具有路径相关损失的非参数稳健模型风险度量

2022-6-14 05:53:18

此外，从风险管理的角度来看，人们可能更感兴趣的是最坏的情况，而不是平均情况。Kerkhof等人（2002年）提出了一种风险区分措施，将最坏情况模型下的市场风险与名义市场风险分开。Cont（2006）遵循最坏情况方法，制定了一个量化框架，用于衡量衍生品定价中的模型风险。这种方法适用于一组参数化的替代措施，根据k sp的读数，这些措施将一些基准工具的价格设定在各自的出价范围内。继Cont的工作之后，Gup-ta等人（2010年）建议将偶然目标的价差定义为所有合法模型给出的价格集。Bann–or和Scherer（2013）提出了一个参数化风险框架，该框架统一了Cont（2006）、Gupta等人的建议。（2010）和Lindstrom（2010）。这种方法结合了参数值的分布，以捕获参数不确定性的风险，从而导致在面临参数风险的工具中进行投标。Detering和Packham（2016）基于剩余利润和损失来处理模型风险度量b的问题日期：2019年3月6日。2 YU Feng在参考模型中对冲。Kerkhof et al.（2010）提出了在计算资本储备时考虑模型风险的程序。他们没有根据一系列概率度量来制定模型风险，而是考虑实践者可能基于不同性质的模型来评估风险的现实。从实践角度来看，Boucher et al.（2014）提出了一种将模型风险纳入一般市场风险度量的方法。上述方法是参数化的，因为它们考虑了由一组有限参数参数化的替代模型。除此之外，Glasserman和Xu（2014）提出了一种非参数方法。

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2022-6-14 05:53:21

在此框架下，在参考模型的邻域内的备选模型中找到了最坏情况模型。Glasserman和Xu采用相对熵（或KullbackLeibler散度）来测量参考模型给出的概率测度和（等效）替代测度之间的距离b。通过对相对熵进行约束，以非参数方式定义合法替代模型集，然后可以在与参考模型的有限距离内分析解决最坏情况。这种方法是根据状态变量的分布而制定的，因此在状态变量动态演化时不太适用。在本文中，我们将其集中应用于状态过程的模型风险度量问题。我们用对偶公式解决这个问题，并借助函数伊藤演算处理路径依赖性（续20 16）。定义合法替代模式l s的约束条件是w.r.t f-d i收敛，这是一种比Kullback-Leibler发散更普遍的选择。2、问题公式Fix T∈ (0, ∞) 和d∈ N、然后让Ohm:= D（[0，T]，Rd）表示c\'adl\'ag路径集ω：[0，T]→ Rd.Let[0，T] t 7→ X（t）是上的正则过程Ohm, 也就是说X（t）（ω）：=ω（t），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 设F=（Ft）t∈[0，T]表示过滤Ohm 由X生成，也就是说ft：=\\u s∈[0，t]PX（s）-1（U）U∈ B（Rd）(c)=\\U s∈[0，t][U∈B（Rd）{ω∈ Ohm | ω（s）∈ U} ，对于所有t∈ [0，T]。在文章ar中，F：=PX（0）-1（U）U∈ B（Rd）(c)=[U∈B（Rd）{ω∈ Ohm | ω(0) ∈ U} 。将参考概率度量P固定在(Ohm, FT），根据条件P"AX（0）-1（U）"a=P（{ω∈ Ohm | ω(0) ∈ U} （）=如果0，则为1∈ U如果0，则为0/∈ U、适用于所有U∈ B（Rd），也就是说，在P下，几乎所有路径都从零开始。

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2022-6-14 05:53:23

注意，对于所有A，该条件确保P（A）=0或P（A）=1∈ F、为了与Cont（2016）中的符号保持一致，我们将写出ωt：=ω（t∧ ·) ∈ Ohm表示路径ω∈ Ohm 在时间t停止∈ [0，T]。我们施加一个等价关系~ 在[0，T]×上Ohm, 通过指定（t，ω）~ （t′，ω′）当且仅当t=t′，ωt=ω′t′，对于所有（t，ω），（t′，ω′）∈ [0，T]×Ohm. 也就是说，如果时间相等，且相应的停止路径为非参数稳健模型风险度量，且路径相关损失函数相同，则由时间和路径组成的两对是等价的。商集∧dT：=[0，T]×Ohm / ~ 形成一个完整的度量空间，当与度量d结合时∞: （λdT）→ R+，比亚迪定义∞"A（t，ω），（t′，ω′）"a：=sups∈[0，T]|ω（s∧ t）- ω′（s）∧ t′）|+| t- t′|=kωt- ω′t′k∞+ |t型- t′|，对于所有（t，ω），（t′，ω′）∈ ∧dT。我们参考∧dT，d∞) 作为停止路径的空间。可测函数F∧dT→ R被称为非预期泛函，其中∧dt被赋予由d生成的Borel-sigma代数∞R被赋予由通常的欧几里德度量生成的Borel-sigma代数。自（t，ω）~ （t，ωt），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 我们可以把非预期泛函F∧dT看作→ R是一个适当可测的函数F:[0，T]×Ohm → R表示条件F（t，ω）=F（t，ωt）。也就是说，当应用于特定的时间和路径时，非预期泛函的价值仅取决于路径在该时间之前的行为。注意（F（t，·））t∈[0，T]是一个逐步可测的过程，适用于过滤F。设M表示过滤概率空间（Ohm, FT，F，P），在紧时间间隔[0，T]上，和letM+（1）：={Z∈ M | Z>0且Z（0）=1}表示从1开始的非负鞅的子族。

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2022-6-14 05:53:26

每个Z∈ M+（1）定义概率度量QZon(Ohm, FT）满足QZ<< P（即QZis绝对连续w.r.t P），根据reci pe QZ（A）：=e"AAZ（t）"a，对于al l A∈ FT.相反，每个概率度量Q(Ohm, FT）satisf-ying Q<< P c可以写成q=QZ，其中Z∈ M+（1）由z（t）确定：=ECdQdPFta，对于所有t∈ [0，T]。考虑一个二次可微严格凸函数f:R+→ R满足f（1）=0。对于任何概率度量Q(Ohm, FT）满足Q<< P、 Qp相对于P的f-di收敛性由DF定义（QkP）：=ECfCdQdPa（2.1）（见Basseville 2013，第2节）。直觉上，f-散度提供了两个概率度量之间距离的度量。因此，setZη：={Z∈ M+（1）| Df（QZkP）6η}，其中η>0，对应于接近参考概率测度P的绝对连续概率测度族。最后，x一个非预期泛函l : ∧dT→ R令人满意l(0, 0) = 0. 我们需要翻译l（t，ω）为投资组合金融证券产生的截至t时的累计已实现损失。投资组合的状态完全由路径ω决定∈ Ohm. 参考概率测度guarantesp"AX（0）的条件-1{0}"a=P（{ω∈ Ohm | ω（0）=0}）=1，如下所示l（0，·）=0 P-a.s。也就是说，在参考概率测度下，投资组合产生的初始实现损失为零。如果我们将P解释为与投资组合动力学的名义模型相关联的概率测度d，4 YU Feng then E"Al（T，·）"a给出了名义模型下的预期总损失。在金融应用中，我们通常将终端时间T设置为整个投资组合清算的时间点，从而实现累积损失。现在，假设re对于哪种模型最能描述投资组合是不确定的。

