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论坛 经济学人 二区 外文文献专区
2022-5-9 08:01:55
Let(Q,w)∈ Wt.“=>” 由于(Rt)Tt=0是多端口对时间一致的,我们得到βt(Q,w)=GMt(w)-.(-βt(Q,w))=GMt(w)-.氯-βt,s(Q,w)+EQ-βs(Q,wst(Q,w))英尺= clh格林尼治标准时间(w)-.(-βt,s(Q,w))+格林尼治标准时间(w)-.情商-βs(Q,wst(Q,w))英尺i=clhβt,s(Q,w)+情商GMs(wst(Q,w)-.(-βs(Q,wst(Q,w)))英尺i=clhβt,s(Q,w)+EQ[βs(Q,wst(Q,w))|Ft]i,其中第三和第四个方程分别来自命题B.2和命题B.3。命题B.2的假设满足如下条件:-βt(Q,w))6= 对于(Q,w)∈ 因此WTA:=-βt,s(Q,w)6= B:=EQ-βs(Q,wst(Q,w))英尺6= .“<=” 因为βt(Q,w)=clβt,s(Q,w)+EQ[βs(Q,wst(Q,w))|Ft], 它坚持住了-βt(Q,w)=GMt(w)-.βt(Q,w)=GMt(w)-.氯βt,s(Q,w)+EQ[βs(Q,wst(Q,w))|Ft]= clh格林尼治标准时间(w)-.βt,s(Q,w)+格林尼治标准时间(w)-.等式[βs(Q,wst(Q,w))|Ft]i=clh-βt,s(Q,w)+情商GMs(wst(Q,w))-.βs(Q,wst(Q,w))英尺i=cl-βt,s(Q,w)+EQ-βs(Q,wst(Q,w))英尺.同样,第三和第四个等式分别来自命题B.2和命题B.3。命题B.2的假设满足为βt(Q,w)6=Mtfor(Q,w)∈ 因此,通过共循环条件A:=βt,s(Q,w)=clA+GMt(西)6=m和B:=EQ[βs(Q,wst(Q,w))|Ft]=clB+GMt(西)6=Mt.B.3定理2.10的证明定理2.10的证明使用以下两个命题。B.4提案。让我们∈ M+t,+\\M⊥t、 对于任何可分解集A,B∈ G(Mt;Mt,+)带6= 如果P(clB+ΓMt(西)= M) >0,b6= 如果P(clA+Mt(西)= M) >0,则认为ΓMt(w)-.cl[A+B]=clΓMt(西)-.A.+ΓMt(西)-.B. (B.3)证据。这类似于命题B.2的证明,注意到对于证明的第二部分,ess infb∈BwTb 6∈ Lt(R)当且仅当B= 有机磷B+ΓMt(西)= M) >0。B.5提案。设s>t和(Q,w)∈ 潮湿的
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2022-5-9 08:01:59
对于任何可分解集∈G(Ms;Ms,+)它认为ΓMt(w)-.等式[A | Ft]=cl等式ΓMs(wst(Q,w))-.A.英尺.证据氯当量ΓMs(wst(Q,w))-.A.英尺= clnEQ[u | Ft]|u∈ Ms,u+A ΓMs(wst(Q,w))o=clEQ[u | Ft]|u∈ 英法女士∈Awst(Q,w)T(u+a)≥ 0 氯EQ[u | Ft]|u∈ 女士,E女婴∈Awst(Q,w)T(u+a)英尺≥ 0= 氯EQ[u | Ft]|u∈ 英法女士∈AwTEQ[u+a |英尺]≥ 0= clnu∈ Mt | u+EQ[A | Ft] ΓMt(w)o=ΓMt(w)-.等式[A | Ft]。我们可以交换期望值和本质值,因为A是可分解的,A是一组可积的随机变量(见[61,定理1])。如果ΓMt(w)-.EQ[A | Ft]为空,则等式立即出现。现在考虑一下u点∈ ΓMt(西)-.EQ[A | Ft]并假设u6∈ 氯当量ΓMs(wst(Q,w))-.A.英尺. 自从cl EQΓMs(wst(Q,w))-.A.英尺当{u}是闭的和凸的,我们可以分离{u}和cl-EQΓMs(wst(Q,w))-.A.英尺somev∈ Lqt,即EhvTui<infz∈cl-EQ[ΓMs(wst(Q,w))-.A | Ft]EhvTzi=infz∈ΓMs(wst(Q,w))-.AEhwst(Q,v)Tzi=Eess infz∈ΓMs(wst(Q,w))-.Awst(Q,v)Tz.注意,在上面的最后一个等式中,我们可以交换期望值和自ΓMs(wst(Q,w))以来的数值-.A是可分解和可积的。按结构infz∈ΓMs(wst(Q,w))-.Awst(Q,v)Tz=(ess supa)∈A(-wst(Q,w)Ta)在D上-∞ 在Dc上,其中D={ω∈ Ohm | G(wst(Q,v)[ω])=G(wst(Q,w)[ω])。自从Q∈ 对于某些λ,当且仅当v(ω)=λ(ω)w(ω)∈Lt(R++)(使得λw∈ Lqt(R))。因此,Ehess infz∈ΓMs(wst(Q,w))-.Awst(Q,v)Tzi>-∞如果而且只有生命ess infz∈ΓMs(wst(Q,w))-.Awst(Q,v)Tz= Eλess infz∈ΓMs(wst(Q,w))-.Awst(Q,w)Tz= Eλess supa∈A(-wTEQ[a | Ft]).但这意味着λwTu< Eλess supa∈A(-wTEQ[a | Ft]), 这对你来说是矛盾的∈ ΓMt(西)-.等式[A | Ft]。定理2.10的证明。注意αt(Q,w)=ΓMt(w)-.(-αt(Q,w))和-αt(Q,w)=μMt(w)-.每个(Q,w)的αt(Q,w)∈ Wt。
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2022-5-9 08:02:02
