根据命题4.9，所有X的ρA（X）=ρR（X）=η（X）∈ MR和ρAis连续于MR.4.3 Minkowski域的对偶在这短短的插曲中，我们讨论了范数dua l（LR）的一些性质*, k·kR*) 在（LR，k·kR）中，Minkowski域上连续线性泛函的空间，这在我们研究第4.4节中的次梯度时是非常重要的。定理4.12。LR公司*是两个子空间CA和pa的直和，即LR*= 加利福尼亚州⊕ P A.CA中的元素的形状为X 7→RX du表示唯一u∈ 帽子λ∈ P A的特征是λ| MR=0。对于l = u⊕ λ、 u是l λ是单数部分。此外，L∞P可以用LR的子空间识别*.证据Le t公司l ∈ LR公司*并考虑加法集函数u=ul: F→ R、 u（A）：=l（1A）。很容易证明u∈ BAP认为它是唯一的l. 让我们现在（An）n∈N Fbe是一组vanis-hing序列。对于所有λ>0的情况，从上方开始的连续性意味着limn→∞ρ（λ-1An）=ρ（0）=0，表示limnk1AnkR=0，因此limnu（An）=limnl（1An）=0。因此u∈ 帽子现在我们将展示线性泛函X 7→RX du有界。为此，首先请注意，根据其定义，l（十） =RX dul适用于所有X∈ L∞P、 此外，根据[1，Theorem7.46]，LR*它本身就是一个Banach格，映射l 7.→ ul为正线性l, 因此，必须显示X 7→RX du∈ LR公司*以u=u为界l∈ （caP）+，l ∈ LR公司*+.让X∈ LR+任意。Z（X∧ n） du=|l（十）∧ n） |≤ kl 韩元*k（X∧ n） 韩元≤ kl韩元*kXkR，其中最后一个不等式来自命题4.2（iv）。我们应用单调收敛定理，得到了rx du≤ kl韩元*kXkR。对于一般X∈ LR，我们得到ZX du≤Z | X | du≤ kl韩元*k | X | kR=kl韩元*kXkR。X 7→RX du∈ LR公司*跟随，a和L∞P磁共振密度高，l|MR=R·du| MR必须保持。设CA：={R·dul| l ∈ LR公司*}, 这是LR的一个子空间*. 前l ∈ LR公司*, 设λ：=l -R·du∈ LR公司*, 满足λ| MR=0。

清晰地l =R·du+λ是l 作为CA和pA中元素的总和。如果Z∈ L∞P、 夹杂物LR LP，H¨older不等式和（4.2）收益率LR X 7→ EP【ZX】定义明确且连续，即EP【Z·】∈ LR公司*.CA代表“可数加性”，P A代表“纯加性”。可以证明CA是LR的封闭子空间*. 以下是定理4.12的直接内容。我们将坚持使用唯一度量u在CA中标识泛函的符号的滥用∈ caPintheir积分表示法。推论4.13。对于所有λ∈ P A，X∈ 如果r>0，则等式λ（X）=λ（X1{| X|≥r} ）。此外，如果l = u⊕ λ∈ LR公司*, limr公司→∞l（X1{| X|≥r} ）=λ（X）对所有X保持不变∈ LR。定理4.12暗示了ρИR的另一个特征。推论4.14。考虑以下两类ρRto-LR的扩张：E={g:LR→ (-∞, ∞] | g凸，σ（LR，CA）-l.s.c.，g | l∞P=ρR}，E：={g：LR→ (-∞, ∞] | g单调，g=supm∈Ng（·）∧ m） ，g | L∞P=ρR}。然后在EAN和E中ρ▄Ris最大，即∈ EIG意味着≤ ρИR.证明。第一个假设g∈ E、 根据Fenchel-Moreau定理（c.f.[9，命题4.1]），ghas是一个对偶表示g（X）=supu∈CAZX du- g级*（u），X∈ LR，其中g*（u）=supX∈LRRX du- g（X）。按g | L∞P=ρR，我们有dom（g*)  dom（ρ*R） andg公司*（u）≥ ρ*R（u）表示所有u∈ dom（ρ*R） 。因此，对于X∈ 任意，我们有g（X）≤ supu∈dom（ρ*R） ZX du- g级*（u）≤ s以上u∈dom（ρ*R） ZX du- ρ*R（u）=ρИR（X）。对于第二个索赔，让g∈ EAN和let X∈ 不要武断。g的单调性允许进行以下估计：g（X）=supm∈Ng（X∧ m）≤ 卸荷点法∈Ninfn∈Ng公司((-n）∨ 十、∧ m） |{z}=ρR((-n）∨十、∧m） =ξ（X）=ρИR（X）。4.4 Minkowski域上的次梯度在本节中，我们将研究ρRandη的次梯度，以及如何确保次梯度能够在(Ohm, F） 。给出定理4.12，似乎并不认为情况并非总是如此。

