函数x7→ Ef（x，x）是1-Lipschitz，因此接受一致性和单调性产生ρ（λf（x，x））≤ ρ（ρ（λf（x，x））|x=x）≤ γ（λ）+ρ（λE[f（X，X）|X]）≤ γ（λ）+γ（λ）+λE[f（X，Y）]。16 DANIEL LACKERRemark 4.4。在第5.5节中，我们将看到假设（4.1）等价于输运不等式γ*i（W（ν，ui））≤ α（ν|ui），对于所有的ν∈ P∞ui（Ei），式中为（5.3）中定义的Wass-erstein距离，其中α（·ui）定义为f 7给出的L（Ei，ui）风险度量的最小惩罚函数→ ρ（f（Xi））。关于这个函数α（·|·）的更多讨论见[30]；特别是，ρ的接受一致性等价于满足一个称为超加性的性质的函数α，它只是相对熵链式规则的一种不等式形式。事实上，P-Proposition 4.3可以用这个超可加性性质，以及[33,37]中关于输运不等式张量化的经典论点来证明。根据[22，命题1.8]的思想，我们可以将其扩展到各种非Lipschitz函数，它们对应于选择不同的最优运输成本来代替W（见推论5.6），但为了简洁起见，我们省略了这一点。我们可以在独立的情况下扩展这些论点，如下面的模拟命题4.2所示：4.5上的命题。设ρ为可接受一致律不变风险测度。假设xandxareany（不一定独立）随机变量满足ρ（λX）≤ γ（λ），（4.2）ρ（λX | X）≤ γ（λ），a.s.，对于所有λ≥ 0，其中γ和γ是形状函数。那么ρ（λ（X+X））≤ γ(λ) + γ(λ).证据

使用与命题4.2证明中相同的计算以及ρ：ρ（λ（X+X））的单调性≤ ρ（ρ（λ（X+X）|X））=ρ（λX+ρ（λX|X））=ρ（λX+γ（λ））≤ ρ（λX）+γ（λ）≤ γ(λ) + γ(λ).命题4.5可以自然地应用于马尔可夫链，将两个假设（4.2）和（4.3）分别解释为初始分布和转移核的条件。更一般地说，Propo-position 4.3的natura lanalog在这个环境中是独立的，但我们不会写出来。备注4。6.让我们注意一下，为什么这一节中的不等式在熵情形ρ（X）=loge[eX]之外通常不尖锐。只有对熵风险度量（本质上唯一的时间一致性风险度量）而言，命题4.2的结论才适用。一般来说，当ρ与可接受性一致时，在命题4.3中归纳的每一步，即不等式ρ（λf（X，X））中，都会损失一些东西≤ ρ（ρ（λf（x，x））|x=x）。如果我们直接使用上面的右边，即ρ的迭代，我们的不等式仍然很紧。这一想法将在后续论文中探讨。5.对偶不等式和测度的集中我们现在转向集中不等式及其对偶的更一般的讨论，其类型在以下简单命题中描述，建立在Bobkov和G¨otze[12]的思想基础上。事实上，对于m来说，这本质上就是[22]中的定理3.5。5.1的提议。设ρ为lw上的一个风险测度，其惩罚函数为α。设γ为形函数，设X为∈ L.然后ρ（λX）≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0、流动性、风险度量和度量的集中度17if且仅当γ*（等式[X]）≤ α（Q），对于所有的Q∈ P∞P(Ohm).证据还记得吗*（t） =supλ≥0（λt）- γ（λ）），因为γ=∞ 在(-∞, 按照惯例。

