我们证明了ptwi对扰动参数的长期敏感性可以用一个简单的形式来表示→∞T=0ln pT=-=0λ.确认作者衷心感谢乔纳森·古德曼、斯蒂芬·斯特姆和斯里尼瓦萨·瓦尔·阿丹提出的宝贵建议。作者感谢编辑、副主编和两位匿名推荐人的有益评论和见解，这些评论和见解极大地提高了论文的质量。这项工作得到了韩国政府（MSIP）资助的韩国国家研究基金会（NRF）资助（编号2017R1A5 A1015626）。定理4.8的证明命题A.1和A.2是证明定理4.8的基本步骤。提议。1是Fourni’e等人（1999）中命题3.1的推广。我们修改他们的门面。回想等式（4.6）中定义的函数sk和k。提议A.1。设（b，σ，r，f）和ξ分别是四个函数和一个初始值，满足假设4.1-4.2。假设φ（x）和φ（x）（因此，k（x））对于每个x在I上是连续可微的，并且存在函数g，ψ：Rd→ R满足（，x）inI×Rd的式（4.7）和式（4.8）。假设对于每个T>0，存在正常数，，p，q≥ 2和1/p+1/q=1，使得等式ξ[eRTg（Xs）ds]<∞, （A.1）等式ξhZTgp+（Xs）dsi<∞, （A.2）等式ξ[ψq（XT）]<∞. （A.3）然后是部分竞争EQξ[（fη/φη）（XT）]存在且EQξ[（fη/φη）（XT）]=EQξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsi。（A.4）此外，该偏导数在I上的（η，）是连续的。证明如下。（一） 首先，证明公式（A.4）的=0，也就是说，=0EQξ[（fη/φη）（XT）]=EQξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsi。

（A.5）我们进行以下子测试以显示上述平等性。（i） 证明=0EQξ[（fη/φη）（XT）]=lim→0EQξh（fη/φη）（XT）ZTZsl（Xs）dwsif一阶近似lkin-扰动的，以及指数鞅Z的。二者都l和Z稍后定义。那就足以证明林→0EQξh（fη/φη）（XT）ZT（Zs）l（Xs）-k（Xs））dWsi=0（A.6），这给出了等式（A.5）中规定的期望结果。（ii）为了表示（A.6），必须表示（Zs）l（Xs）-k（Xs））dWs→ 0英寸LPA→ 0.观察等式zt（Zs）l（Xs）-k（Xs））dWs=ZT（Zs-1)l（Xs）dWs+ZT(l-k） （Xs）dWs，我们证明了右边的两项在帕斯收敛到零→ 0.（II）使用公式（A.5），验证公式（A.4）中的任意∈ I.（III）证明式（A.4）中偏导数的th在I.证明中（η，）是连续的。命题A.1的证明将分几个步骤给出。步骤（I）-（I）。Fr om Eq.（2.4）和Eq.（2.5），一个过程（Wt）≥0:=（Bt）-Rt（Xs）ds）t≥0是一个Q-布朗运动，XisdXt=（b+σ）（Xt）dt+σ（Xt）dWt=（σk）（Xt）dt+σ（Xt）dWt的Q-动力学。因为k在I上是连续可微分的，通过泰勒展开式，我们写出k=k+l对于某些d×1向量函数l. X的Q-动力学用dxt=（σk+σ）表示l（Xt）dt+σ（Xt）dWt.根据假设（A.1），过程（Zt）0≤T≤T:=（eRt）l（Xs）dWs-Rt|l|（Xs）ds）0≤T≤这对于smal l来说是一个很好的例子，因为Novikov条件是满足的。这里我们使用了平均值|l（x）|=k（x）- k（x）==*k（x）≤ g（x）表示某些*∈ I.根据Girsanov定理，我们有等式ξ[（fη/φη）（XT）]=EQξ[（fη/φη）（XT）ZT]，因此=0EQξ[（fη/φη）（XT）]==0EQξ[（fη/φη）（XT）ZT]=lim→0EQξh（fη/φη）（XT）ZT- 1i=l im→0EQξh（fη/φη）（XT）ZTZsl（Xs）dWsi。（A.7）对于最后一个等式，我们使用了dzT-1=RTZsl（Xs）dWs，这很容易通过Ito公式获得。

根据公式（A.7），必须证明lim→0EQξh（fη/φη）（XT）ZT（Zs）l（Xs）-k（Xs））dWsi=0，由此得出等式（A.5）。步骤（I）-（ii）。从条件ξ[（fη/φη）q（XT）]≤ 等式ξ[ψq（XT）]<∞, 通过霍尔德不等式，它足以证明RT（Zsl（Xs）-k（Xs））dws在Lpas中转换gesto 0→ 0.使用EqualityZt（Zsl（Xs）-k（Xs））dWs=ZT（Zs- 1)l（Xs）dWs+ZT(l-k） （Xs）dWs，（A.8）我们证明了在Lp中，右边的每个项收敛到零。对于右边的第二项，我们使用勒贝格主导收敛定理。因为|l-k | p≤ c(|l| p+| k | p）≤ 2cgp对于某些正常数c，且等式ξ[RTgp（Xs）ds]是有限的，我们有等式ξhZT(l-k） （Xs）dWs圆周率≤ cqqξhZT|l-k |（Xs）ds圆周率≤ cqTp-1EQξhZT|l-k | p（Xt）dti→ 0as→ 对于某个与无关的正常数cq0。使用了Burkholder-Davis-Gundy不等式和Jensen不等式。对于等式（A.8）右侧的第一项，我们证明了lim→0EQξhZT（Zs）- 1) l（Xs）dWspi=0。设r>0，使得1/r+1/（1+/p）=1。应用Burkholder-DavisGundy不等式、Jensen不等式和Holder不等式，我们得到了公式ξhZT（Zs）- 1) l（Xs）dWs圆周率≤cqqξhZT（Zs）- 1)|l|（Xs）ds圆周率≤cqTp-1EQξhZT|Zs- 1 | p|lp（Xs）dsi≤ cqTq-1.公式ξhZT|Zs- 1 | prdsiR等式ξhZT|l| p+（Xs）dsipp+≤ cqTq-1.公式ξhZT|Zs- 1 | prdsiR等式ξhZTgp+（Xs）dsipp+。在最后一个不等式中，由于等式ξ[RTgp+（Xs）ds]是（A.2）上的假设所确定的，因此必须证明等式ξ[RT|Zs]-1 | prds]→ 0 a s→ 0.选择一个正整数m，使之等于m>pr。我们将在等式ξ[RT（Zs）处显示th- 1） mds]收敛为零→ 0.观察（Zt）- 1） m=mXj=0乔丹(-1） jZjt。（A.9）因为ξhZT（Zs）- 1） mdsi=mXj=0乔丹(-1） jZTEQξ[Zjt]dt→ TmXj=0乔丹(-1） j=0，很难证明rteqξ[Zjt]dt收敛于tas→ 0表示j=0，1，·，m。为了实现这一点，使用了勒贝格主导收敛定理。

