流动性、风险度量和度量集中度

2022-5-9 09:09:27

流动性、风险度量和被度量的酒精浓度摘要。扩展了度量集中度的技术，我们开发了一个定量框架，使用凸风险度量对流动性风险进行建模。研究的基本对象是（ρ（λX））λ形式的曲线≥0，其中ρ是凸风险度量，X是随机变量，我们称这种曲线为流动性风险曲线。对于一些值得注意的风险度量类别，即短缺风险度量，流动性风险的形状与基础X的尾部行为密切相关。我们利用这一联系，通过其他实函数γ，从上面系统地约束流动性风险，导出ρ（λX）形式的集中不等式的可处理必要条件和充分条件≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0.这些集中度不等式承认了与传输不等式相关的有用对偶表示，这导致了大类X的流动性风险模型的有效统一边界。另一方面，从这一分析中得出了一些适度的新数学结果，包括一些经典传输t-熵不等式的新特征。最后，通过律不变风险测度的时间一致性性质与集中等式的张量化之间惊人的联系，深化了分析。1.导言本文的主要目标是建立一个流动性风险的量化模型，该模型基于共投资风险度量。正如标题所示，这是通过使用集中度量理论中的思想来实现的。相反，我们希望说明，风险测度的发达凸对偶性对一些集中问题有了新的启示，特别是与运输不等式有关的问题，尽管这些结果不是本文的主要目的。

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2022-5-9 09:09:30

在本文中，风险度量是任意凸泛函ρ：L→ (-∞, ∞] 满足以下公理：（1）归一化：ρ（0）=0。（2）现金可加性：ρ（X+c）=ρ（X）+c代表所有X∈ 五十、 c∈ R.（3）单调性：ρ（X）≤ ρ（Y）每当X，Y∈ Lwith X≤ Y a.s.相对于固定概率空间定义的空间(Ohm, F、 P）。请注意，风险度量通常被认为是在减少，而我们假设它们是在增加，这与符号变化无关。我们将随机变量X视为金融损失的价值（即正数为损失，负数为收益），以安全或流动资产的单位报价，在某个交易周期结束时实现。（由于我们的签名大会与往常相反，我们认为X是一种损失，而不是一种收益。）通常，ρ（X）量化了损失X的风险，或者更准确地说，量化了必须从损失X中减去的最小资本（以asafe或无风险参考工具表示），以使其可接受。如果ρ（X）≤ 0表示该位置是可接受的，而ρ（X）>0表示该位置为ris-ky。最初，风险度量是由Artzner等人[2]引入的，带有一个额外的一致性公理，即ρ（λX）=λρ（X）表示所有λ≥ 0和X∈ L.这忽略了流动性风险，也就是说，损失翻倍，风险翻倍。

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2022-5-9 09:09:33

正是出于这个原因，我们在[18,20]中引入了凸风险度量，呈现曲线（ρ（λX））λ≥0非线性。尽管如此，明确使用凸风险度量来量化流动性风险还是相当有限的，所有这类研究都远远超出了传统设置，使用了更复杂类型的风险度量，如流动性调整风险度量[1,39,25]或s e t值风险度量[26,24]。在本文中，我们通过开发一些量化工具来认真对待凸性公理，利用这些工具，经典的凸性风险度量可以用来建模流动性风险。我们不是通过在ea chposition X上附加一个捕捉头寸流动性的单一数量来实现这一点，而是通过研究如何操作来实现的。该材料基于国家科学基金会（DMS-1502980.2 DANIEL Lacker）资助的工作，其形式为（ρ（λX））λ≥0.从这个意义上说，我们的流动性是有限维的，而不是一维的。具体而言，我们对函数（ρ（λX））λ进行了深入研究≥0，其中X∈ Lis agiven损失和ρ是一个给定的风险度量。我们将该函数称为与X相关的流动性风险曲线，因为该曲线详细描述了金融损失X的风险如何随其规模变化。当然，如果风险度量是一致的，那么线性流动性风险概率ρ（λX）=λρ（X）就不是很有趣。更一般地说，λ7→ ρ（λX）总是凸的。由于ρ是归一化的，当λ∈ [0,1]我们有ρ（λX）≤ λρ（X），当λ>1时，我们有ρ（λX）≥ λρ（X）。特别是，如果位置X不可接受（即ρ（X）>0），则风险ρ（λX）与位置大小成超线性关系。

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2022-5-9 09:09:37

这是很自然的，因为在流动性差的市场中，大宗交易通常无法获得稳定的价格。拟议的框架有意模糊流动性背后的机制，我们甚至对该术语的定义仍然不可知。相反，我们发现直接将流动性风险建模为一个不同于任何市场流动性精确概念的概念更为合适。流动性不足可能来自（甚至被定义为）各种各样的市场摩擦，例如缺乏交易对手或禁止性研究成本或交易成本。无论流动性不足的来源是什么，我们都同意，在流动性不足的市场中，杠杆的风险更大。正如我们所定义的那样，流动性风险报告确实描述了杠杆和风险之间的相互作用，其方式可以适应任何风险度量的选择。区分流动性风险和市场流动性的合理性不亚于在概率模型中抽象随机性来源的普遍做法：随机性背后的精确机制通常隐藏在“ω”中，即随机变量X对潜在不确定性来源的依赖性中，而X的分布与许多建模目的有关。利用度量集中度的思想，我们将得出流动性风险边界的易于理解的描述和标准。我们主要研究ρ（λX）形式的浓度不等式≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0，（1.1）式中γ≥ 0是一个给定的递增凸函数。这个不等式意味着，对于每一个λ，掩盖λX损失风险所需的资本不超过γ（λ）≥ 0

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kedemingshi

2022-5-9 09:09:41

大λ的γ（λ）值告诉你杠杆化头寸的风险有多大，而行为是sλ↓ 0告诉你更多关于X的边际风险。假设ρ（Y）≥ 我永远爱你∈ 五十、如果ρ是定律不变的（见命题2.4），这确实是众所周知的。那么ρ（λ（X- （前）≥ 0，对于所有λ∈ R.（1.2）将基础P视为一种定价指标，EX是头寸X的（流动）价格，X-EXis是收益减去价格。更相关的流动性ris k文件可能是X- EX，即以EX的价格将索赔X出售给外部方时所面临的损失；除非等式保持在（1.2）中，否则这会产生非平凡的流动性ris k。因此，我们关注的是形式为（使用现金可加性重写）ρ（λ（X）的集中不等式- （前）≤ γ(λ) <=> ρ（λX）≤ λEX+γ（λ），λ ≥ 0.（1.3）当然，这是（1.1）的一个特例，只是选择了另一个γ。应该注意的是，函数的形式是x7→ ρ（X）- 最近几年，Rockafellar等人[34]对EX）本身进行了广泛的研究，但我们发现风险度量的语言更适合我们的目的。γ有哪些合理且信息丰富的选择？根据（1.2），我们假设γ是非负的，这也将简化以后的许多计算。另外，作为λ↓ 0，我们期望有某种形式的连续性来强制ρ（λX）→ ρ(0) = 0. 因此，一个夏普集中不等式的γ（0）=0，除非它只涉及损失X的大尺度控制。右导数λ↓0λ-1ρ（λ（X）- （1.4）捕捉了卖出X的边际或交易风险（同样是以EX价格）。