因此γ*（等式[X]）≤所有Q的α（Q）∈ P∞P(Ohm) 当且仅当ifsupλ≥0λEQ[X]- γ(λ)≤ α（Q），对于所有∈ P∞P(Ohm),如果且仅当∈P∞P(Ohm)λEQ[X]- α（Q）≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0.认识到le ft侧等于ρ（λX）。更一般地说，我们将其扩展到一般的起始位置，如下所示。假设我们面对的是大量的Y，我们希望了解在X损失中投资额外数量的风险。那么相关的流动性风险是X相对于Y的风险，即（ρ（λX+Y）-ρ（Y））λ≥0.更一般地说，我们考虑的是一类STARTING POSITIONS Y，而不是单个STARTING POSITIONS Y。要求一个随机变量来验证浓度的不均匀性是相当多的∈Φρ（λX+Y）- ρ（Y）≤ γ(λ), λ ≥ 0，（5.1）当clasΦ 大的。例如，我们将在推论5.4中讨论e，如果γ′（0）=γ（0）=0，Φ=L，那么X只能满足（5.1）≤ 0 a.s.Propositi 5.2。设ρ为lw上的一个风险测度，其惩罚函数为α。让我们 L.那么函数ρ（X）：=s upY∈Φ（ρ（X+Y）- ρ（Y））（5.2）是Lw上的一个风险度量，其惩罚函数为‘（Q）：=α（Q）- supY∈Φ等式[Y]-ρ（Y）.如果α是ρ的最小惩罚函数，那么α是ρ的最小惩罚函数。证据很明显，（5.2）定义了一个风险度量。为了证明α是ρsupQ的惩罚函数∈P∞P(Ohm)等式[X]- \'-α（X）= supQ∈P∞P(Ohm)等式[X]- α（Q）+supY∈Φ等式[Y]- ρ（Y）= supY∈Φ“supQ∈P∞P(Ohm)等式[X+Y]- α（Q）- ρ（Y）#=supY∈Φ（ρ（X+Y）- ρ（Y））。如果α是ρ的最小惩罚函数，那么根据Theo rem 2.1，它可以验证公式‘α（Q）=supX∈L等式[X]- ρ（X）.但这很简单。结合命题5.1和命题5.2得出：推论5.3。设ρ为lw上的一个风险测度，其惩罚函数为α。

为了Φ 五十、 以下是等价的：（1）ρ（λX+Y）- ρ（Y）≤ γ（λ），对于所有λ>0和Y∈ Φ.(2)γ*（等式[X]）≤ α（Q）- supY∈Φ等式[Y]- ρ（Y）, 尽管如此，Q∈ P∞P(Ohm).18丹尼尔·拉克尔推论5.4。设ρ为L上的一个风险度量，它允许一个惩罚函数（或等价地具有阿托乌性质）。设γ为满足γ（0）=0的形状函数。然后X∈ Lsatiesρ（λX+Y）- ρ（Y）≤ γ（λ），对于所有λ>0，Y∈ 五十、 当且仅当X≤ γ′（0）a.s.，其中γ′（0）是右导数。证据设α为ρ的最小函数。推论5.3，Φ=所有Q∈ P∞P(Ohm)γ*（等式[X]）≤ α（Q）- supY∈L等式[Y]-ρ（Y）= 0.自从γ≥ 0和γ（0）=0，如果x∈ 满足感γ*（x） =0，则必须发送≤ γ（t）表示所有t>0，这意味着x≤ inft>0γ（t）/t=γ′（0）。因此EQ[X]≤ 所有Q的γ′（0）∈ P∞P(Ohm), 这意味着X≤ γ′（0）a.s.相反，如果X≤ γ′（0）a.s.，则现金可加性和单调性产生ρ（λX+Y）-ρ（Y）≤ λγ′(0) ≤ γ（λ），其中最后一个不等式来自于γ的共凸性。5.1. 运输不平等。Pro position 5.1帮助我们理解如何统一控制许多随机变量的浓度。其中一个特殊但重要的例子是运输不平等，我们讨论这类不平等有两个原因：提供集中度不平等的另一种观点，以及阐明我们对短缺风险度量的研究如何产生一些经典运输不平等有趣的新特征。假设Ohm 配备了公制d(Ohm, d） 是一个完整的可分空间。确定WPP的瓦瑟斯坦距离≥ 1 byWp（P，Q）：=infπ∈π（P，Q）ZOhm×Ohmd（x，y）pπ（dx，dy）1/p，（5.3），其中∏（p，Q）是Ohm × Ohm 第一和第二边缘分别等于P和Q。

