多元风险测度的一个超鞅关系

2022-5-9 08:00:21

为了本文的目的，我们将重点讨论时间一致性和asupermartingale性质的等价性，这在[6,13]中针对一致性风险度量进行了研究*圣路易斯华盛顿大学电气与系统工程系，圣路易斯，MO63108，美国，zfeinstein@ese.wustl.edu.+维也纳经济与商业大学统计与数学研究所，维也纳A-1020，AUT，brudlo ff@wu。在ac。对于[27,11]中的条件凸风险度量。相应的结果如下：具有最小惩罚函数αmint的敏感条件凸风险度量序列（ρt）Tt=0是时间一致的当且仅当过程vqt（X）：=ρt（X）+αmint（Q）是Q-超鞅，即对于任何具有αmin（Q）的Q<∞ 每X∈ L∞（R），VQt（X）≥ EQhVQs（X）FtiQ- a、一直以来都是0≤ t<s≤ 参见[27，定理4.5]，[54，定理2.2.2]和[29，定理11.17]了解有关术语和概念的详细信息。这是一个重要的特征，因为它与约束条件下的一致Doob分解有关，参见[54，定理2.4.6]，[26]，[29，第9章]；将风险度量的时间一致性描述为最便宜的“对冲”-十、∈ L∞（R）在这种情况下，X在终端时间进行套期保值，并且该套期保值策略在任何时间t+1的增量成本都是可接受的，即t的原始风险度量，见[54，命题2.5.2]；并提供，例如，超边际成本在投资交易约束下的表示，见[54，第4.2节]。在本文中，我们考虑集值或多元风险度量。此类风险度量及其规模化最近在文献中引起了兴趣。当要测量风险的随机变量是多变量而不是单变量时，它们就自然而然地出现了。例如，当多资产市场（参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:00:24

[7,20]）或存在摩擦的市场（例如交易成本[43,35,37,45,52,14]或流动性不足[60]），或者当随机向量的组成部分代表不同的风险类型或集团中不同单位或代理的风险时。后一种情况最近得到了特别多的关注，因为它允许研究银行网络系统性风险的度量和监管，例如[25,3,9]。它还与保险公司集团的偿付能力测试相关，见[33]。在这种多元环境中，人们通常对资本费用分配到不同的机构、代理人、风险类型、资产或货币感兴趣。集值风险度量提供了这些数量，因为它将补偿其风险的所有资本分配的集合分配给随机向量。集值风险度量已在单周期框架内进行了研究，例如[43,38,35,37,14]。例如[21,23,22,24,8]中研究了动态多期集值风险度量。在本文中，我们将主要遵循[21,23]的设置和符号。在动态多变量情况下，使用了一种称为多端口时间一致性的时间一致性。这个属性已经被证明相当于许多相同属性的集值版本，而时间一致性在标量情况下是等效的。在本文中，我们将证明时间一致性的等价性和标量动态风险度量的一个超鞅性质在多变量情况下也是可以证明的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:00:27

也就是说，我们将证明满足某些连续性性质的规范化条件凸动态风险度量（Rt）Tt=0的多端口对时间一致性等价于集值随机过程V（Q，w）t（X）：=cl[Rt（X）+αt（Q，w）]是一个超鞅，即满足每个（Q，w）∈ WTX和all X∈ Lp（Rd）V（Q，w）t（X） cl EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）所有时间0≤ t<s≤ T这里，αt表示Rt的集值罚函数。所有的术语和概念将在本文的主要部分中变得精确。注意，和通常的多元设置一样，我们可以在一般的Lp（Rd）空间上工作，而不是在L∞（R）标量设置的框架。这是因为一个人处理的是上集合，而不仅仅是它们的边界，所以在目前的多元风险框架中，由于使用本质上确界而产生的标量问题消失了。证明超鞅结果的技术与标量情形截然不同。证明主要依赖于本文推导的集值风险测度（条件）标度化的对偶表示。这些结果在标量（但静态）多元风险度量的非常活跃的研究领域中具有独立的意义，参见[7,20,32,49,57]和[3,9,25]了解系统风险的应用。因此，动态案例的结果在这些地区也有影响。所有这些结果都在附录中得到了证实。例如[53，第3章]，[51，第4章]和[42，第8章]对随机闭集定义了集值子鞅和超鞅，并在[51，第4.7章]中给出了Doob分解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:00:31

然而，由于这里使用的排序关系，其中SmallerRick对应于一个较大的集合，因此包含较小的资本要求，我们的超鞅概念对应于这些作品中的子鞅。由于集值随机过程在许多研究领域中发挥着重要作用，例如在统计学[59,50]、随机集理论[53]和随机微分包含[46]中，以及在经济学和控制理论[47,48]中的应用，集值超鞅的特征化是非常可取的。此外，所得结果可被视为未来研究集值均匀组合以及多变量索赔的套期保值（w.r.t.多元风险度量）的垫脚石。本文的结构如下。在第2节中，我们将回顾[21,23]中动态多变量风险度量的性质，并为此类风险度量提供一种新的对偶表示。在第3节中，我们给出了凸和相干多元风险测度的多端口时间一致性等价性和集值超鞅性质的结果。最后，在第4节中，我们通过扩展第3节的结果来展示主要结果，重点是条件凸和条件相干的多元风险度量。我们将提供满足这些超级马丁属性的风险度量示例。证据和中间结果收集在附录中。2集值动态风险度量在本节中，我们将介绍关于集值动态风险度量的双重和多端口对时间一致性的表示法、定义和简单结果，可从[21,23]中推导。我们将使用一般的过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）Tt=0，P）满足Ft=F的通常条件。此设置允许离散时间{0，1，…，T}或连续时间[0，T]框架。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

大多数88

2022-5-9 08:00:34

考虑线性空间Lpt:=Lp(Ohm, Ft，P；Rd）对于任何p∈ [1, ∞] 表示Lp:=LpT，其中LpT是Ft-可测随机向量X的等价类的线性空间：Ohm → Rd，kXkpp=ROhm|X（ω）|dP<∞ 对于p<∞ 和kXk∞= ess supω∈Ohm|X（ω）|<∞ 对于p=∞, 其中|·|表示Rd中的任意范数。我们将考虑Lpforp上的范数拓扑∈ [1, ∞) L上的弱*拓扑∞当p=∞. 在这项工作中，闭包算子被视为拓扑闭包。设Lpt（Dt）：={Z∈ Lpt | Z∈ DtP-a.s.}表示LPT中的随机向量集，这些向量取DtP-a.s中的值。此外，在本文中，我们有时需要区分随机向量空间和随机变量空间。为此，让我们用有限pnorm X表示随机变量等价类的线性空间：Ohm → 由Lpt（R）得出的R:=Lp(Ohm, Ft，P；R）。对于不同类型的乘法，我们将使用以下符号：随机变量λ之间的乘法∈ L∞（R）和一组随机向量D LPI定义元素方向的λD={λY | Y∈ D} Lpwith（λY）（ω）=λ（ω）Y（ω）；由XY表示的随机向量之间的分量相乘：=（XY，…，XdYd）T∈ 对于X，Y∈ L.在整个过程中，我们将使用符号Lpt+：=十、∈ Lpt | X∈ Rd+P-a.s。表示具有P-a.s.非负分量的Ft可测随机向量集。同样，我们将定义Lpt，++：=十、∈ Lpt | X∈ Rd++P-a.s。作为P-a.s.严格正的可测随机向量。与前面的符号一样，我们将定义Lp+:=LpT，+和Lp++:=LpT，++。（In）随机向量（分别为变量）之间的等式在P-a.s.意义上被理解为组成部分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-9 08:00:37

