内在风险度量 - 外文文献专区

2022-5-26 21:18:03

内在风险度量苏黎世大学银行与金融系数学系Walter Farkasand Alexander Smirnow第一版：2016年10月27日抽象货币风险度量通常被解释为必须添加到财务状况以使其可接受的最小外部资本。我们提出了一个新概念：内在风险度量，并认为这种方法提供了从不可接受头寸到接受集的直接路径。内在风险度量仅使用内部资源，并返回当前持有的财务头寸的最小百分比，必须将其出售并再投资到合格资产中，以使最终头寸变得可接受。在避免有限价值问题的同时，内在风险度量允许自由选择合格资产，并保持所需的特性，如单调性和准凸性。推导了凸接受集的对偶表示，并详细说明了内在风险度量与锥上货币度量的联系。关键词内在风险度量、货币风险度量、接受集、一致性、圆锥度、准凸性、风险价值数学学科分类（2010）91B30、91B32、91G99JEL分类C60、G11、G201介绍与P.Artzner、F.Delbaen、J.Eber和D.Heath【ADEH99】介绍的接受标准相关的风险度量是地图ρA，从某个函数空间X到R的形式ρa，R（XT）=inf{m∈ R | XT+mr1Ohm∈ A} 。（1.1）换言之，财务状况风险XT∈ X是用最小的外部货币m来衡量的∈ R，必须投资于无风险的参考工具，其恒定回报率R>0，以使其可接受，即使其成为一种要素。farkas@bf.uzh.chalexander.smirnow@乌兹。chof an验收集A 十、

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2022-5-26 21:18:07

在这种方法中，验收集构成主要目标，相关风险度量由财务状况与验收集边界之间的距离（相对于方向r1）给出Ohm. 最近，这种方法与使用随机回报率r的合格资产的原始想法重新联系起来：Ohm → R> 0作者：P.Artzner、F.Delbaen和P.Koch Medina【ADKM09】和D。Konstantinides和C.Kountzakis【KK11】等，甚至M.Fritelli和G.Scandolo【FS06】将其扩展到工艺中。W、 Farkas、P.Koch Medina和C。[FKMM14a]和[FKMM14b]中的Munari提议调查一般合格资产：Ohm → R≥0和验收集，揭示了简化常数法的显著缺点，并指出合格资产和验收集之间的密切相互作用。他们使用由初始单一价格S定义的交易资产S=（S，ST）∈ R> 0及其随机回报ST：Ohm → R≥0并将方程式（1.1）中的r替换为随机返回值，得出扩展定义ρA，S（XT）=infnm∈ RXT+mSST∈ Ao。（1.2）术语Msstis被解释为资产S的收益。因此，将其写成ρA，S（XT）/S，也可以将此风险度量视为需要购买并添加到头寸XT以使其可接受的最小数量的ST单位。选项S=（1，r1Ohm) 强调等式（1.1）是等式（1.2）的特例。如果Sti的界远离零，这意味着对于某些ε>0的情况，不等式ST≥ εholds（P-a.s.），将后者减少到初始定义是立即的，并且构成了具有恒定回报的简化方法的基础。不幸的是，假设回报率为零，则从可能的合格资产集中排除了相关金融工具，如可违约债券或期权。

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2022-5-26 21:18:10

此外，减少可能会导致对验收集施加的结构进行更改。因此，允许合格资产的收益不一定为零，这是分析几个具体财务状况的关键点。然而，无论风险度量的具体定义如何，这些方法都符合[ADEH99，第2.1节]的观点：“获得足够的这类或这些[普遍接受的]工具的当前成本是衡量最初不可接受头寸风险的一个很好的候选者。”这一开创性的想法不仅允许人们根据自己的风险对财务职位进行排名，而且还建议了一种让不可接受的职位被接受的程序。参考[ADEH99]中的现金可加性（公理T），P.Artzner，F.Delbaen，J.Eber和D.Heathclaim，在[ADEH99，备注2.7]中指出，“通过坚持参考现金和时间，[…]我们的方法比解释更深入[…]“风险度量的主要功能是对风险进行适当排序。”然而，为了真正超越风险排序并应用此程序，必须携带或提高货币金额ρA，S（XT）。这就提出了一个问题，即该方法适用于哪种范围，以及如何将额外资本的获取纳入风险度量。一种可能的方法是出售部分财务头寸，以筹集资本并投资于合格资产，正如【ADEH99，第2.1节】：“针对不可接受的风险[…]一种补救办法可能是改变立场。”我们工作的目的是将这一思想发展为一类新的风险度量，我们称之为内在风险度量。传统的风险度量是通过（假设的）额外资本来定义的，但在现实中并不总是可用的。

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2022-5-26 21:18:13

因此，我们提出了一类风险度量，仅允许使用财务状况中包含的内部资本。这一新概念导致人们的心态发生了重大变化。它扩展了应用范围，消除了有限值的问题。它还需要关注头寸的初始价值及其与所需合格资产的相互作用。我们根据接受集A开发我们的方法 X作为主要对象，在一般合格资产的扩展框架上S=（S，ST）∈ R> 0×A.利息金融头寸的内在风险X=（X，XT）由其初始值X确定∈ R> 0和未来收益或净值XT∈ X由a给出，S（X）=infnλ∈ [0,1]（1）- λ）XT+λxst∈ Ao。（1.3）内在风险度量返回初始时需要出售并再投资到合格资产中的给定头寸的最小百分比，从而使产生的头寸被视为可接受。通过出售部分头寸，筹集所需资本并进行再投资，从而形成两个随机变量的凸组合。这种方法提出了一种将可接受位置移向接受集的新方法。特别是，对采用固定值并失去其操作适用性的风险度量的处理变得过于复杂。此外，标准性质（如单调性和拟凸性）得以保持，并且可以仅使用基础接受集的结构来施加这些性质。随后的工作是从A.Smirnow（Smi16）的硕士论文发展而来，其结构如下。第2节介绍了接受集和传统风险度量的概念，将这两个概念联系起来，并回顾了重要的属性。本课程旨在简要概述风险度量理论的进展，并为内在风险度量奠定基础。

