此外，最坏情况鞅密度Z（T）=eθ(l（T，·）-c）-1> 0提供了一个与参考度量值P等价的度量值qzt。组合推论4。7用命题5.2代替g（x）=ex-1在公式5.4中，我们得到了适用于库尔贝克-莱布勒散度的以下推论。推论5.3。在Kullback-Leibler散度下，支持E"AEθl（T，·）"a<∞. 因此，模型风险量化问题有一个独特的解决方案。用正则函数Ut：=U（t，·）和VT：=V（t，·）确定的价值过程和最坏情况风险，解出以下路径依赖的偏微分方程P-a.s.AUt+θ（σtωUt）=0AVt+θωUtσtωVt=0（5.8），受终端条件UT=Vt=l（T，·）。成本过程ηt=θ（Vt- Ut）对于所有t∈ [0，T]。实际上，路径相关的偏微分方程（方程式5.8）通常很难求解。然而，我们可以将公式5.8转换为一种特殊类型的路径依赖y的正常非线性偏微分方程，公式为l（T，·）=h（T，X（T））+ZTh（T，X（T））dt+ZTh（T，X（T））dX（T）（5.9），对于某些函数h:[0，T]×Rd→ Rdand hi：[0，T]×Rd→ R（i=1，2）。我们进一步将规范过程X限制为伊藤微分类。这意味着该过程是马尔可夫过程，并且存在函数u：[0，T]×Rd→ Rd和σ：[0，T]×Rd→ Rd使得ut=u（t，X（t）），σt=σ（t，X（t））。路径相关的偏微分方程（方程式5.8）退化为正常的偏微分方程。推论5.4。在Kullback-Leibler散度下，假设E"AEθl（T，·）"a<∞, 标准过程（X（t））t∈[0，T]求解SDE，dX（T）=u（T，X（T））dt+σ（T，X（T））dW（T），以及累积损失l（T，·）采用式5.9的形式。

如果存在函数24 YU FENG▄u:[0，T]×Rd→ 求解部分微分方程的Ru（t，x）t+u（t，x）癨u（t，x）x+h（t，x）a+θθσ（t，x）θu（t，x）x+h（t，x）aa+TrCσ（t，x）u（t，x）xa+h（t，x）=0（5.10）和函数v:[0，t]×Rd→ 求解基本微分方程的Rv（t，x）t+θθθu（t，x）x+h（t，x）aσ（t，x）v（t，x）x+h（t，x）a+u（t，x）v（t，x）x+h（t，x）a+Trσ（t，x）v（t，x）xa+h（t，x）=0（5.11），根据终端条件▄u（t，·）=▄v（t，·）=h（t，·），然后是价值过程、最坏情况风险和成本过程，用常规函数确定，接下来是▄u（t，x（t））+Zth（s，x（s））ds+Zth（s，x（s））dX（s）Vt=▄v（t，x（t））+Zth（s，x（s））ds+Zth（s，x（s））。s）和ηt=v（t，x（t））- 所有t的u（t，X（t））"a∈ [0，T]。证据我们首先定义正则泛函▄U，▄V：∧dT→ R乘以▄Ut：=Ut-Zth（s，X（s））ds-Zth（s，X（s））dX（s）~Vt：=Vt-Zth（s，X（s））ds-Zth（s，X（s））dX（s）（5.12）水平和垂直导数可从公式5.12中得出，D▄Ut=DUt- h（t，X（t））和DVt=DVt- h（t，X（t））ωИUt=ωUt- h（t，X（t））和ωИVt=ωVt- h（t，X（t））ωИUt=ωUtandωИVt=ωvt将上述方程代入方程5.8，我们将方程。

