相应的特征指数的形式为ψ（ξ）=-iuξ+c+[ln(-λ-- iξ）- 在(-λ-)] + C-[ln（λ++iξ）- ln（λ+），其中λ-< 0<λ+，c>0和u∈ R.具有这些参数的方差伽马过程也是指数型（λ）的L’evy过程-, λ+).巴恩多夫-尼尔森[3]-[8]介绍并研究了所谓的正态逆高斯过程。各自的特征指数t为ψ（ξ）=-iμξ+δhα- （β+iξ）ν/2- (α- β） ν/2i。4.6 KobolProcessDefinition 17的密度函数表示对于固定的R>0，考虑两条分段光滑曲线λ+（x）：=x+i（α++a+（x））：[-R、 R]→ {z|Imz>0}和λ-（x） ：=x+i（α）-+ A.-（x） ）：[-R、 R]→ {z|Imz<0}，其中α+>0，a+（x）≥ 0是一个偶数函数，在[0，R]上递增，在[0，R]上递减[-R、 0]。类似地，α-< 0，a-（十）≤ 0是一个偶数函数[-R、 0]并在[0，R]上递减。考虑六条等高线，γ（R）：={z | z=|λ+（R）| exp（iφ），φ∈ [arg（R+i（α++a+（R）），0]}，γ（R）：=[|λ+（R）|，|λ-（R） |]γ（R）：={z | z=|λ-（R） exp（iφ），φ∈ [0，arg（R+i（α-+ A.-（R） γ（R）：={z | z=|λ-(-R） exp（iφ），φ∈ [arg(-R+i（α）-+ A.-(-R） ），- π] }，γ（R）：=[|λ-(-R） |，|λ+(-R） |]γ（R）：={z | z=|λ+(-R） exp（iφ），φ∈ [arg(-π, -R+i（α）+a+(-R） ））]}。我们说一个L′evy过程X={Xt，t>0}是（λ）-, λ+-解析如果R>0，其特征指数ψ（z）允许解析扩展到域中Ohm由λ连接-(·) ∪ λ+(·) ∪[k=1γk（R）和limr→∞Zγk（R）exp（iyz）- tψ（z））dz=0,1≤ K≤ 6，t，y>0对于任何t>0，y>0。回想一下，在欧式看涨期权的情况下，奖励函数的形式为H（y）=max{Sexp（y）- K、 0}。因此，我们只需要考虑情况0<ln（K/S）<y。

观察到，通常K>S是因为股票在时间间隔（0，T）内的潜在获利能力。下面的陈述给出了密度函数的一个有用的重新表示。定理18设X={Xt，T>0}为A（λ-, λ+-分析过程。然后pt（y）=2π（exp（α+y）+exp（α-y） ）×ZRexp（iy（x+ia+（x）））N（x）+exp（iy（x+ia-（x） ）M（x）dx，其中n（x）：=exp(-tψ（x+i（α+a+（x））（1+i˙a+（x））和m（x）：=exp(-tψ（x+i（α）-+ A.-（x） ）（1+i˙a-（x） ）。证据设γ（R）：={z | z=x+iλ+（x），x∈ [-R、 R]}。因为进程x={Xt，t≥ 0}是（λ）-, λ+-解析，然后利用柯西定理得到zγ∪[|λ+（R）|，-|λ+(-R） |]∪γ（R）∪γ（R）exp（iyz）- tψ（z））dz=0。应用（λ）-, λ+-解析性与R→ ∞ 我们得到pt（y）=2πZRexp（iyξ- tψ（ξ））dξ=2πlimR→∞Z[-R、 R]exp（iyξ）- tψ（ξ））dξ=exp(-α+y）2π×ZRexp（iyx）- ya+（x）- tψ（x+iα+ia+（x））（1+i˙a+（x））dx。类似地，pt（y）=exp(-α-y） 2π×ZRexp（iyx）- 对-（十）- tψ（x+iα）-+ ia-（x） ）（1+i˙a-（x） ）dx。证据来自pt的最后两种表述。特别地，如果X={Xt，t>0}是（0，λ+）-解析过程，那么相应的密度函数pt（y）可以表示为aspt（y）=exp(-α+y）2π×ZRexp（iyx）- ya+（x）- tψ（x+iα+ia+（x））（1+i˙a+（x））dx。以下陈述给出了（0，λ+）分析过程的广泛示例。定理19参数为u的任何KoBoL过程≥ 0，c+=c-= c>0和ν∈ （0，1/2）是（0，λ+）-分析L’evy过程。证据

显然，（4.9）给出的特征指数ψ（ξ）在domainc\\{[iλ+，i]中是解析的∞) ∪ [iλ-, -我∞)} .因此，有必要证明LIMR→∞I+（R，y，t）=limR→∞我-（R，y，t）=0，其中i+（R，y，t）：=Zξ∈Γ+Rexp（iyξ）- tψ（ξ））dξ, （4.11）I-（R，y，t）：=Zξ∈Γ-Rexp（iyξ）- tψ（ξ））dξ, （4.12）Γ+R={ξ|ξ=|λ+（R）| exp（iφ），φ∈ [0，arg（R+ia+（R））]}和Γ-R={ξ|ξ=|λ+(-R） exp（iφ），φ∈ [π，arg(-R+ia+(-R） ）]}。让我们给出积分（4.11）的估计值。很明显，I+（r，y，t）=Zarg（R+iα++ia+（R））exp（iyR exp（iφ）- tψ（R exp（iφ）））Ri exp（iφ）dφ≤ RZarg（R+iα++ia+（R））exp（iyR exp（iφ）- tψ（R exp（iφ））dφ≤ RZarg（R+iα++ia+（R））χ（y，R，ν，φ）dφ（4.13），其中χ（y，R，ν，φ，t）：=exp（Re（iyR exp，iφ）- tψ（R exp（iφ）））。自从≥ 0，u≥ 0，c>0，t>0和-Γ (-ν） 如果ν，cos（πν/2）>0∈ （0，1/2）然后应用（4.10）我们得到χ（y，R，ν，φ，t）≤ C e xp-在φ- tRusinφ- 2ctRν-Γ (-ν） 因为πνcos（νφ）≤ C e xp-2ctRν-Γ (-ν） 因为πνcos（νφ）（4.14）比较and（4.13）和（4.14），我们得到i+（R，y，t）≤ CRZπ/2exp-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν1.-2νπφdφ，这里我们使用cos（νφ）≥ 1.- 如果φ∈ [0, π/2]. 这意味着i+（R，y，t）≤ CR e xp-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν×Zπ/2exp2ctRν-Γ (-ν） 因为πν2νπφdφ=πCR1-ν4ctν-Γ (-ν） 因为πν经验-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν×经验2ctRν-Γ (-ν） 因为πνν- 1.≤πCR1-ν4ctν-Γ (-ν） 因为πν经验-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν(1 - ν).从第一行我们可以看到i+（R，y，t）<< R1-νexp(-CtRν），R→ ∞对于任何y>0的情况。现在我们得到积分（4.12）的时间。在这种情况下φ∈[arg(-R+ia+(-R） ），π] [π/2, π]. 因此(-Γ (-ν） cos（πν/2））cos（νφ）>0v∈ (0 , 1/2). 回想一下y>0、u>0和t>0。

应用与我们得到的相同的参数行-（R，y，t）≤ CR e xp-2ctRν-Γ (-ν） 因为πν×Zππ/2exp2ctRν-Γ (-ν） 因为πν2νπφdφ=πCR1-ν4ctν-Γ (-ν） 因为πν经验2ctRνΓ(-ν） 因为πν×经验-4νctRνΓ(-ν） 因为πν- 经验-2νctRνΓ(-ν） 因为πν<< R1-νexp(-Ct（1- 2ν）Rν），R→ ∞.第5章跳跃微分模型中密度函数的恢复。1简介回忆一下定价公式的形式是V=exp(-rT）等式[H]，其中Qi是一个固定的等价鞅测度。由于奖励函数H通常有一个简单的结构，主要的问题是近似于概率中性密度函数pQT，其中T>0是一个成熟时间。因此，构造一种简单的、无饱和的、适用于密度函数逼近的维数方法是非常重要的，这在spre-ad-options理论中很重要。我们的方法是基于泊松求和公式和在相应的指数双曲交叉中用谐波近似密度函数。这种方法的优点是，泊松求和公式的应用给出了密度函数的周期扩展，其平滑度与原始函数[67,68]相同，而不是[38,39]中讨论的已知方法。此外，这种方法使我们不需要应用数值方法就可以得到近似公式。[65,66,69,47,60,61,62,63,64,76]中考虑了通过指数型整函数和sk样条的子空间逼近光滑函数。这些方法在广泛的光滑函数集（包括解析函数和整体函数）上是无饱和的，并且在各自的m宽度意义上给出了几乎最优的收敛速度。然而，这些方法的应用需要使用数值方法。

