长期现金流量的敏感性分析

2022-5-9 11:42:23

玄彬公园长期现金流量的敏感性分析*本文对长期现金流进行了敏感性分析。时间为零时现金流的价格由马尔可夫微分的定价算子根据现金流函数给出。我们研究了潜在马尔可夫扩散的小扰动对现金流价格的影响程度。主要工具是Hansen–Scheinkman分解，这是一种用定价算子的特征值和特征函数来表示现金流的方法。通过结合Fourni’e等人（1999）开发的技术，长期现金流的敏感性可以通过特征值和特征函数的简单表达式来表示。1.引言1。1长期敏感性在定量金融中，我们通常以以下形式评估预期：=EPξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]（1.1）其中EPξ是期望，r和df是可测函数，X=（XT）t≥0是一个基本的随机过程，X=ξ。许多财务数量，如期权价格和预期效用，以上述形式表示。本文研究了大T的期望对基本过程X的扰动的敏感性。具有Killing速率r的过程X*hyungbin@snu.ackr先生，hyungbin2015@g邮政昏迷定价操作员。我们证明了长期敏感性可以用定价算子的特征值和eig en函数的简单表达式来表示。我们的分析揭示了模型对现金流长期风险和表现的影响。我们从四重函数（b，σ，r，f）和向量ξ开始∈ Rd，满足以下假设1.1-1.3。

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2022-5-9 11:42:27

（在本文中，术语“假设”用于说明这篇论文的前提。术语“条件”用于命题、定理和推论的假设。）让(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是具有d维布朗运动B=（Bt）t的过滤概率空间≥0=（B1，t，·，Bd，t）T≥0.过滤（Ft）t≥0是由Br ownian运动B生成的通常已完成的过滤。假设1.1。b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd×dbe连续函数和ξ∈ 矩阵σ是可逆的。假设随机微分方程（SDE）dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ（1.2）有唯一的强解X，且解是非爆炸的。在本文中，函数b=（b，··，bd）表示为d维列向量。众所周知，过程X是一个d维保守马氏扩散过程。假设1.2。函数r:Rd→ 这是一个连续函数。假设1.3。函数f:Rd→ R是非负的、非零的和可测量的。本文主要进行了两种敏感性分析。初始值敏感度，称为增量，定义为ξpT。delta的长期行为对我们至关重要。当四重le（b，σ，r，f）和ξ满足假设1.1-1.3并允许Hansen-Scheinkman分解（假设2.1-2.4）时，我们将观察到对PTI的预期是渐进的 E-λTφ（ξ）具有常数λ和正函数φ。这里，对于两个正态函数pta和qTof T，无态函数pta qt意味着lim it limT→∞PTQT转换为正常数。因此，我们可以预测TH的长期渐近行为是什么ξln pT=ξpTpTξφ(ξ)φ(ξ). （1.3）第二类敏感性分析包括漂移敏感性和扩散敏感性，分别称为rho和vega。

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2022-5-9 11:42:30

第4节给出了rho和vega的精确定义。考虑一个扰动的四元函数（b，σ，r，f）和一个满足假设4.1-4的初值ξ。第4节中的2。这里，是微扰参数。扰动的底层过程和每扰动的期望用X=（Xt）t表示≥0和pT:=EPξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]，（1.4）。我们想确定一个长期的行为=0pT。通过汉森-申克曼分解，可以观察到pT E-λTφ（ξ），具有常数λ和正函数φ。当T很大时，因为e-λT消除了我们可以预期的扰动量子pT=0pT -T e-λTφ（ξ）=0λ+e-λT=0φ(ξ) .因此，简单的关系=0ln pT==0pTT pT -=0λ（1.5）得到。本文的主要目的是以数学上严格的方式，在等式（1.3）和等式（1.5）中证明这些长期关系。我们采用Fourni’e等人（1999）的方法，他们使用Malliavin演算进行灵敏度分析。（有关Malliavin微积分的主题，请参考Nualart（2006）和Di N u no等人（2009）不幸的是，Fourni’e等人（1999）开发的方法不能应用于公式ξ[e]的泛函-RTr（Xs）dsf（XT）]，这是我们感兴趣的形式。他们的方法（用于计算delta和vega）仅适用于形式为epξ[f（Xt，Xt，···，Xtm）]的严格监控泛函，其中过程X在终端时间T之前被评估了一定次数。然而，在我们的例子中，公式（1.1）中的预期pTin涉及术语e-RTr（Xs）ds，它依赖于（Xs）0的整个路径≤s≤T.Hansen–S cheinkman分解在克服这个问题方面很有用，因为装饰位置将路径依赖的泛函转换为离散监控泛函。

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2022-5-9 11:42:34

因此，通过使用Hansen–Scheinkman分解，Fourni’e等人（1999）开发的方法可以成功地应用于我们的案例。本文的其余部分结构如下。相关文献见第1.2节。我们将在第2节中解释Hansen–Scheinkman分解。第3节研究了初始值的长期敏感性，并对等式（1.3）进行了调整。第4节论证了d裂谷和扩散项的长期敏感性，得出了Eq.（1.5）。第5节和第6节给出了示例，最后一节总结了本文。附录中给出了主要结果的证明和示例的细节。1.2许多作者研究了相关文献对期望值的敏感性分析。Fourni’e等人（1999年）研究了套期保值的期权价格敏感性。他们利用Malliavin演算提出了一种数值计算灵敏度的原始概率方法。Benhamou（2003年）利用Fourni’e等人（1999年）提出的Malliavin加权函数来研究希腊人的一种有效计算方法，并推导出总方差最小的加权函数。El Khatib和Privault（2004）利用Malliavin演算计算了希腊人，他们的联合过程具有泊松跳变时间和随机跳变大小。Gobet和Munos（2005）分析了预期成本的敏感性，并得出了可使用蒙特卡罗模拟进行评估的敏感性的预期形式。为此，他们采用了三种方法：Malliavin演算方法、伴随方法和鞅方法。Davis和Johansson（20 06）研究了Levy过程的teMalli-avin微积分，并推导了某类跳跃扩散过程的Malliavin权重。