也考虑η的次梯度的原因是η和ρRis的正则次梯度的存在与问题（4.7）密切相关，并且发展的结果为定理4.7的出现铺平了道路。定义4.15。设（X，τ）是具有对偶空间X的拓扑向量空间*. 给定一个适当的凸函数f:X→ (-∞, ∞], f在X上的次梯度∈ X是集合f（X）：={l ∈ 十、*| Y∈ X:f（Y）≥ f（X）+l（Y）- 十） }={l ∈ 十、*| f（X）=l（十）- f*(l)},其中f*(l) := supX公司∈十、l（十）- f（X），l ∈ 十、*.注意，如果一个凸函数f:LR→ (-∞, ∞] 此外，它是单调的和S-可加的，它的次梯度在LR中将是正泛函*+这与p对S的观点一致。在风险度量研究中，次梯度起着重要作用，例如作为平衡中的优先级。下面的简单示例可作为经济动机。示例4.16（最佳投资）。对于某些资本约束c>0和某些线性定价规则l ∈ LR公司*+考虑以下优化问题：(*) ρИR（Y）→ 最小，全部Y∈ LRwith公司l(-Y）≤ c、 为了解决这个问题，通过单调性，我们可以在不损失一般性的情况下专注于满足Yl(-Y）=c。如果X∈ LRS满意度l ∈ ρИR（X）和l(-十） =c，然后X求解(*). 确实是这样∈ l-1个({-c} ，我们有ρ▄R（X）=ρ▄R（X）+l（Y）- X）- l（Y）- c≤ ρИR（Y）+l(-Y）- c=ρИR（Y）。空间（LR，k·kR）的一个重要特征是dom（ρИR）具有特别丰富的内部，见命题4.6。因此，我们得到以下结果：定理4.17。支持X∈ int dom（ρИR），特别是如果X∈ 那么ρИR（X）6=.而且η（Y）6= 无论何时Y∈ Γ。证据众所周知，Banach格上的凸、真、单调函数f在int-dom（f）中的每一点都是次微分的，参见[30，命题1]。

因此，该主张遵循定理4.4和赞成立场4.6。我们在本小节的其余部分专门讨论在哪些条件下ρИR（X）将包含正则（即σ-加法）元素。为此，请注意，通过（4.8），我们得到η*≤ ρ*R，表示dom（ρ*R） dom（η*). 此外，CA∩ dom（ρ*R）加利福尼亚州∩ dom（η*)  dom（ρ*R） ，因此ρИRandη的正则次梯度必然在dom中（ρ*R） 。确实，如果u∈ 加利福尼亚州∩ do m（η*), 然后ρ*R（u）=supY∈L∞PZY du- η（Y）≤ 苏比∈LRZY du- η（Y）=η*（u）<∞.相反，对于所有Y∈ dom（η）η和CA的定义 u的caPshows∈ CAZY du- η（Y）=limn→∞limm公司→∞ZYmndu- ρR（Ymn）≤ supU公司∈L∞PZU du- ρR（U）=ρ*R（u）。（4.15）这表明η*（u）=ρ*R（u），这是证明定理4.7：引理4.18的第一步。让X∈ dom（η），并假设u⊕ λ∈ η（X），其中u∈ CA和λ∈ P A.然后λ（X-) = 此外，如果λ=0，即u∈ η（X），然后η（X）=ρИR（X）。证据Le tu⊕ λ∈ η（X）。用∧λ（Y）=λ（Y 1{X≥0}），Y∈ LR。一个验证∧∈ （左后）*. 还有η*（u⊕λ）=supY∈LRZY du+λ（Y 1{X≥0}）- η（Y）≤ 苏比∈LRlimn公司→∞Z(-n）∨ Y du+λ（Y+）- η((-n）∨ Y）≤ lim支持→∞苏比∈LRZ公司(-n）∨ Y du+λ((-n）∨ Y）- η((-n）∨ Y）≤ η*（u⊕ λ） ，其中我们使用了λ的单调性。因此，η（X）=ZX du+λ（X）- η*（u⊕ λ）≤ZX du+∧（X）- η*（u⊕λ）≤ η（X），如果λ（X），则第一个不等式将是严格的-) > 因此λ（X-) = 随后是0。对于最后一个断言，假设u∈ η（X）∩ CA.引理和（4.8）之前的观察结果显示η（X）=ZX du- ρ*R（u）≤ ρИR（X）≤ η（X）。发生这种情况有直接但非常有力的条件，例如LR* caP，当且仅当MR=LR，或ρИrw相对于σ（LR，CA）-拓扑的连续性时，这种情况才出现。因此，如果η（X）6=, 例如X∈ Γ，则η可显示由无限风险X+产生的“跳跃”λ（X+）。如果不存在该跳跃，则η（X）=ρИR（X）。