我们不在这里讨论这一系列的研究。5.2密度函数的表示为简单起见，所有特征指数ψ（1），Qs，1≤ s≤ n和ψ（2），Qm，1≤ M≤ 定理8中的n对应于KoBoL过程，henceare可解析地扩展到条带Imzs中∈ [κs，-, κs、+]和Imzm∈[κm，-, κm，+]，其中λs，-< κs，-< 0<κs，+<λs，+和λ′m，-<κ′m，-< 0<κ′m，+<λ′m，+，1≤ s、 m≤ n、 让bk，m≥ 0, 1 ≤ k、 m≤ n、 很容易检查函数z=（z，···，zn）→ ψ（z），ψ（z）=nXs=1ψ（1），Qs（zs）+nXm=1ψ（2），QmnXk=1bk，mzk！定理8中定义的可解析扩展到域n:=n[s=1{Imzs∈ [κs，-, κs，+]}！∩n[s=1IMZ∈κ′s，-nXk=1bk，m！-1，κ′s，+nXk=1bk，m！-1., （5.1）或b-,s≤ IMZ≤ b+，s，其中b-,s:=maxκs，-, κ′s，-nXk=1bk，m！-1.,b+，s:=minκs，+，κ′s，+nXk=1bk，m！-1.,1.≤ s≤ n和bk，m≥ 0, 1 ≤ k、 m≤ n、 在这种情况下，ΦQ（z，t）=ΦQ（z，··，zn，t）允许分析扩展到同一个域Tn 中国。设b+：=（b+，1，··，b+，n）a和b-:= （b）-,1，··，b-,n） 。定理20设ψ（1），Qs，1≤ s≤ n和ψ（2），Qm，1≤ M≤ n由（4.8）定义，即ψ（1），Qs（ξs）=-iusξs+csΓ(-νs）((-λ-,s） νs- (-λ-,s- iξs）νs）+csΓ(-νs）λνs+，s- （λ+，s+iξs）νs, νs∈ （0,1/2）和ψ（2），Qm（ξm）=-iumξm+cmΓ(-νm）((-λ-,m） νm- (-λ-,M- iξm）νm）+cmΓ(-νm）λνm+，m- （λ+，m+iξm）νm, νm∈ （0，1/2），其中cs，cm>0，νs，νm∈ (0, 1/2). 然后，相应的密度函数pQT（·）可以表示为aspQT（·）=（2π）n（exp（h·，b+i）+exp（h·，b）-i） ）×ZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z）-ib+，T）+ΦQ（z）-ib-,（T）dz。特别是，如果-B-= b+：=b thenpQT（·）=2（2π）n（cosh（h·，bi））-1×ZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z+ib，T）+ΦQ（z）-ib，T）dz。（5.2）设ΦQ（z，T）：=ΦQ（z+ieb，T）+ΦQ（z）-ieb，T），ΦQk（z，T）：=ΦQk-1（z+iekbk，T）+ΦQk-1（z）-iekbk，T），2≤ K≤ n、 然后pqt（x）=2nπnnYs=1cosh（bsxs）！-1ZRnexp(-i hx，zi）ΦQn（z，T）dz。（5.3）证据。我们将证明（5.2）是正确的，因为（5.3）是以类似的方式进行的。

在我们的符号中，密度函数c可以表示为aspQT（·）=（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z，T）dz=（2π）-nFΦQ（z，T）(·) .回想一下ψ（1），Qs（ξs），1≤ s≤ n a向条带mξs中引入一个解析扩展∈ [κs，-, κs，+]，其中λs，-< κs，-< 0<κs，+<λs，+，1≤ s≤ n和ψ（2），Qm（ξm），1≤ M≤ n允许对s-trip-Imξm进行解析扩展∈hκ′m，-, κ′m，+i，其中λ′m，-< κ′m，-< 0<κ′m，+<λ′m，+，1≤ M≤ n、 由推论15可知|Φ（z，T）|=| exp(-Tψ（z））|=经验-TnXs=1ψ（1）s（zs）+nXm=1ψ（2）mnXk=1bk，mzk！！！<<经验-TnXs=1ψ（1）s（zs）！<< 经验-CTnXs=1 | zs |νs！，（5.4）其中| zk |→ ∞, zk∈ 田纳西州，1≤ K≤ n、 其中领域定义为（5.1）。因此，在域Tn中应用柯西定理（参见[91]）n次（由（5.4）调整），我们得到pqt（·）=（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z，T）dz=（2π）-nZRn+ib+exp(-i h·，zi）ΦQ（z，T）dz=（2π）-nZRnexp(-i h·，z+ib+i）ΦQ（z+ib+，T）dz=exp（h·，b+i）（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z+ib+，T）dz，orpQT（·）exp(- h·，b+i）=（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z+ib+，T）dz。（5.5）同样，pQT（·）exp(- h·，b-i） =（2π）-nZRnexp(-i h·，zi）ΦQ（z+ib）-,T）dz。（5.6）比较（5.5）和（5.6），我们得到了证明。5.3泊松求和近似密度函数我们需要以下结果，即泊松求和公式。定理21（[98]p.252）假设对于s ome A>0和δ>0，我们有max{f（x），Ff（x）}≤ A（1+| x |）-N-δ.然后∈Znf（x+pm）=PnXm∈ZnF（f）2πPm经验2πiPhm，xi对于任何P>0。级数绝对收敛。假设νs，νm∈ (0, 1/2), 1 ≤ s、 m≤ n和以前一样。PutfM:=2nπnZRnexp(-i h·，vi）ΦQn（v，T）dvL∞（Rn），观察tfM<∞ b e估算的原因（5.4）。修正T>0，>0，然后选择这样的P∈ N thatfMnYs=1Xmk∈Z、 m6=0科什bs2mk- 1P-1.≤ （5.7），其中m=（m，··，mn）和m6=0表示m6=（0，··，0）。显然是 经验-Pmin{bs|1≤ s≤ n}, P→ ∞.

（5.8）定理22设Qn:={x | x=（x，···，xn）∈ Rn，|xk |≤ 1, 1 ≤ K≤ n} 是Rnand中的单位立方体-B-= b+：=b.那么在我们的符号（P）中：=pQT（x）-PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）<< 经验-Pmin{bs|1≤ s≤ n}Pn/q，P→ ∞,其中1≤ P≤ ∞.证据使用定理M20我们得到pQT（x）=pQT（x，··，xn）≤nYs=1cosh（bsxs）！-1米。（5.9）应用（5.9）我们可以检查定理21的条件是否满足。因此使用条件（5.7）我们得到pQT（x）-Xm∈ZnpQT（x+pm）L∞（PQn）=Xm∈锌{0}pQT（x+pm）L∞（PQn）≤fMnYs=1Xmk∈Z、 m6=0科什bs2mk- 1P-1.≤ .观察ΦQ(-x、 T）=（2π）nF-1.pQT(-x） =（2π）n（2π）nZRnexp（i-hx，yi）pQT(-y） dy=ZRnexp（i-h）-x、 yi）pQT（y）dy=FpQT（x） 。因此pQT（x）-Xm∈ZnpQT（x+pm）L∞（PQn）=pQT（x）-PnXm∈ZnFpQT2πPm经验2πiPhm，xiL∞（PQn）=pQT（x）-PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiL∞（PQn）≤ 和pQT（x）-PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiL（PQn）≤ Pn。最后，应用ing Riesz-Thorin插值定理（见附录II，定理43和（5.8），我们得到pQT（x）-PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）≤ Pn/q 经验-Pmin{bs|1≤ s≤ n}Pn/q，P→ ∞.根据（5.4）的功能观察ΦQ-2πPm，T指数衰减为| m |→ ∞. 因此se riesepQT（x）：=PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xi绝对收敛，表示一个完全可微分的pqn周期函数，用epQT（x）表示。例23 Letp（x，y）=（2π）-1exp-x+y.如果是高斯密度，则其傅里叶变换为exp-2.-1.x+y. 对于固定的m和P，考虑近似值g（P，m，P，x，y）：=PX | k|≤mX | s|≤mF（p）-2πkP，-2πsP经验ikx2πP+isy2πP=PX | k|≤mX | s|≤mexp-2πkP-2πsP经验ikx2πP+isy2πP.近似的相应误差为ε（p，p，m）：=max{p（x，y）- g（p，m，p，x，y）|，x，y∈ [-P/2，P/2]}。特别地，设n=2，P=6，m=3，然后ε（P，P，m）=1。