集合Lp+定义了随机向量空间上的顺序：Y≥ X代表X，Y∈ LPY- 十、∈ Lp+。在金融环境中，随机向量X∈ Lptre表示一个投资组合，其组成部分XI给出了资产i的单位数量∈ {1，…，d}在时间t持有。因此，我们考虑资产的“物理单位”的投资组合，而不是某个数字的组合价值。例如[44,58,45]中使用并讨论了该框架。出于风险度量目的，Fix m∈ {1，…，d}有资格承担投资组合风险的资产。在不丧失一般性的情况下，我们将假设可转让资产集是第一批m资产；这些第一资产可能对应于美元、欧元和日元等储备货币。我们将用M:=Rm×{0}d表示-M合格资产的子空间。合格投资组合的集合由Mt:=Lpt（M）给出；这是一个闭合的（弱*闭合，如果p=∞) Lpt的线性子空间（参见[45]第5.4节和命题5.5.1]）。表示Mt，+：=Mt∩ Lpt，+是非负的eligibleportfolios和Mt，-:= -Mt，+为非正合格投资组合。例如，在应用系统性风险（参见[25]）时，通常会选择符合条件的投资组合，使M=RDD（适用于d银行），因此Mt=LPTF（适用于所有时间t）。我们现在能够引入[21,23]中的条件风险度量。传统风险度量是将投资组合（即d维随机向量）映射到上集合点（Mt；Mt，+）：={d Mt | D=D+Mt，+}，是功率集2Mt的子集。投资组合X的输出是set Rt（X）attime t，它是补偿风险的所有合格投资组合的集合。定义2.1。[23，定义2.1]函数Rt:Lp→ 如果P（Mt；Mt，+）为1，则P（Mt；Mt，+）是时间t的标准化（条件）风险度量。翻译机器翻译：每一个机器翻译∈ Mt:Rt（X+Mt）=Rt（X）- mt；2.Lp+-单调：Y≥ X意味着Rt（Y） Rt（X）；3.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:00:40

零点时的最终值：Rt（0）6∈ {, Mt}；4.标准化：每X∈ Lpt:Rt（X）=Rt（X）+Rt（0）。此外，对于所有X，Y，时间t的条件风险度量是（有条件地）凸的∈ Lpand所有0≤ λ ≤ 1 (λ ∈ L∞t（R）使得0≤ λ ≤ 1） Rt（λX+（1）- λ） Y） λRt（X）+（1）- λ） Rt（Y），它（有条件地）是正齐次的，如果对于所有X∈ Lp，对于所有λ>0（λ∈L∞t（R++）Rt（λX）=λRt（X），如果它是（条件上）凸的和（条件上）正齐次的，则是（条件上）相干的。如果风险度量图Rt={（X，u），则时间t的条件风险度量是闭合的∈ Lp×Mt | u∈ Rt（X）}，在乘积拓扑中是闭合的。时间t的条件风险测度是凸上连续的（c.u.c.），如果f为任何闭集D∈ G（Mt；Mt，-) := {D Mt | D=cl co（D+Mt，-)}R-1t（D）：={X∈ Lp | Rt（X）∩ D 6=}关门了。定义2.1中给出的属性及其解释在[37,21,23]中详细讨论。简言之，标准化风险度量的四个公理属性保证了将风险解释为“资本要求”（capital requirement），（几乎可以肯定）较高的回报对应较低的风险，且零投资组合具有“零”风险。凸性和一致性解释了多元化如何影响投资组合的风险。闭凸条件风险测度的象空间是g（Mt；Mt，+）={D Mt | D=cl-co（D+Mt，+）}。请注意，任何c.u.c.风险度量均已关闭，任何已关闭的风险度量均已关闭。动态风险度量（Rt）Tt=0是一系列条件风险度量，如果每次t条件风险度量R都是该属性，则称其具有定义2.1中给出的属性之一。对于任何风险度量，存在接受集，反之亦然，请参见[21]中的备注2和命题2.11。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:00:43

对于条件风险度量，关联接受集由不需要额外资本来掩盖风险的投资组合定义，即At:={X∈ Lp | 0∈ Rt（X）}。假设接受度设置为，相关的条件风险度量由可接受的投资组合定义，当添加到初始投资组合中时，使其可接受，即Rt（X）：={u∈ Mt | X+u∈ 至少。例2.2。基于聚合的风险度量：这里我们将考虑基于聚合的风险度量的一个例子，在静态框架中，它是[25]中介绍的系统风险度量的一个特例。在本文中，我们将回到这个例子，以便为结果提供一致的说明。为简单起见，letp=+∞. 考虑所有时间t的合格资产的完整空间，即Mt=L∞t、让∧：Rd→ R定义为∧（x）=Pdi=1-斧头-i+bx+i对于任何x∈ Rdand with a≥ b>0（其中x+i:=max{0，xi}和x-i:=(-xi）+）。例如[12]中考虑了这种聚合函数。此外，考虑（标量）最坏情况下的接受设置：=L∞（R+）适用于所有时间t。然后，针对任何X定义基于聚合的风险度量和接受集∈ L∞asR∧t（X）：={u∈ Mt∧（X+u）∈ At}=d-1\\k=0nu∈ Mt|vTku≥ ρW Ct（vTkX）a.s.oA∧t:=-1[At]=L∞(Λ-1[R+]）。在上面，ρW Ct:L∞（R）→ L∞t（R）是标量的最坏情况风险度量，即接受度设置为的风险度量（静态设置见[29，示例4.8]，动态设置见[55，示例4]）。此外，向量vk∈ {a，b}dforeach k=0，1。。。，二维- 1被定义为vk，i=a1{mod(k/2i-1.,2） =0}+b1{mod(k/2i-1.,2） =1}对于i=1，2。。。，d、此外，根据定义，该风险度量是封闭的、条件一致的，因此也是标准化的。我们将通过将投资组合的范围限制在未来符合条件的资产来定义分级风险度量和接受度。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-9 08:00:47