在下文中，我们将引入一个弱局部连续性假设，即尾部连续性，其数量不太大，不会导致这种跳跃。在文献[31]中，研究了一种对法律不变性的货币风险度量。定义4。19、让f:LR→ (-∞, ∞] 单调而恰当，让X∈ dom（f）。我们称f尾沿Y在X处连续∈ LRif X+Y+∈ dom（f）和f（X）=limr→∞fX+Y 1{Y≥r}保持。TfXdenotes尾部Y的集合，f在X处是尾部连续的。如果TfX={Y，我们称f在X处为尾部连续∈ LR | X+Y+∈ dom（f）}。注意，Y中的TfXis是单调的≤ YP-a.s.和Y∈ TfXimplies Y∈ TfX。下一个建议表明，有效的尾部连续性可以消除次梯度中的非σ加性元素。我们对一般单调函数f证明了这一点，但我们清楚地记住了f=ρ▄Ror f=η。提案4.20。让f：LR→ (-∞, ∞] 适当、单调、凸和letX∈ dom（f）。假设{sY | s≥ 0，Y∈ TfX}是范数密集的（或等效地TfX分离LR的点*). 然后f（X） 尤其是，如果f是t ail continuous atX∈ int dom（f），然后f（X） CA.证明。Le t公司l = u⊕ λ∈ f（X）。假设λ6=0。密度假设和单调性允许选择Y∈ TfX，Y≥ 0，使得λ（Y）>0。推论4.13和l 作为一个次梯度，加上沿Y的尾部连续性，产生了f（X）<f（X）+λ（Y）=limr的矛盾→∞f（X）+λ（Y 1{Y≥r} ）=limr→∞f（X）+l（Y 1{Y≥r} ）=limr→∞l（十）- f*(l) + l（Y 1{Y≥r} ）=limr→∞l（X+Y 1{Y≥r} （）- f*(l) ≤ lim信息→∞f（X+Y 1{Y≥r} ）=f（X）。不幸的是，通常我们沿着MR只有尾部连续性，如下面的引理4.21所示。正如我们已经观察到的，如果LR=MR，那么LR*= CA和其他琐碎的ρИR（X） 因此，在非平凡情形s引理4中，仅仅知道沿MRS的尾部连续性并不足以证明可数加性次梯度的存在。21

让f：LR→ (-∞, ∞] 适当、单调且凸，如L∞Pdom（f）。如果X∈ int dom（f），然后MR+- LR公司+ TfX。证据TfXis是单调的，因此必须考虑Y∈ MR+。条件X∈ int dom（f）保证X+Y∈ dom（f）如（4.14）所示。从推论4.10我们得到了limnkY 1{Y≥n} kR=0，因此X+Y 1{Y≥n}∈ int dom（f）表示足够大的所有n。所需的尾部连续性来自f | int dom（f）的连续性（见备注2.4（v））。虽然在赞成的位置4.20中，我们给出了一个条件，在该条件下，次梯度仅包含正则对偶元素，但我们现在将转向保证次梯度中至少存在一个正则元素的条件，即通过投影。提案4.22。让X∈ dom（ρИR）和l = u⊕ λ∈ ρИR（X）。然后也是u∈ 当u满足esRX du时，ρИR（X）≥ l（十） 。类似地，如果X∈ dom（η）和l = u⊕ λ∈ η（X），然后u∈ η（X）当u满足esRX du时≥ l（十） 。特别是，假设Rx du≥l（十） 如果X满足∈ 先生+- LR+。证据通过（4.15）中使用的相同参数和等式ρR=ξ，我们得到η*（u）=ρ*R（u）=supU∈L∞PRU du- ρR（U）=ρ*R（u）适用于所有u∈ 加利福尼亚州l|MR=R·du我们推断ρ*R（u）≤ ρ*R(l), 和η*（u）≤ η*(l). 假设Rx du≥ l（十） 以及l ∈ ρИR（X）表示ρИR（X）≥ZX du- ρ*R（u）≥ l（十）- ρ*R(l) = ρИR（X）。η的断言以同样的方式出现。备注4.23。在提案4.22的情况下，asRX du- ρ*R（u）=l（十）- ρ*R(l),ρ*R（u）≤ ρ*R(l), andRX du≥ l（十） ，我们实际上得到rx du=l（十） 和ρ*R(l) = ρ*R（u）。换句话说，不能排除次梯度中的奇异性，但它们对于X是冗余的。以下命题为rx du建立了一个简便的标准≥ l （十） 。提案4.24。假设f:LR→ (-∞, ∞] 是单调的，真的，凸的l = u⊕ λ∈ f（X）。然后Rx du≥ l （十） 无论何时sX+∈ TFX对于某些s>0。证据假设λ（X+）=：δ>0。

