差额偏差风险：风险度量的替代方案

2022-5-7 07:56:04

1短缺偏差风险：一种风险度量的替代方法Marcelo Brutti Righi Paulo Sergio Ceretta摘要我们提出了短缺偏差风险（SDR），这是一种风险度量，代表以一定概率发生的预期损失，该损失因结果的分散而受到惩罚，结果比预期的差。SDR结合了预期短缺（ES）和短缺偏差（SD），我们也介绍了这一点，考虑了风险概念的两个基本支柱——不良事件的概率和预期的可变性——并考虑了极端结果。我们证明了SD是一个广义偏差度量，而SDR是一个一致的风险度量。我们实现了SDR的对偶表示，并讨论了它的加权ES表示、接受集、凸性、连续性以及与随机优势的关系等问题。通过真实和模拟数据的说明，我们可以得出结论，与VaR和ES相比，SDR在风险度量方面提供了更大的保护，尤其是在风险更大的情况下出现重大动荡时。关键词：差额偏差风险、风险管理、风险度量、一致性风险度量、广义偏差度量。1.引入风险是一个重要的金融概念，因为它对其他概念有影响。在金融动荡时期（例如，金融系统中的危机和崩溃），对风险管理的关注增加。适当的风险管理的一个基本方面是度量，尤其是预测风险度量。风险高估可能会导致代理人保留可用于盈利投资的资本，而低估风险可能会导致非常大的短缺，这可能会让代理人感到担忧。

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2022-5-7 07:56:07

马科维茨（Markowitz，1952）的一项著名研究表明，财务状况的风险已经开始得到更科学的解决。使用变异性度量，如方差、半方差和标准差，已成为代表风险的常见方法。随着金融市场的发展和一体化，以及关键事件的发生，出现了另一种基于更大且可能性最小的损失的衡量方式，即尾部风险。摩根大通（J.P.Morgan）在20世纪90年代初推出的商业产品风险度量采用了一种基于结果分布分位数的风险度量，称为风险价值（VaR）。VaR代表的是一种损失，只有在给定的显著性水平下，才会在一定时期内被超过。自巴塞尔委员会（Basel Committee）批准VaR以来，VaR已成为衡量金融风险的标准工具。巴塞尔委员会是一家为金融机构提供风险管理实践咨询的实体。Duffie and Pan（1997）和Jorion（2007）在研究中检验了VaR。尽管风险度量有着广泛的实际应用，但很少有研究定义了理想风险度量的特征。已有文献讨论、提出和批评风险度量的理论属性。为了填补这一空白，Artzner等人（1999年）开发并引入了一类连贯的风险度量，他们提出了风险度量的公理，以用于实际问题。因此，关于风险度量的理论讨论开始在文献中引起注意，而对仅从实证角度进行的分析的重视程度有所降低。

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2022-5-7 07:56:11

已经开发了其他风险度量类别，2包括F"ollmer和Schied（2002）以及Frittelli和Gianin（2002）同时提出的凸度量，Acerbi（2002）提出的光谱度量，以及Rockafellar等人（2006）提出的广义偏差度量。基于一致性公理和其他风险度量类别，不加区分地使用VaR开始受到相当大的批评，因为它不是凸度量，这意味着多样化头寸的风险可能大于单个风险的总和。此外，VaR完全忽略了利息分位数以外的潜在损失，这可能非常危险。一些研究解决了VaR缺乏一致性的问题，并提出了满足公理的替代方案。因此，超过VaR的损失的预期价值被认为是一种潜在的风险度量。不同的作者用不同的名字提出了类似的概念，以填补已确定的空白。Acerbi和Tasche（2002a）提出了预期短缺（ES），Rockafellar和Uryasev（2002）和Pflug（2000）提出了条件风险值（CVaR），Artzner等人（1999）提出了尾部条件期望（TCE），也称为尾部风险值（TVaR）和最坏条件期望（WCE），Longin（2001）提出了超越风险价值（BVaR），F"ollmer和Schied（2011）将其称为平均风险价值（AVaR）。这些研究表明，与VaR相比，建议的措施具有优势。虽然这些措施的定义非常相似，但ES是金融领域更相关的一致性风险措施。