7 47 × 10-3.5.4近似方法的比较定理22显示了epQT（x）的指数收敛速度，如果x∈PQP→ ∞. 在本节中，我们将讨论在m宽度和m宽度意义下密度函数的最佳恢复问题。这使我们能够比较各种数值方法，并构造序列epQT（x）的准最优截断。设{~nk（x），k∈ N} 是测度空间上的一组连续正交且一致有界的函数(Ohm, F、 ν）。谢谢∈Nk~nkk∞< ∞.对于任何f∈ L:=L(Ohm, F、 Γ）我们构造了一个形式傅里叶级数[F]=∞Xk=1ck（f）~nk，ck（f）：=ZOhmf~nkdx。考虑函数集∧：={f | | ck（f）|≤ λk，k∈ N}，其中λk>0，k∈ N.很容易检查∧是凸对称集。而且∧在L中是紧的(Ohm, F、 （定义见附录I）如果∞Xk=1λk<∞.设κmbe为宽度dm（λ，Lq）之一(Ohm, F、 ν），am（λ，Lq(Ohm, F、 ν），am（λ，Lq(Ohm, F、 ν），λm（λ，Lq）(Ohm, F、 （定义见附录四）。定理24设λk，k∈ N是正数的非递增序列，P∞k=1λk<∞ 然后在我们的符号κm中≥ ηL-1.ZOhmdü1/q-1λm+1，q≥ 1，其中η=1，如果κmis dmor amandη=2-1ifκmis amorλm.证明。FixLm+1:=lin{~nk，1≤ K≤ m+1}并考虑setQm+1:=（tm+1:=m+1Xk=1ck|k，|ck|≤ 1） 这是Lm+1中的单位球。Lm+1中的相应范数由KTM+1kQm+1表示。因为λk，k∈ N是一个正数的非递增序列，然后λm+1Qm+1 Λ. （5.10）应用Riesz定理（见附录II，定理44），我们得到KTM+1kL≥ L-1最大值{| ck |，1≤ K≤ m+1}。这意味着KTM+1kL≥ L-1ktm+1kQm+1=ktm+1kLQm+1，适用于任何tm+1 Lm+1，球体∩ Lm+1 LQm+1，其中B：=FKKKL≤ 1.. 因此，应用（5.10）我们得到-1λm+1B∩ Lm+1 λm+1Qm+1 Λ.从最后一行和伯恩斯坦m-w idth的定义（见附录四）bm（λ，L(Ohm, F、 ⑸）≥ L-1λm+1。

（5.11）根据Jensen不等式（见附录I，定理38），得出如下结论：ZOhmdü1.-1/qkfkL≤ KKKLQF或任何f∈ Lq，q≥ 1.因此，通过定义Bernstein的n-宽度和（5.11），我们得到bm（λ，Lq）(Ohm, F、 ⑸）≥ L-1.ZOhmdü-1+1/qλm+1，q≥ 1.（5.12）应用推论62（见附录IV），我们得到dm（λ，Lq）(Ohm, F、 ⑸）≥ L-1.ZOhmdü-1+1/qλm+1，q≥ 1.am（λ，Lq）的相同下界(Ohm, F、 根据定理66，附录四，我们得到相应的共线的下界。从理论上来说。3因此，对于Banach空间中的任何紧对称集a，Xbm（a，X）≤ 凌晨2点（A，X），已知[102]p.222，am（A，X）≤ 嗯（A，X）和[101]第190页，嗯（A，X）≤ am（A，X）。Hencebm（A，X）≤ 凌晨2点（A，X）。（5.13）最后，比较（5.11）-（5.13）我们得到am（λ，Lq）(Ohm, F、 ⑸）≥ 2.-1L-1.ZOhmdü-1+1/qλm+1，q≥ 1.对于λm（λ，Lq），可以得到类似的结果(Ohm, F、 ν）。现在我们应用定理24，从下面的收敛速度来估计。首先，我们需要以下结果。定理25 LetOhmΦQ，T，, P:=Z∈ Rn，ΦQ2πPz，T≥ .那张卡片OhmΦQ，T，, P∩ 锌<< Pn自然对数-1.Pns=1ν-1，任何 > 0和固定T>0和νs∈ (0, 1/2), 1 ≤ s≤ n、 作为P→ ∞. 允许Ohm′ΦQ，T，, P:=（z=（z，·zn）∈ 注册护士，经验-CTnXs=12πPzsνs！≥ )然后OhmΦQ，T，, P Ohm′ΦQ，T，, P安德卡德Ohm′ΦQ，T，, P∩ 锌 Pn自然对数-1.Pns=1ν-1s，（5.14）作为P→ ∞.证据由（5.4）可知：OhmΦQ，T，, P Ohm′ΦQ，T，, P=（z）∈ Rn，nXs=1CTln-1.ν-1s2πPzsνs≤ 1).自从Ohm′ΦQ，T，是分段光滑的Ohm′ΦQ，T，, P∩ 锌~ 沃恩Ohm′ΦQ，T，, P,作为P→ ∞. 亨塞沃恩Ohm′ΦQ，T，, P=ZOhm′（ΦQ，T，,P）dz=nYs=1自然对数-1CTν-1sP2πnVoln（B（ν，··，νn）），=（CT）-Pns=1ν-1sP2πnVoln（B（ν，··，νn））自然对数-1.Pns=1ν-1s，其中b（ν，···，νn）：=（z=（z，··，zn）∈ Rn，nXs=1 | zs |νs≤ 1） ν>0，··，νn>0。

已知[105]volnb（ν，···，νn）=2nQns=1Γ（1+νs）Γ（1+Pns=1νs）。亨塞卡OhmΦQ，T，, P∩ 锌<< 卡片Ohm′ΦQ，T，, P∩ 锌 Pn自然对数-1.Pns=1ν-1s，（5.15）作为P→ ∞. 考虑度量空间（P Tn，L，dx），其中P Tn=Rn/P zn是无量纲环面，L是勒贝格σ-代数，dx是P Tn上的勒贝格度量。定义函数类∧：=（f（x）=Xm∈Zncm~nm（x），m=（m，··，mn），其中| cm |≤ λmand~nm（x）：=P-n/2exp2πiPhm，xi, M∈ 锌。观察系统{~nm（x），m∈Zn}是正交的且L=supm∈Nk~nmk∞= P-不适用。设λm=exp-CTnXs=12πPmsνs！。还记得吗ΦQ-2πPm，T≤ 经验-CTnXs=12πPmsνs！。HenceepQT（x）=PnXm∈ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xi∈ Λ.定理26在我们的符号κm（λ，Lq（P Tn，L，dx））中>> P-1/2+1/qexp-P-纳米（Pns=1ν-1s）-1.,作为m→ ∞.证据设dx是一个Lebesgue测度Ohm = 2.-1P Qn，其中Qn:={x=（x，···，xn）∈ Rn，max | xk |≤ 1, 1 ≤ K≤ n} 是单位立方体，单位为Rn。从定理24我们得到κm（λ，Lq（P-Tn，L，dx））>> L-1.Z-1P-Qndx-1+1/qλm+1>> Pn/2Pn(-1+1/q）λm+1=P-1/2+1/qλm+1。（5.16）让我 Pn自然对数-1.Pns=1ν-1然后，根据定理25，  经验-P-纳米（Pns=1ν-1s）-1.（5.17）应用（5.14）我们得到λm+1 . 因此，使用（5.17）和（5.16）我们得到了κm（λ，Lq（P Tn，L，dx））>> P-1/2+1/qexp-P-纳米（Pns=1ν-1s）-1.,作为m→ ∞. 5.5通过mterm指数求和逼近密度函数下一个陈述涉及使用域中具有谱的m项经验和逼近函数Ohm′1/R.定理27让2≤ Q≤ ∞, 1/q+1/q′=1，νs∈ (0, 1/2), 1 ≤ s≤ n、 m:=Pn（lnr）Pns=1ν-1s。然后用符号（m，P）：=epQT（x）-PnXm∈锌∩Ohm′1/RΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）<<议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1./q′exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.,作为m，P→ ∞.证据回想一下，函数系统φm（x）：=P-n/2exp2πiPhm，xi, M∈锌，x∈PQnis一致有界，||m（x）|≤ P-n/2，M∈Znand或THOLNORMALPQn.让ρ→ ∞.