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2022-5-26 21:18:16

在第3节中，我们定义了内在风险度量，并推导了与传统风险度量并列的基本属性。在第4节中，在二次曲线接受集的假设下，我们将内在风险度量与传统风险度量相关联，并证明它们可以表示为彼此的函数。此外，使用这种表示，我们表明内在风险度量产生了在确保同等性能的同时达到可接受性所需的较小数量。在Convex接受集的设置中，第5节首先简要总结了传统风险度量的标准对偶结果，然后推导了内在风险度量的对偶表示。最后，第6节给出了结论和对可能的扩展和问题的简短展望。在本文中，我们使用风险价值接受集来说明新概念和结果，并演示内在风险度量的计算和应用。2术语和预备知识在本节中，我们将介绍常用术语、验收集和传统风险度量的一般概念。目的是为我们建立框架奠定基础。在本节末尾，对内在风险度量的动机进行了展望。在整个研究过程中，我们将研究无原子概率空间(Ohm,F、 P）。为了简化和呈现流程，我们考虑本质有界随机变量X=L空间上的财务位置∞(Ohm,F、 P）赋予P-几乎确定序和P-本质上确界范数。然而，对于无模型可测空间上的有界随机变量，大多数结果都是最好的(Ohm,F），甚至在任意序实拓扑向量空间上具有更大的通用性。

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2022-5-26 21:18:19

我们将明确指出哪些地方可以立即扩展。2.1可接受性设置在金融领域，持有满足特定可接受性标准的头寸是一项中心任务，这些头寸可能代表自己的偏好，也可能具有监管性质。这些标准可以通过所谓的验收集纳入数学框架。以下定义确定了验收集的一般结构，它反映了“最小”人类原理。定义2.1 A子集A 如果X满足o非平凡性：A 6=/0和A X，以及o单调性：XT，则称为接受集∈ A、年初至今∈ X和YT≥ XTIMPLE YT∈ A、元素XT∈ A被称为A-可接受，如果对A的引用是明确的，则称为A-可接受。同样，XT/∈ A被认为是（A-）不可接受的。非平凡性在数学上很重要，也代表了现实世界的需求，因为我们不仅会接受任何糟糕的情况，另一方面，由于任何事件都需要短期反应，因此必须始终有可接受的行动。单调性实现了这样一种理念，即任何财务头寸都支配着订单上可接受的头寸≤ 也必须是可接受的。这两条公理构成了验收集的基础。根据上下文的不同，通常有必要施加进一步的结构，我们为框架相关属性调用了三个。如果XT，则称A为圆锥或圆锥∈ A意味着对于所有λ>0的情况，也意味着λXT∈ A、 o凸面if XT，YT∈ A意味着对于所有λ∈ [0,1]也λXT+（1- λ）YT∈ A、 o如果A=(R)A，则关闭。锥体属性允许任意缩放其可接受状态不变的财务头寸。凸性代表了多样化的原则：给定两个可接受的位置，这些位置的任何凸组合都是可以接受的。第2.2节将讨论这两个属性如何转化为货币风险度量。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:18:23

在考虑可接受位置序列的限制时，封闭性非常重要。除此之外，它还具有经济动机，因为它禁止任意的小干扰，以使可接受的头寸受益并使其可接受。下一个引理总结了验收集的一些有用属性，这些属性将在后续章节中使用。引理2.2让A X为验收集。那么下面的断言就成立了。A包含所有足够大的常数，没有足够小的常数。2、ST∈ int（A）当且仅当存在ε>0，使得ST- ε1Ohm∈ A、 3。内部int（A）和闭包\'A是验收集，int（A）=int（\'A）。4、如果A是圆锥体，则int（A）和'A是圆锥体，0/∈ int（A）和0∈(R)A.证明1。由于A是X的一个非空的真子集，单调性意味着任何常数支配某个XT∈ A包含在A中，且没有由某些YT支配的常数/∈ A.2中包含的Ais。假设ST-ε1Ohm∈ A、对于某些ε>0。δ的自∈ （0，ε）和XTin球Bδ（ST）={YT∈ X | kYT-STkL公司∞（P） <δ}不等式XT-（ST-ε1Ohm) ≥ （ε-δ）1Ohm> 0保持不变，单调性意味着ST∈ int（A）。另一个方向直接来自内部的定义。3、断言3的证明遵循了[FKMM14b]中引理2.3（iv）和（v）的证明，并被省略。4、给定ST∈ int（A），断言2和锥属性产生λ（ST- ε1Ohm) ∈ A、对于某些ε>0和所有λ>0。那么断言2的另一个方向意味着λST∈ int（A）。吉文斯特∈\'A，取序列{SnT}n∈N 具有极限ST的A。则圆锥度表示{λSnT}n∈N A、对于任何λ>0，我们得出结论，λSt属于'A。以表明0/∈ int（A）承担合同责任。然后通过断言2，我们发现ε>0-ε1Ohm∈ A、圆锥性质和单调性意味着A=X，这是一个矛盾。对于最后一部分，取递减序列{λn}n∈正在转换为0和ST∈ A.