也就是说，乘以0≤ t<s≤ T，步进法测量Rt，s:Ms→ P（Mt；Mt，+）由Rt定义，s（X）：=Rt（X）表示任何X∈ M阶跃验收集由At，s:={X定义∈ Ms | 0∈ Rt（X）}=At∩ 女士：关于阶梯式风险措施的详细讨论，请参考[23，附录C]。2.1双重表示在本节中，我们将介绍条件风险度量的稳健表示。在[21,23]中，给出了一种利用负凸共轭的对偶表示，如[34]所述。在本文中，当使用对偶表示w.r.t.时，主要结果简化了[36]中介绍的正凸共轭。下面将推导这种双重表示。为了提供这些结果，我们将首先定义集合A、B的墨考夫斯基减法姆拜亚-.B={m∈ Mt|B+{m} A} 。该设置的其余部分与[21,23]的设置相同，我们将对其进行快速总结。表示d维概率测度的空间，该空间相对于物理测度P×M绝对连续。出于符号目的 M是向量概率测度的集合，相当于P。我们将考虑Q条件期望的P-a.s.版本（对于Q:=（Q，…，Qd）T）∈ M）。LetEQ[X | Ft]：=E[ξt，t（Q）X | Ft]对于任何X∈ Lp，式中ξt，s（Q）=ξt，s（Q）。。。，ξt，s（Qd）t对于任何0≤ T≤ s≤ 带ξT的T，s（Qi）：=EhdQidPFsiEhdQidPFtionnω∈ Ohm | EhdQidPFti（ω）>0o1其他，参见例[15,21]。请注意，对于任何概率度量<< P它的结果是dqidp=？ξ0，T（Qi）。我们会说Q=P | Ft，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:00:51

Q等于Ft上的P，如果ξ0，t（Q）=（1，…，1）t∈ Rd.我们将表示半空间Gt（w）和lpt方向w上的条件“半空间”Γt（w）∈ Lqt\\{0}byGt（w）：=nu∈ Lpt | 0≤ 厄特尤，Γt（w）：=nu∈ Lpt | 0≤ wTuo。为了便于记法，对于任何w∈ Lqt\\{0}we writeGMt（w）：=Gt（w）∩ Mt，ΓMt（w）：=Γt（w）∩ Mt.从[23]中，我们可以定义时间t为beWt=n（Q，w）时的对偶变量集∈ M×M+t，+\\M⊥T| wTt（Q，w）∈ Lq+，Q=P | Ftowithwst（Q，w）：=wξt，s（Q）对于任何0≤ T≤ s≤ T我们定义了锥C的正对偶锥 Lpt（尤其是C=Mt，+）byC+=nv∈ Lqt|U∈ C:EhvTui≥ 0o与MtbyM的正交空间⊥t=nv∈ Lqt|U∈ Mt:EhvTui=0o。为了便于阅读，本文分别用β表示正共轭，用α表示条件凸情况，用β表示负共轭（用于屋顶）-β（分别为。-α). 这与[21,23]中使用的符号不同，其中-β、分别-α、表示负共轭。正共轭函数和负共轭函数通过βt（Q，w）相互关联：=GMt（w）-.(-βt（Q，w）），αt（Q，w）：=ΓMt（w）-.(-αt（Q，w）），对于任何（Q，w）∈ Wt.推论2.3。函数Rt:Lp→ G（Mt；Mt，+）是一个闭凸风险度量，且仅当ifRt（X）=\\（Q，w）∈嗯情商[-X |英尺]+Gt（西）∩ Mt-.βt（Q，w）i，（2.1），其中β是由βt（Q，w）=\\Y给出的最小惩罚函数∈在情商[-Y |英尺]+Gt（西）∩ Mt.（2.2）RTI额外相干当且仅当ifRt（X）=\\（Q，w）∈Wmaxt情商[-X |英尺]+Gt（西）∩ Mt，forWmaxt=（Q，w）∈ Wt | wTt（Q，w）∈ A+t.证据结果来自于[23，定理2.3]和βt（Q，w）中的对偶表示：=GMt（w）-.(-βt（Q，w））。推论2.4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:00:54

函数Rt:Lp→ G（Mt；Mt，+）是一个封闭的条件凸风险度量，当且仅当ifRt（X）=\\（Q，w）∈嗯情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）i，（2.3），其中α是由αt（Q，w）=\\Y给出的最小条件惩罚函数∈在情商[-Y | Ft]+Γt（w）∩ Mt.（2.4）RTI附加条件相干当且仅当ifRt（X）=\\（Q，w）∈Wmaxt情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt.（2.5）推论2.4的证明比推论2.3的证明更复杂，将在附录第B.1节中给出。例2.5。基于聚合的风险度量：再次考虑示例2.2中构造的聚合basedrisk度量。这个条件相关风险度量的对偶表示由对偶变量集sw∧t给出=（Q，w）∈ Wt | wTt（Q，w）∈ L（λ）-1[R++）.作为一个≥ b>0，在聚合函数∧的定义中，如果（Q，w）∈ W∧tthenQ∈ 我这一额外属性在第4节中变得很重要。此外，我认为（Q，vk）∈ 任意概率测度Q的W∧t∈ 对于每k=0，1，…，平均vkas定义为样本2.2。。。，二维-1自vTkx起≥ λ（x）表示任意选择的x∈ RDBY结构。2.2多投资组合时间一致性[21,23]研究了多投资组合时间一致性，作为集值风险度量时间一致性的有用概念。我们将快速回顾该属性的定义和一些等效特征。特别是，我们将提供（正）罚函数的cycle条件，作为等价于多端口foliotime一致性的条件，因为这一结果将用于本文的主要证明。相比之下，在[23]中，这个结果显示了负惩罚函数。定义2.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:00:57

[23，定义2.7]如果所有时间均为0，则动态风险度量（Rt）Tt=0是多端口对时间一致的≤ t<s≤ T，全部为X∈ Lpand Allset Y LPS以下含义是令人满意的（X）[Y]∈YRs（Y）=> Rt（X）[Y]∈YRt（Y）。从概念上讲，如果任何补偿X风险的合格投资组合将补偿某些投资组合Y的风险，则风险度量是多端口时间一致的∈ 在某个时间，然后在任何之前的时间，相同的关系成立。定理2.7。[21，定理3.4]对于规范化动态风险度量（Rt）Tt=0，以下是等价的：1。（Rt）Tt=0是多端口对开时间一致的，2。Rtis递归；这是永远的0≤ t<s≤ TRt（X）=[Z∈Rs（X）Rt(-Z） =:Rt(-Rs（X））。(2.6)3. At=At，s+as每次0≤ t<s≤ T如上述定理所示，对于集值风险度量，多端口时间一致性等价于一个草书关系。此外，[24]还讨论了递归形式与Bellman原理的集值形式之间的关系。在离散时间{0，1，…，T}的情况下，步长为1（即设置s=T+1）有助于确定多端口时间一致性和递归关系（2.6）。例2.8。基于聚合的风险度量：再次考虑示例2.2中构造的聚合basedrisk度量。由于验收设定了∧皮重康斯坦丁时间，因此R∧t（X）=R∧t+1（X）∩ L∞T