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2022-6-14 05:53:29

特别是，s支持由Zη的数量确定的每个概率度量，对于某些η>0，对应于投资组合动力学的一个合理模型。在这种情况下，风险经理会对以下数量感兴趣：supZ∈ZηEQZ"Al（T，·）"a和supZ∈ZηEQZ"Al（T，·）"a- E"Al（T，·）"a。（2.2）前一表达式可被视为在所有合理模型下，投资组合所承受的最坏情况预期损失，而后一表达式量化了最坏情况预期损失与默认模型下预期损失之间的差异。因此，它可以作为模型风险的度量。（2.2）中定义的问题可采用双重形式（Glasserman和X u2014）。我们首先定义拉格朗日L:M+（1）×（0，∞) × (0, ∞) → R byL（Z，θ，η）：=等式Z"Al（T，·）"a-Df（QZkP）- ηθ=方程l（T，·）-f"AZ（T）θZ（T）a+ηθ，拉格朗日函数导致一个定义为比亚迪（θ，η）的对偶函数：=supZ∈M+（1）L（Z，θ，η）=supZ∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）"a+ηθ给定T∈ [0，T]和Z∈ M+（1），blθ（t，Z）：=l（t，·）-f"AZ（t）θZ（t）（2.3）定义了Ft可测量函数Blθ（t，Z）：Ohm → R、与…一样l : [0，T]×Ohm → R、 b类lθ（·，Z）可被视为非预期函数。如果原始问题是凸的且约束满足Slater条件（Slater2014），则强对偶成立，给出∈ZηEQZ(l（T，·））=infθ∈(0,∞)d（θ，η）（2.4）这在下面的引理中得到了证明。引理2.1。以下陈述是真实的：（1）集合Zη是凸的。（2）函数Zη Z 7→ 方程（E）l（T，·）"a是凸的。（3）强对偶方程。

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2022-6-14 05:53:32

2.4保持。（4）给定θ*∈ (0, ∞), 假设Z*∈ M+（1）满意度Z*= arg最大值∈M+（1）方程z"Ablθ*（T，Z）"athenZ*= arg最大值∈ZηEQZ"Al（T，·）"a这里的想法是，所有绝对连续的概率测度都接近于参考测度（在f-散度的意义上）对应于似乎接近于参考模型的模型。具有路径相关损失函数5且η：=E（f（Z））的非参数稳健模型风险度量*（T）））。证据（1）给定Z，Z∈ Zη，观察df（QλZ+（1-λ） ZkP）=Df"AλQZ+（1- λ） QZ公司P"a=E"Af"AλZ（T）+（1- λ） Z（T）"a"a6 E"Aλf"AZ（T）"a+（1- λ） f"AZ（T）"a=λE"Af"AZ（T）"a+（1- λ） E"Af"AZ（T）"a"a=λDf（QZkP）+（1- λ） Df（QZkP），对于所有λ∈ [0，1]，利用f的凸性和Jensen不等式。由于f（QZkP）6η和Df（QZkP）6η，上述不等式导致Df（QλZ+（1-λ） ZkP）6η。这意味着λZ+（1- λ） Z∈ Zη，通过f作用λZ+（1- λ） Z∈M+（1）。（2）给定Z，Z∈ Zη，观察等式λZ+（1-λ） Z"Al（T，·）"a=E"A"AλZ（T）+（1- λ） Z（T）"al（T，·）"a=λE"AZ（T）l（T，·）"a+（1- λ） E"AZ（T）l（T，·）"a=λEQZ"Al（T，·）"a+（1- λ）方程（E）l（T，·）"a，对于所有λ∈ [0, 1]. Henc e，函数Zη Z 7→ 方程（E）l（T，·）"a是线性的，因此也是凸的。（3）对于给定η∈ (0, ∞), 常数过程Z=1满足Df（QZ | | P）=Df（P | P）=0<η。

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2022-6-14 05:53:35

它也是subs et Zη的一个内点 M+（1）。根据Slater\'scondition（Slater 2014），强二元性成立。（4）设η：=E（f（Z*（T）），并观察∈(0,∞)d（θ，η）6 d（θ*, η） =supZ∈M+（1）方程z"Ablθ*（T，Z）"a+ηθ*= EQZ*"Ablθ*（T，Z*)"a+ηθ*= EQZ*"Al（T，·）"a-θ*EQZ*切夫（Z）*（T））Z*（T）a+ηθ*= EQZ*"Al（T，·）"a-θ*E（f（Z*（T））+ηθ*= EQZ*"Al（T，·）"a6 supZ∈ZηEQZ"Al（T，·）引理2.1（3）然后确保infθ∈(0,∞)d（θ，η）=EQZ*"Al（T，·）"a=supZ∈ZηEQZ"Al（T，·）"a要了解这一点，考虑连续函数H:M+（1）→ 定义为H（Z）=E（f（Z（T））（我们赋予M+（1）由度量d（Z，Z）=E（| f（Z（T））导出的拓扑- f（Z（T））|）。连续性确保S：=H-1((-η、 η）是M+（1）的一个开放子集。福瑟莫尔，S {Z∈ M+（1）| Df（QZ | | P）<η} Zη表示S int（Zη）。作为S中的一个元素，常数过程Z=1是Zη的一个内点。6于峰，结果如下。对于方程2.2中的原始问题，引理。2.1（4）表示存在解Z*它位于Zη的边界上，给定η>0（即e（f（Z*（T））=η），只要Z*solvesmaxZ公司∈M+（1）方程z"Ablθ（T，Z）"a（2.5）对于某些θ∈ (0, ∞). 在以下上下文中，我们将考虑等式2.5中的对偶问题，而不是原始问题。为简单起见，我们将θ>0视为给定的表达式Blθbybl.描述最坏情况预期损失本节提供了（2.2）中所述最坏情况预期损失问题解决方案的隐含特征。给定t∈ [0，T]和'Z∈ M+（1），定义时间t之前的'Z一致鞅密度族byZ（t，'Z）：={Z∈ M+（1）| Z（t）=Z（t）}。请注意，Z（0，\'Z）=M+（1），因为对于所有Z，Z（0）=1=\'Z（0∈ M+（1）。请注意，Z（t，\'Z）的成员的马尔丁格尔属性确保Z（s）=E"AZ（t）| Fs"a=E"AZ（t）| Fs"a=\'Z（s），对于所有Z∈ Z（t，(R)Z）和所有s∈ [0，t]。

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2022-6-14 05:53:38

换句话说，Z（t，’Z）是在区间[0，t]上与‘Z’一致的一组过程inM+（1）。此外，我们观察到，对于所有Z，qz（A）=E"AAZ（T）"a=E"AE"AAZ（T）| Ft"a=E"AAZ（T）"a=E"AA'Z（T）"a=E"AA'Z（T），Ft"a=E"AA'Z（A∈ Z（t，(R)Z）和所有A∈ 也就是说，与Z（t，(R)Z）的成员相关的概率度量在所有Ft可测量事件上彼此一致。这是一组前瞻性的可行替代措施（从时间t开始）。给定“Z”∈ M+（1），我们现在定义F适应过程（“L（t，(R)Z））t∈[0，T]by“L（T，\'Z）：=最大值∈Z（t，’Z）方程Z"Abl（T，Z）-bl（t，Z）Ft"a（3.1）适用于所有t∈ [0，T]，假设最大值始终存在。自b起l（·，Z）是一个非对抗性函数满足Bl（0，Z）=0 P-a.s.和Z（0）=1意味着QZ | F=P | F，它遵循bl（0，Z）=0 QZ-a.s.以及。因此，“L（0，(R)Z）=maxZ∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）F"a=最大值∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）"a，（3.2）其中，第二个等式来自于Fand fta是独立的sigma代数这一事实，关于QZ。这只是等式2.5中给出的问题。首先观察Z（0）=1意味着对于所有A，QZ（A）=P（A）=0或QZ（A）=P（A）=1∈ F、因此，如果∈ 风扇B∈ 英尺，我们得到0.6 QZ（A∩ B） 6 QZ（A）=0=QZ（A）QZ（B），具有路径依赖损失函数的非参数稳健模型风险度量7定义3.1。最坏情况下的密度过程是一些Z*∈ M+（1）s解决最大化问题（3.1）w.r.t Z族*-一致鞅密度：EQZ*"Abl（T，Z*) -bl（t，Z*)Ft"a=“L（t，Z*) （3.3）对于每个t∈ [0，T]。假设Z*∈ 根据上述定义，M+（1）是最坏情况下的鞅密度，然后是Z*解决等式2中的问题。将式3.2替换为式3.2，即可证实这一点。

