法律不变的风险度量和信息分歧

2022-5-9 09:05:28

法律不变的风险度量和信息分歧。在定律不变的风险度量和发散之间绘制了一对一的对应关系，我们将其定义为满足一些自然性质的任意标准Borel空间上概率度量对的泛函。发散包括许多经典的信息发散度量，如相对熵和f发散。发展了散度的若干性质及其与律不变风险测度的对偶性，最显著的是将它们的链式规则或可加性性质与动态律不变风险测度的某些时间一致性概念联系起来，这些动态律不变风险测度被称为可接受性和可加性一致性。这些性质还与分布水平上接受集的一个特殊性质有关，类似于韦伯关于弱接受和拒绝一致性的结果。最后，对短缺风险度量和优化确定性等价物的例子进行了详细讨论，结果表明，相对熵本质上是满足链式规则的唯一散度。1.引言本文深入分析了法律不变风险测度及其与概率测度的散度型泛函的关系。在整篇论文中，一个非原子的标准Borel空间(Ohm, F、 P）是固定的，风险度量定义为凸函数ρ：L∞:= L∞(Ohm, F、 P）→ R满足：（1）不知名度：如果X，Y∈ L∞还有X≤ Y a.s.然后ρ（X）≤ ρ（Y）。（2）现金可加性：如果X∈ L∞c∈ R然后ρ（X+c）=ρ（X）+c.（3）归一化：ρ（0）=0。函数X7→ ρ(- 十）通常被称为标准化凸风险度量；一些作者使用术语可接受性度量[31]来表示我们所选择的风险度量。

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2022-5-9 09:05:32

凸风险度量首次出现在[14,17,21]中，扩展了Artzner等人[4]的论文中介绍的一致风险度量的类别（另见[10]）。如果ρ（X）=ρ（Y），只要X具有相同的定律，风险度量ρ就是定律不变的。本文中有三个标准示例将指导我们：第一个是众所周知的熵风险度量ρ（X）=η-1对数E[EηX]，η>0。第二，给定一个非减量凸函数l : R→ [0, ∞) 具有l（0）=1，相应的短缺风险度量值（由F¨ollmer引入，并在[14]中给出）为ρ（X）=inf{c∈ R:E[l（十）- c） ]≤ 1} .最后，给出一个非减量凸函数φ：R→ 带φ的R*（1） =supx∈R（x）- φ（x））=0，相应的优化确定性等价物（由Ben Tal和Teboulle在[5,6]中介绍）为ρ（x）：=infm∈R（E[φ（m+X）]- m）。我们构造了如下分歧：固定一个定律不变的风险度量ρ。给定一个波兰空间E，设P（E）表示E上的Borel概率测度集。对于任何波兰空间（或任何标准Borel空间）和任何μ∈ P（E），我们可以定义一个新的法律不变风险度量ρu：L∞（E，u）→ R乘以ρu（f）：=ρ（f（X）），其中X是Ohm 与法律Po 十、-1= u. 的确，这样一个X的存在是因为eOhm 是非原子的，由于定律不变性，这个定义与选择X无关。这种风险度量满足一致性，即ρu（f）=ρν（g）o F-1= ν o G-1.（1.1）本材料基于美国国家科学基金会（NSF）资助的工作，授予号为DMS-1502980.2的DANIEL LACKERLetα（·|u）表示与ρu相关的最小P（e）函数，即ρu：α（ν|u）=supf对P（e）的限制∈L∞（E，u）ZEf dν- ρu（f）= 啜饮ZEf dν：f∈ L∞（E，u），ρu（f）≤ 0.我们称α为ρ引起的散度。

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2022-5-9 09:05:35

总之，函数α（·|·）是为任何波兰空间（或标准Borel空间）上的概率度量对定义的，非常类似于类相对熵和其他信息散度，如f散度。实际上，当ρ是熵ris k度量时，α只不过是通常的相对熵（也称为库尔贝克-莱布尔散度）H（ν|u）=Zlogdνdudν代表ν<< u, ∞ 否则当ρ是响应函数的短缺风险度量时l, 诱导发散度为α（ν|u）=inft>0t1+ZEl*tdνdudu, 为了ν<< u, ∞ 否则，在哪里l*（t） =sups∈R（圣- l（s））是f的凸共轭l. 最后，当ρ是与函数φ对应的最优确定等价时，诱导散度是φ*-散度α（ν|u）=Zφ*dνdudu，表示ν<< u, ∞ 否则实际上，我们可以从[0]开始，∞]-值函数α=α（ν|u），为概率测量对（ν，u）定义∈ P（E）对于任何抛光空间E，使得对于每个抛光空间E和每个u∈ 我们有以下几个方面：（1）α（u|u）=0。(2) α(ν|u) = ∞ 如果ν∈ P（E）与spect至u并非绝对连续。（3）地图7→ α（ν|u）是凸的，相对于总变化是下半连续的。（4） α（νK |uK）≤ α（ν|u）∈ P（E）和从E到另一个波兰空间F的每个核K，其中uK（dy）：=REu（dx）K（x，dy）∈ P（F）。我们把这样的函数称为散度，我们知道，对于任何散度，都对应于在原始空间上定义的唯一不变风险度量(Ohm, F、 P）；我们通过显示定义ρ（f（X））：=ρu（f）：=supν来证明这一点∈P（E）ZEf dν- α(ν|u),在（1.1）的意义上，当E是一个抛光空间时，f∈ B（E）和u=Po 十、-1对于someX：Ohm → E

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kedemingshi

2022-5-9 09:05:38

这个性质（4）正好对应于一致性性质（1.1），在信息论中被称为数据处理不等式，至少当α是通常的相对熵时是这样。本文的主要关注点是与众所周知的相对熵链规则有关的发散性质的表征，该规则读取sh（ν（dx）Kνx（dy）|（dx）Kux（dy））=H（ν|u）+Zν（dx）H（Kνx | Kux），并保持两个波兰空间乘积上的所有（分解）概率测度u（dx）Kux（dy）和ν（dx）Kνx（dy）。更重要的是，如果α（ν（dx）Kνx（dy）|u（dx）Kux（dy））的散度α是超可加的≥ α（ν|u）+Zν（dx）α（Kνx | Kux）。（1.2）如果逆不等式成立，我们说α是次可加的。我们用相应风险测度ρ的各种性质来描述这一点。本研究的原始动机来自对ρ（λX）形式的集中不等式的张量化性质的长期研究≤ γ（λ），对于llλ≥ 0，（1.3）式中γ：[0，∞) → [0, ∞]. 在后续论文[28]中，我们研究了与流动性风险相关的集中度不等式（1.3）。当ρ是熵风险测度时，不等式（1.3）只是法律不变风险测度和X的信息发散3矩母函数的一个界。在这种情况下，张力化大致意味着ρ（λh（X，Y））λ的界≥ρ（λf（X））λ上的界≥0和ρ（λg（Y））λ≥0，对于两个给定的（通常是独立的）随机变量X和Y以及各种（类）函数f、g、h。通常使用链规则证明张量化属性（详情参见[20]），尤其是位置1。