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2022-5-9 11:42:37

Chen和Glasserman（2007）推导出了d-i-fusion模型中期权的MonteCarl o估值器，阐明了Malliavin估值器与似然比方法之间的联系。Hansen（2012年）、Hansen和Scheinkman（2009年）以及Hansen和Scheinkman（2012年）通过发展Hansen–Scheinkman分解来研究风险的长期行为，以揭示长期风险回报交易效应。我们现在简要比较了Boroviˇcka等人（2011年）和Hansen和Scheinkman（2012年）的相关结果，他们利用敏感性分析来描述和揭示随机贴现因子中编码的风险价格动态。通过探索冲击敞口弹性和冲击价格弹性，他们测量了冲击对现金流随机贴现因子预期的影响。它们还展示了这些弹性的状态依赖性。本文从两个方面对Bor oviˇcka等人（2011）和Hansen and Scheinkman（201 2）进行了区分：乘法函数形式和微扰形式。在他们的研究中，一种更为普遍的随机统计因子或现金流形式，称为乘法函数，被称为Stu Die。最常用的多功能函数之一isMt=eRtk（Xs）ds+Rtv（Xs）dBs，t≥ 0（1.6）表示两个函数k和v。然而，在当前的论文中，我们将乘法函数限制为e的形式-式（1.1）中给出了RTr（Xs）Ds。事实上，上面常用的乘法函数可以简化为这个简单的函数，后面会显示出来。另一个目的是，它们的微扰形式不同于本文中m的微扰。

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2022-5-9 11:42:40

LetHT:=eRTκ（Xs）ds+RTα（Xs）dBs，T≥ 0 .这里，κ（·）和α（·）是定义扰动方向的函数。分别通过qT:=EP[MTHT]和ρT:=EP[MTHT]EP[GTMTHT]确定扰动现金流和扰动预期收益。这里，随机变量GT是一个贴现因子。他们研究的主要目的之一是研究敏感性=0ln qTand=0lnρt用于经济解释。冲击弹性（x，T）（见Boroviˇcka等人（2011）中的方程式（12））是=0ln q并反映了瞬时dt上扰动的灵敏度。它的长期b eh aviorlimT→∞（x，T）是本文中delta计算的对应项。从Boroviˇcka等人（20 11）第13页结果2.2的讨论中可以明显看出，长期冲击弹性与本文定理3.1一致。Boroviˇcka等人（2014年）提出了一种更直接的计算冲击弹性的方法。他们没有提供一个长期的分析=0lnρT。可以用f将量q和ρT简化为等式（1.4）中的形式≡ 1如果过程X是公式（1.2）给出的一个差分，如果多功能是公式（1.6）中定义的最常见形式M。用Girsanov核（v+α）（XT）定义一个度量Q。然后qT=EP[MTHT]=EP[eRT（k+κ）（Xs）ds+RT（v+κα）（Xs）dBs]=EQ[eRT（k+κ+v+α|）（Xs）ds]。该方程h解释了从物理度量P到风险度量Q的变化。X的Q-动力学isdXt=（b+σ（v+α））（Xt）dt+σ（Xt）dW与Q-布朗运动W。

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2022-5-9 11:42:45

为了方便起见，让Q:=Qand W:=W.定义一个过程^Xt=（b+σ（v+α））（^Xt）dt+σ（^Xt）dWt的解。然后是（^Xt）t的Q分布≥0与（Xt）t的Q分布相同≥因此qT=EQ[eRT（k+κ+v+α|）（Xs）ds]=EQ[eRT（k+κ+| v+α|）（Xs）ds]。这里，|·|是常见的多维欧几里得范数。通过定义r：=-（k+κ+|v+α|），我们得到qT=EQ[e]-RTr（^Xs）ds]，这是带有f的pt形式≡ 式（1.4）中的1。类似地，量ρtca也可以表示为形式为pT.2的两个期望s的比率。Hansen–Scheinkman分解我们从四个函数（b，σ，r，f）a n dξ开始∈ 第1.1-1.3条。在本节中，假设2.1-2.4被重新考虑，以便能够使用Hansen–Scheinkma n分解。重述(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是具有d维布朗运动B的过滤概率空间。过滤（Ft）t≥0由布朗运动B生成。我们定义了一个定价算子P byPTf（x）=EPx[e-RTr（Xs）dsf（XT）]。式（1.1）中的期望值表示为pT=PTf（ξ）。对于正可测函数nφ和实数λ，使得ptφ（x）=e-λTφ（x）对于T>0，x∈ Rd，（2.1）过程mφt:=eλt-Rtr（Xs）dsφ（Xt）φ（ξ），0≤ T≤ T（2.2）是一个正鞅。每个Ft上的测量值Qφ由A的Qφ[A]=EPξ[IAMφT]定义∈ FTis称之为关于φ的本征测度。这一定义适用于所有T≥ 0，因为EPξ[IAMφt]=EPξ[IAMφt]f或任何A∈ Ftand 0≤ T≤ T.假设2.1。对于实数λ和正可测函数φ，存在一对（λ，φ）满足式（2.1）的过程X在本征测度Qφ下重现。在这种情况下，贴现系数e-RTr（Xt）数据可以写为ase-RTr（Xs）ds=MφTe-λTφ（ξ）φ（XT）。这个表达式被称为Hansen–Sche i nkman分解。

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2022-5-9 11:42:49

我们说（λ，φ），λ，φ和Qφ分别是递归特征对，递归eige nvalue，递归InteigenFunction和递归特征度量。一般来说，可能不存在复发性enteigenpair。然而，根据假设2.1，本文假设函数（b，σ，r，f）和ξ的四重∈ RDR有一个r ecu当前特征对。有几项研究探讨了循环特征对的存在，例如，Hansen a n d Scheinkman（2009）第9节和Qin and Linetsky（2016）第5节。众所周知，如果存在循环本征对（λ，φ），则循环本征对是唯一的（Hansen和S cheinkman（2009）中的建议7.2，以及Qi n和Linetsky（2016）中的定理3.1）。因此，我们分别使用M和Q来代替Mφ和Qφ。这些符号并不令人困惑，因为本文始终适用于递归特征对，且递归特征对（λ，φ）是唯一的。我们用定价算子P的特征向量来逼近Hansen–Scheinkman分解。分解也可以用过程的最小生成元的特征向量来逼近。关于发电机方法，参见Hansen和Scheinkman（2009）中的6.1号提案。此外，许多作者已将汉森-舍因克曼分解用于一类一般过程（秦和林特·斯凯（2016）第2节）。然而，我们仅将Hansen–Scheinkman减压术应用于马尔可夫扩散病例。下一个假设涉及递归特征函数的正则性条件。第145页的Theo rem 3.1和理论3中有几个条件。Pinsky（1995）第14.8页中的第3条，保证了这种规律性条件。假设2.2。循环本征函数φ是两次连续可微的。这个假设有两个含义。首先，递归特征对（λ，φ）是一个二阶偏微分算子的特征对。