该证明类似于定理2.9的证明,但使用命题B.4和B.5,其中命题B.4的假设满足(Q,w)∈ 潮湿的-\'-αt(Q,w)6= P(αt(Q,w)=M)=0。C第3C节的证明。1引理的证明3.2我们将使用以下一组时间t的对偶变量≤ s≤ TWst:={(Q,w)∈ Wt |βs(Q,wst(Q,w))6=} .证据“<=” 我们将首先证明,条件(3.2)和(3.3)暗示了超鞅性质(3.1)。If(Q,w)6∈ 那么V(Q,w)t(X)= 对于任何X∈ Lpand(3.1)已满足要求。现在,让X∈ (LPAQ,LPAW)∈ Wtt。它保持sv(Q,w)t(X)=U∈ 埃赫图伊山≥ infZ∈Rt(X)EhwTZi+supYt∈AtEhwTEQ[-Yt | Ft]i.类似地,它遵循eqhv(Q,wst(Q,w))s(X)Fti=U∈ 埃赫图伊山≥ infZ∈Rs(X)EhwTEQ[Z | Ft]i+supYs∈阿塞韦特克[-Y|Ft]i如果βs(Q,wst(Q,w))6=, i、 e.,if(Q,w)∈ Wst。后者是正确的,因为我们现在将展示条件(3.2)实际上产生Wtt Wst。注意,条件(3.2)意味着 As+At,s(引理3.6(iii)在[21]中),它产生每一个(Q,w)∈ Wtβt(Q,w) 氯βt,s(Q,w)+EQ[βs(Q,wst(Q,w))|Ft].这源于对[23]中定理3.2证明的第一部分的一个简单修改,然后通过βt(Q,w)=GMt(w)切换到正共轭-.(-βt(Q,w))并使用命题B.2和B.3。因此,如果βt(Q,w)6= 它必须遵循βs(Q,wst(Q,w))6=, i、 e.Wtt Wst。
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2022-5-9 08:02:05
因此,超鞅性质是通过v(Q,w)t(X)来实现的=U∈ 埃赫图伊山≥ infZt∈Rt(X)supYt∈AtEhwT(Zt)- 等式[Yt | Ft])iU∈ 埃赫图伊山≥ infZt∈Rt(X)supYt,s∈至少,sYs∈AsEhwT(Zt)- 等式[Yt,s+Ys | Ft])i(C.1)=(u)∈ 埃赫图伊山≥ infZt∈Rt(X)supYt,s∈在,sEhwT(Zt)- 等式[Yt,s | Ft])i)+U∈ 埃赫图伊山≥ 苏比∈亚齐-wTEQ[Ys | Ft]iU∈ 埃赫图伊山≥ INFZ∈Rs(X)EhwTEQ[Zs | Ft]i+U∈ 埃赫图伊山≥ 苏比∈亚齐-wTEQ[Ys | Ft]i(C.2)=U∈ 埃赫图伊山≥ INFZ∈Rs(X)supYs∈AsEhwTEQ[Zs- Y|Ft]i= EQhV(Q,wst(Q,w))s(X)Fti。包含(C.1)源自条件(3.2)(如(3.2)在 As+At,sby Lemma3。[21]中的第6(iii)条。当且仅当ifinfZt时,包含(C.2)为真∈Rt(X)EhwTZti≥ INFZ∈Rs(X)infYt,s∈在,sEhwTEQ[Zs+Yt,s | Ft]i.但这是从Rt(X)得出的 clSZ∈Rs(X)((等式[Z | Ft]+Gt(w))∩ Mt-.βt,s(Q,w)),由条件(3.3)直接决定。“=>” 现在,我们将证明超鞅性质(3.1)意味着(3.2)和(3.3)。首先注意,(3.1)产生Wtt Wst:假设βs(Q,Wst(Q,w))=, thenV(Q,wst(Q,w))s(0)= 通过定义Minkowski加法。这意味着V(Q,w)t(0)=通过超级马丁格尔关系。然而,只有当βt(Q,w)= sinceRt(0)6= 根据定义。现在,我们将证明,超鞅性质(3.1)意味着时间一致性,然后产生条件(3.2)。假设Rs(X) Rs(Y)表示一些X,Y∈ Lp。我们需要证明Rt(X) Rt(Y)。Let(Q,w)∈ Wtt。由Wtt提供 Wst,由此得出βs(Q,Wst(Q,w))6=. 也假设Rt(X)6= (如果它是空的,那么它将遵循Rt(X) Rt(Y))。
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2022-5-9 08:02:09
它保持scl[Rt(X)+βt(Q,w)]=V(Q,w)t(X) EQhV(Q,wst(Q,w))s(X)Fti=EQ[cl[Rs(X)+βs(Q,wst(Q,w))]|Ft] 等式[cl[Rs(Y)+βs(Q,wst(Q,w))]|Ft] EQhclh(情商[-Y | Fs]+Gs(wst(Q,w)))∩ 太太-.βs(Q,wst(Q,w))+βs(Q,wst(Q,w))]|Ft] EQh(EQ[-Y | Fs]+Gs(wst(Q,w)))∩ 太太Fti=(等式[-Y | Ft]+Gt(w))∩ Mt.最后一个等式来自tower属性和[23,推论A.4]。最后一个包含来自cl[([A+GMs]-.B) [B] cl[A+GMs],由明可夫斯基减法的定义确定。这里,我们有A=(EQ[-Y | Fs]+Gs(wst(Q,w)))∩ Ms,B=βs(Q,wst(Q,w)),注意cl[A+GMs]=A,其中我们使用了符号GMs=GMs(wst(Q,w))。从上面我们得到了(X)+βt(Q,w) cl[Rt(X)+βt(Q,w)] (情商[-Y | Ft]+Gt(w))∩ Mt,(C.3)哪个yieldsRt(X) Rt(X)+GMt(w) (Rt(X)+βt(Q,w))-.βt(Q,w)(C.4) (情商[-Y | Ft]+Gt(w))∩ Mt-.对于任意(C,Q,w)∈ Wt(对于那些(Q,w)的人来说,它是微不足道的∈ 其中βt(Q,w)=也一样)。(C.4)中的第二个包含项来自A+GMt(w) (A+B+GMt(w))-.B、 这一点通过明可夫斯基减法的定义得以证实。这里,A=Rt(X),B=βt(Q,w),B+GMt(w)=B。夹杂物(C.4),(C.5)屈服强度Rt(X)\\(Q,w)∈Wth(等式[-Y | Ft]+Gt(w))∩ Mt-.βt(Q,w)i=Rt(Y)。这是时间一致性,这意味着(3.2)如下。让我来∈SZ∈Rs(X)Rt(-Z) ,即存在一个^Z∈ Rs(X)使得Y∈ Rt(-^Z)。我们需要证明这一点∈ Rt(X)。通过风险度量的可转换性和标准化,它认为(-^Z)=Rs(0)+^Z Rs(0)+Rs(X)=Rs(X)。时间一致性现在产生Rt(-^Z) Rt(X)和as Y∈ Rt(-^Z),它持有这种观点∈ Rt(X)和(3.2)。现在,我们将证明超鞅性质(3.1)意味着(3.3)。Let(Q,w)∈ Wtt。