然后，由（5.15）沃恩Ohm′1/ρ Pn（lnρ）Pns=1ν-1s:=V（ρ）。应用Riesz定理（见附录I，定理44，我们得到（m，P）=PnXm∈注册护士\\Ohm′1/R∩ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）=Pn/2Xm∈注册护士\\Ohm′1/R∩ZnΦQ-2πPm，T~nm（x）Lq（PQn）<< P-n/2P-（n/2）2/q′-1.Z∞Rρ-q′dV（ρ）1/q′：=P-n/q′（I（R））1/q′，其中I（R）=Z∞Rρ-q′dV（ρ）=PnnXs=1ν-1s！Z∞Rρ-q′-1（lnρ）Pns=1ν-1s-1dρ。（5.18）观察νs∈ (0, 1 /2). HencePns=1ν-1s- 1 > 0. 设α>1，β>0。然后∞Rx-α（lnx）βdx=-α+1x-α+1（lnx）β|∞R-Z∞R-α+1x-α+1β（lnx）β-1x-1dx=α- 1R-α+1（lnr）β+βα- 1Z∞Rx-α（lnx）β-1dx=α- 1R-α+1（lnr）β，R→ ∞, （5.19）sincelimR→∞R∞Rx-α（lnx）β-1dxR∞Rx-α（Lnx）βdx=0。比较（5.18）和（5.19）我们得到了（R）<< PnR-q′（ln R）Pns=1ν-1s-1，R→ ∞.亨西（男，女）<< R-1（lnr）（Pns=1ν-1s-1） /q′，R→ ∞.这意味着使用m=Pn（lnr）Pns=1ν-来自Ohm′1/R∩ 我们得到近似值的误差（m，P）<<议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1./q′exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.,作为m，P→ ∞. 比较定理26和定理27，我们发现截断域Ohm′1/Ris在n-共面传感器的基本规模上是最优的。应用定理22和定理27，我们得到以下陈述。推论282≤ Q≤ ∞ b:=min{bs|1≤ s≤ n} 然后用我们的符号E（P）+E（m，P）=pQT（x）-PnXm∈Ohm′1/R∩ZnΦQ-2πPm，T经验2πiPhm，xiLq（PQn）<< 经验(-P b）Pn/q+议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1./q′exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.,作为m，P→ ∞.为了简单起见，设q=∞.

假设推论28中的P是这样的=议员-N（Pns=1ν-1s）-1，orP=B-1m（Pns=1ν-1s）-1.1+n（Pns=1ν-1s）-1.-1（5.20）thenE（P）+E（m，P）<< 经验-amk嗯，m→ ∞,式中：=b1-1+n（Pns=1ν-1s）-1.-1，k：=Pns=1ν-1s-11+nPns=1ν-1s-1和h:=1-Pns=1ν-1s-11+nPns=1ν-1s-1.这意味着在Ohm′1/R，其中R=exp（P-纳米（Pns=1ν-1s）-1.P由（5.20）定义，我们得到了收敛误差exp-ambmkasm→ ∞.第六章期权定价。高维期权的定价是金融数学的一个深层次问题。本章的主要目的是开发一种新的简单实用的篮子期权定价方法。作为一个激励性的例子，考虑一个没有套利机会的无摩擦市场，其恒定无风险利率>0。让Sj，t，1≤ J≤ n、 t≥ 0，是n个资产价格过程。随机数为T>0和K的公共扩展选项≥ 0是paysH签署的合同=S1，T-Pnj=2Sj，T- K+在时间T。在中国市场的不同行业，此类期权的交易范围很广。假设存在风险中性等价鞅测度Q，我们得到时间0时价差期权值V的以下pricingformula，V=exp(-rT）等式[H]，其中H是一个回归函数，期望值是关于等价鞅测度的。关于扩散选项及其应用有大量文献。特别是，如果K=0，则利差期权与将一项资产换成另一项资产的期权相同。Margrabe[85]给出了这种情况下的显式解。Margrabe模型认为，St，1和St，2遵循一个几何布朗运动，其波动率σ和σ不需要是常数，但St，1/St，2的波动率σ是常数，σ=σ+ σ- 2σσρ, 式中，ρ是布朗运动S1，和S2，t的相关系数。

Margrabeformula表示v=exp(-qT）S0,1Φ（d）- 经验(-qT）S0,2Φ（d），其中Φ表示标准正态分布的累积分布，d=σT1/2自然对数S0,1S0,2+Q- q+σT,d=d- σT1/2和q，qa是恒定的连续股息收益率。不幸的是，在K>0且St，1，St，2是几何布朗运动的情况下，对于公式没有明确的定价。在这种情况下，已经发展了各种近似方法。主要有三种方法：蒙特卡罗方法，这是在高维情况下最常用的方法，因为收敛与维无关，[20]中研究的快速傅立叶变换方法和偏微分方程。注意，如果PDE的尺寸较低，则基于PDE的方法适用（有关更多信息，请参见，例如[90,32,99,1 06]）。通常的偏微分方程的方法是基于数值近似，从而产生一个大系统的普通微分方程，然后可以通过数值求解。近似公式通常允许快速计算。特别是，prac titione rs Kirk公式[57]中的Apoptular近似于spread call（参见Carmona-Durrleman程序[19,78]）。[28,7,9]考虑了快速傅里叶变换的各种应用。[9,77,56,86,88]中讨论了使用几何布朗运动的篮子期权的不同方法。众所周知，如果引入额外的随机因素，默顿-布莱克-斯科尔斯理论将变得更加有效。因此，重要的是考虑更广泛的L’evy过程。Mandelbrot[82]和Fama[37]首次在这种情况下使用了稳定的L’evy过程。从90年代开始，evy程序变得非常流行（参见[83,84,13,14,29]和其中的参考文献）。

我们在这里给出了一个通用的定价公式，它适用于各种跳跃扩散模型[67,68]。6.2 Hurd Zhou定理在这一部分中，我们证明了一个技术结果（见[52,51]），这在我们的应用中很重要。设Γ（z）为伽马函数，Γ（ξ）：=z∞xξ-1exp(-x） dx，ξ∈ C\\{-N∪ {0}} .这个证明基于几个引理。引理29 LetH（x，x）：=（exp（x）- 实验（x）- 1)+.然后对于任何实数=（，），>0，+<-1，H（x，x）=（2π）-2ZR+iexp（i-hu，xi）g（u）du=（2π）-2Z∞+i-∞+伊兹∞+i-∞+iexp（i（xu+xu））g（u，u）dudu，其中g（u，u）=Γ（i（u+u）- 1) Γ (-iu）Γ（iu+1）。证据Le t>0和+<-1然后使用H（x）的定义，可以表示texp（hx，i）H（x）=exp（x+x）H（x，x）=exp（x+x）（exp（x）- 前p（x）- 1)+∈ LR.因此，根据普朗谢尔定理（见附录II，定理42），函数r（u）∈ LRthatexp（hx，i）H（x）=（2π）-2ZREP（i hx，ui）r（u）du。因此，H（x）=（2π）-2ZRexp（i hx，ui- hx，i）r（u）du=（2π）-2ZRexp（i hx，u+ii）r（u）du=（2π）-2ZR+iexp（i hx，ui）r（u- 我知道。andr（u）=ZRexp(-i hx，ui）exp（hx，i）H（x）dx=ZRexp(-i hx，u+ii）H（x）dx。让r（u）- i）：=g（u）theng（u）=ZRexp(-i hx，ui）H（x）dx=ZRexp(-i（许+许））（经验（x）- 实验（x）- 1） +DX。显然，（exp（x）- 实验（x）- 1)+≥ 如果x为0≥ 0和exp（x）-实验（x）-1.≥ 0.Henceg（u，u）=Z∞经验(-iux）×Zln（exp（x）-1)-∞经验(-iux）（exp（x）- 1) - exp（x））dx！dx=Z∞经验(-iux）（实验（x）- 1)1-iu(-（国际单位）-1.- (1 - （国际单位）-1.dx。更改变量z=exp(-x） 我们得到（u，u）=(-（1）- iu）Zziu-1.1.- zz1.-iudz=(-（1）- iu）Zz（i（u+u）-1)-1(1 - z） (二)-（国际单位）-1dz=(-（1）- iu）B（i（u+u）- 1, (2 - iu）），其中b（a，b）：=Zza-1(1 - z） b-1dz=Γ（a）Γ（b）Γ（a+b）是β函数，其定义为Rea>0，Reb>0。

