风险度量的模型空间

2022-5-31 05:37:59

风险度量的模型空间Felix Benedikt-Liebrich*Gregor Svindland+德国曼彻斯特大学慕尼黑分校数学系2017年9月14日摘要我们展示了最初在无模型框架中根据接受集和参考资产定义的风险度量如何暗示有意义的潜在概率结构。此后，我们构建了一个最大的风险度量定义域，该定义域涉及潜在的模糊性。我们特别强调流动性影响，并讨论风险度量的属性与该领域的结构以及次差异性属性之间的对应关系。关键词：无模型风险评估、风险度量的扩展、风险度量的连续性属性、subgr adientsMSC（2010）：46B42、91B30、91G801简介关于金融风险度量的正确模型空间，即关于风险度量定义的理想域是什么，目前仍存在争议。通常，作为风险发生者，在随机性面前，要测量的风险是在一些可测量空间上用实际价值和变量识别的(Ohm, F）。然而，引起争论的问题是，应该使用哪个随机变量空间作为模型空间。由于风险通常被理解为关于潜在概率机制的奈特式不确定性，许多学者认为，模型空间应该是稳健的，不能过于依赖于某些特定的概率模型。我们将这种非mativeviewpoint称为最小模型依赖的范式。文献通常建议以下模型空间之一：（i）Lor-LP，所有随机变量的空间或P-几乎肯定（P-a.s.）等价的随机变量类，对于某些概率测度P(Ohm, F）分别参见[6，7]；（ii）L∞或L∞P、所有有界随机变量或P-a.s。

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2022-5-31 05:38:02

有界随机变量的等价类，分别参见[6、7、1、5、16、23、25]及其参考文献；（iii）LpP，p∈ [1，∞), 随机变量的P-a.s.等价类的空间，具有有限的时间矩，或更多的基因集合或ICZ心脏，参见例[3，5，17，29]。（i）和（ii）中的空间满足土地L中的最小模型依赖性∞完全没有模型，而LPand L∞Pin事实仅取决于概率度量P的空集。然而，选择Lor LP的问题在于，这些空间通常很难合理定义基于聚合的风险度量。后者需要某种积分才能很好地定义。此外，如果(Ohm, F）不明确，Lor LP*电子邮件：liebrich@math.lmu.de+电子邮件：svindla@math.lmu.dedo不允许局部凸拓扑使其不适合优化。然而，风险度量的重要应用将其用作优化问题的目标函数或约束。自L起∞和L∞Pare-Banach空间，特别是局部凸空间，满足最小模型依赖，这些模型空间在文献中最为流行，其中特别是L∞更好的分析性能；参见【6、7、15、16、23、25】及其参考文献。然而，在应用中，无界风险模型是标准的，如Black-Scholesmarket模型中的对数正态分布等。假设市场无摩擦，交易量没有上限，因此金融头寸的价值也没有上限。因此，无界分布很自然地成为有界分布的限制对象，并且在随机支付的统计建模中，无法先验地使用上界。此外，保险业务中通常使用具有无限支持和潜在重尾分布的风险。

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2022-5-31 05:38:05

因此，从这个角度来看，模型空间应该满足最大域的范式，它们至少应该足够大，以包括这些标准无界模型，并且（iii）中的模型空间已经被提出来解决这个问题。但问题在于LpP的强烈依赖性，p∈ [1，∞), （或在一般情况下，Orlicz心脏）的概率度量，因为它们在度量的等价变化下不再不变。因此，最大领域和最小模型依赖似乎是有冲突的范例。在法律不变风险度量的特殊情况下，测量的风险完全由概率度量P下的风险分布决定(Ohm, F）。因此，法律不变性就绪（law不变性就绪）意味着存在一个有意义的参考概率模型P，而风险度量完全依赖于P。因此，歧义结构使得定义这些风险度量（例如，LP）不是一个概念问题（见【14】）。最近的观察表明，只要潜在的概率结构是由所考虑的风险度量确定的，最小模型依赖和最大域的范式可能不会像它们看起来那样具有冲突性。很明显，像l这样的mo de l空间∞Pis能够有效地进行任何类型的风险度量。

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2022-5-31 05:38:08

但如果给定特定的风险度量，则定义为∞P-及其反映的相应模糊态度，这是一个尊重这种模糊态度的模型空间，也包含风险度量，可能大于L∞P、也是特定风险度量的合理模型空间，如（明确的）法律不变风险度量和模型空间LP。我们的出发点是模式l空间l上的先验完全模型fre e设置∞anda从Farkas、Koch Medina和Munarin（例如，[13]和Munar i in[26]）中采用的风险度量的一般概念：它所需要的只是损失的可接受性的概念（由接受s e t a编码 L∞), 允许对冲的流动交易证券组合（由子空间S表示 L∞), 以及这些证券的一组可观察价格（S上的线性函数p）。使用这样的风险度量制度R=（a，S，p），我们可以确定风险ρR（X）是为了确保损失X必须支付的最低价格∈ L∞这种方法具有明确的操作解释的无可争议的优势。第2节在统一的一般框架中介绍了这种风险度量。在第3部分中，我们观察到，在s标准近似下，风险度量的性质是有限的——从上面看，连续性自动意味着一个参考概率度量P，它允许我们查看定义在L上的风险度量∞p无任何信息丢失。这一经常被认为具有相关性的观察结果必然意味着该框架处于主导地位，这为当前关于无模型和反垄断融资的讨论提供了新的、批判性的线索。

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2022-5-31 05:38:12

接下来，我们证明了在一些进一步的条件下，例如敏感性和严格单调性，我们甚至可以找到一个强参考概率度量*≈ P另外十、∈ L∞P： ρR（X）≥ cEP公司*[十] 保持适当的常数c>0。这些强参考概率度量可作为基准模型的一类，与使用线性风险估计规则X 7相比，使用ρRis的风险估计更加保守→ cEP公司*[十] 。在第4.1节中，我们讨论了这些考虑因素如何导致Banach空间LR。事实上，法律不变的风险度量是完全明确的。比L大得多∞P、它具有许多理想的性质，例如o在所有强参考概率模型和弱参考概率模型下的不变性；o完全由r isk度量ρr；o确定的几何体稳健性，因为它扩展了初始风险准则ρR，用ρR表示，它保留了ρR的m的泛函、对偶表示，从而保持了凸性和下半连续性。此外，这一扩展ρRis是指在保值证券和定价函数不变的情况下的资本要求，但其可接受性的概念是通过不断将约束定义a扩展到LR而获得的。在后一种意义上，LR可以被视为初始风险标准的自然最大定义域，在该定义域上存在歧义态度。我们还考虑了由ξ（X）=limm给出的lr中ρRto无界损耗函数的以下单音扩展→∞画→∞ρR((-n）∨ 十、∧ m） =supm∈Ninfn∈NρR((-n）∨ 十、∧ m）和η（X）=limn→∞limm公司→∞ρR((-n）∨ 十、∧ m） =infn∈Nsupm公司∈NρR((-n）∨ 十、∧ m）例如，已经在[7，31]中研究过。有人可能会认为ρИR=ξ=η，但事实证明ρИR=ξ始终成立，而ρИR6=η是可能的，请参见示例5.2。