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2022-5-7 07:56:14

正如Acerbi和Tasche（2002a）所证明的，当这些定义应用于连续分布的数据时，会产生相同的结果。这些作者表明，ES定义的优势在于它的一致性，无论潜在分布如何，以及它在估计中的有效性，即使在VaR估计可能失败的情况下也是如此。Acerbi和Tasche（2002b）讨论了ES一致性的性质，并比较了度量的几种表示，它们更适合于某些建议。在寻找VaR的适当替代方案时，Tasche（2002）指出ES被认为是最相关的风险度量。尽管ES有其优点，但与VaR相比，这种方法的使用频率较低，因为ES的预测由于其复杂的数学定义而具有挑战性。除了其他措施外，还对VaR和ES进行了研究，对其应用优势得出了不同的结果。尽管VaR在许多情况下都存在缺陷，但ES的实施很困难，或者无法解决风险的整个定义，正如Yamai和Yoshiba（2005）、Dowd和Blake（2006）以及Guégan和Tarrant（2012）所建议的那样。其他研究表明，VaR并没有那么糟糕，使用ES可能会产生糟糕的结果，如Alexander和Baptista（2004年）、Dhaene等人（2008年）、Wylie等人（2010年）、Bamberg和Neuhierl（2010年）以及Daníelsson等人（2013年）所述。由于不存在关于适当措施的共识，因此存在其他风险措施的空间。文献中讨论了一致性度量，如Cherny（2006）提出的加权风险值（WVaR），它是ES和CVaR等度量的加权版本。

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2022-5-7 07:56:17

F"ollmer和Knispel（2011）提出了基于指数效用函数的熵测度的一致版本。另一个例子是艾哈迈迪·贾维德（Ahmadi Javid，2012）提出的熵风险值（EVaR）度量，它对应于通过VaR和CVaR之间的不等式获得的最严格的上限。Jadhav等人（2013年）提出了修正的预期缺口（MES），它代表了位于VaR和另一个利息分位数负数之间的损失的预期值，并且总是小于ES。Fischer（2003）考虑了单边措施，即在较高时刻结合均值和半偏差，而Chen和Wang（2008）考虑了双边措施，也包括收益的半偏差。Krokhmal（2007）还考虑了高阶矩，以获得一致的风险度量，作为考虑损失分散的优化问题的解决方案。F"olmer和Schied（2002）提出了空头风险（SR），这是凸的递增损失函数的期望值。Belles Sampera等人（2014年）提出了glue风险值（GLUEVaR），这是两个不同分位数的TVaR与两个分位数之一的VaR的组合。Bellini等人（2014）提倡使用期望值，因为它们是满足相干特性的分位数函数的唯一通用表示。鉴于需要采取新的措施，甚至提出了不能保证连贯性或摆脱传统重点的方法。Jarrow（2002）提出了一种基于看跌期权溢价的衡量方法。Bertsimas等人（2004年）提出了预期损失和预期损失之间差异的概念。

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2022-5-7 07:56:20

Chen和Yang（2011）介绍了加权预期差额（WES），这是一个ES版本，为超过VaR的损失分配不同的非线性权重。Belzunce等人（2012）使用ES和VaR之间的比率，即比例预期差额（PES），以获得不同性质风险的通用度量。为了扩展到多元维度，Cossette et al.（2013）和Counse and Di Bernardino（2013）提出了较低的正态风险值和较高的正态风险值，分别代表一组资产的最大风险值和最小风险值。类似地，Cousin和Di Bernardino（2014）将上下正态VaR概念扩展到TCE案例。Prékopa（2012）将多元VaR定义为多元概率分布的一组分位数。Lee和Prékopa（2013）发展了基于多变量分位数调整的多变量VaR和CVaR的理论和方法。Hamel等人（2013）提出了以集合定义的多元AVaR，而不是以标量甚至向量定义的AVaR。尽管提出了金融市场的其他风险度量方法，但由于其复杂性或与ES的密切关系，这些度量方法并没有取得与VaR或ES相同的成功。损失的预期价值已成为主要关注点。然而，作为风险概念支柱之一的可变性概念在风险度量的定义中被忽略。本研究的中心重点是提出一种风险度量，其中包括极端损失与其在风险度量中的预期值的分散程度。由于在考虑所有可用数据时，具有相同预期回报的两个财务状况可能会表现出不同的可变性，因此，如果只考虑极值，也可能导致差异。