当然，Wp（P，Q）仅为P，Q定义∈ 聚丙烯(Ohm), 对于任意固定的x∈ Ohm我们定义了nePp(Ohm) :=P∈ P(Ohm) :ZOhmd（x，x）pP（dx）<∞.n两个测度P，Q之间的相对熵∈ P(Ohm) 通常由h（Q | P）=（RlogdQdPdQ，如果Q<< P∞ 否则经典的说法是，如果存在c>0这样的Wp（P，Q），则测量P验证了运输不平等性Tp≤pcH（Q | P），适用于所有Q∈ 聚丙烯(Ohm).这些不平等已经在测度集中方面得到了彻底的研究，我们稍后将详细介绍。著名的Kantorovich对偶描述WisW（P，Q）=supZOhmφd（P- Q） ：φ∈ 嘴唇(Ohm),嘴唇在哪里(Ohm) 表示来自(Ohm, d） 考虑到这一点，我们得到命题5.1的以下推论。推论5.5。假设ρ是一个惩罚函数α的风险度量，γ是一个形状函数。假设(Ohm, d） 是一个完全可分的m度量空间，P∈ P(Ohm). 以下是等效的：（1）对于每个f∈ 嘴唇(Ohm) 每个λ∈ R、 我们有ρ（λf）≤ γ（|λ|）+λEf。（5.4）（2）每个Q∈ P∞P(Ohm), 我们有γ*（W（P，Q））≤ α（Q）。更一般地说，我们可以假设Ohm 是一个波兰空间，d是一个可测量的度量Ohm, 不一定符合拓扑学。流动性、风险度量和度量标准的集中度。注意，（1）相当于同一个语句，但限制为λ≥ 0，自从Lip(Ohm) =-嘴唇(Ohm). 由于ρ的现金可加性，不等式（5.4）等价于ρ（λ（f）-Ef）≤ γ(λ).根据命题5.1，这相当于γ*（EQf）-（EPf）≤ α（Q），Q∈ P∞P(Ohm).在f上取上确界∈ 嘴唇(Ohm), 该索赔遵循W的双重公式。让我们以[21,22]的精神，通过考虑更多的基因成本，稍微概括一下这个讨论。假设c：Ohm→ [0, ∞] 是下半连续的，为了规范化的目的，假设infyc（x，y）=0表示所有x。

LetTc（P，Q）：=infπ∈π（P，Q）ZOhm×Ohmc（x，y）π（dx，dy）设Φcdenote上有界可测函数（φ，ψ）对的集合Ohm 满足φ（x）+ψ（y）≤ c（x，y）表示所有x，y∈ Ohm. 通过Kantorovich对偶（例如[38]），我们得到了Tc（P，Q）=sup（φ，ψ）∈ΦcEQ[ψ]+EP[φ]。考虑到这一点，我们得出了更一般的输运不等式的一个特征，作为5.1的一个推论：推论5.6。假设ρ是一个惩罚函数α的风险度量，而γ是一个形状函数。以下是等效的：（1）对于每个（φ，ψ）∈ Φc各λ≥ 0，我们有ρ（λψ）≤ γ(λ) - λEP[φ]。（2） 对于每个Q∈ P∞P(Ohm), 我们有γ*（Tc（P，Q））≤ α（Q）。回想一下，在定理3.9中，点（3）和（4）取决于l 只有通过l o γ*. 通过改变l和γ，同时保持复合l o γ*尽管没有改变，但OREM 3.9中围绕点（1）和（2）的含义相当有趣。下面是对输运不等式的一个应用，描述了一个看似较弱的不等式的pin项，直到我们不仔细跟踪的常数变化。推论5.7。修正p∈ {1, 2}. TP不等式wp（P，Q）≤ cpH（Q | P），Q∈ P∞P(Ohm)当且仅当ifWp（P，Q）时，对某些c>0的情况成立≤ cslogdQdPL∞（P），Q∈ P∞P(Ohm) （5.5）对于某些c>0。证据第一个方向无关紧要，因为如果<< uthenH（ν|u）=Zlogdνdudν≤ 日志dνduL∞(u).为了证明相反，设置c（x，y）=| x- y | pso表示Tc=Wpp。集合Φ={ψ+EP[φ]：（φ，ψ）∈ Φc}。设置γ*（x） =exp（t2/p）- 1.对于新常数c>0，我们可以将（5.5）改写为γ*c supf∈ΦEQ[f]！≤ kdQ/dP kL∞（P）- 1=α（Q），Q∈ P∞P(Ohm),20 DANIEL Lacker，其中α是与损失函数相关的短缺风险度量的最小惩罚函数l（t） =（1+t）+（见第3.1节）。