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2022-5-9 11:42:54

定义运算符L byL=dXi，j=1aijxixj+dXi=1bixi- r、式中a=σ. 这个算子L可以理解为具有杀伤率r的X的生成元o。将伊藤公式应用于等式（2.2），我们得到了dmtmt=（Lφ+λ）（Xt）φ（Xt）dt+(φ)（Xt）φ（Xt）σ（Xt）dBt，（2.3）式中φ是φ的d×1梯度向量。因为M是一个鞅，差分dMthas的dt-t项等于零。因此，对（λ，φ）满足Lφ=-λφ是过程X分布的支撑，这意味着（λ，φ）是二阶部分微分算子的本征对-L.其次，上述假设意味着，在循环度量Q下，过程X仍然是一个马尔科夫扩散过程。定义一个向量值函数φ：=σφ/φ ; 然后，根据Eq。（2.3），Mt=eRt~n（Xs）星展银行-Rt|||（Xs）ds，0≤ T≤ T根据g irsanov定理，过程定义为WT:=Bt-Zt~n（Xs）ds，0≤ T≤ T（2.4）是Q-布朗运动。过程（ψ（Xt））t≥0是cha n ge i n度量的Girsanov核。因此，我们得到ndXt=（b（Xt）+σ（Xt）~n（Xt））dt+σ（Xt）dWt，0≤ T≤ T，（2.5），代表了Mar-kov扩散过程X在循环特征测度Q下的动力学。我们假设X的Q分布有一个更强的条件。假设2.3。过程X在循环特征测度Q下有一个变分布nν。这个特征测度在Hansen和Scheinkman（200 9）中被称为随机稳定测度。值得注意的是，不变分布与初始值X=ξ无关。关于不变分布的存在性，参见Pinsky（1995）第185页的定理9.5，以及Zhang等人（2014）的引理2.1和定理3.1。假设2.4是关于函数f的ν-遍历性的。有几个条件可以保证下面的ν-遍历性条件。Lapproach可在Cattiaux（2014）的第3.2节中找到。

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2022-5-9 11:42:58

Lyapunov准则可以在Meyn and Tweedie（1993）和Thero em 8中找到。7在Bellet（2006）第33页上。假设2.4。函数f是ν-遍历的，即f满足ξ[（f/φ）（XT）]→Z（f/φ）dνas T→ ∞,极限是一个有限的正数。假设2.1-2.4具有重要意义。使用递归测度Q，它遵循t hatpT=EPξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]=φ（ξ）e-λTEPξ[MT（f/φ）（XT）]=φ（ξ）e-λTEQξ[（f/φ）（XT）]。期望值ptt可以写成aspT=φ（ξ）e-λTEQξ[（f/φ）（XT）]。（2.6）因为公式ξ[（f/φ）（XT）]收敛到一个有限的正常数，即T→ ∞, 我们得到了等式极限→∞Tln pT=-λ，这意味着PTI的长期行为由复发率值决定。公式（2.6）对灵敏度分析非常有用。预期以相对更易管理的方式表达。术语EQξ[（f/φ）（XT）]取决于最终值XT，而EPξ[e]-RTr（Xs）dsf（XT）]依赖于（Xs）0的整个路径≤s≤T.如果已知XT的Q分布，则可以直接分析项EQξ[（f/φ）（XT）]。这一优势使研究现金流的长期敏感性变得更加容易。总之，f或任何给定的四元函数（b，σ，r，f）和初值ξ∈ 在满足假设1.1-1.3和2.1-2.4的情况下，我们构造了过程X、映射算子P、生成器L、鞅M、递归特征测度Q、递归特征对（λ，φ）、Girsanov核和不变分布ν。这些物体的符号X，P，L，M，Q，（λ，φ），ν，ν经常出现在本文的其余部分。为了方便起见，我们简单地说四重（b，σ，r，f）和初始值ξ决定了这些对象。

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2022-5-9 11:43:01

然而，在过程X不受r影响的意义上，一些因素是非常复杂的，并且这些对象都不受初始值的f.3敏感性的影响。本节讨论初始值敏感性，称为δ，定义为ξpT。我们对delt a的长期行为感兴趣。对于满足假设1.1-1.3和2.1-2.4的任意给定四重函数（b，σ，r，f）和ξ，旋转sx，P，L，M，Q，（λ，φ），ν，ν是可选的f-解释。下面的零符号0也被用来表示零向量，没有歧义。定理3.1。设（b，σ，r，f）和ξ分别是满足假设1.1-1.3和2的四重函数和初始值。1 - 2.4. 如果等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ中是连续的，且如果ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0作为T→ ∞, 特林姆→∞ξln pT=ξφφ(ξ).证据函数φ（ξ）和方程ξ[（f/φ）（XT）]在ξ中是连续可微的。从式（2.6）中，链式规则表示ln pti在ξ中是可微分的，并且ξln pT=ξpTpT=ξφφ(ξ)+ξEQξ[（f/φ）（XT）]EQξ[（f/φ）（XT）]。因为ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0和等式ξ[（f/φ）（XT）]收敛到一个有限的正整数，即T→ ∞, 我们得到了预期的结果。接下来，我们找到一个充分条件，使得等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ和ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0作为T→ ∞. 为此，我们使用Fourni’e等人（1999）第3.2节的结果。假设函数b+σφ和σ与有界导数连续微分。让Y=（Yt）t≥0是由DYT=（b+σ~n）′（Xt）Ytdt+dXi=1σ′i（Xt）YtdWi，t，Y=Id定义的第一个变化过程，其中σi是σ的第i列向量，idi是d×d单位矩阵。对于多值函数g=（g，g，·，gd）在列向量形式中，导数g′被定义为d×d矩阵，例如第i行的th为吉福i=1，2，·，d。