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2022-5-9 09:09:44

的确，如果ρ≥ 上一段中的E，然后ρ(-十）≤ 前任≤ ρ（X）表示所有X，我们可以将（1.4）a中的右导数和类似的左导数之间的差异视为买卖价差。当流动性风险随头寸大小而消失时，这些衍生工具正好为零，即ρ（λX）在一阶时的行为类似于λEX。也就是说，当买卖少量X时，风险s应该大致等于价格。考虑到流动性、风险度量和度量3的集中度，我们将特别关注γ′（0）=0的情况。如果再次ρ≥ 如果γ（0）=0，那么界（1.3）就意味着≤ limλ↓0λ-1ρ（λX）≤ EX+γ′（0）。Barrieu和El Karoui[3]表明，计算极限Mρ（X）：=limλ↓0λ-1ρ（λX）定义了一个一致的风险度量，这自然被解释为流动性ris k消失的极限。当γ（0）=γ′（0）=0时，我们看到，如果X满足浓度不等式（1.3），那么Mρ（X）=EX，或等效于ntlyMρ（X）- EX）=0。在进一步讨论数学概念之前，让我们先谈谈Acerbi和Sca ndolo在他们最近发表的论文[1]中对Conv x riskmeasures提出的一些批评。首先，他们提出了一个令人信服的理由，即凸风险度量最好解释为评估与按市值计价的投资组合价值相关的风险指数k，与投资组合内容不同。当然，我们希望阐明一个有意义的流动性理论，它既简单又可实现，并且避免诉诸[1]中的附加非线性价值函数。此外，我们在一定程度上不同意他们的主要批评：违规行为[o正同质性和次可加性]是在CHOSEN ris k度量的水平上引入的，因此它们适用于所有投资组合，无论其规模或内容如何。

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大多数88

2022-5-9 09:09:48

这反过来又导致在流动性风险消失的渐近极限下，我们将无法恢复完全一致的方案，我们认为这是该极限下的适当方案。[1] 我们的竞争有两个理由。首先，如前一段所述，[3]中显示（递减）极限Mρ（X）=limλ↓0λ-1ρ（λX）总是定义一个一致的风险度量。该限额应被解释为流动性风险消失，因为它引出了潜在风险。其次，我们指出，流动性风险指数k文件λ7→ ρ（λX）非常敏感地依赖于损失X。将随机变量X解释为市场投资组合价值的受损，X的精确结构（即其对nω的依赖性）隐藏了，但肯定不会消除对基础投资组合“大小或内容”的依赖性。当我们引入初始头寸Y，并研究流动性风险比例（ρ（Y+λX）时，这一点就更加清楚了-ρ（Y））λ≥X相对于Y的0。我们使用子轨迹ρ（Y）来表示标准化的pur姿势，注意到x7→ ρ（X+Y）-ρ（Y）是我们定义的一种风险度量。我们将在推论5.4中看到，这一流动性ris k文件在很大程度上取决于Y和X的选择；特别是，如果γ≥ 0是非减量的，且定义为γ（0）=γ′（0）=0，然后是界ρ（Y+λX）- ρ（Y）≤ γ（λ）适用于所有λ≥ 0和所有Y∈ Lif且仅当X≤ 0 a.s.让我们最后阐明本文开头所述的风险度量和度量集中度之间的第一个简单联系。当ρ是熵风险测度ρ（X）=loge[eX]时，我们定义的浓度不等式只是随机变量X的动量母函数或拉普拉斯变换的指数界。

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2022-5-9 09:09:51

例如，对于某些σ>0，取γ（λ）=σλ/2，当满足不等式ρ（λX）时，一个随机变量被精确地填充为次高斯变量≤所有λ的γ（λ）∈ R.这可以用尾界或积分标准来描述：（1）存在c，κ>0，使得P（|X |>t）≤ c经验(-κt）对于所有t>0。（2）存在c>0使得E[exp（c | X |）]<∞.本文中的一个中心例子是由非减量凸函数参数化的短缺风险度量类l ≥ 0令人满意l（0）=1，由ρ（X）定义：=inf{c∈ R:E[l（十）- c） ]≤ 1}.什么时候l（x） =ex，这将减少到熵风险度量。很容易检查ρ（λX）≤ 所有λ的γ（λ）≥ 0表示P（X>t）≤ 1/l(γ*（t））对于所有t>0，其中γ*（t） =supλ≥0（λt）- γ(λ)). 我们将在OREM 3.9中说明，在某些附加假设下l 和γ类似，下面的陈述与次高斯情形是等价的：（1）存在c>0，使得E[l(γ*（c|X |）]<∞.（2）存在c，κ>0使得P（|X |>t）≤ c/l(γ*（κt））对于所有t>0。（3）存在c>0使得ρ（λX）≤ 所有λ的γ（c |λ|）∈ R.矩条件（1）可以说是这些条件中最具可追溯性的，我们用它来推导满足（1-3）的随机变量的例子。然后，我们将定理3.9应用于一大类期权的有效流动性风险，这些期权只涉及几次看涨期权和看跌期权。也就是说，n项标的资产的任何Lipschitz函数的流动性风险比例（在函数的选择上是一致的）受2n项流动性风险比例的最大值限制：每项标的资产一项看涨期权和一项看跌期权，每项标的资产以相同的价格行使。详情见第3.4节。