自从功能lo γ*（t） =exp（t2/p）在H中，我们从定理3.9得出结论（对于某些c）supf∈Φxpc | f+| 2/pi=supf∈ΦEPl(γ*（cf+）< ∞.现在开始l（t） =t和γ（t）=t2/p，注意γ′（0）=1>0（如果p=2）或γ′（0）=2>0（如果p=1）。这双(l, γ） 在LΓ和l o γ*= lo γ*, 所以定理3.9表明，这意味着（新常数c的增益）γ*c supf∈ΦEQ[f]！≤ α（Q），Q∈ P∞P(Ohm),其中α是与损失函数相关的短缺风险度量的最小惩罚函数l. 但当α（Q）=H（Q | P）时，我们就得到了期望的TPP不等式。5.2. 集中功能。让我们从更熟悉测量浓度理论的角度简要地重述前面的结果。度量的集中度通常是根据集合的大小来定义的，我们将在介绍Ledo ux[31]之后解释这一点。假设在整个章节中Ohm 是一个完全可分的度量空间。以下函数CP:（0，∞) →[0，1/2]是测度P:CP（r）：=sup{1的浓度函数- P（Ar）：A∈ F、 P（A）≥ 1/2}，其中Ar:={ω∈ Ohm : d（ω，A）<r}。请注意，当r→ ∞. CP（r）形式的高斯集中界≤ cexp(-这种众所周知的现象被称为测量浓度。给定一个定义为Ohm, 我们说mf∈ 如果P（f），R是f的中位数≥ mf）≥ 1/2和P（f）≤ mf）≥ 1/2. 放开嘴(Ohm) 表示上所有1-Lipschitz函数的集合(Ohm, d） 。

已知[31，命题1.3]Cp（r）=sup{P（f）≥ mf+r）：f∈ 嘴唇(Ohm), mf是f}的中位数。此外，通过[31，命题1.7]，我们可以用以下意义上的平均值代替中位数：CP（r）≤ 啜饮PF≥ EPf+r/2: F∈ 嘴唇(Ohm).这使我们从定理3.9和推论5.5：5.8上的命题出发，用输运不等式对浓度函数进行了新的描述。假设γ是一个形状函数，l 是一个损失函数，E是一个抛光空间，u∈ P（E）。设α为与之相关的短缺风险测度ρ的最小惩罚函数l. 考虑以下两种状态：（1）存在c>0，使得P满足运输不等式γ*（cW（Q，P））≤ inft>0t1+EPl*tdQdP, 为了ν<< u.（2） 存在c>0，使得CP（r）≤ 1/l(γ*（cr））适用于所有r>0的情况。那么（1）意味着（2），而（2）中的常数是（1）的一半。伊夫(l, γ) ∈ LΓwithl o γ*∈ H（种子定义3.5和3.7），然后（2）意味着（1）。另一种可以说是更直接的论点，其结果类似于（1）=> （2） 关于命题5.8，最初由Marton[32,33]提出，后来由几位作者进行了扩展，如[22，定理1.7]。假设P满足命题5.8（1）的运输不等式。确定一个可测量的集合 Ohm withP（A）≥ 1/2，设置B:=Ohm\\其中r>0是固定的。对于可测量的集合C，确定新的概率测量值PC:=P（·∩ C） /P（C）。正式地交换上、下确界的顺序，我们计算α（PA）=inft>0t（1+P（A）l*（t/P（A））=sups∈Rinft>0吨（1+P（A）[st/P（A）- l（s） ）（5.6）=sup{s:P（A）l（s）≤ 1} = l-1（1/P（A））≤ l-1(2).流动性、风险度量和度量的集中度，α（PB）=l-1（1/P（B））=l-1.1.- P（Ar）.自d（A，B）≥ r和所有的耦合都集中在A×B上，我们有W（PA，PB）≥ R

