通过[ρ（F）]（x，y）=ρKux（F（x，·）），对（x，y）进行E×F的动态风险度量（ρ，ρ）∈ E×Fρ（F）=ρ′u（F）。也就是说，ρ将F-可测随机变量映射为F-可测随机变量。或者，我们可以将ρ视为L的映射∞（E×F，\'u）至L∞（E，u）。在这种表示法中，接受一致性为ρ（f）≤ ρ（ρ（f））表示所有f∈ B（E×F）。根据[1]的定理27，可接受一致性等价于不等式α（？）≥ α0,1（‘ν）+E‘ν[α（‘ν）]每保持一个‘ν=ν（dx）Kνx（dy）∈ 当Eα、α和α0,1由α（°ν）定义时，P¨u（E×F）：=supE′ν[f]：f∈ L∞（E×F，F，\'u），ρ（F）≤ 0= α（‘ν|’u），α（‘ν）：=ess supE′ν[f|f]：f∈ L∞（E×F，F，\'u），ρ（F）≤ 上午0点。= ess supZFf（X，y）KνX（dy）：f∈ L∞（E×F，F，\'u），u{x∈ E：ρKux（f（x，·））≤ 0} = 1α0,1（°ν）：=supE′ν[f]：f∈ L∞（E×F，F，\'u），ρ（F）≤ 0= 啜饮ZEf dν：f∈ L∞（E，u），ρu（f）≤ 0= α(ν|u).这里E′ν表示与对应于′ν的积分。换句话说，接受一致性等于α（‘ν|’u）≥ α（ν|u）+E′ν[α（\'ν）]每保持一个ν=ν（dx）Kνx（dy）∈ P′u（E×F）。这与我们对超可加性的定义不同，仅在术语E′ν[α（\'ν）]中。根据[1]的引理4，E′ν[α（′ν）]=supZE×Ff d′ν：f∈ L∞（E×F，F，\'u），ρ（F）≤ 上午0点。.注意ρ（f）≤ 0 a.s.当且仅当u{x∈ E：ρKux（f（x，·））≤ 0} = 1. 此外，对于任何f∈ B（E×F），ifg（x，y）：=F（x，y）- ρKux（f（x，·））然后ρKux（g（x，·））≤ 0表示所有x.ThusE′ν[α（′ν）]=supf∈B（E×F）Zf d′ν-Zν（dx）ρKux（f（x，·））但根据引理3.11，这反过来等于zeν（dx）α（Kνx | Kux）。换句话说，引理3.11将我们对接受一致性的描述与[1，定理27]的描述联系起来，我们现在认为它们是等价的。18丹尼尔·拉克尔。5.时间一致性差。韦伯在[35]中研究了时间一致性的相关概念。也就是说，如果ρ（X | G）是弱可接受一致的，则称一个定律不变的风险度量ρ是弱可接受一致的≤ 0 a.s。

意味着ρ（X）≤ 0，每X∈ L∞每一个σ-G F.类似地，如果ρ（X | G）>0a.s.意味着ρ（X）>0，则ρ是弱排斥相容的。下面的结果在很大程度上是由于韦伯[35]的缘故，它刻画了度量a接受集和发散方面的弱时间一致性。让我们说一套 P（R）是局部可测凸，如果对于每个M>0和每个Q∈ P（A）∩ P[-M、 平均测量∩P[-M、 M]Q（dm）M在A.定理3.12中。假设α是由具有可接受集a的定律不变风险度量ρ引起的简化散度。以下是等价的：（1）ρ是弱可接受一致的。（2） A是局部凸测度。（3） 对于波兰空间E和F，以及P（E×F）中度量u（dx）Kux（dy）和ν（dx）Kνx（dy），我们有α（ν（dx）Kνx（dy）|u（dx）Kux（dy））≥Zν（dx）α（Kνx | Kux）。（4） 对于波兰空间E和F，以及P（E×F）中度量u×u和ν（dx）Kνx（dy），我们有α（ν（dx）Kνx（dy）|u×u）≥Zν（dx）α（Kνx|u）。同样，当“接受”变为“拒绝”，“sub”变为“super”，A变为Ac时，相同的等效性成立。在不假设α是有效证据的情况下，（1）和（2）的等效性成立。含义（1）<=> （2） 在下面的例子中，韦伯[35]首先注意到了这一点，其余部分与定理3.5相同，但我们提供了一个草图：假设（1）成立。