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2022-5-7 07:56:24

在这项研究中，我们考虑了离散度，它是通过代表大于ES的损失的结果的半偏差来测量的。在本研究中，这种偏差被称为短缺偏差（SD）。利用ES和SD的概念，本研究旨在引入一种新的风险度量，即短缺偏差风险（SDR），它可以定义为预期损失，当其超过VaR时，由代表损失大于该预期的结果的分散进行惩罚。虽然这一特点被欧洲标准和相关措施忽视，但SDR也包含了这一特点。SDR除了将两个基本风险概念（不良结果的概率（ES）和预期结果的可变性（SD））组合为一个单一度量之外，还考虑了尾部，这代表了最需要进行适当风险管理的湍流时刻。因此，从这个意义上讲，特别提款权可以被描述为一个更完整的衡量标准。SDR超过了ES，因为由于分散的惩罚，它产生了更高的值，并且可以作为更坚固的保护屏障。基于这个观点，我们详细讨论了SDR的定义，并证明了它的理论性质。SD是Rockafellar等人（2006）提出的广义偏差度量，而SDR是Artzner等人（1999）提出的一致风险度量。除了具体的实际定义外，SDR还具有坚实的理论特性，确保其使用不违反公理假设。使用模拟和真实数据的说明以更实际的方式展示了所提出的概念。我们对学术文献和金融业做出了贡献，因为我们提出了一种新的风险度量，即SDR。尾部分散的概念并不新鲜，因为方差，以及由此产生的截断分布的标准偏差，是一个成熟的概念。

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2022-5-7 07:56:27

然而，Wu and Xiao（2002）、Bali et al.（2009）、Righi and Cereta（2013）和4 Righi and Cereta（2015）等研究并未讨论支持其使用的任何理论性质。Valdez（2005）和Furman and Landsman（2006a）讨论了尾部方差的理论性质，但它们不适用于风险度量类别。这些研究考虑了被VaR截断的方差，同样惩罚了高于和低于ES的损失。因为这个想法是为了惩罚ES测量的风险，所以考虑代表损失大于ES的结果的分散是合理的。Wang（1998）提出了一个尾部偏差，代表了扭曲预期和未扭曲预期之间的差异，证明了其性质。Sordo（2009）将这一概念扩展到标准差之外的其他尾部分散形式。我们的研究推进了这一趋势，因为我们以更完整的方式将SD分量特征表示为广义偏差度量。Fischer（2003）和Chen and Wang（2008）考虑将不同幂次的均值和半方差结合起来，形成一致的风险度量。然而，与这些作者提出的措施不同，SDR是为尾部定义的。Krokhmal（2007）将ES概念（作为优化问题的解决方案）扩展到具有高阶矩的情况，以证明它们是一致的风险度量，并且与广义偏差度量有关系。然而，通过本文作者提出的方法获得的测量值并没有明确的财务含义，例如SDR，它可以直观地定义获得的值。

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2022-5-7 07:56:30

Furman和Landsman（2006a，2006b）提出了一种类似于SDR的度量方法，该方法通过VaR对截断尾部的平均值和标准偏差进行加权，并讨论了一些理论性质。然而，与作者提出的措施不同，特别提款权考虑的损失要高于违约金，这会产生更好的性质，比如损失更高的头寸会带来更高的风险。此外，SDR的加权方案不同，这确保了在更极端的分位数中对偏差的惩罚更大。因此，特别提款权优于这一衡量标准，因为它具有大量的理论性质，并被归类为一种连贯的风险衡量标准。本研究的其余部分结构如下。第2节介绍了符号、定义和初步结果。第3节介绍了主要结果。第4节描述了基于模拟和真实数据的插图。第5节介绍了研究的结论，并倡导将特别提款权应用于金融的不同领域。2.理论背景除非另有说明，内容基于以下符号。考虑一个单周期市场，当前日期为0，未来日期为T。0和T之间不可能有交易。考虑在无原子概率空间中定义的任何资产或投资组合的随机结果X. 因此 X的预期值是否低于. 此外 , 哪里代表绝对连续性，是一个非空集合，因为 , 它代表了概率度量定义于这是绝对连续的. 密度是多少相对于, 它被称为Radon Nikodym衍生物。所有的平等和不平等几乎都被认为是存在的.