Wyieldsr的三角不等式≤ W（PA，PB）≤ W（PA，P）+W（PB，P）≤ (γ*)-1（α（PA））+（γ*)-1（α（PB））≤ (γ*)-1(l-1(2)) + (γ*)-1.l-1.1.- P（Ar）.因此，如果r:=（γ*)-1(l-1（2）），thenP（Ar）≥ 1.-l o γ*（r）- r） ，这又意味着CP（r）≤ 1/l(γ*（r）- r） ）。当然，步骤（5.6）仍有待验证，但事实上，它可以证明，如果a，b>0，那么≤ 1+bl*（t/b）当且仅当a≤ l-1（1/b）。但这很简单，因为前一个条件等于nt到1≥ 支持>0（在- Bl*（t/b））=b supt>0（at/b）- l*（t/b））=bl（a） 。最后一个等式成立是因为l*（t） =∞ 对于t<0，由于l.5.3. 扩展。关于输运不等式，相对熵是迄今为止对上述罚函数例子研究得最好的。然而，Guillin等人[23]的工作成功地利用了Donsker Varadhan信息（也被称为Fisher信息）来替代输运不等式中的相对性，其动机是马尔可夫过程的收敛速度。事实上，Donsker Varadhan信息的凸共轭是与时间积分马尔可夫过程的对数矩函数相关的风险度量，这确实是[23]中证明的基础。与随机矩阵理论相关，Biane和Voiculescu[10]（另见[22，第12节]）表明，半圆定律满足一个涉及所谓“自由熵”的二次转置不等式对偶不等式的潜在应用（在命题5.1中定义为完全通用）与各种应用中出现的概率测度（或等式，其共轭：风险测度）的凸函数一样数不胜数。最后举一个例子：假设Ohm = r惩罚函数α（Q）定义为从P到Q的鞅最优运输成本，最近在[4]中引入。

相应的风险度量ρ可以用一种形式的Kantorovich对偶来计算。特别是，让c：Ohm→ [0, ∞) 较低的半连续性，以及fixu∈ P(Ohm) 第一刻就结束了。定义ρ（f）=-ZOhm（c（x，·）- f）**（x） u（dx），其中φ**表示φ的双共轭或共凸包络。很容易检查到ρ是一个风险度量（尽管不一定规范化），其最小惩罚函数是α（ν）=infπ∈πm（u，ν）ZOhmc dπ，（5.7），其中∏m（u，ν）表示（可能为空）鞅耦合集，即随机向量（X，Y）的定律集，其中X~ u，Y~ ν、 实际上，最近的几篇论文[6,5]对对偶公式（5.7）进行了仔细的研究，后一篇论文[5，备注7.9]讨论了（5.7）中提出的简化形式。命题5.1告诉我们，如果f∈ B(Ohm),ρ（λf）≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0，当且仅当γ*ZOhmf dν≤ α（ν），对于所有的ν<< u22 DANIEL Lacker这确实包括几种martinga-le不等式的简化形式；例如，如果c（x，y）=-（十）∨y） f（y）=-4y，这只是杜布的不平等。当然，我们应该将这一思想推广到具有更大时间指数集的鞅，但可以想象，类似的凸分析方法也会适用。我们在这里缩短了讨论，因为对这个想法的任何进一步探索都超出了本文的范围。Acknow窗台。作者要感谢Ra mon van Handel、Zach Feinstein、AlexanderSchied和Thaleia Zariphopoulou就pap e r的组织进行了有益的讨论，并提供了宝贵的建议。附录A.定理3.6Lemma A.1的证明。如果(l, γ) ∈ LΓ，thenlimc→∞林尚→∞好的≥Cl(γ*（x/n））l(γ*（x） ）=0。证据对于系数n>1和c>0，我们有l(γ*（c/n））≤ l(γ*（c） ）。