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2022-5-9 09:09:55

我们还简要研究了第3.2节中的另一系列风险度量，即优化确定性等价物，是如何与尾部行为联系在一起的。风险度量和浓度之间的联系随着对t ensorization的研究而加深，这使我们能够从E上的u浓度特性推断产品空间中的产品度量u的浓度结果。换句话说，如果我们了解X和Y的浓度特性，或者更具体地说，了解其中的各种函数f（X）和g（Y），我们有时可以推断出这两种物质的组合h（X，Y）的浓度特性。更一般地说，形式为Y=f（X，…，Xn）的初始头寸可以解释为n个基本头寸的组合，在X，…，的风险中估计Y的风险是很自然的，Xn。高斯浓度又是一个经典例子：如果ρ（X）=loge[eX]是熵风险度量，如果Xiare i.i.d.s标准高斯，如果f是Rn上的1-Lipschitz，那么我们知道ρ（λ（f（X，…，Xn）-Ef（X，…，Xn）））≤ λ/2表示所有λ∈ R.这一点是有效的，因为它独立于维度n，我们可以将其视为分散降低风险的一个例子：例如，（x，…，xn）的平均值是n-1/2-Lipschitz函数，所以ρλnnXi=1Xi！≤ λ/2n，对于所有λ∈ R、一个众所周知的集中启发法也有财务意义：如果Xiare独立，并且如果Y=f（X，…，Xn）不太依赖于Xi中的任何一个，那么我们认为风险Y是分散的，我们会围绕其平均值集中。我们研究了律不变风险测度的张量化，即当X具有相同的分布时满足ρ（X）=ρ（Y）。

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2022-5-9 09:10:00

经典上，张量化参数依赖于相对熵的链式规则，对于两个可测空间的任何乘积上的任何（分解的）概率测量，其读数为sh（ν（dx）ν（x，dy）|（dx）u（x，dy））=H（ν|u）+Zν（dx）H（ν（x，·）|u（x，·））。她的eh（ν|u）=Rlog（dν/du）dνifν<< u，除此之外，它是有限的。为了扩展这些论点，我们自然地寻找凸风险测度的惩罚函数（即凸x共轭）的链式规则的替代品，并在[30]中开发了这样的替代品。结果表明，或许令人惊讶的是，链规则的一个可行不等式等价于风险度量的一个所谓的时间一致性属性，在第4节中仔细定义。考虑到这一点，我们将时态化的论点建立在时间一致性的基础上，而不是使用链式规则。我们新的张量化结果是适度的，因为事实证明，除熵度量外，其他所有ris k度量都具有正确的时间一致性。尽管如此，这种方法说明了为了获得更清晰的数学结果，必须如何改变该方法，这将在未来的工作中探讨。最后，我们用所谓的传输不等式来描述风险度量集中不等式，它允许在度量度量空间集合的放大方面与更大的集中度m类ic al连接[31]。在财务上，我们将看到，运输不平等也提供了流动性风险的界限，这些界限在损失X的大家族中是一致的。这种方法的成功起源于Marton[33,32]和Ta lagrand[37]的论文，最近的许多论文已经解决了运输不平等、各种其他函数不平等之间的关系，测量的集中度，甚至大的偏差。

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mingdashike22

2022-5-9 09:10:03

我们赞同Bobkov和Gotze[12]的观点，他们首先注意到，对于完全可分度量空间（E，d）上的概率测度u和数c>0，以下是等价的：（1）对于每1-Lipschitz函数f o n E和每λ≥ 0，logReλfdu≤ λRf du+cλ/2。（2） Transp-rt不等式成立：W（u，ν）≤v2的p2cH（ν|u）<< u，H是相对熵，W是瓦瑟斯坦距离（在（5.3）中精确定义）。这一事实的简单证明本质上是共凸共轭的倒序性质的一个实例，仅使用熵风险测度和相对熵之间的对偶性（以及Wasserstein距离的Kantorovich性）。借用这些观点，我们推导出了集中流动性、风险度量和集中度量5不等式（1.1）的双重形式。也就是说，（1.1）相当于γ*（等式[X]）≤ α（Q），Q<< P、其中α是ρ的所谓惩罚函数，将在第2节中精确定义。对于初始头寸非零的集中度不平等，也就是说，涉及supY形式的流动性风险资产，也得到了类似的结果∈Φ（ρ（λX+Y）-ρ（Y））λ≥0，这为流动性风险资产对初始头寸的敏感性提供了一些见解。我们将转移不等式的著名刻画推广到风险度量环境中，重新讨论了e等价性的推广（1）<=> （2） [22，定理3.5]基本上观察到了上述情况，尽管没有风险度量的语言。事实上，众所周知[12]，上述条件（1）和（2）也等价于（直到常数的变化）指数矩的存在，或u（dx）exp（cd（x，x））<∞ 为了一些x∈ E、 c>0。

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2022-5-9 09:10:06

对于涉及短缺风险度量的修正运输不等式，我们证明了一个类似的积分标准，即Ru（dx）的完整性l(γ*（cd（x，x）））。这里出现了一个有趣的数学观点：上面描述的积分标准基本上取决于成分l o γ*, 这两个函数都不是独立的，而输运不等式似乎是独立的l γ*. 利用这一观察结果，我们可以证明，例如，上面的输运不等式（2）与看起来较弱的不等式（2\'）等价（同样是常数的变化）<< u，W（u，ν）≤ cqlog kdν/dukL∞(u).当Wis被二次Wasserstein距离W代替时，类似的等价性成立；见推论5。7.虽然我们还没有这个适度结果的应用（尤其是我们没有发现（2’）比（2’）更容易验证的例子），但它似乎很有趣，也没有足够的兴趣来保证它的简短讨论。事实上，运输不平等之所以有用的一个原因是，它们可以在许多重要案例中直接验证；参见[37]了解涉及非正规和指数定律的输运不等式，[14]了解对数凹密度，[16]了解有限维高斯测度。论文的组织结构如下。在第2节中，我们将讨论对流风险度量的相关背景资料。第3节详细介绍了形式（1.1）的集中不等式、尾界和矩估计之间的联系，主要关注短缺风险度量的类别。第3.4节给出了选项的应用，第3.5节提供了几个例子来说明该理论。第4节讨论了张量化的一些结果。最后，第5节讨论了集中不等式及其对偶的更抽象的性质，以及和度量空间上更传统的度量集中形式的联系。