固定抛光空间se和F，测量P（E×F）中的u（dx）Kux（dy）和ν（dx）Kνx（dy）。可以看出（类似于命题3.8），弱接受一致性等同于以下内容：∈ B（E×F），u{ρKux（F（x，·））≤ 0} = 1 => ρ′u（f）≤ 因此，通过引理3.11，Zν（dx）α（Kνx | Kux）=supf∈B（E×F）Zf d′ν-Zν（dx）ρKux（f（x，·））= 啜饮Zf d′ν：f∈ B（E×F），u{ρKux（F（x，·））≤ 0} = 1≤ 啜饮Zf d′ν：f∈ B（E×F），ρ′u（F）≤ 0= α(ν|u).这证明了（1）=> (3). 既然（3）显然意味着（4），让我们最终证明（4）意味着（1）。

固定抛光空间SE和F以及u×u∈ P（E×F）。在定理3.5的证明中，（4）的不等式，结合引理3.11和凸共轭的顺序反转性质，暗示了集合包含{f∈ B（E×F）：ρu×u（F）≤ 0}  {f∈ B（E×F）：u{ρu（F（x，·））≤ 0} = 1} .同样，很容易看出（类似于命题3.8），这意味着弱一致性。备注3.13。事实上，对于度量接受集a，局部度量凸性等价于（普通）凸性。事实上，这项计划设定了一个目标∩ P[-M、 对于每一个M>0，M]都是弱闭的，这可以用Fatou性质2.1和弱收敛的Skorohod表示来证明。众所周知，闭凸集是测度c凸，例如[36，推论1.2.4]。对于未闭合的组件Ac，可能不存在相同的等效性。法律不变的风险度量和信息分歧193.6。更多关于Sift凸性的信息。让我们回顾一下我们对移位凸接受集的第一种解释：假设X和Y是风险，X是可接受的。假设Y在给定X的条件下是可接受的，那么移位凸性意味着X+Y本身是可接受的。下面的命题3.14表明，这一解释可以在Omes中得到加强：假设X和Y是风险s，而X是可接受的。假设某个σ-场G的X是可测量的，并且假设给定G，风险Y是有条件可接受的。那么转移凸性意味着风险X+Y也是可接受的。提案3.14。假设A是法律不变风险度量的度量接受集。然后一个isshift凸当且仅当它满足以下性质：（S）对于每个M>0和每个γ∈ P（R×（A）∩ P[-M、 当第一个边缘属于A时，它包含sthatzγ（dx，dm）M（·- 十）∈ A.同样，Acis是凸的当且仅当其满足性质时。证据假设一个满足属性。

固定u∈ A和可测地图R x7→ Kx∈ A.∩ P[-M、 M]。定义γ∈ P（R×（A）∩ P[-M、 现在由γ（dx，dm）：=u（dx）δKx（dm）。那么很明显，γ的第一个边缘是μ，它属于A.Mo-reover，γ（R×（A∩ P[-M、 M]）=1，自kx起∈ A.∩ P[-M、 M]每x.因此，根据性质，测量值为μ（dx）Kx（·- x） =Zγ（dx，dm）m（·- x） 在A中，这表明A是凸的。相反，假设A是移位凸的。那么相应的律不变风险测度ρ是可接受一致的。更重要的是，ρ是弱可接受的，因此可以用定理3进行凸度量。12、现在fix M>0和γ∈ P（R×（A）∩ P[-M、 M]），第一个边缘u属于A。分解γ以找到可测量的映射R x7→ Qx∈ P（A）∩ P[-M、 使γ（dx，dm）=u（dx）Qx（dm）。对于每个x定义Kx∈ P（R）是Qx的平均量度，即Kx（·）=ZQx（dm）m（·）。自Qx（A）以来∩ P[-M、 M]）=1表示u-a.e.x，并且由于a是局部度量凸的，所以它认为Kx∈ A对于u-A.e.x.从部分移位凸性，我们得出结论，被测γ（dx，dm）m（·- x） =ZRu（dx）ZA∩P[-M、 M]Qx（dm）M（·- x） =ZRu（dx）Kx（·- x） 在A中，这证明了属性。4.发散的进一步性质虽然通过定义，每个发散在其第一个参数中都是凸的，但众所周知，相对熵和f-发散是联合凸的。结果表明，散度的联合凸性等价于分布水平上相应的律不变风险测度的凹性。需要明确的是，对于alaw不变风险度量ρ，通过设置ρ（Po 十、-1） =ρ（X），对于X∈ L∞. Acciaio和Svindland[2]最近研究了ρ的凹性，他们提出了一个令人信服的理由，即尽管ρ在随机变量水平上是凸的，但凹性更常见。