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2022-5-31 05:38:15

我们描述了当风险的单调近似在以下意义上ρИR（X）=η（X）=limn时通常需要的规则情况→∞ρR((-n）∨ 十、∧ n）（1.1）是可能的，见定理4.7，并表明（1.1）成立，如果ρrS在风险X的尾部显示有效连续性。例如，任何可以应用某种单调或支配收敛规则的风险度量都将满足（1.1）。在第4.2节中，我们分解了具有流动性风险明确解释的Rinto子集，并展示了LRallows如何通过拓扑透镜查看风险度量ρОr的属性。最后，在第4.4节中，我们根据第4.3节中对LR的二元性的简要描述，讨论了ρ▄Ron LR的次微分问题。次梯度在风险优化中起着重要作用，并在最优风险分担方案中作为定价规则出现，参见[20，31]。我们将看到，LR上的拓扑结构由ρRis确定，足以保证ρRis次微分的点的丰富类别，从而进一步说明模型空间位置ρR的适用性。除了其存在之外，我们还寻求合理的条件，确保次梯度对应于(Ohm, F） -这意味着排除了LR对偶空间中可能存在的奇异元素。这样做的动机与L的情况相同∞p通常在对偶空间中也允许奇异元素。值得怀疑的是，这种单一的双重因素是否合理，例如定价规则，因为它们的影响主要在于分布的尾部，而缺乏可计算的可加性，则会影响边际风险递减的范式。此外，测量结果显示出更好的分析性能，这在解决优化问题时可能是至关重要的。

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2022-5-31 05:38:18

我们的研究结果表明，在许多情况下，单一事件并不真正重要。特别是，我们还将看到，定理4.7中描述的局部等式（1.1）与ρИRandη的正则次梯度密切相关。在第5节中，我们收集了插图示例。一些繁琐的证明外包给附录A和附录B。2一些初步说明和术语：给定一组M 6= 和函数f:M→ [-∞, ∞], 我们将f的域定义为dom（f）={m∈ M | f（M）<∞}. 如果f未达到该值，则称为“正确”-∞ 和dom（f）6=.对于顶部逻辑空间（X，τ）的子集a，我们分别用clτ（a）和intτ（a）表示a相对于拓扑τ的闭合和内部。如果（X，τ）是拓扑向量空间，τ由X上的范数k·k生成，我们将用k·k替换下标τ，) 如果（X，τ）是拓扑向量空间，则称为有序拓扑向量空间是与拓扑学兼容的部分向量空间序，其中X的正锥由X+：={X表示∈ X | 0 十} ，是τ-闭合的。我们定义++：=X+\\{0}，和X-和X--类似地。如果（X，τ，) 是z空间和X，Y∈ X，我们设置X∨ Y：=sup{X，Y}，X∧ Y：=inf{X，Y}，X+：=X∨ 0和X-:= (-X）∨ 在本节中，我们定义了风险度量制度和风险度量，讨论了风险度量可能享有的一些属性，并介绍了对偶理论的构建块。定义2.1。Let（X，τ，) 是一个有序拓扑向量集。接受集是X的非空真凸子集a，它是单调的，即a- X个+ A、安全空间是一个有限维线性子空间S（X），包含一个非Null正元素U∈ S∩ X++。我们指的是元素Z∈ 作为证券投资组合，或暗示证券。

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2022-5-31 05:38:21

S上的定价函数是正线性函数p:S→ R使所有Z的p（Z）>0∈ S∩ X++。如果A是接受集，S是安全空间，p是S上的定价函数，则三重R：=（A，S，p）是一种风险度量机制，从而十、∈ X：sup{p（Z）| Z∈ S、 X+Z∈ A} <∞. （2.1）与风险度量制度R相关的风险度量是函数ρR:X→ (-∞, ∞], X 7→ inf{p（Z）| Z∈ S、 X个- Z∈ A} 。（2.2）我们对风险度量的定义受到了【13，26】的启发。注意：（a）元素X∈ X模型损失，而非收益。因此，ρR（X）是目前必须投资于某些证券投资组合Z的最小金额∈ S带Payoff-为了将明天的损失减少到可接受的水平。（b）我们规定了接受集A的凸性，这意味着多样性不会受到惩罚：如果X和Y是可接受的，那么多样性λX+（1- λ） Y表示任意λ∈ （0，1）。（c）风险计量制度的概念取决于（2.1）中a、S和p的相互作用；这个条件保证ρRis是一个适当的函数。【13，命题1和2】在我们的se nse中，R作为风险度量制度的收益率标准。对于某些U，如果S=R·U∈ X++和p（mU）=m，m∈ R、可从定义2.1中恢复具有单一流动性合格资产的[11，12]设置。如果X是弱第一单元的Riesz空间，S=R·1，p（m1）=m，m∈ R、定义涵盖了[16]中全面讨论的凸货币风险度量。下面很容易验证：引理2.2。设R=（A，S，p）是有序拓扑向量空间X上的风险度量区域。然后ρRis凸，单调，即X Y表示ρR（X）≤ ρR（Y），andS加法，即ρR（X+Z）=ρR（X）+p（Z）适用于所有X∈ X和所有Z∈ S、在相同的抽象环境中，我们引入了风险度量可以享受的更多属性。定义2.3。

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大多数88

2022-5-31 05:38:24

设R=（A，S，p）是有序拓扑向量空间（X，τ， ) 并让ρRbe作为相关的风险度量ρRis称为有限，如果它只取有限值，或等效为A+S=X。有关有序向量空间的详细信息，请参阅[1]的第5章和第7章。由于风险度量将出现在所有情况下不同定义域的处理中，随机变量空间具有逐点或几乎确定的顺序和不同的拓扑，因此我们将其定义为有序拓扑向量空间上的泛函。然而，读者可能会认为X是一个随机变量的空间作为后者的一个明智或几乎肯定的顺序。在下文中，我们将使用“货币风险度量”一词来指代这种特殊情况。[13，命题1-3]给出了决定ρ是否确定的进一步标准如果ρR（0）=0，则ρRis归一化，或等效supZ∈A.∩Sp（Z）=0ρRis相干if对于任意X∈ 对于任何t>0ρR（tX）=tρR（X）保持不变如果满足所有X的ρR（X）>ρR（0），则ρRis敏感∈ X++。oρRis下半连续（l.s.c.）如果每个下水平集{X∈ X |ρR（X）≤ c} ，c∈ R、是τ-闭合的。oρRis从上往下连续，如果它是有限的，对于ny（Xn）n∈N X带Xn↓ Xin阶ρR（X）=limnρR（Xn）成立。备注2.4。（i）法线表示负锥X-（无损失）是可以接受的，这在经济上是合理的。满足ρR（0）的每个风险度量∈ R可以通过转换acc e ptance集合进行归一化。的确，让我们∈ S∩ X++和定义：=ρR（0）p（U）和ˇA：={X+rU | X∈ A} 。如果R是一种风险度量制度，那么soisˇR：=（a，S，p）。