我们证明了对于SMALL和0，期望公式ξ[Zjt]一致有界于一个常数≤ T≤ T、 等式ξ[Zjt]收敛到1，即→ 每个固定t的0。观测值ξ[Zjt]=等式ξ[ejRtl（Xs）dWs-杰尔特|l|（Xs）ds]=EQξ[ejRtl（Xs）dWs-杰尔特|l|（Xs）dsej（j）-1/2）Rt|l|（Xs）ds]≤ （式ξ[e2jRtl（Xs）dWs-2jRt|l|（Xs）ds]）（EQξ[ej（2j-1） Rt|l|（Xs）ds]）=（EQξ[ej（2j）-1） Rt|l|（Xs）ds]）(∵ 前一个术语是马丁·盖尔（martin gale，意为“小的”）≤ （EQξ[ej（2j-1） Rtg（Xs）ds]）。如果必要，通过选择较小的I，我们可以假设j（2j- 1)≤ 为所有人∈ I和j=0，1，m、 FOR 0≤ T≤ T和∈ 一、 我们有公式ξ[Zjt]≤ （式ξ[eRTg（Xs）ds]）。（A.10）因此∈ I和0≤ T≤ T、 期望值EQξ[Zjt]由常数（EQξ[eRTg（Xs）ds]）统一限定，该常数是一个由假设（a.1）确定的有限数。现在我们证明了等式ξ[Zjt]共收敛为1 as→ 0表示固定t∈ [0，T]。将勒贝格收敛定理应用于ej（2j）-1） Rtg（Xs）dsas→0.因为这是由期望值为有限的eRTg（Xs）Ds主导的，我们知道EQξ[ej（2j-1） Rtg（Xs）ds]收敛为1→ 0.因此1=EQξ[lim inf→0Zjt]≤ lim inf→0EQξ[Zjt]≤ lim sup→0EQξ[Zjt]≤ 林→0EQξ[ej（2j-1） Rtg（Xs）ds]=1。（A.11）这就完成了证明。第（II）步。我们给出了rbitr的等式（A.4）∈ 一、修复∈ I并选择一个足够小的0的开放区间J，使+J仍然在I中。为了利用等式（A.5），我们在区间J中引入另一个参数h。考虑四重o f函数（b+h，σ，r+h，f+h）和ξ与每个turbat离子参数h。这个四次倾斜的初始值满足命题A.1的假设，因为u+J是I的子集。因此，从步骤（I）的结果来看，我们知道，等式+hξ[（fη/φη）（X+hT）]在h=0时是可微的，并且h=0EQ+hξ[（fη/φη）（X+hT）]=EQξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsifork（X）=k（x）=Hh=0k+h（x）。这就得到了等式（A.4）。第（III）步。

证明了偏导数方程ξ[（fη/φη）（XT）]=EQξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsii在（η，）I上是连续的。在不丧失一般性的情况下，我们证明了原点（η，）=（0，0）的连续性。观察到等式ξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWsi=等式ξh（fη/φη）（XT）ZTk（Xs）dWs+ZT（k）l（Xs）ds兹提。为方便起见，deT：=ZTk（Xs）dWs+ZT（k）l（Xs）dsZTHT:=HT。我们想把它表示为（η，）→ （0,0），等式ξ[（fη/φη）（XT）HT]→ 公式ξ[（f/φ）（XT）HT]。由于等式ξ[ψq（XT）]是有限的，根据勒贝格占优的收敛定理，我们知道（fη/φη）（XT）在Lqasη中收敛到（f/φ）（XT）→ 0.因此，Ht如何转化为HTin LPA→ 0.通过显示tZTZTk（Xs）dWs可以获得这种收敛性→ZTk（Xs）dWs（A.12）ZTZT（kl（Xs）ds→ LPA中0（A.13）→ 我们证明了等式（A.12）。选择一个足够大的正偶数整数m，例如p++m<p。从广义Holder不等式中，可以看出→ 0ZTk（Xs）dWs→ZTk（Xs）dWsin Lp+andZT→ 1英寸。第二个Lm收敛性由等式获得。（A.9）以及→0EQξ[ZjT]=1，如式（A.11）所示，对于j=0，1，··，m。对于第一个Lp+-收敛，观察EqξhZT（k- k） （Xs）dWsp+i≤ cp+EQξhZT |k- k | p+（Xs）dsi其中cp+是来自David Bu rkholder-Gundy不等式的常数。从假设（A.2）出发，Lebesgue-dom-inated收敛定理saysEQξhZT | k- k | p+（Xs）dsi→ 0 as→ 0 .现在我们证明等式（A.13）。这足以证明ZTRT（kl）（Xs）ds i sunifor mly bound inon i in Lp。这是通过等式ξh实现的ZTZT（kl（Xs）ds圆周率≤ 公式ξhZpTZTg（Xs）ds圆周率≤等式ξ[Z2pT]1/2等式ξhZTg（Xs）ds2pi1/2.第一个期望公式ξ[Z2pT]在on I中通过常数一致有界（公式ξ[eRTg（Xs）ds]），方法与公式（A.1.0）相同。

第二个期望公式ξ[（RTg（Xs）ds）2p]是确定的，因为公式ξ[eRTg（Xs）ds]是通过假设（A.1）确定的。下面的命题表示，对于任何正常数p，eYTin时间T的期望的指数增长率保证了eYTin时间T的期望的Tp阶增长率。命题A.2。让（Yt）t≥0为非负随机过程，p为正常数。假设有正常数a和c，比如t>0，E[eYT]≤ 吃。然后存在一个正常数d，使得E[YpT]≤ 对于所有效率较大的T>0。证据必须表明lim支持→∞E[YpT]Tpis fine。确保信息的完整性。存在一个序列{Tn}∞n=1如此→ ∞和bn:=E[YpTn]Tpn→ ∞ 作为n→ ∞. 设^p为非负整数，使得^p<p≤ ^p+1。对于任何非负随机变量Y，我们知道e[eY]=∞Xj=0E[Yj]j！≥∞Xj=^p+1E[Yj]j！≥∞Xj=^p+1（E[Yp]）jpj=∞Xj=0（E[Yp]）jpj！-^pXj=0（E[Yp]）jpj！=e（e[Yp]）p-^pXj=0（E[Yp]）jpj！。这里，我们使用泰勒展开和詹森不等式。替换Y=YTn，因为E[YpTn]→ ∞ 作为n→ ∞ 指数增长率比多项式增长率快，因此E[eYTn]≥ e（e[YpTn]）p-^pXj=0（E[YpTn]）jpj！≥e（e[YpTn]）p=ebpntn对于足够大的n.根据这个假设，我们得到了≥ E[eYTn]≥这是一个矛盾，因为limn→∞bn=∞.证据现在我们证明定理4.8。通过位置A.1，直接得到了偏导数的存在性和连续性。根据公式（A.5），我有必要证明这一点→∞TEQξh（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWsi=0。由于等式ξ[eRTg（Xs）ds]的增长率小于或等于指数增长率，命题A.2说等式ξ[（RTg（Xs）ds）p]的增长率小于或等于Tp阶增长率。