因此，g（u，u）=Γ（i（u+u）- 1) Γ (-iu+2）(-（1）- iu）Γ（iu+1）=Γ（i（u+u）- 1) Γ (-iu）Γ（iu+1），自Γ(-iu+2）=（1- iu）Γ(-iu+1）=(-（1）- iu）Γ(-iu+1）。引理30∈ R、 x=（x，··，xn）∈ r与u=（u，··，un）∈ Cn，Imuk>0，1≤ K≤ n、 ThenZRnδexp（z）-nXk=1exp（xk）！exp（z）- i hu，xi）dx=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）exp-iznXk=1uk！，其中δ（·）表示δ函数。证据通过改变变量ρ=exp（z）和σk=exp（xk），我们得到：=ZRnδexp（z）-nXk=1exp（xk）！exp（z）- i hu，xi）dx=ρZρQnΔρ-nXk=1σk！nYk=1σ-幸运儿-1knYk=1dσk，其中qn:={x=（x，···，xn）| 0<xk≤ 1, 1 ≤ K≤ n} sinceZRn\\ρQnΔρ-nXk=1σk！nYk=1σ-幸运儿-1knYk=1dσk=0。我们采用归纳法。很容易检查I=ρ-iu或引理30对n=1是真的。如果引理12对m=n为真，那么对于m=n+1，我们得到+1=ρZρQn+1δ（ρ- σn+1）-nXk=1σk！σ-iun+1-1n+1nYk=1σ-幸运儿-1kdσn+1nYk=1dσk，我们可以在+1asIn+1=ρZρσ中重写-iun+1-1n+1ρ- σn+1Jn（ρ，σn+1）dσn+1，其中jn（ρ，σn+1）：=（ρ- σn+1）ZρQnnYk=1σ-幸运儿-1kδ（ρ）- σn+1）-nXk=1σk！nYk=1dσk。根据归纳假设jn（ρ，σn+1）=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）exp-inXk=1ukln（ρ- σn+1）=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）（ρ- σn+1）-iPnk=1uk。亨塞因+1=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρZρσ-iun+1-1n+1ρ- σn+1（ρ- σn+1）-iPnk=1ukdσn+1=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPnk=1ukZρσ-iun+1-1n+11.-σn+1ρ-1.-iPnk=1ukdσn+1。改变变量ξ：=σn+1/ρ，我们得到in+1=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPnk=1ukZ（ρξ）-iun+1-1(1 - ξ)-1.-iPnk=1ukρdξ=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPn+1k=1ukZξ-iun+1-1(1 - ξ)-1.-iPnk=1ukdξ=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPn+1k=1KB-iun+1，-inXk=1uk=Qnk=1Γ(-iuk）Γ(-iPnk=1uk）ρ-iPn+1k=1ukΓ(-iun+1）Γ(-iPnk=1uk）Γ(-iPnk=1uk- iun+1）=Qn+1k=1Γ(-iuk）Γ-iPn+1k=1uk经验-izn+1Xk=1uk！。定理31（赫德·周）设n≥ 2.

对于任意实数=（，···，n），且m>0表示2≤ M≤ n和<-1.-Pnm=2m，exp（x）-nXm=2exp（xm）- 1!+= (2π)-nZRn+iexp（i hu，xi）g（u）du，其中x=（x，··，xn）和，对于u=（u，··，un）∈ Cn，g（u）=Γ（iPnm=1um- 1） Qnm=2Γ(-Γ（iu+1）。（6.1）证据。我们需要展示（6.1）。观察Zrδexp（z）-nXk=2exp（xk）！exp（z）dz=1。Henceg（u）=ZRnZRδexp（z）-nXk=2exp（xk）！实验（x）-nXk=2exp（xk）- 1!+x exp（z）- i hu，xi）dzdx=ZR（exp（x）- exp（z）- 1） +×ZRn-1δexp（z）-nXk=2exp（xk）！exp（z）- 我胡，习）dx··dxn！dxdz。应用引理30和引理29我们得到g（u）=Qnk=2Γ(-iuk）Γ(-iPnk=2uk）×ZRexp-iux- iznXk=2exp（英国）！（实验（x）- exp（z）- 1） +dxdz=Γ（iPnk=1uk- 1） Qnk=2Γ(-iuk）Γ（iu+1）。6.3近似公式在应用中，重要的是建立一个定价理论，该理论包括一系列不同的奖励函数H。例如，由H=H（x）=H（x，··，xn）给出的展宽期权的奖励函数=S0,1exp（x）-nXj=2S0，jexp（xj）- K+相对于xas x，允许指数增长→ ∞. 因此，我们需要介绍以下定义。定义32我们说模型过程St={Sj，t，1≤ J≤ n} 如果等式[H]<∞.显然，如果等式[H]=∞ 那么期权就无法定价了。回想一下，期望算子是根据满足等价鞅测度条件（4.7）的密度函数pqt计算的。下一条语句将奖励函数简化为cano nic al形式。引理33在我们的符号中v=K exp(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+pQT（y）- d） dy，其中d:=（d，··，dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ n、 证据。还记得V=exp吗(-rT）等式[H]。

在我们的情况下=S1，T-nXj=2Sj，T- K+,其中Sj，T=Sj，0exp（Uj，T），1≤ J≤ n、 这意味着v=exp(-rT）ZRnS0,1exp（x）-nXj=2S0，jexp（xj）- K+pQT（x）dx，=K ex p(-rT）×ZRn经验x+lnS0,1K-nXj=2expxj+lnS0，jK- 1.+pQT（x）dx，其中S0，j，1≤ J≤ n是各自的现货价格。改变变量syj=xj+lnS0，jK, 1.≤ J≤ n、 我们得到v=K exp(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+pQT（y）- d） dy，其中d:=（d，··，dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ N定理34在我们的符号中，对于任意m=（m，··，mn）∈Znand=（，···，n），m>0表示2≤ M≤ n和<-1.-Pnm=2m，我们有ZrNexp2πiPm+，xH（x）dx=Γ-2πiPPns=1ms-Pns=1s- 1.Qns=2Γ2πiPms+sΓ-2πiPm- + 1.证据观察h（x）=（2π）-nZRn+iexp（i-hu，xi）g（u）du=（2π）-nZRnexp（i-hz+i，xi）g（z+i）dz=（2π）-nexp(- h，xi）ZRnexp（i hz，xi）g（z+i）dz，其中函数g由（6.1）定义。HenceH（x）exp（h，xi）=（2π）-nZRnexp（i-hz，xi）g（z+i）dz。自H（x）exp（H，xi）∈ L（Rn）然后，应用普朗谢尔定理em（见附录二定理42）和定理31，我们得到f（H（x）exp（H，xi））（u）=ZRnexp(-i hu，xi）H（x）exp（H，xi）dx=g（u+i）=i（i（（u+i）+iPnm=2（um+im））- 1） Qnm=2Γ(-i（um+im）Γ（i（u+i）+1）=Γ（i（u+Pnm=2um）-Pnm=1m- 1） Qnm=2Γ(-ium+m）Γ（iu）- + 1).这意味着thatZRnexp2πiPhm，xiH（x）e xp（H，xi）dx=g-2πiPm+i=Γ-2πiPPns=1ms-Pns=1s- 1.Qns=2Γ2πiPms+sΓ-2πiPm- + 1.下一个陈述给出了spr e ad选项的基因ral近似公式，该公式在各种应用中都很重要。注意，它没有显示收敛的速度。这个问题将在后面讨论。