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2022-5-26 21:18:28

圆锥度表示{λnST}n∈N A我们得出结论0∈(R)A.备注2.3引理2.2可以在可测量空间的无模型环境中陈述(Ohm,F），参见[FKMM14b，引理2.3]。此外，它在很大程度上可以推广到一般的序拓扑向量空间。例如，参见[FKMM14a]中的第2节和第3节。然而，对于一般空间，有必要用一个重新定义的概念（如核心）来代替内部。我们以所谓的值atRisk接受集的著名示例来结束这一小节。示例2.4（风险价值接受）适用于任何概率水平α∈0，setAα={XT∈ X | P[XT<0]≤ α} 定义了一个闭合的圆锥接受集，该接受集通常不是凸的。几个简短的计算证明Aα是一个二次曲线接受集。表明α在L中是封闭的∞（P）考虑序列{XnT}n∈N Aα收敛到某个XT。对于任意δ>0和任意n∈ N下列不等式成立，P[XT<-δ] =P[XT<-δ，XnT<-δ] +P[XT<-δ，XnT≥ -δ]≤ α+P[| XnT- XT |>δ]。由于范数收敛意味着概率收敛，我们可以让n→ ∞ 和getP[XT<-δ]≤ α。它遵循P[XT<0]=limδ→0P[文本<-δ]≤ α。为了证明aα不是凸的，我们使用圆锥度将问题简化为查找XT，YT∈ Aα，例如xt+YT/∈ Aα。对于两个不相交的子集A、B∈ F，其中P[A]=P[B]=α选项XT=-1A和YT=-1b得出所需的不等式。备注2.5该示例可直接扩展到Lp(Ohm,F、 P），对于P∈ [0，∞). 详情可参见C.Munari的论文【Mun15，第2.4.1节】。2.2传统风险度量本小节介绍了金融机构常用的传统风险度量的概念。验收集决定了“好”和“坏”的含义。传统的风险度量方法可以确定这种差异，并允许我们根据r1方向的距离对财务头寸进行排序Ohm（或ST/S）至验收集。

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何人来此

2022-5-26 21:18:32

为了明确区分这些风险度量和内在风险度量，我们按照【ADEH99，定义2.1】定义了传统风险度量的类别。定义2.6传统的风险度量是从X到R的映射。在第3节中，我们将看到内在风险度量定义为R>0×X。在下文中，我们回顾了一些著名的传统风险度量方法。对于该let XT，yt和r=r1Ohm是X的元素，ρ表示传统的风险度量。2.2.1一致的风险度量不同的风险度量构成了现代风险度量理论的历史基础。P、 Artzner、F.Delbaen、J.Eber和D.Heath【ADEH99】通过以下一组公理对其进行了定义。如果满足o单调性：XT，则传统风险度量称为一致性≥ y倍数ρ（XT）≤ ρ（YT），o现金可加性：对于m∈ R我们有ρ（XT+mr）=ρ（XT）- m、 o正均质性：对于λ≥ 0我们有ρ（λXT）=λρ（XT），次加性：ρ（XT+YT）≤ ρ（XT）+ρ（YT）。单调性递减使我们能够根据风险对财务头寸进行排序。现金可加性构成了将风险度量解释为额外所需资本量的基础。将该资本添加到财务状况中，其风险变为0，通过现金可加性，ρ（XT+ρ（XT）r）=0。这些假设似乎在资本要求的背景下是自然而然的，它们真正体现了H.F¨ollmer和A.Schied在[FS04，定义4.1]中提出的“货币风险度量”一词。2.2.2然而，由于风险可能表现为非线性，因此可能无法满足正同质性。一个可能的变化是H.F¨ollmer和A.Schied[FS04]围绕以下特性讨论风险度量凸性：Ifλ∈ [0，1]，然后ρ（λXT+（1- λ）YT）≤ λρ（XT）+（1- λ）ρ（YT）。一个简短的计算表明，在正齐次性下，次可加性和凸性是等价的。H

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nandehutu2022

2022-5-26 21:18:36

F¨ollmer和A.Schied【FS04，定义4.4】决定放弃同质性，用凸性代替次加性，并将结果称为风险的凸度量——如果加入正同质性假设，则该度量变得一致。有趣的是，到目前为止，我们所看到的公理与我们的接受集形成了规范的联系。命题2.7任何货币风险度量ρ：X→ 定义验收集ρ={XT∈ X |ρ（XT）≤ 0}。（2.1）此外，如果ρ是正齐次的，则ρ是锥，如果ρ是凸的，则ρ是凸的。另一方面，每个接受集通过ρA（XT）=inf{m定义货币风险度量∈ R | XT+mr∈ A} 。（2.2）类似地，如果A是圆锥，则ρAis为正齐次，如果A是凸的，则ρAis为凸的。尤其是，这意味着ρAρ=ρ和A AρA，等式A=AρAif验收集关闭。证明该证明类似于[FS04]中关于有界可测函数的命题4.6和命题4.7的证明(Ohm,F）。命题2.7允许我们通过已知的风险度量和反之亦然定义接受集，如以下示例所示。提案2.7可以针对更一般的空间X和合格资产进行陈述，有关这一点，请参见提案2.9。示例2.8（风险价值接受）给定概率水平α∈0，我们定义了所有随机变量的风险度量值(Ohm,F） byVaRα（XT）=inf{m∈ R | P[XT+m<0]≤ α} ，XT的上α-分位数的负值。与命题2.7相对应，VaRα接受集由aα给出：=AVaRα={XT∈ X | VaRα（XT）≤ 0}。让我们回忆一下闭二次曲线集{XT∈ X | P[XT<0]≤ α} 来自示例2.4。通过方程式（2.2）确定的风险度量值就是风险值。

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2022-5-26 21:18:40

所以我们得出结论，aα={XT∈ X | P[XT<0]≤ α} VaRα是一个正的同质货币风险度量，一般来说，它不是凸的，因此不一致。2.2.3风险度量的现金次可加性和拟凸性n。El Karoui和C.Ravanelli【EKR09】指出，在存在随机利率的情况下，现金可加性公理依赖于这样一种假设，即贴现过程不会带来额外风险，因为在应用风险度量之前，财务状况会被贴现。为了放宽这一限制，他们引入了现金次可加性的性质，将现金可加性条件中的等式改为不等式\'≥’. 然而，S.Cerreia Vioglio、F.Maccheroni、M.Marinacci和L。