因此，存在一个常数dp，它依赖于p，但不依赖于T，因此等式ξhZT | k |（Xs）ds圆周率P≤等式ξhZTg（Xs）ds圆周率P≤ dpt对于足够大的T.使用Holder不等式和Burkholder-Davidsgundy不等式，可以得出（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWs我≤T式ξ[（f/φ）q（XT）]Q等式ξhZTk（Xs）数据仓库圆周率P≤cqT式ξ[（f/φ）q（XT）]Q等式ξhZT | k |（Xs）ds圆周率P≤cqT式ξ[（f/φ）q（XT）]q（dpT）=cqdqT式ξ[（f/φ）q（XT）]Q→ 0（A.14）为T→ ∞ 因为等式ξ[（f/φ）q（XT）]在[0]上一致有界于T，∞). 这就完成了证明。定理4.10的证明。设cbe为正常数，使得等式ξ[eg（XT）]≤ cfor al l T≥ 0.用一个非常小的正数替换q，我们可以假设1<q≤ 2，常数p由1/p+1/q=1定义（因此，p≥ 2） 是一个偶数整数。对于固定的T>0，我们首先证明命题a.1的条件与这些常数p和q是一致的。由于等式（a.3）已被假定为成立，因此仍需对等式（a.1）和等式（a.2）进行验证。期望公式ξ[eTRTg（Xs）ds]在[0]上的T上是统一的，∞) 因为eqξ[eTRTg（Xs）ds]≤ 等式ξhTZTeg（Xs）dsi=TZTEQξ[eg（Xs）]ds≤ c、 （B.1）将/T替换为，等式（A.1）满足要求。对于等式（A.2），请注意，对于anyn∈ N使得2n>p+1，等式ξ[RTg2n（Xs）ds]的期望值是从等式ξhZT（g）N（Xs）dsi开始的≤ EQξhZTn！eg（Xs）dsi≤ T n！c、 因此，期望公式ξ[RTgp+1（Xs）ds]也是确定的。命题A.1的所有条件都满足。因此，部分导数EQξ[（fη/φη）（XT）]存在并在I上继续存在（η，）。此外，=0EQξ[（f/φ）（XT）]=EQξh（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWsi。现在，它仍然可以证明这一点=0EQξ[（f/φ）（XT）]=TEQξh（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWsi→ 0as T→ ∞. 从式（A.14）中，足以证明Eqξ[（RTg（Xs）ds）p]的增长率小于或等于Tpas T的数量级→ ∞. 重新调用p是一个正偶数整数。

使用eq.（B.1）和ineq≤ （p/2）！对于x>0，它遵循t hθhTZTg（Xt）dt圆周率≤ （p/2）！等式ξ[eTRTg（Xs）ds]≤ （p/2）！c、 这就得到了想要的结果。这是一个完整的证明。命题4的证明。本节提供了命题4.1的证明。定价运算符PinEq。（4.10）isPTf（x）=EPX=x[e-RTr（Xs）dsf（XT）]。通过PLampTF（ζ）=EPU=ζ[e]定义与Lampert i变换相关的算子PLampt-RTR（Us）dsF（UT）]。引理C.1。设β为实数，h为R上的正函数。下面的g语句是等价的这对（e）-βT，h）是PT的特征对，即PTh（x）=e-βTh（x），x∈ R.o这对（e）-βT，ho v）是PLampT的特征对，即PLampT（ho v）（ζ）=e-βT（h）o v）（ζ），ζ∈ R证据从pTh（x）=EPX=x[e]可以直接得到证明-RTr（Xs）dsh（XT）]=EPU=u（X）[e]-RTR（Us）ds（ho v（UT）]=PLampT（ho v）（ζ）和ζ=u（x）。证据我们现在展示命题4.12。“仅当”条件将得到证实。“if”条件可以用类似的方式表示，所以我们省略了它。假设四（b，σ，r，f）和ξ满足假设4.1-4.2。相应地定义X，P，M，Q，（λ，φ），。很容易检查四重（Δ，1，R，F）是否满足假设4.1。我们在4.2（即假设1.1-1.3和2.1-2.4）上显示了四倍（Δ，1，R，F）和ζ满足假设的th。假设1.1是满足的，因为等式（4.12）中定义的U是SDE（4.13）的强解，并且因为SDE（4.11）的强解X（因此，SDE（4.13）的强解U是唯一且无损失的。假设1.2和1.3是微不足道的。假设2。1.我们观察到这一对-λT，φo v）是LemmaC的PLampTby的eig en p air o。1.

由meq.（2.2）可知，相应的鞅过程是lampt:=Eλt-RtR（Us）ds（φo v）（Ut）（φo v）（ζ）=eλt-Rtr（Xs）ds（Xt）（ξ）=Mt，0≤ T≤ T由该鞅MLamp定义的循环本征测度QLamp满足QLampdPFT=MLampT=MT=dQdP因此，QLamp=Q。因此，假设2.1是令人满意的，因为X的重复意味着U的重复。假设2.2显然是满足的，因为r ecu当前的本征函数φo v是两次连续可微的。假设2.3和2.4直接从QLamp=Q中获得。通过引理C.1和上述论证，两个相应的循环特征值重合。D CIR建模。1 Hansen–Scheinkman分解首先，我们证明（b，σ，r，f）和ξ满足假设4.1-4.2（即假设1.1-1.3和2.1-2.4）。我们只证明了假设2.1-2.4；其他人都是微不足道的。可以证明一对（λ，φ（x））：=（θκ，e）-κx）是循环特征对，其中κ：=√a+2σ-aσ（Qin and Linetsky（2016）第6.1.1节）。这证明了假设2.1-2.2。考虑r ecu当前ei gen测量值Q。相应的Girsanov核为（Xt）=-σκ√xIsdxt=（θ）的Q-动力学-pa+2σXt）dt+σpXtdWt，X=ξ。（D.1）这里，W是Q-布朗运动。这个过程是一个RE参数化的CIR模型。众所周知，CIR模型具有不变分布，这意味着假设2.3。为了方便起见，我们定义b：=√a+2σ。为了说明假设2.4，考虑Q-密度函数l（x；t）of Xtl（x；t）：=hte-U-五、似曾相识q/2Iq（2）√uv），其中IQ是阶数q和HT=2bσ（1）的第一类的修正贝塞尔函数- E-bt），q=2θσ- 1，u=htξe-bt，v=htx。稍加改写后，我们发现l（x；t）=kthte-htxxq/2Iq（2hte-bt/2pξx）。（D.2）这里，kt=e-htξe-bt（ξe）-（英国电信）-q/2andIq（z）=（z/2）qπ1/2Γ（q+1/2）zπ（ez cos usin2qu）du≤π1/2（z/2）qezΓ（q+1/2）。