在这个阶段，我们只解释如何构造近似公式。定理35 Letd:=（d，··，dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ nand=（，···，n），0<j≤ b+，j，2≤ J≤ 请注意-,1.≤ < -1.-Pnm=2m。那么V的形式近似值可以写成V=K exp(-rT- hd，i）PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di×Γ-2πiPPns=1ms-Pns=1s- 1.Qns=2Γ2πiPms+sΓ-2πiPm- + 1, R→ ∞, P→ ∞,哪里Ohm′1/R=（x）∈ Rn，nXs=1CTln Rν-1s2πPxsνs≤ 1).证据应用引理33，我们得到v=exp(-rT）等式[H]=exp(-rT）ZRnS0,1exp（x）-nXj=2S0，jexp（xj）- K+pQT（x）dx，=K ex p(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+pQT（y）- d） dy，其中d:=（d，··，dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ n、 对于给定的=（，·n），b-,s≤ s≤ b+，s，1≤ s≤ n我们可以将Cauchytheorem n次应用于由（5.1）定义的do main TN，其由（5.4）调整。HencepQT（y）=（2π）-nZRnexp(-i hy，xi）ΦQ（x，T）dx=（2π）-nZRn+iexp(-i hy，xi）ΦQ（x，T）dx=（2π）-nZRnexp(-i hy，x+ii）ΦQ（x+i，T）dx=exp（hy，i）（2π）-nZRnexp(-i hy，xi）ΦQ（x+i，T）dx。让我来∈PQn。回想一下Qn={x | x=（x，···，xn）∈Rn，|xk |≤ 1}.

然后从推论5.5我们得到pqt（y）≈ exp（hy，i）PnXm∈ZnΦQ-2πPm+i，T经验2πiPhm，yi!和pqt（y- d）≈ exp（hy）- d、 i）×PnXm∈ZnΦQ-2πPm+i，T经验2πiPhm，y- di≈ exp（hy）- d、 i）×PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di经验2πiPhm，yi.因为j>0，2≤ J≤ n、 -1.-Pnj=2j然后我们可以将定理34应用到Bainv=K exp(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+pQT（y）- d） dy≈K exp(-rT）PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di×ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy）- d、 i）经验2πiPhm，yidy=K exp(-rT- hd，i）PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di×ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）经验2πiPhm，yidy=K exp(-rT- hd，i）PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di×Γ-2πiPPns=1ms-Pns=1s- 1.Qns=2Γ2πiPms+sΓ-2πiPm- + 1=埃夫。定理36让我们用符号T>0，0<j≤ b+，j，2≤ J≤ 请注意-,1.≤ < -1.-Pnm=2m，d:=（d，·dn），dj=lnS0，jK, 1.≤ J≤ n、 b=min{-B-,s、 b+，s，1≤ s≤ n} ，M（P，R）：=(2π)-nZRnexp（i h）·-d、 xi）ΦQ(-x+i，T）dx-PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di经验2πiPhm，·iL∞（Rn），andeV是定理35中V的近似值，那么δ：=五、-电动汽车<<K exp(-rT）Γ(-Pns=1s- 1） Qns=2Γ（s）Γ（1）- )×经验(-（b）+议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.+K exp(-rT）M（P，R）×经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）L（Rn\\（P-kdk∞)Qn），m→ ∞, P→ ∞.证据LeteV是V的近似值。

自0<j≤ b+，j，2≤ J≤ 请注意-,1.≤ < -1.-Pnm=2m当我们得到δ=五、-电动汽车= K ex p(-（右）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）×(2π)-nZRnexp（i-hy）- d、 xi）ΦQ(-x+i，T）dx-PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di经验2πiPhm，yidy:= K ex p(-rT）ZRn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）u（y）dy。从推论5.5可以得出，对于选择的P>0和m>0，我们有|u（y）|=(2π)-nZRnexp（i-hy）- d、 xi）ΦQ(-x+i，T）dx-PnXm∈Ohm′1/RΦQ-2πPm+i，T经验-2πiPhm，di经验2πiPhm，yi<< 经验(-（b）+议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1.对任何人来说∈PQn- d、 让我们把m=0放在定理34中。然后：=经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）L（Rn）=Γ(-Pns=1s- 1） Qns=2Γ（s）Γ（1）- ）对于选定的=（，···，n），0<j≤ b+，j，2≤ J≤ 请注意-,1.≤ < -1.-Pnm=2m.观察该pqn-DP- kdk∞Qn，kdk在哪里∞:= 最大{dk |，1≤ K≤ n} 。特雷弗雷斯（P-kdk∞)Qn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）u（y）dy≤ L经验(-（b）+议员-N1.-（Pns=1ν-1s）-1exp-议员-N（Pns=1ν-1s）-1..最后，我们有-kdk∞)Qn经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）u（y）dy≤ M（P，R）经验（y）-nXj=2exp（yj）- 1.+exp（hy，i）L（Rn\\（P-kdk∞)Qn）。为了简单起见，假设n=2。首先，让我们-1.- 和>0。自（exp（y）- 经验（y）- 1)+≥ 如果exp（y）为0- 经验（y）- 1.≥ 0和x≥ 0那么（实验（y）- 前p（y）- 1） +exp（hy，i）L（R\\（P-kdk∞)Q） =ZL（R\\（P-kdk∞)Q） （实验（y）- 经验（y）- 1） +exp（hy，i）dy:=i+i，其中i=Z∞P-max{d，d}exp（y）Zln（exp（x）-1)-∞（实验（y）- 1.- exp（y）exp（y）dy！dyandI=ZP-max{d，d}exp（y）Z-P+max{d，d}-∞（实验（y）- 1.- exp（y）exp（y）dy！可以证明我<< 经验-P安迪<< 经验（++1）P作为P→ ∞.

因此（实验（y）- 前p（y）- 1） +exp（hy，i）L（R\\（P-kdk∞)Q）<< 经验Pmax{-, + + 1}, P→ ∞其中++1<0，>0。附录一：0<p<∞, lp是由所有序列c={ck，k组成的空间∈ Zn}令人满意的Xk∈锌| ck | p<∞.如果p≥ 1，然后kCkP:=Xk∈Zn | ck | p！1/pde定义了lp的规范。如果p=∞, 然后是l的标准∞由KCK定义∞:= 高级大床房∈锌| ck |。如果1≤ P≤ ∞, 那么lp是一个关于normkkp的完全非rmed空间，因此是一个Banach空间。让我≤ P≤ ∞ 及(Ohm, F、 ν）是函数F的度量空间：Ohm → Rsuch thatkfkp，ν=kfkp：=(ROhm|f|pd|1/p，1≤ p<∞,ess sup | f |，p=∞)< ∞.在这种情况下，我们说f∈ Lp=Lp(Ohm, F、 ν）。任何一个≤ P≤ ∞, Lpis是阿巴纳空间。设L为Lebesgueσ-代数，dy b为Lebesgue测度。定理37（杨氏不等式[98]，[49]）设f∈ Lp（Rn，L，dy），g∈Lq（Rn，L，dy）和1/p+1/q=1/r+1。森克≤ KfkKKQ。定理38（Jensen不等式）Let(Ohm, F、 是一个概率空间，即(Ohm) = 1.让f：Ohm → R是Γ-可积函数，g:R→ R是一个凸函数。然后OhmGo fd~n≥ GZOhmfd~n.Fubini和Tonelli定理Fubini定理允许我们使用迭代积分计算二重积分。因此，它为我们提供了改变积分顺序的充分条件。它是亲生育理论的核心工具之一。定理39（富比尼定理）假设（A，F，Γ）和（B，F，Γ）是完全测度s空间。假设f（x，y）在A×B上是可测的。