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2022-5-31 05:38:28

此外-ρˇR（0）=sup{p（Z）| Z∈ S、 Z- 俄罗斯∈ A} =sup{p（W）+p（rU）| W∈ S∩ A} 。这意味着-ρˇR（0）=- ρR（0）+ρR（0）=0保持不变。（ii）回顾一下，与大量关于风险度量的文献相比，在我们的环境中，随机变量模型是损失，而不是ga-ins。因此，我们对上述连续性的概念与F¨ollmer和Schied（c.F.[16，引理4.21]）意义上的ab ove连续性不同。上述专著中的等效概念是从下到下的连续性（c.f.【16，定理4.22】），这与风险度量的低连续性一起暗示了Lebesgue属性，参见【16】。（iii）我们的上述连续性概念意味着，只要支付范围在一个有界的制度中，用一种可能更容易但更糟糕的金融工具来近似复杂支付的风险是微不足道的。（iv）{X的ρRimplies的下半连续性∈ X |ρR（X）≤ 0}=clτ（A+ker（p））。特别是，A+ker（p）闭合（见[13，命题4]）和A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，这意味着A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）的条件下，A+ker（p）的条件下，A+ker（p）在A）下，A+ker（p）的条件下，A）在A）的条件下，A的条件下，下，下，下，A的半连续性是低半连续性∩ ker（p）={0}（参见[13，命题5]）。后者有时被称为缺乏第一类良好交易（参见[19]）。（v）注意，在X是范数为k·k的Banach格的情况下，每个有限风险度量都是范数连续的，因此也是范数-l.s.c。这来自于【30，命题1】：假设X是Banach格，f:X→ (-∞, ∞] 是一个真凸单调函数。那么f在int-dom（f）上是连续的。我们将在整篇论文中经常使用这一事实。对于许多问题，对风险度量的双重观点至关重要。

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2022-5-31 05:38:31

在我们的案例中，其表述需要以下概念：定义2.5。假设R=（A，S，p）是有序拓扑向量空间（X，τ，) 具有拓扑对偶X*. 我们通过σA:X定义A的支持函数*→ (-∞, ∞], l 7.→ 苏比∈A.l（Y）、（2.3）和B（A）：=dom（σA）。此外，扩展集将引用p到X的正连续扩展集，即Ep：={l ∈ 十、*+| l|S=p}。3有界随机变量的模型空间和弱强参考概率模型3.1模型空间L∞弱参考概率测度固定一个可测空间(Ohm, F）让我∞:= L∞(Ohm, F）是有界可测实值函数的集合。我们记得我∞是范数为| X的Banach格|∞:=supω∈Ohm|X（ω）|配备逐点顺序时≤, 特别是一个有序拓扑向量空间。在Riesz spa ces层面，Ohm ω 7→ 1是L的订货单位∞.L的双空间∞可识别为ba，所有完全相加集函数的空间u：F→ R、通常，ca表示ba中的可数加性集函数，ca+是有限测度集。在下文中，符号将不会区分m∈ 对函数进行RandOhm ω7→ m、在本节中，我们研究了L∞. 首先，请注意，在hL中∞, A的baiduality单调性意味着B（A） ba+必须保持不变，Hahn-Banach分离定理的应用表明|∞（A） ={X∈ L∞| u∈ B（A）：ZX du≤ σA（u）}。（3.1）我们将主要假设ρR的真实性，这是由定义L的域所证明的∞—这是有界的损失，通常应在潜在的较大但实际成本下进行对冲。例如，当安全空间S包含一些U∈ L∞++beinguniformly以0为界，即U≥ δ对于某些常数δ>0。在[11，12]中，这种安全性被称为不可违约的。

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2022-5-31 05:38:33

我们将证明，如果接受集“足够好”，那么在一个先验无模型的框架中，任何由此产生的有限风险度量，如∞实际上意味着一种概率模型，即所谓的弱参考模型；见第3.3条。作为实现这一结果的第一步，我们现在表明，从上到下的连续性主要取决于接受集a的几何结构。为此，让我们回顾一下定义为ρ的ρ的双共轭的概念*R：文学学士→ (-∞, ∞], u7→ supX公司∈L∞ZX du- ρR（X）。（3.2）提案3。假设R=（A，S，p）是一种风险度量制度，因此ρR（0）∈ R、（i）如果ρRis l.s.c.，B（A）∩ Epis非空且适用于所有u∈ ba它认为ρ*R（u）=（σA（u）如果u∈ B（A）∩ Ep，∞ 否则（3.3）对于所有X∈ L∞我们有ρR（X）=supu∈dom（ρ*R） ZX du- ρ*R（u）。（3.4）此外，如果ρRis相干，则ρ*R（u）=（如果u，则为0∈ B（A）∩ Ep，∞ 否则，（3.5）和ρR（X）=supu∈dom（ρ*R） ZX du，X∈ L∞. （3.6）（ii）假设R=（A，S，p）是一种风险度量制度，使得ρR确定，然后是∈ R下限集Ec：={u∈ ba |ρ*R（u）≤ c} ρ的*Risσ（ba，L∞)契约（iii）假设与风险度量制度R=（A，S，p）相关的风险度量ρras是有限的。则ρRis从上往下连续，当且仅当每一个低水平集Ec，c∈ R、 ρ的*Risσ（ca，L∞)-契约因此，如果B（A） ca，然后ρRis从上面开始连续。（iv）在（iii）的情况下，如果S被约束为一维，则ρRis从上方连续当且仅当B（A） ca.回想一下e∈ X+是Riesz空间（X，) 如果{X∈ X |λ>0：| X | λe}=X。推论3.2。假设R=（A，S，p）是一种风险度量制度，因此ρ是有限的。则ρRis从上面连续当且仅当B（A）∩ ker（p）⊥ 约在这里，克尔（p）⊥:=u∈ 文学学士Z∈ ker（p）：ZZ du=0表示ker（p）的零化子。对于货币风险度量的特殊情况，命题3.1的部分内容是众所周知的，参见。