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mingdashike22

2022-5-9 11:43:05

我们还假设扩散矩阵b+σ~n满足单一椭圆度条件，即存在>0，从而（b+σа）（x）（b+σа）（x）y≥ | y |对于任何x，y∈ Rd.用| |·| |表示矩阵2-范数。提议3.2。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数的四倍和初始值，满足假设1.1-1.3和2.1-2.4。假设函数b+σ~n和σ是连续可微分的有界导数，且b+σ~n满足一致椭圆度条件。如果存在正常数p≥ 2和q，其中1/p+1/q=1，在公式ξ[| |σ]处-1（XT）YT | | p]和等式ξ[（f/φ）q（XT）]在[0]上一致有界于T，∞), 那么等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ和ξEQξ[（f/φ）（XT）]→ 0作为T→ ∞.证据根据Fourni’e等人（1999）的命题3.2，可以得出等式ξ[（f/φ）（XT）]在ξ和ξEQξ[（f/φ）（XT）]=TEQξh（f/φ）（XT）ZT（σ）-1（Xs）Ys）dWsi。（3.1）这一等式在他们的论文中得到了证明，p=q=2。然而，他们的证明对于任何正p≥ 如果我们替换三个条件s，则用1/p+1/q=1替换2和q。替换φ∈ l从第400页第1行第5行，带f/φ∈ Lq；第400页第19行中的n（x）=E[··]和n（x）=E[··]q；第400页第25行中的ψ=E[··]和ψ=E[··]p.偏导数ξEQξ[（f/φ）（XT）]在ξ中是连续的，因为第401页第一行紧集上的收敛是一致的。因为等式ξ[| |σ-1（XT）YT | | p]在[0，∞), 我们可以写出qξ[| |σ-1（XT）YT | | p]≤ 对于正常数c。

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mingdashike22

2022-5-9 11:43:09

通过Holder不等式，Burkholder Davis Gundy in equality和Jensen不等式，它允许ξEQξ[（f/φ）（XT）]≤T式ξ[（f/φ）q（XT）]Q等式ξhZT（σ）-1（Xs）Ys）dWs圆周率P≤cpT式ξ[（f/φ）q（XT）]Q等式ξhZT | |σ-1（Xs）Ys|ds圆周率P≤cpT+p式ξ[（f/φ）q（XT）]Q公式ξhZT | |σ-1（Xs）Ys | | pdsip=cpT+p式ξ[（f/φ）q（XT）]QZTEQξ[| |σ-1（Xs）Ys|p]dsP≤CPT式ξ[（f/φ）q（XT）]对于正常数cpin，Burkhold-er-Davis-Gundy等式。B ecauseqξ[（f/φ）q（XT）]在[0]上的T上一致有界，∞), 我们得到了预期的结果。备注3.3。在Fourni’e等人（1999年）中，等式（3.1）对X的动力学系数具有更强的条件。函数b+σ~n和σ与有界导数连续可差，b+σ~n满足一致性条件。最近，巴诺斯等人（2017年）放宽了这些条件。漂移系数b+σа的形式可以是b+σа=аb（x）+b（x），对于аb有界且可测量，以及b Lipschitz con-nuous，且在x中最多为线性增长。然而，他们的结果要求扩散项为σ（x）≡ 1.4漂移和扩散项的敏感性现在我调查了基础过程的漂移和扩散项的敏感性。考虑以下扰动函数。变量e可以理解为一个摄动参数。假设4.1。设b（x）、σ（x）、r（x）、f（x）是I×rd上的两个变量（，x）的函数，对于一个0的邻域I，对于每一个x，它们在I和b（x）=b（x），σ（x）=σ（x），r（x）=r（x），f（x）=f（x）中是连续的。Le tξ是I上变量的连续可微函数，且ξ=ξ。假设4.2。每一个∈ 一、四重函数（b，σ，r，f）和面积数ξ满足假设1.1-1。3和2.1-2。4.根据这些假设，符号X，P，L，M，Q，（λ，φ），，ν是自解释的。

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2022-5-9 11:43:12

例如，SDEdXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ（4.1）具有唯一的强解X，且该解是非爆炸性的。值得注意的是，假设4.2保证了四重（b，σ，r，f）和ξ也满足假设1.1-1.3和2.1-2.4，因为0在I中。我们对扰动的量子位pT:=EPξ[e]感兴趣-RTr（Xs）dsf（XT）]（4.2）及其敏感性的长期行为=0pT。关于漂移项和扩散项的灵敏度分别称为rho和vega。更准确地说，rho值（分别为vega值）定义为=0pt当pert u rbed函数的四倍为（b，σ，r，f）（分别为（b，σ，r，f））且初始值ξ不受扰动时。使用公式（2.6），可以用相对更易于管理的方式来表达期望值aspT=e-λTφ（ξ）EQξ[（f/φ）（XT）]。现在我们将链式法则应用于这个等式。定理4.3。设（b，σ，r，f）和ξ分别是四个函数和一个初始值，满足假设4.1-4.2。假设以下条件ho l d.（i）λ和φ（ξ）在on i.（ii）中作为两个变量（η，）的函数连续可微∈ 一、偏导数ηEQξη[（fη/φη）（XT）]在I上存在并连续，而且limT→∞Tηη=0EQξη[（fη/φη）（XT）]=0。（4.3）（iii）作为两个变量（η，）的函数∈ 一、偏导数EQξη[（fη/φη）（XT）]在I上存在且连续，而且limT→∞T=0EQξ[（f/φ）（XT）]=0。然后，扰动量ln p在=0和t时是可微分的=0ln pT==0pTT pT=-=0λ+=0φ（ξ）Tφ（ξ）+=0EQξ[（f/φ）（XT）]T EQξ[（f/φ）（XT）]+=0EQξ[（f/φ）（XT）]T EQξ[（f/φ）（XT）]。（4.4）进一步的，有限的→∞T=0ln pT=-=0λ. （4.5）证据。

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2022-5-9 11:43:15

将pTas视为四个变量（，，，，）在定义的PT（，，，）上的函数：=e-λTφ（ξ）EQξ[（f/φ）（XT）]因此T pT=PT（，，，）。链式法则给出了ln p的可微性和等式（4.4）中的质量。考虑到等式ξ[（f/φ）（XT）]收敛到一个正常数T→ ∞ 根据假设2.4，条件（i）-（iii）和等式（4.4）推导出等式（4.5）。备注4.4。在上述定理中，我们观察到条件（i）-（iii）控制等式（4.4）中的四项。条件（i）控制第一项和第二项。条件（ii）和（iii）分别控制第三个任期和最后一个任期。备注4.5。定理4.3中的条件（ii）和（iii）保证期望等式ξη[（fη/φη）（XT）]在I上的（η，）中连续可差。因此，我们可以应用链式规则。现在我们将注意力转移到定理4.3中的条件（i）-（ii）。在条件（i）中，在许多财务上有意义的情况下，λ和φ（ξ）这两个函数在条件（i）中持续存在差异。在条件（ii）中，偏导数ηEQξη[（fη/φη）（XT）]通常不容易评估。然而，如果初始值ξ不受扰动（如rho和织女星的情况），则这一部分是自激的ηEQξ[（fη/φη）（XT）]可以通过将导数和积分相互转换的顺序方式进行计算（定理G.1）。条件（i）和（ii）可以逐个检查，因此我们在这里不做进一步的详细说明。假设4.6。定理4.3中的条件（i）和（ii）成立。本文的主要贡献之一是研究OREM 4.3中的条件（i ii），即ich控制等式（4.4）中的最后一项。只有最后一点与基本过程的扰动有关。我们研究了（iii）的充分条件，以实现等式（4.5）规定的长期渐近行为。