（D.3）对于大于0的大t，我们有l（x；t）≤ B e-htxxqe2ht√ξR对于函数f的正常数B.Toshow假设n 2.4，其增长率小于或等于多项式增长率，必须证明常数c>κ的公式（D.4），因为（f/φ）（x）=f（x）eκxis的增长率小于ecxas x的增长率→ ∞. 选择一个常数c，比如在κ=b处的th-aσ<c<2bσ。因为2bσ<ht，我们知道l（x；t）由Be（c）控制-2bσ）xxqe2h√ξx，在（0，∞) 我很确定。根据Lebesgue-domined收敛定理，可以得出eqξ[ecXt]=Z∞ecxl（x；t）ds→Z∞ecxl（十）；∞) dx=Zecxdν（x），（D.4）式中l（十）；∞) = 极限→∞l（x；t），等于Q下x的不变密度函数。有关C-IR模型密度的更多详细信息，请参见Benth和Karlsen（2005）第19页。综上所述，我们展示了第5节中定义的四倍f作用（b，σ，r，f）和初始值ξ。1.满足假设4。1 a n d 4.2。从现在起，在CIR模型的上下文中，符号X、P、L、M、Q、（λ、φ）、ν、ν是自解释的。D.2ξ的灵敏度在本节中，我们在公式（5.3）中显示了ξ的长期灵敏度。根据理论3。1，必须证明等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ中是连续可微的，并且ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0作为T→ ∞. 通过观察Q-密度函数，可以很容易地调整连续差异和向零的转换l（x；T）of XT。的确，limT→∞ξEQξ[（f/φ）（XT）]=li mT→∞ξZ∞（f/φ）（x）l（x；T）dx=limT→∞Z∞（f/φ）（x）l（x；T）ξdx=Z∞（f/φ）（x）极限→∞l（x；T）ξdx=0。（D.5）第二等式中的微分和积分的交换可以通过标准参数进行检查。对于最后一个等式，我们使用了下面的引理。引理D.1。勒特l（x；t）是式（D.2）中给出的x的Q-密度函数。那么，limt→∞l（x；t）ξ= 0 .证据

从Q-密度函数l（x；t）=e-htξe-bt（ξe）-（英国电信）-q/2hte-htxxq/2Iq（2hte-bt/2pξx），我们有l（x；t）ξ=- hte-英国电信-q2ξ+rxξhte-bt/2Iq-1（z）+Iq+1（z）Iq（z）l（x；t）（D.6），其中z=2hte-bt/2√ξx.这里，我们使用等式I′q（·）=（Iq-1（·）+Iq+1（·））。注意z→ 0作为t→ ∞ . q阶满足limz的改进贝塞尔函数→0Iq（z）（z/2）qΓ（q+1）=1，thuslimt→∞hte-bt/2Iq-1（z）+Iq+1（z）Iq（z）=limt→∞hte-bt/2（hte）-bt/2√ξx）q-1Γ（q）+（hte）-bt/2√ξx）q+1Γ（q+2）（hte）-bt/2√ξx）qΓ（q+1）=q√ξx.总之，我们有极限→∞l（x；t）ξ=0，从等式（D.6）中可以看出。D.3θ的敏感性在本节中，我们分析了CIR模型中θ的长期敏感性。如第5节等式（5.2）所述。1，参数θ可以看作一个摄动参数。im是用推论4.11来表示式（5.3）中θ的长期敏感性。定理4.8的假设将被检验，因为其他条件是可以证明的。回忆一下第4.1k（x）=θσp | x节中函数kand g的定义|-√a+2σp | x |，g（x）=σp | x |。（D.7）定理4.8中的条件（i）可以由下面的命题D.2证明。对于（ii）和（iii），我们设置p=q=2。设为正数，使<2θσ-1.通过等式（D.4）中相同的met h od a s，可以得出等式ξ[g2+（Xt）]=Eqξhσ√Xt2+i=Z∞σ√十、2+l（x；t）dx（D.8）在[0]上一致有界于t，∞). 因此，等式ξ[RTg2+（Xt）dt]对每一个ht都是有限的，这意味着t（ii）是满足的。对于（iii），我们把ψ=f/φ，因为f和φ与θ无关。使用公式（D.4）中的方法，我们发现公式ξ[（f/φ）（XT）]→Z（f/φ）（x）dν（x）as T→ ∞ 因为（f/φ）（x）的指数增长率是2（b）- a） x/σasx→ ∞.提案D.2。对于任何0<0的≤(σ-θσ），存在常数a和c，因此对于所有T>0EQξ[eRT（1/Xs）ds]≤ 吃。证据我们修改了Ahn和Gao（1999）附录C中的证明。

在<0的条件下，他们的预期评估了上述预期，而我们的证据在>0的条件下评估了预期。我们的证明分为几个步骤。（i） 设Y:=1/X。我们在R+×[0，t]上找到一个正函数V（Y，t），使得V（Yt，t）eRtYsds，0≤ T≤ 这是一个局部鞅，V（y，T）是一个常数，独立于y和T。（ii）表明f f（y，0）≤ 总工程师-γbt表示正常数c，γ，b。换句话说，函数V（y，0）的衰减速率小于或等于T.（iii）中的指数速率，因为V（y，T）ertysds是0的正局部变量≤ T≤ T、 这是一个巨大的挑战。因此，我们有-在≥ V（Y，0）≥ 等式ξ[V（YT，T）eRTYsds]≥ （常数）公式ξ[eRTYsds]，这是期望的结果。第（i）步。根据式（D.1），X的Q-动力学为dXt=（θ）- bXt）dt+σ√XTDWTWB=√a+2σ。定义Y:=1/X。It o公式yieldsdYt=（（σ）- θ） Yt+b）Ytdt- σY3/2tdWt。我们在R+×[0，t]上找到一个正函数V（y，t），使得V（Yt，t）eRtYsds，0≤ T≤ 这是一个局部鞅，V（y，T）是一个常数，与y和T无关。这样的函数V（y，T）满足vt+σxVxx+（（σ- θ） x+b）xVx+xV=0。（D.9）我们使Ansat z V（y，t）=f（x）xγ，其中x=a（t）/y.Vy=-a（t）f′（x）xγ+2-γa（t）f（x）xγ+1，Vyy=a（t）f′（x）xγ+4+2（γ+1）a（t）f′（x）γ+3+γ（γ+1）a（t）f（x）xγ+2，Vt=a′（t）a（t）f′（x）xγ+1+a′（t）a（t）γf（x）γ。然后等式（D.9）表示σa（t）xγ+1f′（x）+（a′（t）a（t）xγ+1- bxγ+1- (σ- θ） a（t）xγ+σ（γ+1）a（t）xγ）f′（x）+a′（t）a（t）γxγ- bγxγ+σγ（γ+1）a（t）xγ-1.- (σ- θ） γa（t）xγ-1+a（t）xγ-1.f（x）=0。假设a（t）和dγ满足a′（t）a（t）- b=a（t）σγ（γ+1）- (σ- θ） γ+=0（D.10），使上述方程变成σxf′（x）+（x+σγ+θ）f′（x）+γf（x）=0。我们定义了一个新变量z，使得x=-σz，并定义一个函数g asg（z）：=f（x）。然后zg′（z）+（κ- z） g′（z）- γg（z）=0，其中κ：=2（γ+θσ）。