通过单调性，我们可以得到所有n∈ Nδ=λ（X+）=λ（X+{X+≥n} （）≤ l（X+{X+≥n} ）。定义Xn=X+sX+{X+≥n}≥ 十、 n个∈ N、 其中，在命题的假设中，s>0被选为N-like。我们估计l（十）- f（X）=f*(l) ≥ l（Xn）- f（Xn）=l（十） +秒l（X+{X+≥n} （）- f（Xn）≥ l（十） +sδ- f（Xn）。因此，我们得出了矛盾0=limn→∞f（Xn）- f（X）≥ sδ。因此，λ（X+）=0，thusRX du≥ l（十） 。我们现在手头有工具来提供定理4.7的pro。定理4.7的证明。请注意，条件（i）意味着（ii），并假设其中一个条件成立。十、∈ Γ意味着η（X）6= （定理4.17），与引理4.18的第二部分不相关的命题4.22和4.24完成了其余部分。条件（iii）相当于X+∈ MRby推论4.10。因此，命题4.22适用，引理4.18产生了断言。5示例示例5。1、考虑(Ohm, F） 被赋予幂集的自然数。Letζ∈ ca+由离散密度定义（2-ω） ω∈Nand letν∈ ba+是(Ohm, F） 因巴纳赫-马祖限额（c.F.[1，定义15.46]）而产生；读数应记住，对于所有有限集F，ν（F）=0 N、 此外，对于λ∈ [0，1]我们设置|λ=（1- λ） ζ+λν并确定闭合验收集A：=十、∈ L∞λ∈ [0，1]：ZX duλ≤ λ.显然，B（A）\\ca 6= . 现在让我们 6=A N为任意有限子集t，S={U（α，β）：=α1A+β|α，β∈ R} ，p（U（α，β））=RU（α，β）dζ。我们首先表明，R：=（A，S，p）是一种风险度量制度和ρRis定义。为此，首先请注意，对于任意X∈ L∞,X+U（α，β）∈ A暗示0≥Z（X+U（α，β））du=ZX dζ+p（U（α，β）），因此p（U（α，β））≤ -RX dζ<∞, R是一种风险度量制度。此外，对于anyk∈ 我们有那个k- U（0，k）∈ A、 这意味着ρR（k）≤ k通过单调性，ρRdoes不能达到该值+∞.接下来，我们证明了ρRis从上到下是连续的，偶thoug h B（A）\\ca 6=.

我们分三步进行。步骤1：σA（uλ）=λ。的确，让An：={n，n+1，…}注意|λ（An）=（1- λ）∞Xi=n-i+λ。因此Yn：=1An-P∞i=n-我∈ A、 和σA（μλ）≥ 画→∞ZYnduλ=limn→∞-λ∞Xi=n-i+λ=λ。逆不等式σA（μλ）≤ λ是由于A的定义。步骤2：B（A）=圆锥（{ζ，ν}），其中圆锥（E）是指包含E的最小凸面和尖圆锥 ba和0。夹杂物B（A） 圆锥（{ζ，ν}）是清楚的，因为另一个需要注意的是，B（A）=圆锥（B（A））总是成立的，其中B（A）：={u(Ohm)u| 0 6=u∈ B（A）}。假设我们可以找到u∈ B（A）\\co（{ζ，ν}），其中co（{ζ，ν}）表示ζ和ν的凸包。Asco（{ζ，ν}）是σ（ba，L∞)-紧凑和凸，通过分离，我们可以找到∈ L∞这样最大λ∈[0,1]ZY duλ- λ≤ 最大λ∈[0,1]ZY duλ=0<ZY du。当Y被tY替换为d，t>0时，情况也是如此。因此{tY | t>0} A、 和σA（u）≥ 支持>0ZtY du=∞.我们得出结论，B（A）=co（{ζ，ν}），因此B（A）=锥体（{ζ，ν}）。步骤3：Ep∩ B（A）={ζ}，因此ρR（X）=RX dζ，由命题3.1（i）得出，这从上面开始是连续的。的确，u∈ Ep公司∩ B（A）仅当u∈ B（A），因此，通过步骤2，我们可以假设|λ∈ Ep公司∩ B（A）对于某些λ∈ [0，1]。我们将条件重新表述为所有α，β∈ Rit必须保持αζ（A）+β=（1- λ） （αζ（A）+β）+λβ=（1）- λ） αζ（A）+β，这是当且仅当λ=0时的情况。示例5.2（ρИR6=η）。让(Ohm, F、 P）是赋予其幂集和下面规定的概率度量的整数Z。LetQk：=2k（δk+δ-k）+1.-kδ、 k级∈ N、 和定义P：=Pk∈N-kQk。很容易检查a：={X∈ L∞P|k∈ N：等式[X]≤ 0}，S=R，p=idR，是L∞Psuch thatρR（X）：=supk∈NEQk[X]，X∈ L∞P、 是一个连贯的货币风险度量，从上面看是连续的，对于strong参考模型P是敏感的。我们考虑X：=idZ。我们首先观察到∈ Nit认为方程k[| X |]=1，这对X有效∈ LR。