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2022-5-9 11:43:18

关于漂移b（·）和波动率σ（·）的每turbat离子的差异和收敛到零并非微不足道。第4.1节和第4.2节分别讨论了它们的敏感性。备注4.7。如果X的Q-分布未知，则灵敏度的解释公式=0ln ptca可以从等式（4.4）中推导出来。然而，表达式是复杂的。4.1本节对m的位移扰动进行了灵敏度分析。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数和初始值的一个偶合，满足假设4.1-4.2。（扩散矩阵σ和初始值ξ不受扰动。）rho的评估包含在扰动表中。我们强调，符号x、P、L、M、Q、（λ、φ）、、ν是直接的。扰动过程X由式（4.1）给出，dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ。定义k：=σ-1b+和k:=k.H，σ-1是σ的逆矩阵。假设φ（x）和φ（x）（t hus，k（x））在每个x上都是连续不同的。我们定义了k（x）：==0k（x），k（x）：=k（x）。（4.6）鉴于上述扰动，本节的主要目的是为定理4.3中的（iii）找到一个充分条件。我们将证明这一点=0EQξ[（f/φ）（XT）]=EQξh（f/φ）（XT）ZTk（Xs）dWsi，这也在命题3.1 Fourni’e等人（1999）中陈述。然而，由于严格的假设，这种假设对许多财务模型都没有用处。在他们的工作中，扰动是线性的，形式为b=b+b，函数b是有界的。此外，扩散矩阵σ满足均匀椭圆度条件，支付函数满足公式ξ[（f/φ）（·）]<∞. 我们概括了附录A中命题A.1的结果。

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2022-5-9 11:43:23

我们的推广不需要线性摄动、b上的有界条件或σ上的一致椭圆条件。许多财务模型，包括本文中的例子，都是基于广义条件，而不是inFourni’e等人（1999）假设的原始条件。我们现在严格地陈述了定理4.3中（iii）的一个充分条件。关于下列定理的证明，请参见附录A f。定理4.8。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数s的四元组和初始值，满足假设4.1-4.2。假设φ（x）和φ（x）（因此，k（x））对于每个x在I上是连续可微的，并且存在函数g，ψ：Rd→ R如此k（x）≤ g（x），（4.7）|f（x）/φ（x）|≤ ψ（x）（4.8）表示I×Rd中的（，x）。假设下列条件成立。（i）存在正常数sa，c和，使得对于所有T>0EQξ[eRTg（Xs）ds]≤ 吃。另外，假设存在正常数p≥ 2和q，其中1/p+1/q=1满足以下条件。（ii）对于每个T>0，都有一个正n数，使得等式ξ[RTgp+（Xt）dt]是有限的。（iii）作为T的函数，期望方程ξ[ψq（XT）]一致有界于[0，∞).然后，偏导数EQξ[（fη/φη）（XT）]在I上的（η，）中存在并且是连续的→∞T=0EQξ[（f/φ）（XT）]=0。（4.9）这些假设的影响如下。首先，（i）和（ii）涉及控制扰动增长率的函数g（x）的生长率k（x）：（i）意味着eRTg（Xs）dS的期望值可以随着T指数增加→ ∞, （ii）意味着atRTgp+（Xt）dt有一个最终的预期。第二，（i ii）控制函数f：因为等式（4.8）成立，（f/φ）q（XT）i的期望一致地约束在i×0上的（，T）中，∞).

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2022-5-9 11:43:26

第三，条件1/p+1/q=1意味着，如果g满足一个stro n ger条件（如果（ii）适用于较大的条件），则需要ψ的较弱条件（q在（iii）中可以较小）。最后，这个定理符合Fourni’e等人（1999）的命题3.1。备注4.9。值得注意的是，假设2.4可以由假设2导出。3.用定理4.8中的（iii）来表示。证据如下。设^f:=f/φ≥ 如果^f是有界的，那么假设2.4是微不足道的，因为过程X在Q下有一个变量分布。如果^f是无界的，那么必须证明liml→∞公式ξ[^f（XT）I^f（XT）≥五十] =0在T中均匀分布。这是由公式ξ[^f（XT）I^f（XT）得到的≥L]≤ 方程ξh^f（XT）^fq-1（XT）Lq-1i≤等式ξ[^fq（XT）]Lq-1因为期望公式ξ[^fq（XT）]在[0]上一致有界，∞).我们现在考虑定理4.8的一个变量。理论4中的条件（i）和（ii）。8替换为定理4.10中的前提条件（i）。有关证据，请参见附录B。附录E.4中使用了定理4.10来估计水原模型的rho。定理4.10。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数的四倍和初始值，满足假设4.1-4.2。假设φ（x）和φ（x）（因此，k（x））对于每个x在I上是连续可微的，并且存在函数g，ψ：Rd→ R满足式（4.7）和式（4.8）。支持以下条件。（i）存在一个正常数，使得等式ξ[eg（XT）]在[0]上一致有界于T，∞).（ii）存在一个常数q>1，使得等式ξ[ψq（XT）]在[0]上一致有界，∞) .然后，偏导数EQξ[（fη/φη）（XT）]在I上的（η，）中存在并且是连续的。此外，式（4.9）成立。由于上述两个定理保证了定理4.3中的条件（iii），我们得到了以下公式。推论4.11。