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2022-5-7 07:56:34

是X及其逆的概率函数. 因为没有原子，可以假设是连续的，并且在整个研究过程中都会做出这种假设。允许是以X为元素的随机变量的空间 , 按照规范的定义有限p和对于无限p。表明 , 这意味着X对p次幂的绝对值是有限的和可积的。此外 . 在这种情况下，衡量风险相当于建立功能 , 换句话说，将X位的风险汇总为一个数字。5在这里，我们给出了文献中的定义和结果，这有助于拟定措施的理论框架的发展。最初，除了SD和SDR之外，我们首先定义VaR和ES概念，这些概念对于理解提议的度量至关重要。定义1。允许 . 给定一个重要级别 : . (1) . (2) . (3) . （4）备注1。VaR是分位数属于, 它由负号调整，代表0到T之间的损失，只有概率超过它. VaR不考虑兴趣分位数之后的信息，只考虑点本身。

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mingdashike22

2022-5-7 07:56:37

ES克服了这一困难，因为它代表X的期望值，通过负号调整，条件是X代表比VaR更高的损失，即极端损失。我们建议将被ES截断的色散视为惩罚项。该测量值为SD，即与ES相关的半偏差。p的不同值可以包含X的更高阶矩。基于这些定义，我们开发了一个风险度量，通过其离散度来调整极端损失的风险。两个位置可以呈现相同的尾部预期损失，但分散度不同。虽然一个仓位有一定的预期损失，但另一个仓位可能会出现分散，导致出现过高的损失。基于这一推理，特别提款权上升。备注2。SDR同时包含两个风险定义支柱，因为它考虑了极端糟糕结果的可能性和相对于预期值的不确定性。术语表示作为ES惩罚应包括的分散程度，这可能会起到保护作用。较低的产生更高的惩罚，最低限度地减少具有 , 其中ES的原始值被恢复，并且具有 , 其中包含所有SD。价值观的选择允许纳入主观问题，例如代理人的风险规避程度。此外，SDR产生的价值高于ES和VaR，低于最大损失; α也不增加，因为风险度量在更极端的分位数中有更大的值。SDR适用的风险度量类别包括Artzner等人（1999）提出的一致性风险度量。

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kedemingshi

2022-5-7 07:56:40

因此，其目的是证明SDR的此类公理，以及其他性质和特征，如接受集和对偶表示。我们现在定义一致的风险度量。定义2。函数如果满足以下公理，则是一致的风险度量：平移不变性： . 次可加性： . 单调性：如果 , 然后 . 正同质性： .6此外，一致的风险度量可以遵守以下公理：相关性：如果和 , 然后 . 严格： . 法律不变性：如果 , 然后 . 备注3。第一条公理确保，如果某个头寸增加了一定的收益，其风险应该以相同的数量减少。第二个公理基于多元化原则，它意味着组合头寸的风险小于单个风险的总和。第三条公理要求，如果第一个位置总是产生比第二个位置更糟糕的结果，第一个位置的风险总是大于第二个位置的风险。第四条公理与头寸规模有关，即风险随头寸规模成比例增加。相关性公理确保，如果一个头寸总是产生负面结果（损失），那么它的风险就是正面的。严格性公理确保度量足够保守，以超过常见损失预期。Kusuoka（2001）针对一致风险度量提出的定律不变性公理确保了具有相同概率函数的两个位置具有相同的风险。当使用依赖于法律的真实数据时，这一特征对于实际中的风险度量非常重要。备注4。