众所周知，标准的反超几何函数f（x）=g（z）=M（γ，κ；z）是该方程的一个解。现在我们找到了V（y，t）的一个有效表达式。公式（D.10）yi elds a（t）=beb（t）-（t）-1对于0≤ T≤ T和γ=-θσ+r-θσ-2σ.因为假设0<，所以数字γ是实数≤(σ-θσ).我们知道tκ=2（γ+θσ）>0，通过使用cir过程中的Feller条件，t h at，γ<0。溶液V（y，t）isV（y，t）=f（x）xγ=g（z）-σzγ=σγM（γ，κ；z）(-z） γ=σγM（κ）- γ, κ; -z）(-z） γez（D.11），其中z=-2xσ=-2a（t）σy=-2bσ（eb（T）-（t）-1） 这里，我们使用等式M（γ，κ；z）=M（κ）- γ, κ; -z） 埃兹。现在我们证明了tV（y，t）是一个独立于y和t的常数→电视（y，t）=σγlimz→-∞M（κ）- γ, κ; -z）(-z） γez=σγ利木→∞M（κ）- γ, κ; u） uγe-u=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） Γ（γ）limu→∞uγe-乌兹乌斯κ-γ-1(1 - s） γ-1ds=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） Γ（γ）limu→∞uγZe-美国（1）- s） κ-γ-1sγ-1ds=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） Γ（γ）limu→∞祖伊-t（1）- t/u）κ-γ-1tγ-1dt=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） Γ（γ）Z∞E-ttγ-1dt=σγΓ(κ)Γ(κ - γ） γ函数在哪里。第（ii）步。现在我们证明了函数V（y，0）满足V（y，0）≤ 总工程师-γb对于一些与T有关的正常数，从式（D.11）中，我们知道v（y，0）=c（T；y）σ(1 - E-（bT）y2b-γe-γbtc（T；y）：=σγMκ - γ, κ;2bσ（ebT）- 1） yE-2bσ（ebT）-1） 观察c（T；x）i对于大T是一致有界的，因为limu→0M（κ）-γ、 κ，u）=1。这就得到了预期的结果。第（iii）步。因为V（Yt，t）ertysdsd是0的一个正的本地集市≤ T≤ T、 这是一部超级电影。因此，我们σγΓ(κ)Γ(κ - γ） 等式ξ[eRTYsds]=等式ξ[V（YT，T）eRTYsds]≤ V（Y，0）≤ 总工程师-γbT。这就完成了证明。D.4 a的敏感性本节分析了a在CIR模型驱动系数中的长期敏感性。参数a可被视为微扰参数。

目的是通过应用推论4，在等式（5.3）中显示a的长期灵敏度。11.只检查定理4.8的假设，因为其他条件很容易证明。回顾第4.1节中k和g的定义。根据eq.（D.7）中的函数k，我们定义了g（x）：=σp | x |，因此k（x）A.=ap | x |σ√a+2σ≤σp | x |=g（x）。对于定理4.8中的条件（i），有必要证明它是常数sc和d，因此等式ξ[eRTXsds]≤ c edT（D.12）适用于所有T。这一点在Wong and Heyde（200 6）中的pAge 6上的引理3.1中得到了证明。对于（ii）和（iii），我们设置p=q=2，并设=2。然后，它可以很容易地显示在期望值EQξ[g2+（Xt）]=σEQξ[Xt]（D.13）在[0]上一致有界，∞) 因为X是一个CIR过程。因此，等式ξ[RTg2+（Xt）dt]对于每个T都是有限的，这意味着（ii）。对于（iii），我们定义ψ（x）=f（x）ecx作为常数c，使得（b）- a） /σ<c<b/σ，然后等式（4.8）如下。利用式（D.4）中的方法，我们得到了条件（iii），因为ψ（x）的指数g值为2cx as x→ ∞.D.5σ的敏感性本节针对CIR模型中的变量σ进行敏感性分析。扩散项中的参数σ可视为微扰参数。通过第4.2.1节给出的La-mperti变换确定四重（δ，1，R，F）和ζ。设u（x）：=Rxσ√|y | dy=σ√xf或x>0，然后δ（u）=2θσ-U-au，R（u）=σu/4，F（u）=F（σu/4），ζ=σpξ。因为D.1节显示，四元（b，σ，r，f）和初始值ξ满足假设4.1-4.2，四元（δ，1，r，f）和ζ也满足假设4.1-4.2，建议4.12。符号U，Q，（λ，Φ）现在是自解释的。

递归特征函数和支付函数分别为Φ（u）=φ（σu/4）和F（u）=F（σu/4）。本节的目的是通过使用定理4.13来说明等式（5.3）中σi的长期敏感性。下面将讨论定理4.13中的条件（i）和（ii），并在命题D.4中证明条件（iii）。为了检查（i），观察λ=θ(√a+2σ- a） /σ和Φ（ζ）=φ（σζ/4）在变量σ中是可连续区分的，其建议见下文D.3给出的（i）。为了检验定理4.13中的（i），我们应用定理4.8。回顾第4节中k和g的定义。1和b=√a+2σ。我们定义k（u）=（2θσ-)U-bu和g（u）=C（u+u），对于足够大的ge C>0，使得|σk（u）|≤ C（u+u）=g（u）。注意这一点（Ut）≤ C（Xt+Xt）表示非常大的C>0。为了证明定理4.8中的指数条件（i），需要证明存在正常数a、c和，使得等式ξ[eRT（Xs+Xs）ds]≤ 对于所有T>0的情况，均为c。这可以通过结合命题D.2和等式（D.12）来说明。定理4.8的条件（ii）可以用p=2和0<<min{2θσ来证实- 1,2}将inEq中的方法结合起来。（D.8）和Eq。（草13）。为了检查定理4.8的（iii），选择一个实数C，例如（b- a） /4<c<b/4，定义ψ（u）：=ecu。对于足够大的u，F（u）/Φ（u）=F（σu/4）eκσu/4=F（σu/4）e（b-a） u/4≤ ψ（u）自多项式增长率的fis。利用式（D.4）中的方法，很容易证明期望式Eq[ψ（UT）]=Eq[e2cUT]=Eq[e8cσXT]在[0]上的T中是统一的，∞) 因为8c/σ<2b/σ。这证明了（iii）在q=2的情况下满足eorem 4.8的要求。下面的命题D.3有助于检查定理4.13中的（i）。参数σ是F/Φ、ζ和U的动力学中的一个变量。我们暂时使用一个新参数s来区分F/Φ中的参数σ和ζ与U的动力学中的参数σ。