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mingdashike22

2022-5-9 11:43:30

设（b，σ，r，f）和ξ分别是满足假设4.1，4.2和4.6的一组函数和初始值。然后，我们得到。（4.5）限制→∞T=0ln pT=-=0λ，如果定理4.8或4.10的假设满足。4.2 Vega4。2.1单变量过程的Lamperti变换本节对单变量基础过程进行敏感性分析。设（b，σ，r，f）和ξ分别是函数的四倍和初始值，满足假设4.1-4.2。函数b、σ、r、f是单变量特斯拉函数，ξ是标量。初始值ξ不是pertur bed。在本节中，我们假设函数σ（x）在I×Rd上的（，x）中是两次连续可微的。符号x、P、L、M、Q、（λ、φ）、ν、ν（4.10）是自解释的。扰动过程X由dxt=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ给出。（4.11）织女星的评估包含在m的微扰中。该部分的主要思想是利用兰帕蒂变换。固定任意实数c和deneu（x）：=Zxcσ（y）dy，Ut:=U（xt），ζ：=Zξcσ（y）dy，ζ：=ζ。（4.12）过程U=（Ut）t≥0满足度dut=Δ（Ut）dt+dBt，U=ζ，（4.13），其中Δ：=（bσ）-σ′) ov。在这里，没有人会说话o 表示函数的组合，函数v是u的逆函数。值得注意的是，v在I上是连续可微的，因为σ（x）在I×Rd上的两个变量（，x）是连续可微的→ U被称为兰帕提变换。Lamperti变换是有用的，因为它将扰动扩散项转化为常数1，并将扰动转化为漂移项和初始值。如式（4.13）所示，过程U的微分项不受干扰。因此，我们可以利用第3节和第4.1节中的结果。

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可人4

2022-5-9 11:43:33

定义：=ro v和F：=Fo v。扰动期望pTis表示为spT=EPX=ξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]=EPU=ζ[e]-RTR（Us）dsF（UT）]。（4.14）通过上述Lamperti变换，我们得到了四重函数（Δ，1，R，F）和初值ζ。这里，1代表恒常函数，恒常函数等于1。以下建议涉及假设4.1-4.2。参见p pendix C以获取证据。提案4.12。在函数（b，σ，r，f）和实数ξ的质量下。假设函数σ（x）在I×Rd上的（，x）中是两次连续可微的。四个e（b，σ，r，f）和ξ满足假设4.1-4.2，如果且仅当Lamperti变换定义的四个e（Δ，1，r，f）和ζ，d满足假设4.1-4.2。在这种情况下，递归eige n值和递归特征测度在Lamperti变换下是不存在的。假设4.1-4.2和命题4。12假设qu-aduple（Δ，1，R，F）和ζ也满足假设4.1-4.2。符号su、PLamp、LLamp、MLamp、Q、（λ、Φ）、νLamp、νLamp很简单。这些目标将在附录C中使用。值得注意的是，递归特征函数满足Φ=Φo v。使用Hansen–Scheinkman分解，期望pTin等式（4.14）被写成aspT=Φ（ζ）e-λTEQU=ζ[（F/）（UT）]。第4.2.1节的主要目的是介绍定理4.13。这个定理可以用定理4.3和推论4.11很容易证明，所以我们省略了这个定理。在eorem 4.13中，我们强调初始值ζ在条件（ii）中不受扰动，而在条件（iii）中，初始值ζη受扰动。定理4.13。设（b，σ，r，f）和ξ是函数和实数的四倍，分别满足假设4.1-4.2。

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2022-5-9 11:43:36

假设σ（x）上的函数在i×Rd上的（，x）中是两个连续可微的。通过Lampe rti变换定义四个函数（Δ，1，R，F）和ζ（因此，4.12上的建议i满足了假设4.1-4.2）。假设下列条件成立。（i）四元组（Δ，1，R，F）和ζ满足4.6的假设。（ii）四（Δ，1，R，F）和ζ满足任一定理m4的假设。8或4.10。（因此EQU=ζ[（fη/φη）（UT）]存在于（η，）的偏导数中且是连续的EQU=ζη[（fη/φη）（UT）]在I上的（η，）是连续的。那么，p在=0时是可微的，并且偏导数的长期行为是有限的→∞T=0ln pT=-=0λ.在Lamperti变换中，可以选择等式（4.12）中的任意实数c作为参考点。作为特殊情况，如果我们把c=ξ，那么ζ=0表示所有的∈ I.由于初始值U=ζ=0是不正确的，因此理论4中的条件（iii）。13是由（ii）保证的自动化。推论4.14。如果公式（4.12）中的Lampe rti变换中的c=ξ，则可以省略定理4.13中的条件（iii）。4.2.2 Fournie et al.方法与约束微分系数本节介绍了Fournie et al.（1999）开发的方法如何应用于分析长期vega值。设（b，σ，r，f）和ξ是函数的一个等式，是满足假设4.1，4.2和4.6的初始值，其线性摄动形式为σ：=σ+σ。在本节中，假设Fourni’e et al.（1999）h olds中的hy pothesis，即函数sb、σ和σ与有界导数连续可微。扰动过程X满足dxt=b（Xt）dt+（σ+σ）（Xt）dWt。（4.15）我们在理论4.3中找到了（iii）的充分条件。

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2022-5-9 11:43:40

定理4.3中的条件（iii）表明偏导数EQξ[（fη/φη）（XT）]在I上的（η，）中存在并连续，此外，limT→∞T=0EQξ[（f/φ）（XT）]=0。观察到Q的pert u rbati引起漂移扰动，X的-扰动引起等式（4.15）中的扩散扰动。弗罗梅克。（2.5）XisdXt的Q-动力学=（b+（σ+σ）t）dt+（σ+σ）（Xt）dWt。受此表达式的激励，我们定义了一个过程Xρ，具有两个参数ρ和ρbyd^Xρ，νt=（b+（σ+ρ）ρρρ）（σ+ρ，νt）dt+（710 Xρ，ν）dt）dt+Xρ，其中σdW 4是布朗子。X的Q分布等于X的Q分布，因此EQξ[（fη/φη）（Xt）]=EQξ[（fη/φη）（^X，t）]。应用cha-in规则，可以得出∈ 我EQξ[（fη/φη）（XT）]=ρρ=EQξ[（fη/φη）（^Xρ，T）]+ν在假设两个偏导数ρEQξ[（fη/φη）（^Xρ，νT）]和νEQξ[（fη/φη）（^Xρ，νT）]（4.18）在I上的（ρ，ν）中存在并连续。因此，我们得到了以下命题，可以使用EQ.（4.17）和T h E链规则直接证明。提案4.15。设（b，σ，r，f）和ξ是函数的四倍，初始值满足假设4.1，4.2，4.6，且σ具有σ=σ+σ的线性扰动。定理4.3中的条件（iii）保持s，如果等式（4.18）中的两个部分导数在（η，ρ，ν）和iflimT上是连续的→∞Tρρ=0EQξ[（f/φ）（^Xρ，0T）]=0，（4.19）limT→∞Tνν=0EQξ[（f/φ）（^X0，νT）]=0。（4.20）我们现在讨论我们对该提案的三个假设的方法。在第一个假设中，两方导数的连续差异一般不容易检查；然而，如果已知^Xρ，ν的Q-密度函数，则可以很容易地逐个检查，我们将在后面的例子中看到。

