Kγσ（y）- Y*)- c（εn）<√Mε2/3nγσ（y）- Y*)- c（εn）-1/2γσ（y）- Y*).这相当于γσ√M4K-√M！>ε2/3nγσ（y）- Y*)- c（εn）-3/2（y）*- y） =:r（y）。（7.17）一个简单的计算表明（0，ynl）上的r（y）>0。因此，r（y）≤ r（ynl）在（η，y2，n）上，其中r（ynl）=ε2/3n（δc（εn））-3/2γσ（1+δ）c（εn）1/2=Dε2/3nc（ε）↓ 0，D>0。如果M足够大，则（7.17）中的左侧严格为正值。由于r（y）在（η，y2，n）上以ε的形式一致收敛到0，因此对于足够小的ε不等式（7.17）成立。这就完成了证明。接下来，我们建立了非齐次Riccati方程的存在性和唯一性，该方程决定了第6节中的小代价渐近性。为此，我们首先证明了Riccati ODEs的一个辅助结果：引理7.9。Riccati方程y（x）=f（x，y（x））：-a，b，c>0的ax+b+cy（x），（7.18）有一个独特的解决方案，比如limx→∞y（x）pa/cx=1。（7.19）此外，在等式（7.18）中，分别用b带替换参数b，并考虑满足（7.19）的相应唯一解y（x）和y（x）。如果b<b，那么y（x）>y（x）。证据在（pb/a+∞), 定义函数h（x）：=pax/c- b/c.注意，通过定义h（x），我们得到f（x，h（x））=0。对于每个¨x∈ （pb/a+∞) 考虑具有初始条件（\'x，h（\'x））和定义y的解y（x；\'x，h（\'x））*（x） ：=sup{y（x；\'x，h（\'x））：\'x∈ （pb/a+∞)}.对于任何x，这里有一个大的y，线性函数＠y（x）=y+pa/c（x- x） 是（7.18）的解，其图与h（x）的图不相交。特别是，初始条件（x，y）下的溶液y（x；x，y）至（7.18）严格大于h（x）。

因为对于定义区间y（\'x；x，y）>h（\'x）=y（\'x；\'x，h（\'x）），我们也有y=y（x；x，y）>y（x；\'x，h（\'x）），因此+∞ > Y≥ Y*（x） 。这个论点可以在任何x上重复∈ （pb/a+∞), 因此，我感到很沮丧*（x） <+∞ 在（pb/a+∞).我们想证明这一点*（x） 是唯一的解决方案，满足（7.19）。根据结构，y*（x） 具有以下特性：i）y*（十）≥ h（x）；二）qba+∞ D、 其中D是y的域*（x） 。从属性（i）可以看出，lim infx→∞Y*（十）√a/cx≥ 1.接下来我们证明L:=limx→∞Y*（十）√a/CX4存在。假设lim supx→∞Y*（十）√a/cx=：M∈ (1, +∞) （案例M=+∞ 是类似的）。然后，有一个序列（xn）n≥这样limn→∞Y*（xn）√a/cxn=M。特别是对于任何δ∈ （0，M）- 1） 存在Nδ∈ N这样N≥ Nδ我们有y*（xn）≥（M）-δ） pa/cxn。对于大x，函数s（x）=（M-δ） pa/cx是（7.18）的一个子解，因为（M- δ） rac=s（x）≤ -ax+b+cs（x）=ax（M- δ)- 1） +b.因此，对于每个δ∈ （0，M）-1） 还有一些“x”，我们有“y”*（十）≥ （M）-δ） x的pa/cx≥ 特别是lim infx→∞Y*（十）√a/cx≥ M- 对于任何小的δ和lim infx→∞Y*（十）√a/cx=M=lim supx→∞Y*（十）√a/cx。在其他术语中，极限L是存在的。接下来我们证明L=1。首先，通过矛盾假设1<L<+∞. 辛塞利姆→∞Y*（十）√a/cx=L<+∞, 函数y*（x） 线性增长。另一方面，从（7.18）一个getslimx→∞Y*（x） ax=L- 1>0，这意味着y*（x） 二次增长，导致矛盾。假设L=+∞. 从（7.18）开始，它遵循thatlimx→∞Y*（x） 赛*（x） =1。对于小δ和足够大的x，我们有（1- δ） 赛*（十）≤ Y*（x） 。这意味着*（x） 从下方以formk的正函数为界-(1-δ） 对于某些k>0。特别是，y*（x） 将有一条垂直渐近线，与属性（ii）相矛盾。这证明了L=1。下一步是证明独特性。