定义η（s）=√a+2秒- as，πs（r）=e-η（s）r，πs（u）=πs（su/4），Gs（u）=f（su/4），q（s）=spξ，（D.14），因此等式ζ[（f/Φ）（UT）]=EQq（σ）[（Gσ/πσ）（UT）]。提案D.3。修正一个订单的实数σ。部分导数sEQq（s）[（Gs/πs）（UT）]存在于（s，σ）中且在（σ，σ）的邻域上是连续的。此外，我们有限制→∞Tss=σEQq（s）[（Gs/πs）（UT）]=0，对于σ邻域中的任何正数σ。证据证据将分几个步骤给出。（i） 定义一个过程Z=（Zt）t≥通过Zt=Zt（s）=sUt/4使eqq（s）[（Gs/πs）（UT）]=EQξ[（f/πs）（Zt）]。右手边更容易控制。（ii）证明偏导数sEQξ[（f/πs）（ZT）]存在且sEQξ[（f/πs）（ZT）]=Z∞f（z）sl（z；T，s）πs（z）dzfor（s，σ）near（σ，σ），其中l（z；t，s）是Zt的密度函数。然后，推导出该偏导数在（s，σ）的邻域（σ，σ）上是连续的。（iii）最后，我们展示了∞f（z）ss=σl（z；T，s）πs（z）dz转化为一个有限常数T→ ∞, 我给出了设计结果。第（i）步。定义一个过程Z=（Zt）t≥通过Zt=Zt（s）=sUt/4，因此t（Gs/πs）（UT）=（f/πs）（sUt/4）=（f/πs）（Zt）和Z=ξ。然后，EQq（s）[（Gs/πs）（UT）]=EQξ[（f/πs）（ZT）]。Ito formu la givesdZt=θsσ- bZtdt+spZtdWt，Z=ξ。值得注意的是，参数σ和s都是Z动力学中的s分量，但我们只对s的灵敏度感兴趣。过程Z的一个显著特性是初始值不受扰动。第（ii）步。过程Z是一个CIR过程，Zt的密度函数是l（z；t，s）=e-htξe-bt（ξe）-（英国电信）-q/2hte-htzzq/2Iq（2hte-bt/2pξz），（D.15），其中ht=2bs（1-E-bt），q=2θσ-IQ是ord er q初始类型的修正贝塞尔函数。

对于（s，σ）接近（σ，σ），我们将证明sEQξ[（f/πs）（ZT）]=sZ∞（f/πs）（z）l（z；T，s）dz=z∞f（z）sl（z；T，s）πs（z）dz。（D.16）为了证明微分和积分在第二等式中的易变性，必须显示（s，σ）在（σ，σ）附近以及所有z>0，f（z）sl（z；t，s）πs（z）≤ 总工程师-σ√a+2σz=：G（z）对于正常数C，因为函数G（z）在（0）上是可积的，∞). 让我们来估计函数| f（z）的实际值s(l（z；t，s）/πs（z））|增长为sz→ ∞ 通过观察f（z），πs（z）的生长情况，sπs（z），l（z；t，s），以及sl（z；t，s）=shtξe-英国电信l（z；t，s）-sl（z；t，s）+szhtl（z；t，s）-东南方-htξe-btξ(-q+1）/2e（q-1） bt/2hte-htzz（q+1）/2（Iq）-1+Iq+1）。给定σ>0和大t>0，对于σ附近的s，每项sl（z；t，s）我被一个l（z；t，s），zl（z；t，s），zqe-htz+2hte-bt/2√ξz，zq+1e-htz+2hte-bt/2√ξzup为常数倍数。我们使用了公式（D.3）中给出的IQ上限。从本质上讲，经济增长率主要由经济增长率决定-2BSZ因为2BS<ht。Thu s，增长率|s(l（z；t，s）/πs（z））|小于或等于e（η（s）-2bs）z.由于f（z）的增长率小于或等于多项式增长率，因此| f（z）的增长率s(l（z；t，s）/πs（z））|小于或等于e（η（s）-2bs）z.对于（s，σ）近（σ，σ），e（η（s）的指数-2bs）zsatis fiesη（s）-2bs=√a+2秒- 像-√a+2σs<-pa+2σ，（D.17），这是期望的不等式。由于式（D.1.6）成立，因此直接导出偏导数sEQq（s）[（Gs/πs）（UT）]=sEQξ[（f/πs）（ZT）]在（s，σ）中存在并在（σ，σ）的邻域上连续。第（iii）步。最后，我们证明了这一点∞f（z）ss=σl（z；T，s）πs（z）dz转化为一个有限常数T→ ∞.

这可以通过勒贝格支配的收敛定理和观察函数的实际情况来证明|s(l（z；t，s）/πs（z））|随着t的增长而增长→ ∞ 以与上述相同的方式。这就完成了证明。我们现在在定理4.13中证明（iii）。对于simpli city，我们在以下符号中省略了变量s，因此对于Eq（D.14）中定义的函数，π=πs，π=πs，G=Gs，q=q（s）。提案D.4。修正一个订单的实数σ。部分导数σEQq[（G/π）（UT）]在（s，σ）上是连续的，在（σ，σ）附近。证据我们只是勾勒出主要思想，因为证明与D.3提案相似。定义一个过程Z=（Zt）t≥通过Zt=sUt/4使EQq[（G/π）（UT）]=EQξ[（f/π）（Zt）]。考虑密度函数l = l式（D.15）中给出的Zt的（z；t）l（z；t）=e-htξe-bt（ξe）-（英国电信）-q/2hte-htzzq/2Iq（2hte-bt/2pξz），其中ht=2bs（1-E-bt）和q=2θσ- 1.对于（s，σ）nea r（σ，σ），我们将证明σEQξ[（f/π）（ZT）]=σZ∞（f/π）（z）l（z；T）dz=z∞（f/π）（z）σl（z；T）dz。（D.18）为了证明上述等式中微分和积分的互换性，必须证明（s，σ）接近（σ，σ）且所有z>0，（f/π）（z）σl（z；t）≤ 总工程师-σ√a+2σz=：G（z）对于正常数C，因为函数G（z）在（0）上是可积的，∞).考虑（f/π）（z）的增长率σl（z；t）。给定σ>0和大t>0，对于snearσ，每项σl（z；t）由以下因素之一主导：l（z；t），zl（z；t），ln（z）l（z；t），zq/2e-htz+2hte-bt/2√ξz，zq+1e-htz+2hte-bt/2√ξz（D.19）直到常数倍数。在计算σl（z；t），我们使用等式（D.3）中给出的上边界和等式qIq（z）=Iq（z）ln（z/2）+Γ′（q+1/2）Γ（q+1/2）Iq（z）+zπ（ez cos usine2qu ln（sinu））du。让x=sinu代表u∈ [0 , π]. 那么对于x∈ [0，1]很容易确定xqln x的范围是[-1/（量化宽松），0]。

因此-πqez-1.≤Zπ（ez cos usin2qu ln（sinu））du≤ 0 .式（D.19）中每项的增长率基本上由e决定-2bshup多项式倍数。因此，|（f/π）（z）的增长率σl（z；t）| i小于或等于e（η（s）-2bs）由于f（z）的增长率小于或等于多项式增长率，因此zup t o多项式倍数。从公式（D.17）中的论证中，我们得到了期望的结果。由于式（D.18）中含有s，因此直接推导出偏导数σEQq[（G/π）（UT）]=σEQξ[（f/π）（ZT）]在（s，σ）的（σ，σ）邻域上是连续的。E二次项结构模型E。1 Hansen–Scheinkman分解首先，观察（b，σ，r，f）和ξ满足假设4.1-4.2（即假设1.1-1.3和2.1-2.4）。假设1.1和2.1-2.3可以从秦和莱恩茨基（20 16）的第6.2节中得到证实，其他条件是临时的。符号X，P，L，M，Q，（λ，φ），ν，ν是自解释的。recurrenteigenpair在等式中给出。(5.4). X isdXt=（b）的Q-动力学- au+（B）- 2aV）Xt）dt+σdwt这里W是Q-布朗运动。E.2ξ的敏感性我们想要确定预期Pt相对于初始值ξ的长期敏感性。其目的是展示极限→∞ξln pT=ξφ(ξ)φ(ξ)= -U- 2Vξ通过应用命题3.2。第一个变化过程Y由dYt=（B）给出- 2aV）Y=Id的Ytdt，其中idi是d×d Id实体matr ix。它遵循等式ξ[|YT | | |]=|YT | e（B-2aV）T | |。因为B的所有特征值- 2aV有负实部，因此等式ξ[| | YT | |]i在[0]上一致有界于T，∞).这就给出了预期结果t.E.3 bWe的灵敏度，并对漂移系数b=（b，b，··，bd）的预期Pt进行了灵敏度分析. Fix i=1,2，·，d。参数bican被视为摄动参数。