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2022-5-9 09:10:09

这里值得注意的是转移不等式的一个新特征（推论5.7）。第5.3节讨论了对偶不等式和p可能性的其他一些例子，其中一个有趣的例子来自最近在[4]中提出的鞅最优输运。附录A致力于定理3.6.2的证明。风险度量准备首先，让我们定义“自我评估”符号。纵观报纸(Ohm, F、 P）是一个固定概率空间。缩写Lp=Lp(Ohm, F、 P）对于P-可积（或本质有界ifp=∞) 实值可测函数Ohm. L e t P(Ohm) 表示上的概率度量集(Ohm, F），然后让PP(Ohm) 表示由与P绝对连续的度量组成的子集。问∈ [1, ∞], le t PqP(Ohm) 表示Q的集合∈ 聚丙烯(Ohm) 使用dQ/dP∈ Lq。给定Q∈ P(Ohm), 我们在Q下写出期望的eqf；符号E是为参考度量值下的预期而保留的，尽管我们偶尔会为强调而写。设X是L的（线性）子空间∞ 我们将主要与X=Land一起工作，偶尔与X=L一起工作∞. 对我们来说，X上的风险度量是函数ρ：X→ (-∞, ∞] 满足（R1）单调性：如果X，Y∈ X和X≤ Y a.s.然后ρ（X）≤ ρ（Y）。（R2）现金可加性：如果X∈ X和c∈ 然后ρ（X+c）=ρ（X）+c.（R3）归一化n:ρ（0）=0。（R4）凸性：如果X，Y∈ X和t∈ （0，1）然后ρ（tX+（1- t） Y）≤ tρ（X）+（1）- t） ρ（Y）。我们说X∈ 如果ρ（X）可接受≤ 0.一个重要的额外属性由许多但不是所有的风险度量来满足，这与风险度量的双重表示有关：6 DANIEL LACKER（R5）Fatou属性：If X，Xn，Y∈ X满足| Xn |≤ Y和Xn→ X a.s.，然后ρ（X）≤ 林恩芬→∞ρ（Xn）。我们将主要使用L上的r isk度量。

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2022-5-9 09:10:13

当然，如果(Ohm′, F′，P′）是另一个概率空间，L上的arisk测度(Ohm′, F′，P′）的定义是显而易见的。注意，作为凸性和归一化的结果，对于任何X，我们都有ρ（λX）≤ λX代表λ≤ 1，ρ（λX）≥ λX代表λ≥ 1.（2.1）风险度量的凸共轭是第5节对偶不等式的核心。给定lpp上的风险测度ρ∈ [1, ∞] 共轭指数q=p/（p）- 1），一个函数α：PqP(Ohm) → [0, ∞]如果ρ（X）=supQ，则称为ρ的惩罚函数∈PqP(Ohm)等式[X]- α（Q）, 为了所有的X∈ Lp。（2.2）换句话说，ρ是定义在Lqto上的函数的c凸共轭，等于{Z上的α∈ Lq:Z≥ 0，EZ=1}（与设定的PqP一致(Ohm)) 和∞ 否则你会在哪里。请注意，PP(Ohm) = 聚丙烯(Ohm). 我们说一个惩罚函数α是ρ的最小惩罚函数，如果其他惩罚函数α′满足α′≥ α. 惩罚函数的存在性现在已经被很好地理解了：定理2.1（文献[19]的定理4.31，[28]的定理3.4]）。让p∈ [1, ∞], 让q=p/（p）-1）表示共轭指数。对于Lp上的风险度量ρ，以下是等价的：（1）ρ具有Fatou性质。（2） ρ是关于Toσ（Lp，Lq）的下半连续值。（3） ρ存在一个罚函数。（4）凸函数α：PqP(Ohm) → [0, ∞] 定义为α（Q）：=supX∈Lp等式[X]- ρ（X）= 啜饮等式[X]：X∈ Lp，ρ（X）≤ 0（2.3）是ρ的惩罚函数。此外，（2.3）中给出的惩罚函数是最小的，因为ρ的其他惩罚函数都支配它。在本文中，我们几乎只研究X=L，但我们简单地讨论了X=L∞下面是法律不变风险度量的扩展。其他spac e s X上的风险度量确实出现在应用程序中，尤其是当X是Orlicz空间[13,9]时。

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2022-5-9 09:10:16

在这样的普遍性水平上，凸对偶以及下半连续性和Fatou性质之间的联系更加微妙，但在[9]中进行了仔细的研究。这里我们不必担心这些普遍性，因为我们所有的例子都是（或延伸到）L上的风险度量。本文中风险度量s最重要的例子恰好是law不变量，即当X和Y具有相同的定律时，ρ（X）=ρ（Y）。法律不变风险度量具有一些很好的附加结构，Jouini、Touzi和Schachermayer[27]以及Filipovi\'c和Svindland[17]的结果强调了这一点：定理2.2（定理2.1 of[27]，命题1.1 of[35]）。L上的每一定律不变风险测度∞他拥有法头地产。定理2.3（文献[17]中的定理2.2]）。L上的一个律不变风险测度ρ∞允许一个独特的扩展。确切地说，在L上存在一个风险度量值ρ=ρ∞, 它满足对偶关系ρ（X）=sup等式[X]-α（Q）：Q∈ 聚丙烯(Ohm),dQdP∈ L∞,其中α是ρ的最小惩罚函数，定义在PP上(Ohm) 由α（Q）：=supX∈L∞等式[X]- ρ（X）.这告诉我们，在处理法律不变的风险度量时，我们可以在不损失一般性的情况下假设它们在所有L上定义。一个最终的显著结果是，法律不变的风险度量相对于凸阶自动递增：如果我们允许对偶公式（2.2）中的完全相加度量，那么每个风险度量都有一个惩罚函数。虽然本文中的一些论点可能在这种情况下有效，但我们的例子都不需要这样的概括性。第2.4条中的流动性、风险度量和度量7建议的集中度（推论[19]中的4.65，[36]中的定理2.1]）。假设ρ是一个律不变量r isk measu reon L∞, 正则扩展到L.I f X，Y∈ 满足E[φ（X）]≤ E[φ（Y）]对于每一个递增的凸函数φ，那么ρ（X）≤ ρ（Y）。

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2022-5-9 09:10:19

特别是ρ（E[X | G]）≤ ρ（X）每X∈ 每一个σ-G区域着陆 F.3。集中不等式和一个积分准则我们现在给出了ρ（λX）形式的集中不等式的一些必要和有效条件≤ γ（λ），对于所有λ≥ 0，（3.1）式中γ：[0，∞) → [0, ∞] 是给定的非减损函数，ρ是L和X上给定的风险度量∈ L.我们将通过设置γ（λ）=∞ 对于所有λ<0的情况。那么它的凸共轭是γ*（t） =supλ≥0（tλ）- γ（λ））和满意度γ*（t） =-t的γ（0）≤ 0.在某种意义上，我们假设γ是凸的和下半连续的，这是不失一般性的：假设ρ具有Fatou性质（即，根据定理2.1是下半连续的），并且假设ρ（λX）≤ 所有λ的γ（λ）≥ 0，其中γ不是必要的凸。然后，因为bico njug吃了γ**是γ的最大凸下半连续极小元，我们得出ρ（λX）≤ γ**（λ）总而言之λ≥ 很快就会明白我们为什么要这么做≥ 0，尽管这接受了一些通用性的损失。定义3.1。形状函数是任何非减量凸下半连续函数γ：[0，∞) → [0, ∞] 满足γ（0）<∞.在本节的其余部分中，我们专门讨论短缺风险度量和优化的确定性等价物。我们发现，这些类型的风险度量的流动性风险文件编码了关于随机变量行为的有用信息，很像矩母函数。3.1. 尾部和短缺风险度量。主要的风险度量是熵风险度量ρ（X）=log E[eX]及其对短缺风险度量的推广：定义3.2。损失函数是一个凸的非减量函数l : R→ [0, ∞) 令人满意的l(0) =1 < l（x）对于所有x>0。对应于l 由ρ（X）=inf{c给出∈ R:E[l（十）-c） ]≤ 1} ，X∈ L