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:00

因此，直接通过定义，我们可以证明这种基于聚合的风险度量是多端口时间一致的，因为对于任何0≤ t<s≤ T，X∈ L∞还有Y L∞这样r∧s（X）SY∈YR∧s（Y）它跟随着R∧t（X）=R∧s（X）∩ L∞T“[Y]∈YR∧s（Y）#∩ L∞t=[Y]∈YR∧s（Y）∩ L∞T=[Y]∈YR∧t（Y）。对于正共轭，我们已经证明了βt=23的正共轭。在这些结果中，βt、sandαt与上述分级风险度量Rt、sde的正凸共轭项相匹配。回想一下[23]中的条件风险度量Rtat时间t被称为条件凸上连续（c.c.u.c.）ifR-1t（D）：={X∈ Lp | Rt（X）∩ D 6=} 对于任何条件凸闭集都是闭的∈ G（Mt；Mt，-).定理2.9。设（Rt）Tt=0为标准化的c.u.c.凸风险度量。那么（Rt）Tt=0是多端口时间一致的当且仅当βt（Q，w）=clβt，s（Q，w）+EQ[βs（Q，wst（Q，w））|Ft]对于每个（Q，w）∈ 而且一直都是0≤ t<s≤ T定理2.10。设（Rt）Tt=0是具有对偶表示的标准化c.c.u.c.条件凸风险度量Rt（X）=\\（Q，w）∈韦特情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）ifor每X∈ Lpwhere Wet:={（Q，w）∈ Wt|Q∈ 我}。那么（Rt）Tt=0是多端口对时间一致的当且仅当为每（Q，w）∈ 而且一直都是0≤ t<s≤ TαT（Q，w）=clαt，s（Q，w）+EQ[αs（Q，wst（Q，w））|Ft].3超鞅性质在这一节中，我们考虑c.u.c.凸集值测度的超鞅性质。这个性质类似于[27,11]中给出的标量情况。让我们介绍以下符号v（Q，w）t（X）：=cl[Rt（X）+βt（Q，w）]。定理3.1。设（Rt）Tt=0为标准化的c.u.c.凸风险度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:03

（Rt）Tt=0ismultiportfolio时间一致当且仅当所有时间为0≤ t<s≤ 满足以下超人关系：对于EVERY X∈ （LPAQ，LPAW）∈ WtV（Q，w）t（X） EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）Fti。（3.1）此外，c.u.c.的假设。在等价性的一侧可以被削弱：如果（Rt）Tt=0是一个标准化的封闭、凸、多端口时间一致性风险度量，那么（3.1）是满足的∈ Wt} Wsand完全刻画了wst<s的对偶集，即任意（R，v）∈ 这里存在a（Q，w）∈所以每X∈ 因此等式[X | Fs]+Gs（wst（Q，w））∩ Ms=ER[X | Fs]+Gs（v）∩ 因此，对于所有（Q，w），多端口对时间的一致性等价于V（Q，wt（Q，w））t（X）的上鞅性质∈定理3.1将通过以下两个引理得到证明。引理的证明可以在附录中找到。引理3.2。在定理3.1的假设下，定理3.1的上鞅关系成立的充要条件是满足（X）[Z]∈Rs（X）Rt(-Z）（3.2）Rt（X）\\（Q，w）∈Wtcl[Z∈Rs（X）h等式[Z | Ft]+Gt（w）∩ Mt-.βt，s（Q，w）i.（3.3）引理3.3。在定理3.1的假设下，（3.2），（3.3）等价于 As+At，s（3.4）At\\（Q，w）∈WtAs+clAt，s+GMs（wst（Q，w））. （3.5）定理3.1的证明。使用引理3.2和3.3，仍然可以证明（3.4）和（3.5）等价于多端口时间一致性。显然，多端口对时间一致性意味着（3.4）和（3.5），参见定理2.7。为了证明相反，让（Rt）Tt=0满足（3.4）和（3.5）。关键的观察结果是{wst（Q，w）|（Q，w）∈ Wt}=nE[Y|Fs]|Y∈ Lq+，E[Y | Ft]6∈ M⊥to，从[21，引理4.5]开始。因为M=Rm×{0}d-m、 Y∈ Lq+意味着[Y |英尺]∈ M⊥t如果且仅当Y∈ M⊥t任何时候t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:06

因此，获得了一个\\（Q，w）∈WtAs+clAt，s+GMs（wst（Q，w））=\\Y∈Lq+：E[Y | Ft]6∈M⊥TAs+clAt，s+GMs（E[Y | Fs]）=\\Y∈Lq+As+clAt，s+GMs（E[Y | Fs]）\\Y∈Lq+[As+cl（At，s+GT（Y））]\\Y∈Lq+cl[As+At，s+GT（Y）]\\Y∈Lq+cl[cl（As+At，s）+GT（Y）]=cl（As+At，s） cl（At）=At。这里，第三行来自GMs（E[Y | Fs]）=Msif E[Y | Fs]∈ M⊥沙-辛卡斯+Ms\\Y∈Lq+：E[Y | Fs]6∈M⊥sAs+clAt，s+GMs（E[Y | Fs]）.上述方程式和内含物序列的最后一行来自cl（As+At，s）和TY之间的分离∈Lp+cl[cl（As+At，s）+GT（Y）]自∈ Lq+cl[cl（As+At，s）+GT（Y）]=十、∈ Lp | EhYTXi≥ infZ∈cl（As+At，s）EhYTZi.最终包含直接来自（3.4），最终等式来自凸上连续性假设。因此，At=cl（As+At，s），由[23，引理B.4]可知，As+At，s是封闭的。因此（Rt）Tt=0是符合[21，定理3.4]的多端口对开时间。该定理的最后一个结论是，从多端口对时间一致性到（3.4），（3.5）到（3.2），（3.3）到超级艺术属性的关联链，除了封闭性之外，不使用c.u.c。推论3.4。设（Rt）Tt=0为标准化的c.u.c.一致性风险度量。（Rt）Tt=0ismultiportfolio时间一致当且仅当所有时间为0≤ t<s≤ TV（Q，w）t（X）=clRt（X）+GMt（w） EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）每个（Q，w）的FTI∈ Wmaxtand X∈ Lp。Fu rthermore，如果（Rt）Tt=0是一个标准化的封闭、一致、多端口对时间一致的风险度量，则超鞅性质是令人满意的。这是根据定理3.1得出的结论，指出作为相干的结果，βt（Q，w）=（GMt（w）if（Q，w）∈ Wmaxt 其他的If（Q，w）6∈ Wmaxt，那么V（Q，w）t（X）= （回顾Rt（X）+ = ) 超鞅性质是平凡满足的。如果（Q，w）∈ Wmaxt，那么V（Q，w）t（X）=clRt（X）+GMt（w）.例3.5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:09