事实上，他们表明ρ（X）=EX是唯一一个定律不变的风险度量，对于该度量，ρρ是凸的。例如，熵风险度量显然具有|ρ凹。此外，如果ρ是对应于函数φ的优化确定性等式，则公式¨ρ（u）=infm∈RZφ（m+x）u（dx）- M表明∧ρ是凹的。20丹尼尔·拉克尔提案4.1。设ρ是一个具有诱导散度α的律不变风险测度。以下是等价的：（1）α是联合凸的，即α（·|·）对于每个波兰空间E在P（E）×P（E）上是凸的。（2）对于每个波兰空间E和每个f∈ B（E），地图u7→ ρu（f）是凹的。（3） ρ是凹的。证据(1 => 2） 设E是波兰空间，f是波兰空间∈ B（E）。修正t∈ （0,1）和u，u∈ P（E）。那么（1）意味着ρtu+（1-t） u（f）=supν∈P（E）Zf dν- α（ν| tu+（1- t）u）≥ supν，ν∈P（E）tZf dν+（1）- t）Zf dν- α（tν+（1）- t）ν| tu+（1）- t）u）≥ supν，ν∈P（E）tZf dν+（1）- t）Zf dν- tα（ν|u）+（1）- t） α（ν|u）= tρu（f）+（1）- t） ρu（f）。(2 => 1） 另一方面，如果∈ P（E），那么（2）意味着α（tν+（1）- t） ν| tu+（1- t）u）=supf∈B（E）tZf dν+（1）- t） Zf dν- ρtu+（1）-t） u（f）≤ supf∈B（E）tZf dν+（1）- t） Zf dν- tρu（f）+（1）- t） ρu（f）≤ tα（ν|u）+（1）- t） α（ν|u）。(3 => 2） 这是从恒等式ρtu+（1）直接得出的-t） u（f）=ρtuo F-1+ (1 - t）uo F-1..(2 => 3） 这几乎是直接从上述身份。假设（2）。让我，我∈ P（R）有紧支护，t∈ (0, 1). 然后，让id表示R上的身份映射|ρ（tm+（1）- t） m）=ρtm+（1）-t） m（id）≥ tρm（id）+（1）- t） ρm（id）=tρ（m）+（1）- t） ρ（m）。分歧实际上是由有限空间E的值唯一决定的，这在下面的命题中得到了形式化。基于下面推论3.6中对相对熵的描述，我们可以得出一个更简单的描述，类似于Csisz\'ar[9]所调查的那些描述，但这会让我们走得太远。提议4.2。假设α是一个简化的散度。

对于任何抛光空间E和任何u，ν∈ P（E），我们有α（ν|u）=supα(ν o T-1|u o T-1） ：T:E→ 可测量的，有限的.证据不平等≥ 这直接源于对分歧的定义。为了证明这一性质，请注意，如果E是有限的，则其适用性很小。一般来说，通过B-orel同构（见[24，Theorem15.6]），存在一个可测函数S:E→ [0,1]具有可测逆。假设我们可以证明α（ν|u）=supα(ν o T-1|u o T-1） ：T:[0,1]→ 可测量的，有限的. （4.1）对于所有u，ν∈ P（[0,1]）。那么，如果u，ν∈ P（E），我们使用命题2.6得出α（ν|u）=α（νo s-1|u o s-1） =supα(ν o （T）o （S）-1|u o （T）o （S）-1） ：T:[0,1]→ 可测量的，有限的= 啜饮α(ν o T-1|u o T-1） ：T:E→ 可测量的，有限的.