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2022-5-9 08:02:12
由(C.4),Rt(X) (Rt(X)+βt(Q,w))-.βt(Q,w) cl[Rt(X)+βt(Q,w)]-.βt(Q,w)=V(Q,w)t(X)-.βt(Q,w) EQhV(Q,wst(Q,w))s(X)Fti-.βt(Q,w)=EQ[cl[Rs(X)+βs(Q,wst(Q,w))]-.βt(Q,w)=EQ氯[Z]∈Rs(X)[Rs(-Z) +βs(Q,wst(Q,w))]英尺-.βt(Q,w) 氯[Z]∈Rs(X)hEQ[Rs(-Z) +βs(Q,wst(Q,w))| Ft]-.βt(Q,w)i 氯[Z]∈Rs(X)hEQh(EQ[Z | Fs]+Gs(wst(Q,w)))∩ 太太Fti-.βt(Q,w)i(C.6)=cl[Z]∈Rs(X)hEQ[Z | Ft]+Gt(w))∩ Mt-.βt(Q,w)i.包含(C.6)适用于任何<<s>s,R>>(-Z) R~s(-Z) ,其结果为(C.3)(设置X=Y=-Z) 那是(-Z) +βs(Q,wst(Q,w)) (等式[Z | Fs]+Gs(wst(Q,w)))∩ 最后一个等式来自tower属性和[23,推论A.4]。从上面的包含链中,我们得出结论,对于所有的双变量sin(Q,w)∈ Wt(因为它对那些(Q,w)也适用)∈ 不在Wtt中的Wtt)Rt(X)\\(Q,w)∈Wtcl[Z∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Gt(w)∩ Mt-.βt(Q,w)i.(C.7)为了证明(3.3),我们仍然需要证明,我们可以用逐步版本的βt,s(Q,w)取代(C.7)中的βt(Q,w)。微不足道的是,不平等的影响∈在,sEh(w+m)⊥)TEQ[Yt,s- Z | Ft]i≥ 英菲特∈AtEh(w+m)⊥)TEQ[Yt- Z | Ft]i(C.8)代表所有人(Q,m⊥) ∈ Wt(w)。一般来说,情况并非如此;这是证据的难点部分。让Z∈ Ms.让ρt,s(Z):=infu∈Rt,s(Z)EwTu福鲁∈ recc(Rt(0))+\\M⊥t、 这是一个正确的,凸的,下半连续函数(seeProposition a.3和推论a.6),其表示形式在推论a.2中给出。请注意,下面的第一行和最后一行来自ρt(Z)=-∞ 对于W6∈ recc(Rt(0))+推论A.6。另外,请注意Rt,s(0)=定义为Rt(0)。
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2022-5-9 08:02:16
第一行和最后一行中的表示来自标准的分隔参数。Rt,s(Z)=\\w∈recc(Rt(0))+\\M⊥tnm∈ 埃赫特米山≥ ρt,s(Z)o=\\w∈recc(Rt(0))+\\M⊥tnm∈ 埃赫特米山≥sup(Q,m)⊥)∈Wt,s(w)infYt,s∈在,sEh(w+m)⊥)TEQ[Yt,s- Z|Ft]i)\\W∈recc(Rt(0))+\\M⊥tnm∈ 埃赫特米山≥sup(Q,m)⊥)∈Wt(w)infYt∈AtEh(w+m)⊥)TEQ[Yt- Z | Ft]i)=\\w∈recc(Rt(0))+\\M⊥tnm∈ 埃赫特米山≥ ρt(Z)o=Rt(Z)=Rt,s(Z)。因此,上述包含实际上是一种平等。这意味着不等式(C.8)的一种较弱形式,它将足以获得(C.7)中的βt(Q,w)被阶梯式的βt,s(Q,w)所期望的替换:对于每一个Z∈ M和每个w∈ recc(Rt(0))+\\M⊥tit认为所有人都是这样(Q,m⊥) ∈ Wt(w)存在一个(R,n)⊥) ∈ Wt(w)这样的影响∈在,sEh(w+m)⊥)TEQ[Yt,s- Z | Ft]i≤ 英菲特∈阿泰(w+n)⊥)三[Yt]- Z | Ft]i.这是因为每一个这样的约束都是“活动的”,也就是说,如果任何约束变得更严格,它将缩小设置Rt,s(Z)。特别是,如果m⊥= 0∈ M⊥t、 另外,对于W6∈ recc(Rt(0))+\\M⊥t、 英菲特,s∈在,sEh(w+m)⊥)TEQ[Yt,s- Z | Ft]i=-∞ 对于任何(Q,m⊥) ∈ Wt(w)。因此,我们可以得出每个Z的结论∈ Msit认为所有人(Q,w)∈ 存在一个(R,v)∈ 所以∈ w+M⊥坦丁菲特,s∈地址:sEhwTEQ[Yt,s]- Z | Ft]i≤ 英菲特∈AtEhvTER[Yt]- Z | Ft]i.特别是对于每一个(Q,w)∈ 存在一些R(Q,w,Z)∈ M和v(Q,w,Z)∈w+M⊥(R(Q,w,Z),v(Q,w,Z))∈ Wtand情商[-Z |英尺]+Gt(西)∩ Mt-.βt,s(Q,w)ER(Q,w,Z)[-Z | Ft]+Gt(v(Q,w,Z))∩ Mt-.βt(R(Q,w,Z),v(Q,w,Z))。使用(C.7),这意味着(3.3):Rt(X)\\(Q,w)∈Wtcl[Z∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Gt(w)∩ Mt-.βt(Q,w)i\\(Q,w)∈Wtcl[Z∈Rs(X)h呃(Q,w,-Z) [Z | Ft]+Gt(v(Q,w,-Z) )∩ Mt-.βt(R(Q,w,-Z) ,v(Q,w,- Z) )]\\(Q,w)∈Wtcl[Z∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Gt(w)∩ Mt-.βt,s(Q,w)i.C.2引理3.3Proof的证明。首先,请注意,夹杂物(3.2)等同于[21,引理3.6(iii)]中的夹杂物(3.4)。
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2022-5-9 08:02:21