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2022-5-9 09:05:41

因此，我们寻求链式规则的替代方案，以便理解如何将这些思想推广到m（1.3）的一般集中不等式。结果表明，超加性（1.2）的对偶形式是所谓的纠正风险度量ρ的时间一致性性质，我们在Weber[35]的构造基础上对其进行了描述：通过ρ（P）定义P（R）上的函数ρo 十、-1） =ρ（X），这当然是由于定律不变性而定义的。对于任何σ-场G F英寸Ohm 还有任何X∈ L∞, 考虑G-可测随机变量ρ（X | G）（ω）：=ρ（P（X∈ · | G）（ω），其中P（X）∈ · | G）表示给定G的X的正则条件定律。如果ρ（X），我们说ρ是可接受一致的≤ ρ（ρ（X | G））每X∈ L∞以及任何σ场G F.如果相反的不等式成立，我们说ρi是一致的。如果ρ是交流接受度和拒绝度一致的，我们说它是时间一致的。我们证明了ρ的可接受性本质上等同于诱导散度α的超加性，并且我们提供了一个关于度量可接受集a性质的额外表征：=Po 十、-1:X∈ L∞, ρ（X）≤ 0 P（R）。这些不同的特征被用来发现这些函数l 和φ，对应的短期风险度量和优化的确定性等价物是一致的。从Kupper和Schachermayer[26]的结果可以看出，熵风险度量本质上是唯一的时间一致性风险度量，作为推论，我们发现相对熵是满足链式规则的唯一散度（高达一个标度倍数）。最终，我们发现，除了熵度量或其适度扰动外，没有多少法律不变的风险度量是接受一致的（或拒绝一致的）。换句话说，在相对熵之外没有多少发散是超加的。

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2022-5-9 09:05:44

虽然我们的结果在这方面有些负面，但风险度量引起的分歧的构造和表征本身就很有趣，它们似乎是研究法律不变量风险度量的有用工具。此外，我们发现，理解上述应用程序中分歧的局限性有一定的价值。我们还简要回顾了韦伯[35]的相关结果。假设ρ（X）弱相容≤ 0ρ（X | G）≤ 0 a.s.，代表X∈ L∞和σ-场G F.Weber证明了这在本质上等同于度量接受集A的凸性。我们证明了弱接受一致性也等同于比超加性更弱的质量：α（ν（dx）Kνx（dy）|u（dx）Kux（dy））≥Zν（dx）α（Kνx | Kux）。到目前为止，已经对动态风险度量的时间相关性进行了深入研究[30,11,18,13,34,8]。Acciaio和Penner[1]的nice调查将是一个有用的参考，尽管我们将主要研究Weber在[35]中构建的动态法律不变风险度量类型。考虑到这些丰富的文献，我们关于时间一致性的结果中最新颖的是在度量接受集的移位凸性中描述接受一致性，这很好地补充了韦伯关于weakacceptance一致性的结果。从理论上讲，我们可以从[1]中的结果推断出我们在超辐射性（1.2）方面的特征，但这并非无关紧要：关键的区别在于，以前关于这个主题的论文（包括[1]）在定义条件风险度量的最小惩罚函数方面具有重要的优势。我们纯粹使用逐点定义，虽然这种区别在很大程度上是技术性的，但两者之间存在一个不小的差距，这源于一个微妙的可测量选择论点。

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2022-5-9 09:05:48

详见第3.4节。以上结果必须经过验证：超加性和接受一致性的等价性仅在额外假设下得到证明，即α（ν|u）=supf，即散度α是简化的∈C（[0,1]）Z[0,1]fdν- ρu（f）！，我们没有试图将我们对相对熵的描述与文献中已有的许多描述相协调（参见Csisz\'ar[9]的调查），但我们至少可以确信，我们获得相对熵的技术是新的，尤其是避免了函数方程。每u，ν4 DANIEL Lacker∈ P（[0,1]）。这个额外的假设无疑有些令人讨厌，如果没有它，超可加性的主要结果是否成立，这是不明确的。虽然我们没有为这个条件确定一个很好的对偶特征，但我们已经确定了一个常见的更强的条件：即，只要ρ是连续的，α就被简化，在这个意义上，ρ（Xn）→ ρ（X）当Xn为均匀边界且Xn→ Xa。s、这是一个强有力的假设，但它适用于短缺风险度量和优化确定性等价物的主要示例。此外，我们还证明了ρ的Lebesgue连续性实际上等价于诱导散度α的联合下半连续性（与弱收敛有关）。最后，第4节我们研究了发散的各种性质。首先，α的联合凸性被证明在概率测度的水平上等价于ρ的凹性（即上文定义的ρ的共凸性），这是Acciaio和Svindland[2]对每一个优化确定性等价物进行了详细研究的一个性质。第二，作为离散性定义属性（4）的一个有趣的决策理论结果，请注意如果T:E→ F是可测的，那么α（ν）o T-1|u o T-1) ≤ α(ν|u); 我们证明了如果T是{u，ν}的有效统计量，则等式成立。

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2022-5-9 09:05:51

最后，我们证明了在某种意义上，简化的分歧可以通过它们在有限集上的投影来近似。论文的结构如下。在引入分歧并研究其最本质的性质之前，第2节回顾了法律不变风险度量的基本定义和对偶结果。命题2.6和定理2.7给出了法律不变风险度量中分歧的主要特征。第2.2节接着介绍了s隐含散度的概念，作为一个重要的例子类别，我们随后阐明了风险度量的连续性属性与诱导散度的联合低连续性之间的联系。这是第3节的一个有用的准备步骤，第3节将讨论时间一致性和超可加性。主要定理3.5从诱导散度的可加性和度量接受集的移位凸性两方面刻画了一个律不变风险度量的时间一致性。第4节研究了与凸性有关的其他结果，以及对分歧的一些更多信息理论用途，应该注意的是，本节完全独立于第3节。最后，第5节将该理论应用于空头风险度量和优化确定性等价物的示例。这篇简短的附录专门用来证明一个技术问题。2.风险度量和差异首先，让我们定义一些符号。纵观报纸(Ohm, F、 P）是一个极大概率空间，我们称之为非原子标准Bor el空间。缩写为Lp=Lp(Ohm, F、 P）通常用于上的P-可积实值可测函数集（等价类）Ohm. 让P(Ohm) 表示上的一组可能性度量(Ohm, F），然后让PP(Ohm) 表示由相对于P绝对连续的度量组成的子集。