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mingdashike22

2022-5-7 07:56:43

给出了一致的风险度量, Artzner等人（1999）将验收集定义为 , i、例如，造成没有损失的情况的位置。允许是非负元素的圆锥体让我成为它的反面对应物。每个连贯的风险度量有一套验收单满足以下属性的：包含, 与…没有交集, 是一个凸圆锥体。与此集合相关的风险度量是 , 换句话说，需要添加到位置X以使其可接受的最低资本。Artzner等人（1999）证明，如果验收集满足之前定义的属性，那么与该集相关的风险度量是一致的。如果风险度量是一致的，那么与该度量关联的接受集满足所需的属性。由于SDR度量是ES和SD的组合，在证明其特征之前的第一步是理解SD理论属性，因为ES在文献中已经有了很好的定义。因为它是一个分散系数，SD更好地适应Rockafellar等人（2006）提出的广义偏差度量概念。我们现在定义广义偏差度量。定义3。函数如果满足以下公理，则为广义偏差度量：翻译不敏感：正同质性： . 次可加性： . 非消极性： , 具有对于非恒定X。此外，广义偏差度量可以遵循以下公理：低范围优势：法律不变性：如果 , 然后 .7备注5。

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2022-5-7 07:56:47

第一条公理表明，如果加上一个常数，相对于预期值的偏差不会改变。第二条公理指出，财务状况的风险随着其规模成比例增加。第三条公理确保多样化的原则被度量所捕获。第四个公理类似于关联概念，它表明任何非恒定位置都表现出非负偏差。因此捕捉X中的不确定性程度，其行为类似于X中的常态, 但它不需要对称。下限优势公理将偏差度量限制在低于位置X的期望值和最小值之间的范围内。定律不变性公理意味着具有相同概率分布的金融位置具有相同的风险，并保证可以从真实数据估计广义偏差度量。除了公理之外，还必须定义连续性属性，因为风险度量基本上是需要这些属性来确保特定结果的函数。因此，我们现在定义连续性属性。定义4。允许 . 风险度量也就是说：如果有常数，Lipschitz连续以至于 . 如果从上面连续 , 即。，汇聚 a、从更高的值到X，意味着如果从下面连续 , 即。，汇聚 a、从较低的值到X，意味着法头连续if 和 , 即。，是有限的和收敛的 a、从s到X，带着 , 然后勒贝格连续if 和 , 即。，是有限的和收敛的 a、从s到X，带着 , 然后 .

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2022-5-7 07:56:50

鉴于连续性属性，一致性风险度量可以表示为概率度量生成的场景中X的最坏可能预期结果 . Artzner等人（1999年）提出了离散空间。Delbaen（2002）推广了连续空间，井上（2003）考虑了空间 . 正如Rockafellar等人（2006）所证明的，也可以用类似的方法表示广义偏差度量，并进行适当的调整。以下结果正式保证了这些陈述。定理1。德尔巴恩（2002年），井上（2003年）。是一种持续一致的风险度量，当且仅当它可以按照 , 哪里是和 . 定理2。Rockafellar等人（2006年）。函数是一个Fatou连续广义偏差测度，当且仅当它可以表示为 , 哪里是, 对于任何非常数X，这里是8 具有 , 以至于 . 有限性等价于 . 满足下限支配公理当且仅当 . 布景为广义偏差度量唯一定义被称为风险信封。3.主要结果本节的主要目的是证明特别提款权作为一种风险度量的理论性质。基于上一节的定义和结果，我们首先证明了SD作为广义偏差度量的公理和表示。定理3。

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2022-5-7 07:56:55

功能在（3）中定义了一个广义偏差度量，它满足低范围优势和定律不变性公理，具有风险包络, 哪里 . 证据首先，有必要证明SD满足公理。因此，我们一个接一个地证明它们。基于这些公理和之前的结果，我们得到了对偶表示。i）翻译不敏感。因为 , 我们有 . ii）正同质性。因为对于 , 我们有 . iii）次可加性。因为, 和都是次编辑，我们有 . iv）非消极性。根据定义，SD是一个只能假设非负值的p-范数。对于非常数X的严格正性，注意 , 如果 . 因此 , 根据定义， .9 v）低范围优势。考虑不等式序列 . 因为不断地在两边进行这些运算不会改变不平等，因为这两个项都是非负的，我们有 . 因此 .

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2022-5-7 07:56:58

vi）法律不变性。假设 , 我们有 . 因此对于 . vii）双重代表。SD是凸的，因为它符合次可加性和正齐性公理。它还满足定律不变性公理，这意味着它是法图连续的，如Jouini等人（2006）对无原子空间的证明。根据定理2，SD可以用对偶表示来刻画。共轭空间是具有 . 由概率测度形成的风险包络应该这样定义这些步骤是合理的，因为和 , 哪里是. 此外，根据定理2，我们有和 ; 最后一个不等式是由下限支配公理引起的。因此 . 因此，我们有双重代表性 , 哪里 □ 备注6。Grechuk等人（2009）表明，具有定律不变性公理的广义偏差度量可以表示为 , 哪里是一组非递增函数 , , , .