基于聚合的风险度量：再次考虑示例2.2中构造的聚合basedrisk度量。由于这是多端口对时间一致的（参见示例2.8），根据推论3.4和示例2.5中提供的聚合basedrisk度量的双重表示，V（Q，w）t（X）：=clR∧t（X）+Gt（w）= clnuR+uG | uR，uG∈ L∞t、埃赫图吉≥ 0，vTkuR≥ -vTkXk=0，1。。。，二维- 1是任意（Q，w）的集值超鞅∈ W∧t，即（Q，W）∈ 使之（Q，w）∈ L（λ）-1[R++）。特别是在这种情况下，对于某些索引和Q，让w=vkF∈ 我，我们有（Q，vk）∈ W∧和V（Q，vk）t=U∈ L∞t|EvTku≥ EρW Ct（vTkX）是一个Q-超级艺术家。注意与[27，推论4.12]中标量结果的联系，即ρW Ct（vTkX）是任意Q的Q-超鞅∈ 由于最坏情况风险度量的时间一致性，平均值为k。我们将在下面的示例4.3中详细介绍这种连接。现在，我们将把使Vta鞅成为对偶表示中的“worstcase”对偶变量的那些对偶变量标识出来。比较[1]中关于标量情况的命题1.21。推论3.6。设（Rt）Tt=0为标准化c.u.c.凸型多端口对时间一致性风险度量和fix x∈ Lp。V（Q，wt（Q，w））t（X）Tt=0是一个Q-鞅，即V（Q，wt（Q，w））t（X）=EQhV（Q，ws（Q，w））s（X）Fti0≤ t<s≤ T、对于任何（Q，w）∈ 满足两个条件β（Q，w）6= andclR（X）+GM（w）=情商[-十] +G（w）∩ M-.β（Q，w）。此外，（Q，w）的选择是在任何时间t，即cl，X的一对“最坏情况”的对偶变量Rt（X）+GMt（wt（Q，w））=情商[-X | Ft]+Gt（重量（Q，w））∩ Mt-.βt（Q，wt（Q，w））。如果M=Rd，则相反，如果V（Q，wt（Q，w））t（X）Tt=0是一个Q-某些（Q，w）的鞅∈ Wwithβ（Q，w）6=, 然后（Q，w）是任意时间t证明的X的对偶变量的“最坏情况”对。见附录C.3节。备注3.7。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-9 08:01:12

负共轭可以给出上鞅关系-βtTt=0（见[21,23]或附录B），但由于clRt（X）+GMt（w）-.(-βt（Q，w））6=cl[Rt（X）+βt（Q，w）]当-βt（Q，w）=Mt（或当βt（Q，w）=) 和clRt（X）+GMt（w）= Mt.例3.8。限制性熵风险度量：考虑所有时间t的合格资产的完整空间，即Mt=Lpt。参数为λ的限制性熵风险测度∈ Rd++Rentt（X）=U∈ Lpt | E[1- 经验(-λ（X+u））]∈ Lpt+是一种多端口时间一致的标准化c.u.c.凸风险度量。详情见[23，示例3.4和第6.2节]和[2]。根据定理3.1，我们得到了条件相对熵^Ht（Q | P）=EQhlogdQdPFti，V（Q，w）t（X）：=cl伦特（X）+λ^Ht（Q | P）+Gt（w）是任意（Q，w）的集值超鞅∈ Wt.示例3.9。组合平均风险值：考虑一个离散时间设置，所有时间t的合格资产的完整空间，即Mt=Lpt。风险平均值AV@Rt（X）（对于任何参数λt∈ L∞t、 ++远离0）定义一个标准化的CUC一致性动态风险度量，它不是多端口对时间一致的。然而，平均风险值的构成^AV@Rt（X）：=AV@Rt-^在Rt+1（X）时的AV多端口对开时间一致。有关详细信息，请参见[21，第5.2节]，[23，示例5.5和第6.1节]和[39]。通过推论3.4，V（Q，w）t（X）：=clh^AV@Rt（X）+Gt（w）是任意（Q，w）的集值超鞅∈fWt，其中fWt:=n（Q，w）∈ Wt|我∈ {1，…，d}s∈ {t，…，t- 1} ：Pwi=0或ξs，s+1（Qi）≤λti= 1..4条件上鞅性质现在我们将上一节的结果推广到条件罚函数α。也就是说，我们给出了集值随机过程v（Q，w）t（X）：=cl[Rt（X）+αt（Q，w）]对于c.u.c.的一个超鞅性质。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:15

条件凸动态风险度量（Rt）Tt=0。推论4.1。设（Rt）Tt=0是一个标准化的c.u.c.条件凸风险度量，其对偶表示仅具有等价概率度量，i。e、，Rt（X）=\\（Q，w）∈韦特情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）i.Then，（Rt）Tt=0是多端口对时间一致的当且仅当所有时间为0≤ t<s≤ 电视（Q，w）t（X） cl EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）非常（Q，w）的Fti（4.1）∈ Wetand X∈ Lp。此外，如果（Rt）Tt=0是一个标准化的封闭、条件凸、多端口对时间一致性风险度量，则超鞅性质（4.1）满足推论4.2。设（Rt）Tt=0是一个标准化的c.u.c.条件一致风险度量，其对偶表示仅具有等价概率度量，i。e、，Rt（X）=\\（Q，w）∈我们，麦克斯情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ mtwe，maxt:=Wmaxt∩ 潮湿的（Rt）Tt=0是多端口时间一致的当且仅当且仅当所有时间为0时≤ t<s≤ TV（Q，w）t（X）=clRt（X）+ΓMt（w） EQhV（Q，wst（Q，w））s（X）每个（Q，w）的FTI∈ 我们，麦克斯特。此外，如果（Rt）Tt=0是一个标准化的、封闭的、条件一致的、多端口对时间一致的风险度量，则超主动性是令人满意的。这源自推论4.1，因为αt（Q，w）=（ΓMt（w）if（Q，w）∈ Wmaxt 因此V（Q，w）t（X）=clRt（X）+ΓMt（w）对于任何（Q，w）∈ Wmaxt。例4.3。基于聚合的风险度量：再次考虑示例2.2中构造的聚合basedrisk度量。由于这是多端口对时间一致的（参见示例2.8），根据推论3.4和示例2.5中提供的聚合basedrisk度量的双重表示，V（Q，w）t（X）：=clR∧t（X）+Γt（w）= clnuR+uΓ| uR，uΓ∈ L∞t、 wTuΓ≥ 0，vTkuR≥ -vTkXk=0，1。。。，二维- 1是任意（Q，w）的集值超鞅∈ W∧t，即（Q，W）∈ 使之（Q，w）∈ L（λ）-1[R++）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:18