事实上，这是因为每个可测量的映射T:E→ F可以写成T′o S、 当T′=T时o s-1.因此，我们只需要证明（4.1）。由于[0，1]是紧致的，对于每一个n，我们可以找到一个可测量的映射Tn:[0，1]→ [0,1]范围有限，例如| x- Tn（x）|≤ 1/n代表所有x∈ [0, 1]. 然后，它会统一到身份。由于α是简化的，对于给定的>0，我们可以在[0,1]上找到一个连续函数f，使得α（ν|u）≤ +Zf dν- ρu（f）。因为ρu在上确界范数中是连续的，并且因为fo Tn→ 我们一致地得出结论，ρu（f）=limnρu（fo Tn）。因此α（ν|u）≤ +limn→∞采埃孚o Tndν- ρu（f）o Tn）= +limn→∞Zf dνo T-1n- ρuoT-1n（f）≤ +lim infn→∞α(ν o T-1n |uo T-1n）。这足以完成证明。最后，让我们提到数理统计中一个潜在的相关性，即效率统计总是在不等式α（ν）中实现相等o T-1|u o T-1) ≤ α(ν|u).

Kullback和Leibler的基础论文[25]证明了相对熵的这一结果，Liese和Vadja[29，定理14]处理了f-发散的情况。提案4.3。设E是一个波兰空间，u，ν∈ 带ν的P（E）<< u. 假设一个可测的mapT:E→ F是{u，ν}的有效值，这意味着dν/du是T-可测量的。然后，对于任何散度α，我们有α（νo T-1|u o T-1) = α(ν|u). 特别是，如果T是具有可测逆的双射，这一点成立。证据因为我们处理的是条件期望，所以我们使用了一个更为概率的符号来表示这种概率。通过定义一个发散的nc e，α（ν）o T-1|u o T-1) ≤ α（ν|u），所以我们只能证明逆不等式。众所周知，T的效率很容易就意味着每一个f的Eν[f|T]=Eu[f|T]a.s∈ B（E）；的确，如果∈ B（E）是T-可测量的，即neν[fh]=Eu[fhdν/du]=Eu[Eu[f|T]hdν/du]=Eν[Eu[f|T]h。由于[16]的推论4.65，我们有ρu（f）≥ ρu（Eu[f | T]）。因此α（ν|u）=supf∈B（E）（Eν[f]- ρu（f））≤ supf∈B（E）（Eν[f]- ρu（Eu[f | T]）=supf∈B（E）（Eν[Eu[f|T]]- ρu（Eu[f | T]）。E上的每个T-可测函数都可以写成go T表示一些可测函数g，因此α（ν|u）≤ 苏普格∈B（F）（Eν[g]o [T]- ρu（g）o T）=supg∈B（F）εoT-1[g]- ρuoT-1（g）= α(ν o T-1|u o T-1).备注4.4。命题4.3提出了一个自然的问题：反之亦然吗？也就是说，等式α（ν）o T-1|u o T-1） =α（ν|u）意味着T对（u，ν）有效？这并不适用于所有的发散，但当α是相对熵时，它适用，正如Kullback和Leibler[25]首次观察到的那样。Liese和Vadja[29]表明，这种相反的情况适用于许多（但不是所有）f-发散。正如这两篇论文[25,29]中所解释的那样，这种描述导致了有用的效率测试。例如，在我们讨论一些普通法不变风险度量之前，回顾一下我们的签名约定并不是通常的。