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2022-5-26 21:18:43

Montrucchio【CVMMM11】解释说，在现金次可加性下，凸性并不是多元化原则的严格代表，多元化原则转化为以下风险度量要求分流原则：如果ρ（XT），ρ（YT）≤ ρ（ZT）满足，则对于所有λ∈ [0，1]也ρ（λXT+（1- λ）YT）≤ ρ（ZT）保持不变。用max{ρ（XT）替换ρ（ZT），ρ（YT）}得到了o拟凸性的等价和最近重要的性质：Ifλ∈ [0，1]，然后ρ（λXT+（1- λ）YT）≤ 最大值{ρ（XT），ρ（YT）}。有趣的是，准凸性等价于现金可加性下的凸性，因为对于ρ（XT）的任意两个头寸≤ ρ（YT）我们发现一个m∈ R≥0使得ρ（XT- mr）=ρ（YT），所以我们得到任何λ∈ （0,1）ρ（λXT+（1- λ）YT）+λm≤ 最大{ρ（XT- mr），ρ（YT）}=λρ（XT）+（1- λ）ρ（YT）+λm。如【Smi16，示例2.10】所示，在现金次加性下，这种等价性并不成立，因此有必要明确实施多元化原则，从而引入现金次加性准凸风险度量。2.2.4一般货币风险度量尽管如此，随机利率可以通过在[FKMM14a]和[FKMM14b]中引入和处理的风险度量直接解决，ρA，S（XT）=infnm∈ RXT+mSST∈ Ao。（2.3）这种方法避免了贴现，因为随机合格资产被纳入了风险度量中。此外，C。

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2022-5-26 21:18:46

Munari对贴现率进行了广泛的讨论，揭示了[Mun15]第1.3节中接受集层面贴现的进一步基本问题。方程式（2.3）定义了广义货币风险度量，该度量满足特定合格资产的以下要求S=（S，ST），oS-可加性：如果m∈ R、则ρ（XT+mST）=ρ（XT）- 此外，这种一般设置产生了准凸性和凸性的等价性，并且在接受集和风险度量之间表现出类似的对应关系。以下结果将命题2.7扩展到随机合格资产。第4节和第5节将使用它来关联传统风险度量。命题2.9如果我们替换L，则命题2.7成立∞(Ohm,F、 P）对于任何符合条件的资产S=（S，ST），通过任何实数序拓扑向量空间、通过S-加性的现金加和性以及通过方程式（2.3）的方程式（2.2）∈ R> 0×A.证明参见[Mun15]中命题3.2.3、3.2.4、3.2.5和3.2.8的证明。命题2.7中的第二个主张来自两个简短的计算。2.3回到财务绘图板上，前一节中的所有风险措施的基础是通过合格资产或直接作为货币向现有财务状况中添加额外资本。因此，使不可接受头寸XT可接受的程序是至少筹集“最低”所需资本ρA，S（XT）并将其投资于S。但这种方法没有解决提供资本的问题和无法获得足够资本的风险。在文献中，作者甚至专注于确保这一数额保持不变。

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2022-5-26 21:18:49

除了财务状况无法达到可接受集这一事实外，最终值对于应用和运营解释没有实际影响，因为额外资本会被搁置。在下一节中，我们将提出不同的行动。如引言中所述，由于传统的风险度量是通过假设的额外资本定义的，而在现实中并不总是可用的，因此我们在下文中引入了一个风险度量，该风险度量仅允许使用财务状况中包含的内部资本。我们建议使用预先指定的可用资本金额、财务状况的现值，并将其投资于合格资产。这种方法对改变的位置有两种同时的影响。首先，我们出售部分头寸，以降低其中的潜在风险。其次，我们将收购的资本投资于一项合格资产，根据定义，该资产具有可接受的风险。这一过程产生了财务状况和可靠资产倍数的凸组合。其结果是更直接地通向验收集，成本更低，其总成本受财务状况初始值的限制。3内在风险度量根据上述动机，我们在本节介绍新方法。根据一般合格资产的框架，我们在第3.1节中定义了内在风险度量。图3.1说明了该方法背后的直觉以及与传统风险度量的差异。在第3.2节中，将此度量的新兴属性与传统度量的属性并置研究。3.1从这里引入内在风险度量，我们明确考虑一个单期经济体，起始时间为0，到期时间为T。

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2022-5-26 21:18:52

方程（2.3）中使用的合格资产由S=（S，ST）对给出。这一特征现在扩展到任何财务状况。定义3.1财务状况定义为产品空间R>0×X。1、调用X=（X，XT）∈ R> 0×X扩展财务头寸。xdenotest数字表示期初头寸的价格，xt表示到期头寸的随机收益或净值。2、给定接受集A，调用S=（S，ST）∈ R> 0×A扩展合格资产ifST≥ 我们将保留财务状况和合格资产这两个术语，以表示其扩展版本。随机变量总是有一个下标T，所以没有混淆的风险。在此基础上，我们现在可以介绍宣布的类。定义3.2（内在风险度量）让 X是一个验收集，让我们∈R> 0×A为合格资产。内在风险度量是一个映射RA，S:R>0×X→ [0，1]由a定义，S（X）=infnλ∈ [0,1]（1）- λ）XT+λxst∈ Ao。（3.1）备注3.3上述引入的职能部门将风险衡量为金融头寸X的最小百分比a，S（X），该头寸必须在开始时以XRA，S（X）的金额出售，然后必须再投资到合格资产S中，以便产生的头寸可以接受。下面的例子中，我们提供了这些措施如何运作的第一直觉，以及与传统风险措施相比的主要区别。示例3.4考虑下面的图3.1，并将A设为任意闭合接受集。图3.1（a）所示的传统方法产生了可接受的改变位置xρT：=XT+ρa，S（XT）SST。图3.1（b）所示的内在风险度量给出了usXRT：=（1- RA，S（X））XT+RA，S（X）XST。我们指出了内在风险度量的两个特征：o位置xrt位于A的边界上，就像XρT一样∈ A在传统方法中。