但很明显l(γ*（x/n））- l(γ*（x） 在x和sosupx中增加≥Cl(γ*（x/n））l(γ*（x） )=l(γ*（c/n））l(γ*（c） ）。自从l γ*与γ是连续的*(0) = -γ(0) ≤ 0和l（0）=1，我们有→∞好的≥Cl(γ*（x/n））l(γ*（x） )=l(-γ(0))l(γ*（c） )≤l(γ*（c） ）对于每个c>0。因为γ（x）<∞ 对于某些x>0的情况，γ*（x） 倾向于以x为单位→ ∞. 这样索多斯l(γ*（x） ）（自从l（x） 对于所有x>0的情况，通过定义loss函数），这就完成了证明。现在让我们转向定理3.6的证明。首先让我们检查一下，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设每X X的EX=0∈ Φ. 给定一个基因ralΦ，集Φ′：={X- 例：X∈ Φ}. 可积条件supx∈ΦE[l(γ*（κX+）]∞意味着Φ′有一个，尽管有一个不同的κ，从那时起[l(γ*（κ（X）- EX）+/2））]≤E[l(γ*（κX+）]E[l(γ*(κ(-EX）+）].自从l o γ*是非恒定的，我们有supX∈ΦE|X|<∞, 我们的结论是∈Φ′E[l(γ*（κX+/2））]∞.因此，在剩下的证明中，我们假设所有X的EX=0∈ Φ.现在，为了证明定理3.6，需要证明ρ（λX）存在n>0s≤ 所有λ的γ（nλ）≥ 0，或等效ρ（λX/n）- γ（λ））对于所有λ≥ 0.这相当于发现n>0∈Φsupλ≥0ElλXn- γ(λ)≤ 1.（A.1）其主要思想是，积分界（3.5）产生一些一致可积性，即l（λX/n）-γ(λ)) ≤ l(γ*（X/n））；对于each X和λ，我们可以证明[l（λX/n）-γ(λ))] → l(-γ（λ））as n→ ∞. 但是l(-γ(λ)) < l（0）=1表示所有λ>0。对于固定δ>0，我们可以使该极限在λ上一致≥ δ得出的结论是（A.1）与λ一样适用于某些n≥ δ、 但是λ的小值需要更多的注意。案例1：假设定义3.5的条件（3a）成立。

多亏了引理A.1，我们可能会发现c，N>0，因此对于N≥ Nsupx≥Cl(γ*（x/（κn）））l(γ*（x） )≤M.自l γ*对于所有λ>0和X，都是不减损的∈ 我们有lλXn- γ(λ)≤ l(γ*（X+/n））。因此，使用假设（3.5），ElλXn- γ(λ)十> c/κ≤ El(γ*（κX+）l(γ*（X+/n））l(γ*（κX+）X>c/κ≤我l(γ*（κX+）≤ .另一方面，ElλXn- γ(λ)|X|≤c/κ≤ lλcκn- γ(λ)≤ l(γ*（c/κn））。苏斯lλXn- γ(λ)≤  + l(γ*（c/κn））。（A.2）现在注意γ*（0）=支持≥0(-γ（t））=-γ(0) < 0. 由于γ是非恒定的，所以{t≥ 0 : γ*（t） <∞}具有非空的内部，其上*是连续的。因此，我们可能会发现t>0，使得γ*（t） <0。选择>c/（κt）得到γ*（c/κn）≤ γ*（t） 利用γ的单调性*. 自从l′（0）存在且严格为正，且自l（0）=1，我们知道l（x） <1表示所有x<0。最后，选择：=[1]- l(γ*（t） ）]>0，并从（A.2）中得出结论，（A.1）适用于足够大的n.情况2，步骤1：假设定义3.5的条件（3b）成立。我们首先考虑λ的小值。我们希望找到δ>0和N>0，这样就可以≥Nsupλ≤δsupX∈ΦElλXn- γ(λ)≤ 1.（A.3）注意ddλlλXn- γ(λ)= l′λXn- γ(λ)Xn- γ′(λ).根据中值定理，对于λ>0，我们可以找到tλ∈ [0，λ]这样lλXn- γ(λ)= 1+λEl′tλXn- γ（tλ）Xn- γ′（tλ）.为了证明（A.3），现在必须证明↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦEl′tλXn- γ（tλ）Xn- γ′（tλ）< 0.（A.4）固定>0和δ>0。根据假设（3b），我们可能会发现x>0，因此xl′（十）≤ l(γ*（x） ）为所有x≥ 请注意l′通过对损失函数的定义，它是非负且非减损的。对于每个λ≤ δwehaveXnl′tλXn- γ（tλ）十、≥十、≤X+nl′δX+n十、≥十、≤δl o γ*δX+n.自从γ*（0）=0和l（0）=1，函数的凸性l oγ*暗示l o γ*（德克萨斯州）≤ Tl o γ*（x） +（1）- t） 。