IfZA×B|f（x，y）|d|d|∞,其中，积分是关于a×B上的乘积测度Γ×Γ，则ZA×Bf（x，y）dΓdΓ=ZAZBf（x，y）d~ndü=ZBZAf（x，y）d~ndü。IfRA×B | f（x，y）| d|d|=∞, 那么右边的两个迭代积分可能有不同的值。如果Ohm 是可测集与有限测度的可数并。概率论的另一个重要定理是下面的陈述。定理40（托内利定理）设（A，F，γ）和（B，F，γ）是两个σ-有限测度空间和f（x，y）是一个Γ×Γ可测函数，使得f（x，y）≥ 0,  （x，y）∈ A×B thenZA×Bf（x，y）dādā=ZAZBf（x，y）d~ndü=ZBZAf（x，y）dДdü。任何概率空间都有一个σ-有限测度。在这种情况下，托内利定理简单地说，如果f（x，y）≥ 0,  （x，y）∈ A×B然后我们可以在没有硬条件的情况下改变积分的顺序∞ 奥富比尼定理。Radon-Nikodym定理(Ohm, F、 作为测量空间。假设Γ和Γ是一个可测集合上的两个测度(Ohm, F） 和Γ（A）=0=> Γ（A）=0，则我们认为Γ与对Γ的响应完全连续（或由Γ控制）。在这种情况下，我们应该写下<< υ. 如果你<< 和<< υ、 可以说，测量值γ和γ是等效的 υ.定理41（Radon-Nikodym）设Γ和Γ是测度空间上的两个σ-有限测度(Ohm, F） 然后呢<< υ、 然后存在一个范围为R（f）的Γ–可测函数f [0, ∞), 用f=dν/dΓ表示，因此对于任何可测集A，我们有Γ（A）=ZAf·dΓ。有关更多信息，请参见，例如[97]。附录二：普朗谢尔定理为了证明反演公式的正确性，我们需要普朗谢尔定理（参见例[30]）。让我们输入符号L（Rn）：=Lp（Rn，L，dy）。定理42（普朗谢尔）傅里叶变换是从L（Rn）到L（Rn）的线性连续算子。

傅里叶逆变换-1.可以通过出租获得F-1克（x） =（2π）n（Fg）(-x） 对于任何g∈ L（Rn）。Riesz-Thrin和Riesz定理Riesz-Thrin插值定理是调和分析和概率论中的一个重要工具。这个定理限制了Lp=Lp之间线性算子的范数(Ohm, F、 ⑸）空间。定理43（Riesz Thorin，[107]）让(Ohm, F、 )及(Ohm, F、 ν）是有限的度量空间。假设1≤ p、 p，q，q≤ ∞, 设A为有界线性算子A∈ L（Lp，Lq）∩ L（Lp，Lq）。ThenkA | Lpθ→ Lqθk≤ kA | Lp→ Lqk1-θ·kA | Lp→ Lqkθ，θ ∈ [0,1]，其中pθ=1- θp+θp，qθ=1- θq+θq.定理44（F.Riesz，[107]v.2，第123页）让(Ohm, F、 是一个可测空间，ωk（x），k∈ zn可以是任意正交且一致有界的系统Ohm, i、 埃兹Ohmωk（x）ωm（x）dΓ=δk，m：=1，k=m，0，k6=mandsupx∈Ohm|ωk（x）|≤ LK∈ 锌，让我≤ P≤ 2.1. 如果f∈ Lp(Ohm, F、 则傅里叶系数k:=ZOhmf（x）ωk（x）d~n满足不等式kkkp′的条件≤ L2/p-1kfkp，其中c={ck，k∈ Zn}，1/p+1/p′=1和kCkq:=Xk∈Zn | ck | q！1/q，1≤ Q≤ ∞.2.给定任意序列c:={ck，k∈ Zn}与kckp岩相比，存在f∈Lp′(Ohm, F、 ⑸）满足性：=ZOhm所有k的f（x）ωk（x）d~n∈ Nnandkfkp′≤ L2/p-1个CKP。更多信息请参见[107,46,2]。附录三：鞅方法s和p r icing观察到，每次预测都是未来可能值的平均值。随机变量在一个不确定的未来可以假定的所有可能值都由与这些值相关的概率加权。因此，我们需要根据在时间τ上所述的信息来计算随机变量的预期值≤ T鞅理论通常用于这些目的。鞅（半鞅）是一类重要的随机序列，在衍生产品定价中有各种应用。

我们需要一些基本的定义。定义45二元关系 在集合a上，a是a元素的有序对（a，b）的集合。换句话说，它是Cartesian产品a=a×a的子集。定义46我们称之为二元关系 如果a是反对称的 b波段 a那么a=b，如果a是可传递的 b和b c然后a c和总计，如果a 博尔b a、 定义47总顺序是一种二元关系（由) 在传递的、反对称的、完全的集合A上。集合T与totalorder配对 被称为完全有序集（或链）。一般来说，决策者使用的信息会随着时间的推移而增加。人们很自然地认为决策者从不放弃过去的数据。因此，以下定义如下。定义48σ-代数族{Ft|t∈ T}，Ft F、 英尺 Ftift 在给定的概率空间中(Ohm, F、 P）被称为σ-代数的潮流（实验或过滤的潮流）。集合Ft可以解释为截至时刻t（包括）为止所进行实验中观察到的所有事件的类别。修正一个任意的集合T。让{Ft| t∈ T}是σ-代数的电流。定义49一系列随机变量{ξ（t），Ft，t∈ T}其中随机变量ξ（T）对于每个T是可测量的∈ T称为鞅ifE[|ξ（T）|]<∞,E[ξ（t）|Fs]=ξ（s），P- a、 美国 t、 s，t∈ TA族{ξ（t），Ft，t∈ T}被称为子鞅，ifE[ξ（T）|Fs]≥ ξ（s），P- a、 美国 t、 s，t∈ T，和超马氏体ifE[ξ（T）|Fs]≤ ξ（s），P- a、 美国 t、 s，t∈ T超鞅和次鞅称为半鞅。注：性质E[ξ（t）|Fs]=ξ（s），P- a、 美国 t、 s，t∈ 也就是说，对未观测到的未来值的最佳预测是对ξ（s）的最后一次观测。这里的所有预期都假定与概率测量P有关。

注意，鞅总是关于σ-代数{Ft|t的某个流定义的∈ T}和概率测度P。不幸的是，大多数金融资产不是鞅。对于insta nc e，债券的价格预计会随着时间的推移而上涨。此外，随着时间的推移，股票价格预计将平均增加。这意味着bt<E[Bs | Ft]，t<s<t，其中bt是在时间t到期的债券的价格，t是一个时间范围。显然，这与Bt=E[Bs | Ft]，t<s的条件相矛盾。同样，股票STM的预期回报率为正。因此，它不表现为鞅。欧洲类型期权的价格也是如此。尽管大多数金融资产不是鞅，但仍有可能将其转换为鞅。大多数已知的衍生品定价方法都采用了反映市场均衡的套利概念。这意味着，如果存在套利投资组合，就存在“免费午餐”的机会。在真实金融市场中，任何套利机会都将被试图利用该机会赚钱的经纪人的活动所消除，并自然进入均衡状态。我们后面的讨论表明，无论“交易”（或历史）概率是什么，如果没有套利机会，可以使用均衡假设下构造的概率度量来表示金融工具的实际市场价值。有关更多详细信息，请参见[94,55,31,50,24]。有两种常规方法可以继续。第一种方法基于onDo-ob-Meyer定理（参见，例如[45]，第25页，[94]页）。

141).定理50（Doob-Meyer分解）如果ξ（t），t≥ 0是关于Ft的右连续次鞅，那么ξ（t）允许分解ξ（t）=Mt+At，其中Mt是关于概率P的右连续鞅，Atis是关于Ft可测的递增过程。第二种方法基于改变概率测度的思想，使(-rt）Sta鞅。这种常用的导数定价方法基于Girsanov的theo-rem，并基于基本概率分布P的适当变化(-rt）Stis asubmartingale，即EP[exp(-rs）St+s | Ft]>St，s>0，其中EP[exp(-rs）St+s | Ft]是使用概率分布P计算的条件期望，然后应用Girs-anov定理，我们可以找到概率分布n Q（在相同的度量s速度上），这样eq[exp(-rs）St+s | Ft]=St，s>0。因此，exp(-strs变成了鞅。这种概率分布称为等价鞅测度。定义51标准布朗运动是一个随机过程X={Xt | t∈ R+}的状态空间满足以下性质：1。X=0（概率为1）。X有固定的增量。就是s、 t∈ [0, ∞), s<t，Xt的分布- XS与分布Xt相同-s、 三,。X有独立增量，或t、 ·tn∈ [0, ∞) 当t<···<tn时，随机变量Xt，Xt- Xt，··，Xtn- Xtn-你是独立的。4.XT为正态分布，T∈ [0, ∞) => Xt~ N（0，t）。概率为1，t7→ Xtis在[0]上继续，∞).定理52（Girsanov）考虑概率空间(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）。假设（Θt）0≤T≤这是一种适应过滤（Ft）0的方法≤T≤t过程如sds<∞ 过程（Lt）为0≤T≤这是一个鞅：Lt:=exp-ZtΘsdWs-ZtΘsds,这里是标准布朗运动。