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2022-5-26 21:18:56

这将在提案3.10中得到证明如果另外A是如图3.1所示的圆锥，我们可以看到Xρ是XRT的倍数。实际上，如果RA，S（X）∈ （0,1），那么我们有关系xrt=（1- RA，S（X））XρT。有关更多详细信息，请参见推论4.7和备注4.8。（a）传统方法（b）内在方法图3.1：合格资产的收益（黄色D）用于使不可接受头寸（蓝色2）可接受（绿色#）。以下命题提供了良好状态的两个条件。提案3.5让A X是验收集，S是合格资产。如果A是一个圆锥体，orA包含0，则RA在R>0×X上定义良好。寻找最小λ时的证明∈ [0,1]这样（1- λ）XT+λxsst属于A，将xin全部投资于合格资产，即选择λ=1，只要xst∈ A、 1。如果A是圆锥体和ST∈ A、然后λST∈ A、对于任何λ>0.2。自0起∈ A和ST≥ 0，A的单调性意味着λST∈ A、对于任何λ≥ 0。由于定义X，S>0，因此断言如下。备注3.6 1。假设0∈ A已经进入了金融文献。例如，所有非负随机变量都包含在A中，这相当于[ADEH99]中的公理2.1。此外，在[FS04，定义4.1]中引入的归一化特性ρ（0）=0意味着0∈ A如果验收集关闭。在这种情况下，A的圆锥度也意味着0∈ A、 2。通常，至少需要命题3.5中的一个条件。必须小心处理更严格的可接受性标准，该标准规定了尺寸并拒绝正面位置。在这种情况下，对于某些常数c>0，限制RA，stor>c×X的定义可能是有意义的，这样Cst∈ A、 3。与传统的风险度量相比，内在风险度量无法获得不完整的价值，使得不完整性问题变得非常复杂。

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2022-5-26 21:19:04

如果A是一个圆锥体，命题3.12或替代定理4.1揭示了采用价值的传统风险度量之间的联系+∞ 内在风险测度等于1。然而，有限值在应用中几乎没有意义，而内在风险为1表明从XTTOXST过渡到SST是可行的。与传统风险度量的另一个显著区别是，内在风险度量不取负值。虽然传统风险度量在接受集边界周围表现出一种对称形式，将财务头寸转换到该边界，而不管其可接受性如何，但内在风险度量不会改变可接受头寸。通过这种方式，强调了使用可接受性标准的主要目标，仅将不可接受的位置移动到可接受集中。5、产品XRA，S（X）∈ 初始值Xis为金额的内在风险的[0，X]。这将用于比较推论4.10.6中内在风险度量与名义货币风险度量。定义的直接结果是，对于αX=（αX，αXT）且α>0，则RA，S（αX）=Rα-1A，S（X）。这一等式允许我们根据金融头寸的回报确定内在风险度量，设定α=（X）-特别是，如果A是一个圆锥体，那么该度量有效地对收益进行操作，因为它是尺度不变的。我们将在推论4.6中再次讨论这个属性。然而，我们认为第一种方法更加透明，我们将明确跟踪初始值X和S。示例3.7考虑风险接受值集Aα={XT∈ X | P[XT<0]≤ α} 来自示例2.8。用fx表示XT的连续累积分布函数和逆F-1X。

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2022-5-26 21:19:08

假设XT/∈ Aα，这意味着F-1X（α）<0，且设ST=rSOhm> 0为常数，这意味着ST∈ int（Aα）（参见[FKMM14a，命题3.6]或LPSpace参见[FKMM14b，引理4.1]）。我们将在第3.2节中看到，在这种情况下，我们可以将λ限制为（0,1），以便我们可以写入α，S（X）=infλ∈ [0,1]| Xλ，ST∈ Aα= inf公司λ∈ （0,1）| P[Xλ，ST<0]≤ α= inf公司λ∈ （0,1）| FX(-（1）- λ）-1λrX）≤ α=F-1X（α）F-1X（α）- rX=VaRα（XT）rX+VaRα（XT）。因此，当我们使用α来定义内在风险度量时，我们可以将其写为相应传统风险度量的函数。定理4.1.3.2内在风险度量的分类将给出更直接、更一般的推导。在本节中，我们旨在通过内在风险度量的性质将其和传统风险度量进行比较。我们从几何性质及其与内在风险度量图像的联系开始。然后，我们考虑单调性，一种平移关系，并在本节结束时讨论拟凸性。在后续研究中，可以方便地确定中间位置。α的定义3.8∈ [0,1]确定中间位置（X和S之间）Xα，S=（X，Xα，ST）=（X，（1- α） XT+αXSST）∈ R> 0×X，从X开始的头寸，已转移到合格资产的支付。线段{Xα，ST |α∈ [0,1]}如图3.1（b）中的虚线所示。特别令人感兴趣的是移位位置XRA，S（X），我们将其缩写为XR（X），S，而对A和S的引用是明确的。3.2.1内在风险度量和接受集之间的联系为了找到比较的基础，我们研究了内在风险度量与其定义接受集之间的关系。命题3.9（相关性）设A为封闭的接受集。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:19:11

对于任何财务状况X∈ R> 0×X它认为RA，S（X）>0当且仅当XT/∈ A、证明A是闭合的，RA，S（X）=0意味着X0，ST=XT∈ A、相反，如果XT∈ A、 theninf{λ∈ [0,1]|（1- λ）XT+λxst∈ A} =0。下一个命题证明了示例3.4中的第一个断言。命题3.10设A为封闭验收集。对于任何财务状况X，带RA，S（X）∈ （0,1）我们有XR（X），ST∈ A、由于A是闭合的，所以证明XR（X），st属于A by定义。现在矛盾地假设XR（X），STlies在A的内部。然后存在δ>0，使得ballBδ（XR（X），ST） int（A）。特别是对于0<ε<δkXT-XSSTk公司-1.∞元素XR（X）-ε、 STliesin Bδ（XR（X），ST），因此，RA，S（X）不是与其定义相矛盾的最大值。请注意，对于带RA的X，S（X）∈ {0,1}中间位置并非先验地属于a的边界，因为X0，ST=X和X1，ST=xst可能属于a。然而，我们将在命题3.12中看到，如果a是圆锥，则只有当ST∈ A、在下一个结果中，我们表明，我们可以将XR（X）、st从边界进一步移向sxstwi，而不必留下凸或圆锥接受集。命题3.11设闭合接受集A为圆锥体或凸0∈ A让我们成为合格的资产。然后{Xα，ST |α∈ [RA，S（X），1]} A、根据命题3.10的证明，我们知道XR（X），ST∈ A、不限制RA，S（X）为（0,1）。如果A是凸的，那么对于β∈ [0,1]元素（1- β）XR（X），A中的ST+βXSSTlies。但这只是Xα的重新参数化，阻碍了地图[0，1]→ 【RA，S（X），1】由β7定义→（1）- RA，S（X））β+RA，S（X）=：α，因此断言如下。如果A是圆锥体而非凸体，则λXR（X），ST∈ A、对于所有λ≥ 0.对于任何α∈ [RA，S（X），1]我们设置λ=1-α1-RA，S（X），观察α- λRA，S（X）=α-RA，S（X）1-RA，S（X）∈ [0,1]。