其次,我们将证明包容(3.5)等同于侵权(X)\\(Q,w)∈Wt[Z∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Gt(w)∩ Mt-.所有X的βt,s(Q,w)i(C.9)∈ Lp。Let(Q,w)∈ 为此,我们首先证明(C.9)意味着(3.5):让X∈ 在假设为0∈[Z]∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Gt(w)∩ Mt-.βt,s(Q,w)i=M∈ Mt|Z∈ Rs(X):EhwTmi≥ EhwTEQ[Z | Ft]i+infY∈在,塞赫特克[Y|Ft]i.这是真的,当且仅当存在一个Z∈ Rs(X)这样[-Z | Ft]i≥ 英菲∈在,sEhwTEQ[Y | Ft]i,即。,-卢比(X)∩ 氯At,s+GMs(wst(Q,w))6= . [21,引理3.6(i)]这是真的当且仅当X∈ As+clAt,s+GMs(wst(Q,w)).现在,我们证明(3.5)意味着(C.9):让m∈ Rt(X)。然后,X+m∈ As+clAt,s+GMs(wst(Q,w))根据假设。根据上面所示的等价性和可翻译性,m∈[Z]∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Gt(w)∩ Mt-.βt,s(Q,w)i.证明的最后一步是证明可以移除(3.3)中的闭包,从而导出(C.9)。这可以通过Rsis c.u.c.和凸面来实现。对于表示法let^R(Q,w)t,s(Z):=情商[-Z |英尺]+Gt(西)∩ Mt-.βt,s(Q,w),这是任何(Q,w)的凸风险度量∈ Wt.然后Rt(X):=SZ∈Rs(X)^R(Q,w)t,s(-Z) 关闭(对于任何选择(Q,w)∈ Wt)如果At:=nX∈ Lp | 0∈■Rt(X)ois关闭。利用[23,引理B.2]的证明,~At=~R-1t[Mt,-], 如果^R(Q,w),-1t,s[Mt,-] 是一个封闭的凸上集合(如Rsis c.u.c.和凸)。但这是真的,因为^R(Q,w),-1t,s[Mt,-] =Z∈ Ms | 0≥ 英菲∈在,东南部[Y | Ft]i+EhwTEQ[-Z | Ft]i=Z∈ Ms|Ehwst(Q,w)TZi≥ 英菲∈东南(Q,w)泰= 氯At,s+GMs(wst(Q,w)),这是一个封闭的,凸的,上集合。C.3推论的证明3.6证明。修正X∈ Lpand let(Q,w)∈ 那么β(Q,w)6= andclR(X)+GM(w)=情商[-十] +G(w)∩ M-.β(Q,w)。定义mXt∈ Mtsuch thatmXt+GMt(wt(Q,w))=等式[X | Ft]+Gt(wt(Q,w))∩ m并让Ut:=V(Q,wt(Q,w))t(X)+mxtf对于任何时间t。
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2022-5-9 08:02:25
我们声称,对于任何时间t,Ut=GMt(wt(Q,w)),然后我们将用它来证明V(Q,wt(Q,w))t(X)是一个Q-鞅。让我们首先展示一下这一点 格林尼治标准时间(wt(Q,w)):infu∈UtEhwt(Q,w)Tui=infv∈V(Q,wt(Q,w))t(X)Ehwt(Q,w)Tvi+Ehwt(Q,w)TmXti=infv∈V(Q,wt(Q,w))t(X)wTEQ[V]+wTEQ[X]≤ infv∈V(Q,w)wTv+wTEQ[X](C.10)=infZ∈R(X)wTZ+supY∈AwTEQ[-Y]+wTEQ[X]=wTEQ[-十] +英菲∈AwTEQ[Y]+supY∈AwTEQ[-Y]+wTEQ[X]=0。(C.11)不等式(C.10)源自定理3.1的超马尔可夫性质,(C.11)源自(Q,w)的选择。我们现在展示Ut GMt(wt(Q,w)):Ut=clRt(X)+βt(Q,wt(Q,w))+mXt= 氯Rt(X)+GMt(wt(Q,w))+mXt+βt(Q,wt(Q,w))= 氯Rt(X)+GMt(wt(Q,w))-.格林尼治标准时间(wt(Q,w))-.mXt+βt(Q,wt(Q,w))(C.12)=clRt(X)+GMt(wt(Q,w))-.-mXt+GMt(重量(Q,w))-.βt(Q,wt(Q,w))= 氯Rt(X)+GMt(wt(Q,w))-.赫克[-X | Ft]+Gt(wt(Q,w))i∩ Mt-.βt(Q,wt(Q,w))我 格林尼治标准时间(wt(Q,w))。(C.13)等式(C.12)源自命题C.1,包含式(C.13)源自命题C.2。通过定义Ut,并假设Ut=GMt(wt(Q,w)),我们得到V(Q,wt(Q,w)t(X)=-mXt+GMt(重量(Q,w))=情商[-X | Ft]+Gt(重量(Q,w))∩[23,推论A.4]暗示V(Q,wt(Q,w))t(X)Tt=0是一个Q-鞅。需要证明的是(Q,wt(Q,w))在任何时间t都是“最坏情况”的对偶对Rt(X)+GMt(wt(Q,w))= V(Q,wt(Q,w))t(X)-.βt(Q,wt(Q,w))=情商[-X | Ft]+Gt(重量(Q,w))∩ Mt-.βt(Q,wt(Q,w)。第一个等式来自[40]中的命题2.4(e1)和(e2),注意到βt(Q,wt(Q,w))6=mt和βt(Q,wt(Q,w))= 意味着β(Q,w)= 通过多端口对时间一致性(见定理2.9),这将违反我们的假设。反之,设M=Rd,如果V(Q,wt(Q,w)t(X)Tt=0是一个Q-某些(Q,w)的鞅∈ Wwithβ(Q,w)6= 那么由Ut定义的过程:=V(Q,wt(Q,w)t(X)+EQ[X | Ft]也是一个过程。
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2022-5-9 08:02:28