使用定理4.5的符号惯例，对于所有n∈ NρИR（Xn）≥ ρR（Xnn）≥ 方程式【Xnn】=1.-n.因此η（X）≥. 然而，对于m∈ 固定后，我们得到了所有N>m的等式[Xmn]=0，如果k≤ m、 m2k型-, 如果m<k≤ n、 m级-n2k，如果k>n。这意味着ρR（Xm）=ξ（Xm）=limn→∞ρR（Xmn）=0，因此ρИR（X）=limm→∞ρИR（Xm）=0<≤ η（X）。示例5.3（MR（HR（LR））。让(Ohm, F） 是与钻孔集B（R）相连的实数。让Pbe为例5中的概率度量值P。2延伸至B（R），a通过其Lebes-gue密度dP=e1确定PBE-x（1，∞)dx。设P：=（P+P），并考虑风险度量区域a：={X∈ L∞P|k∈ N：等式[X]≤ 0和EP【eX】≤ 1} ，S=R，p=idR，其中概率度量（Qk）k∈如例5.2 a所选，并延伸至B（R）。可以很容易地证明ρR（X）=ρ（X）∨ ρ（X），其中ρ（V）=supk∈NEQk[V]，ρ（U）=对数EP[欧盟], U、 五∈ L∞P、 ρRis是一个敏感的有限风险度量∞P从上面看是连续的，P是一个强参考概率模型。考虑第一个X∈ LPbe由idZ生成。我们已经在示例5.2中展示了ρ（t | X |）=ρ（t | X |）=t，对于所有t≥ 0，因此为X∈ 人力资源部。然而，它适用于所有k∈ N那1≥ ρ（| X | 1{| X |>k}）≥ 方程k+1[| X | 1{| X |>k}]=1。因此limkρ（| X | 1{| X|≥k} ）=1，对X有效∈ HR\\MRby合作伙伴4.10。现在让λ>0并定义Y∈ Lp由ω7生成→（λ（ω- 1） ，ω∈ （1，∞)\\Z、 否则为0。Y在参数为λ的pw下呈负分布。此外，Y∈ LRand满足率ρИR（Y）<∞. 然而，对于每t>λ，ρ（t | Y |）=log（EP[etY]）=∞, 因此Y∈ CR.示例5.4（熵风险度量）。关于概率空间(Ohm, F、 P）考虑β>0固定熵风险度量ρR（X）：=βlogEP[eβX], 十、∈ L∞P、 可以很容易地显示lr={X∈ LP |k>0:ek | X|∈ LP}，ρИR（X）=βlogEP[eβX], 十、∈ LR。ρИRis尾部连续。的确，cho ose X∈ dom（ρИR）任意和Y∈ LRX+Y+∈ dom（ρИR），即eβX+βY+∈ 有限合伙人。