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2022-5-31 05:38:36

[16，Theo rem 4.22和Cor ollary 4.35]。然而，据我们所知，到目前为止，文献中还没有这种一般形式的命题n 3.1和推论3.2的证明。由于这些结果的标题非常技术性，因此我们在附录a中提供了很长的篇幅。请注意，r代表（3.4）在定价规则方面与（S，p）在该u中一致∈ dom（ρ*R）只有当uS=p。如果S=R，p=idR，这些定价规则可以用概率度量来识别。最后，我们指出，如上所述的连续性确实是接受集的主要性质，如命题3.1（iii）和（iv）以及推论3.2所示：IfA在B（a）的意义上是正则的 ca，则每个确定的风险度量都是从上面开始连续的。特别是，如果正确选择a，则采用单一对冲资产或多个对冲资产不会对上述资产的连续性产生影响。B（A）\\ca 6=, 然而，这相当于这样一个事实，即没有一个单一证券的明确风险度量是从上面连续的；高维安全空间可以平滑A的不规则性，如示例5.1所示。以下定理是本节已经公布的主要结果。作为辅助符号，对于集合函数M，M′的非空集 ba，我们写M<< M′if和onlyifν（A）=0表示所有ν∈ M′表示u（A）=0表示所有u∈ M、 A∈ F、我们设置了M≈ 我是说<< M′和M′<< M、而不是{u}<< {ν} 或{u}≈ {ν} ，我们将写入u<< ν和u≈ ν。最后，我们定义baν：={u∈ ba |u<< ν} ，和caν类似。定理3.3。设R=（A，S，p）为风险度量制度，使得ρ从上到下连续。（i）存在一个弱参考概率测度P，即(Ohm, F）使得ρ*R（cP）<∞ 对于合适的c>0和P≈ dom（ρ*R）。

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2022-5-31 05:38:39

（3.7）（ii）对于（i）中的P，我们有dom（ρ*R）（caP）+。（iii）如果ρRis归一化，则E={u∈ ca |ρ*R（u）=0}6=.证据对于（i），回想命题3.1，ρRimplies的假设是，任何低层集Ec：={u∈ ca+|ρ*R（u）≤ c} ，c∈ R、 isσ（ca，L∞)-契约与凸性一起，这意味着可协调的凸性，即（λk）k∈N [0，1]，∞Xk=1λk=1，（uk）k∈N 欧共体==>∞Xk=1λkuk∈ 欧共体。（3.8）根据[4，定理4.7.25，（iv）=> （i） ]、En、n∈ N、在弱拓扑σ（ca，ca*). 由于Enis已在较弱的拓扑σ（ca，L）中闭合∞), 恩哈斯是个软弱的人。[4，定理4.7.25，（i）的证明=> （ii）]显示序列（unl）l的存在∈N 确保≈ {unl | l∈ N} 。我们设置νn：=P∞l=1-lunl，位于inEnby（3.8）和Satiesνn≈ 恩。通过（3.4），序列e（νn）n∈Nsatis fiesνn(Ohm) ≤νn(Ohm) - ρ*R（νn）+n≤ ρR（1）+n.定义ν：=Xn∈N-nνn，cN：=NXn=1-n、 ζn：=c-1NNXn=1-nνn，n∈ N、 ν∈ ca+来自估算值ν(Ohm) ≤P∞n=1-n（ρR（1）+n）=ρR（1）+2。νs atis（3.7）的Everynon平凡标量倍数，此外，ν=limNζnw关于σ（ca，L∞). ρ的下半连续性与共凸性*兰德ρ*R（νn）≤ n表示ρ*R（ν）≤ lim信息→∞ρ*R（ζN）≤ 画→∞c-1NNXn=1-nn=2。选择c：=ν(Ohm), 概率测度P：=cν是一个弱参考概率模型。（ii）是（3.7）的直接结果。为了证明（iii），注意正规化指数0=ρR（0）=- inf{ρ*R（u）|u∈ dom（ρ*R） }。因此，ρ*R≥ 0和子集族（Ek）k∈比较集的（0,1）作为有限交点属性。因此，e=Tk∈（0,1）Ek6=.备注3.4。上述连续性对于弱参考概率模型的存在是有效的，但不是必要的。然而，如果没有上面的连续性，任何事情都可能发生。例如，le t(Ohm, F）是具有Borel setsB（（0，1））的开放单位间隔（0，1），并设P为（0，1）上的Lebesgue测度。

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2022-5-31 05:38:42

考虑人sup（X）：=sup{m∈ R | P（X≤ m） =1}，setA：={X∈ L∞| ess sup（X）≤ 0}，A：={X∈ L∞| supω∈OhmX（ω）≤ 0}。三元组Ri=（Ai，R，idR），i=1，2，是风险度量制度。在第一种情况下，dom（ρ*R） =（baP）+，在第二个dom中（ρ*R） =ba+。因此，ρRnorρRiscontinuous都不是从上面开始的。P、然而，是ρr的弱参考概率模型，在ρr的情况下，没有弱参考概率模型Ohm 是数不清的。当概率度量P满足（3.7）和X，Y时∈ L∞几乎肯定等于P（P-a.s.），（3.4）表明ρR（X）=ρR（Y）。因此，我们可以将ρRas视为等价类空间上的一个函数∞P： =L∞(Ohm, F、 P）具有相应的特性。我们调用最小上界kxk∞:= inf{m∈ R | P（| X |≤ m）=1}，X∈ L∞P、是L上的标准∞P、将其与P-几乎确定序和等价类ge-ne一起构造为Bana-ch格Ohm ω7→ 1是L的订货单位∞P、其双重身份可能与baP有关。Letι：L∞→ L∞Pbe的正则嵌入，则可以直接证明以下结果。推论3.5。在定理3.3的情况下，定义ρ：L∞P→ R乘以ρ（￠X）=ρR（X），其中X∈ L∞满足度（X）=X。然后ρ得到了很好的定义，并与L上的风险度量ρ（A），S，p）一致∞P、式中，当▄Z=ι（Z）时，▄P（▄Z）=P（Z）。它是标准连续的，从上面看是连续的。对偶函数ρ*（u）：=sup▄X∈L∞PZX du- ρ（￠X），u∈ baP，（3.9），其中X表示▄X的任意代表，与ρ一致*R | baP。

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2022-5-31 05:38:45

还包括ρ（￠X）=supu∈dom（ρ*R） ZX du- ρ*R（u），~X∈ L∞P、其中X和▄X与前面一样相关。3.2模型空间L∞根据命题3.3和推论3.5中的结果所支持的强参考概率测度，从现在起，我们将考虑模型空间L∞P、验收设置A L∞P、安全空间S L∞P、定价函数sp:S→ R和由此产生的有限风险度量ρR直接定义在L上∞P、其中，P是ρR的弱引用概率模型。此外，在下文中，我们将坚持在L中识别随机变量的等价类的通常惯例∞P由该级别的任意代表。通过与命题3.1和定理3.3相似的推理，我们得到以下结果。引理3.6。设R=（A，S，p）为L上的风险度量制度∞Psuch，ρRis细化并归一化。定义ρ*R（u）：=supX∈L∞PZX du- ρR（X），u∈ baP。（3.10）则ρRis从上方连续，当且仅当所有较低能级集Ec：={u∈ baP |ρ*R（u）≤ c} ，c∈ R、 ρ的*稀有σ（caP，L∞P） -紧凑，尤其是B（A）所暗示的：=u∈ baP公司苏比∈AZY du<∞ 帽子在这种情况下，ρR（X）=supu∈（盖）+ZX du- ρ*R（u），X∈ L∞P、（3.11）特别是dom（ρ*R） =B（A）∩ {ν∈ （帽）+|Z∈ S:RZ dν=p（Z）}，和E6=. 如果ρRis是正齐次的，那么（3.5）和（3.6）的类似物也成立。我们将在本节的剩余部分讨论是否存在强参考模型的问题，即是否存在元素inP:={u∈ E |u≈ P} 。这一概念在法律不变的货币风险度量中是众所周知的，其结果可以在我们的环境中推广：命题3.7。