特别地,在终端时间T,RT(X)=RT(0)-X和ut=clRT(0)+βT(Q,wT(Q,w))= GT(wT(Q,w))by AT=RT(0)是一个封闭的条件凸锥(通过封闭的、条件凸的和归一化的)。由于(Ut)Tt=0是一个鞅,这直接意味着[23,推论a.4]的Ut=Gt(wt(Q,w))。因此clRt(X)+Gt(wt(Q,w))=情商[-X | Ft]+Gt(重量(Q,w))-.任何时间t的βt(Q,wt(Q,w))(利用[40]中的命题2.4(e1)和(e2))。提案C.1。A,B∈ G(Mt;Mt,+)和w∈ M+t,+\\M⊥t、 那么,clA+B+GMt(西)= 氯A+GMt(西)-.格林尼治标准时间(w)-.B.证据氯A+GMt(西)-.格林尼治标准时间(w)-.B=M∈ Mt|m+格林尼治标准时间(w)-.B 氯A+GMt(西)=M∈ Mt|m+N∈ Mt | n+B 格林尼治标准时间(w) 氯A+GMt(西)=纳米∈ Mt | EhwTmi+inf埃赫特尼| n∈ Mt、EhwTni+infb∈贝赫比≥ 0≥ 英法∈艾赫泰=M∈ 埃赫特米山- 免疫纳米荧光微球∈贝赫比≥ 英法∈艾赫泰=M∈ 埃赫特米山≥ infc∈A+BEhwTci= 氯A+B+GMt(西).提案C.2。A,B∈ G(Mt;Mt,+)和w∈ M+t,+\\M⊥t、 如果clA+GMt(西)氯B+GMt(西)然后clA+GMt(西)-.氯B+GMt(西) 格林尼治标准时间(w)。证据氯A+GMt(西)-.氯B+GMt(西)=M∈ Mt | m+B 氯A+GMt(西)=M∈ 124b+infehmi∈贝赫比≥ 英法∈艾赫泰=M∈ 埃赫特米山≥ 英法∈艾赫泰- 免疫纳米荧光微球∈贝赫比纳米∈ 埃赫特米山≥ 0o=格林尼治标准时间(w)。D第4D节的证明。1推论的证明4.1证明。我们将通过证明条件超鞅性质与inclusionsRt(X)等价来证明这一点[Z]∈Rs(X)Rt(-Z) (D.1)Rt(X)\\(Q,w)∈Wtcl[Z∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Γt(w)∩ Mt-.αt,s(Q,w)i.(D.2),然后我们将证明(D.1)和(D.2)等价于多端口对时间一致性。这个证明的第一部分将类似于引理3.2来完成。我们将集中讨论一些非平凡的问题。我们从证明(D.1)和(D.2)暗示了超鞅性质开始。
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2022-5-9 08:02:33
首先,我们可以看到(Q,w)∈ Wtt(见提案A.9),提案B.1 yieldsV(Q,w)t(X)=U∈ Mt|wTu≥ ess infZ∈Rt(X)wTZ+ess infat∈αt(Q,w)-wTat=U∈ Mt|wTu≥ ess infZ∈Rt(X)wTZ+ess supY∈AtwTEQ[-Y |英尺].现在我们将展示cl-EQhV(Q,wst(Q,w))s(X)Fti=U∈ Mt|wTu≥ ess infZ∈Rs(X)wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺].“” 右手边的闭合逻辑与命题B.1相同。此外,EQhV(Q,wst(Q,w))s(X)Fti=nEQ[us | Ft]| us∈ Ms,wst(Q,w)Tus≥ ess infZ∈Rs(X)wst(Q,w)TZ+ess supY∈Aswst(Q,w)TEQ[-Y | Fs]nEQ[美国|英尺]|美国∈ Ms,Ehwst(Q,w)TusFti≥Eess infZ∈Rs(X)wst(Q,w)TZ英尺+ E女超人∈Aswst(Q,w)TEQ[-Y | Fs]英尺=美国犹他州∈ Mt|wTut≥ ess infZ∈Rs(X)wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺].请注意,由于Rs(X)和As的可分解性,我们能够交换必要的内确界/上确界和条件检验。“” 通过矛盾的方式,假设m是右手边的一个元素,而m6是右手边的一个元素∈cl EQhV(Q,wst(Q,w))s(X)Fti。因为cl EQhV(Q,wst(Q,w))s(X)fti是封闭凸的,我们可以用一些v把{m}和它分开∈ Lqt。这就是我的想法∈氯当量V(Q,wst(Q,w))s(X)英尺EhvTui=infus∈V(Q,wst(Q,w))s(X)EhvTEQ[us | Ft]i=E“ess infus∈V(Q,wst(Q,w))s(X)wst(Q,V)Tus#,在上面的最后一个等式中,我们可以交换期望值,并且在最小情况下,V(Q,wst(Q,w))s(X)是可分解的。通过结构影响我们∈V(Q,wst(Q,w))s(X)wst(Q,V)Tus=ess infZ∈Rs(X)wst(Q,v)TZ+ess supY∈Aswst(Q,v)TEQ[-D上的Y | Fs]-∞ 在华盛顿,D在哪里=ω ∈ Ohm | GM(wst(Q,v)[ω])=GM(wst(Q,w)[ω]). 自从Q~ P、 对于某些λ,我们可以得出v(ω)=λ(ω)w(ω)∈ Lt(R++)(使得λw∈ Lqt)。
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2022-5-9 08:02:37