通过对数的连续性和支配收敛，我们得到了limrρИR（X+Y 1{Y≥r} ）=limrβ对数EP[eβ（X+Y+{Y≥r} ]+EP[eβX{Y<r}]= ρИR（X）。示例5.5（基于AVaR的风险度量）。考虑某些α的平均风险值AV aRα∈ L上的（0，1）∞P、 已知具有最小对偶表示av aRα（X）=maxQ∈QαEQ[X]，X∈ L∞P、 式中Qα：=Q<< P | dQdP≤1.- α,参见【16，定理4.52】。给定接受集A：={X∈ L∞P | AV a Rα（X）≤ 0}我们通过S=R·U确定风险度量体系R=（A，S，p），对于一些U∈ L∞PwithP（U>0）=1，p（mU）：=m，m∈ R、 根据【11，提案n 4.4】和提案3.1，得出的风险度量ρRis有限，从上到下连续，具有强参考模型P，且LR=HR=MR。因此，定理4.7适用于所有X∈ LR。命题3.1的证明和命题3.1的推论3.2。（i） ：假设ρR（0）是实数，让X=Y+N表示∈ A和一些N∈ 克尔（p）。通过S-可加性，ρR（X）=ρR（Y）≤ 0保留。ρRbeing l.s.c.表示ρR（X）≤ 0表示所有X∈ cl |·|∞（A+K（p））。同样，ρ的S-可加性可以推断p（Z）=ρR（Z）- ρR（0）≤ -ρR（0）对于所有Z∈ cl |·|∞（A+K（p））∩ S、 p在后一个集合上是有界的。根据[13，定理2和3]，B（A）∩ Ep6= 和ρR（X）=supu∈B（A）∩EpZX du- σA（u），X∈ L∞,从中可以很容易地导出所要求的方程式（3.3）和（3.4）。如果ρRis相干，其正同质性意味着ρ*R | dom（ρ*R）≡ 0.此外，作为dom（ρ*R） =B（A）∩ Ep、（3.5）和（3.6）是（3.3）和（3.4）的特殊情况。（ii）：ρ*定义为aσ的Ris（ba，L∞)-l、 s.c.函数，因此其较低级别在该拓扑中设置了一个重闭。L和c∈ R和假设u∈ Ec，因此更进一步∈ ba+。

（3.4）暗示u∈ Ec：u(Ohm) ≤ ρ*R（u）+ρR（1）≤ c+ρR（1）<∞.因此，作为ba的闭单位球扩张的闭子集，Ecis根据Banach-Alaoglu定理弱*紧[1，定理6.25]。（iii）：首先，假设与验收集a相关的风险度量ρrass从上方开始是确定且连续的。ρRis，特别是注释2.4（v）和陈述（i）和（ii）中的连续范数。上述连续性意味着ρR（k1An）↓ 每当（An）n时，所有k的ρR（0）>0∈N F是一系列事件，减少到. 对于u∈ dom（ρ*R） ，则，-ρR（0）≤ SUP>0公里极限→∞u（An）- ρR（0）=supk>0limn→∞ku（An）- ρR（k1An）≤ ρ*R（u）<∞.仅当limnu（An）=0，即u时，该值才有效∈ 钙+。通过（ii），这等于所有水平集Ecofρ*R、 c类∈ R、 为σ（ca，L∞)-契约反之，假设dom（ρ*R） 钙+。Let（Xn）n∈Nbe L中的任意序列∞这样的Xn↓ X代表某些X∈ L∞. 让Y∈ {X，X，X，…}假设u∈ dom（ρ*R） 满意度ρR（Y）- 1.≤RY du- ρ*R（u）。因此，我们可以使用ρ的单调性和u的正性来估计ρ*R（u）≤ZY du- ρR（Y）+1≤ZXdu- ρR（X）+1≤ρR（2X）+ρ*R（u）- ρR（X）+1。重新推导这个不等式得到ρ*R（u）≤ 2+ρR（2X）- 2ρR（X）=：c，一个独立于Y的边界。因此，对于所有Y∈ {X，X，X，…}它认为ρR（Y）=s upu∈EcZY du- ρ*R（u）=最大u∈EcZY du- ρ*R（u），其中在上一个等式中，我们使用σ（ca，L∞)-u7的连续性→RY du- ρ*R（u）和Ec的完整性。对于每个n∈ N选择uN∈ 使ρR（Xn）=ZXndun- ρ*R（un）。注意Ecisσ（ca，ca*)-根据[4，定理4.7.25]紧致。Eberlein-Smulian定理（参见[1，定理m 6.38]）现在意味着我们可以选择σ（ca，ca*)-聚合子序列（unk）k∈N限值为u∈ 欧共体。选择度量值ν，例如ν：=(R)u+Xk∈NkuNk，因此对于所有u∈ K：={u，un，un，…}我们有u<< ν。