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2022-5-9 09:05:54

正如引言中所述，对我们来说，风险度量是一个凸非减（关于a.s.订单）函数ρ：L∞→ R满足ρ（0）=0和ρ（X+c）=ρ（X）+c的所有X∈ L∞, C∈ R.再次注意，这与标准定义有所不同，标准定义中ρ为非递增[16]。定律不变风险度量具有一些很好的附加结构，特别是[22]和[12]的结果，尽管我们不需要Latter。定理2.1（文献[22]中的定理2.1]）。每个定律不变风险度量ρ都满足Fatou性质，这意味着∈ L∞一致有界且收敛于a.s∈ L∞, 那么ρ（X）≤林恩芬→∞ρ（Xn）。让我们回顾一个经典的对偶结果，但要注意，呈现的细节有些不寻常：我们说的是一个函数α：PP(Ohm) → [0, ∞] 是ρ的惩罚函数，如果它保持ρ（X）=supQ∈聚丙烯(Ohm)等式[X]- α（Q）. （2.1）（请注意，s upremum只涉及可数加法度量，我们不会提及不确定性。）这里，EQdenotes期望w与概率Q有关。参考测度P下的期望简单地表示为E，而不是其他空间上的积分Ohm 用更明确的测量理论符号表示。定律不变的风险度量和信息分歧5定理2.2（文献[16]中的定理4.33]）。假设ρ是一个定律不变的风险度量。然后是函数α：PP(Ohm) → [0, ∞] 定义为α（Q）：=sup等式[X]：X∈ L∞, ρ（X）≤ 0= 好的∈L∞等式[X]- ρ（X）（2.2）是ρ的惩罚函数。

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2022-5-9 09:05:59

事实上，它是最小惩罚函数，在这个意义上，任何其他惩罚函数α′对于ρ满足α≤ α′.注意，对偶表示（2.2）意味着最小惩罚函数是凸的，并且与总变差拓扑以及较弱的拓扑σ（PP）有关(Ohm), L∞).由于Kusuoka[27]的原因，并在[19,22]中进行了扩展，有一种替代的双重表示法更具体地描述了法律不变的风险度量，但我们将不使用它。备注2.3。请注意，我们可能会懒得考虑ρ将在等效类（即L的元素）上进行评估这一事实∞, 与特定的可测量函数相反。对于风险度量ρ，我们可以用可测量函数X的明显方式定义ρ（X）：=ρ（[X]）：Ohm → R通过查找等效类[X]∈ L∞X所属的。考虑到这一点，我们可以定义α（Q）：=∞ 对于Q∈ P(Ohm) 对于P不是绝对连续的，那么对偶公式（2.1）可以写成ρ（X）=supQ∈P(Ohm)等式[X]- α（Q）,对于有界可测函数X：Ohm → R.与凸风险测度的许多性质一样，法律不变性也可以用极小惩罚函数的性质来表征，这将是下一节更广泛讨论的一个基础。虽然[32，命题2]和[22，引理a.4]中出现了一个非常类似的结果，但这种描述似乎是新的。提议2.4。假设L上有一个风险度量ρ∞具有法头性质（见定理2.1）。那么ρislaw不变量当且仅当它有一个满足α（Q）的惩罚函数αso T-1) ≤ 每个Q的α（Q）∈ 聚丙烯(Ohm)对于每个可测量的T：Ohm → Ohm 满意的Po T-1=P。证据首先，假设ρ是定律不变的，并假设α是定理2.2提供的最小惩罚函数。让T：Ohm → Ohm 是一张满足P的可测地图o T-1=P。

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kedemingshi

2022-5-9 09:06:02

然后Xo T和X有相同的定律，而我们ρ（X）=ρ（X）o T）每X∈ L∞. 因此α（Qo T-1） =supX∈L∞情商oT-1[X]- ρ（X）= 好的∈L∞等式[X]o [T]- ρ（X）o （T）≤ 好的∈L∞等式[X]- ρ（X）= α（Q）。为了证明相反，fix，Y∈ L∞用同样的法则。根据[23，推论6.11]（因为概率空间是非原子的），我们可以找到一个可测量的映射T：Ohm → Ohm 这样Po T-1=P和P（X=Y）o T=1。那么ρ（X）=supQ∈聚丙烯(Ohm)等式[X]- α（Q）= supQ∈聚丙烯(Ohm)情商oT-1[Y]- α（Q）≤ supQ∈聚丙烯(Ohm)情商oT-1[Y]- α（Q）o T-1)≤ supQ∈聚丙烯(Ohm)等式[Y]- α（Q）= ρ（Y）。通常，当F是集合E上的一组实值函数时，符号σ（E，F）指的是F连续元素上最粗糙的拓扑。6 DANIEL Lackerring演绎X和Y的角色完成了证明。备注2.5。从命题2.4的证明可以清楚地看出，ρ具有fatoupproperty的假设是不必要的。为了避免引入额外的术语，并避免详述涉及完全相加的度量的细节，我们仅说明这种更简单的形式。2.1. 分歧及其表征。现在，让我们利用法律不变性来构建相应的风险度量家族，我们称之为分歧。修正了这个假设的风险度量ρ不变。给定一个波兰空间E，le t P（E）表示E上的Borel概率测度集<< u表示ν相对于u是绝对连续的。如果有的话∈ P（E），writePu（E）：={ν∈ P（E）：ν<< u}. 定义C（E）、Cb（E）和B（E）分别为E上的连续、有界连续和有界可测函数集。