然后在概率P（L）下，密度Lt相对于P，过程（W*t） 0≤T≤T、 W*t:=Wt+ZtΘsdis是标准布朗运动。如果所有等价鞅测度的集合EMM都是一个单态，则这类等价鞅测度市场模型称为完备。[23]给出了不存在套利和完全性的充分必要条件。定理53表示标准布罗夫尼运动和Nta标准泊松过程。假设STI既不增加也不减少。LetFt:=σ（Su，u）≤ t） 是St的自然过滤。那么模型St=Sexp（Zt）仅在以下情况下完成：（1）Zt=αWt+βt，（α，β）∈ R\\{α=0，β6=0}；（2） Zt=αWγt+βt，（α，β）∈ R、 γ>0，αβ<0。我们看到，与双曲型KoBoL模型相比，黑色Scho les mo de l是完整的。[33]中的n表明，集合EMM是SO富足的，在某个区间（a，b）中的每一个价格都可以通过一个特定的鞅测度得到。设r>0为恒速，u为漂移，∏为ztp下的L′evy测度。设EMM′为所有Q的子集∈Ztis againL’evy流程的EMM。如果系统（RRy1/2（x）- 1.π（dx）+R | x |>1（exp（x）- 1） y（x）π（dx）<∞u - r+RR（exp（x）- 1） y（x）- χD（x））π（dx）=0有一个解y:R→ (0, ∞), 然后EM M EMM′6=.定理54（Eberlein Jacod[33]）考虑范围集：=经验(-rT）等式[H]| Q∈嗯,I\'e:=nexp(-rT）等式[H]Q∈EM M′o.如果满足（1）条件下ztp的L′evy度量∏((-∞, a] ）>0，A.∈ R（2） π含有n-o原子和Satiesz[-1,0）|x |∏（dx）=Z[-1,0）|x |∏（dx）=∞那么EMM不是空的，IEM是完整的间隔（exp(-rT）H（Sexp（rT）），S），其中H是支付函数，I′eis在该区间密集。为了计算期权价格，我们需要在EMM′中选择一个等价的鞅测度。

有两种常用的方法，埃舍尔变换和所谓的最小熵测度。让我们做一个L’evy过程(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）。Esscher变换是将P的任何变化转化为具有密度处理的qdp | Ft（定义见附录I定理41）的等效测量值Q，其形式为xt=exp（θZt）M（θ）t，θ∈ R、 其中M（θ）是Zt的矩母函数。一般来说，对于R上的任何不可整除分布Γ（dx），在某个区间（c，d）上有一个单元生成函数，c<0<d，Esscher变换Γθ（dx）对于任何θ都是不可整除的∈ （c，d）由aθ=a，∏θ（dx）=exp（θx）π（dx），hθ=h+θa+ZR（exp（θx）生成的L′evy三元体（aθ，θ∏θ，hθ）- 1） χD（x）π（dx）（见[93]）。在这种情况下，特征指数nt应满足（见[14]，p.20），ψQ（ξ）=ψp（ξ）- iθ）- ψP(-iθ）对于某些θ∈ 与定理9比较，我们得到R+ψP(-i（θ+1））- ψP(-iθ=0。文献[89,40,92]给出了最小熵的方法。更多信息请参见[18,34,41,42,48]。附录四：数值方法的比较科尔莫戈罗夫[58]在1936年引入了宽度，对各种数值方法进行了比较和分类。设X是一个范数为k·k的Banach空间。X中对称集a的Kolmogor-ov n-宽度dn（a，X）定义为dm（a，X）=infLm克苏帕辛菲∈Lmkx- yk，最后一个inf将接管所有的子空间 维数n的X。计算m宽度的问题通常分为两部分：估计数量e（Lm，A，X）=supA辛菲∈Lmkx- yk，其中lm是一个固定的子空间，它给了我们一个必要的上界，并获得了宽度dm（a，X）的较低估计。很难找到m-宽度的下界是所有m-维子空间 必须考虑X。

1960年，Tikhomirov[100]证明了一个关于球直径的定理（定理61），他首先应用了一种有趣的拓扑方法，即Borsuk-Ulam定理，在此基础上，他提出了一种获得较低宽度估计值的方法。这里我们给出了定理6.3的一个简单证明，它在我们的应用中很重要。让我们来提醒一些定义。设X是单位球B的Banach空间，a是X的紧的中心对称子集。设Lm+1b是X中的（m+1）维子空间。Bernstein的m-width定义为bm（a，X）=sup{Lm+1 X|sup{491;>0|B∩ Lm+1 A} 哦。Alexandrov的m-宽度是值am（A，X）=inf∑mXinfσ：A→∑msup{kx- σ（x）k |x∈ A、 }，其中取所有m维复形∑m的内界，位于X和所有连续映射σ：A中→ ∑m.Ur ysohn的宽度um（A，X）是直径小于in X且重数m+1（即每个点都被≤ m+1集，且某个点恰好被m+1集覆盖）。观察到宽度um（A，X）由Urysohn[103]引入，并受到Lebesgue-Brouwer维度定义的启发。在pr中，最佳回收率问题产生了被称为Cowidth的量。设（X，θ）是一个给定的度量（Banach）空间，Y是一个特定的编码集 十、 Θ映射族θ：a→ Y，则相应的cowidth可以定义为A（A，X）=infθ∈Θsupy∈θ（A）直径θ-1（y）∩ A.,θ在哪里-1（y）={x | x∈ 十、 θ（X）=θ（y）}。特别是，让Y成为RmandΘ：A→ Rmbe是一个线性应用，Θ=L（a，Rm），然后我们得到一个线性共线λm（a，X）。很容易检查λm=2dm，其中dmis是由dm（A，X）=inf{L定义的Gelfand的m宽度-M X | sup{kxk |X∈ A.∩ L-m} }，其中inf接管所有子空间L-M codimensio n m的X。

设Y是X中所有m维复形的集合，且Θ=C（A，Y）是所有连续映射的集合θ：A→ 然后我们得到Alexandrov的cowidths am（A，X）。最佳逼近的泛函和算子这里我们介绍了关于最佳逼近的泛函和算子的一些已知事实。设X是范数为k·kX=k·k的Banach空间∈ 非空子集M中的X 十、 即e（X）=e（X，M）=e（X，M，X）：=infy∈Mkx- ykX（6.2）被认为是固定集合M中x的最佳近似值 X方程式（6.2）定义了X上的函数，E:X→ R+被称为最佳逼近泛函。55号提案让我 如果X是线性流形，那么泛函（·，M）是一致连续的，次可加的：E（X+X）≤ E（x）+E（x），x、 x∈ 十、 正齐次：E（ax）=| a | E（X），A.∈ 兰德凸：E（ax+（1）- a） 十）≤ aE（x）+（1）- a） E（x），A.∈ [0, 1], x、 x∈ X.证据。让x∈ X和X∈ 十、 那么对于任何人来说∈ 我（x）≤ kx- yk≤ kx- xk+kx- yk。对y采取行动∈ M我们发现（x）≤ kx- xk+E（x），矿石（x）- E（x）≤ kx- xk。交换x和x我们得到E（x）- E（x）≤ kx- xk或| E（x）- E（x）|≤ kx- xk表示E的一致连续性。证明E是次可加的weremark，对于任何y∈ X和y∈ 我们有（X+X）≤ kx+x- Y- yk≤ kx- yk+kx- yk。从右边获取关于Yan的inf，然后我们得到E（x+x）≤E（x）+E（x），这意味着E是次可加的。对于任何x∈ X和a∈ R\\{0}我们有（ax）=infy∈Mkax- yk=|a | infy∈Mkx- y/ak=|a | infy∈Mkx- yk=|a | E（x），这证明了E是正齐次的。最后，由于E是次可加且正同态的，所以它是凸的。如果y达到（6.2）中的inf∈ M，即e（x）=kx- yk，则称为x在M中的最佳近似元素。