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2022-5-9 09:10:23

（3.2）根据[19，定理4.106]，短缺风险度量ρ的最小惩罚函数为α（Q）=inft>0t1+EP[l*（tdQ/dP）], （3.3）在哪里l*（x） =supy∈R（xy-l（y））是凸共轭。比如说l（t） =（1+t）+，共轭l*（t）=(-如果不是∈ [0 , 1]∞ 否则，相应的最小惩罚函数为α（Q）=kdQ/dP-kL∞（P）- 1.另一方面，ifp∈ (1, ∞) q=p/（p）- 1）是共轭指数，是l（t） =（（1+t）+）pisl*（t） =（pq）总磷Q- 如果不是≥ 0∞ 否则，相应的惩罚函数就是α（Q）=kdQ/dP-kLq- 1 =EP[（dQ/dP）q1/q- 1.事实上，设置c=（p/qpq）E[（dQ/dP）q]，我们从（3.3）α（q）=inft>0T- 1+ctq-1..通过t=[c（q- 1） [1/q，且上限等于[c（q- 1） ]1/q- c[c（q）- 1)]-（q）-1） /q- 1=κpc1/q- 1,8 DANIEL Lacker，其中κp=（q- 1） 1/q+（p-1）但是κpc1/q=（p- 1） 1/p+（q）- 1） 1/qp1/pq1/qEP[（dQ/dP）q]1/q=EP[（dQ/dP）q]1/q。允许l 是一个损失函数，具有（3.2）中定义的相应短缺风险度量ρ，并将γ设为形状函数。如果ρ（λX）≤ γ（λ）对于所有λ>0，则p（X>t）≤l(γ*（t）），t>0。证据请注意，由于l 对于单调收敛，在（3.2）中ρ的定义中始终可以达到最大值。特别是，E[l（Y）- ρ（Y））]≤ 1.Y∈ L.现金可加性意味着ρ（λX）- γ(λ)) ≤ 0，这反过来意味着[l（λX）-γ(λ))] ≤ 1.自从l 是不减损的，X7也是→ l（λx）- γ（λ））对于每个λ>0。根据马尔可夫不等式，P（X>t）≤ P[l（λX）- γ(λ)) ≥ l（λt）- γ(λ))] ≤l（λt）- γ(λ)).优化λ>0完成了证明。3.2. 尾巴和优化的确定性等价物。短缺风险度量并不是唯一能够对尾部行为进行某种控制的度量。设φ：R→ R是凸的且不减损，满足φ*（1） =supx∈R（x）- φ（x））=0。

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2022-5-9 09:10:27

相关的优化确定性等价物由ρ（X）：=infm定义，如[7,8]所示∈R（E[φ（m+X）]-m），X∈ L.（3.4）最小惩罚函数是φ*-散度，α（Q）=EP[φ*（dQ/dP）]。一些值得注意的例子如下：（1）如果φ（t）=et-1，共轭为φ*（t） =t log t on t≥ 在这种情况下，我们有ρ（X）=loge[eX]，α是通常的相对熵。（2）如果p∈ (1, ∞) 共轭指数q=p/（p）- 1）那么φ（t）=1+（p/q）（t/p）qt≥0has共轭φ*（t） =tp- 1对t≥ 0，α（Q）=kdQ/dP-kpLp- 1.（3）如果p∈ (1, ∞) 共轭指数q=p/（p）- 1），那么φ（t）=（q- 1） +（t/q）qt≥0has共轭φ*（t） =（tp）-1） /（p-1）在t上≥ 0和α（Q）=（kdQ/dP-kpLp-1） /（p-1）被称为p阶R’enyi发散。在Bobkov和Ding最近的论文[11,15]中，R’enyi发散的最后一个例子与转移不等式和集中不等式有关。3.4的提议。假设γ是一个非负且严格递增的形状函数。设φ是满足φ的严格正且不减损的凸函数*（1） =0，并定义（3.4）中相应的优化确定性等式。如果X∈ Lsatiesρ（λX）≤ γ（λ）对于所有λ>0，则p（X>s）≤ supm>0mφ（m+γ）*（s）），对于s>0。证据修正>0。自ρ（λX）- γ(λ)) ≤ 0，它通过定义ρ来保持所有λ≥ 0存在mλ∈ Rsuch thatmλ≥ E[φ（mλ+λX- γ(λ))] - .流动性、风险度量和度量值9的集中度φ>0，注意mλ>-. 由于φ是非增量的，利用马尔可夫不等式，我们得到了任意值λ>0P（X>s）≤ P{φ（mλ+λX）- γ(λ)) ≥ φ（mλ+λs）- γ(λ))}≤E[φ（mλ+λX- γ（λ））]φ（mλ+λs- γ(λ))≤mλ+φ（mλ+λs）- γ(λ))≤ supm>-m+φ（m+λs）- γ(λ)).通过定义γ*, 我们可以找到λ，所以λs- γ(λ) > γ*（s）- .