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2022-5-7 07:57:01

这种表示法的灵感来自于Kusuoka（2001）和Acerbi（2002）分别提出的具有定律不变性公理和谱测度的相干测度。就SD而言，我们有 . 基于为SD证明的特性，我们现在将重点转向SDR。由于SDR是ES和SD的组合，我们使用这两个度量的已知属性来证明SDR10公理。我们还讨论了文献中其他理论结果的表述和含义等问题。定理4。功能（4）中定义的是一个一致的风险度量，它满足相关性、严格性和法律不变性公理。此外和是不是在增加和. 它的双重代表性是, 哪里 ; ; . 证据首先，有必要证明SDR满足公理。基于这些公理和以前的结果，我们证明了它与其他度量的关系、参数的不递增性和对偶表示。iv）翻译不变性。因为ES满足这个公理，SD满足翻译不敏感公理，所以我们 . ii）次加性。因为ES和SD都是次可加的， iii）单调性。

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2022-5-7 07:57:04

假设 , , 以至于 . 由于SD的低范围优势公理，和 , 我们有 . 因此 . 根据SDR的次加性，我们有 . iv）正同质性。因为ES和SD都有这个公理 , 我们有 . v）相关性。因为ES尊重这个公理，因为它是一个期望，SD满足非负性公理，比如和 , 我们有 . 因此 . vi）严格。根据定义， . 因为ES在减少 SD满足非负性公理，我们有 . 因此 . vii）法律不变性。因为ES和SD满足这个公理，假设 , 我们有 .11 viii）与其他措施的关系。由于ES是一种预期，它考虑了VaR之外的信息， . 因为SD满足非负性公理，我们有 . 根据下限优势公理， . 因此 . ix）参数不增加。从…起和 , 我们有是不是在增加. 证明这一点对我来说也是一样的, 假设相反，即。，对于 . 因此，我们有因为 . 然而 , 暗示 , 但这是一个矛盾，因为 . x）双重代表。

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2022-5-7 07:57:07

因为SDR是相干的，并且满足定律不变性公理，所以它是法图连续的，如Jouini等人（2006）所示。根据定理1，我们可以根据对偶表示刻画SDR。我们必须定义由概率测度形成的子集 . 根据Rockafellar等人（2006年）的研究，广义偏差度量包括, 具有 , 有风险信封 . 因此 . Delbaen（2002）表明 , . 因此，我们有 . 哪里 . 为了证明这一点是由有效措施组成的，只需验证 , , , . 此外因为假设相反的情况会发生 , 因此， . 因此 , 矛盾。□ 备注7。

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2022-5-7 07:57:10

定律不变性公理是最基本的，因为它意味着风险度量可以由真实数据估计；换句话说，它可以用于实际的风险度量。Kusuoka（2001）表明，满足定律不变性公理且为Fatou连续的一致风险度量在数学上可以表示为, 哪里概率度量是否定义在. Jouini等人（2006）证明，在标准空间中定义的法律不变凸风险测度将自动是Fatou连续的。Svindland（2010）通过放松概率空间是标准的假设，仅要求它是无原子的，从而推广了Jouini等人（2006）的结果。由于SDR是相干的，并且满足定律不变性公理，因此它可以表示为ES组合的最高值。当我们考虑无原子空间时，我们可以定义一个连续变量, 均匀分布在0和1之间，这样 . 对于 , 我们可以代表 , 其中H是单调递减函数。为了在双重代表中获得最高权力，必须是关于X的反单调的具有而且知道对于连续分布，基于对偶表示，我们有 . 因此，我们只需确定措施这些都是候选人。按照同样的逻辑，我们有 , 和 .