也就是说，ρ是增加的，而不是减少的。更确切地说，如果根据我们的定义，ρ是一个风险度量，那么map X 7→ ρ(-十） 通常被称为风险度量，如[16]中所述。22 DANIEL LACKER5。1.短缺风险措施。由F¨ollmer和Schied[14]引入的短缺风险度量的形式是ρ（X）=inf{c∈ R:E[l（十）- c） ]≤ 1} ，在哪里l 是一个损失函数，定义如下：定义5.1。损失函数是一个凸函数，没有增函数l : R→ 令人满意l(0) = 1 < l（x） 对于所有x>0。当然，诱导的风险度量族是ρu（f）=inf{c∈ R:ZEl（f（x）- c） u（dx）≤ 1}. （5.1）注意l 而单调共收敛，则总是能达到最大值。特别是，泽l（f（x）- ρu（f））u（dx）≤ 1.根据[16，定理4.115]，诱导散度为α（ν|u）=inft>0t1+ZEl*tdνdudu, 为了ν<< u，（5.2）其中l*（x） =supy∈R（xy- l（y） ）是凸共轭。众所周知，短缺风险度量在定义2.12[16，命题4.113和练习4.2.2]的意义上是连续的。因此，根据定理2.13，α是弱下半连续和简化的。现在让我们来确定一个shortfallrisk测度何时是支持的。我们说一个非负函数l : R→ [0, ∞] 如果l（x+y）≤ l（十）l（y） （分别为。≥) 为了所有的x，y∈ R.提案5.2。允许l 为损失函数，α为（5.2）中定义的相应散度。如果l 如果是对数次加性（分别是对数超加性），那么α是超加性（分别是次加性），或者等价地ρ是接受一致性（分别是拒绝一致性）证明。假定l 是对数次可加的。考虑到定理EM3.5，我们将证明以下集合是移位凸的：A:=（m）∈[M>0P[-M、 M]：Zl dm≤ 1).固定u∈ A、 M>0，一个可测量的映射R x7→ Kx∈ A.∩ P[-M、 M]。然后l dKx≤ 1个用于所有x和Alsorrl du≤ 1.

ThusZRu（dx）ZRKx（dy）- 十）l（y） =ZRu（dx）ZRKx（dy）l（y+x）≤ZRu（dx）l（x） ZRKx（dy）l（y）≤ 1，然后是rru（dx）Kx（·- x） 在A。备注5.3。除了显而易见的uscase之外，很难构造对数次可加函数的有趣例子l（x） =eηx或η>0。请注意l（x） 对于某些x=0排除了对数次可加性，因为它意味着l（y）≤ l（y）- 十）l（x） =0表示所有y。函数日志l 在R上必须是非减量的和次可加的，在Ze ro上等于零，而且这个函数的指数必须是c凸。我们找到的唯一其他例子都是限制形式l（x） =eF（x）对于F′（0）>0且具有大气线性增长的非减量函数F，即F（x）≤ cx适用于所有x≥ 0和F（x）≥ cx代表x≤ 0，对于c，c>0。法律不变的风险度量和信息分歧235.2。优化的确定性是等价的。Ben Tal和Teboulle[5,6]提出的优化确定性等价物的形式为ρ（X）：=infm∈R（E[φ（m+X）]- m），其中φ：R→ R是凸的，没有ndec，带φ*（1） =supx∈R（x）- φ（x））=0。当然，风险度量的诱导家族是ρu（f）：=infm∈RZEφ（m+f（x））u（dx）- M.相应的散度是φ*-散度，α（ν|u）=Zφ*dνdudu，表示ν<< u.正如我们在命题4.1之前的讨论中所看到的，优化确定性等价物总是满足命题4.1的凹性条件，这为α的众所周知的联合凸性提供了另一种证明。我们还知道α是联合弱下半连续的，在讨论时间一致性和可加性属性之前，我们使用REM 2.13证实了这一点。提议5.4。每个优化确定性等价物都是弱下半连续的。特别是，α是一个很好的证明。第二种主张源于第一种主张，即定理2.13。