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kedemingshi

2022-5-26 21:19:16

自ST≥ 0我们得到不等式Xα，ST=λXR（X），ST+（α- λRA，S（X））xst≥ λXR（X）、ST和单调性产生断言。在命题3.10中，我们假设RA，S（X）<1。如上所述，这种不平等取决于合格资产的选择。命题3.12与传统风险度量的某些确定性结果直接类比，见备注3.13。命题3.12设A为闭二次曲线接受集，设S为合格资产。当且仅当ST∈ int（A）。证明假设RA，S（X）<1，对于所有X∈ R> 0×X\\A.引理2.2第4节的结果是，A中不包含严格的负常数。特别是，元素C=（C，CT）：=（C，-c1类Ohm) 对于某些常数c>0，位于R>0×X\\A。命题3.10暗示nowCR（C），ST=-c（1- RA，S（C））1Ohm+ RA，S（C）cSST∈ A、利用圆锥特性，我们知道S（C）CR（C），ST=-S（1- RA，S（C））RA，S（C）Ohm+ ST公司∈ A、但S>0和RA，S（C）∈ （0,1），因此引理2.2断言2意味着ST∈ int（A）。对于“if”方向，假设ST∈ int（A）。引理2.2断言3，也就是X1，ST∈ int（A）。与命题3.10的证明类似，我们发现δ>0和0<ε<δkXT-XSSTk公司-1.∞例如X1-ε、 ST公司∈ Bδ（xst） int（A）。我们得出结论，RA，S（X）<1。备注3.13命题3.12类似于传统风险度量的某些不确定性结果，如下等价物所示，ρA，S（XT）是有限的当且仅当∈ int（A）。有关详细信息，请参见[FKMM14b]中的定理3.3和推论3.4，或者更一般地说，对于任意（预）序拓扑向量空间，类似结果如[FKMM14a]中的Proposition 3.1所示。

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2022-5-26 21:19:19

内在风险测度equalto 1与传统风险测度取值的显式联系+∞ 将在定理4.1中通过二次曲线接受集上的表示结果建立，也通过传统的风险度量提供了建议3.12的替代证明。3.2.2内在风险度量的单调性在本节中，我们证明了A的单调性意味着内在风险度量是递减函数，与传统方法类似。然而，在大于0×X的乘积间隔上，我们可以考虑两个兼容的排序，o元素控制：X>elY如果X≥ Yand XT公司≥ YT和o返回控制：X>retY ifXTX≥年初至今。第一个排序描述了位置X在接收和到期时都支配Y的情况。然而，从财务角度来看，对初始价值较低但在到期时表现优异的机构进行处罚可能会受到限制。secondordering合并了此案例，并就其退货订购头寸。命题3.14（单调性）设A为包含0的接受集，设S∈ R> 0×Abe为合格资产，设X，Y∈ R> 0×X。1、如果X>elY，则RA，S（X）≤ RA，S（Y）。2、如果A另外是一个圆锥体，则X>retY表示RA，S（X）≤ RA，S（Y）。证明取任意λ∈ [0,1]使得Yλ，ST∈ A、 1。自ST≥ 0，元素控制意味着Xλ，ST≥ Yλ，ST，因此通过A，Xλ，ST的单调性∈ A表示RA，S（X）≤ RA，S（Y）。2、假设X支配Y返回方向。圆锥度隐含xyyλ，ST∈ A、 NowXYYλ，ST=X（1）- λ）YTY+λSTS≤ 十、（1）- λ）XTX+λSTS= Xλ，ST，所以A的单调性意味着Xλ，ST∈ A、因此，RA，S（X）≤ RA，S（Y）。3.2.3内在风险度量的转移性质和准凸性我们从一个可以与传统风险度量的S-可加性联系起来的转移性质开始本节。

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2022-5-26 21:19:24

然而，由于内在风险度量是以百分比而非货币金额计算的，因此简单地增加STI单位并不合适。相反，我们比较了中间位置Xα及其原始位置X的风险。在第二部分中，我们证明了内在风险度量是准凸的。X提案3.15∈ R> 0×X\\A和α∈ [0，RA，S（X）]我们有RA，S（Xα，S）=RA，S（X）- α1- α。（3.2）证明固定α∈ [0，RA，S（X）]。使用双射[0,1]→ 【α，1】由λ7给出→ （1）- λ） α+λ=：(R)λ，直接计算yieldsRA，S（Xα，S）=infλ∈ [0,1]（1）- λ）Xα，ST+λxst∈ A.= inf公司λ∈ [0,1]（1）- λ）（1- α） XT公司+（1）- λ）α+λXSST公司∈ A.=1.- αinf公司\'\'λ∈ [α，1]（1）-\'λ）XT+\'λXSST∈ A.- α=RA，S（X）- α1- α。最后一个等式成立，因为α≤ RA，S（X）。接下来，我们讨论凸性和拟凸性。乘积空间R>0×X上的凸组合是按元素理解的，我们写出αX+（1- α） Y：=（αX+（1- α） Y，αXT+（1- α） YT）∈ R> 0×X。因此，考虑到两个未来位置Xt和Yt的凸组合会导致其初始值X和Y的凸组合。与传统风险度量相比，接受集的凸性意味着内在风险度量的拟凸性。命题3.16（拟凸性）设A为包含0的闭凸接受集，设S为合格资产。然后RA，Sis准凸，这意味着对于所有α∈ [0,1]和任意X，Y∈ R> 0×XRA，S（αX+（1- α） Y）≤ max{RA，S（X），RA，S（Y）}，通常，RA，Sis不是凸的。证据1。首先我们证明了RA，Sis不是凸的。为此，考虑Ra、S（X）>0和α的位置X∈ （0，RA，S（X））。简单计算得出凸组合（1- β）X+βXα，Sis等于Xαβ，S。我们现在可以使用方程（3.2）来表示（1- β）RA，S（X）+βRA，S（Xα，S） RA，S（Xαβ，S）。例如，取一个X，其中RA，S（X）=，α=β=。