（A.5）因此≥ δ、 Xnl′tλXn- γ（tλ）≤κnl(γ*（κX+）+δ1.-Δκn.另一方面，Xnl′tλXn- γ（tλ）|X |<X≤xnl′tλxn- γ（tλ）≤xnl′（δx/n），当n时明显趋于零→ ∞. 我们从最后两次展示以及假设（3.5）得出结论，即LIM supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦEXnl′tλXn- γ（tλ）≤ /δ24 DANIEL Lacker因为这对每一个>0都成立，所以limsup实际上是零，我们得到lim supδ↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦEl′tλXn- γ（tλ）Xn≤ 0.当我们检查lim supδ时，（A.4）的证明将是完整的↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈Φ-γ′（tλ）El′tλXn- γ（tλ）< 0.（A.6）注意γ′（tλ）≥ γ′（0）>0，并且l′tλXn- γ（tλ）≥ l′-δ| X | n- γ(δ).自从l′是连续的，非减量的，非负的，右边的随机变量是有界的，在X和n上是一致的，并且逐点增加到常数l′(-γ（δ））。收敛性由Dini定理和Thusimn一致→∞好的∈ΦEl′-δ| X | n- γ(δ)= l′(-γ(δ)). （A.7）Thusim supδ↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈Φ-γ′（tλ）El′tλXn- γ（tλ）≤ -γ′（0）lim supδ↓0l′(-γ(δ)) = -γ′(0)l′(0).根据假设，这个数量是严格负的，证明（A.6）。案例2，第2步：我们现在转向λ的大值，现在δ>0已经固定，并且证明存在N>0这样的supλ≥δsupn≥氖lλXn- γ(λ)≤ 1.（A.8）自l′（0）存在并且是非常积极的l（0）=1，我们知道l（x） <1表示所有x<0。因此l(-γ（δ））<1，并以高度的远见定义：- l(-γ(δ))]/2 > 0.多亏了引理A.1，我们可能会发现c，N>0，这样对于N≥ Nsupx≥Cl(γ*（x/（κn）））l(γ*（x） )≤M.还要注意，对于所有λ>0，lλXn- γ(λ)≤ l(γ*（|X |/n））。因此，使用假设（3.5），ElλXn- γ(λ)十> c/κ≤ El(γ*（κX+）l(γ*（X+/n））l(γ*（κX+）X>c/κ≤我l(γ*（κX+）≤ . （A.9）现在请注意，对于任何t>0，supλ中的上确界≥δ（λt）- γ（λ））由λ=inf{s获得≥ δ：γ′（s）≥ t} ，其中γ′是γ的右导数。