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2022-6-14 05:53:41

3.3导致EQZ*"Abl（T，Z*)"a=最大值∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）"a。在下面的命题中，我们通过鞅性质来刻画这种最坏情况下的密度。提案3.2。F ix？Z∈ M+（1），并假设（3.1）中的最大值存在于每个∈ [0，T]。然后过程[0，T] t 7→“L（t，’Z）+bl（t，\'Z）是一个Q\'Z-超鞅。这是一个最坏情况下的密度过程。证据给n一个任意的t∈ [0，T]，我们假设Z′∈ Z（t，(R)Z）解决了最大化问题（等式3.1）。应用迭代期望定律，我们得到了eqz′bl（T，Z′）-bl（t，Z′）Fs公司=EQZ′玟EQZ′bl（T，Z′）-bl（t，Z′）英尺Fsa=EQZ′“L（t，’Z）Fs公司（3.4）对于所有s∈ [0，t]。根据Z′（s）=Z（s），bl（s，Z′）=bl（s，’Z）适用于所有s∈ [0，t]。同样的条件也会导致Z′∈ Z（s，’Z）。根据“L（等式3.1）”的定义，我们有以下不等式“L（s，’Z）>等式bl（T，Z′）-bl（s，Z′）Fs公司= 方程式\'bl（t，Z′）-bl（s，Z′）Fs公司+ 方程式\'bl（T，Z′）-bl（t，Z′）Fs公司= 公式Zbl（t，’Z）-bl（s，’Z）+”L（t，’Z）Fs公司（3.5）对于所有s∈ [0，t]。在最后一个等式中，我们将QZ′替换为Q'Zbecausebl（t，’Z），bl（s，’Z）和“L（t，’Z）都是Ft-可测量的。因为t∈ [0，T]是任意选择的，等式3.5适用于满足0 6 s 6 T 6 T的任何s和T。如果QZ（A）=0，而QZ（A）QZ（B）=QZ（B）>QZ（A∩ B） =QZ（Ac∪ Bc）c= 1.- QZ（交流∪ Bc）>1-QZ（Ac）+QZ（Bc）= 1.- 当QZ（A）=1时，QZ（Bc）=QZ（B）=QZ（A）QZ（B）。Ft可测函数X的条件期望：Ohm → R w.R.t a次σ-代数Fs FtisEQZ′型X | Fs= EAZ′（T）Z′（s）XFs~a=EAZ′（t）Z′（s）EAZ′（t）Z′（t）X英尺Fs~a=EAZ′（t）Z′（s）EQZ′X |英尺Fs~a=E~a~a~aZ（t）(R)Z（s）XFs~a=等式ZX | Fs8于峰通过重新安排公式3.5，我们得到了F-适应过程[0，T]的超鞅性质 t 7→“L（t，’Z）+bl（t，’Z）：“L（s，’Z）+bl（s，\'Z）>等式\'Z“L（t，’Z）+bl（t，’Z）Fs公司（3.6）该过程是一个Q'Z-鞅，等式适用于所有0 6 s 6 t 6 t。

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2022-6-14 05:53:44

如果Z i是最坏情况下的密度过程，则根据定义3.1，Z求解公式3.1中的所有t∈ [0，T]。我们可以在公式3.5中设置Z′=\'Z，以便第一行对所有s取等号∈ [0，t]。相反，如果等式适用于所有0 6 s 6 t 6 t，则它适用于所有0 6 s 6 t=t。通过在等式3中取e qu al符号。用t替换t，我们得到“L（s，\'Z）=EQ\'Zbl（T，’Z）-bl（s，’Z）Fs公司对于所有s∈ [0，T]，根据定义3.1，确认“Z”是最差情况下的密度过程。提议3.2可以看作是动态规划方程的推广。实际上，给定一个最优鞅密度Z*∈ M+（1），我们取一个任意的Z∈ Z（s，Z*) 并将其替换为公式3.6。通过观察“Z”∈ Z（s，Z*)匹配Z*直到时间s，我们将等式3.6转换为“L（s，Z*) +bl（s，Z*) > 公式Z“L（t，’Z）+bl（t，’Z）Fs公司这个不等式适用于所有的Z∈ Z（s，Z*). 当“Z=Z”时，它采用等号w*.这将导致以下动态规划方程与密度过程相关，“L（s，Z*) +bl（s，Z*) = maxZ公司∈Z（s，Z*)EQZ*“L（t，Z）+bl（t，Z）Fs公司对于满足0 6 s 6 t 6 t的所有s和t。4、命题中给出的模型风险度量的一般结果。3.2 F适应过程[0，T] t 7→“L（t，Z*)+bl（t，Z*) 是QZ*-鞅i ffz*是最坏情况下的密度过程。在本节中，我们将展示这样的Z*在一定条件下确实存在，并以方程为特征。这将导致方程2.2中所述问题的完整解决方案。首先我们证明一个引理。引理4.1。固定鞅密度'Z∈ M+（1）。一个可测量的过程C:[0，T]×Ohm → R、满足等式Z"AC（t，·）| Ft"a6等式Z"AC（t，·）| Ft"a（4.1）的所有t∈ [0，T]和所有Z∈ Z（t，’Z）允许进行可测量的改进，即。

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2022-6-14 05:53:47

存在一个逐步可测量的过程C：[0，T]×Ohm → R、视为非预期泛函，满足Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）=C（t，ω）}"a=1∈ [0，T]。证据Ft可测函数u（t，·）：=等式Z"AC（t，·）| Ft"a形成F适应过程（u（t，·））t∈[0，T]。它允许进行可测量的渐进式修改∈[0，T]（Karatzas和Shreve 1991）。我们想证明Q'Z"A{ω∈ Ohm | 对于每个t，C（t，ω）=C（t，ω）}"a=1∈ [0，T]。具有路径相关损失函数的非参数鲁棒模型风险度量9我们用矛盾的方法证明了这个引理。假设存在一个t∈ [0，T]这样q'Z"A{ω∈ Ohm|C（t，ω）=C（t，ω）}"a<1，则Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）=u（t，ω）}"a<1。这意味着Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）<u（t，ω）}"a>0或Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）>u（t，ω）}"a>0。在不失去一般性的情况下，我们假设Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）<u（t，ω）}"a>0。为了符号的简单性，在其余的证明中，我们使用C表示随机变量C（t，·），用u表示Ft可测函数u（t，·）。我们构造了一个替代鞅密度Z′∈ Z（t，’Z）byZ′（s）=\'\'Z（s）s∈ [0，t]等式ZeCC<u+euC≥uFs公司等式Z（eCC<u+euC≥u | Ft）Z（s）s∈ （t，t]（4.2）表示ind eed Z′∈ Z（t，\'Z），我们需要证明Z′（0）=1，Z′>0，Z′（t）=\'Z（t），Z′是一个P-鞅。从定义来看，前三个条件是显而易见的。（Z′（s））s的鞅性质∈[0，t]已清除。（Z′（s））s的鞅性质∈[t，t]由"AZ′（r）| Fs"a=E"OE确认\'Z（T）"AeCC<u+euC≥u"aFr公司等式Z（eCC<u+euC≥u | Ft）Fsè=E\'Z（T）"AeCC<u+euC≥u"aFs公司等式Z（eCC<u+euC≥u | Ft）=所有s的Z′（s）∈ [t，t]和r∈ [t，t]满足s 6 r。因为等式'Z"AEQ'Z（1C<u'Ft）"a=Q'Z（C<u）>0，所以存在ω∈ Ohm 使得等式Z（1C0。