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2022-5-9 11:43:45

在第二个假设中，Eq。（4.19），只有漂移受到干扰，因为等式（4.16）中的ν=0。因此，可以使用第4.1节中介绍的方法检查等式（4.19）。我们在此不再讨论前两个假设。在本节的其余部分中，我们将重心转移到一个假设，公式（4.20），其中只有扩散项受到干扰，因为公式（4.16）中的ρ=0。我们的目的是找到一个有效条件，使等式（4.20）成立。为了方便起见，我们定义了^Xν：=^X0，ν和^XT:=^XT。^Xνisd^Xνt=（b+σν）（^Xνt）dt+（σ+νσ）（^Xνt）dWt的Q-动力学，t≥ 0 .假设b+σφ和f/φ与有界导数连续可微。定义一个变化过程Z bydZt=（b+σ^Xt）Ztdt+σ（^Xt）dBt+dXi=1σ′i（^Xt）ZtdBi，t，Z=0d。这里，σi是σ的第i列向量，而0d是d维零列向量。Fourni\'e等人（1999年）的赞成立场3.3表示，等式ξ[（f/φ）（^XνT）]在ν中是可微的，并且νν=0EQξ[（f/φ）（^XνT）]=EQξ[（f/φ）（^XT）ZT]。根据这些观察，我们得到了以下定理。定理4.16。设（b，σ，r，f）和ξ是函数的四倍，是满足假设4.1，4.2和4.6的初始值，且σ具有线性扰动形式σ=σ+σ。假设函数b、σ、σ、b+σа和f/φ连续可与有界导数微分。在I上，等式ξ[（f/φ）（^XνT）]是可微的。此外，如果等式ξ[|ZT |]→ 0作为T→ ∞, 那么等式（4.20）成立。证据很简单，因为等式ξ[（f/φ）（^XT）ZT]≤ M EQξ[|ZT |]，其中f/φ的导数以常数M>0为界。备注4.17。在我们的分析中，delt a和rho/vega的敏感性之间存在两个主要差异。首先，对于delta，我们探索零阶增长率极限→∞ξln pT=ξφφ（ξ），这是定理3.1中的g i ven。

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2022-5-9 11:43:49

对于rho/v ega，我们确定了一阶增长率→∞T=0ln pT=-=0λ，如式（4.5）所示。其次，根据特征函数确定长期增量ξφφ(ξ). 然而，长期rho/vega是根据特征值确定的-=0λ。5个期权价格示例5。1 CIR模型我们对期权价格进行敏感性分析，其基础过程是Cox-Ingersoll-Ross（CIR）短期风险模型。设P为风险中性度量。定义函数s（b，σ，r，f）的四倍和初始值ξ，如下所示。Letb（x）=θ- ax，σ（x）=σp |x |，r（x）=x，设f:r→ R是一个非负、非零的连续函数，其增长率小于或等于多项式增长率e。固定一个正初始值ξ>0。这里，参数a和σ是正常数，2θ>σ，因此，对于参数的小扰动，原始短期过程和扰动过程都严格保持正。短期利率是SDEdXt=（θ）的解- aXt）dt+σp | Xt | dBt，X=ξ。（5.1）正如Yamada Wa tanabe（Karatza s和Shreve（1991）第291页提案n 2.1 3）所证明的那样，该SDE具有独特的强解。到期时的期权价格为f（XT），由式（1.1）给出，pT=EPξ[e-RTr（Xs）dsf（XT）]。关于参数θ、a、σ、ξ的灵敏度对我们来说很重要。参数θ、a、σ、ξ也可以视为扰动参数。例如，考虑θ的摄动。式（5.1）中的每涡轮漂移为b（x）=（θ+）- 而其他函数σ、r、f和初值ξa-renot都受到了扰动。设pt为对应于等式（4.2）定义的该-扰动的期望值。很明显，ddθln pT=dd=0ln pT，（5.2），因此，我们可以将dθ本身视为微扰参数。

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2022-5-9 11:43:52

通过这种方法，其他参数也可以理解为微扰参数。四重函数（b，σ，r，f）和初始值ξ满足假设4.1-4.2。循环本征对为（λ，φ（x））：=（θκ，e）-κx）其中κ：=√a+2σ-aσ。利用这个特征对（λ，φ），长期期权价格对参数θ，a，σ，ξ的灵敏度是有限的→∞ξln pT=φ′（ξ）φ（ξ）=-√a+2σ- a、limT→∞Tθln pT=-λθ= -√a+2σ- a、limT→∞Taln pT=-λa=θ(√a+2σ- a） σ√a+2σ，limT→∞Tσln pT=-λσ=θ(√a+2σ- a） σ√a+2σ。（5.3）有关CIR模型敏感性的更多详细信息，请参见附录ix D.5.2二次模型。我们研究期权价格的敏感性，其基本过程是二次期限结构模型给出的短期利率。本节基于秦和林茨基（20 16）中的第6.2节。设P为风险中性度量。定义四个函数（b，σ，r，f）和一个初始值ξ，如下所示。Letb（x）=b+Bx，σ（x）=σ，其中b=（bi）1≤我≤dis a d-dimensio n al列向量，B=（Bij）1≤i、 j≤dis a d×d矩阵，σ=（σij）1≤i、 j≤这是一个非单d×d矩阵。由此得出a:=σ是严格的正定义。短期利率函数r由r（x）=β+hα，xi+hΓx，xi给出，其中常数β、向量α和对称正定义是指短期利率r（x）为非负f或所有x∈ 让f:Rd→ R是一个非负的，非零的，有界的，有界支撑的函数。固定初始值ξ∈ 基本过程X是一个d维的Ornstein-Uhlenbeck过程，它满足SDEdXt=（b+BXt）dt+σdBt，X=ξ。我们分析了等式（1.1）中给出的期权价格对基础过程x中参数b、b、σ和ξ的扰动的敏感性。如等式中所述。（5.2），这些参数可视为扰动参数。