所以如果t≤ γ′（δ），我们有supλ≥δl（λt）- γ(λ)) = l（δt）- γ(δ)). 由于γ（x）>0=γ（0）对于所有x>0，并且由于γ是递增的和凸的，我们得到了γ′（δ）>0。因此，ifn≥cκγ′（δ），然后是supλ≥δElλX+n- γ(λ)十、≤c/κ≤ lδcn- γ(δ). （A.10）流动性、风险度量和度量值的集中度，因为右侧收敛到l(-γ（δ））as n→ ∞, 对于足够大的n（同样只包括onc和δ），我们有lδcn- γ(δ)≤ l(-γ(δ)) + .将其与（A.9）和（A.10）相结合表明，对于足够大的nsupλ≥δElλX+n- γ(λ)≤ 2 + l(-γ(δ)) = 1.将其与（A.3）相结合，完成（A.1）的证明，从而完成案例2。案例3，步骤1：假设定义3.5的条件（3b）成立。同样，我们首先考虑λ的小值，通过发现δ>0和N>0，使（A.3）保持不变。注意ddλlλXn- γ(λ)= l′′λXn- γ(λ)Xn- γ′(λ)- γ′′(λ)l′λXn- γ(λ).根据泰勒定理，对于λ>0，我们可以找到tλ∈ [0，λ]这样lλXn- γ(λ)= 1.- λγ′(0)l′（0）+λE[A（λ，X）- B（λ，X）]，（A.11），其中（λ，X）：=E“l′′tλXn- γ（tλ）Xn- γ′（tλ）#,Bn（λ，X）：=γ′′（tλ）El′tλXn- γ（tλ）.我们使用EX=0来简化一阶项。现在，fixδ>0将在以后指定。多亏了（A.11），为了证明（A.3），有必要证明lim supδ↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦE[An（λ，X）- Bn（λ，X）<0，（A.12）对于足够大的n.Fix，δ>0，δ稍后确定。如果λ≤ δ、 然后从l′′非减量We have[An（λ，X）]≤ 2EXn+|γ′（tλ）|l′′（tλX/n）-γ（tλ）≤ 2EXn+|γ′（δ）|l′′（δX/n）.现在请注意，假设（3c）存在x>0，这样xl′′（十）≤ l(γ*（x） ）为所有x≥ x、 ThusXnl′′（δX/n）1 |X|≥十、≤δl(γ*（δ| X |/n））1 |X|≥十、≤Δκnl(γ*（κ| X |）+δl(γ*（δ| X |/n））1.-Δκn,最后一个不等式来自l o γ*如（A.5）所示，当nκ≥ δ. 另一方面，Xnl′′（δX/n）1 |X |<X≤xnl′′（δx/n），当n时明显趋于零→ ∞.

将以上两种品质结合在一起，可生产超薄型SUP→∞好的∈ΦEXnl′′（δX/n）≤ /δ.因为>0是任意的，所以上面的limsup实际上是一个等于零的极限。苏普恩→∞好的∈ΦE[An（λ，X）]≤ 2|γ′（δ）|supX∈ΦE[l′′（δ| X |）]），一个类似的变换参数（使用X）表明X上的上确界∈ 右边的Φ是有限的，因此由于γ′（δ）=0，我们得到了lim supδ↓0lim supn→∞好的∈ΦE[An（λ，X）]=0。（A.13）26 DANIEL Lacker另一方面，对于B项，注意e[Bn（λ，X）]≥ γ′′（tδ）El′-δ| X | n- γ(δ)≥ 我知道l′-δ| X | n- γ(δ),式中，Iδ：=inft∈[0，δ]γ′（t）对于非常小的δ是三正的。多亏了上面案例2中的（A.7），我们得到了信息→∞好的∈ΦE[Bn（λ，X）]≥ 我δl′(-γ（δ）），以及↓0lim infn→∞好的∈ΦE[Bn（λ，X）]≥ γ′(0)l′(0).最后，从这一点和（A.13）我们得出了m supδ↓0lim supn→∞supλ∈[0，δ]supX∈ΦE[An（λ，X）- Bn（λ，X）]≤ -γ′′(0)l′(0) < 0.案例3，步骤2：为了处理λ的大值，我们遵循与案例2的步骤2完全相同的证明，证明存在N>0，这样（A.8）成立。将其与（A.3）结合起来，就完成了（A.1）的证明，从而证明了定理。参考文献1。C.Acerbi和G.Scandolo，《流动性风险理论和cohe-rent风险度量》，量化金融8（2008），第7681–692.2号。P.Artzner，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath，《一致性风险度量》，数学金融9（1999），第3203-228.3号。P.Barrieu和N.El Karoui，Inf《风险度量和最优风险转移的卷积》，金融与随机9（2005），第2期，第269–298.4页。M.Beiglb¨ock，P.Henry Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限——一种大众运输方法》，金融与随机17（2013），第3期，477–501.5。N.Beiglb–ock，M.Nutz和N.Touzi，《线上鞅最优运输的完全对偶》，arXiv预印本XIV:1507.00671（2015）。贝格尔博克和N。

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