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2022-6-14 05:53:49

我们定义：=等式Z"AC<u | Ft"a（ω）wu：=1- wl=等式Z"AC≥u | Ft"a（ω）L：=lnEQ'ZeCC<u英尺（ω）等式Z（1C<u | Ft）（ω）cl：=等式ZCeCC<u英尺（ω）等式Z（eCC<u | Ft）（ω）cu：=等式Z（C1C≥u | Ft）（ω）EQ'Z（1C≥u | Ft）（ω）我们只需要证明Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）=u（t，ω）}= 1通向Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）=~C（t，ω）}= 1、事实上，假设Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）=u（t，ω）}= 1我们有Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）=~C（t，ω）}= 1.- Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）6=~C（t，ω）}> 1.- Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）6=u（t，ω）}∪ {ω ∈ Ohm | u（t，ω）6=~C（t，ω）}> 1.- Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）6=u（t，ω）}- Q'Z{ω ∈ Ohm | u（t，ω）6=~C（t，ω）}= 110 YU Feng然后等式4.1的LHS（Z替换为Z′）满足条件Z′C | Ft"a（ω）=等式ZCeCC<u+CeuC≥u英尺（ω）等式Z（eCC<u+euC≥u | Ft）（ω）=wlcleL+Wuceuwlel+wueu>wlcl+wucu（4.3）注意，该不等式由切比雪夫和式给出，其中表示w，w>0，w+w=1，一个有e（wa+wa）（wb+wb）<wab+wabifa<aa和b<b。通过展开左侧可以很容易地证明该不等式。在公式4.3中，我们有wl>0、wu>0和CL=公式ZCeCC<u英尺（ω）公式Z（eCCE（x）lne（x）>E（x）E（x）E（lnx）（4.4）根据上述不等式，我们通过进一步指定x=eC，在由Radon-Nikodym导数Z（t）Z（t）C<uEQ'Z（1C<u'Ft）生成的交替度量下取期望w.r.t Ftand，我们得到以下不等式e\'Z（T）CeCC<u英尺（ω） E类\'\'Z（T）1C<u英尺（ω） >E\'Z（T）eCC<u英尺（ω） E类\'\'Z（T）1C<u英尺（ω） ×E\'\'Z（T）C1C<u英尺（ω） E类\'\'Z（T）1C<u英尺(ω)=>公式ZCeCC<u英尺（ω）方程式Z（eCC方程式Z（C1C<u | Ft）（ω）方程式Z（1C<u | Ft）（ω）LHS i s简单cl。

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2022-6-14 05:53:53

将不等式代入等式4.3，一个等式为：EQZ′C | Ft"a（ω）>EQZ′C1C<u | Ft"a（ω）+EQZ"AC1C≥u | Ft"a（ω）=等式Z"AC | Ft"a（ω）这违反了等式4.1中规定的条件。因此，我们得出结论，"AC（t，·）"at∈[0，T]允许逐步可测量的修改∈[0，T]。满足引理4.1中条件的过程C允许逐步可测量的修改C w.r.t Q'Z，但不一定是参考度量值P。然而，如果它也保持w.r.t P，则我们得到引理4.1的相反结果。事实上，对于“Z”∈ M+（1）和任意Z∈ Z（t，\'Z），Q'zan和qzan都是绝对连续的w.r.t P，意味着'C是C w.r.t Q'zan和QZ的修改。结果inEQ'Z"AC（t，·）'Ft"a=EQ'Z"AC（t，·）'Ft"a和EQZ"AC（t，·）'Ft"a=EQZ"AC（t，·）'Ft"awu=0将导致EQ'Z（C'Ft）（ω）=EQ'Z（C1C<u'Ft）（ω）<u（ω），与u.NON的定义相反。具有路径相关损失函数的参数稳健模型风险度量11逐步可测量的过程C适用于过滤F。因此，EQ'Z"AC（t，·）| Ft"a=~C（t，·）=等式z"AC（t，·）| Ft"a∈ [0，T]和Z∈ Z（t，’Z）。我们使用引理4.1来证明以下命题。提案4.2。Z*∈ M+（1）是随机变量的最坏情况鞅密度Ohm ω 7→ l（T，ω）-f′（Z*（T）（ω））θ等于常数QZ*-a、并由相同的常数P-a.s.证明支配。假设Z*∈ M+（1）是最坏情况下的鞅密度。根据定义。3.1，Z*= arg最大值∈Z（t，Z*)方程（b）l（T，Z）-bl（t，Z）Ft"a（4.5）适用于所有t∈ [0，T]。给定任何t∈ [0，T]和任意Z∈ Z（t，Z*), 我们构造了一个新的鞅密度，它位于Z*Z byZλ=（1- λ） Z*+ λz其中λ∈ [0, 1]. Zλ∈ Z（t，Z*) 对于所有λ∈ [0，1]由于Z（t，Z）的凸性*). SinceZ公司*求解方程4.5，k（λ）的最大值：=方程zλ"Abl（T，Zλ）-bl（t，Zλ）λ=0时达到Ft"a（4.6）。

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大多数88

2022-6-14 05:53:55

取关于λ的一阶和二阶导数，wegetK′（λ）=ECZ（T）- Z*（T）Z*（t）圣约翰l（T，Z*) - l（t，·）-f′（Zλ（T））θaFta（4.7）K′（λ）=- EИ（Z（T）- Z*（T））Z*（t） f′（Zλ（t））θFté（4.8）注意到二次可微函数f:R+→ 根据f-散度的非负性（Ali和Silvey 1966），R是凸的。这意味着所有z的f′（z）>0∈ R+。结合E q.4.8，对于所有λ，该条件应为K′（λ）<0∈ [0, 1].对于K（0）=最大λ∈[0,1]K（λ）要保持不变，λ=0处的一阶导数必须满足yk′（0）6 0<=> EQZ"ACZ*（t，·）| Ft"a6 EQZ*"ACZ*（t，·）| Ft"a（4.9），其中工艺CZ*: [0，T]×Ohm → R由CZ定义*（t，·）：=l（T，·）- l（t，·）-f′（Z*（T））θ上述不等式适用于所有T∈ [0，T]和所有Z∈ Z（t，Z*). 据艾玛说。4.1，CZ*允许逐步进行可测量的修改，例如CZ*. 特别是在t=0CZ时*(0, · ) = l（T，·）-f′（Z*（T））θ12 YU Feng取一个常数值c：=▄CZ*（0，0），QZ*-a、事实上，捷克*被视为非参与泛函，因此*（0，ω）=CZ*（0，0）=c表示所有ω∈ Ohm 满足（0，ω）~(0, 0). 因此，QZ*"ACZ*（0，·）=c"a>QZ*"AИCZ*（0，·）=c"a- QZ公司*"ACZ*（0，·）6=~CZ*（0，·）"a=QZ*"AИCZ*（0，·）=c"a- 0>QZ*"A(0, ·) ~ （0，0）"a=QZ*({ω ∈ Ohm | ω（0）=0}）=1（4.10）接下来我们证明P"ACZ*（0，·）6 c"a=1，矛盾。相反，假设P"ACZ*（0，·）>c"a>0。我们构造了一个鞅密度Z′∈ Z（0，Z）*) = M+（1）通过设定Z′（t）=ECZ公司*（0，·）>c英尺P"ACZ*（0，·）>所有t的c"a∈ [0，T]。这导致了QZ′"ACZ*（0，·）| F"a=E（Z′（T）CZ*（0，·））=E"ACZ*（0，·）>cCZ*（0，·）"aP"ACZ*（0，·）>c"a>cE"ACZ*（0，·）>c"aP"ACZ*（0，·）>c"a=c，因为我们已经证明CZ*（0，·）=c，QZ*-a、 s.（E q.4.10），等式*"ACZ*（0，·）| F"a=c<EQZ′CZ*（0，·）| F"a根据公式4。9，K′（0）>0（其中一般密度过程Z被构造过程Z′代替∈ Z（0，Z*)).