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2022-5-7 07:57:13

因此，通过转换限制，可获得以下集合： ; ; ; . 因为 , , , 我们有 , 具有 . 因此，我们得到了表达式 , 哪里 . 备注8。因为SDR是一种连贯的风险度量，一种包含, 没有交叉点这是一个凸锥，可以根据Artzner等人（1999）建立。此集合采用以下形式： , 具有 . 这一概念与资本监管问题密切相关，因为它能够检查需要维持的资金量，以防止SDR衡量的损失，即使头寸可接受，因为 . 如果该值为负值，则表示在头寸不被接受的情况下可以提取的资本金额。接受集逻辑由平移不变性公理推导而来。El Karoui和Ravanelli（2009）将平移不变性公理放松为次加法形式，以解决利率的不确定性。这条公理13表明 . 显然，平移不变性公理是一个特例，SDR以次加法形式满足这个公理。备注9。

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2022-5-7 07:57:15

由于SDR具有一致性，因此被纳入了F"ollmer和Schied（2002）以及Frittelli和Gianin（2002）提出的凸风险度量类别。这个类放松了正齐性和次可加性公理，并用弱凸性公理代替它们。这条公理规定，多样化头寸的风险小于或等于单个风险的加权平均值，数学形式给出 . 关于对偶表示，凸风险度量是根据 , 哪里是一个凸惩罚函数，根据 , 具有 . 就特别提款权而言，我们有 , . 凸性对于优化问题至关重要，例如与资源分配相关的所有问题。因此，特别提款权是资源分配中需要考虑的有效措施。此外，这将是SDR作为优化问题解决方案发展的一个有趣的增强。备注10。因为SDR是一个函数，连续性属性变得很有趣。如定理4的证明中所述，由于它是凸的且满足定律不变性公理，Jouini等人（2006）的结果确保SDR是法图连续的。由于平移不变性和单调性公理，暗示 . 因此 . 通过颠倒X和Y的角色，我们得到了 . 通过结合这两个不平等， . 因此，SDR是Lipschitz连续的。根据Kr"atschmer（2005），SDR从上到下是连续的，因为它符合凸测度类，并且具有双重表示。

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kedemingshi

2022-5-7 07:57:19

由于我们只考虑有限值，根据Kaina和Rüschendorf（2009）关于有限凸测度的结果，SDR从下到下是连续的，Lebesgue是连续的。备注11。一个关键问题是在决策中使用风险度量。因此，风险度量尊重随机优势序是非常重要的。SDR基于Leitner（2005）和B"auelle and Müller（2006），通过满足定律不变性、单调性和凸性公理，符合二阶随机优势；换句话说，暗示 . 因此，规避风险的投资者，即具有凹效用函数的投资者，其偏好会通过特别提款权反映出来。因此，法律不变凸风险测度具有 , 在任何情况下，头寸的风险都大于其条件预期价值的风险 . 这种关系与单调性公理的修改有关，这是Leitner（2004）为Fatou连续一致风险度量引入的扩展单调性公理。考虑 , 哪里是所有可能事件子空间的族. Y是X的扩张， , 如果有以至于 . 如果度量满足扩张单调性公理，则可以保证 , 然后 . SDR满足这一公理，因为正如Cherny和Grigoriev（2007）所证明的，满足无原子概率空间中定义的定律不变性公理的每个凸风险度量也满足扩张单调性公理。基于这些特性，SDR成为决策应用中一个非常有趣的度量，因为它反映了偏好关系。14备注12。

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2022-5-7 07:57:22

SDR也适用于其他灵活的风险度量类别，如Kou等人（2013）提出的自然风险度量。这类度量所满足的公理，除了正同调性和单调性公理外，还包括平移缩放公理（平移不变性公理的缩放版本），共单调次可加性公理（仅对共单调变量要求次可加性，即具有完全正关联）和经验定律不变性公理（一个包含数据中任何排列的版本）。因为这些公理比我们为SDR证明的公理弱，所以建议的度量是这类公理的一部分。此外，如果我们考虑到适应性 , Cont等人（2010年）和Staum（2013年）的定义中包含了由此产生的度量，他们引入了仅考虑损失的度量，以及单调性和凸性公理，并对平移不变性公理进行了修改。SDR除了具有直观的金融和经济意义外，还具有坚实的理论属性。基于这种结构，我们认为特别提款权是一种重要的风险度量方法，可用于金融问题，如实际风险度量、资本要求、资源配置和决策以及其他知识领域。4.插图在本节中，我们使用模拟和真实数据提供了一个插图，以更实际的方式探索此类概念。我们在简单模拟的基础上展示了一些图，以可视化度量的定义。此外，基于蒙特卡罗模拟和真实数据的结果被用于说明不同情景和时期与主要风险度量VaR和ES的关系。