特别是在这种情况下，对于某些索引k和Q，让w=vk∈ 我，我们有（Q，vk）∈ W∧和V（Q，vk）t=U∈ L∞t|vTku≥ ρW Ct（vTkX）isa Q-超级马丁格尔。这提供了（时间一致性）标量最坏情况风险度量和此处考虑的基于集合值的风险度量的超级主观属性之间的直接比较。也就是说，集值超鞅属性意味着基础标量风险度量的超鞅属性，但反之不一定成立，也就是说，集值超鞅属性提供了更多信息，而不仅仅是单个标量属性，因为它是过度的（Q，w）∈ W∧t不受W的限制∈ {vk | k=0，1，…，2d- 1}.同样，我们可以将Vtis是鞅的对偶变量描述为“最坏情况”对偶变量。推论4.4。设（Rt）Tt=0是一个标准化的c.u.c.条件凸多端口时间一致性风险度量，具有仅具有等效概率度量的双重表示，即Rt（X）=\\（Q，w）∈韦特情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）i.固定一些X∈ Lp。对于任何（Q，w）∈ Wesatizingα（Q，w）6= andclR（X）+ΓM（w）=情商[-十] +Γ（w）∩ M-.α（Q，w），随机过程V（Q，wt（Q，w））t（X）Tt=0是一个Q-鞅，即V（Q，wt（Q，w））t（X）=cl-EQhV（Q，ws（Q，w））s（X）Fti0≤ t<s≤ T.此外，（Q，w）的选择是在任何时间T，即cl，X的“最坏情况”对偶变量对Rt（X）+ΓMt（wt（Q，w））=情商[-X | Ft]+Γt（wt（Q，w））∩ Mt-.αt（Q，wt（Q，w））。如果M=Rd，则相反，如果V（Q，wt（Q，w））t（X）Tt=0是一个Q-某些（Q，w）的鞅∈ α（Q，w）6= 然后（Q，w）是任意时间t的双变量对x的“最坏情况”。例4.5。超级边缘：考虑一个离散时间设置，所有时间t都有可用资产的完整空间，即Mt=Lpt。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:23

定义具有凸偿付能力区域（Kt）Tt=0withint recc（Kt[ω]）描述的凸交易成本的市场 Rd+\\{0}几乎可以肯定，其中recc（C）表示凸集C的衰退锥 Rd.时间t的超边缘投资组合集SHPt（X）表示那些可以从时间t到终端时间t进行交易的合格投资组合，其表现优于输入组合∈ Lp。从这个公式中，我们可以立即定义一个封闭的、条件共凸的多元风险度量Rt（X）：=SHPt(-十）这是多端口对开时间一致的。有关详细信息，请参见[23，示例5.4]。从偿付能力区域内部的约束来看，惩罚函数仅定义在一组等价概率度量上。虽然SHPtis在一般情况下没有标准化，但我们仍然可以应用本节的结果，因为接受集和惩罚函数表示的总和通过时间倒转的合成（见[23，第5节]），并且所有的证明都是相应的。通过推论4.1，我们得到v（Q，w）t（X）：=clSHPt(-十） +αSHPt（Q，w）定义任意（Q，w）的集值超鞅∈ Wet，其中惩罚函数由αSHPt（Q，w）给出：=TXs=t（u）∈ Lpt | ess supks∈Lps（Ks）-wTEQ[ks | Ft]≤ wTu）。在市场仅具有比例交易成本的特殊情况下，即市场由一系列偿付能力锥（Kt）Tt=0定义，则超边际投资组合集定义了一个多投资组合时间一致的标准化、封闭、条件一致的风险度量。有关详细信息，请参见[21，第5.1节]、[23，示例4.7]和[52]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:26

然后，通过推论4.2我们得到v（Q，w）t（X）：=cl[SHPt(-十） +Γt（w）]定义任意（Q，w）的集值超鞅∈ W{t，…，t}，其中W{t，…，t}：=（Q，w）∈ 湿| wst（Q，w）∈ Lqs（K+s）s∈ {t，…，t}.类似地，我们可以应用定理3.1（比例交易成本的推论3.4），它也得出V（Q，w）t（X）是集值超鞅。集值风险度量（条件）标度化的对偶表示第3节和第4节主要结果的证明将使用以下关于集值风险度量（条件）标度化对偶表示的结果，这些结果具有独立的意义。A.1集值标量化命题A.1。设RTC为c.u.c.和凸风险度量。以w为例∈ recc（Rt（0））+\\M⊥t、即wTu≥ 每u 0∈ recc（Rt（0））：={m∈ Mt | Rt（0）+m Rt（0）}并且存在一些m∈ MTE在哪里wTm6= 0. 然后，每X∈ lp以下参数保持ρt（X）：=infu∈Rt（X）EhwTui=sup（Q，m⊥)∈Wt（w）infY∈AtEh（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]i（A.1），其中Wt（w）：=（Q，m）⊥) ∈ M×M⊥t |（Q，w+m）⊥) ∈ Wt.证据显然，ρt（X）=infu∈cl（Rt（X）+GMt（w））EwTu. 它通过一个分离参数awt:={X成立∈ Lp |ρt（X）≤ 0}=十、∈ Lp | 0∈ 氯Rt（X）+GMt（w）= clM在+GMt（西）.事实上，Awt=clM格林尼治时间+GMt（w+m）⊥)对任何人来说⊥∈ M⊥t、有关定向闭合clM的讨论，请参见[37，定义2.15]。双共轭态由ρ给出**t（X）=supZ∈LqEZTX- ρ*t（Z）, 其中凸共轭由ρ定义*t（Z）=supX∈LpEZTX- ρt（X）. 让我们计算ρ的有效域*t、以第一个Z 6为例∈ Lq-. 让我来∈ 阿坦德Y∈ Lp+如此中兴通讯> 0.尤其是^Y+λY∈ 对于任何λ>0的情况。因此，ρ*t（Z）=supX∈LpEhZTXi- ρt（X）≥ supλ>0EhZT（^Y+λY）i- ρt（^Y+λY）≥ supλ>0EhZT（^Y+λY）i=EhZT^Yi+supλ>0λEhZTYi=∞.现在考虑E[Z | Ft]6∈ -w+M⊥t、让我∈ 格林尼治标准时间（东[Z |英尺]）∩ 格林尼治标准时间（w）ZTm+ EwTm> 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:29

因此，ρ*t（Z）=supX∈LpEhZTXi- ρt（X）≥ supλ>0EhZT（λm）i- ρt（λm）= -ρt（0）+supλ>0λEhZTmi+EhwTmi= ∞.这意味着ρ*t（Z）6=∞ 仅当Z=-wTt（Q，w+m）⊥) 对于一些（Q，m）⊥) ∈ Wt（w）。仍然需要证明ρ*t(-wTt（Q，w+m）⊥)) = supY∈吃了-（w+m）⊥)TEQ[Y|Ft]对于任何（Q，m⊥) ∈ Wt（w）。我们将用两个不等式来证明这一点。让（Q，m）⊥) ∈ Wt（w）。ρ*t(-wTt（Q，w+m）⊥)) = 好的∈Lp嗯- （w+m）⊥)TEQ[X | Ft]i- ρt（X）≥ supY∈Awt嗯- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i- ρt（Y）≥ supY∈啊- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i≥ supY∈阿泰- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i.对于逆不等式，表示那些X∈ 带有Rt（X）6的LPC= 通过uX∈ Mttherandom变量满足EwTuX= ρt（X）。然后，X+uX∈ Awtandρ*t(-wTt（Q，w+m）⊥)) = 好的∈Lp嗯- （w+m）⊥)TEQ[X | Ft]i- ρt（X）= 好的∈Lp:Rt（X）6=嗯- （w+m）⊥)TEQ[X | Ft]i- ρt（X）= 好的∈Lp:Rt（X）6=嗯- （w+m）⊥)TEQ[X+uX | Ft]i≤ supY∈啊- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i≤ supY∈cl（在+GMt时）w+m⊥))嗯- （w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]i=supY∈阿泰- （w+m）⊥)因此我们得到ρ**t（X）=sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）infY∈AtEh（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]i.Asρtis proper（由推论A.6得出）、由Rt的凸性得出的凸性和下半连续性（由命题A.3得出，自recc（Rt（0））+ M+t，+），芬切尔-莫罗定理使这一断言成立。推论A.2。设Rt、sbe为c.u.c.和凸阶风险度量。以w为例∈recc（Rt（0））+\\M⊥t、然后，每X∈ Ms.下面是辛夫∈Rt（X）EhwTui=sup（Q，m⊥)∈Wt，s（w）infY∈在，sEh（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]i，（A.3）其中wt，s（w）：=n（Q，m⊥) ∈ M×M⊥t |（Q，w+m）⊥) ∈ Wt，所以 Wt（w）Wt，s=n（Q，v）∈ M×M+t，+\\M⊥T| wst（Q，v）∈ M+s，+，Q=P | Fto。证据这与命题A.1类似。现在我们将给出一些条件，以确保标量化（A.1）和（A.3）的下半连续性和适当性。以下命题是对[41，命题3.29]的修正，指出证明中所需的唯一开集是带有闭凸集补集的开集。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-9 08:01:32