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2022-5-9 09:06:05

空间P（E）被赋予由映射u7生成的σ场→ u（A），其中A E是波雷尔；这等于弱收敛的拓扑结构，即σ（P（e），Cb（e））所定义的Borelσ-fi-le。给定抛光空间E和u∈ P（E），我们可能会发现（beca useOhm 是非原子的）一个可测量的函数x：Ohm → E使得Po 十、-1= u. 然后，我们可以定义L上的（法律不变）风险度量ρu∞（E，u）乘以ρu（f）：=ρ（f（X））。请注意，根据法律不变性，这个定义不取决于X的选择，只要Po 十、-1= u. Wecall（ρu）u，由ρ引起的一系列风险度量。这一系列风险度量满足一致性属性，即ρu（f）=ρν（g）o F-1= ν o G-1.（2.3）特别是，对于从一个波兰空间E到另一个F的任何可测映射T，我们有ρuoT-1（f）=ρu（f）oT）代表f∈ L∞（F，u）oT-1). 当E是任何标准的Borel空间时，同样的构造是有效的，但为了简单起见，我们坚持使用Polish空间。ρu的最小惩罚函数表示为α（·|u）：Pu（E）→ [0, ∞] 定义为α（ν|u）：=supf∈B（E）ZEf dν- ρu（f）= 啜饮ZEf dν：f∈ L∞（E，u），ρu（f）≤ 0. （2.4）通过设置α（ν|u）=∞ 当ν与u不是绝对连续时。那么，对于f∈ B（E），ρ（f（X））=ρu（f）=supν∈P（E）ZEf dν- α(ν|u), 如果Po 十、-1=u，很容易检查（2.4）是否对ν有效∈ P（E）\\Pu（E）。（如备注2.3所示，我们不要过分注意区分可测函数及其等价类。）我们称α（·|·）为ρ引起的散度。注意，α（·|·）是为任意波兰空间上的概率测度对定义的。此外，α（·|u）对于总变量和拓扑σ（P（E），B（E））始终是凸的和下半连续的。

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2022-5-9 09:06:09

ρ引起的发散的另一个表达式是通过测量接受集A：=Po 十、-1:X∈ L∞, ρ（X）≤ 0 P（R）。实际上，我们可以写出α（ν|u）=supZEf dν：f∈ B（E），μo F-1.∈ A..发散满足与（2.3）相关的一致性属性，该属性的声明需要一些涉及核的符号。给定波兰空间E和F，从E到F的核是一个可测函数E x7→Kx∈ P（F）。给定u∈ P（E），写入uK:=REu（dx）Kx（·），用于P（F）中的平均测量值，即uK（A）=ZEu（dx）Kx（A），用于A 波雷尔。为了f∈ B（F），为B（E）中的函数Kf（x）=RFKx（dy）F（y）写入Kf。请注意标识yrff d（uK）=REKf du。法律不变的风险度量和信息分歧7命题2.6。设ρ为具有散度α的律不变风险测度。如果E和F是波兰空间，K是E到F的核，那么α（νK |uK）≤ α（ν|u），（2.5）表示所有u，ν∈ P（E）。特别是，如果T:E→ F是可测的，那么α（ν）o T-1|u o T-1) ≤ α（ν|u），如果T是可测逆的双宾语，则等式成立。证据请注意，通过设置K（x，dy）=δT（x）（dy），第二类im从第一类im开始。詹森的不平等很容易说明这一点o （Kf）-1.≤ （微克）o F-1所有f的凸序∈ B（F）；实际上，对于R上的每个凸函数φ，ZRφduo （Kf）-1=ZEφ（Kf）du≤ZEK（φo f） du=ZFφo fd（uK）=ZEφd（uK）o F-1.众所周知，（标准化的）定律不变风险度量相对于凸阶增加，例如增加[16，推论4.65]，因此ρuK（f）≥ ρu（Kf）。然后α（νK |uK）=supf∈B（F）ZFf d（νK）- ρuK（f）= supf∈B（F）ZE（Kf）du- ρuK（f）≤ 苏普格∈B（E）ZEg du- ρu（g）= α(ν|u).事实上，不平等性（2.5）足以从最初的风险度量家族中重建。这在以下方面是精确的：定理2.7。

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2022-5-9 09:06:13

假设给定函数族P（E） ν 7→ α(ν|u) ∈ [0, ∞], 对于每个抛光空间E和每个u∈ 假设下列条件成立：（1）α（u|u）=0。(2) α(ν|u) = ∞ 如果ν∈ P（E）对于μ不是绝对连续的。（3） α（νK |uK）≤ α（ν|u）∈ P（E）和从E到另一个波兰空间F的每个核K。对于每个抛光空间E和每个u∈ P（E），定义ρu（f）：=supν∈P（E）ZEf dν- α(ν|u), F∈ B（E）。（2.6）那么每个ρu都是一个法律不变的风险度量。此外，对于任何抛光空间F和G，任何u∈ P（F）和ν∈ P（G）和任何f∈ B（F）和g∈ B（G）带uo F-1= ν o G-1，我们有ρu（f）=ρν（g）。证据从定义开始，ρu就是一种风险度量。实际上，由于α（u|u）=0和α（ν|u）≥ 对于所有的ν，我们有ρu（0）=0。[16]的定理4.33表明ρu满足Fatou性质，因为其定义中的上确界仅包括可数相加测度。对于固定μ，我们从性质（3）和命题2.4推断ρμ是定律不变的。8 DANIEL LACKERIt仍需证明最后一项主张。假设目前我们可以找到一个从m F到g的核，即uK=ν和u（Kg=F）=1。那么ρν（g）=supη∈ P（G）ZGg dη- α(η|ν)≥ supη∈ Pu（F）ZGg d（ηK）- α（ηK |ν）= supη∈ Pu（F）ZFf dη- α（ηK |uK）≥ supη∈ Pu（F）ZFf dη- α(η|u)= ρu（f）。事实上，第二个不等式来自假设（3）。颠倒f和g的角色就完成了这个过程。为了证明这样一个核的存在性，我们引用了Strassen[33，定理3]的一个著名定理：用hφ（x）=supη定义F上的hφ∈ S（x）ZGφdη，其中S（x）：=η ∈ P（G）：ZGg dη=f（x）.如果S（x）对于每个x都是非空的∈ 如果hφ是可测的，那么Strassen的定理说，从F到G存在一个核K，满足uK=ν和u（Kg=F）=1当且仅当ifZGφdν≤ZFhφdu，适用于所有φ∈ Cb（G）。