5.8 toDUt+u（t，X（t））"AωИUt+h（t，X（s））"a+σ（t，X（t））"AωИUt+h（t，X（s））"a+Tr"Aσ（t，X（t））ωИUt"a+h（t，X（t））=0（5.13）和dVt+θωИUt+h（t，X（s））"aσ（t，X（t））"AωИVt+h（t，X（s））"a+u（t，X（t））"AωИVt+h（t，X（s））"a+Tr"Aσ（t，X（t））ωИVt"a+h（t，X（t））=0（5.14），如果在∧u上存在函数：[0，t]×Rd→ 求解偏微分方程的Ru（t，x）t+u（t，x）癨u（t，x）x+h（t，x）a+θθσ（t，x）θu（t，x）x+h（t，x）aa+TrCσ（t，x）u（t，x）xa+h（t，x）=0非参数稳健模型风险度量，路径相关损失函数为25，函数为v:[0，t]×Rd→ 解决问题的Rv（t，x）t+θθθu（t，x）x+h（t，x）aσ（t，x）v（t，x）x+h（t，x）a+u（t，x）v（t，x）x+h（t，x）a+Trσ（t，x）v（t，x）xa+h（t，x）=0然后，由▄Ut：=▄u（t，x（t））和▄Vt：=▄v（t，x（t）），定义的正则泛函，对于所有t∈ [0，T]，满足等式。5.13和5.14。如果所有X保持u（T，X）=v（T，X）=h（T，X），则满足终端条件UT=VT=h（T，X（T））∈ R请注意，式5.10-5.11是非线性抛物偏微分方程，一般必须用y.6数值求解。结论性意见本文为制定和解决路径依赖环境下的模式l风险量化问题提供了一个理论框架。我们需要几个因素来描述这个问题，包括终端时间T，一个（路径相关的）损失函数l, 标称模型（即规范过程（Xt）t∈[0，T]在标称测量值P）和一些f-下降趋势下。这种方法的非参数性质依赖于f-散度来限制适当的替代模型集。然而，这仅适用于与标称测量值完全连续的测量值。更通用的距离度量，如Wasserstein度量，可以替代（Feng和Schl¨ogl，2018）。

尽管存在这种不完全性，f-散度，尤其是Kullback-Le-i-bler散度，对于路径依赖的ent问题来说是最容易处理的，并且可以得到简单的结果。ReferencesAli，S.M.和S.D.Silvey（1966年）。一类分布与另一个分布的发散系数。皇家统计学会杂志。B系列（方法学），131–142。Artzner，P.、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath（1999年）。一致的风险度量。数学函数9（3），203–228。Bally，V.、L.Caramellino和R.Cont（2016年）。泛函Kolmogorov方程。部分和函数It^o演算的非随机积分，第183–207页。斯普林格。Bann–or、K.F.和M.Scherer（2013年）。用凸风险测度捕捉参数风险。《欧洲精算杂志》3，97–132。Basseville，M.（2013）。用于处理带注释书目的统计数据的分歧度量。93(4), 621–633.Boucher，C.M.、J.Danielsson、P.S.Kouontchou和B.B.Maillet（2014年）。风险模型——有风险。《银行与财务杂志》44，72–92。Branger，N.和C.Schlag（2004年）。模型风险：风险度量和对冲的概念框架。Cont，R.（2006年）。模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。数学金融16（3），519–547。Cont，R.（2016年）。泛函It^o演算和泛函Kolmogorov方程。部分和函数It^o演算的内弹性积分，第115–207页。巴塞尔：Birkhauser。26 YU FENGDetering，N.和N.Packham（2016）。未定权益的模型风险。Q UAntitiveFinance 16（9），1357–1374。Feng，Y.和E.Schl¨ogl（2018）。瓦瑟斯坦距离下的模型风险度量。F¨ollmer，H.和A.Schied（2002年）。风险和交易约束的凸度量。金融与随机6（4），4 29–447。Glasserman，P.和X.Xu（2014）。稳健的风险度量和模型风险。《反垄断金融》14（1），29–58。Gupta，A.、C.Reisinger和A。

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