根据定理2.13，它是toshow Lebesgue连续性：如果Xn，X∈ L∞与Xn↓ X a.s.，我们必须显示ρ（Xn）↓ ρ（X）。设>0，然后找到m∈ R使得e[φ（m+X）]- M≤ ρ（X）+。通过单调收敛，E[φ（m+Xn）]↓ E[φ（m+X）]。因此，对于足够大的n，ρ（Xn）≤ E[φ（m+Xn）]- M≤ E[φ（m+X）]- m+≤ ρ（X）+2。定理5.5。假设φ满足yφ*（x） +xφ*（y）≤ φ*（xy）（分别为。≥) 为了所有的x，y≥ 0.那么α可加性（分别为次加性）或等效ρ为接受一致性（分别为拒绝一致性）。证据我们研究了超加性的情况，因为次加性的情况也得到了类似的证明。假设E和F是Polish空间，设‘u=u（dx）Kux（dy）和‘ν=ν（dx）Kνx（dy）是E×F上的概率测度。简单地使用α的定义：α（‘ν|’u）=ZE×Fφ*d′νd′udu=ZEu（dx）ZFKux（dy）φ*dνdu（x）dKνxdKux（y）≥ZEu（dx）ZFKux（dy）dKνxdKux（y）φ*dνdu（x）+dνdu（x）φ*dKνxdKux（y）=泽φ*dνdudu+ZEν（dx）ZFKux（dy）φ*dKνxdKux（y）= α（ν|u）+ZEν（dx）α（Kνx | Kux）。备注5.6。当然，这种关系*（xy）=xφ*（y） +yφ*（x） 满足于φ*（x） =x logx，其中的共轭（假设φ*= +∞ 在负半线上）是φ（x）=ex-1.一般来说，假设l 是一个严格递增的对数次加损失函数。然后l-1（xy）≥ l-1（x）+l-1（y）表示x，y>0，依此类推*（x） ：=xl-1（x）满足度φ*（xy）≥ xφ*（y） +yφ*（x） 。如备注5.3所述，此类功能并不多。24丹尼尔·拉克尔。3.一致的风险措施。如果所有X的ρ（λX）=λρ（X），则称为相干风险度量∈ L∞λ≥ 0.一致律不变风险测度一定允许一个表示ρ（X）=supQ∈QEQ[X]，其中Q 聚丙烯(Ohm) 是闭凸的。Law不变性仅仅意味着如果Q∈ Q和Q′∈ 聚丙烯(Ohm) 具有相同的密度定律Po （dQ/dP）-1=Po （dQ′/dP）-1，那么Q′也必须在Q中；在d中，这一点很容易从Kusuoka r e的介绍中得出（见[27,22]）。

对于抛光空间E和u∈ P（E），注意ρu（f）=supη∈ Q[u]Zf dη，其中Q[u]：=Qo 十、-1:X∈ L(Ohm; E） ，Q∈ Q、 Po 十、-1= u Pu（E）。给我(Ohm; E） 表示可测量函数的集合Ohm 让我们用命题3.8（5）来看看ρ何时是可接受一致的。设E和F是抛光空间，设u∈ P（E），让我们来看看∈ P（F）和letf∈ B（E×F）。然后，如果X表示E上的单位映射，ρu（ρu（f（X，·））|X=X）=supη∈ Q[u]ZEη（dx）ρu（f（x，·））=supη∈ Q[u]ZEη（dx）supη′∈Q[u]ZEη′（dy）f（x，y）=supη∈ Q[u，u]ZE×Ff dη，（5.3），其中我们定义Q[u，u]：={m（dx）Kmx（dy）∈ P（E×F）：m∈ Q[u]，Kmx∈ Q[u]适用于所有x}。事实上，（5.3）的最后一行来自一个众所周知的可测量选择论证[7，命题7.50]。因此，当且仅当ifsupη时，ρ是可接受的∈ Q[u×u]ZE×Ff dη≤ supη∈ Q[u，u]ZE×Ff dη，适用于所有f∈ B（E×F），因为左边的side正好是ρu×u（F）。但这相当于包含Q[u×u]的Q[u，u]闭合凸壳。对于每一对u，u是一个非常严格的要求，我们无法进一步澄清。它适用于极端情况，当Q为单体或Q=PP时(Ohm). 没有证据表明上述讨论对稳健熵风险测度ρ（X）=supQ同样有效∈质量控制-1对数等式[ecX]，c>0。附录A.引理3.11的证明保留引理3.11的符号。对于e ach x∈ 我们有α（Kνx | Kux）=supf∈B（F）ZFf dKνx- ρKux（f）,这显然意味着（回想一下，\'ν：=ν（dx）Kνx（dy））thatZEν（dx）α（Kνx|Kux）≥ supf∈B（E×F）ZE×Ff d′ν-ZEν（dx）ρKux（f（x，·））.其余的证明致力于建立更复杂的不等式：ZEν（dx）α（Kνx | Kux）≤ supf∈B（E×F）ZE×Ff d′ν-ZEν（dx）ρKux（f（x，·））. （A.1）F=[0,1]的证明。首先假设F=[0,1]。