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2022-5-9 09:10:30

那么，同样由于φ是不减的，P（X>s）≤ supm>-m+φ（m+γ）*（s）- ）=supm>-2m+2φ（m+γ）*（s） )≤ supm>-2mφ（m+γ）*（s））+2supm>-2φ（m+γ*（s） )≤ supm>-2mφ（m+γ）*（s））+2φ(-2 + γ*（s））发送↓ 0完成了的pro，因为φ>0意味着SUPM>-2mφ（m+γ）*（s））=supm>0mφ（m+γ）*（s））。让我们回到上面的一些例子。如果φ（t）=et-1，那么我们可以轻松地检查SUPM>0m/φ（m+a）=exp(-a） Propo 3.4恢复了亚高斯浓度下的通常结果。在第二个例子中（p=2），即φ（t）=t/4+1在t上≥ 0和φ（t）=1在t<0时，我们有supm>0mφ（m+a）=√a+44+a+a√a+4表示a>0.3.3。短缺风险度量的一个完整标准。我们刚刚看到了曲线t7的某些界限→ P（X>t）对于某些浓度不等式，对于某些风险度量是必要的。本节以传统上被称为积分标准的形式探讨了短缺风险度量的一些有效条件。一个经典的例子是亚高斯性的积分准则：一个随机变量是亚高斯的（意思是loge[exp（λX）]≤ cλ/2表示所有λ∈ R和一些c>0）当且仅当存在a>0使得E[exp（a | X |）]<∞. 现在让我们确定一类l 对于γ，类似于命题3.3的逆命题。定义3.5。

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2022-5-9 09:10:35

让LΓ表示函数类(l, γ），在哪里l 是一个损失函数，γ是一个s hap effunction，因此以下条件成立：（1）γ（x）<∞ 对于某些x>0的情况。（2）利克斯→∞l(γ*（x））/x=∞.（3）下列条件之一成立：（a）γ（0）>0，且γ是非常数的。（b） γ（0）=0，l 不断地与l′（0）>0，γ在γ′（0）>0和limx的起源的大背景中是可连续区分的→∞十、l′（十）/l(γ*（x））=0。（c） γ（0）=γ′（0）=0，l 是连续两次与l′(0) > 0, l′′是非减损的，在原点附近，γ′（0）>0，且limx连续可微分→∞十、l′′（十）/l(γ*（x））=0。在条件（3b）和（3c）中，邻域相对于[0，∞) 0处的导数作为右极限存在；也就是说，（3b）要求γ在（0，a）上连续可差，对于某些a>0，且γ′（0）=limδ↓0γ′（δ）>0.10丹尼尔·拉克定理3.6。假设(l, γ) ∈ LΓ。设k，M>0。存在n>0，如果Φ L（P）令人满意∈ΦE[l(γ*（κX+）≤ M、（3.5）那么我们有ρ（λ（X）- （前）≤ 所有λ的γ（nλ）≥ 0和X∈ Φ.定理3.6的证明见附录。为了完成这幅图，我们给一个更大的条件取了一个名字，这个条件允许从尾界推导出一个积分标准：定义3。7.设H表示函数类H:[0，∞) → [1, ∞) 它们是非减量的，绝对连续的，并且存在c>0这样的z∞h′（t）h（t/c）dt<∞. （3.6）引理3.8。让h∈ H、设c>0，使（3.6）成立。如果Φ 这太好了∈ΦP（X>t）≤Ch（t），t>0，对于一些C>0，然后是supX∈ΦE[h（cX+）]∞.证据因为h是非减量的，而h≥ 1，每X∈ Φwe have[h（cX+）]=1+Z∞P（h（cX+）>t）dt≤ 1+Z∞P（cX+>t）h′（t）dt≤ 1+CZ∞h（t）h（t/c）dt。结合前面的结果，以及下一节将要证明的结果（建议5.1），我们得到以下结果。定理3.9。

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2022-5-9 09:10:39

允许l 是损失函数，γ是形状函数，ρ是与l. 假设Φ Lsaties EX=0表示所有X∈ Φ. 考虑下面的陈述s：（1）存在c>0，对于所有λ≥ 0，supX∈Φρ（λX）≤ γ（cλ）。（2）存在c>0，因此对于所有Q∈ P∞P(Ohm),γ*c supX∈ΦEQ[X]≤ inft>0t1+EPl*tdQdP.（3）存在c>0，因此对于所有t>0，supX∈ΦP（X>t）≤l(γ*（ct））。（4）存在c>0这样的情况∈ΦE[l(γ*（cX+）]∞.我们有影响（1）<=> (2) => (3) <= (4). 如果l o γ*∈ H、然后（3）=> (4). 最后，如果(l, γ) ∈ LΓ，那么（4）=> (1).证据（1）和（2）具有相同常数c的等价性，很快就从命题5.1开始到下一节。我们在命题3.3中看到（1）意味着（3）。自从l o γ*它不是递增的，它很容易从（4）暗示（3）的马尔可夫不等式中推导出来。如果(l, γ) ∈ 定理3.6表示（4）意味着（1）。如果l o γ*∈ H、由引理3.8可知，（3）意味着（4）。流动性、风险度量和度量集中度备注3.10。如果Φ 林定理3.9不完全由零均值随机变量组成，那么我们可以应用定理3.9，用Φ′={X替换Φ- 例：X∈ Φ}. 从这个意义上讲，定理3.9讲的是随机变量围绕其均值的集中。如果Φ在意义上是对称的，那么Φ=-Φ，则可以进行一些更改：条件（1）可以替换为ρ（λX）≤ 所有λ的γ（c |λ|）∈ R、有P（|X |>t）的条件（3）≤ 2/l(γ*（ct）对于t>0，以及有supX的条件（4）∈ΦE[l(γ*（c|X |）]<∞.备注3.11。定理3.6似乎有很大的改进空间，也就是扩展了LΓ类(l, γ).

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kedemingshi

2022-5-9 09:10:42

我们能够证明以下更抽象的积分准则，但在γ（0）>0或γ′（0）>0的限制性附加假设下：设ρ为仅具有Fatou性质的风险度量，且γ为满足γ（x）<∞ 对于某些x>0的情况。让我们满足以下条件：（i）对于所有X∈ Φ，limλ↓0λ-1ρ（λX）=EX.（ii）Φ是一致可积的。（iii）存在κ>0使得supX∈Φρ(γ*（κX+）<∞.然后存在c>0，使得ρ（λ（X- （前）≤ 所有λ的γ（cλ）≥ 0和X∈ Φ. 在某些情况下，可以证明，例如，对于短缺风险度量，定理3.9（4）的矩界是足够的，以确保这些条件（i-iii）都成立，对于优化的确定等价性，也可以得到类似的结果。这个抽象积分定理的证明，就像定理3.6的证明一样，依赖于一个直接来自泰勒定理的边界；对于X，条件（i）等价于toddλρ（λX）|λ=0=EX∈ Φ，这使得我们能够在λ7的展开式中约束一阶项→ λ=0附近的ρ（λX）。如果γ（0）=γ′（0）=0，那么这种证明技术需要关于λ=0附近ρ（λX）的二阶导数的一些信息，这通常很难获得。作为定理3.9的结果，我们得到了均匀集中结果的简化积分准则，从而在一定程度上掩盖了第5.1节中对传输不等式的讨论。什么时候Ohm 这是一个度量空间，我们在这里(Ohm) 对于上的1-Lipschitz函数集Ohm, i、 e.f的s et：Ohm → R | f（x）-f（y）|≤ d（x，y）表示所有x，y∈ Ohm. 我们也写P(Ohm) 对于P的集合∈ P(Ohm) 带Ohmd（x，x）P（dx）<∞, 对于某些（相当于，对于每一个）x∈ Ohm.推论3.12。假设(Ohm, d）是一个完整的可分度量空间。允许l 是损失函数，γ是形状函数，ρ表示对应于l. 假设P∈ P(Ohm).