然而，为了方便读者，这里也提供了一个提示。提案A.3。如果Rtis c.u.c.，则标度化ρt（X）：=infu∈Rt（X）EwTu任意w的islower半连续∈ M+t，+\\M⊥t、证据。根据定义，Rtis c.u.c.当且仅当R+t（V）：={X∈ Lp | Rt（X） V}对任何V都是开放的因此补码vc是闭的和凸的。对于任何>0，V=M∈ 东山wTm> -是一个0的开放社区。因此，对于任何X，Rt（X）+V等参，补码通过：[Rt（X）+V]c=nm是凸的∈ Mt | EhwT（米）- u）我≤ - U∈ Rt（X）o=M∈ 埃赫特米山≤ -+infu∈Rt（X）EhwTui.因此R+t（Rt（X）+V）是开放的，并且平凡地是X的一个邻域。因此，ρt（X）≥ ρt（X）- 对于任何X∈ R+t（Rt（X）+V），这意味着下半连续X。因为这对任何X都是正确的，所以结果得到了证明。提议A.4。设RTR为一个封闭凸风险测度。标量化ρt（X）>-∞ 每X∈ Lpandρt（X）<∞ 为了一些X∈ Lp）当且仅当w∈德克萨斯州∈LpRt（X）6=recc（Rt（X））+。证据显然，ρt（0）<∞ 对于任何w∈ M+t，+自Rt（0）6=. 对于任何X∈ LpwithRt（X）6=, 我们知道ρt（X）>-∞ 当且仅当w∈ recc（Rt（X））+由衰退锥定义。为了X∈ 带有Rt（X）的LPS=, ρt（X）>-∞ 这是千真万确的。推论A.5。如果RTI是一个闭凸风险测度，则X∈ 带有Rt（X）6的LPC=.那么，recc（Rt（X））=T（Q，w）∈WttGMt（西）。证据R∈ recc（Rt（X））当且仅当r∈Tλ>0λ（Rt（X）- u）对于任何你∈ Rt（X）当且仅当u+λr∈ 对于任意λ>0和任意u∈ Rt（X）。使用（2.1）并注意到可以用Wtt替换Wtt，这相当于EwT（u+λr）≥英菲∈吃了wTEQ[Y- X |英尺]对于每个（Q，w）∈ Wtt，每λ>0和每u∈ Rt（X）。这是真的当且仅当对于每一个（Q，w）∈ WT和u∈ Rt（X）EhwTri≥ supλ>0λ英菲∈AtEhwTEQ[Y]- X | Ft]i- 埃赫图伊= 0，其中自u之后的最后一个等式成立∈ Rt（X）。这就产生了这个断言。推论A.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-9 08:01:35

如果RTI是一个闭凸风险度量，那么ρt（X）>-∞对于e非常X∈ Lpandρt（X）<∞ 为了一些X∈ Lp）当且仅当w∈ recc（Rt（0））+=（T（Q，w）∈WttGMt（w））+。证据这是一个推论。A.2条件规模化命题A.7。设RTC为c.u.c.条件凸风险测度。让∈ recc（Rt（0））+\\M⊥t、然后，每X∈ Lp^ρt（X）：=ess infu∈Rt（X）wTu=ess sup（Q，m⊥)∈Wt（w）ess infY∈在（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]，其中Wt（w）：=（Q，m）⊥) ∈ M×M⊥t |（Q，w+m）⊥) ∈ Wt.证据表示由^Awt设置的验收：={X∈ Lp |ρt（X）≤ 0}. 我们将展示ρt（X）≥ ess sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）ess infY∈^Awt（w+m）⊥)TEQ[Y- X |英尺]。（A.4）如果Rt（X）= 从那时起^ρt（X）=∞ 几乎可以肯定。因此，假设Rt（X）6=. 因为E[^ρt（X）]=infu∈Rt（X）EwTu, 这意味着ρt（X）∈Lt（R）。因此，存在一些用户体验∈ mtsux=ρt（X）。通过翻译性，这意味着X+uX∈^Awt，这反过来意味着（w+m⊥)TEQ[X+uX |英尺]≥ 英菲∈^Awt（w+m）⊥)TEQ[Y | Ft]每（Q，m⊥) ∈ Wt（w）。减法（w+m）⊥)TEQ[X | Ft]在质量线的两侧，然后在（Q，m）上取基本上确界⊥) ∈ Wt（w）产量（A.4）。现在我们想证明（A.4）中的平等性。结合（A.4），我们将通过显示e[^ρt（X）]≤ E“ess sup（Q，m⊥)∈Wt（w）ess infY∈^Awt（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]#每X∈ Lp。通过可分解性和命题A.1与（A.2）的结合，我们得到[^ρt（X）]=sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）infY∈AwtEh（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]i.自^Awt以来根据必要集合的可分解性，期望的结果是即时的。这仍然需要证明，我们可以随时替换^Awtwith。首先请注意^Awt At，表示^ρt（X）≤ ess sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）ess infY∈在（w+m）⊥)TEQ[Y- X |英尺]。让我们∈N使wTun^ρt（X）w.r.t.几乎确定收敛。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:39