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2022-5-7 07:57:25

重点不是分析建模、回溯测试甚至不同金融应用程序的细节等问题，而是SDR应用于金融数据时的行为。我们使用的是被称为历史模拟（HS）的实证方法，这是一种非参数方法，不会对数据产生任何假设，是学术研究和金融行业中使用最广泛的方法。Pérignon和Smith（2010）指出，76%披露其风险评估程序的机构使用HS。尽管HS受到了批评（Pritsker，2006），但这里的重点不是讨论估算细节，甚至不是比较模型。因此，我们选择了最常见、最简单、最灵活的模型。更具体地说，让我们是经验分布的; 那么，所考虑的度量的估计值是一致的（5）： , , , . （5）在（5）中，是样本量，是显著性水平，以及指示函数，如果*为真，则假定值为1，如果*为假，则假定值为0。 . 是经验分位数的负数, 是低于这个分位数的平均值的负数，功率p下的半偏差是否低于, 和是和. 作为第一个可视化，图1显示了假设样本X~N（0.1）的左尾，其VaR、ES和SDR值以及符号调整为α=0.01、p=2和β=1。这15项指标是根据（5）计算的，样本量为 . 很明显，SDR定义了优于ES的保护，因此也优于VaR。

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2022-5-7 07:57:28

为了证明SDR的行为，在图2和图3中，我们展示了VaR、ES、SD和SDR在不同显著性水平下的演变，也根据（5）进行了计算。图2表示高斯情况没有沉重的尾巴，而图3所示的情况是, i、例如，学生的t分布带有重尾，这可能更好地代表金融资产的行为。这里我们还考虑了 . 由于VaR、ES和SDR度量概念之间的直接关系，我们可以观察到它们之间存在一个共同的演化因子。然而，每种度量所指示的风险大小不同，可能代表SDR相对于其余两种度量所提供的更大安全性。图1-VaR、ES和SDR，带负号，用于 , 和对于.16图2–风险值、ES、标准差和特别提款权作为具有, 和 . 图3–风险值、ES、标准差和特别提款权作为具有, 和 .17图2和图3中的曲线图还表明，当存在重尾时，测量值会达到更高的值。如前所述，SDR指标始终高于ES，即高于VaR。在Student t分布的情况下，这种差异在最极端分位数的方向上增加，而在高斯分布的情况下，观察到相反的行为。这可以用尾色散SD的行为来解释，在Student t分布的情况下，尾色散SD在极端分位数中增加，但在高斯分布的情况下，由于前者和后者之间极端事件发生的概率增加，尾色散SD在极端分位数中减少。所有的衡量标准都倾向于与价值观相等什么时候趋于零。

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mingdashike22

2022-5-7 07:57:31

图4显示了提议的风险度量SDR获得的价值与和 , 对于这种情况，p=2. 这里我们还考虑了 . SDR测量值随温度的降低而增加和值，代表更极端的分位数和更大的风险厌恶。图4还显示了指数平滑模式，它反映了ES上的SD惩罚系数。图4——SDR作为和对于 , , 和. 为了评估SDR行为，通过蒙特卡罗模拟进行了更复杂的分析。结果X由条件均值的自回归（AR）过程和条件方差AR（1）-GARCH（1,1）的广义自回归条件异方差（GARCH）过程生成。这种类型的规范经常被认为是分析金融数据的风险度量，因为它考虑了每日收益的程式化事实，如Angelidis等人（2007）所指出的波动性集群和重尾等。该过程根据（6）进行参数化。 ,18 （6）在第（6）条中，, , 和对于周期t，是回报、条件方差、期望创新和一个带有Student t分布的白噪声序列和 , 分别地此外是无条件（样本）方差。四种情况被认为包括：( ) 或者不包含( , i、 e.正态分布）极端回报（重尾）的存在，以及低收益期( ) 而且很高( ) 波动。

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