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2022-5-26 21:19:27

那么我们有RA，S（Xα，S）=RA，S（X）-α1-α=和RA，S（Xαβ，S）=。因此，RA，S（（1- β） X+βXα，S）=>=（1- β） RA，S（X）+βRA，S（Xα，S），表明RA，Sis不是凸的。现在我们证明了拟凸性。假设不丧失一般性RA，S（X）≤ RA、S（Y），或者交换X和Y。根据命题3.10，由于我们允许RA，S（Y）∈ {0,1}，wehave YR（Y），ST∈ A、自RA，S（X）≤ RA，S（Y），命题3.11得出XR（Y），ST∈ A、 sinceA是凸的，αXR（Y），ST+（1-α）年（Y），ST∈ A、对于所有α∈ [0,1]。所以对于任何α∈ [0,1]，随机变量（1- λ）（αXT+（1- α） YT）+λαX+（1- α） YSST=αXλ，ST+（1- α） Yλ，ST（3.3）属于A∈ [RA，S（Y），1]。因此，对于所有α∈ [0，1]我们有a，S（αX+（1- α） Y）（3.3）=infnλ∈ [0,1]|αXλ，ST+（1- α） Yλ，ST∈ Ao公司≤ RA，S（Y）=max{RA，S（X），RA，S（Y）}，表示内在风险测度的拟凸性。我们使用示例2.4中的非凸风险值接受集，证明了A的凸性对于内在风险度量的拟凸性是必要的。例3.17考虑例2.4中的闭合圆锥验收集Aα。我们显示XT=-1A，YT=-1对于不相交的A、B∈ P[A]=P[B]=α的F包含在Aα中，而（XT+YT）不包含在Aα中。根据命题3.9，我们得出结论，对于任何S，X，Y，RAα，S（X）=RAα，S（Y）=0，但RAα，S（（X+Y））>0。事实上，我们将在第4节中看到，如果示例=1Ohm, （X+Y）的内在风险是X+Y+1。实际上，设置λ=X+Y+1会产生概率P[XT+YT<-1] ，其中-1实际上是最大值x，因此p[XT+YT<x]≤ α。准凸性也适用于合格资产的凸组合。命题3.18设A是一个封闭的凸接受集，包含0，且fix A A f财务位置x∈ R> 0×X。

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2022-5-26 21:19:31

对于任何α∈ [0,1]和任何两项合格资产∈ R> 0×A，初始价格相同P=S=Swe have，RA，αS+（1-α） S（X）≤ max{RA，S（X），RA，S（X）}。证明类似于命题3.16的证明，假设RA，S（X）≤ RA，S（X），所以XRA，S（X），ST，XRA，S（X），ST∈ A、特别地，这两者的任何凸组合都属于。观察任何λ∈ [0,1]αXλ，ST+（1- α） Xλ，ST=（1- λ） XT+λXP（αST+（1- α） ST）=Xλ，αS+（1-α）该断言如下所示，如命题3.16的证明所示。备注3.19这些结果描述了风险度量的对称性，即可以在验收集内外进行凸组合，而不会失去对风险的控制。命题3.16和命题3.18共同表明，使用合格资产S，sis的任何凸组合，X，Y的任何凸组合的风险以四个值RA，S（X），RA，S（X），RA，S（Y）和RA，S（Y）的最大值为界。4圆锥曲线接受集的表示和效率示例3.7中得出的内在风险度量可以写成其传统对应项的函数。在本节中，我们将看到，如果基础接受集是闭合的，则命题2.7和命题2.9会产生一个替代表示。使用这种表示法，我们表明，与传统方法相比，内在方法需要的资本总体较少，同时它产生的头寸具有相同的表现。4.1内在风险度量的替代表示我们现在将了解传统风险度量与其基础接受集之间的对应关系如何允许内在风险度量的替代表示。定理4.1（圆锥上的表示）设A为闭合圆锥接受集，设ρA，S（XT）=inf{m∈ R | XT+mSST∈ A} 。

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2022-5-26 21:19:35

关于同一接受集和合格资产的内在风险度量可以写成Ra，S（X）=（ρA，S（XT））+X+ρA，S（XT）。（4.1）证明考虑命题2.9。由于A是闭合的，我们有A=AρA，S，意味着ra，S（X）=inf{λ∈ [0,1]| Xλ，ST∈ A} =inf{λ∈ [0,1]|ρA，S（Xλ，ST）≤ 0}。现在ρA，Sis S-可加且正齐次。使用这个，我们可以重新排列为getRA，S（X）=infλ∈ [0,1]|ρA，S（XT）≤ λX+ρA，S（XT）.观察ρA，S（XT）≤ 0表示RA，S（X）=0。另一方面，如果ρA，S（XT）>0，那么我们可以求解λ，得到方程（4.1）中的形式。备注4.2注意，ρA处的奇异性，S（XT）=-Xin方程（4.1）可移除。我们可以明确定义RA，S（X）=0∈ A或writeRA，S（X）=（ρA，S（XT））+X+（ρA，S（XT））+。因此，我们在方程式（4.1）中保留了更简洁的符号。推论4.3 1。考虑ρA，\'r（XT）=inf{m∈ R | XT+m'r1Ohm∈ A} 和S=（S，rS），则内在风险度量采用以下公式：S（X）=（ρA，’r（XT））+r’rX+ρA，’r（XT）。（4.2）2。风险值定义为ρAα（X）=inf{m∈ R | XT+m1Ohm∈ Aα}，方程式（4.2）中的r=1，因此它采用示例3.7中导出的形式。我们认为，定理4.1起着核心作用，因为它允许我们直接联系到传统的风险度量，并使用该领域开发的结果。特别是，后续结果适用于实践中最常用的验收集，即风险值和预期短缺验收集，因为它们是锥体。作为一个例子，我们展示了锥上定义的内在风险度量是连续函数且小于1的情况。推论4.4设A是一个封闭的二次曲线接受集。当且仅当ST∈ int（A）。2、如果ST∈ int（X+），然后在R>0×X时RA、Sis连续。3、如果A是额外凸的，则ST∈ int（A）表示RA，S.Proof 1的连续性。我们已经在提案3.12中看到了这一结果。