目标是通过应用Coro llary 4.11 limT来显示这一点→∞T比尔恩角=-λ毕。假设4.6很容易从等式中确定。（5.4）以及f是有界支撑的有界函数这一事实。Wenow ap ly定理4.8。回顾第4.1节中k和g的定义。定义（x）=σ-1b- σu+（σ）-1B- 2σV）x（E.1），并设g（x）=C是足够大的C>0的常数函数，使得|比克（x）|≤ |(σ-1） i |<C=g（x），对于i=1，2，·，d，其中（σ-1） 是σ的i-th列-1.因为g是一个常数函数，定理4.8的（i）和（ii）三次满足p=q=2。我们现在考虑定理4.8的（iii）。作为两个变量（x，bi）的函数，我们把函数φ（x）写成φ（x，bi）。由于f有边界支持，我们选择一个紧集K，使得supp（f） K.为了一个开放的社区 R=0，defineibi:={bi+R∈ R:R∈ 一} 。由于φ是两个变量（x，bi）中的正连续函数，倒数1/φ在比较集K×Ibi上有一个正最大值。我们定义：=ma x（x，z）∈K×Ibiφ（x，z），ψ（x）：=Mf（x）。（E.2）那么等式（4.8）是满足的。有了这个函数ψ，很容易检查（i ii），因为ef是一个有界函数，而supp（f） K.E.4 BWe的敏感性调查预期Pt对矩阵B=（Bij）1的长期敏感性≤i、 j≤d、 参数Bijc可被视为扰动参数。我们的目标是展示这种极限→∞TBijln pT=-λ比杰比·阿普利·恩戈罗·拉里4.11。对于Theo rem 4.3中的条件（i），有必要检查V（因此，u）在Bij中是否可以继续区分。这里，矩阵和向量的连续差异意味着所有成分都是连续的。V的连续微分来自Su n（2002）第240页的等式（2.5）和Sun（1998）的定理3.1。

定理4.3中的条件（i）很容易检查，因为f是有界支撑的有界函数。现在我们应用定理4.10。回顾第4.1节中k和g的定义。根据式（E.1），因为V和u在Bij中是连续可微分的，所以存在足够大的常数C比克（x）≤ c+c | x |=：g（x）。为了检验定理4.10中的条件（i），必须证明存在正，使得等式ξ[e| XT |]在[0]上的T上一致有界，∞ ). 考虑XT的密度函数，它是一个多变量正态随机变量。WehaveEQξ[e| XT |]=p（2π）ddet∑TZRde|z|-（z）-uT）Σ-1T（z）-uT）dz，其中uTand∑分别是XT的mea n向量和协方差矩阵。观察指数| z|-（z）- uT）Σ-1T（z）- 被积函数的uT）。在回归本征测度Q下，由于假设2.3得到满足，分布转化为不变分布，这是一个非退化的多变量正态分布。设∑∞是不变分布的协方差矩阵。选择小于∑的最小特征值-1.∞, 然后，上述积分收敛为常数T→ ∞, 这意味着条件（i）。定理4.10中的条件（ii）也可以通过等式（E.2）中的方法进行检查。E.5σ的敏感性本节研究预期Pt对波动率矩阵σ=（σij）1的敏感性≤i、 j≤d、 假设在com p act支持下，TF是连续不同的。可以看出limT→∞Tσiln pT=-λσIb使用REM 4.3和4.1.6。因为其他条件很容易证明，所以我们只检查托雷斯4.16的假设。相应的变化过程Z=（Zt）t≥0由DZT=（B）给出- 2aV）Ztdt+σdWt。因此，等式ξ[|ZT |]收敛为T→ ∞ 因为过程Z是anOrnstein-Uh-lenbeck（OU）过程，B的所有特征值- 2aV具有负相关部分。

这就得到了预期的结果。对于3/2模型，本节的目的是证明第6节中讨论的敏感性。2.对于ξ的灵敏度，公式（6.3）通过显示limT获得→∞ξln qT=φ′（ξ）φ（ξ）=-lξ-式中，qt是式（6.1）中的期望值。倒数Y:=1/X满意度=（a+σ）(l + 1) - θYt）dt- σpytdwt是一个CIR模型，因此我们可以使用第D.2节的结果。通过定理3.1，可以证明期望值EQξ[（f/φ）（XT）]=EQξ[Y-αβ-lT] 在ξ和该极限中持续不同→∞ξEQξ[（f/φ）（XT）]=limT→∞ξEQξ[Y-αβ-lT] =0。这可以通过式（D.5）中的方法证明。对于θ的灵敏度，将使用定理4.8中的公式4.11来说明→∞Tθln pT=-λθ= - l. 我们只展示定理4.8的条件，因为其他条件很容易检查。从k（x）=θσ√十、-（aσ+σ）l)√x、 wede fine g（x）：=σ√x、 条件（i）表明si n ce 1/x是一个CIR过程。考虑（ii）q=1+的nD（iii）对于足够小的>0。注意任何n∈ N、 期望方程ξ[（1/XT）N]收敛到常数a→ ∞ 因为1/X是一个循环过程。这证明了定理4.8中的（ii）。对于（iii），由于f和φ依赖于参数θ，我们将ψ（x）定义为f（x）/φ（x）。对于非常小的正数，很容易证明期望值EQξ[ψ1+（XT）]=EQξ[X（1+）（αβ）+l)T] 转换为T→ ∞ 通过考虑CIR过程1/X的密度函数，对于a的灵敏度，目标是通过使用推论4.11和Theo-rem 4.8证明等式（6.4）。我们只检查定理4.3中的条件（ii），因为这些条件很容易证明。定义Y:=1/X，因此Y是一个CIR过程。设（y；t）为Yt的密度函数。我们通常使用新的参数b来区分f/φf中的参数a和X漂移中的参数a。