Asν（A）≤ ε表示u（A）≤ ε表示所有A∈ F a和氡-Nikodym衍生物的s et{dudν|u∈ K} 当K·kLν-有界为L（ν）的子集时，我们通过[4，命题4.5.3]得出结论，它们形成了一个ν-一致可积族。Abbrevia ting Zk：=dunkdν，我们得到所有常数L>0 lim supk→∞ZX d'u-ZXnkdunk≤ lim SUP公司→∞ZX d'u-ZX dunk+Z（X- Xnk）dunk≤ lim SUP公司→∞Z{Zk≥五十} | X- X | Zkdν+Z{Zk<L}| Xnk- X | L dν=直线上升→∞Z{Zk≥五十} | X- X | Zkdν=0，其中我们对第二个但最后一个等式应用单调收敛，并且最后一个等式遵循密度zk的一致ν-可积性和| X- X |以常数为界。因此，limkRXnkdunk=RX du，并且从ρ的低连续性*R、 我们到达atlimk→∞ρR（Xnk）=lim supk→∞ZXnkdunk- ρ*R（unk）≤ZX d'u- ρ*R（(R)u）≤ ρR（X）。ρR（X）≤ infn公司∈NρR（Xn）=limk→∞然而，ρR（Xnk）具有先验性。我们推断ρR（X）=limnρR（Xn）。假设B（A） 钙+。根据（3.3）和声明（ii），与A相关的任何有限风险度量ρras的双重共轭的低水平集为σ（ca，L∞)-紧致，而上面的连续性来自于之前证明的等价性。（iv）：假设风险度量制度R=（A，S，p）对于某些U∈ L∞++因此，得出的风险度量是确定的。假设存在0 6=u∈ B（A）此类tha tRU du=0。回想一下，u一定是正的，让k>σA（u）u(Ohm). 对于ny r∈ RZ（k- rU）du=ku(Ohm) > σA（u），这意味着k- 俄罗斯/∈ A代表任何r∈ R、 因此ρR（k）=∞ 与ρR的完整性相矛盾。因为亨塞鲁du>0必须适用于所有0 6=u∈ B（A），我们可以用（3.3）dom（ρ*R） =Ep∩ B（A）=p（U）RU du0 6=u∈ B（A）,通过（3.4），ρR（X）=sup06=up（U）RU duZX du- σA（u）, 十、∈ L∞,是ρR的最小对偶表示。

从这个表示和（iii），我们推断tρRis从上面连续当且仅当B（A） ca.推论证明3.2。作为ρR（X）≤ 0表示所有X∈ ρRtogether与[13，备注6]的A+ker（p）、完整性和S-可加性表明A+ker（p）是合适的，因此是一个可接受集。修复U∈ S∩ L∞++从[13，引理3]中回顾恒等式ρR（X）=inf{p（rU）| R∈ R、 X个- 俄罗斯∈ A+ker（p）}，X∈ L∞.更进一步，R′：=（A+ker（p），R·U，p | R·U）是一种风险度量制度，关联风险度量ρR′从上方连续，当且仅当ρR从上方连续。身份B（A+K（p））=B（A）∩ ker（p）⊥很容易验证，主张的等效性遵循命题3.1（iv）。定理3.10的证明该证明在很大程度上依赖于以下结果。引理B.1（Grothendieck；参见[18]第4部分第5章练习1）。L的一个凸子集∞Pis在σ（L）中关闭∞P、 caP）-拓扑当且仅当任意r>0时，集合CR：{X∈ C | kXk∞≤ r} 就概率收敛而言是闭合的，即关于metricdP（X，Y）：=EP[| X- Y |∧ 1] 。（i） ：对于集合Γ L∞Pwe定义:= {u∈ 盖|十、∈ Γ：RX du≤ 1} ，单侧的p-olarofΓ。此外，Γ= （clσ（L∞P、 caP）（Γ））. 有了这些信息，就可以很容易地识别出{cu| c≥ 0，u∈ E} =（S{tA+ker（p）| t≥ 0}）= C.从双极定理[1，定理5.91]我们推导出C={X∈ L∞P|u∈ E： ZX du≤ 0}。因此，C是一个可接受的s et。考虑以下风险度量制度及其隐含的风险度量：ˇR：=（C，s，p），ρˇR（X）=supu∈EZX du，X∈ L∞P、 ρˇRis由引理3.6确定，连贯，连续。因此，通过引理3.8，P 6= 相当于ρˇRbeing se Sensitive，即C不包含（L）中的任何元素∞P） ++。（ii）：假设C∩ （L）∞P） ++不为空。利用C的单调性和圆锥度，我们可以找到一些B∈ F+使1B∈ C