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2022-5-9 09:06:16

（2.7）假设对于每个x，S（x）都是非空的∈ hφ是可测的，所以我们可以应用这个定理。在R上定义一个新函数hφbyehφ（a）：=supφ（g）-1（{a}））=sup{φ（y）：y∈ G、 G（y）=a}，使用通常的约定sup = -∞. 让我们检查一下φ（f（x））≤ hφ（x），u- a、 e.x∈ F、（2.8）如果x∈ F hasehφ（F（x））=-∞, 没有什么可以证明的。假设x∈ F满足φ（F（x））>-∞. 对于fixed>0，我们可以选择y∈ 使得G（y）=f（x）和φ（y）≥ehφ（f（x））- . 然后，sinceRGg dδy=f（x），我们通过定义φ（y）≤ hφ（x）和thusehφ（f（x））≤ +hφ（x）。由于是任意的，这证明了（2.8）。最后，因为φ（x）≤所有x的ehφ（g（x））∈ G、使用νo G-1= u o F-我们证明（2.7）：ZGφdν≤ZGehφo g dν=ZFehφo fdu≤ZFhφdu。仍需检查上面遗漏的技术要点。首先请注意，S（x）对于u-几乎每个yx都是非空的：如果S（x）为空，则f（x）不在g的范围内，因为g不能保持一组正的u-测量值oF-1= ν oG-1.修改S（x）使其等于空集合上的F，使其永远不为空S（x）6=.接下来，我们不需要证明hφ是普遍可测的，因为S（x）的图是解析的[7，命题7.47]，所以我们可以通过简单地将Borelσ-场重新放置在F上，并使其具有普遍的完备性，来应用Strassen定理。考虑到前面的结果，我们自然会做出以下定义：定义2.8。散度是一组凸的下半连续函数（关于总方差）P（E） ν 7→ α(ν|u) ∈ [0, ∞], 对于每个抛光空间e和每个u∈ P（E），满足定理2.7的性质（1-3）。给定偏差α，相应的（或诱导的）风险度量族为（ρu）u族，定义为（2.6）。相应的（或诱发的）风险度量是风险度量¨ρdefined on L∞= L∞(Ohm, F、 P）由ρ（X）：=ρPo十、-1（id），其中id表示R上的身份映射。

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mingdashike22

2022-5-9 09:06:19

由于定理2.7，ρ得到了很好的定义。直接检查它的诱导散度正好是α，并且对于每个抛光空间E和μ，βρu=ρu∈ P（E）。法律不变的风险度量和信息差异92.2。简化了分歧。相对熵的一个重要性质是，它的对偶公式可以简化为连续函数的上确界：对于波兰空间和对于u，ν∈ P（E），H（ν|u）=supf∈B（E）ZEf dν- logZEefdu= supf∈Cb（E）ZEf dν- logZEefdu.对于我们在第三节中对发散的超可加性的刻画，对于我们来说，对于一般的发散有一个相似的结果是很重要的。这样的定义并不总是可能的，因此我们做出定义：定义2.9。由定律不变的风险度量ρ引起的发散性α被认为是简化的，前提是u，ν∈ P（[0，1]）我们有α（ν|u）=supf∈C（[0,1]）Z[0,1]fdν- ρu（f）！。等效地，对于每个u∈ P（[0,1]），mapα（·|u）是弱低连续的，其中“弱”指的是美国的弱收敛拓扑σ（P（E），Cb（E））。这一定义的一个重要原因是以下可测量性结果，如果没有额外的假设，我们很难证明这一点。引理2.10。每一个简化的散度α都是可联合测量的，即对于任何固定的波利斯空间E，在P（E）×P（E）上的散度α（···）是可联合测量的（关于弱收敛拓扑生成的Borelσ-场）。证据固定一个波兰空间E。Borel是同胚的（见[24，定理15.6]），存在一个可测的双射T:E→ [0,1]具有可测量的逆e。根据命题2.6，α（ν）o T-1|u o T-1） =α（ν|u），对于所有u，ν∈ P（E）。还请注意，映射为u7→ u o T-1是从P（E）到P（[0，1]）的可测双射，具有可测逆。

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何人来此

2022-5-9 09:06:23

因此，为了证明α在P（E）×P（E）上是联合可测的，必须证明它在P（[0,1]）×P（[0,1]）上是联合可测的。由于α是简化的，我们有α（ν|u）=supf∈C（[0,1]）Zf dν- ρu（f）对于u，ν∈ P（[0,1]）。由于ρu是关于C（[0，1]）上的上确界范数的Lipschitz，并且C（[0，1]）是可分的，我们可以将上面的上确界减少为可数的。但是ν7→Rf dν对于每个HF都是可测量的∈ C（[0,1]），与u7一样→ ρu（f）感谢Le mma 2.14。2.3. 发散的半连续性。本节的其余部分研究α的下半连续性性质，部分是为了其内在利益，部分是为了一个可处理的条件，这将允许我们验证我们在第5节中讨论的所有发散示例确实都是简单的。我们没有发现双侧简单发散的OOD特征，即ρ，不过，下面的部分结果还是说明了这种情况。我们知道，对于任何散度α，映射α（·|u）相对于拓扑σ（P（E），B（E））是低连续的，对于任何固定的u，E。我们将在引理2中看到。15事实上，α（·|·）对于同一拓扑是联合下半连续的。另一方面，我们知道相对熵是低半连续的，具有弱收敛性，我们首先描述了具有这种性质的发散性。为此，有助于做出两个定义，其中第二个是众所周知的：定义2.1。

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2022-5-9 09:06:26

如果对于每个波兰空间E，关于弱收敛的拓扑，映射α（·|·）在P（E）×P（E）上是下半连续的，即P（E）与拓扑σ（P（E），Cb（E）相配，则称散度α是联合弱下半连续的。这种等价性是芬切尔-莫罗定理的一个简单应用：让M（[0，1]）表示[0，1]上的有界有限加性符号测度集，并通过设置‘αu（ν）=α（ν|u）来将α（·u）扩展到M（[0，1]）∈ P（[0,1]）和‘αu（ν）=∞否则把M（[0,1]）和C（[0,1]）放在对偶中。那么ρu是αu的凸共轭。由于‘αu是凸的且正确的，所以它是低半连续的当且仅当它等于它的双共轭。10 DANIEL LACKERDe定义2.12。我们说风险测度ρ是勒贝格连续的，如果∈ L∞是一个带Xn的统一绑定序列→ 我们有ρ（Xn）→ ρ（X）。这相当于当Xn，X∈ L∞与Xn↓ 我们有ρ（Xn）↓ ρ（X）（c.f.注释4.25和[16]中的练习4.2.2]）。这一部分的主要结果如下，并且在前面有一个对应的引理：定理2.13。设ρ是一个具有诱导散度α的律不变风险测度。以下是等价的：（1）α是联合弱下半连续的。（2）对于每个抛光空间E和f∈ Cb（E），地图u7→ ρu（f）是连续的。（3）对于每个抛光空间E，每个u∈ P（E）和每个f，fn∈ Cb（E）与fn→ 在点方向上，当fn一致有界时，我们有ρu（fn）→ ρu（f）。（4） ρ是勒贝格连续的。如果这些条件保持不变，那么：（5）对于每个抛光空间E和每个ν，u∈ P（E）我们有α（ν|u）=supf∈Cb（E）ZEf dν- ρu（f）.引理2.14。设ρ是一个定律不变的风险度量。固定一个抛光空间E和一个函数f∈ B（E）。地图Φ：P（E）→ R由Φ（u）给出：=ρu（f）是可测量的。此外，如果f∈ Cb（E），那么Φ是低连续的。证据首先我们要证明第二项索赔。让我们→ P（E）中的μ。