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2022-5-31 05:38:48

设R=（A，S，p）为L上的风险度量制度∞Psuch，ρrisnormalized，并假设（i）基本概率空间(Ohm, F、 P）无原子；（ii）A是验收集{X∈ L∞P | r（X）≤ 0}的标准化、P-定律不变的货币风险度量r，从上方连续；（iii）对于合适的常数c>0，p=cEP[·]。然后是P∈ P、证明。根据[32，命题1.1]和[16，推论4.65]，r是扩张单调的：对于每一个子σ-代数G F和e非常X∈ L∞P、估计值r（EP【X | G】）≤ r（X）保持不变。因此，对于每个X∈ L∞P、 EP[X]=r（EP[X|{, Ohm}]) ≤ r（X）。我们得出σA（P）=supY∈L∞P： r（Y）≤0EP[Y]=0。显然，灵敏度（c.f.定义2.3）对于P 6=, 但除了其他情况外，这是不够的。例如，考虑两个概率度量Q<< Psuch Q 6≈ P、定义β：=βQ+（1- β） P，ρ：L∞P X 7→ supβ∈[0,1]EPβ[X]- （1）- β）。对于R=（{X |ρ（X）≤ 0}，R，idR），我们得到ρ=ρRis是一个敏感的风险度量，e={Q}，P=.在下面，我们将使用符号F+：={A∈ F | P（A）>0}。引理3.8。设R=（A，S，p）为风险度量制度，使得ρRis有限，从上往下连续，且一致。然后p 6= 当且仅当ρRis敏感。证据我们只能证明自己的能力。如果ρRis相干，则dom（ρ*R） =E；见（3.5）。此外，上述连续性意味着E （上限）+。作为ρRis灵敏度，我们得到0<ρR（1A）=supu∈Eu（A）表示所有A∈ F+。因此，存在uA∈ e使uA（A）>0。换句话说，E≈ P、 Halmo s-Savage定理【16，定理1.61】表明存在一个可数族（un）n∈N Esuch{un | n∈ N}≈ P、（3.8）确保同时ν：=Pn∈Nnun∈ E、即第6页=.以下定理说明了P 6= 不需要ρR的相干性。首先，我们用ρRto识别rbitrage的能力来刻画强条件E=P。定理3.9。

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2022-5-31 05:38:51

设R=（A，S，p）为风险度量制度，并假设ρ为有限的、归一化的、从上方连续的且敏感的。以下是等效的：（i）E=P；（ii）对于al l A∈ F+我们有ρR(-k1A）<0表示k>0足够大；（iii）对于所有X∈ （L）∞P） ++我们有ρR(-十） <0。此外，如果ρRis严格单调，即ρR（X）<ρR（Y），每当Y- 十、∈（L）∞P） ++。证据（iii）琐碎地暗示（ii）。现在假设（i）不成立，即存在so meu∈ E\\P，因此u（A）=0，对于某些A∈ F+。Fr om 0=ρR（0）≥ ρR(-k1A）≥ -ku（A）=0我们推断ρR(-k1A）=0，对于所有k>0，控制（ii）。这表明（ii）意味着（i）。为了证明（iii）由（i）隐含，假设我们可以在ρR（X）=0的负锥中找到X 6=0。作为ρ的水平集*稀有σ（caP，L∞P） -紧凑，我们可以找到一个u∈ dom（ρ*R）因此0=ρR（X）=RX du- ρ*R（u）。这意味着ρ*R（u）=0=RX du，与E=P相矛盾。最后，严格的单调性清楚地暗示（iii）通过归一化。下一个目标是描述P 6= 就ris k测量制度的组成部分而言，R=（A、S、p）。定理3.10。假设ρRis finite，从上方连续，归一化，敏感。让C L∞Pbe最小的弱闭凸锥，包含A+ker（p）。（i）第6页= 当且仅当C∩ （L）∞P） ++=.（ii）P 6= 如果A+ker（p）满足等收敛速度规则：Let（Xn）n∈N A和（Zn）n∈N ker（p）be序列使得kXn+Znk∞≤ 1表示所有n。假设（tn）n∈Nis使tn↑ ∞.

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2022-5-31 05:38:54

如果重新缩放的矢量svn：=tn（Xn+Zn）满足V-n→ 概率为0，则对于所有集合s B∈ F+，它支持→∞P（B∩ {V+n≥ ε} ）<P（B）。（iii）P= 如果有序列（Xn）n∈N、（Zn）N∈Nand（tn）n∈Nsuch thatsupn∈Nktn（Xn+Zn）k∞< ∞违反等收敛速度规则a证明见附录B.4风险度量的Minkowski域4.1 Minkowski域的构造和扩展结果贯穿第4章x验收集a L∞P、安全空间S L∞P、和letp:S→ R是一个定价函数，使得ρR:L∞P→ R是一个标准化的有限风险度量，从上到下是连续的。根据第3节的结果，我们假设P是aweak参考概率模型，即γP∈ dom（ρ*R）对于合适的常数γ>0。本节的目的是将ρRto提升为一个定义域，该定义域由LR表示，其结构由ρRand完全表征，因此与初始风险度量制度一致，尽管它通常严格大于L∞P、将风险度量限制为有界随机变量的典型论点，即该空间是稳健的，因此不与ρR-表示的模糊度相冲突，在这种情况下是无效的，因为LR将完全反映ρR所感知的模糊度。为此，我们指出ρ（| X |）：=supu∈dom（ρ*R） Z | X | du- ρ*R（u），（4.1），其中ρ*（3.10）中给出的Ris对于所有X∈ LP：=L(Ohm, F、 P），可能取该值∞. 从这个意义上讲，以下定义中出现的对象是明确的。定义4.1。对于c>0和X∈ LPletkXkc，R：=infnλ>0ρ|X |λ≤ co（inf := ∞),和kXkR：=kXk1，R。ρRis的Minkowski域setLR：={X∈ LP | kXkR<∞}.注意，在给定水平集ρ（|·|）的情况下，我们可以将k·kRas解释为一个Minkowski泛函-1个(-∞, 1] ，其域LR因此被称为Minkowski域。提案4.2。