这种序列的存在源于[29，定理A.33（b）]，因为Rt（X）的可分解性暗示了该定理的假设。因此，ess sup（Q，m⊥)∈Wt（w）ess infY∈在（w+m）⊥)TEQ[Y- X |英尺]≤ ess sup（Q，m）⊥)∈Wt（w）limn→∞（w+m）⊥)TEQ[（X+un）- X | Ft]=ess sup（Q，m⊥)∈Wt（w）limn→∞wTun=ρt（X），其中极限lim几乎是确定的。推论A.8。设Rt，sbe为c.u.c.和条件凸风险度量。让我们∈recc（Rt（0））+\\M⊥t、然后，每X∈ 英孚大学∈Rt（X）wTu=ess sup（Q，m⊥)∈Wt，s（w）ess infY∈在，s（w+m）⊥)TEQ[Y- X | Ft]，其中Wt，s（w）：=（Q，m）⊥) ∈ M×M⊥t |（Q，w+m）⊥) ∈ Wt，s.证据这与命题A.7类似。回想一下符号Wst={（Q，w）∈ Wt |βs（Q，wst（Q，w））6=}. 下一个命题表明这个集合与cwst一致：={（Q，w）∈ Wt |αs（Q，wst（Q，w））6=}.提案A.9。Wst=CWST，适用于任何时间0≤ T≤ s≤ T证据Let（Q，w）∈ Wst，或相当于supY∈AsEwst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]< ∞. 根据[61，定理1]和Asdecomposable，supY∈AsEhwst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]i=E女超人∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs].因此，她是一个超级女巫∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]∈ Ls（R），特别是有一些u∈ Msso那个wst（Q，w）Tu≥ 女超人∈Aswst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]几乎可以肯定，即（Q，w）∈cWst，见（B.1）。相反，让（Q，w）∈让我们站起来∈ 萨图小姐∈ αs（Q，wst（Q，w））。这将产生wst（Q，w）Tu≥ 女超人∈Aswst（Q，w）TEQ[-几乎可以肯定。因此，根据[61，定理1]和可分解的，Ehwst（Q，w）Tui≥ supY∈AsEhwst（Q，w）TEQ[-Y | Fs]i.u∈ βs（Q，wst（Q，w））和（Q，w）∈ Wst。备注A.10。根据与推论A.5的证明相同的逻辑和命题A.9，recc（Rt（X））=T（Q，w）∈任何X的WttΓMt（w）∈ 带有Rt（X）6的LPC=.B第2B节的证据。1推论的证明2.4我们将使用以下命题。B.1提案。氯A+Mt（西）=M∈ Mt|wTm≥ 女婴∈AwTa如果 Mtisconvex和可分解。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:01:42

首先，请注意D：=M∈ Mt|wTm≥ 女婴∈AwTa=氯A+Mt（西）,其中cl是关于随机向量集几乎确定收敛的闭包。其次，我们将展示clA+Mt（西） D（回顾closure算子cl是拓扑闭包的w.r.t.）。我们将把它分为两种情况：∈ [1, ∞) p=∞.以p<∞. 为了证明这一点，我们将证明D在正规拓扑中是闭合的。让（mn）n∈N→ M∈ mn的p-范数收敛∈ 埃弗林的D∈ N.由于p-范数收敛意味着概率收敛，我们知道存在子序列（mnk）k∈N→ m几乎肯定会收敛∈ D.这意味着clA+Mt（西） D.考虑p=∞. 为了证明这个说法，我们将证明D是弱闭的。让我∈我→ M∈ 在弱*拓扑中，使mi∈ 尽管我∈ 一、让我 :=ω ∈ Ohm | w（ω）Tm（ω）<[ess infa]∈AwTa]（ω）∈ 假设P() > 0，紧接着就是女婴∈AwTa≤ 林英菲∈耶wTmii=EhwTmi<E女婴∈AwTa.矛盾的是，这意味着P() = 0和wTm≥ 女婴∈AwTa，即D弱*闭合。这意味着clA+Mt（西） D.现在我们将展示clA+Mt（西） D.假设这不是真的，即∈ 那么你6∈ 氯A+Mt（西）. 通过分离论证，存在v∈ lqt使ehvtui<infm∈cl[A+ΓMt（w）]EhvTmi。通过建造ΓMt（w），infm∈cl[A+ΓMt（w）]EhvTmi=（infa∈AEλwTa对于某些λ，如果v=λw≥ 0 a.s。-∞ 其他的注意，由于可分解性（参见[61，定理1]），我们可以交换期望值和最小值，EhλwTui<infa∈AEhλwTai=E女婴∈λwTa= Eλess infa∈AwTa.然而，这与美国的观点相矛盾∈ D.因此clA+Mt（西） D.推论2.4的证明。首先，利用命题B.1，我们可以将条件罚函数重新表示为αt（Q，w）=U∈ Mt|wTu≥ 女超人∈AtwTEQ[-Y |英尺].

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-9 08:01:47

（B.1）因此，对于任何（Q，w）∈ Wt情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mt-.αt（Q，w）=nu∈ Mt | u+αt（Q，w）情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ Mto=U∈ Mt|M∈ Mt|wTm≥ wTu+ess supY∈AtwTEQ[-Y |英尺]纳米∈ Mt|wTm≥ wTEQ[-X | Ft]oo=U∈ Mt | wTu+ess supY∈AtwTEQ[-Y |英尺]≥ wTEQ[-X |英尺]=U∈ Mt|wTu≥ 英菲∈AtwTEQ[Y- X |英尺]= -αt（Q，w）+情商[-X | Ft]+Γt（w）∩ 因此，现在的结果直接来自对偶表示[23，定理2.3]w.r.t.负共轭函数。上述等式链是通过对命题B.1的结果明可夫斯基减法的定义、对结论的重新表述，以及对[23]中的负共轭函数的定义来实现的。条件相干情况如[23，推论2.4]所示。B.2定理2.9的证明定理2.9的证明涉及以下两个命题。B.2提案。以w为例∈ M+t，+\\M⊥t、对于任何一组A，B∈ G（Mt；Mt，+）比如a6= 如果clB+GMt（西）= Mt和b6= 如果clA+GMt（西）= Mt，它认为GMT（w）-.cl[A+B]=cl格林尼治标准时间（w）-.A.+格林尼治标准时间（w）-.B. （B.2）证据。“” 如果cl格林尼治标准时间（w）-.A.+格林尼治标准时间（w）-.B= , 其中包含的内容微不足道。假设（B.2）的右边是非空的，考虑一个元素u∈氯格林尼治标准时间（w）-.A.+格林尼治标准时间（w）-.B. 然后存在一个净（uAi）i∈土地（uBj）j∈Jsuchu=limi，juAi+uBj还有uAi∈ 格林尼治标准时间（w）-.A和uBj∈ 格林尼治标准时间（w）-.B对于每个i，j.立即，通过定义-.我们得到了UAI+uBj+cl[A+B] GMt（w）+GMt（w）=GMt（w）。因此，Ubi+Ubi∈ 格林尼治标准时间（w）-.自格林尼治标准时间（w）起，每i，j.的cl[A+B]-.cl[A+B]由定义决定，一个人有u∈ 格林尼治标准时间（w）-.cl[A+B]。“” 如果格林尼治标准时间（w）-.cl[A+B]=, 其中包含的内容微不足道。假设（B.2）的左边是非空的，考虑u∈ 格林尼治标准时间（w）-.cl[A+B]。根据定义，这相当于EwTu+ 英法∈AEwTa+ 免疫纳米荧光微球∈是wTb≥ 0和u∈ Mt.首先考虑infb∈是wTb∈ R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