让我们定义设置d：={Y=dP-limntnWn | tn≥ 0，Wn∈ A+ker（p）}，Dr={Y∈ D | k Y k∞≤ r} ，r>0。D是一个凸锥。直接检查Dris dP是否关闭。我们应用Gr othendieck’sLemma B.1来推断D是σ（L∞P、 盖）-闭合锥。因此，包含C D保持不变，我们必须能够找到序列（Xn）n∈N A、 （Zn）n∈N ke r（p）和（tn）n∈N （0，∞)使1B=dP limntn（Xn+Zn）。定义Vn：=tn（Xn+Zn），n∈ N、 在不损失一般性的情况下，我们可以假设kXn+Znk∞≤ 否则，请注意，通过normalisation0∈ A：=clk·k∞（A+ker（p）），C也是最小的σ（L∞P、 caP）-包含A的闭合锥体；因此，我们可以移动toXn+ZnkXn+Znk∞∈ A、 tn=kXn+Znk∞tn.因为A是凸的，（tn）n∈nCA不能有边界。如果有一些M>0，那么supn∈Ntn公司≤M、 我们可以确定序列（tn（Xn+Zn）/2M）n 关于σ（L），A在概率和上收敛∞P、 盖）至1B/2M∈ A、 A={Y |ρR（Y）≤ 0}，我们将获得ρRand灵敏度的一个折衷值，因此可以假设tn↑ ∞. dP（Vn，1B）→ n为0→ ∞ 意味着唯一困难的部分如下：从备注2.4（iv）中回忆，ρR（Y）≤ 0当且仅当Y∈clk·k∞（A+K（p））。假设ν∈ C, 然后ν∈ （caP）+通过A的归一化和单调性。同样，C是一个表C= {ν∈ 盖| Y∈ C:ZY dν≤ 0}。让U∈ S∩ （L）∞P） ++和X∈ L∞P、 自ρR（X-ρR（X）p（U）U）=0，我们得到c：=Rp（U）U dν=0，这意味着ν(Ohm) = 0且ν=0，orc supX∈L∞PZX d型νc- ρR（X）≤ 0个==>νc∈ E、 五-ndP公司-→ 0，V+ndP-→ 1B，n→ ∞,这意味着Lim supn→∞PV+n≥∩ B= P（B），违反了等收敛速度规则。（iii）：Let（Xn）n∈N A、 （Zn）n∈N ker（p）和（tn）n∈违反等收敛速度规则的Nbe序列，使得重标序列（Vn）n∈Nis以k·k为界∞-标准

设B是一个正概率的可测集→∞P（{Vn≥ ε}∩ B） =P（B）。Letu≈ P是一个有限的度量，对于所有Z，Rz du=P（Z）∈ S、 设η>0为任意正数。注意，由于主导收敛定理和V的概率有界消失-n、 我们获得n→ ∞ limnRVn{Vn的行为≤-η} du→对于所有足够大的n，使得| RVn{Vn≤-η} du|<η我们可以估计zwndu≥ εu（{Vn≥ ε}∩ （B）- ηu（Vn∈ (-η、 ε））- η。因此，对于所有η>0的情况，我们的假设得出估计值→∞ZVndu≥ εu（B）- η（u(Ohm) + 1） 。发送η↓ 0，我们从u获得≈ P该lim supn→∞RVndu≥ εu（B）>0。在适当选择之后，我们在a+ker（p）中找到了一个向量，使得r（Xn+Zn）du>0，因此u/∈ E、 致谢：我们要感谢一位匿名的评论员，他提供了有益的评论，有助于改进这份手稿的初稿。参考文献【1】Aliprantis，C.和K.Border（1999年），《有限维分析-搭便车指南》。第二版，Springer。[2] Aumann，R.J.和R.Serrano（2008），风险经济指数。《政治经济杂志》，116（5），第810–836页。[3] Bellini，F.、R.Laeven和E.Rosazza Gianin（2017年）。稳健的回报风险度量。预印本。[4] Bogachev，V.I.（2007），《测量理论》，第一卷，Springer。[5] Cheridito，P.，a and T.Li（2009），《Orlicz心脏的风险测量》。《数学金融》，19（2），第189-214页。[6] Delbaen，F.（2000），一致性风险度量。课堂讲稿，Cattedra Galileiana，ScuolaNormale Superiore di Pisa。[7] Delbaen，F.（2002），《关于一般概率的一致风险度量》。《金融与随机科学进展：纪念迪特尔·桑德曼的论文》，第1-38页。斯普林格。[8] Drapeau，S.和M.Kupper（2013），《风险偏好及其稳健表述》。运筹学数学，38（1），第28-62页。[9] Ekeland，I.，和R。

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