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何人来此

2022-6-14 05:53:58

这违背了Z*是aworst情形鞅密度。相反，给定一个过程Z*∈ M+（1），假设CZ*(0, · ) : Ohm → R取一个常量值，比如c，QZ*-a、美国和捷克*（0，·）6 c P-a.s.给定任何t∈ [0，T]和任意Z∈Z（t，Z*), CZ公司*（0，·）6 c QZ-a.s.由于QZw的绝对连续性。r、这些属性导致条件期望Seqz*"ACZ*（0，·）| Ft"a=c和EQZ"ACZ*（0，·）| Ft"a6 C指定CZ*（t，·）=CZ*(0, · ) - l（t，·）其中l（t，·）是Ft可测的，我们有eqz"ACZ*（t，·）| Ft"a6 c- l（t，·）=等式*"ACZ*（t，·）| Ft"a根据等式4.9，K′（0）6 0。因为对于所有λ，K′（λ）<0（等式4.8）∈ [0，1]，K（0）>K（1）。根据K（λ）的定义（式4.6），我们得到了*"Abl（T，Z*) -bl（t，Z*)Ft"a=K（0）>K（1）=方程z"Abl（T，Z）-bl（t，Z）Ft"a该不等式适用于每个t∈ [0，T]和每Z∈ Z（t，Z*). 因此，Z*求解顺序。4.5对于所有t∈ [0，T]确实是最坏情况下的鞅密度。我注意到这一主张。3.2是适用于任何F-adaptedprocess（b）的一般结果l（t，Z））t∈[0，T]，不考虑其实际配方（等式2.3）。另一方面，命题。4.2将公式化，从而指定函数f（x）的aworst情形鞅密度w.r.t的条件。请注意，任何w orst-c ase densityprocess Z*∈ M+（1）s解决了方程2.5中的原始问题。假设Z的存在*, 我们将公式2.5视为特定过程的初始值（t=0），称为价值过程。一般来说，我们在下面定义了三个F适应过程。具有路径相关损失函数的非参数稳健模型风险度量13定义4.3。

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2022-6-14 05:54:01

给定θ∈ (0, ∞) 最坏情况下的鞅密度Z*∈ M+（1），值处理s，U：[0，T]×Ohm → R、最坏情况风险，V:[0，T]×Ohm → R、预算过程η：[0，T]×Ohm → R、被视为非预期泛函，定义为u（t，·）：=“L（t，Z*) + l（t，·）V（t，·）：=“L（t，Z*) +bl（t，Z*) + F（t，Z*)η（t，·）：=θ（V（t，·）- U（t，·）），其中（F（t，Z*))t型∈[0，T]是QZ*-满足F（T，Z）的鞅*) = f（Z*（T））/Z*（T）。直觉上，U（t，·）给出了最坏情况下的预期损失，减去从时间t到t扰动标称模型的持续成本。根据最坏情况鞅密度的定义（公式3.3），U（t，·）=公式z*"Abl（T，Z*) -bl（t，Z*)Ft"a+l（t，·）=等式*"Al（T，·）Ft"a- θ-1Z*（t）-1E"Af（Z*（T））- f（Z*（t）（）Ft"aZ*（t） >0（4.11）s second te rm是从timet开始扰动标称模型的惩罚项。对于连续性，在Z的极限情况下定义为零*（t） =0。根据定义4.3，V（t，·）是最坏情况下的预期损失，V（t，·）=EQZ*"Abl（T，Z*)Ft"a+θ-1Z*（t）-1EQ"Af（Z*（T））Ft"aZ*（t） >0=EQZ*"Al（T，·）Ft"aV（t，·）和U（t，·）之间的差异给出了扰动标称模型的成本（通过f-散度测量），其特征是过程η：η（t，·）=Z*（t）-1E"Af（Z*（T））- f（Z*（t）（）Ft"aZ*（t） >我们可以进一步了解这三个过程的终值和初始值。价值过程，U（t，·），从U（t）=l（T，·）和U（0）=等式z*"Abl（T，Z*)"a=最大值∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）"a（4.12）最坏情况风险过程从后面测量模型风险，公式2.2。根据引理。2.1（4），最坏情况密度Z*用η解原始问题：=η（0，·）=E（f（Z*（T）））。因此，V（T）=l（T，·）和V（0）=等式z*(l（T，·））=supZ∈ZηEQZ*"Al（T，·）"a累积预算η（即。

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2022-6-14 05:54:04

Glasserman和Xu（20 14））中的相对熵收支是通过向后的收支过程测量的，η（T）=0，η（0）=E（f（Z*（T））=η为了解决方程2.5中的问题，方程4.12建议通过反向归纳法来解决过程U。以类似的方式，模型风险（方程式2.2）及其相应的累积预算（η）可以通过反导求解过程V和η来量化。下面的定理给出了完整的过程。我们将其命名为预算过程，因为它衡量了竞争对手的剩余预算（Glasserman和Xu，2014）。η（0，·）在Glasserman和Xu（2014）中被称为相对熵预算。14余风定理4.4。给定θ∈ (0, ∞), 假设存在一个函数z:R→ R+满足要求-f′（z（x））θ=c，如果x∈ Ic：={θ-1年+年∈ 范围（f′）}（4.13）z（x）=0如果x/∈ Ic（4.14），其中c∈ R是一个常数，使得E"Azo l（T，·）"a=1和P(l（T，·）0}，其中（Z，M，W）是满足以下终端条件的F-适应P-鞅："OZMWè（t）="OZo l（T，·）f′o zo l（T，·）×zo l（T，·）- fo zo l（T，·）zo l（T，·）×l（T，·）è（4.16）证明。由公式4.13定义的函数z提供了鞅密度z∈ M+（1）按成分：Z（t）=E"AZo l（T，·）| Ft"a（4.17）对于所有T∈ [0，T]。Z正是inEq定义的矢量化过程的第一个元素。4.16. 它确实是M+（1）的一个元素，因为Z（T）=Zo l（T，·）>0且Z（0）=E"AZo l（T，·）"a=1。随机变量CZ（0，·）：=l（T，·）-f′（Z（T，·））θ=l（T，·）-f′o zo l（T，·）θ（4.18）等于常数c QZ-a.s。