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2022-5-9 09:06:29

通过Skorohod表示，我们可以找到定义在Ohm 和Po十、-1=u，Po十、-1n=un，和Xn→ 几乎可以肯定。然后f（Xn）→ f（X）几乎肯定，因为f是连续的，序列f（Xn）是一致有界的。因此，法图性质（定理2.1）意味着ρu（f）=ρ（f（X））≤ 林恩芬→∞ρ（f（Xn））=lim infn→∞ρun（f）。为了证明第一项索赔，请确定M>0，以便| f |≤ M，并写入ρu（f）=ρuoF-1（id），其中id表示地图上的身份[-M、 M]。根据前面的论证，M7→ ρm（id）是下半连续的，在P上是可测的([-M、 M]）。因为也有7个→ u o F-1.从P（E）到P的波雷尔测量([-M、（很容易用[7，命题7.25]证明），我们看到Φ是两个可测映射的组合。定理2.13的证明。(1 => 2）首先假设E是紧的。让我们→ P（E）中的μ。从引理2.14可知ρu（f）≤ 林恩芬→∞ρun（f），所以我们展示了上半连续性。设>0，并为achn找到一些νn∈ P（E）满足ρun（f）≤ +Zf dνn- α（νn |un）。因为E是compac t，所以每个子序列E都允许另一个子序列{nk}，使得→ 对一些人来说∈ P（E）和α的下半连续性→∞ρunk（f）≤ +Zf dν- α(ν|u) ≤ +ρu（f）。这是林超恩→∞ρun（f）≤ ρu（f）。最后，如果E不一定是紧致的，则确定M>0，使得un（|f |≤ M） =1。自从[-M、 M]是紧凑的，之前的结果表明ρun（f）=ρunoF-1（身份证）→ ρuoF-1（id）=ρu（f），其中id是[-M、 M]。(2 => 3）让fn，f∈ Cb（E）与fn一致有界→ fu-a.s.然后存在M>0，使得u（|fn |≤ M） =1表示所有n，因此ρu（fn）=ρuoF-1n（id）→ ρuoF-1（id）=ρu（f），其中id表示[-M、 M]。法律不变的风险度量和信息分歧11（3）=> 4） L e t X，Xn∈ L∞与Xn一致有界→ X a.s.发现M>0这样的≤ 文科硕士s、为了所有人。

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2022-5-9 09:06:33

设E表示收敛序列的（完全可分）度量空间，其值为[-M、 M]被赋予上确界度量，并通过u定义E上的u=∞Yn=1Po 十、-1n。设fn（x）=xndnote坐标映射，设f（x）=limn→∞对于x=（x，x，…）∈ E.那么f和fn是一致有界且连续的，其中fn→ 按结构逐点计算。自从o F-1n=Po 十、-1nanduo F-1=Po 十、-1，我们有ρ（Xn）=ρu（fn）→ ρu（f）=ρ（X）。(4 => 5）显然我们有α（ν|u）≥ supf∈Cb（E）Zf dν- ρu（f）.为了显示反向不平等性，fix>0，并发现f∈ B（E）使得α（ν|u）≤ +Zf dν- ρu（f）。求一个带fn的连续函数的下界序列fn→ 然后，利用（3）和有界收敛定理，我们得到α（ν|u）≤ +limn→∞Zfndν- ρu（fn）≤ +supf∈Cb（E）Zf dν- ρu（f）.(4 => 3）显而易见。(3 => 2）让我们→ P（E）和f中的u∈ Cb（E）。设λ表示[0,1]上的Leb e sgue测度，并设qnand qdenote对应于un的分位数函数o F-1和uo F-1，使uno F-1= λ o Q-1nanduo F-1= λ o Q-1.然后qnare与qn一致本质有界→ qλ-a.s.和定律不变性场ρun（f）=ρλ（qn）→ ρλ（q）=ρu（f）。(4 => 1）现在我们知道（4）意味着bo-th（5）和（2），因此我们可以写出α（ν|u）=supf∈Cb（E）Zf dν- ρu（f）.自映射（u，ν）7以来→Rf dν-ρu（f）由（2）联合连续，α作为连续函数的上半连续。正如之前所宣布的，潜在的intere st还有一些额外的连续性属性，尽管我们不会在续集中使用这些属性。请注意，引理2.10并不遵循以下命题2.15，因为σ（P（E），B（E））的Borelσ场通常严格大于弱收敛拓扑的Borelσ场。提案2.15。假设ρ是一个具有诱导散度α的律不变风险测度。

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2022-5-9 09:06:36

如果P（E）被赋予拓扑σ（P（E），B（E）），那么mapu7→ ρu（f）对于每个f是连续的∈ 对于P（E）×P（E）上的积拓扑，B（E）和α（·|·）是下半连续的。证据首先，fix f∈ B（E）与| f |≤ M代表M>0。注意ρu（f）=ρuoF-1（id），其中id表示地图上的身份[-M、 M]。我们在引理2.14中看到([-M、 M]）男7→ ρm（f）是连续的，具有弱收敛性。检查u7很容易→ u o F-1是从（p（E），σ（p（E），B（E））到p的连续ma p([-M、这证明了第一种说法。根据定义（2.4），α（ν|u）是（ν，u）的连续函数的上确界，这证明了第二种说法。丹尼尔·拉克尔。接受一致性和超加性是韦伯[35]首次观察到的，定律不变的风险度量自然会在任何（好的）过滤概率空间上产生动态风险度量。我们将使用相同的结构：定义ρaga inbyρ（Po 十、-1） =ρ（X），这得益于定律不变性。使用我们之前的符号，请注意∧ρ（m）=ρm（id），其中id表示R上的身份映射。然后，我们可以定义任何σ-场G F英寸Ohm还有任何X∈ L∞,ρ（X | G）：=ρ（P（X）∈ · | G））。请注意，给定G的X的正则条件定律是因为Ohm 这是标准的。引理2.14确保ρ（X | G）是一个G-可测量的随机变量，唯一定义为a.s.等式。类似地，对于随机变量Y，写出ρ（X | Y）：=ρ（X |σ（Y））。注意，如果Y是G-可测量的，那么对于任何随机变量X，ρ（X+Y | G）=ρ（X | G）+Y，a.s.。如果X和Y是独立的，那么检查ρ（f（X，Y）| X）=ρ（f（X，Y））| X=X是很简单的。我们几乎准备好定义我们研究的时间一致性类型。定义3.1。