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2022-5-31 05:38:57

（i）对于所有的c>0，存在常数Ac，Bc>0，使得Ack·kc，R≤ k·kR≤ Bck·kc，R，尤其是LR={X∈ LP | kXkc，R<∞} 对于所有c>0和（k·kc，R）c>0是LR上的等价范数族。此外，kXk∞≥ B-1ρR（1）kXkR，X∈ L∞P、因此我∞P LR。（二）X∈ LRif和仅ifR | X | du<∞ 对于所有u∈ dom（ρ*R）。（iii）（LR，k·kR）是Banach晶格。（iv）| X |≤ |Y |表示kXkc，R≤ kY kc，Rand因此LRis稳定。特别是，损益重组下的LRisinvariant，即如果∈ L∞Pattaining值in[-1，1]，然后是Д·X∈ LR带kхXkc，R≤ kXkc，R.证明。首先我们设置∧c（X）：={λ>0 |ρ（λ-1 | X |）≤ c} ，即kXkc，R=inf∧c（X）。（i）：假设c∈ （0，1）并设X∈ 有限合伙人。请注意，kXkR=∞ 当且仅当∧（X）=,这意味着∧c（X）= 或等效kXkc，R=∞. 现在假设kXkR<∞, 并选择λ∈ ∧（X）。Asρ*R≥ 0，我们有ρ（c | X |/λ）=supu∈dom（ρ*R） Zcλ| X | du- ρ*R（u）≤ cρ（| X |/λ）≤ c、这意味着kXkR≥ ckXkc，R.平凡地，∧c（X） ∧（X），因此kXkc，R≥ kXkR。因此，我们可以选择Ac=c和Bc=1。情况c>1的处理类似。单调性意味着ρ（| X |）/kXk∞) ≤ ρR（1）对于所有X∈ L∞P、产生kXk∞≥kXkρR（1），R≥ B-1ρR（1）kXkRand L∞P LR。k·kc，Ris确实是一个标准：三角形不等式和同质性的验证是向前迈进的。对于k·kc，r，letu的不确定性∈ dom（ρ*R）要专横。对于所有λ∈ ∧c（X）我们得到估计kλ-1XkLu- ρ*R（u）≤ ρ（λ-1 | X |）≤ c、我们可以推断c+ρ*R（u）kXkLu≤ kXkc，R.（4.2）选择u∈ dom（ρ*R）因此u=γP产生k·kc，R.（ii）的不确定性：根据（4.2）得出，对于所有X∈ LRand allu∈ dom（ρ*R）可积条件R | X | du<∞ 保持。对于c onverse含义，让X∈ LP\\LRbe ar bitrary，后者等于ρ（t | X |）=∞ 对于所有t>0。如前所述，我们设置Ec：={u∈ 盖|ρ*R（u）≤ c} ，c∈ R、并将显示有一个ν∈ Esuch thatR | X | dν=∞.

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2022-5-31 05:39:01

首先是sume thatsupu∈ER | X | du=∞. 选择序列e（un）n∈N Esuch thatR | X | dun≥ 22n，n∈ N、并设置ν=P∞n=1-nun，其本身是Eby（3.8）的一个元素。此外，Z | X | dν=∞Xn=1-新西兰| X | dun≥∞Xn=1n=∞.因此，X不是ν-可积的。在第二步中，我们展示了supu的情况∈ER | X | du<∞无法发生。假设supu∈ER | X | du<∞. 如果存在常数κ>0，则对于所有u∈ dom（ρ*R） \\t估计值z | X | du≤ κρ*R（u）成立，可以估计ρ（κ-1 | X |）≤κsupu∈EZ | X | du<∞,因此X∈ LR。因此，必须有一个序列（un）n∈N dom（ρ*R）使得ρ*R（un）>1和R | X | dun≥ 22nρ*R（un），n∈ N、我们设置C：=P∞n=1nρ*R（un）∈ （0，1）和ζ：=∞Xn=1nρ*R（un）Cun.Asun(Ohm) ≤ ρR（1）+ρ*R（un），ζ(Ohm) 是有限的。此外，通过σ（caP，L∞P） -较低的se micontinuyofρ*R、 ρ*R（ζ）≤CP公司∞n=1-n=C。注意z | X | dζ≥∞Xn=12nρ*R（un）nρ*R（un）C=C∞Xn=1n=∞,因此，对于ν：=Cζ+（1- C） u∈ E、其中u∈ 如果任意选择Eis，我们将获得| X | dν=∞. 这是我们想要的矛盾。（iii）遵循[27，命题4.1 0]，并且（iv）是ρ（|·|）单调性的直接结果。提案4.6的提出将澄清引入nor ms k·kc、Rinsteadof just k·kR的原因。备注4.3。（i）在相干情况下，我们可以从命题4.2（ii）中推断出k·kc，R=c-1ρ（| X |）=c-1以上u∈dom（ρ*R） kXkLu。（ii）闵可夫斯基标准k·kc，RCA可以解释为所谓的Daumann-Serrano风险经济指数的推广（se e【2】和【8，示例3】）。（iii）Minkowski域和类似空间出现在[22、27、31]中。

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2022-5-31 05:39:05

LR的定义仅取决于概率测度P的零集，因此在任何基础概率测度P的选择下都是不变性的≈ dom（ρ*R）特别是在弱参考概率模型和强参考概率模型的变化下。引入Minkowski域的主要目的是将ρRto扩展到比L更大的域∞根据基本面，即风险度量体系R=（a、S、p），确定稳健的方法。对于这一点，有一个标准的候选者，由▄R：=（▄a，S，p）给出，其中▄a：={X∈ LR |u∈ dom（ρ*R）：ZX du≤ ρ*R（u）}，（4.3）soA通过提升给出，因此也表示可接受性标准rx du≤ ρ*R（u），u∈ dom（ρ*R），来自L∞Pto左后。事实上，下面的定理4.4表明，R是arisk测度R egime，相应的风险测度ρR保留了ρR的对偶表示。文献中通常使用对偶方法来扩展凸函数；参见，例如，【14，27】。注意，ρИRalso保留了ρRmayhave的任何函数形式，例如示例5中的熵风险度量。4以下。定理4.4。~R：=（~A，S，p）是巴拿赫晶格（LR，k·kR）上的风险度量制度。ρИrca可表示为ρИR（X）=supu∈dom（ρ*R） ZX du- ρ*R（u），X∈ LR，（4.4），其中ρ*Ris定义见（3.10）。此外，对于每u∈ dom（ρ*R），线性函数R·du有界于（LR，k·kR）。更确切地说，ρИR | L∞P=ρR。此外，ρ▄Ris l.s.c.on（LR，k·kR），满足度ρ▄R（X）=supm∈NρИR（X∧ m）。（4.5）证明。请注意，对于ar bitraryu∈ dom（ρ*R）所有X 6=0，我们有z | X | kXkRdu=supε>0Z | X | kXkR+εdu≤ supε>0ρ|X | kXkR+ε+ ρ*R（u）≤ 1+ρ*R（u），henceR·du是LR上的有界线性泛函。对于轨道X∈ LRandu∈ Ewehavesup{p（Z）| Z∈ S、 X+Z∈A}≤ s向上{p（Z）| Z∈ S、 p（Z）≤ -RXdu}=-RXdu<∞,如果边界的完整性是由于第4.2（ii）条的规定。