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何人来此

2022-6-14 05:54:07

事实上，c∈ R的选择应确保1=E"Azo l（T，·）"a=E"Azo l（T，·）1l（T，·）∈Ic"a+E"Azo l（T，·）1l（T，·）/∈Ic"a=E"Azo l（T，·）1l（T，·）∈对于所有x，z（x）=0时的Ic"a/∈ 集成电路。因为CZ（0，ω）=c表示所有ω∈ Ohm 令人满意的l（T，ω）∈ Ic，我们有qz"ACZ（0，·）=c"a=E"AZ（T）1CZ（0，·）=c"a>E"AZo l（T，·）1l（T，·）∈IcCZ（0，·）=c"a=E"Azo l（T，·）1l（T，·）∈Ic"a=1接下来我们需要证明CZ（0，·）6 c P-a.s.注意函数f′：（0，∞) → 由于f的凸性，Ris连续且严格增加，这意味着范围（f′）=（f′（0+），f′(∞-)). 我们得出结论，范围（f′）是一个开放区间，用（a，b）表示，其中a和b可以是实数或±∞. 根据假设，wehave1=P（l（T，·）<sup Ic）=P"Al（T，·）∈ 集成电路[l（T，·）6{θ-1a+c}"a非参数稳健模型风险度量与路径相关损失函数15我们通过指定f′（0）=a.P"ACZ（0，·）6 c"a=E"A，将函数f′连续扩展到零l（T，·）∈IcCZ（0，·）6c"a+E"Al（T，·）/∈IcCZ（0，·）6c"a=E"Al（T，·）∈Ic"a+E"Al（T，·）/∈集成电路l（T，·）-θ-1f′（0）6c"a=E"Al（T，·）∈Ic"a+E"Al（T，·）/∈(θ-1a+c，θ-1b+c）l（T，·）6θ-1a+c"a=P"Al（T，·）∈ 集成电路[l（T，·）6θ-1a+c"a=1根据命题，我们得出CZ（0，·）=c QZ-a.s.和CZ（0，·）6 c P-a.s.的结论。4.2式4.17中定义的Z是最差的基密度过程。式4.16的第二个分量是由m（t）=E"Af′给出的P-鞅o zo l（T，·）×zo l（T，·）- fo zo l（T，·）| Ft"a=E"AZ（T）f′（Z（T））- f（Z（T））| Ft"a所有T∈ [0，T]。替换公式4。18到式4.11，我们有u（t，·）=式ZCCZ（0，·）+f′（Z（t，·））θFta- ECf（Z（T））- f（Z（t））θZ（t）Fta=c+EcZ（T）f′（Z（T））- f（Z（T））+f（Z（T））θZ（T）Fta=M（t）+f（Z（t））θZ（t）+CZ（0，·）=c QZ-a.s.通过CZ（0，·）=c QZ-a.s.的优点，上述方程更精确地保持了QZ-a.s.它表示a.a.ω∈ {Z（t）>0}。等式的第三个元素。

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2022-6-14 05:54:10

4.16，W（t）=E"Azo l（T，·）×l（T，·）| Ft"a=E"AZ（T）l（T，·）| Ft"a，通过v（T，·）=EQZ表征最坏情况下的风险l（T，·）英尺= ECZ（T）Z（T）l（T，·）对于所有ω，Fta=W（t）Z（t）∈ {ω ∈ Ohm | Z（t）（ω）>0}。因此，上面的方程保持QZ-a.s。根据U（t，·）和V（t，·）的表达式，我们得到了预算过程η（t，·）=V（t，·）的公式- U（t，·）"a=θW（t）- M（t）- f（Z（t））Z（t）- θc在上面的证明中，我们提出了函数f′的逆，用g表示：范围（f′）→ (0, ∞). 使用此Inverse函数，我们有以下建议，即某些可积条件保证了模型风险量化问题的解的存在，如定理4.4所示。根据CZ（0，·）（等式4.18）的定义，CZ（0，ω）=c表示所有ω∈ Ohm 令人满意的l（T，ω）∈ 集成电路。由Z（T）（ω）=Z得出o l（T，ω）=0表示a.aω∈ {ω ∈ Ohm | l（T，ω）/∈ Ic}thatEQZ（CZ（0，·）| Ft）=EQZ（CZ（0，·）1l（T，·）∈Ic | Ft）+方程（CZ（0，·）1l（T，·）/∈Ic | Ft）=Z（t）-1E（Z（T，·）CZ（0，·）1l（T，·）∈Ic | Ft）+Z（t）-1E（Z（T，·）CZ（0，·）1l（T，·）/∈Ic | Ft）=cZ（t）-1E（Z（T，·）1l（T，·）∈Ic | Ft）=cZ（t）-1E（Z（T，·）| Ft）=C或a.a.ω∈ {Z（t）>0}。16余风提案4.5。表示g：（a，b）→ (0, ∞) 作为f′的反函数。如果f′(∞-) = ∞对于每个c∈ R g"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）∈Icis在参考量下可积，则定理4.4中的假设成立。证据我们需要证明c的存在∈ R和z：R→ R+，使得公式4.13适用于所有x∈ 对于所有x，Icand z（x）=0/∈ Ic，E"Azo l（T，·）"a=1和P(l（T，·）<sup Ic）=1。在定理4.4的证明中，我们已经证明了范围（f′）=（a，b）。这里b拿s∞当严格递增函数f′在单位处发散时。对于给定的c∈ R、等式4.13的隐含式给出了z（x）=g"Aθ（x- c）适用于所有x∈ Ic=（θ-1a+c，∞).

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2022-6-14 05:54:13

对于所有x/∈ Ic，z（x）=0，给出"Azo l（T，·）"a=E"Azo l（T，·）1l（T，·）>θ-1a+c"a+E"Azo l（T，·）1l（T，·）6θ-1a+c"a=E"Ag"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）>θ-1a+c"a我们想展示函数K:R→ 定义byK（c）：=E"Ag"A977;(l（T，·）- c） "al（T，·）>θ-1a+c"a（4.19）对于某些c取1的值∈ R、首先，我们将证明K是连续的。修复任意c∈ R和ε∈ (0, ∞).由于g的连续性，函数y（·，ω）：(-∞, c]→ 定义byy（c，ω）：="Ag"Aθ(l（T，ω）- c） "a- g"Aθ(l（T，ω）- c） "a"al（T，ω）>θ-每ω1a+cis连续∈ Ohm. 因此，函数Y：(-∞, c]→ R、定义为y（c）：=E（y（c，·）），在c处是连续的。其连续性意味着δ>0的存在，从而| y（c）|=| y（c）- Y（c）|<ε/2，对于所有c∈ R满足c- δ<c 6 c。让δ-:= 最小δ，f′（ε/2）- 那么对于所有的c- δ-< c 6 cwe有0 6 K（c）- K（c）=E"Ag"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）-θ-1a级∈（c，c]a+Y（c）6 E"Ag"Aθ（θ-1a+c- c） "al（T，·）-θ-1a级∈（c，c）"a+Y（c）<g（a+δ-) + ε/26 g"Af′（ε/2）"a+ε/2=ε根据支配收敛定理，Y在c是连续的。事实上，序列{Y（c- 1/n，·）}∞n=1时，实值可测函数凭借其连续性逐点收敛到y（c，·）。序列以y（c）为主- 1，·）由于g单调增加。y（c- 1，·）是可积asE|y（c- 1, ·)|6 Eg级θ(l（T，·）- c+1l（T，ω）>θ-1a+c6 Eg级θ(l（T，·）- c+1l（T，ω）>Ic-1.< ∞支配c收敛定理保证了期望Limn的收敛性→∞Ey（c- 1/n，·）= Ey（c，·）= 0这意味着给定任意ε>0，存在n∈ N因此Ey（c- 1/n，·）< ε表示所有n>n。