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2022-5-9 09:10:46

考虑以下陈述：（1）存在c>0，因此对于每个f∈ 嘴唇(Ohm) 每个λ∈ R我们有ρ（λf）≤ γ（|λ|）+λEf。（2）存在c>0，因此对于某些（等价地，对于每个）x∈ Ohm,ZOhml(γ*（cd（x，x）））P（dx）<∞.如果(l, γ) ∈ LΓ（见定义3.5），然后（2）=> (1). 如果l o γ*∈ H（见定义3.7），然后（1）=> (2).证据从X7开始→ d（x，x）是1-Lipschitz，根据定理3.9，（1）意味着（2）当l o γ*∈ H.为了表示（2）意味着（1），设Φ={f∈ 嘴唇(Ohm) : f（x）=0}，注意W（P，Q）=supf∈Φ（EQf）-（EPf）由坎托洛维奇对偶论。然后（2）暗示SUPF∈ΦZOhml(γ*（c | f（x）|）P（dx）≤ZOhml(γ*（cd（x，x）））P（dx）<∞.自从l o γ*生长速度比xat快，这也意味着supf∈ΦEPf<∞. 这反过来意味着SUPF∈ΦZOhml(γ*（c | f（x）- 因此，当(l, γ) ∈ LΓ（1）来自orem 3.6。丹尼尔·拉克尔。4.选择权的申请。这里我们将推论3.12应用于期权的流动性风险问题。允许Ohm = Rn+代表n项资产在某一特定到期日的可能收益空间。概率测度Ohm 报告报酬的联合分配。让Cik（x）=（xi-k） +和Pik（x）=（k-xi）+表示在k>0时对标的资产i行使的买入和卖出期权的支付效果。这些当然是最基本的期权，我们将证明它们的流动性风险控制所有Lipschitz期权的流动性风险，即n标的资产的Lipschitz函数。Lipschitz函数涵盖了广泛的期权支付和投资策略，如篮子、跨档、利差等，其结果的一个很好的特点是，从某种意义上说，它几乎独立地拥有短缺风险度量的选择。3.13的提议。假设P∈ P（Rn+）。允许l 设ρ为L=L（Rn+，P）上相应的短球风险度量。设γ为形状函数。

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2022-5-9 09:10:49

假定(l, γ) ∈ LΓ和l o γ*∈ H（见定义3.5和3.7）。以下是等价的：（1）存在c，k>0，使得maxi=1，。。。，nρ（λ（Cik）- ECik）∨ ρ（λ）（Pik）- EPik）≤ γ（cλ），λ ≥ 0.（3.7）（2）存在c>0，因此对于每一个f∈ Lip（Rn+）我们有ρ（λ（f）-Ef）≤ γ（cλ），λ ≥ 0.（3.8）（3）存在c>0这样的RRN+l(γ*（c|x|）P（dx）<∞证据根据定理3.9，（3.7）等价于c>0的存在性，比如Tmax=1，。。。，东北[l(γ*（cCik））]∨ E[l(γ*（cPik））]∞. （3.9）注意Cik（x）+Pik（x）=xi- k |代表x∈ 注册护士。为了x∈ r表示向量的~k的and（k，…，k）∈ Rn，我们有| x-~k |=“nXi=1 | xi”- k |#1/2≤“nXi=1Cik（x）+Pik（x）#1/2≤√nXi=1Cik（x）+Pik（x）=√nXi=1 | xi- k级|≤√2n | x-~k |。利用曲面的凸性l o γ*, 然后我们很容易地检查（3.9）是否等同于c>0的存在，比如Zrn+l(γ*（c | x-~k|）P（dx）<∞.利用曲面的凸性l oγ*再一次，这很容易被视为等同于（3）。最后，推论3.12意味着（2）和（3）是等价的。备注3.14。我们希望能够将γ（λ）设置为（3.7）的左侧，使（3.8）尽可能地匹配。我们不能这样做，纯粹是因为技术原因，我们无法在ge NERAL中验证(l, γ) ∈ LΓ和l o γ*∈ 最后，让我们注意到，在命题3.13中，两个简单的论点可以产生较弱的等价形式（1）和（2）。在Rn+上固定一个1-Lipschitz函数f，然后找到y∈ Rn+使得f（y）=Ef，这是可能的，因为f的范围是连通的（因此是凸的）。然后f（x）- Ef=f（x）- f（y）≤ |十、- y|≤√2（Cy（x）+Py（x）），其中我们定义（x）=nXi=1Ciyi（x）=nXi=1（xi- yi）+和定义类似。因此ρ（λ（f）-Ef）≤ ρ（λ（Cy+Py）），λ ≥ 0.流动性、风险指标和指标集中度≥ 0和Py≥ 0，这总是超过ρ（λ（Cy+Py-埃西-艾比）。更重要的是，Strikes y的选择。

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2022-5-9 09:10:54

在这里，Y取决于f的选择，而命题3.13中的k或多或少是罕见的。对于第二次尝试，请注意f（x）- Ef=ZRn+（f（x）- f（y））P（dy）≤ZRn+（Cy（x）+Py（x））P（dy）。正式使用ρ的凸性，我们得出结论ρ（λ（f-Ef）≤ZRn+ρ（λ（Cy+Py））P（dy），λ ≥ 0.现在我们在一系列打击中取平均值，如果有优势∈Rn+ρ（λ（Cy+Py））由一些y*∈ Rn+然后我们可以用ρ（λ（Cy）进一步约束它*+ Py*)). 但这是最糟糕的罢工，解决了前一个论点的同样问题。3.5. 例子。让我们简要说明如何应用定理3.9来计算一些浓度界限。两者之间有一个有趣的交易l γ；Theo rem 3.9的第（3）点和第（4）点取决于l 而γ仅仅是通过l o γ*. 给定两个损失函数l和l具有l在实体中的增长速度快于l, 定理3.9中的动量条件（4）对l, 相应地，浓度不等式ρ（λX）≤ 当ρ对应于l而不是当它与l. 然而，我们可能会减少γ*（或等效增加γ）以补偿增加l, 其中，“增加”和“减少”这两个词大致指的是它们在单位的增长率。这种交易l γ将在推论5.7.3.5.1中得到利用。次高斯随机变量。一个众所周知的情况是，ρ（X）=loge[eX]是熵风险度量。浓度不等式ρ（λX）≤ cλ/2是如此普遍，以至于有了一个名称；这种anX被称为次高斯。eq-uivale-nt条件E[exp（c（X+））]∞ 是REM 3.9的一个众所周知的特例。我们将知道，超高斯随机变量包括有界随机变量（由Hoe fff ding’slemma提出），当然还有正态随机变量本身。3.5.2. 瞬间的界限。以家庭为例=十、∈ L:E[（X+）2p]<∞,p在哪里≥ 2是固定的。