定义lb:=r+bσ+ αβ(β - 1) -+bσ, πb（x）：=x-l那么la=l πa（x）=x-l= 常数φ（x）l 在等式（6.2）中。首先，我们要说明的是，偏导数存在bEQξ[（f/πb）（XT）]，并且bEQξ[（f/πb）（XT）]=EQξ[b（f/πb）（XT）]。通过将支配函数G定义为G（x）=cxαβ，从定理G.1中得到证明+l+1+cxαβ+l-1对于足够大的Constantsc和csinceb（f/πb）（x）=lBbxαβ+lbln x≤ cxαβ+l+1+cxαβ+l-a的一个小开邻域中所有b的1=g（x）。期望方程ξ[g（XT）]=cEQξ[Y-αβ-l-1t]+cEQξ[Y-αβ-l+1t]是指σ+1-αβ>0，因为密度h（y，t）的增长率由e控制-2θσyas y→ ∞ 主要由y2aσ+2决定l+1asy→ 0+. 点的连续性两个变量（b，a）中的bEQξ[（f/πb）（XT）]可以从h（y；T）的joint连续性和等式中得到bEQξ[（f/πb）（XT）]=EQξhb（f/πb）（XT）i=lBbEQξ[Xαβ+lbTln XT]=-lBbEQξ[Y-αβ-lbTln YT]=-lBbZ∞h（y；T）y-αβ-l布莱尼·迪。很容易检查等式ξ[g（XT）]是否收敛于T→ ∞, 由此得出等式（4.3）。对于σ的灵敏度，考虑四倍（δ，1，R，F）和由第4.2.1节中的Lamperti变换确定的初始值ζ。定义u（x）=σ√当x>0时，我们得到δ（u）=2aσ+2l +U-θu，R（u）=2αβ（1）- β） u，F（u）=（σu/2）-2αβ, ζ =σ√ξ.根据命题4.12，四重（δ，1，R，F）和ζ满足假设4.1和4。因为四重（b，σ，r，f）和初始值ξ也满足它们。我们可以用定理4.13来表示等式（6.5）。条件s（i）和（iii）可以用命题d.3和d.4中的方法来表示，当σ+1时，条件（ii）可以用定理4.8来表示- αβ>0通过应用与本节中a.G Payoff函数扰动灵敏度分析中使用的相同方法，我们对部分推导感兴趣期望值的E[h（X）]。

差异离子与期望离子的互换性是本文的一个重要内容。下面的定理是一个众所周知的事实，值得注意的是，当初始值ξi不是pertur bed时，该定理可用于检查定理4.3中的条件（ii）。定理G.1。设X是一个随机变量l e，l e t h（X）是I×R上两个变量（，X）的一个函数，其中I是一个0的开放N e。假设[h（X）]<∞ 对于每一个i，h（x）在on i中对于每一个x是连续可微的。假设存在一个正函数，称为衰减函数，使得E[g（x）]<∞ 和h（x）≤ g（x）在I×Rd上。然后，期望E[h（x）]在I上是连续可微的，并且E[h（X）]=Ehh（X）i.参考董贤安和高斌。术语结构动力学的参数非线性模型。《金融研究回顾》，12（4）：721-7621999。大卫·鲁伊斯·巴诺斯、蒂洛·迈耶·布兰迪斯、弗拉克·诺伯特·普罗斯克和辛德雷迪达尔。不带导数的计算。《金融与随机》，21（2）：509–5492017。吕克·雷·贝莱特。Ma-rkov过程的遍历性质。在开放量子系统中，第1-39页。斯普林格，2006年。埃里克·本哈莫。选择imal Malliavin加权函数进行希腊语的计算。数学金融，13（1）：37-532003。Fred E spen Benth和Kenneth Hvistendahl Ka rlsen。随机波动市场中最小熵马尔廷格尔测度密度的偏微分方程表示。《随机s：概率与随机过程国际期刊》，77（2）：109–137，2005年。雅罗斯拉夫·博罗维奇、拉尔斯·彼得·汉森、马克·亨德里克斯和何塞·谢因克曼。风险价格动态。《金融计量经济学杂志》，9（1）：3-652011。雅罗斯拉夫·博罗维奇卡、拉尔斯·彼得·汉森和何塞·谢因克曼。冲击弹性和脉冲响应。

数学与金融经济学，8（4）：333–3542014。帕特里克·卡蒂奥。马尔可夫过程的长时间行为。《以赛姆：会议录》，第44卷，第110-128页。EDP科学，2014年。陈楠和保罗·格拉瑟曼。Malliavin G没有Mal liavin演算。随机过程及其应用，117（11）：1689–17232007。马克·H·A·戴维斯和马丁·P·约翰逊。马利·阿文·蒙特卡洛：希腊跳伞爱好者。随机过程及其应用，116（1）：101–1292006。朱利亚·迪努诺、伯恩特·卡斯滕·克森达尔和弗兰克·普罗斯克。Malliav i n Calculus for Levy Process and Applications to Finance，第2卷。斯普林格，2009年。尤瑟夫·艾尔卡特·伊布和尼古拉斯·普里瓦特。通过Mall iavin微积分计算市场中的价格。《金融与随机》，8（2）：161–179，2004年。埃里克·福尼埃、让·米奇·埃尔·拉斯利、杰罗姆·勒布楚克斯、皮埃尔·路易斯·狮子和尼扎尔·图齐。Malliavin演算在金融蒙特卡罗方法中的应用。《金融与随机》，3（4）：391-4121999。Emmanuel Gobet和R\'emi Munos。利用It^o-Malliavin演算和鞅进行灵敏度分析，并应用于随机最优控制。《控制与优化杂志》，43（5）：1676-17132005。拉尔斯·彼得·汉森。随机经济中的动态估值分解。《计量经济学》，80（3）：911–967，2012年。拉尔斯·彼得·哈恩·森和何塞·申克曼。长期风险：运营商方法。《计量经济学》，77（1）：177-234，2009年。拉尔斯·彼得·汉森和何塞·申克曼。定价增长风险。《金融与随机》，16（1）：2012年1月至15日。Ioannis Karatzas和S teven E.S hreve。布朗运动与随机微积分，第13卷。斯普林格，1991年。Tim Leung和Ronnie Sircar。杠杆ETF期权的隐含波动性。《应用数学金融》，22（2）：162–188，2015年。肖恩·P·梅恩和理查德·L·特威德。

马尔可夫过程的稳定性III：共连续时间过程的Foster-Lyapunov准则。《应用可能性的进展》，2 5（3）：518–5481993。大卫·努阿拉特。Mallia v i n微积分和相关主题。斯普林格，2006年。罗斯·G·平斯基。《正调和函数与扩散》，第45卷。剑桥大学出版社，1995年。秦丽娟和瓦迪姆·莱恩茨基。马尔可夫定价算子的正特征函数：Hansen-Scheinkman因子分解、Ross恢复和长期定价。歌剧研究，64（1）：99–117，2016年。孙继光。代数Riccati方程的微扰理论。《暹罗期刊矩阵分析与应用》，19（1）：39–651998。孙继光。Frobeniunsorm中代数Riccati方程的条件数。《线性代数及其应用》，350（1）：237–2612002。伯纳德·王和C.C·海德。随机波动模型中测度的变化。《国际随机分析杂志》，2006年。张俊飞、李寿梅和宋仁明。一般马尔可夫过程的拟平稳性和拟平稳性。科学中国数学，57（10）：2013-20242014。