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2022-6-14 05:54:16

由于g单调增加，永远是y c∈ [c]- 1/n，c]我们有0 6 Ey（c，·）- Ey（c，·）= Ey（c，·）6 Ey（c- 1/n，·）< ε这证明Y在c处是连续的。具有路径相关损失函数的非参数稳健模型风险度量17我们可以用类似的方式证明存在δ+>0，使得K（c）-K（c）∈ (-ε、 0]对于所有c<c<c+δ+。结合两个参数，| K（c）- 对于所有c，K（c）|小于ε∈ R满足| c- c |<最小值（δ+，δ-). 这证明了函数K定义为inEq。4.19，是连续的。接下来我们需要证明存在c+，c-∈ 使K（c+）6 1和K（c-) > 1、事实上→-∞P"Al（T，·）>θ-1a+c"a=1意味着c的存在∈ 如P"Al（T，·）>θ-对于某些ξ>1的情况，1a+c"a>1/ξ。定义C-:= c-最大"A0，f′（ξ）- a"aθ6 cwe haveK（c-) > E"Ag"Aθ(l（T，·）- c-)"al（T，·）>θ-1a+c"a>g"Aθ（θ-1a+c- c-)"aE"Al（T，·）>θ-1a+c"a>g"Aθ（θ-1a+θ-1（f′（ξ）- a） "aE"Al（T，·）>θ-1a+c"a=ξP"Al（T，·）>θ-另一方面，以下情况→∞E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）-θ-1a级∈（0，c）"a=E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a"a<∞暗示c的存在∈ R使E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）-θ-1a级∈（0，c）"a>E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a"a- 设置c+=最大值（0，c），我们有K（c+）6 E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a+c+"a6 E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a+c"a=E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a"a- E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）-θ-1a级∈（0，c）"a6 1根据中间值定理，存在c∈ R使得等式4.19中定义的连续函数K取1。条件P(l（T，·）θ-1a+c{ω∈ Ohm | l（T，ω）6 x}={ω∈ Ohm | l（T，ω）∈ R} 概率为1。因此，orem 4.4中所述的假设是有效的，这保证了定理提供的最坏情况解的存在。

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2022-6-14 05:54:19

我们考虑一类特殊的f-di收敛，包括著名的Kullback-Leiblerdivergence，其中函数R x 7→ xf′（x）- f（x）是线性的（或等效的yx 7→ xf′（x）是常数）。这种类型的f-散度在应用定理上有一个特殊的优势。4.4，因为过程m（t）=E"AZ（t）f′（Z（t））- f（Z（T））| Ft"a=E（Z（T）| Ft）×f′E（Z（T）| Ft）"a- f"AE（Z（T）| Ft）"a收敛由支配收敛定理保证。见最后一页的脚注。此类c∈ 通过注意函数K严格递减，R也是唯一的。18余峰=Z（t）f′（Z（t））- f（Z（t））（4.20）可以直接从Z（t）计算出来。因此，在实际中，我们只需要对二维P鞅（Z（t），W（t））t应用反向导∈[0，T]。通过替换EQ。4.20在公式4.15中，我们有以下主张。推论4.6。假设定理4.4中存在d∈ (0, ∞) 对于所有x，xf′（x）=d∈ R+。然后，价值过程U、最坏情况风险V和预算过程η满足以下等式su（t，·）=f′（Z（t））θ+cV（t，·）=W（t）Z（t）（4.21）η（t，·）=W（t）Z（t）- f′（Z（t））- θC对于所有t∈ [0，T]和所有ω∈ Ohm 使得Z（t）（ω）>0，其中（Z，W）是满足以下终端条件的F-适应P-鞅：ZWa（t）=Zo l（T，·）zo l（T，·）×l（T，·）a推论4.6适用于Kullback-Leibler散度。特别是，常数c的计算是相当超前的。我们用以下推论来说明这一点。推论4.7。在Kullback-Leibler散度下，支持E"AEθl（T，·）"a<∞. 因此，模型风险量化问题有一个独特的解决方案，由u（t，·）=lnZ（t）V（t，·）=W（t）~Z（t）η（t，·）=W（t）~Z（t）给出- ln▄Z（t），其中▄Z，▄W"a是一个满足终端条件的F-适应P-鞅：▄Z▄W！（T）=θexp（θl（T，·））l（T，·）exp（θl（T，·））证明。

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2022-6-14 05:54:22

对于所有x，Kullb-ack-Leibler散度采用f′（x）=（x ln x）′=ln x+1∈(0, ∞). f′在∞. 反函数g:R→ (0 , ∞) 由g（x）=ex给出-1、E"AEθ以来l（T，·）"a<∞, 我们有g"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）∈集成电路= e-θc-1E"Aeθl（T，·）"a<∞对于所有c∈ R、命题4.5保证存在唯一的c∈ R和z：R→ R+满足E"Azo l（T，·）"a=1，因此是模型风险量化问题的唯一解决方案。更具体地说，我们计算函数z:R→ 公式4.13中的R+：z（x）=eθ（x-c）-1具有路径相关损失函数的非参数稳健模型风险度量19适用于所有x∈ R、常数c∈ R由1=E"Az给出o l（T，·）"a=E"AEθ(l（T，·）-c）-1"a<=> c=θln E"AEθl（T，·）-1"a=lnZ（0）- 1θ推论定义了两个P-鞅，由Z（t）=Eeθl（T，·）英尺W（t）=El（T，·）eθl（T，·）英尺推论4.6中的过程Z和W是▄Z和▄W的简单归一化版本，Z（t）=E"AZo l（T，·）| Ft"a=Eeθ(l（T，·）-c）-1.英尺=~Z（t）~Z（0）W（t）=E"AZo l（T，·）×l（T，·）| Ft"a=El（T，·）eθ(l（T，·）-c）-1.英尺=~W（t）~Z（0）将上述方程代入式4.21，我们有eU（t，·）=ln（Z（t））+1θ+c=lnZ（t）V（t，·）=W（t）Z（t）=W（t）~Z（t）η（t，·）=W（t）Z（t）-"Aln（Z（t））- 1"a- θc=θW（t）~Z（t）- lnZ（t）注意Z（t）（ω）=eθ(l（T，ω）-c）-1> 所有ω为0∈ Ohm. Z（t）=E（Z（t）| Ft）>0，这意味着上述方程适用于所有t∈ [0，T]和所有ω∈ Ohm. 具有连续半鞅的模型风险度量最后一部分提供了量化模型风险的一般理论。在本节中，我们重点讨论连续se半鞅类。它具有由函数Ito公式表示的重要性质。为了介绍公式，我们需要简要回顾函数Ito演算（Bally等人，2016）。首先，我们定义非预期函数F的水平导数和垂直导数：∧dT→ R

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2022-6-14 05:54:25

其在（t，ω）处的水平导数∈ ∧由limitDF（t，ω）定义的dTis：=limh→0+F（t+h，ω）- F（t，ω）hif它存在。直观地说，它描述了w.r.t时间的变化率，假设状态变量从t开始没有变化，并以停止路径ωt给出的截至t的历史为条件。另一方面，垂直导数描述了w.r.t时间从t开始的状态变量的变化率。形式上，垂直导数at（t，ω）∈ ∧dT，表示为ωF（t，ω）定义为函数Rd的梯度 x 7→F"At，ωt+x1[t，t]a等于0，假设其存在。非预期泛函的水平导数和垂直导数也是非预期泛函。我们通过注意到停止路径的空间∧dT具有度量d来定义左连续非预期泛函∞. 假设F：∧dT→ R是一个非参与泛函。F为左连续if for every（t，ω）∈ ∧dt和ε>0，存在δ>0 s u ch，即| F（t，ω）- F（t′，ω′）|<ε表示所有（t′，ω′）∈ ∧dt满足t′<t20 YU Feng和d∞（（t，ω），（t′，ω′）<δ。我们可以进一步对一个非预期泛函F施加一个有界条件。它指出，对于任何紧凑的K 当t<t时，存在一个C>0的suc h，即所有t 6和ω的| F（t，ω）| 6 C∈ Ohm. 假设一个非算数函数F在水平方向上可微分，在垂直方向上可二次微分（t，ω）∈ ∧dT和DF，ωF和ωF满足有界条件abov e。此外，F，ωF和ωF是左连续的，DF对所有（t，ω）都是连续的∈∧dT。然后我们称F为正则函数。假设正则过程X为Ohm 是连续半鞅且F：∧dT→R是正则函数。R值过程（Y（t））t∈[0，T]，由Y（T）=F（T，·）定义所有T∈ [0，T]遵循Ito函数公式P-a.s.（Bally et al.2016，pp。