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mingdashike22

2022-5-9 09:10:57

设置γ（x）=x/2和l（x） =[（1+x）+]p，注意γ*= [0]上的γ，∞). 谢谢∈ΦE[l(γ*（X+）]∞. 我们很容易检查(l, γ) ∈ LΓ。因此，如果ρ是对应于l, 我们可能会发现c>0，使得ρ（λX）≤ cλ/2，对于所有λ≥ 0和X∈ Φ. （3.10）对数正态律是一种常见的资产价格选择，因为它具有正性，所以让我们看看它满足什么样的集中不平等。假设X=eZ，当eZ是标准法线时。由于X具有所有订单的元素，因此满足ρ（λX）≤ cλ/2用于上述选择o fl（x） =[（1+x）+]p.一个更清晰的选择是l（x） =exp（a | log（x）|）对于某些a<1/2，对于x>2，例如l 扩展到保持共模和不减损，并实现l(0) = 1. 的确，那么E[l（c | X |）根据E[exp（a | Z |）进行控制，众所周知，E是有限的。3.5.3. 有界随机变量。假设ρ是对应于某个损失函数的短缺风险度量l. 如果γc（λ）：=cλ，则共轭为γ*c（x）=（0代表x）≤ C∞ 对于x>c，因此，如果ρ（λ（x）≤ cλ表示所有λ≥ 对于某些c>0，则命题3.3意味着P（X>t）≤ 1/l(γ*c（t）），对于所有t>0，这反过来意味着X≤ 另一方面，如果X≤ c a.s.那么ρ的单调性意味着ρ（λX）≤ cλ表示所有λ≥ 因此，ρ（λX）≤ 所有λ的cλ≥ 0当且仅当X≤ c.a.s.但值得注意的是，对于有界随机变量s，对于λ的小值，线性形状函数通常不尖锐。例如，当ρ（X）=loge[eX]是熵风险度量时≤ 十、≤ b a.s.当EX=0时，霍夫丁不等式产生ρ（λX）≤ （b）- a） λ/8.4。张力化和时间一致性我们现在研究可以合理地称之为集中不等式的张力化。

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2022-5-9 09:11:01

假设两个随机变量x和x满足ρ（λXi）≤ 所有λ的γi（λ）≥ 0且i=1，2，关于X和X组合的流动性风险比例，可以说是什么形式的f（X，X）？最终，我们发现，除了熵度量或其适度扰动之外，很难用风险度量进行任何紧张化。一方面，我们将看到，这使得熵风险度量在流动性风险分析中最为独特。另一方面，本节的分析也将为如何提高数学结果提供一些提示；见备注4.6。本节的其余部分仅适用于L定义的法律不变风险度量(Ohm, F、 P），我们由此得出结论，下卧概率空间是非原子的，是标准的。回顾P（R）是P（R）的子集，由具有有限第一时刻的测量组成，定义为ρ：P（R）→ (-∞, ∞]由ρ（Po 十、-1） =ρ（X），由于定律不变性，这是可能的。然后，我们可以为任何σ-字段定义 F英寸Ohm 还有任何X∈ 五十、 ρ（X | G）：=ρ（P（X）∈ ·|G））。这是一个G-可测量的随机变量，唯一定义为a.s.等式。类似地，对于随机变量Y，写出ρ（X | Y）：=ρ（X |σ（Y））。请注意，如果Y是G-可测量的，那么对于任何随机变量X，ρ（X+Y | G）=ρ（X | G）+Y，a.s.，如果X和Y是独立的，那么检查ρ（f（X，Y）| X）=ρ（f（X，Y））|X=X是很简单的。关键的定义如下，本节的大部分内容都是详细阐述的：定义4.1。如果ρ（X），我们说一个定律不变的风险度量ρ是可接受一致的≤ ρ（ρ（X | G）），对于每个子σ场G F和每X∈ 也就是ρ（X | G）∈ L.如果不等式被逆转，wesayρ是一致的。

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2022-5-9 09:11:05

如果ρ既是接受一致的，又是拒绝一致的，我们说ρ是时间一致的。参见[30]以获得对该属性的全面讨论以及几种可选特征。从Kupper和Schachermayer[29]的结果（见[30]中的Coro llary 4.7]）可以看出，唯一的时间一致性定律不变风险度量（直到膨胀，即用t-1ρ（tX））是entro-Pic风险度量。如果我们只寻求可接受一致性，那么[30]中表明，如果损失函数是对数次可加的，那么短缺风险度量就是可接受一致性l（x+y）≤ l（十）l（y）为了所有的x，y∈ R、除了指数函数之外，这个有效条件似乎不太必要l（x） =除此之外，没有多少函数同时满足这一性质和定义损失函数所需的性质。类似地，如果定义中的函数φ满足xφ，则优化的确定性等式是可接受一致的*（y） +yφ*（十）≤ φ*（xy）对于x，y≥ 0.当φ*（x） =x log xon x≥ 0和φ*= ∞ 在(-∞, 0）或等效φ（x）=ex-1.或者，如果φ*（x） =xl-1（x）对于损失函数x，φ的这个性质*本质上等同于l, 这表明φ*这并不容易。虽然熵度量之外没有多少风险度量是可接受一致的，但本节的结果说明了为什么可接受一致性在流动性风险研究中如此有用。事实上，它的相关性首先体现在以下简单但有用的结果中：Propositi on 4.2。设ρ为可接受一致律不变风险测度。假设X，X∈ 任意独立（实值）随机变量。然后ρ（X+X）≤ ρ（X）+ρ（X）。类似地，如果ρ是一致的，那么ρ（X+X）≥ ρ（X）+ρ（X）。流动性、风险度量和度量标准的集中度。

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