由于α是简化的，对于每个x∈ 我们有α（Kνx | Kux）=supf∈C（[0,1]）Z[0,1]f dKνx- ρKux（f）！。法律不变的风险度量和信息分歧现在需要注意的是∈ C（[0，1]），在上面右边的上确界内x的函数是可测的。事实上，我们在引理2.14中证明了u7→ 当f连续且有界时，ρu（f）是可测量的（实际上是下半连续的）。由于具有上确界范数的C（[0,1]）是一个波兰空间，对于固定的>0，我们可以（通过[7，命题7.50]）找到一个普遍可测的映射E x7→ gx∈ C（[0，1]），这样，对于每个x∈ E、 Z[0,1]gxdKνx- ρKux（gx）≥（α（Kνx | Kux）- ifα（Kνx | Kux）<∞1/如果α（Kνx | Kux）=∞.（A.2）我们可能会找到一个符合ν-A.e.和x7的Borel可测量图→ gx，我们滥用符号，用x7再次表示→ gx。根据Lusin定理，对于每个δ>0，都存在一个比较集sδ E使得ν（Scδ）≤ δ和约束Sδ x7→ gx∈ C（[0，1]）是连续的。在不失去普遍性的情况下，假设是δ 只要δ<δ′，Sδ′。定义gδx:=gx或x∈ Sδ和gδx:=0（零函数）表示x/∈ 注意gδ是从E到C（[0,1]）的有界可测函数。定义gδ：E×[0,1]→ R乘以gδ（x，y）=gδx（y），注意gδ是联合可测的（得益于[3]中的定理4.55和引理4.51），且有界。案例1。假设首先是ν（dx）α（Kνx|Kux）<∞. 然后，对于足够小的δ，我们有zscδν（dx）α（Kνx | Kux）≤ .然后是nzeν（dx）α（Kνx | Kux）≤ +ZSΔν（dx）α（Kνx | Kux）≤ 2+ZSΔν（dx）“Z[0,1]gxdKνx- ρKux（gx）#=2+ZEν（dx）“Z[0,1]gδxdKνx- ρKux（gδx）#=2+ZE×[0,1]gδd′ν-ZEν（dx）ρKux（gδ（x，·））≤ 2+supf∈B（E×[0,1]）（ZE×[0,1]fd′ν-ZEν（dx）ρKux（f（x，·）））。第二行使用了（A.2），第三行使用了gδ的定义。由于>0是任意的，我们得到（A.1）。案例2。假设seti:={x∈ E：α（Kνx | Kux）=∞} 有ν（I）>0，所以reν（dx）α（Kνx | Kux）=∞.那么对于足够小的δ，我们有ν（Sδ）∩ （一）≥ ν（I）/2>0。

然后，再次使用（A.2）和gδ的定义，0<ν（I）2≤ν（Sδ）∩ 一） =ZSδ∩I-1ν（dx）≤ZSδ∩Iν（dx）“Z[0,1]gxdKνx- ρKux（gx）#≤ ν（Ic）+ZEν（dx）“Z[0,1]gδxdKνx- ρKux（gδx）#≤ ν（Ic）+supf∈B（E×[0,1]）（ZE×[0,1]fd′ν-ZEν（dx）ρKux（f（x，·）））。（A.3）倒数第二个不等式来自Zicν（dx）Z[0,1]gδxdKνx这一事实- ρKux（gδx）≥ -ν（Ic），通过定义gδ。发送↓ （A.3）中的0表示（A.1）的右侧也存在缺陷。26 DANIEL LACKERCase 3。最后，假设ν（dx）α（Kνx | Kux）=∞ 但ν（I）=0，I定义为Ca se 2中的值。自α≥ 0，单调收敛定理意味着limδ↓0ZSΔν（dx）α（Kνx | Kux）=∞.修正M>0。