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kedemingshi

2022-5-9 09:06:40

如果ρ（X），我们说一个定律不变的风险度量ρ是可接受一致的≤ ρ（ρ（X | G）），对于所有子σ场G F和所有X∈ L∞. 如果不等式被逆转，我们说ρ是一致的。如果接受和拒绝一致，那么Wesayρ是时间一致的。备注3.2。一旦采用归纳法，这种定义看起来更像是公文包中出现的定义（见[1]）。让（Ft）t≥0表示任何过滤Ohm, 与英国《金融时报》合作 F表示所有t.实际上，（ρ（·Ft））t≥0是[1]意义上的动态风险度量。如果ρ与X一致∈ L∞, 然后直接检查ρ（X | Fs）≤ ρ（ρ（X | Ft）|Fs）a.s.为0≤ s≤ t、 3.1。超加性和s h ift凸性。让我们给某些类似于经典相对熵链式法则的发散不等式命名。从今往后，我们需要假设我们的分歧是简单的，如定义2.9所示。就以下超加性定义而言，该假设主要是为了确保发散eα（·|·）是可联合测量的，因此积分是有意义的。随后，主要定理3.5的一个技术点将在很大程度上取决于是否简化了发散，但定理3.5是否适用于更一般性的问题仍有待解决。定义3.3。如果α（ν（dx）Kνx（dy）|u×u），我们说散度α是部分超加的（分别是部分亚加的）≥ α（ν|u）+Zν（dx）α（Kνx |u），（re sp。≤ )当ν（dx）Kνx（dy）和u×u是两个波兰空间乘积的概率测度时；请注意，后者必须是产品度量。如果α（ν（dx）Kνx（dy）|u（dx）Kux（dy））的话，我们说一个简化的散度α是（完全）超加的（或次加的）≥ α（ν|u）+Zν（dx）α（Kνx | Kux），（re sp。

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2022-5-9 09:06:43

≤ )当ν（dx）Kνx（dy）和u（dx）Kux（dy）是两个波兰空间乘积的概率测度时。请注意，当参考度量是乘积时，部分超加性而不是完全超加性只要求不等式成立。事实证明，这些条件是等价的，尽管我们对这个事实只有间接的了解。正如导言中所讨论的，散度αa的可加性性质与其诱导风险度量的时间一致性和子水平集性质重新关联，我们现在描述了这些性质。在下面，我们将写P[-M、 M]对于M>0，对于区间上支持的一组概率测度[-M、 M]。定义3.4。（1）法律不变风险度量ρ的度量接受集A由A:={P定义o 十、-1:X∈L∞, ρ（X）≤ 0}. 换句话说，这是满足ρ（X）的随机变量X的一组定律≤ 0.法律不变风险度量和信息分歧13（2）A集合A P（R）是平移凸的，如果对于每u∈ A、每个M>0，每个可测量的mapR x7→ Kx∈ A.∩ P[-M、它认为，测量结果是u（dx）Kx（·- x）正如韦伯所讨论的那样，度量接受集A的凸性允许对所谓的复合彩票进行自然解释：如果两个结果x和Y是可接受的，那么A的凸性意味着结果与法则tP一致o 十、-1+ (1 - t） Po Y-1也可以接受，对于任何t∈ (0, 1). 移位凸性同样适用于解释：假设X是一个可接受的结果，并且给定X，Y是有条件可接受的。那么移位凸性意味着X+Y本身是可接受的。为了说明这一点，在位移凸性的定义中，取u作为X的定律，Kxto作为给定X的Y的条件定律。第3.6节我们将详细阐述对这一不寻常性质的解释和重新表述。

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2022-5-9 09:06:46

我们现在可以陈述本节的主要结果。定理3.5。假设α是由具有可接受集a的定律不变风险度量ρ引起的简化散度。以下是等价的：（1）ρ是可接受一致的。（2）移位是凸的。（3） α是超加的。（4） α是部分超加的。同样，当“接受”变为“拒绝”，“超加”变为“次加”，A变为Ac时，同样的等价性成立。（1）和（2）的等价性成立，没有假设α是简单的。（1）和（3）之间的等价性与[1]的定理27有关，第3.4节阐述了精确的联系。从定理3.5我们可以得出结论，没有多少发散是可加的，即上加和下加。根据Kupper和Schachermayer[26]，唯一的时间一致不变风险度量是熵：推论3.6。假设α是一个s简化的散度。如果α既是超可加的又是次可加的，那么它是以下形式之一：α（ν|u）=ηH（ν|u），对于某些η>0，对于ν<< u, ∞ 否则，对于ν=u，α（ν|u）=0，∞ 否则，对于ν，α（ν|u）=0<< u, ∞ 否则这些情况下的诱发风险度量为ρ（X）=η-log E[EηX]，ρ（X）=EX，ρ（X）=ess sup X.3.2。时间一致性的性质。下面的引理表明，接受一致性相当于一个似乎较弱的陈述，这将更容易与移位凸性联系起来：引理3.7。设ρ是一个定律不变的风险度量。那么ρ是可接受一致的当且仅当下列条件成立：对于每对独立的随机变量X，Y，其值在某些波兰空间se，F中，以及对于每一个F∈ B（E×F），我们有ρ（F（X，Y））≤ ρ（ρ（f（X，Y）|X））。证据“只有在”的方向是直接的。为了证明相反，fix∈ L∞和一个σ-场G F