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2022-5-31 05:39:07

因此，满足率（2.1）和确实是一种风险度量制度，因为▄a由dom（ρ）单调变化*R）（caP）+，和凸x作为LR的凸子集的交集。很容易将（4.4）表示为连续函数族的点态上确界，因此ρ▄Ris l.s.c。为了证明（4.5），让u∈ dom（ρ*R）可以任意，注意，根据单调收敛定理和ρR的单调性，我们得到了zx du- ρ*R（u）=supm∈新西兰（X∧ m） du- ρ*R（u）≤ 卸荷点法∈NρИR（X∧ m）≤ ρИR（X）。现在将s向上移动超过u∈ dom（ρ*R）在左侧。扩展ρr的另一种方法是考虑A：=clk·kR（A）。（4.6）andR=（A、S、p）。我们将在备注4.11中讨论该方法，其中我们表明，R通常不是LR的风险度量制度，并且，在ρRmakes有意义的情况下，它等于ρR。正如导言中所宣布的那样，我们还考虑了通过mo notone近似程序对ρRgiven的以下扩展：ξ（X）：=supm∈Ninfn∈NρR((-n）∨ 十、∧ m），X∈ LR和η（X）：=infn∈Nsupm公司∈NρR((-n）∨ 十、∧ m），X∈ LR。问题是在什么条件下，我们有ρИR（X）=ξ（X）=η（X）=limn→∞ρR((-n）∨ 十、∧ n）。（4.7）注意，作为（4.5）的副产品，我们得到了估算值ρОR≤ ξ≤ η和十、∈ LR：ρИR（| X |）=ξ（| X |）=η（| X |）=ρ（| X |）。（4.8）以下定理4.5表明，ρОR在单调近似方面具有一定的规律性，因为ρОR=ξ。定理4.5。对于所有X∈ LRand所有U∈ L∞Pwe具有ρИR（X+U）=supm∈Ninfn∈NρR((-n）∨ 十、∧ m+U）。

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2022-5-31 05:39:12

（4.9）更重要的是，等式ρИR=ξ成立，ρRcan等效地被解释为与风险度量制度Rξ相关的风险度量：=（Aξ，S，p）on（LR，k·kR），其中ξ：={X∈ LR |ξ（X）≤ 0}={X∈ LR | supm∈Ninfn∈NρR((-n）∨ 十、∧ m）≤ 0}。为简洁起见，在剩下的研究中，我们将经常使用以下符号：对于随机变量U，V∈ （L）∞P） +和X∈ LR，我们设置XU：=X∨ (-U）和XV：=X∧ 五、证据我们首先表明，ρИR=ξ成立。让X∈ LR，米∈ N固定，N∈ N熊胆。Letu∈ dom（ρ*R）使ρИR(-十、-) - 1.≤ ρR（Xmn）- 1.≤ZXmndu- ρ*R（u）≤Z（X+）mdu- ρ*R（u）。当然，后一个估计中的First和last不等式始终是单调的。因此，对于ε>0的任意值，我们可以估计ρ*R（u）- 1.≤Z（X+）mdu- ρИR(-十、-) =1+εZ（1+ε）（X+）mdu- ρИR(-十、-)≤1+ερR（（1+ε）（X+）m）+1+ερ*R（u）- ρИR(-十、-).重新推导这个不等式，我们得到ρ*R（u）≤ερR（（1+ε）（X+m）+1+ε1.- ρИR(-十、-)=: c、与n无关的界∈ N、自Ec={u∈ 盖|ρ*R（u）≤ c} isσ（caP，L∞P）用引理3.6压缩，我们得出了所有n∈ N thatρR（Xmn）=最大u∈Ecf（u，n），其中函数f由f给出：Ec×n→ R、 f（u，n）：=ZXmndu- ρ*R（u），我们的目标是将Fan的极大极小定理【10，定理2】应用于函数f，以便输入ξ（Xm）=infnmaxu∈Ecf（u，n）=最大u∈Ecinfn公司∈Nf（u，n）=最大u∈Ecinfn公司∈NZXmndu- ρ*R（u）。

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2022-5-31 05:39:16

（4.10）为此，我们必须检查以下条件：o当赋予相对σ（caP，L∞P） -拓扑。这源于上面的连续性f在N上是凸的，对于所有N，N∈ N和所有0≤ t型≤ 1有一个n∈ N如此u∈ Ec：f（u，n）≤ tf（u，n）+（1- t） f（u，n）。实际上，选择n：=max{n，n}，并注意tf（u，n）+（1- t） f（u，n）=tZXmndu+（1- t） ZXmndu- ρ*R（u）≥ （t+1- t） ZXmndu- ρ*R（u）=f（u，n）。of是Ec上的类凸面，其定义类似于类凸面。的确，让u，u∈E和定义u=tu+（1- t） u∈ Ec（通过Ec的凸性）。那么对于所有n∈ N、 ρ的凸性*边缘测试F（u，n）+（1- t） f（u，n）=ZXmndu- tρ*R（u）- （1）- t） ρ*R（u）≤ZXmndu- ρ*R（u）=f（u，n）。o适用于所有n∈ N、映射u7→ f（u，n）是上半连续的。这源于u7的连续性→RXmndu与ρ的下半连续性*R、从（4.10）开始，通过u的正性，例如支配收敛，ξ（Xm）=maxu∈EcZXmdu- ρ*R（u）≤ ρИR（Xm），且ρИR（Xm）=ξ（Xm）由（4.8）保持。取极限m→ ∞, 我们从ξ和（4.5）的定义中得出ρИR（X）=ξ（X）。现在，让X∈ LR和U∈ L∞Pbe任意和一个ssume m，n≥ u：=kUk∞. 我们得到（X+U）n=（X+U）1{X≥-U-n}- n1{X<-U-n} =X1{X≥-U-n}- （n+U）1{X<-U-n} +U=XU+n+U，（4.11），另外（X+U）m=（X+U）1{X≤m级-U}+m1{X>m-U}=X1{X≤m级-U}+（m- U） 1{X>米-U}+U=Xm-U+U.（4.12）根据这两个方程（4.11）和（4.12），我们推断ξ（X+U）=supm≥uinfn≥uρR（（XU+n+u）m）=supm≥uinfn≥uρR（Xm-UU+n+U）。这意味着SUPM∈Ninfn∈NρR（Xmn+U）=supm≥uinfn≥uρR（Xm-UU+n+U）=supm≥uinfn≥uρR（（X+u）mn）=ξ（X+u）=ρR（X+u）。（4.9）已证明。ξ=ρИRBE是S-加性、单调和适当的，直接意味着Rξ是arisk测量区域。等式ρИR=ξ=ρRξ显然成立。在法律不变的货币风险度量的背景下，定理4.5出现为[31，引理2.8]。

