我们跳过这些步骤，直接考虑Mσ（P）：=Mσ(Ohm,F、 P），F上的所有σ-加性概率测度集，其相对于P和X=L的财务头寸是绝对连续的∞(Ohm,F、 P）。我们首先回顾[FS04]中的定理4.31。定理5.1设A为凸弱*-已关闭验收集。设ρAbe定义为不等式（2.2），r=1Ohm. 风险度量的表示形式为ρA（XT）=supQ∈Mσ（P）（等式[-XT]- αmin（Q，A）），（5.1），对所有Q定义了所谓的最小惩罚函数αmin∈ Mσ（P）乘以αmin（Q，A）=supXT∈AEQ公司[-XT]。由于一致风险测度是正齐次的凸风险测度，作为定理5.1的特例，我们立即得到以下推论。有关更多详细信息，请参见[FS04]中的推论4.18和推论4.34。推论5.2设A为圆锥、凸、弱*-已关闭验收集。然后，将概率测度限制到子集M={Q∈ Mσ（P）|αmin（Q，A）=0}，相干风险度量ρA:X→ R可以写成ρA（XT）=supQ∈墨西哥当量[-XT]。5.2内在风险度量的双重性在本节中，我们将从一个更一般的环境开始，说明这种双重性的方法。设X是具有偏序的局部凸拓扑向量空间≤.设X+={X∈ X | X≥ 0}是正锥。我们表示X-byX的拓扑对偶*= {x*: 十、→ R | x*是线性的，连续的}，且设X*+= {x*∈ 十、*|x个∈ X+：X*（十）≥ 0}是X+的对偶锥。对偶性的关键结果是以下命题，该命题通过一组概率度量产生接受集的替代表示。提案5.3让A X是弱者*-闭合的凸接受集。然后是x∈ A当且仅当所有x*∈ 十、*+不等式α（x*) := infy公司∈Ax*（y）≤ x个*（x） 保持。直接证明“仅当”含义，因为任何函数x*overA始终小于或等于值x*（x） 对于任意x∈ A.

对于“if”方向，我们在局部凸拓扑向量空间上使用了Hahn-Banach分离定理的一个版本，例如参见N.Dunford和J.T.Schwartz[DS58]中的定理V.2.10。它对任何x都有收益∈ X\\A线性函数`∈ 十、*因此`(-x） >supy∈A`(-y） 。通过`，infy的线性∈下面是一个`（y）>`（x）。显示`∈ 十、*+, 吃点y∈ A、 A的单调性意味着对于任何z+∈ X+和y+z+∈ A.所以，`的线性意味着，`（y）+`（z+）>`（x）。但这只有在`（z+）的情况下才能成立≥ 0表示所有z+∈ X+表示`∈ 十、*+. 实际上，对于某些z，假设`（z+）<0+∈ X+。自λz起+∈ X+，对于任何正实λ，我们得到`（λz+）=λ`（z+）→ -∞ asλ→ ∞, 导致矛盾的。在稍有不同的情况下，可以在[DK13]的引理C.3中找到证明。备注5.4选择弱者*-L上的拓扑∞（P） 用σ（L）表示∞,五十） ，双ofL∞（P） 是L（P），例如参见[DS58]中的定理V.3.9。一个简短的计算表明，每个f∈ L+（P）定义σ-相加度量Q P通过积分q[A]：=k f kL（P）ZOhmf 1AdP，用于∈ F，（5.2）使得等式[g]≥ 0，对于所有g∈ L∞+（P） 。使用Radon-Nikod'ym定理，如[DS58，定理III.10.2]中所述，我们可以验证eachQ的另一个方向∈ Mσ（P）存在f∈ L+（P）使得方程（5.2）适用于所有A∈ F、 下面的引理表明，关于概率测度q的期望∈ Mσ（P）可用于表示L中的验收集∞（P） 。引理5.5让A X=L∞(Ohm,F、 P）为aσ（L∞,五十） -闭合凸面验收集。

下一步∈ A当且仅当所有概率测度Q∈ Mσ（P）影响∈AEQ[年]≤ 公式[XT]。证明命题5.3，X=L∞(Ohm,F、 P）和备注5.4得出结论。利用这个结果，我们现在可以导出内在风险度量的对偶表示。定理5.6（对偶表示）设A X=L∞(Ohm,F、 P）为aσ（L∞,五十） -包含0且设S为合格资产的闭凸接受集。对于Q∈ Mσ（P）定义α（Q，A）=infXT∈AEQ[文本]。然后，内在风险度量采用以下公式：S（X）=supQ∈Mσ（P）（α（Q，A）- EQ[XT]+XSEQ[ST]- 公式[XT]。（5.3）证明借助引理5.5，我们可以重写内在风险度量asRA的定义方程，S（X）=infnλ∈ [0,1]|（1- λ）XT+λxst∈ Ao=infnλ∈ [0,1]|Q∈ Mσ（P）：等式（1）- λ）XT+λxst≥ α（Q，A）o=infnλ∈ [0,1]|Q∈ Mσ（P）：λEQXSST公司- XT公司≥ α（Q，A）- 公式[XT]o。注意，如果XT∈ A、 引理5.5意味着对于所有Q∈ Mσ（P）表达式α（Q，A）- 公式[XT]为负值，因此λ上的最大值等于0。现在假设XT/∈ A、 然后，等式[XSST]- 等式[下]≥ α（Q，A）- 公式[XT]>0，我们可以重新排列为getRA，S（X）=inf（λ∈ [0,1]Q∈ Mσ（P）：λ≥α（Q，A）- EQ[XT]XSEQ[ST]- 公式[XT]=inf（λ∈ [0,1]λ≥ supQ公司∈Mσ（P）α（Q，A）- EQ[XT]XSEQ[ST]- 等式[XT]=supQ∈Mσ（P）α（Q，A）- EQ[XT]XSEQ[ST]- 公式[XT]。下面是（5.3）中的表示。同样，对于这一结果，请回顾注释4.2中的井度。有趣的是，将此表示与等式（5.1）中给出的凸风险度量表示进行比较。我们注意到，方程式（5.3）中的分子包含与方程式（5.1）中表达式相同的项，因为α（Q，A）=-αmin（Q，A）。