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mingdashike22

2022-5-9 09:06:49

芬迪∈ L∞这就产生了G，例如Y=P∞n=1-nBnwhere{Bn}是G的一个可数生成子族（回想一下，我们的环境概率空间是标准的）。根据[23，定理5.10]，我们可以找到独立的随机变量sey和U，以及一个可测函数f，使得（eY，f（eY，U））具有与（Y，Z）相同的规律。那么假设和定律不变性意味着ρ（Z）=ρ（f（eY，U））≤ ρ（ρ（f（eY，U）|eY））。但是f（eY，U）giveneY的条件定律与Z（Y）的条件定律相同，因此ρ的定律不变性意味着ρ（f（eY，U）| eY）和ρ（Z | Y）=ρ（Z | G）具有相同的定律。进一步利用定律不变性，我们得出结论：ρ（ρ（f（eY，U）|eY））=ρ（ρ（Z | G））。14 DANIEL Lacker下一个引理重新表述了接受一致性，用了一种更为严格的理论符号，这将在以后有用。提案3.8。对于定律不变的风险度量ρ，以下是等价的：（1）ρ是一致的。（2）对于抛光空间E和F，\'u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F），F∈ B（E×F）和g∈ B（E）μ（g）≤ 0，我们有十、∈ E：ρKux（f（x，·））≤ g（x）= 1.=> ρ′u（f）≤ 0.（3）对于抛光空间E和F，\'u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F）和F∈ B（E×F），我们有ρuρKux（f（x，·））|x=x≥ ρ′u（f），（4）对于抛光空间E和f，u∈ P（E），u∈ P（F），F∈ B（E×F）和g∈ B（E）μ（g）≤ 0，我们有u{x∈ E：ρu（f（x，·））≤ g（x）}=1=> ρu×u（f）≤ 0.（5）对于抛光空间E和F，\'u=u×u∈ P（E×F）和F∈ B（E×F），我们有ρu（ρu（F（x，·））|x=x）≥ ρ′u（f），其中X表示E上的恒等式映射。相同的等价物保持一致，但不等式相反。证据很明显，（3）意味着（5），（2）意味着（4）。属性（5）和表3.7中描述的属性是等价的，只是用不同的符号书写，因此（5）和（1）是等价的。

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2022-5-9 09:06:53

我想证明一下=> 2.=> 3和4=> 5.(1 => 2）固定抛光空间E和F，\'u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F），F∈ B（E×F）和g∈ B（E）μ（g）≤ 0.也假设十、∈ E：ρKux（f（x，·））≤ g（x）= 1.找到一个E×F值的随机变量（X，Y），其定律为‘|u，注意ρ（F（X，Y）| X）=ρKuX（F（X，·））≤ g（X），a.s.ρ屈服的一致性和单调性ρ′u（f）=ρ（f（X，Y））≤ ρ（ρ（f（X，Y）|X））≤ ρ（g（X））=ρu（g）≤ 0.(2 => 3）固定抛光空间E和F，\'u=u（dx）Kux（dy）∈ P（E×F）和F∈ B（E×F）。定义g∈ B（E）乘以g（x）=ρKux（f（x，·））。然后是琐碎的十、∈ E：ρKux（f（x，·）- ρu（g））≤ g（x）- ρu（g）= 1.由于ρu（g- ρu（g））=0，性质（2）意味着ρu（f- ρu（g））≤ 0.重新调整以获得ρ¨u（f）≤ ρu（g），根据需要。(4 => 5）固定抛光h空间E和F，u∈ P（E），u∈ P（F）和F∈ B（E×F）。定义g∈ B（E）byg（x）=ρu（f（x，·））。然后是微不足道的u{x∈ E：ρu（f（x，·）- ρu（g））≤ g（x）- ρu（g）}=1。因为ρu（g- ρu（g））=0，性质（4）表示ρu×u（f）- ρu（g））≤ 0.重新计算得到ρu×u（f）≤ ρu（g），根据需要。这种对接受一致性的替代性描述将在解决可加性问题时对我们特别有用。现在，我们将用它来建立接受一致性和转移凸度之间的联系。提案3.9。一个律不变的风险测度是可接受一致的当且仅当其测度可接受集是平移凸的。法律不变的风险度量和信息差异。设ρ是一个具有度量接受集a的定律不变风险度量。首先，假设ρ是接受一致的。固定u∈ A、 M>0，一个可测量的映射R x7→ Kx∈ A.∩ P[-M、 M]。设置u=u（dx）Kx（dy-x）。让λ表示[0,1]上的勒贝格测度，我们可以发现（例如，通过[23，定理5.10]）一个可测函数f:R×[0,1]→ R使得，如果^f（x，y）：=（x，f（x，y）），那么¨u=（u×λ）o^f-1.现在设置g（x）=x。

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2022-5-9 09:06:56

自λo f（x，·）-1=Kx（·- x），我们有λo [f（x，·）- g（x）]-1=Kx∈ A.∩ P[-M、 M]，每x.因此u{x∈ R：ρλ（f（x，·））≤ g（x）}=u十、∈ R：λo [f（x，·）- g（x）]-1.∈ A.= 1.请注意，s inceu具有compac t支持和Kx∈ P[-M、 M]对于所有x，f基本上是关于u×λ有界的。也因为oG-1= u ∈ A、即ρu（g）≤ 0，验收一致性（赞成位置3.8（2））意味着ρu×λ（f）≤ 0.换句话说，（u×λ）o F-1.∈ A.但这就完成了移位凸性的证明，因为（u×λ）o F-1=ZRu（dx）Kx（·- x）。相反，现在假设ρ是移位凸的。设E和F为抛光空间，且Fixu∈ P（E），u∈ P（F），F∈ B（E×F）和g∈ B（E）与ρu（g）≤ 0.也假设u{x∈ E：ρu（f（x，·））≤ g（x）}=1，或等于十、∈ E:uo [f（x，·）- g（x）]-1.∈ A.= 1.根据提案N3.8（4），我们必须检查ρu×u（f）≤ 0，或相当于t（u×u）o F-1.∈ A.设置ν：=uo G-1，注意∈ A.对于x∈ R、定义alsoKx:=（uo [f（x，·）- g（x）]-1ifuo [f（x，·）- g（x）]-1.∈ A.不然。（δ的选择是任意的，A的任何其他元素都可以。）然后Kx∈ 对于每个x，移位凸性意味着Zrν（dx）Kx（·- 十）∈ A.但事实上，rν（dx）Kx（·- x）等于（u×u）o F-1.因为∈ B（R）我们有zrν（dx）ZRKx（dy）- x） φ（y）=ZRν（dx）ZRKx（dy）φ（x+y）=ZEu（dx）ZFu（dy）φ（g（x）+f（x，y）- g（x））=ZE×Fφo fd（u×u）。最后，在我们转向定理3.5的证明之前，我们计算了风险度量7的惩罚函数→ ρ（ρ（X | G）），在没有时间一致性假设的情况下。这与[1]和[8]中的一些结果有关，只命名了一些，但在我们的条件惩罚函数被定义为点上至上而非本质上至上的意义上有所不同；关于这一点的讨论见第3.4节。提案3.10。设ρ是一个具有诱导散度α的定律不变风险度量，我们假设它是理想的。

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