考虑一个非常小的δ>0和¨x，使得对于任何x≥ \'x:√acx≤ δandy*（x） pa/cx≥ 1.- δ.对于任何d>0，考虑函数w（x；d）=y*（x） +dx。现在我们展示了x的情况≥ \'x，w（x；d）是（7.18）的子解，即w（x；d）≤ f（x，w（x；d））。自从*（x） 是（7.18）的解，这个不等式等价于d≤ cdx+2cdy*（x） x，可以重新排列为√acx≤rcad+2rcay*（x） x.自x以来≥ \'x，这个不等式来自δ≤pcad+2-2δ，考虑到δ的选择是适当的。因此，w（x；d）是任何d>0的子解。特别地，让y（x）>y*（x） 作为（7.18）的解决方案，选择d*使得y（(R)x）=y*（\'x）+d*\'x.然后是y（x）≥ w（x；d）*) = Y*（x） +d*x换x≥ \'x安迪（x）无法满足（7.19）。因为任何比y小的解*（x） 也就是说，对于大x来说，小于h（x），并最终减小，这就足以证明其唯一性。最后，定义h（x）=pax/c- b/c和h（x）=pax/c- b/c.由于h（x）>h（x），并且由于方程（7.18）的任何具有系数双的解是具有系数b的方程（7.18）的次解，因此具有初始条件（\'x，h（\'x））的第一个方程的解y（x，\'x）高于具有初始条件（\'x，h（\'x））的第二个方程的解y（x，\'x）(-∞, \'\'x]。因此y（x）>y（x）。命题6.2的证明。对于任何l>0的情况，将rB（z；l）定义为（6.6）的唯一解决方案，以满足Limz的要求→-∞rB（z）-p2Kγσz=1。根据这个引理的存在性。设r（z；l）是（6.7）的唯一解，初始条件r（0；l）=0。这足以证明存在一个唯一性，对于某些z-< 我们得到rB（z）-; l） =r（z）-; l） =1，rB（z）-; l） >1开(-∞, Z-) 安德烈（z）-; l） <1 on（z）-, 0].定义lλ：=qγKσy*(1 -Y*)lε：=qγσy*(1 - Y*)2/3.

如果存在以下值，则定义zB（l）为（唯一）值，以便rB（zB（l）；l） =1和rB（zB（l）；l） <0，并且zNT（l）是（唯一）值，使得r（zNT（l）；l） =1和r（zNT（l）；l） <0。如果l=lλ，带边界条件（7.20）的ODE（6.6）的解为rB（z；lλ）=-√2γKσz+1。因此，zB（lλ）=0。从引理7.9可以看出，如果l<l，那么rB（z；l）>rB（z；l）和zB（l）>zB（l）。因此，函数l→ zB（l）定义良好，并在[lλ]上递减+∞).此外，liml→∞zB（l）=-∞.自从maxz∈(-∞,0）r（z；l）<1当且仅当l<lε，函数l→ zNT（l）仅定义为[lε+∞). 此外，它正在增加和限制→∞zNT（l）=0。设lM:=max{lλ，lε}。如果lλ≥ lε，那么zNT（lλ）<zB（lλ）=0。简单计算表明，zNT（lε）=-q2lεσ。因此，对于（z，r）∈ (-∞, zNT（lε）×{1}任何（6.6）的解都有严格的正导数，而（z，r）的解是严格的负导数∈ （zNT（lε），0]×{1}。特别是，由于rB（zB（l）；l） <0，如果lε≥ lλ，然后是zB（lε）∈ （zNT（lε），0）。在这两种情况下，zNT（lM）<zB（lM）。考虑到函数zNT（l）和zB（l）的单调性，存在一个唯一的l*∈ （lM+∞) 使zNT（l*) = zB（l）*).在没有价格影响的情况下，非贸易区由（zNT（lε）给出，-zNT（lε））（见[14，公式（2.9）]）。由于zNT（l）是一个递增函数，因此具有价格影响的非贸易区严格来说更小：（zNT（l）*), -zNT（l）*))  （zNT（lε），-zNT（lε））。最后，我们严格证明了值函数qε（y）收敛于命题6.2中规定的解r（z）。命题6.3的证明。将方程（3.1）改写为q（y）=fε（y，q（y））和方程（6.6-6.8）asr（z）=g（z，r（z））。考虑一个序列（εn）n≥0使得C（εn）ε2/3的极限等于l（为了简单起见，我们将在剩下的证明中用ε代替ε），这样的极限由命题6.1存在。