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2022-5-26 21:19:40

定理4.1可与[FKMM14b]中的定理3.3结合使用，作为替代证明。图f：（x，x）7→x+x+xis在R>0×R上共同连续，另见备注4.2。根据[FKMM14a]中的命题3.1，如果ST∈ int（X+）。两个连续映射的合成X 7→ （X，ρA，S（XT））7→ f（X，ρA，S（XT））内在风险测度在R>0×X上是连续的。[FKMM14a]中的定理3.16给出了ρA，Son X的连续性。这一论断如第2部分所述。备注4.5注意，如果推论4.4中的第一个断言不是等价的，我们可以使用整个空间R>0×X作为：ST∈ int（A），然后RA，S<1，R>0×X。[FKMM14a]的应用结果适用于一般有序拓扑向量空间，thusalso推论4.4可以在这方面进行扩展。如备注3.6所述，定理4.1直接得出由二次曲线接受集定义的内在风险度量是尺度不变的。推论4.6设A为闭二次曲线接受集。然后是RA，Sis尺度不变量。证明A是一个锥，ρA，Sis正齐次。如果XT/∈ A、然后ρA，S（XT）>0，对于任何α>0，我们用定理4.1RA得到，S（αX）=ρA，S（αXT）αX+ρA，S（αXT）=αρA，S（XT）α（X+ρA，S（XT））=RA，S（X）。如果XT∈ A、然后是αXT∈ A、导致RA，S（X）=RA，S（αX）=0。我们可以扭转局面，用内在风险度量来表示货币风险度量。推论4.7设A为闭二次曲线接受集，设S为符合条件的资产∈ int（A）。在X\\A上，传统的风险度量值ρA可以用内在风险度量值RA，SasρA，S（XT）=XRA，S（X）1来表示- RA，S（X），（4.3）表示X=（X，XT）∈ R> 0×X\\A.任何XT的证明∈ 我们有ρA，S（XT）>0，根据命题3.12，ST∈ int（A）表示RA，在R>0×X\\A时S<1。

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2022-5-26 21:19:43

设置X=（X，XT），对于任何X>0，重新排列方程（4.1）将生成断言。推论4.7允许我们证明我们在示例3.4中的主张，即XρT：=XT+ρA，S（XT）SSTisa乘以XR（X），ST。在推论4.7的设置中，考虑示例3.4。我们有xr（X），ST=（1- RA，S（X））XρT.Proof除以XR（X），STby 1- RA，S（X），使用方程（4.3）我们得到1- RA，S（X）XR（X），ST=XT+XRA，S（X）（1- RA，S（X））SST=XT+ρA，S（XT）SST=XρT，所需关系。我们提出了（4.1）中的表示是否适用于非锥的凸接受集的问题。下一个命题表明，由于正同质性的丧失，表达式只是内在风险度量的上界。命题4.9设A是一个非圆锥的闭凸接受集。假设0∈ A、那么下面的不等式成立，RA，S（X）≤（ρA，S（XT））+X+ρA，S（XT），（4.4），如果XT相等∈ A、通过命题2.9证明，我们知道ρA，Sis凸且A=AρA，S。凸性，鞍性以及ρA，S（0）≤ 0表示不等式ρA，S（Xλ，ST）≤ （1）- λ） ρA，S（XT）+λρA，SXSST公司≤ （1）- λ） ρA，S（XT）- λX。由此我们建立了以下包含{λ∈ [0,1]|（1- λ）ρA，S（XT）- λX≤ 0} {λ∈ [0,1]|ρA，S（Xλ，ST）≤ 0}，表示（4.4）。4.2内在方法的效率根据传统风险度量的替代表示，我们可以比较内在方法和传统方法的管理行动成本。对于conic或Convex承兑集合，内在风险度量表明，由于部分原始头寸已售出，因此需要将总资本投资于合格资产的行为。推论4.10设A是一个二次曲线或凸接受集，并且在任何一种情况下都是闭合的。让X成为不可接受的财务状况，让我们成为合格的资产。

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kedemingshi

2022-5-26 21:19:47

然后是不等式xra，S（X）≤ ρA，S（XT）保持不变。证明如果A是凸的，则命题4.9意味着XRA，S（X）≤ XρA，S（XT）X+ρA，S（XT）。如果A是一个等式，我们就可以通过定理4.1得到一个等式。不等式XρA，S（XT）X+ρA，S（XT）≤ ρA，S（XT）总是应该，证明这个断言。备注4.11我们发现，将财务头寸转移到承兑集中所需的货币金额由初始值X控制。但与X的大小无关，部分初始头寸收到并投资于S的金额XRA，S（X）始终小于ρA，S（XT），如果初始头寸未售出，则需要该金额。由于部分头寸被出售，因此特别是可能的利润减少，而lessmoney被投资到合格资产中，因此必须确定内在风险度量产生的变动头寸不比传统方法的更差。在下文中，我们将从回报的角度讨论这一问题。为此，设X=（X，XT）为给定的财务状况。参考传统的风险度量，我们得到改变的位置XρT：=XT+ρA，S（XT）SST∈ A、所以在开始时，这个位置的总值是Xρ：=X+ρA，S（XT）。然后由分数XρT/Xρ给出返回值。另一方面，如果我们参考intrinsicrisk度量，则初始值Xis未更改，更改位置的返回值为xr（X），ST/X。下表总结了这些关系。固有近似传统近似初始值XX+ρA，S（XT）改变位置（1- RA，S（X））XT+RA，S（X）XSSTXT+ρA，S（XT）SSTreturn XR（X），ST/XXρT/Xρ有趣的是，如果A是二次曲线，这两个返回值相等。推论4.12设A为闭锥。让X成为不可接受的财务状况，让我们成为合格的资产。

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