因此内耳∈V(Q,wst(Q,w))s(X)wst(Q,V)Tus> -∞ 如果而且只有生命才会影响我们∈V(Q,wst(Q,w))s(X)wst(Q,V)Tus#=E“λess infus∈V(Q,wst(Q,w))s(X)wst(Q,w)Tus#=Eλess infZ∈Rs(X)wst(Q,w)TZ+ess supY∈Aswst(Q,w)TEQ[-Y | Fs]= Eλess infZ∈Rs(X)wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺].但这意味着λwTmi<Eλess infZ∈Rs(X)wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺],这是一个矛盾,汤姆∈U∈ Mt|wTu≥ ess infZ∈Rs(X)wTEQ[Z | Ft]+ess supY∈AswTEQ[-Y |英尺].关于包含(D.1)和(D.2)意味着条件超鞅性质的证明的剩余部分类似于引理3.2的证明。对于相反的含义,现在让我们假设有条件的SuperManingalProperty。我们将证明包含性(D.1),通过证明条件超鞅性质意味着时间一致性,从而得到(D.1)。这个证明与引理3.2 sinceRt(X)=\\(Q,w)中的相应证明进行了总体类比∈Wtth情商[-X | Ft]+Γt(w)∩ Mt-.αt(Q,w)i.然后,我们证明了包含(D.2)成立,它遵循与引理3.2相同的逻辑,但使用了A.2节中的标量化结果。让我们简要地总结一下所涉及的步骤。[22,引理3.18]提供了集值动态风险度量作为条件标量化交集的表示,其中可以限制为w∈ recc(Rt(0))+Rt,s(Z)=\\w∈recc(Rt(0))+\\M⊥tnm∈ Mt|wTm≥ ρt,s(Z)o\\W∈recc(Rt(0))+\\M⊥tnm∈ Mt|wTm≥ ρt(Z)o=Rt(Z)=Rt,s(Z)。现在,利用命题A.7和推论A.8中的条件标量化^ρt(Z)和^ρt,s(Z)的对偶表示,我们得到以下结果,因为上面的包含实际上是一个等式。
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2022-5-9 08:02:40
每一个Z∈ M和每个w∈ recc(Rt(0))+\\M⊥蒂特认为这对所有人来说(Q,m)⊥) ∈ Wt(w)ess infYt,s∈在,s(w+m)⊥)TEQ[Yt,s- Z |英尺]≤ 女秘书长(右、北)⊥)∈Wt(w)ess infYt∈At(w+n)⊥)三[Yt]- Z |英尺]。这是因为每个这样的约束在上述交叉点中都是“活动的”,即,如果任何约束变得更严格,它将收缩集合Rt,s(Z)。因为水的可分解性英菲∈在(w+m)⊥)TEQ[Y- X | Ft]|(Q,m⊥) ∈ Wt(w),存在一个几乎肯定收敛到本质上确界的单调递增序列。现在考虑一下m情况下的上述不等式⊥= 0∈ M⊥但也要注意,对于W6∈ recc(Rt(0))+\\M⊥t、 ess infYt,s∈在,s(w+m)⊥)TEQ[Yt,s- Z |英尺]=-∞ 对于任何(Q,m⊥) ∈ Wt(w)。然后,我们可以得出每个Z的结论∈ Msit认为所有人都是这样(Q,w)∈ 存在一个序列(Rk,vk)k∈N 使vk∈ w+M⊥t对于每个k和s infYt,s∈At,swTEQ[Yt,s]- Z |英尺]≤林克→∞ess infYt∈阿特维克[Yt]- Z | Ft],其中lim表示几乎确定的极限。特别是对于每个(Q,w)∈ 存在一些序列Rk(Q,w,Z)∈ M和vk(Q,w,Z)∈ w+M⊥Tsch that(Rk(Q,w,Z),vk(Q,w,Z))k∈N Wtand情商[-Z | Ft]+Γt(w)∩ Mt-.αt,s(Q,w)cl[k∈新罕布什尔州ERk(Q,w,Z)[-Z | Ft]+t(vk(Q,w,Z))∩ Mt-.αt(Rk(Q,w,Z),vk(Q,w,Z))i,其中cl表示几乎确定的闭包。这意味着所需的包含物(D.2):Rt(X)\\(Q,w)∈Wtcl[Z∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Γt(w)∩ Mt-.αt(Q,w)i\\(Q,w)∈Wtcl[Z∈Rs(X)cl[k∈新罕布什尔州ERk(Q,w,-Z) [Z | Ft]+t(vk(Q,w,-Z) )∩ Mt-.αt(Rk(Q,w,-Z) ,vk(Q,w,-Z) )]\\(Q,w)∈Wtcl[Z∈Rs(X)h等式[Z | Ft]+Γt(w)∩ Mt-.证明的最后一部分是证明(D.1)和(D.2)等价于多端口时间一致性。
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2022-5-9 08:02:43
多端口时间一致性通过定理2.7中的递推公式将包含项(D.1)和(D.2)包含在内,这是非常正确的,因为(D.2)中的交集的并集包含在并集的交集中。对于逆蕴涵,我们可以使用与引理3.3证明相同的逻辑来证明(D.1)和(D.2)等价于 As+At,s(D.3)At\\(Q,w)∈WtAs+cl在,s+ΓMs(wst(Q,w))(D.4)当(Rt)Tt=0被ΓMs(wst(Q,w))有条件地c.u.c.) 这意味着时间的一致性。D.2推论4.4的证明。证明的大多数方面类似于推论3.6的证明,使用[40]中命题2.4(e1)和(e2)的一个右转扩展,用于条件凸和可分解集,以及命题C.1和C.2的平凡条件版本(在命题D.1中给出)。在这里,我们将只显示Ut=ΓMt(wt(Q,w)),因为这个结果与推论3.6的证明略有不同。定义mXt∈ Mtsuch thatmXt+ΓMt(wt(Q,w))=等式[X | Ft]+t(wt(Q,w))∩ M和定义:=V(Q,wt(Q,w))t(X)+mxtf对于任何时间t。由于ΓM=GMby定义,可以从推论3.6的证明中获得U=ΓM(w)。类似于COLLARY 3.6的证明,我们可以证明 ΓMt(wt(Q,w))在任何时间t。对于相反的情况,我们使用了一个事实,即UT定义了一个超鞅,它遵循V(Q,wt(Q,w))t(X)和mXt的性质。因此,Ut cl E[美国|英尺]。因此,对于任何时间t,我们都得到ΓM(w)=U cl EQ[Ut] 氯当量ΓMt(wt(Q,w))= ΓM(w)乘[23,推论A.6]。让我们假设Ut(ΓMt(wt(Q,w)),也就是说,存在一些δ>0,使得P(ess infu)∈Utwt(Q,w)Tu≥ δ) > 0. 然而,这与cl-EQ[Ut]=ΓM(w)相矛盾,因为0=infu∈cl EQ[Ut]wTu=输入∈乌特赫特(Q,w)图蒂≥ δP(ess infut)∈Utwt(Q,w)Tut)>0。提案D.1。
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2022-5-9 08:02:48