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2022-5-31 05:39:19

我们的证明不仅可以作为[31]中给出的证明的替代，不可还原地依赖于法律不变性，而且还可以将结果推广到更广泛的风险度量类。与定理4.5不同的是，我们在示例5.2中证明了ρИR6=η可能发生。在研究（4.7）意义下ρ▄r显示正则性的条件之前，我们展示了η的以下性质：命题4.6。确定验收集η：={X∈ LR | infn∈NρИR((-n）∨ X）≤ 0}（LR。那么η是与风险度量制度Rη相关的风险度量：=（Aη，S，p）。此外十、∈ LR：η（X）=infn∈NρИR((-n）∨ 十），（4.13）和Γ：={X∈ LR | ε>0：ρ（（1+ε）X+）<∞} = int dom（η） int dom（ρИR）。证据来自（4.5）和η| L∞P=ρR=ρИR | L∞P、我们立即得到所有X∈ lr等式η（X）=infn∈NρИR((-n）∨ 十）保持。（4.8）证明了Aη（lr）和η是一个恰当的函数。为了证明该定理，必须检查S-可加性、凸性和单调性。设Z∈ S和X∈ LR。利用定理4.5证明之前引入的符号约定，从ρRand（4.11）的S-可加性中，我们得出η（X）=infn≥kZk公司∞ρИR（XZ+n+Z）=infn≥kZk公司∞ρИR（XZ+n）+p（Z）=η（X）+p（Z）。对于每个n∈ N、 fn（x）：=(-n）∨ x是凸且单调的，因此η=limnρИRo fnisconx和单调。接下来，我们展示Γ int dom（η）。为此，我们首先显示b：=Sc>0{Y∈ LR | kY kc，R<1} int dom（η）。实际上，对于具有kXkc的任何X，R<1，存在λ<1，使得ρ（| X |/λ）≤ c、因此η（X）≤ η（| X |）=ρ（| X |）≤ λρ（| X |/λ）≤ λc<∞,so B dom（η）。此外，根据定义，B在（LR，k·kR）中是开放的。现在，让X∈ Γ和X+∈ B、因此，存在δ>0和球Bδ（0）：={Y∈ LR | kY kR<δ}这样{X+}+Bδ（0） dom（η）。通过η的单调性，现在也可以得出{X}+Bδ（0）={X+}+Bδ（0）- {X-} dom（η），so X∈ int dom（η）。为了显示Γ int dom（η）let X∈ int dom（η）。

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2022-5-31 05:39:22

那么ε>0使得（1+2ε）X∈ dom（η）和（1+ε）X∈ dom（η）和by（4.13）必须有n∈ N例如（1+2ε）((-n）∨ X）∈ dom（ρИR）和（1+ε）((-n）∨ X）∈ dom（ρИR）。设Xn：=(-n）∨ X和Y=（1+ε）（X-∧ n）∈ L∞P、所以我们有（1+ε）X+=（1+ε）Xn+Y。如果δ>0满足度（1+δ）（1+ε）=1+2ε，则凸性意味着ρ（（1+ε）X+）=ρR（（1+ε）Xn+Y）=ρR1+δ1+δ（1+ε）Xn+δ（1+δ）δ（1+δ）Y≤1+ΔρИR（（1+2ε）Xn）+δ（1+δ）ρИR（1+δ）δY< ∞. （4.14）因此，X∈ Γ。int dom（η） int dom（ρОR）从mρОR开始≤ η、见（4.8）。以下定理m 4.7说明了（4.7）适用的条件。定理4.7。让X∈ Γ。考虑以下条件：（i）s>0，因此对于所有n∈ N我们有ρИR((-n）∨ 十） =limm→∞ρИR((-n）∨ X+sX+{X+≥m} ）；（ii）η（X）=limm的s>0 s uch→∞η（X+sX+{X+≥m} ）；（iii）对于al l n∈ N我们有limm→∞ρ（nX1{X≥m} ）=0。任何条件（i）-（iii）暗示（4.7）。集合风险似乎是一组合理的风险，因为它们至少可以被少量杠杆化，并且仍然可以对冲。任何健全的代理人可能都不应考虑Γ以外的风险。请注意，只要单调或支配收敛结果可以应用于ρR，条件（i）-（iii）都是满足的，就像在实践中使用的许多风险度量一样，如示例5.4中的熵风险度量或示例5.5中基于风险的风险度量的平均值。Theo-rem 4.7的证明分别基于对ρИRandη次梯度的研究，因此推迟到第4.4节末尾。结果表明，正则性条件（4.7）与η和ρИR的正则次梯度的存在密切相关。4.2在本节中，我们将LR分解为具有明确操作意义的部分。定义4.8。

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2022-5-31 05:39:25

我们表示L的闭包∞销LRby MR：=clk·kR（L∞P），并将Minkowski域的核心定义为：={X∈ LR |ρ（k | X |）<∞ 对于所有k>0}。人力资源这一概念显然与Orlicz心脏的概念相适应，它是一组风险头寸，可以用有限的成本对其进行任何数量的对冲。提案4.9。MRand HRare LRand MR的固体巴拿赫子批次人力资源部。此外，人力资源 ρИR | HR和η| HR都是连续的。证据第一个断言很容易验证。从命题4.6的证明中回想集合B，我们知道B Γ。对于包含HR B、设0 6=X∈ hr注意ρ（2 | X |）<∞. 后者指kXkc，R≤< 对于某些c>0，则为1，而对于US HR B、最后，as（HR，k·kR）是一个Banach晶格，根据第2.4（v）条，η和ρ▄稀有凸、单调和有限值（HR，k·kR）、ρ▄R▄HR和η▄HR都是连续的。从命题4.9中，我们可以得出MR的以下特征，这一结果也可以发现s【27，引理3.3】。推论4.10。MR={X∈ LR |λ>0：limk→∞ρ（λ| X | 1{| X|≥k} ）=0}。证据Le t X∈ MRandλ，ε>0可以是任意的。设δ>0等于k Y kR≤ δ、 Y型∈ HR，表示ρ（| Y |）=ρИR（| Y |）≤ ε。由于4.9号提案，这是可能的。现在选择Y∈ L∞Psuch kλ（X- Y）kR≤δ和k∈ N如kλY 1{| X|≥k} 韩元≤δ、后者是由于从上往下的连续性。然后Z：=| X- Y | 1{| X|≥k} +| Y | 1{| X|≥k} 满意度kλZkR≤ δ、通过单调性ρ（λ| X | 1{| X|≥k} （）≤ ρИR（λZ）≤ ε。等深线上方的逆包裹体。当HRis闭合时，一组方向的B绝对值ρ代表单位中的值，因此为norm-o pen。特别是，我们只能用向量序列来近似这些向量，沿着这些向量，ρИrbe具有相同的不连续性，表现良好的金融头寸的限制也同样表现良好。因此，转向LR会产生一种结构，可以方便地将“好”和“坏”风险行为的机制分开。

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