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2022-6-14 05:54:28

190–191）Y（t）- Y（0）=ZtDF（u，·）du+ZtωF（u，·）dX（u）+ZtTr"AωF（u，·）d[X]（u）"a如果我们进一步对所有有界可预测过程ξ满足rtξ（t）dt=0施加rtξ（t）dX（t）=0的约束，那么规范过程X是SDE（Revuz和Yor 2 013）dX（t）=u（t）dt+σ（t）dW（t）（5.1）的强解，其中（W（t））t∈[0，T]是基础过滤概率空间（假设其存在）上的Rd值标准Wie-ner过程。（u（t））t∈[0，T]是一个Rd值可预测过程，（σ（T））T∈[0，T]是一个Rd值的可预测过程。我们可以识别它们的元素，比如（ui（t））t∈[0，T]和（σij（T））T∈[0，T]，具有非预期泛函。SDEEq。5.1可被视为著名Ito扩散过程的路径依赖推广。文献中通过施加各种条件（如有界性和Lipschitz性质，见Bally et al.（2016）），给出了其解的存在性和唯一性。现在，如果X满足等式5.1 P-a.s.，那么从函数Ito公式可以看出，过程Y是SDEdY（t）=ΔDF（t，·）+u（t）的强解ωF（t，·）+Tr"Aσ（t）ωF（t，·）"aédt+σ（t）ωF（t，·）dW（t）注意，σ（t）的平方在矩阵乘法的意义上，即σ（t）=σ（t）σ（t）t。为了简单起见，我们可以定义一个非线性微分算子a，它通过af将正则泛函发送给非反正则泛函：=DF+u（t）ωF+Tr"Aσ（t）ωF"a（5.2）那么过程Y，由Y（t）=F（t，·）定义，是一个强解todY（t）=AF（t，·）dt+σ（t）ωF（t，·）dW（t）（5.3）假设Y是一个P-鞅，那么正则泛函F满足AF=0 P-a.s。应用这个性质，我们可以将定理4.4中的鞅陈述转换为分析陈述。这是由以下推论得出的。推论5.1。给定θ∈ (0, ∞), 假设存在c∈ R和z：R→ R+定义定理4.4。

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2022-6-14 05:54:32

对于某些Rd值可预测过程（u（t））t，如果正则过程X满足等式5.1∈[0，T]和Rd值可预测过程（σ（T））T∈[0，T]，然后，具有路径相关损失函数的非参数稳健模型风险度量21值过程U，最坏情况风险V和成本过程η满足以下方程su（T，·）=M（T）+f（Z（T））θZ（T）+cV（T，·）=W（T）Z（T）η（T，·）=W（T）- M（t）- f（Z（t））Z（t）- θC对于所有t∈ [0，T]和所有ω∈ Ohm 使得Z（t）（ω）>0，其中Z、M和W由方程AF=0（P-a.s.）的解确定，受其各自的终端条件限制："OZMWè（t）="OZo l（T，·）f′o zo l（T，·）×zo l（T，·）- fo zo l（T，·）zo l（T，·）×l（T，·）è在实践中，我们更感兴趣的是给出常数函数x 7的f-散度类型→ xf′（x）。这样的f收敛性允许我们直接使用依赖于路径的偏微分方程来求解U和V d。提案5.2。假设存在d∈ (0, ∞) 这样，对于所有x，xf′（x）=d∈ R+，函数f′在单位处发散。此外，反函数g:Imf′→(0, ∞), 提供二次微分函数R x 7→ g（x）1x∈国际货币基金组织\'。值过程和最坏情况风险由正则函数Ut：=U（t，·）和Vt：=V（t，·）确定，解出以下路径依赖的部分微分方程QZ-a.s.AUt+θg′"Aθ（Ut- c） "ag′"Aθ（Ut- c） "a（σtωUt）=0AVt+θg′"Aθ（Ut- c） "aωUtσtg"Aθ（Ut- c） "aωVt=0（5.4），受终端条件UT=Vt=l（T，·）。成本过程ηt=θ（Vt- Ut）对于所有t∈ [0，T]。定义Ic：={θ-1年+年∈ 如果g"Aθ，则解存在(l（T，·）-c） "al（T，·）∈每c可积的Icis∈ R、证明。根据推论4.6，z（t）=g（θ（Ut- c））1Z（t）>0=g（Ut- c））1Ut∈Ic：=g（θ（Ut- c））我们在命题4.5的证明中表明，f′在单位上发散意味着Imf′是一个开放区间，形式为（a，∞).

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2022-6-14 05:54:35

ThenU（t，ω）=θ-1f′（Z（t）（ω））+c>-1a+c∈ Ic适用于所有ω∈ { ω ∈ Ohm | Z（t）（ω）>0}。另一方面，对于所有ω∈ {ω ∈ Ohm | Z（t）（ω）=0}，0=Z（t）（ω）=EQZ（Z（t）1l（T，·）6θ-1a+c | Ft）（ω）+EQZ（Z（T）1l（T，·）>θ-1a+c | Ft）>方程（g（θ(l（T，·）- c））1l（T，·）>θ-1a+c | Ft）（ω）这意味着方程（1l（T，·）>θ-1a+c | Ft）（ω）=0，根据Img=（0，∞), 给定su（t，ω）=EQZ(l（T，·）| Ft）（ω）=EQZ(l（T，·）1l（T，·）6θ-1a+c | Ft）（ω）6θ-1a+c/∈ Ic22 YU FENGfor all t∈ [0，T]，其中g表示二次可微函数R x 7→ g（x）1x∈国际货币基金组织\'。自（Z（t））t∈[0，T]是一个P-鞅，可以用方程的解af=0（P-a.s.），我们有0=Ag（Ut- c））=g′"Aθ（Ut- c） "aAUt+θg′"Aθ（Ut- c） "a（σtωUt）对于所有ω∈ Ohm 使得U（t，ω）∈ Ic，方程等价于Ut+θg′"Aθ（Ut- c） "ag′"Aθ（Ut- c） "a（σtωUt）=0（5.5），注意{ω∈ Ohm | U（t，ω）∈ Ic}在QZ下有测度1，方程abov eholds QZ-a.s。从方程5.3可以看出，P-鞅（Z（t））t∈[0，T]解SDEdZ（T）=A g（Ut- c））dt+σtωg（θ（Ut- c））dW（t）=θg′（θ（Ut- c））σtωUtdW（t）我们可以定义一个过程（Y（t））t∈[0，T]通过随机积分（T）：=Ztθg′（Us- c））g（θ（美国）- c））美国∈Icσt所有t的ωUsadW（s）∈ [0，T]。这将上述SDE转换为dz（t）=θg′（Ut- c））1Ut∈IcσtωUtdW（t）=g（θ（Ut- c））1Ut∈IcdY（t）=Z（t）dY（t），表明过程（Z（t））t∈[0，T]是Doleans-Dade指数，即Z=e（Y）。注意，上述SDE确保（Z（t））t∈[0，T]是局部鞅。为了保证它确实是一个鞅，我们假设Novikov条件，EexpZTθg′（Ut- c））g（θ（Ut）- c））Ut∈IcσtωUtadt！！<∞根据Girsanov定理，QZis下的布朗运动由ad dingan额外的漂移项给出。注意到Ut∈ IcQZ-a.s.，Girsanov定理在P（等式。

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