A,B∈ G(Mt;Mt,+)条件凸和w∈ M+t,+\\M⊥t、 然后A+B+Mt(w)= 氯A+Mt(西)-.ΓMt(西)-.B.此外,i f clA+Mt(西) 氯B+ΓMt(西)然后A+Mt(西)-.氯B+ΓMt(西) ΓMt(西)。参考文献[1]Beatrice Acciaio和Irina Penner。动态风险度量。在Giulia Di Nunnoand BerntOksendal,《金融高级数学方法》编辑,第1-34页。斯普林格,2011年。[2] C,agin Ararat、Andreas H.Hamel和Birgit Rudlo off。设定价值短缺和分歧风险度量。《理论与应用金融国际期刊》,20(5):1750026,2017年。[3] Yannick Armenti、Stephane Crepey、Samuel Drapeau和Antonis Papantoleon。多元短缺风险分配和系统性风险。暹罗金融数学杂志,9(1):90-1262018。[4] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。连贯地思考。《风险》,1997年10月68-71日。[5] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。一致的风险度量。《数学金融》,9(3):203–228,1999年。[6] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯、大卫·希思和古惠珍。一致的多周期风险调整值和贝尔曼原理。编年史,152(1):5-22,2007年。[7] 菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班和帕布罗·科赫·梅迪纳。风险度量和资本的有效使用。ASTIN Bulletin,39(1):101–116,2009年。[8] 伊门·本·塔哈尔和伊曼纽尔·伊皮内特。向量值一致风险度量过程。《国际理论与应用金融杂志》,17(2):145001112014。[9] 弗朗西斯卡·比亚基尼、让-皮埃尔·福克、马可·弗里泰利和蒂洛·迈耶·布兰迪斯。通过接受集对系统性风险度量的统一方法。数学金融,2017年。即将到来的[10] Jocelyne Bion Nadal。条件风险度量和凸风险度量的稳健表示。巴黎理工学院,CMAP,预印本第557号,2004年。[11] Jocelyne Bion Nadal。
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2022-5-9 08:02:51
时间一致的动态风险过程。《随机过程及其应用》,119(2):633–6542009。[12] 马库斯·K·布鲁纳迈耶和帕特里克·切里迪托。衡量和分配系统性风险。预印本,2014年。[13] 克里斯蒂安·伯格。我们的统计和动态是一个非常重要的问题。弗赖堡大学博士论文,2005年。[14] 伊格纳西奥·卡斯科斯和伊利亚·莫尔查诺夫。多元风险度量:一种基于选择的建设性方法。《数学金融》,26(4):867–900,2016年。[15] 帕特里克·切里迪托和迈克尔·库珀。离散时间内时间一致性动态货币风险度量的组成。《国际理论与应用金融杂志》,14(1):137-1622011。[16] Patrick Cheridito和Mitja Stadje。VaR和时间一致性备选方案的时间不一致性。《金融研究快报》,6(1):40-462009。[17] 弗雷迪·德尔班。m-稳定集的结构,尤其是风险中性测度集的结构。在米歇尔·埃默里和马克·约尔主编的《纪念保罗·安德烈·迈耶》,1874卷《数学课堂讲稿》,第215-258页。柏林施普林格/海德堡,2006年。[18] 弗雷迪·德尔班、施格·彭和伊曼纽拉·罗莎·贾宁。动态凹效用惩罚项的表示。《金融与随机》,14(3):449-4722010。[19] Kai Detlefsen和Giacomo Scandolo。条件和动态凸风险度量。《金融与随机》,9(4):539-5612005。[20] 沃尔特·法卡斯、帕布罗·科赫·梅迪纳和科西莫·安德里亚·穆纳里。用多个合格资产衡量风险。数学与金融经济学,9(1):3-272015。[21]扎卡里·范斯坦和比吉特·鲁德罗夫。具有交易成本的市场中动态风险度量的时间一致性。《定量金融》,13(9):1473-14892013。[22]扎卡里·范斯坦和比吉特·鲁德罗夫。动态多变量风险度量技术的比较。在A·哈默尔、F·海德、A·L¨奥恩、B。
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2022-5-9 08:02:54
鲁道夫,安德烈。Schrage,编辑,金融中的集合优化和应用,OMS系列第151卷,第3-41页。斯普林格,2015年。[23]扎卡里·范斯坦和比吉特·鲁德罗夫。集值凸一致风险度量的多投资组合时间一致性。《金融与随机》,19(1):67-1072015。[24]扎卡里·范斯坦和比吉特·鲁德罗夫。多元风险度量的递归算法和集值贝尔曼原理。《全球优化杂志》,68(1):47-692017。[25]扎卡里·范斯坦、比吉特·鲁德罗夫和斯特凡·韦伯。系统性风险的度量。《暹罗金融数学杂志》,8(1):672-708,2017年。[26]汉斯·福尔默和德米特里·克拉姆科夫。约束下的可选分解。《概率论及相关领域》,109:1-251997。[27]汉斯·福尔默和伊琳娜·彭纳。凸风险度量及其幂函数的动力学。《统计与决策》,24(1):61-962006。[28]汉斯·福尔默和亚历山大·希德。风险和交易约束的凸度量。《金融与随机》,6(4):429-4472002。[29]汉斯·福尔默和亚历山大·希德。随机金融。Walter de Gruyter&Co.,柏林,第三版,2011年。[30]马可·弗里泰利和伊曼纽拉·罗萨扎·贾宁。对风险措施进行排序。《银行与金融杂志》,26(7):1473-14862002。[31]马可·弗里泰利和伊曼纽拉·罗萨扎·贾宁。动态凸风险度量。惯性导航与制导。P.Szeg–o主编,《21世纪的新风险措施》,第227-248页。约翰威利父子公司,2004年。[32]马可·弗里泰利和贾科莫·斯坎多洛。流程的风险度量和资本要求。数学金融,16(4):589-6122006。[33]安德烈亚斯·海尔、伊利亚·莫尔查诺夫和迈克尔·施穆茨。集团内转移、集团内多元化及其风险评估。《金融年鉴》,12(3):363-3922016。[34]安德烈亚斯·H·哈默尔。集值函数的对偶理论Ⅰ:芬切尔共轭理论。