在定理3.1的证明中，我们证明存在一个函数hε（y）定义为接近0，使得fε（y，hε（y））=0，hε（0+）=b（ε）和（hε）（0+）<0。在引理7.8的证明中，我们证明了hε在其整个定义区间（0，y）上是递减的*- Mε1/3）。鉴于隐函数定理所保证的连续性，对于ε↓ 0，函数ε-1hε（ε1/3z+y）*) 收敛到k（z）：=1+2rKγσz- L, i、 使得g（z，k（z））=0。在定理3.1的证明中，我们证明了方程（3.1）存在唯一解qε，极限qε（0+）=b（ε）。将qε（y；\'y，\'q）定义为方程（3.1）的解，初始条件为（\'y，\'q）和<<qε（y）：=sup{qε（y；\'y，h（\'y））：\'y∈ （0，y）*- Mε1/3）}。现在我们将证明qε（y）=qε（y）。首先请注意，由于（hε）（y）<0=fε（y，hε（y）），hε（y）是方程（3.1）的一个次解。因此，从（qε）（0+）=0和（hε）（0+）<0，我们得到（0，y）上的qε（y）>hε（y）*- Mε1/3）。此外，对于任何y，q（y；\'y，hε（\'y））<hε（y）在（0，\'y）上。这表明qε（y）≥ qε（y）。让我们用矛盾的说法来解释一下，qε（0+）<qε（0+）=hε（0+）。这意味着对于某些y>0的情况，qε（\'y）<hε（\'y），也就是说，qε（\'y）<qε（\'y；\'y，hε（\'y）），与qε（y）的最大值相矛盾。这证明了qε（y）=sup{qε（y；\'y，h（\'y））：\'y∈ （0，y）*- Mε1/3）}。现在，让r（z；\'z，\'r）是方程（6.6-6.8）的初始条件（\'z，\'r）的解。通过（3.1）关于参数ε的解的连续性-1qε（ε1/3z+y）*) 收敛到rl（z）：=sup{r（z；\'z，k（\'z））：\'z∈ (-∞, -M） 哦。在引理7.9的证明中，我们证明了上文定义的rl（z）满足极限→-∞rl（z）-p2Kγσz=1。回想一下，qε是等式（3.1）的唯一解，极限为qε（1）-) = b（ε）。

对于qε，我们使用相同的方程，得到ε-1qε（ε1/3z+y）*) 收敛到满足极限的唯一解rr（z）到方程（6.8）→+∞rr（z）-p2Kγσz=1。在定理3.1的证明中，我们证明了对于β的最优值，qε（y）=qε（y）=qε（y）=qε（y）。因此，函数ε-1qε（ε1/3z+y）*) 在生长条件（6.10）下收敛到（6.6-6.8）的唯一解。特别是考虑到l的唯一性*在命题6.2中，lim infε→0c（ε）ε2/3=lim supε→0c（ε）ε2/3=l=l*如前所述。参考文献[1]R.F.阿尔姆格伦和N.克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险》，2001年3:5-40。[2] R·F·阿尔姆格伦和T·M·李。具有平滑市场影响的期权套期保值。市场微观结构Liq.，2（1）：165000220016。[3] A.Altarovici、J.Muhle Karbe和H.M.Soner。固定交易成本的渐近性。财政司司长。，19(2):702–723, 2015.[4] D·贝尔西马斯和A·W·洛。执行成本的最优控制。J.Financ。市场，1（1）：1-501998。[5] 比丘奇先生。具有交易费用的有限时间最优投资的渐近分析。西亚姆。财务部。数学3(1):433–458, 2012.[6] 陈先生和戴先生。具有小资本利得税和利率的默顿问题的渐近解。预印本，2013年。[7] P.柯林·杜弗兰、K.丹尼尔、C.莫阿莱米和M.萨格拉姆。具有可预测回报和交易成本的战略资产配置。预印本，2013年。[8] 康斯坦丁尼德斯。具有交易成本的资本市场均衡。J.波利特。经济。，94(4):842–862,1986.[9] 戴先生和易先生。有交易费用的有限期最优投资：抛物型双障碍问题。J.迪夫。等式246（4）：1445-14692009。[10] M.H.A.戴维斯和A.R.诺曼。具有交易成本的投资组合选择。数学奥普。第15（4）号决议：676-7131990年。[11] B.杜马和E.卢西亚诺。交易成本下动态投资组合选择问题的精确解。《金融学杂志》，46（2）：577-5951991。[12] N.Garleanu和L.H。

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