然而，在上限接管Mσ（P）之前，分子通过财务状况和合格资产的预期距离进行归一化。如果接受集是一个圆锥，那么我们甚至可以通过推论5.2中一致风险度量的对偶表示将定理5.6与定理4.1联系起来。推论5.7如果A是σ（L∞,五十） -闭合凸锥，STS=1Ohm, 然后我们恢复表象ra，S（X）=（ρA，S（XT））+X+ρA，S（XT）。证明由于A是圆锥，定理5.6中的（最小）惩罚函数只能取0和±∞ 对于所有Q∈ Mσ（P）和所有λ>0以下等式成立，α（Q，A）=supYT∈AEQ公司[-YT]=supXT∈λAEQ[-XT]=supYT∈AEQ公司[-λYT]=λα（Q，A）。将Mσ（P）限制为M={Q∈ Mσ（P）|α（Q，A）=0}，定理5.6给出了表示式ra，S（X）=supQ∈M（当量[-XT]）+X+相等[-XT]。因为对于任何常数c>0，映射x 7→xc+xis在R>0时增加，我们可以将上确界拆分为getRA，S（X）=supQ∈M（当量[-XT]）+X+supQ∈墨西哥当量[-XT]。但是supQ∈墨西哥当量[-XT]是推论5.2中一致风险度量的表示，因此，我们恢复了formRA，S（X）=（ρA，S（XT））+X+ρA，S（XT），即第4.6节推导的圆锥接受集的内在风险度量表示。本文中，我们开发了一种新的风险度量：内在风险度量。Weargue认为，由于传统的风险度量是通过假设的额外资本来定义的，而在现实中并不总是可用的，因此考虑仅允许使用财务状况中包含的内部资本的风险度量是很自然的。我们讨论了基本性质，提供了示例和应用，二次曲线接受集的替代表示与传统风险度量及其效率直接比较，以及凸接受集的对偶表示。

这一新概念允许我们扩大应用范围，消除有限值的问题，同时专注于从不可接受的立场开始达到可接受性的首要目标。我们已经证明，与货币风险度量相反，单调性和准凸性等标准性质是通过接受集的结构直接施加的。在二次曲线接受集上，例如与风险价值和预期短缺相关的接受集，我们在内在风险度量和传统度量之间建立了联系。我们发现，前一种方法需要较少的资本才能达到可接受性，同时产生具有相同绩效的财务头寸。由于锥上的表示不能推广到凸接受集，我们对凸集使用了对偶结果，并在σ-加性概率测度中导出了内在风险测度的对偶表示。最后，我们想对内在风险度量研究的进一步发展提出一些想法。为了简单起见，我们选择X=L∞(Ohm,F、 P）并且我们指出了哪些地方可以直接扩展到更一般的空间。鉴于这些空间在数学金融中的重要性，我们有兴趣将内在风险度量扩展到一般有序拓扑向量空间，就像[FKMM14a]中对传统风险度量所做的那样。由于我们的一些结果要求验收集的内部为非空，因此内部必须由一个重新定义的概念（如核心）代替。此外，可以考虑扩展到多个财务头寸和多个合格资产。由于内在风险度量在单个财务头寸X上运行，因此在应用风险度量之前，需要对投资组合进行聚合。

一种可能更明智的方法是单独处理构成投资组合的头寸，但取决于它们在投资组合中的权重。然后必须决定如何确定所有可能的风险向量。另一种方法是在不聚合位置的情况下定义多维接受集。参考文献[ADEH99]PhilippeArtzner、FreddyDelbaen、Jean-MarcEber和DavidHeath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–2281999年。菲利普·阿兹纳、弗雷迪·德尔班和巴勃罗·科赫·麦地那。风险衡量和资本的有效使用。Astin公告，39（1）：101–116，2009年。Simone Cerreia Vioglio、Fabio Maccheroni、Massimo Marinacci和LuigiMontrucchio。风险度量：合理性和多样性。MathematicalFinance，21（4）：743–7742011。Freddy Delbaen。一般概率空间上的一致风险测度。《金融和随机科学的新进展：纪念迪特尔·桑德曼的文章》。施普林格柏林海德堡，柏林，海德堡，2002年。塞缪尔·德雷保罗和迈克尔·库珀。风险偏好及其robustrepresentation。运筹学数学，38（1）：28–622013。Nelson Dunford和Jacob T.Schwartz。线性运算符。第一部分：概述。国际科学出版社，纽约，1958年。Nicole El Karoui和Claudia Ravanelli。现金次加性风险度量和利率模糊性。数学金融，19（4）：561–5902009。Walter Farkas、Pablo Koch Medina和Cosimo Munari。现金之外的附加风险度量：当更改数字失败时。《金融与随机》，18（1）：145–1732014。Walter Farkas、Pablo Koch Medina和Cosimo Munari。可违约证券的资本要求。《保险：数学与经济学》，55:58–672014。汉斯·福尔默和亚历山大·希德。随机金融：离散时间的介绍。

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