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2022-5-9 08:02:58
集值与变分分析,17(2):153-1822009。[35]安德烈亚斯·H·哈默尔和弗兰克·海德。集值风险度量的对偶性。暹罗金融数学杂志,1(1):66-952010。[36]安德烈亚斯·H·哈默尔、弗兰克·海德、安德烈亚斯·洛恩、伯吉特·鲁德洛夫和卡洛拉什拉格。集优化-一个相当简短的介绍。在A.Hamel、F.Heyde、A.L¨ohne、B.Rudloff和C.Schrage主编的《金融中的集合优化和应用》,PROMS系列第151卷,第65-141页。斯普林格,2015年。[37]安德烈亚斯·H·哈默尔、弗兰克·海德和伯吉特·鲁德罗夫。为锥形市场模型设定价值风险度量。数学与金融经济学,5(1):1-282011。[38]安德烈亚斯·H·哈默尔和比吉特·鲁德罗夫。设定值风险度量的连续性和确定值。编辑C.Tammer和F.Heyde在《为庆祝Wilfried Grecksch教授60岁生日而举行的Festschrift》中,第46-64页。Shaker Verlag,2008年。[39]Andreas H.Hamel、Birgit Rudlo off和Mihaela Yankova。集值平均风险值及其计算。数学与金融经济学,7(2):229–2462013。[40]安德烈亚斯·H·哈默尔和卡罗拉·施拉格。集值凸函数的方向导数、次微分和最优性条件。《太平洋优化杂志》,10(4):667–6892014。[41]弗兰克·海德和卡罗拉·施拉格。集值函数的连续性概念和集值优化的基本对偶公式。数学分析与应用杂志,397(2):772-7842013。[42]胡寿川和尼古拉斯·S·帕帕乔乔乔。多值分析手册:第一卷:理论。数学及其应用。斯普林格,1997年。[43]Elyes Jouini、Moncef Meddeb和Nizar Touzi。向量值一致风险度量。《金融与随机》,8(4):531-5522004。[44]尤里·M·卡巴诺夫。货币市场交易成本下的套期保值和清算。
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2022-5-9 08:03:03
《金融与随机》,3(2):237-2481999年。[45]尤里·M·卡巴诺夫和梅尔·萨法里安。有交易成本的市场:数学理论。斯普林格金融公司。斯普林格,2009年。[46]米查·l·基西列维奇。随机微分包含及其应用。SpringerOptimization及其应用。Springer Verlag纽约,2013年。[47]米查·l·基西列维奇、马里乌兹·米希塔和杰兹·莫蒂尔。随机控制的集值方法第一部分(存在性和正则性性质)。《动态系统与应用》,12(3-4):405–4312003年。[48]米查·l·基西列维奇、马里乌兹·米希塔和杰兹·莫蒂尔。随机控制的集值方法第二部分(生存性和半鞅问题)。《动态系统与应用》,12(3-4):433–4662003。[49]Christos E.Kountzakis。广义一致性风险度量。应用数学科学,3(49):2437-24512009。[50]李寿梅。集值平方可积鞅和随机积分。英寸Borgelt,G.Gonz\'alez Rodr\'iguez,W.Trutschnig,M.Lubiano,M.Gil,P.Grzegorzewski和O.Hryniewicz,编辑,结合数据分析中的软计算和统计方法,《智能和软计算进展》第77卷,第411-417页。施普林格柏林海德堡,2010年。[51]李寿美、大浦由纪夫和弗拉迪克·克里诺维奇。集值和fuzzy集值随机变量的极限定理及其应用。理论与决策图书馆B.克鲁学术出版社,2002年。[52]安德烈亚斯·洛恩和比吉特·鲁德罗夫。在有交易成本的市场中计算超边际投资组合集的算法。《国际理论和应用金融杂志》,17(2):145001220014。[53]伊利亚·莫尔查诺夫。随机集理论。概率及其应用。斯普林格,2005年。[54]伊琳娜·彭纳。动态凸风险度量:时间一致性、谨慎性和可持续性。洪堡大学博士论文——柏林大学,2007年。[55]弗兰克·里德尔。
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2022-5-9 08:03:06
动态一致性风险度量。随机过程及其应用,112(2):185-2002004。[56]Andrzej Ruszczy\'nski和Alexander Shapiro。条件风险映射。运筹学数学,31(3):544-5612006。[57]贾科莫·斯坎多洛。静态和动态环境下的资本要求模型。经济笔记,33(3):415-4352004。[58]沃尔特·沙切梅耶。有限离散时间内按比例交易成本下资产定价的基本定理。M数学金融,14(1):19-482004。[59]王广元和张悦。模糊随机过程理论。模糊集与系统,52(2):161-1781992。[60]斯特凡·韦伯、威廉·安德森、安娜·玛丽亚·哈姆、托马斯·克尼斯波尔、马伦利斯和托马斯·索尔菲尔德。经流动性调整的风险度量。数学与金融经济学,7(1):69-912013。[61]严家安。关于本质内确界和条件期望运算的可交换性。《中国科学通报》(科学通报),30(8):1013-10181985。
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