求δ，使其为δν（dx）α（Kνx | Kux）≥ M然后，再次使用（A.2），ν（I）=0，以及gδ，M的定义≤ +ZSΔν（dx）“Z[0,1]gxdKνx- ρKux（gx）#=+ZEν（dx）“Z[0,1]gδxdKνx- ρKux（gδx）#≤ +supf∈B（E×[0,1]）（ZE×[0,1]fd′ν-由于M>0是任意的，这表明右侧是有限的，验证（A.1）。一般F的证明。最后，我们去掉了F=[0，1]的假设，现在只假设它是波兰语。通过Borel-isomor-phis m（见[24，定理15.6]），我们可以找到一个可测的双射T:F→ [0,1]具有可测逆。注意，命题2.6产生α（Kνx | Kux）=α（Kνx）o T-1 | Kuxo T-1). 应用上述结果证明（A.1）：ZEν（dx）α（Kνx | Kux）=ZEν（dx）α（Kνxo T-1 | Kuxo T-1） =supf∈B（E×[0,1]）ZEν（dx）“Z[0,1]Kνxo T-1（dy）f（x，y）- ρKuxoT-1（f（x，·））#=supf∈B（E×[0,1]）ZEν（dx）ZFKνx（dy）f（x，T（y））- ρKux（f（x，T（·）））≤ supf∈B（E×F）ZEν（dx）ZFKνx（dy）f（x，y）- ρKux（f（x，·））.承认错误。感谢Igor Cialenco、Andrew Papanicolaou，特别是Stefan Weberf的宝贵讨论和参考，以及Kavita Ramanan对早期草案的仔细反馈。

这项研究的一部分是在作者访问美国国家科学基金会资助的纯数学与应用数学研究所（IPAM）时进行的。参考文献1。B.Acciaio和I.Penner，动态风险度量，金融高级数学方法，斯普林格，2011年，第1-34.2页。B.Acciaio和G.Svindland，分布上的法律不变风险函数是凹的吗？，依赖模型1（2013），54-64.3。C.Aliprantis和K.Bor der，《有限维分析：搭便车指南》，第3版，斯普林格出版社，2007.4。P.Artzner，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath，《一致性风险度量》，数学金融9（1999），第3203-228.5号。A.Ben Tal和M.Teboulle，《随机非线性规划中的预期效用、惩罚函数和对偶》，管理科学32（1986），第11期，1445–1466.6。，凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物，数学金融17（2007），第3449–476.7号。D.Bertsekas和S.Shreve，《随机最优控制：离散时间案例》，雅典娜科学出版社，1996.8。P.Cheridito和M.Kupper，《离散时间内时间一致的动态货币风险度量的构成》，《国际理论与应用金融杂志》第14期（2011），第01期，第137–162.9页。I.Csisz\'ar，《信息测度的公理化表征》，熵10（2008），第3期，261–273.10。F.Delbaen，《一般概率空间上的一致风险度量》，金融和随机学进展，斯普林格，2002年，第1-37.11页。K.Detlefsen和G.Scandolo，《条件和动态凸风险度量》，金融与随机9（2005），第4539–561号。法律不变的风险度量和信息分歧2712。D.Fil ipovi\'c和G.Svindland，法律不变凸风险度量的标准模型空间是L，MathematicalFinance 22（2012），第3585–589.13号。霍尔默和我。

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