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2022-5-9 11:43:57

四重函数（b，σ，r，f）和初始值ξ满足4.1-4.2的要求。循环本征对为（λ，φ（x））=（β）-Uau+tr（aV）+ub，e-胡，xi-hV x，xi），（5.4），其中V是稳定解决方案，定义为2V aV的唯一解决方案- B五、-V B- Γ=0使得B的所有特征值- 2aV有负实部，u:=（2va-B)-1（2vb+α）。通过使用等式（5.4）中的本征对，我们得到了长期灵敏度极限→∞ξln pT=-U- 2Vξ，limT→∞T比尔恩角=-λ我是limT→∞TBijln pT=-λ比杰1≤ i、 j≤ d、如果f在紧支撑下是连续可微的，那么我们有limt→∞Tσiln pT=-λσi.更多细节见附录x。6个预期u-tile6的例子。1赫斯顿模型该部门对holdin g Anaset的预期效用进行敏感性分析。在物理量L下，假设资产S=（St）t≥0遵循赫斯顿模型，dSt=uStdt+√vtStdZSt，dvt=（γ- βvt）dt+δp | vt | dZvt，其中zs和zv是与hZSt相关的L-布朗运动，Zvtit=ρt-1.≤ ρ ≤ 1.设参数为u、γ、β、δ>0和2γ>δ。对于0<α<1，我们考虑了形式为u（c）=cα的幂效用函数。预期效用的长期敏感性t:=EL[u（ST）]=EL[Sαt]=EL[eαRT√VSDZ-αrtvsd]eαuTSα是我们感兴趣的。赫斯顿模型和上述预期不符合本文的基本框架（假设1.1和等式（1.1））。我们对设置进行操作，以确定基本框架，如下所示。定义FTbydPdL上的度量值PFT=eαRT√VSDZ-αRTvsdsso表示期望值为aspT=EP[e-α(1-α） RTvsds]eαuTSα。根据Girsanov定理，v isdvt=（γ）的P-动力学- (β - αρδ）vt）dt+δ√vtdBtwith a P-布朗运动B.通过Xt=α（1）定义过程X-α） vt。

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2022-5-9 11:44:00

因此，X i是一个满足DXT的CIR模型=α(1 - α)γ - (β - αρδ）Xtdt+δp2α（1- α） p | Xt | dBt，X=α（1- α） v.我们定义ξ：=α（1）- α） vand qT:=EPξ[e-RTXsds]。然后pT=qTeαuTSα。在结论中，x的F的q u A对α(1 - α)γ - (β - αρδ）x，δp2α（1）- α） p | x |，x，1初始值ξsat是本文的基本框架。这里，1是一个常数函数，它等于1。第5.1节分析了QT对大T的敏感性。新参数θ=α（1- α） γ，a=β-ραδ和σ=δp2α（1- α），进程x i表示为dxt=（θ- aXt）dt+σp | Xt | dBt，X=ξ，等于式（5.1）。利用第5.1节的结果和链式法则，我们得到以下灵敏度。对于S和V的漂移项灵敏度，我们有Limt→∞Tuln pT=α，limT→∞Tγln pT=limT→∞Tγln qT=limT→∞Tθln qTθγ=α(1 - α）极限→∞Tθln qT=-α(1 - α)√a+2σ- aσ=-α(1 - α） p（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραΔδ，limT→∞Tβln pT=limT→∞Tβln qT=limT→∞Taln qTA.β=极限→∞Taln qT=θ(√a+2σ- a） σ√a+2σ=p（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραΔδp（β- ραδ)+ δα(1 - α).对于S和v的波动性项敏感性，可以表明→∞Tδln pT=-ραp（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραΔδp（β- ραδ)+ δα(1 - α） +（p（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραδ）δp（β- ραδ)+ δα(1 - α），limT→∞Tρln pT=-αp（β- ραδ)+ δα(1 - α) - αβ+ραΔδp（β- ραδ)+ δα(1 - α).对于delta值，我们有限制→∞Sln pT=αS，limT→∞vln pT=-α(1 - α） p（β- ραδ)+ δα(1 - α) - β+ραΔδ.6.2目前正在对持有交易所交易基金（ETF）的预期效用进行3/2 LETF模型A敏感性分析。A杠杆化E-TF（设F）L=（Lt）t≥0是一个f u NDF，旨在通过使用参考流程放大确认返回。典型的参考过程包括d ex、stock、currency和Commodity。

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2022-5-9 11:44:03

假设参考过程X保持为正，且短期利率为常数r>0。LETFI是投资于参考流程和货币市场账户的固定比例投资组合。该比例被称为LETF的杠杆率，由β表示。杠杆率为β的LETF≥ 1（分别为β≤ -1） sa id将被长期杠杆化（分别为短期杠杆化），并被标记为允许。为参考流程的给定初始值XO在LETF中固定初始投资。时间t≥ 0，投资于参考价格Xt的βLTI的现金金额，以及金额（β-1） LTI在无风险rat e r融资。在实际金融市场中，常见的杠杆rat IO为β=1、2、3（长）和β=-1.-2.-3（短）。有关LETF的更多详情，请参阅Leung and Sircar（2015）。基于这个特征，LETF L=（Lt）t≥0satis fiesdltlt=βdXtXt- ((β - 1） r）dt=βu（Xt）Xt- (β - 1） rdt+βσ（Xt）XtdBt，可以写成LTL=e（1-β） rt-β(β-1） Rtσ（Xs）/Xsds校正矩阵β.假设效用是形式为u（c）=cα的幂函数，表示0<α<1，参考过程X i由3/2模型dxt=（θ）给出- aXt）Xtdt+σ| Xt | 3/2dBt，X=ξ，在物理测量P下具有正常数θ，a，σ，ξ。该过程保持正，是均值回复。例如，可以考虑商品价格或波动性指数的LETF。持有LETF L ispT的预期效用：=EP[u（LT）]=EP[e-αβ(β-1） σRtXuduXαβt]eα（1-β） rtξ-αβLα。PTI的敏感性是我们感兴趣的。为方便起见，我们定义为：=EP[e-αβ(β-1） σRtXuduXαβt]（6.1），因此pT=qTeα（1-β） rtξ-αβLα。上述预期符合本文的基本框架。观察函数的四次方是（b（x），σ（x），r（x），f（x））：=（（θ）- ax）x，σ| x | 3/2，αβ（1）- β） σx，xαβ），初始值为ξ>0。

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